例说古典概型中的“等可能”
1.3 等可能概型、几何概型
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型例题
例7 在1--2000的整数中随机地取一个数,问取到
的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少?
解：设A：“取到的数能被6整除”, B：“取到的数能被8整除”，
则所求概率为： P( A B).
P(AB) P(A B) 1 P(A B)
1 {P( A) P(B) P( AB)}.
解：E 放球 n： N n
k1 n!
n! P( A1) N n
k2
C
n N
n!
PNn
P( A2 )
PNn Nn
A3 A2
P( A3 )
1
P( A3 )
1
P( A2 )
1
PNn Nn
1.3 古典概型
例5 有 r 个人，设每个人的生日是 365 天的任
何一天是等可能的。
试求：事件 “至少有两人同天生日” 的概率。
解： 令 A = { 至少有两人同天生日 }
则 A ={ r 个人的生日都不同}
由例4可得，
P( A)
Pr 365
(365)r
则有:
P(
A)
1
P(
A)
1
Pr 365
(365)r
1.3 古典概型
例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知
这12次接待都是在周二和周四进行的。 问：是否可以推断接待时间是有规定的 ？ 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者
其它条件不变则有:
P( A)
C
2 2
C
2 6
1 15
0.067
2)“不放回地抽取两次，每次取一张” 相当于 “一次抽取两张”。故在许多问题中如果不是有放 回地抽样,就统称为“任意取出”多少个。
1-4 等可能概型
【评】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。 一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解
概率论的许多基本概念，因此，我们常从古典概型 开始引入新的概念；另一方面，古典概型概率的计算
在产品质量抽样检查等实际问题中有重要的应用。
二、基本排列与组合公式
乘法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有 n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1n2种 方法。 加法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有
r n
设r1+r2+…+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，
第一部分含r1个元素，第二部分含r2个元素，…
则不同的分法为
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk 1 rk n r1 rk 2 n r1 rk 1
C
n! r1 !r2 ! rk !
一些常用公式
1 3 5 6 1 2 1 64 2 3 6 1 3
Bk-1={取得的n个数中最大的数不超过k-1}，
则 Bk-1Bk，且 A=Bk-Bk-1，依概率的性质，
C C 【注】利用事件间的关系与运算求解概率。
P(A)= P(Bk)-P(Bk-1)
Ckn
n 10
Ckn1
n 10
例3 从1～9这9个数中有放回地取出 n 个数， 试求取出的 n个数的乘积能被 10 整除的概率。
§4 等可能概型
教学纲目 一、古典概型的定义与计算公式
二、基本排列与组合公式
三、典型例题
10 放回抽样与不放回抽样； 20 抽签与顺序无关；
30生日问题； 40超几何分布；
50 实际推断原理。
四、几何概型
CH1第4节 等可能概型(古典概型)
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
概率论初步
概率论初步一、知识要点（一）等可能事件（古典概型）的概率：P（A）=等可能事件概率的计算步骤：①计算一次实验的基本事件总数n；②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m；③依公式P（A）=求值.（二）几何概型（1）几何概率模型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、经典例题例1、从52张扑克牌（无大小王）中任取一张，取到“黑桃A”的概率是多少？取到“A”的概率又是多少？例2 、将一个圆盘8等分，指针绕着中心较快的旋转，令指针突然停止，求指针停在偶数区域内的可能性大小。
例3、选择题（1）下列事件中是必然事件的是( )．A ．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球B ．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏C ．小红期末考试数学成绩一定得满分D ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上（2）同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )． A ．点数之和为12 B ．点数之和小于3 C ．点数之和大于4且小于8 D ．点数之和为13（3）下列说法中正确的是( )．A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等（4）从不透明的口袋中摸出红球的概率为51，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )． A ．5个 B ．8个C ．10个D ．15个例4、在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它 作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?三、巩固提升1、同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______．2、有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?3、小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10 个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?4、有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?5、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，1求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是3摸出1个红球的概率．四、知识总结1.古典概型的适用条件：实验结果的有限性和所有结果的等可能性.2.几何概型的特点：①实验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等. 3.概率的性质①非负性：在随机试验E 中，对其中任意一个事件A ，有0≤P （A ）≤1； ②规范性：必然事件P （E ）=1； 不可能事件：P （∅）=0； 对立事件：P （ ）=1-P （A ） 五、课后作业1．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )． A ．1B ．21C ．31D ．412．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )． A ．61B ．41C ．31D ．213．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )． A ．54B ．53C ．52D ．514. 用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．A 同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”B 同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大?。
概率论与数理统计
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
2、概率的几种定义(古典概型).
