江苏省如东县马塘中学2016届高三上学期自主练习四数学试题(教师版)Word版含答案
2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．若集合{12},{32}a A B ==，，，且}2{=B A ，则实数a 的值为________． 【答案】1【解析】试题分析：因为}2{=B A ，所以2{32}22 1.a aB a ∈=⇒=⇒=， 【考点】集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为________． 【答案】65【解析】试题分析：由ααcos 2sin =得tan 2α=，因此22222222sin 2cos tan 2426sin 2cos .sin cos tan 1415αααααααα++++====+++ 【考点】弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．商数关系：tan α＝sin cos αα（α≠2π＋k π，k ∈Z ）． 二、1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α．3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤ 【考点】命题真假4．已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________．【答案】320x y ++=【解析】试题分析：由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=【考点】两直线垂直 【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）；（2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C '++=，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C '-+=5．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________． 【答案】5.2【解析】试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=【考点】椭圆定义6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()s i n 3c o s2s i n ()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0xπ-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．【考点】三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a =【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==【考点】导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】试题分析：由题意得：1(|l g|)1|lg |l g 1110110xx x xf f x x <⇒<⇒><-⇒>（））或或【考点】函数奇偶性及单调性9．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,8,10a b ==,ABC ∆的面积为ABC ∆的最大角的正切值是________．【答案】【解析】试题分析：由题意得12810sin sin (2233C C C C ππ=⨯⨯⨯⇒=⇒==或舍)，由余弦定理得：22218102810842c =+-⨯⨯⨯=，因此B 角最大，22cos tan B B === 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________． 【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅==【考点】向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a=-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________．【答案】0 2.a <≤【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1f a f a f a a≤≥-≤，即212,2,a aaa a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 【考点】二次函数最值12．若直线220x y +-=与椭圆221mx ny +=交于点C,D,点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为12，且OC OD ⊥，则m n +=________． 【答案】5.4【解析】试题分析：设112233(,),(,),(,)C x yD x y M x y ，则22211221,1m x n y m xn y +=+=，两式相减得：222212*********()()0()()0(2)(2)()02CD m x x n y y m x x n y y k m x n y -+-=⇒+++=⇒+-=111()0()04.222OM m nk m n n m ⇒+-=⇒+⨯-=⇒=由直线220x y +-=与椭圆2241mx my +=方程消去x 得：218840y y m -+-=，又12121212054()40OC OD x x y y y y y y ⊥⇒+=⇒-++=所以14154140.84m m -⨯-⨯+=⇒=5.4m n += 【考点】直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.xx x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e '≤∈；当10x -<≤时，()[1,f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 【考点】函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即|222k ≤⇒-≤≤【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式 （2）若6(),0,52f παα=<<求(2)12f πα+的值 【答案】（1）)6sin(2)(π-=x x f （2） 【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅2=A ，由最值点距离确定周期π2=T ，进而确定1=ω，最后根据最值点确定6πϕ-=（2）先由56)(=αf 确定角α满足条件：53)6sin(=-πα，因为)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f 2sin(2)cos 2cos(2)sin3434ππππαα=-+-因此由20πα<<得54)6cos(=-πα，从而24sin(2)2sin()cos()36625πππααα-=--=，257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα，从而(2)12f πα+=25试题解析：解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ， 又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．于是，)6sin(2)(π-=x x f ．由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα．因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα．所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα． 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα．所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f2sin(2)cos 2cos(2)sin 3434ππππαα=-+-=．【考点】三角函数解析式，三角函数求值16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）25(34【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADB AB ABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以25(35cos7524BA DA ⋅=⨯⨯=． 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+=试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 【考点】直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G ．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m ．在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径．【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r【解析】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为(0,25)，半径为25r =，因此22225)25(:=-+y x C ，求直线PF 的方程实质求过点P 的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，则25150252=++k k解得34=k ；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF 的斜率k ：因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ，所以rr =+-81160020009，40=r试题解析：解：（1）圆22225)25(:=-+y x C ． 直线PB 方程：050=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C 相切，所以25150252=++k k，解得34=k ．所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即020034=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+．因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ． 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ．因为直线PF 与圆C 相切，所以rr =+-81160020009，化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r ． 故40=r ．【考点】直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x 0，y 0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M ．（1）若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x （2）不存在【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“ABM ∆的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M 的横坐标222b ca ，即得三角形的高，因此1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△，又因为2=a ，所以1==c b ．（2）由中点坐标公式得))4(,4(22222a a c b a c b D -，再根据点D 也在椭圆上，得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线bx b cy BF -=:．联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -．所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△．