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
37
2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
38
3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
18
个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
19
经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
20
例4 公平抽签问题：
概率，并称为几何概率。
28
例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事件A=“甲乙将会面”的概率。
29
解：分别以x,y表示甲乙到达会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
12
解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
13
事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
14
(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
15
(3) 下面我们来求 事件 C所含样
1.2
随机事件的概率
古典概型经典案例分析
同的情况，确切的说，只是关注于在 n 个人中，至少有一个人的生日是特定的
某一天的概率，这个不会很大，应该是 n ，随着人数的增长，这个比率会平稳 365
的增长，当然，这个与上述的表格的数据的差别是很大的，表格中的数据增长 是不均匀的但是你把这个习惯主观的推广了，问题就出现了。
这里面从反面入手，巧妙的运用分房问题的思路解决了这个问题，这种思 想方法要学会运用。
接下来统计我们需要的有利事件的个数，我们要求是指定的 n 个房间各有 一个人住，那么，关于这 n 个房间的安排问题就不用我们操心了，我们只是看 一下人与房间的搭配问题，这似乎与选取袜子没有什么区别，于是，就可以得 出概率：
n! P( A)
Nn 我们可以换个角度来看一下，如果我们认为是把房间安排给人，那么，n 个 指定的房间就会被列成一个顺序，于是，第一个房间有 n 中可能性，第二个房 间就会少了一种，即 n-1 种，以此类推，结论与我们前面的一样，那么，我们 如果把统计基本事件的方式也变换一下呢？结论可能会有些不妥，因为如果考 虑第一个房间有 n 种选择方式，第二个房间也有 n 个选择方式，以此类推，就
P( A)
C
n N
n!
Nn
可以借助你的结论得出至少两人生日相同的概率即：
1
C
n N
n!
Nn
这次只需要计算就可以了，
n
10
20
23
30
40
50
概率
0.12
0.41
0.51
0.71
0.89
0.97
看来事情的结果对于选择打赌的你有些不利，如果班级里超过 50 人，几乎
就是必然的规律了。
这可能极大的冲击了你的视觉，原因很简单，我们只是在意与自己生日相
第四节古典概型
C
0 26
从而:
P(B)
k n
C
1 4
C
2 26
C
2 4
C
1 26
C
3 30
C
3 4
C
0 26
1460 0.36 4060
概率统计
例2. 有 0,1,29 十个数字, 现从中任取 6 个不同
的数 求： 能排成一个六位数是偶数的概率
解: 设事件A： “排成的六位数是偶数”
由题意可知:它的样本空间元素是有限个,并且 每个基本事件发生的可能性也是相同的。
例5 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号
1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有
多少投法？
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
n个元素
因为：C
r1 n
C r2 n r1
C rrkk
n! r1!r2!rk !
概率统计
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
N
A99 A33
A96
60480
概率统计
引申：有三人从左到右顺序一定；
分析：N
C93
A99 A33
C93 A96
5080320
点评：定序问题除法处理
高中数学概率和统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例1．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===， ()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=E ξ=3，σ2=D ξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）. 答案：B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d-）≤0.01=Φ（－2.327）.∴5.080d -≤－2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结：（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f （x ）为增函数，x>0时，f （x ）为减函数.。
第三节 等可能概型
第三节等可能概型一、古典概型二、几何概型1．试验的样本空间只含有有限个元素，即12{,,,}n Ωωωω= 2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n P P P ωωω=== 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。
由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．一、古典概型111()({}){}{}n ni i i i i P P P nP Ωωωω======∑∪1{}(1,2,,)i P i n n ω== 12{}{}{}ki i i A ωωω=∪∪ ∪1()({})j ki j k A P A P n ω====Ω∑包含的基本事件数中基本事件总数这里i 1,i 2, ···,i k 是1, 2,···,n 中某k 个不同的数，则有设实验E是古典概型，由于基本事件是两两互斥，因此从而若事件A 含有k 个基本事件，即这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的（1）加法原理设完成一件事有m 种方式，第一种方式有n 1种方法，第二种方式有n 2种方法,…；第m 种方式有n m 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n 1 +n 2 +…+n m 种方法.1.两个基本计数原理例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+ 2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.m n n n ××× 21（2）乘法原理设完成一件事有m 个步骤，第一个步骤有n 1种方法，第二个步骤有n 2种方法,…；第m 个步骤有n m 种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮3×2加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.排列•排列：!(1)(1)()!rnn P n n n r n r =−−+=− r n n n n⋅= •重复排列：特别地，当r = n ，全排列!n n P n =从n 个不同的数中任取r 个，排成一排，共有多少种排法？2.两个计数工具——排列和组合组合•组合：!!!()!r rnn P n C r r n r ==−1rn r C +−•重复组合：从n 个不同的数中任取r 个，共有多少种取法？推广：（分组问题） 把n个不同的元素分成k 组，各组元素数目分别为 r1, r2 , ···, rk , 且r1+ r2 +··· +rk=n，则不同的分法为：C ⋅Cr1 nr2 n − r1n! ⋅⋅⋅ C = r1 !r2 !⋅⋅⋅ rk !rk rk例3 将一枚硬币抛二次（ 1 ）设事件A1为“恰好有一次出现正面” , 求P( A1 ) （2）设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P( A2 )设随机试验E为 : 将一枚硬币抛两次, 观察正反 解（1） 则样本空间为Ω = { HH , HT , TH , TT } Ω 中包含n = 4个元素，每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为等可能概型. 又A1 = {HT , TH }中包含的基本事件数k = 2 故P( A1 ) = 2 / 4 = 1/ 2（2） 因为 A2 = { TT } 1 H3 T T T H H P ( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − = 于是 4 4HT例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成 3组,求：（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
等可能概型(古典概型)
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面 .
则 S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 = { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) = 3 8 .
(2) A 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH}.
p = 1−
365 × 364 ×
× ( 365 − n + 1) . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
人 数 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概 率 0 . 1 1 6 9 4 8 1 7 7 7 1 1 0 7 7 6 5 1 8 7 0 . 4 1 1 4 3 8 3 8 3 5 8 0 5 7 9 9 8 7 6 2 0 . 7 0 6 3 1 6 2 4 2 7 1 9 2 6 8 6 5 9 9 6 0 . 8 9 1 2 3 1 8 0 9 8 1 7 9 4 8 9 8 9 6 5 0 . 9 7 0 3 7 3 5 7 9 5 7 7 9 8 8 3 9 9 9 2 0 . 9 9 4 1 2 2 6 6 0 8 6 5 3 4 7 9 4 2 4 7 0 . 9 9 9 1 5 9 5 7 5 9 6 5 1 5 7 0 9 1 3 5 0 . 9 9 9 9 1 4 3 3 1 9 4 9 3 1 3 4 9 4 6 9 0 . 9 9 9 9 9 3 8 4 8 3 5 6 1 2 3 6 0 3 5 5 0 . 9 9 9 9 9 9 6 9 2 7 5 1 0 7 2 1 4 8 4 2 0 . 9 9 9 9 9 9 9 8 9 4 7 1 2 9 4 3 0 6 2 1 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 6 0 8 5 2 1 8 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 4 0 3 2 3 1 7 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 1 0 3 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 4 9 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0
1-4古典概型
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
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例说古典概型中的“等可能”作者：郑金华
来源：《初中生世界·九年级》2019年第11期
古典概型在概率研究史上最先被研究，发展较为成熟，它具有以下两个特征：（1）试验的所有可能出现的结果为有限个;（2）每一个试验结果出现的可能性相同。
要运用古典概型计算事件A发生的概率，可以借助公式P（A）=[mn]，其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示所有等可能出现的结果数。
例1 （1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，结果是正面朝上的概率为？
（2）同时抛掷两枚质地均匀的硬币1次，结果两枚硬币都是正面朝上的概率是多少？
【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，有两种等可能的结果，正面或反面朝上。
（2）在抛掷两枚质地均匀的硬币1次的试验中，同学们很容易误认为出现这三种等可能的结果：两个正面，一个正面一个反面，两个反面。
事实上这三种结果的可能性不一样，无论是两个正面还是两个反面，必须满足两枚硬币同时掷出相同的一面，而一个正面一个反面事实上包含两种情况，那就是一正一反和一反一正，在表述上，我们把一正一反和一反一正都统称为一个正面一个反面，由此，一个正面一个反面的可能性大。
在这里，对于一正一反和一反一正的区别，我们借取一元和五角两枚质地均匀的硬币来说明。
很显然，一元硬币正面朝上、五角硬币反面朝上和一元硬币反面朝上、五角硬币正面朝上是两种截然不同又等可能的试验结果，所以区分两枚硬币很重要。
那么，我们还有其他类似于一元和五角那样区分这两枚质地均匀的硬币的方法吗？同学们自然会想到“起名字”“简称”“缩写”“编码”等，比如用“红1”“红2”标记两个除颜色外都相同的红球，用“Y”“K”标记衣服和裤子……这些方法既起到区分作用又简单易于书写。