又因为2=a ，所以1==c b ．所以椭圆方程为1222=+y x ．因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -．代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ．化简得012224=+-e e ．因为04<-=∆，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上．【考点】椭圆标准方程 【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程． 20．已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的极值；（2）已知函数()f x 在点(1,(1))A f 处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过()y f x =的图像（即函数()f x 上的动点P 在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式；（3）若0a >，函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点，求实数a 的值． 【答案】（1）函数)(x f 的极小值为1)1(=f ．（2）2-=a （3）1=a【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域(0,)+∞，再求函数导数：x x x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数()()()h x f x l x =-，（其中()l x 为切线函数）满足1为()0h x '=唯一零点，先表示切线方程：(1)2k f a '==-，)1)(2(1--=-x a y ，构造函数()()()h x f x l x =-，求导函数(2)(1)()x a x h x x +-'=，因此2-=a （3）先分析函数()()g x f x ax =-变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。
数学-如东中学2016届高三上学期第二次阶段检测数学试题
如东中学2016届高三数学检测卷一、填空题：1．已知集合A ={}3,2,1，B ={}5,2,1，则A ∩B = 2．设复数z 1=2+2i,z 2=2-2i,则21z z = 3．在△ABC 中，若a b ccosA cosB sinC ==，则△ABC 的形状是_____4.若函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则a 的取值范围是5.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为________.6．曲线y =2ln x 在点(e ,2)处的切线（e 是自然对数的底）与y 轴交点坐标为 7．设方程2ln 103x x =-的解为0x ，则关于x 的不等式023x x -<的最大整数解为8．若不等式X 2- log m X ＜0在区间（0,21）内恒成立，则实数m 的取值范围是 ； 9. 已知函数32)(2-+=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M 的面积是 ；10. 设一次函数()f x 为函数()F x 的导数．若存在实数0x ∈(1，2)，使得00()()0f x f x -=-<， 则不等式F (2x -1)< F (x )的解集为11. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是 ；12. 在△ABC 中，已知5AB =，3BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为13.设12,e e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+， ,x y R ∈.若12,e e 的夹角为6π，则x b的最大值等于_________.14. 已知f (x )=2mx +m 2+2,m ≠0,m ∈R ,x ∈R .若｜x 1｜+｜x 2｜=1，则)()(21x f x f 的取值范围是. 二、解答题： 15.（本题满分14分）已知向量()()()x f x x x ⋅==+=,cos 2,1,cos ,22sin 3．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c 若()4=A f ，b=1，△ABC 的面积为23，求的值．16.设21()log 1axf x x x -=--为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性；（3）若对于区间[]2,3上的每一个x 值，不等式()2x f x m >+恒成立，求实数m 取值范围．17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1，BC =2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC .（1）设∠MOD =30°，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. 在△ABC 中,c b a ,,分别为角A.B.C 的对边,58222bcb c a -=-,a =3, △ABC 的面积为6,D 为△ABC 内任一点,点D 到三边距离之和为d.⑴求角A 的正弦值; ⑵求边b.c; ⑶求d 的取值范围19.（本小题满分16分）已知函数32()f x ax x bx =-+（,a b ∈R ），()x f '为其导函数，且3x =时()x f 有极小值9-．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()2()(68)61g x mf x m x m '=+-++，()h x mx =，当0m >时，对于任意x ，()g x 和()h x 的值至少有一个是正数，求实数m 的取值范围；（3）若不等式/()(ln 1)64f x k x x x >---（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值．20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )(x -b )2，a ,b 是常数. (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值； (2)设（1）中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1、x 2，令点A (x 1, f (x 1)),B (x 2, f (x 2)).如果直线AB 的斜率为-21，求函数f (x )和f ′ (x )的公共递减区间的长度 ； (3)若f (x )≥mxf ′ (x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ,a ,b 满足的条件.2016届高三数学期中练习(附加题)解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中，其速度为min /43m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度.23. 证明下列命题:（1）若函数f （x ）可导且为周期函数，则f'（x ）也为周期函数； （2）可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0（1）求直线l 的方程及()g x 的解析式；（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.2016届高三数学周练卷（二） （组题：田玉平）一、填空题：1．{}2,1 . 2.i 3.等腰直角三角形 4. ()(],01,3-∞⋃. 5. 21; 6． (0,1)7．2 8.161≤m ＜1 9. π4 10. ()1 13， 11. 12.13. 214. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 15. 解（Ⅰ）．所以最小正周期T=，对称轴方程为 （2）根号316.（1）（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数； 证明如下： ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分） ………………………………………………9分 （3）不等式为()2xm f x <-恒成立，min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减，2x 在[2,3]x ∈上单调递增，()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减，当3x =时取得最小值为10-，(,10)m ∴∈-∞-。
江苏省南通市如东高中2016届高三数学上学期开学试卷文(含解析)
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是__________．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为__________．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为__________．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是__________．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为__________．11．已知数列{a n}满足，，则=__________．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且 x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意作出y=x2﹣4|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x2﹣4|x|+5的图象有四个交点，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x2﹣4|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1⇒a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．9．设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．11．已知数列{a n}满足，，则=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有 C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）] =1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。
高三数学-南通市如东高中2016届高三上学期开学数学试卷(文科)