所以在此题中，我们不妨记这两枚硬币为Y1和Y2，然后画树状图或表格罗列所有的试验结果，并要注意，每一个实验结果必须是等可能的。
【解答】（1）[12];
（2）分别记这两枚硬币为Y1、Y2，树状图如下：
[所有可能出现的结果]<E：＼初中生＼9年级语文＼郑金华-1.tif>[Y1][Y2]
列表如下：
[ 正反正（正，正）（正，反）反（反，正）（反，反） ][结果][Y1][Y2]
共有4种等可能的结果，其中，两枚硬币都是正面朝上（记为事件A）的只有1种可能（正，正），所以P（A）=[14]。
变式抛掷一枚质地均匀的硬币2次，结果两次都正面朝上的概率是多少？
【分析】从“抛掷两枚质地均匀的硬币1次”到“抛掷一枚质地均匀的硬币2次”，这两个实验的结果有什么异同？在这里原来的编号“硬币1”“硬币2”就不再适用了。
那么出现几种等可能的结果呢？类似于一个妈妈生了两个孩子，两个孩子都是女儿、两个孩子都是儿子这两种结果与一个孩子是女儿、一个孩子是儿子这一结果可能性一样吗？很显然，不一样！两个女儿是姐妹;两个儿子就是兄弟;一儿一女可能是兄妹，也可能是姐弟，先儿后女是兄妹，先女后儿是姐弟。
所以试验中的顺序也很重要，在这里，我们可以用“第一次”“第二次”来区分两次抛掷过程。
这个试验中有两个元素，树状图和表格均可罗列所有的结果。
【解答】树状图如下：
<E：＼初中生＼9年级语文＼郑金华-2.tif>
列表如下：
[ 正反正（正，正）（正，反）反（反，正）（反，反） ][结果][第二次][第一次]
共有4种等可能的结果，其中，两枚硬币都是正面朝上（记为事件A）的只有1种可能（正，正），所以P（A）=[14]。
例2 在4件产品中有2件正品，2件次品。
（1）从中任取出1件产品，该产品为次品的概率为。
（2）若每次取出1件做检查（查完后不再放回），直到2件次品找到为止。
求经过2次检查恰好将2件次品找到的概率。
【分析】第（1）题是基础题。
第（2）题要特别注意“不放回”，列出的表格从对角线上看非常明显，区别于放回的情况。
（B1，B2），（B2，B1）是找到2件次品的情况。
题中还有一个陷阱，（A1，A2），（A2，A1）也符合题意哦。
聪明的同学们，你们想明白了吗？
【解答】（1）[12];
（2）分别记2件正品为A1、A2，2件次品记为B1、B2，列表如下：
[ A1 A2 B1 B2 A1 （A2，A1）（B1，A1）（B2，A1） A2 （A1，A2）（B1，A2）（B2，A2） B1 （A1，B1）（A2，B1）（B2，B1） B2 （A1，B2）（A2，B2）（B1，
B2） ]
共有12種等可能的结果，其中，恰好将2件次品确定（记为事件A）的有（A2，A1）、（A1，A2）、（B2，B1）、（B1，B2），共4种结果，所以P（A）=[412]=[13]。
例3 把3颗算珠放在计数器的3根插棒上构成一个数字，例如，如图摆放的算珠表示数300。
现将3颗算珠任意摆放在这3根插棒上。
（1）若构成的数是两位数，则十位数字为1的概率为 ;
（2）求构成的数是三位数的概率。
<E：＼初中生＼9年级语文＼郑金华-3.tif>
【分析】（1）此题很多同学会错解：所有等可能的结果有三种，12、21、30，其中十位数字为1有一种，从而得到错误答案。
（2）此题的错解：所有等可能的结果有10种，3、30、21、12、300、210、201、120、102、111，其中三位数有6种，从而得到错误答案P（三位数）=[610]=[35]。
看到这些错解我们会觉得非常遗憾，更想弄明白究竟错在哪？接下来让我们一起来探个究竟，寻个明白。
在第（1）问的解答中，12、21、30真的是等可能的实验结果吗？细细琢磨，不难发现它们不是等可能的。
比如12和30，12表示只要其中任意一颗算珠插在十位的棒上，余下两颗插在个位的棒上;30则表示所有的算珠都要插在十位的棒上，所以，12比30的可能性要大，而12和21具有一定的对称性，其可能性是一样的。
既然12、21、30三者的可能性不一样，那么这种摆放方式就不符合古典概型的基本特征，计算得到的概率必然是错误的。
由此及彼，再看第（2）问，错误的实质一样，那就是罗列的所有结果不具有等可能性，必然导致模型使用错误。
【解答】（1）[37]。
（2）将3颗算珠任意摆放在3根插棒上，所有可能出现的结果有：（百，百，百）、（百，百，十）、（百，百，个）、（百，十，百）、（百，十，十）、（百，十，个）、（百，个，百）、（百，个，十）、（百，个，个）、（十，百，百）、……、（十、个、个）、（个、百、百）、……、（个，个，个），共有27种，它们出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“构成的数是三位数”（记为事件A）的结果有19种，所以P（A）=[1927]。
同学们，希望你们能通过阅读此文练就一双慧眼，在古典概型中找到真正所有的“等可能”实验结果。
（作者单位：江苏省常州市新北区吕墅中学）。