2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是__________．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为__________．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是__________．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是__________．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为__________．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为__________．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是__________．9．设P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则PQ的最大值是__________．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为__________．11．已知数列{a n}满足，，则=__________．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）1．已知集合M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}的集合M的个数是4．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可．【解答】解：∵M⊊{0，1，2，3，4}，M∩{0，1，2}={0，1}，∴M={0，1}或{0，1，2，3}或{0，1，3}或{0，1，4}共4个，故答案为：4．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为[5，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．3．函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是a≤0．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．4．已知方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意作出y=x2﹣4|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x2﹣4|x|+5的图象有四个交点，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x2﹣4|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x2﹣4|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1＜m＜5．故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．5．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3．【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1⇒a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是①②⑤．【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．【专题】压轴题．【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f （x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，又∵对称轴为x=1．∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．9．设P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则PQ的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题．10．若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．11．已知数列{a n}满足，，则=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，由此求得C 的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）]=1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．13．某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=（a+）（x﹣3）（5.5≤x≤7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x﹣3）≥（8﹣3）a×（1+20%），解之得x≥6或4＜x≤5，又5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM 为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．15．已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．16．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．。
【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷(带解析)
一、填空题（题型注释）1、若集合，且，则实数的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）2、若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）3、已知命题是真命题，则实数的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）4、已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）5、椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）6、函数的单调增区间是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）7、已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）8、设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）9、在锐角中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,,的面积为，则的最大角的正切值是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）10、在中，若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）11、已知为正实数，函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）12、若直线与椭圆交于点C,D,点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且，则________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）13、已知函数若函数有四个零点，则实数的所有可能取值构成的集合是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）14、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、已知函数（其中为常数，且）的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式（2）若求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）16、在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）17、已知直线与圆相交于A,B两点，弦AB的中点为（1）求实数的取值范围以及直线的方程;（2）若以AB为直径的圆过原点O，求圆C的方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）18、如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为,求该圆形标志物的半径．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）19、已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．（1）若，的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）20、已知函数（1）若，求函数的极值；（2）已知函数在点处的切线为，若此切线在点A处穿过的图像（即函数上的动点P在点A附近沿曲线运动，经过点A时从的一侧进入另一侧），求函数的表达式；（3）若，函数有且仅有一个零点，求实数的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）21、已知圆，M是圆C上的动点，，MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）22、已知函数，为的导函数，若为奇函数，求的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）23、已知P是内一点，且满足条件，设Q为CP的延长线与AB的交点，令，用表示．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）24、已知当时，求函数的单调区间；设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）参考答案1、12、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、（1）（2）16、（1）（2）17、（1），（2）18、（1），（2）19、（1）（2）不存在20、（1）函数的极小值为．（2）（3）21、22、23、24、（1）增区间为，减区间为和（2）【解析】1、试题分析：因为，所以考点：集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2、试题分析：由得，因此考点：弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1．2．商数关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．二、1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．3、试题分析：由题意得：考点：命题真假4、试题分析：由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）；（2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．（3与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为5、试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为考点：椭圆定义6、试题分析：因为，所以由得，又，因此单调增区间是．考点：三角函数单调区间7、试题分析：因为，所以考点：导数几何意义8、试题分析：由题意得：考点：函数奇偶性及单调性9、试题分析：由题意得，由余弦定理得：，因此B角最大，考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10、试题分析：由题意得：，因此考点：向量数量积11、试题分析：当时，，即因此；当时，，即因此；综上实数的取值范围为考点：二次函数最值12、试题分析：设，则，两式相减得：由直线与椭圆方程消去x得：，又所以考点：直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13、试题分析：因此：当时，；当时，；当时，；当时，；，因为函数有四个零点，因此，实数的所有可能取值构成的集合是考点：函数零点14、试题分析：因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即考点：直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．15、试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅，由最值点距离确定周期，进而确定，最后根据最值点确定（2）先由确定角满足条件：，因为因此由得，从而，，从而试题解析：解：（1）由图可知，，，故，所以，，又，且，故．于是，．由，得．因为，所以．所以，．．所以．考点：三角函数解析式，三角函数求值16、试题分析：（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17、试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即，所以．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为，所以．直线的方程为．（2）以AB为直径的圆的圆心为弦AB的中点，半径为OM，因此圆O方程标准式为，两圆公共弦方程为，与重合，因此，即圆C的方程为试题解析：解：（1）因为，所以．因为在圆内，所以，所以．综上知．因为弦的中点为，所以直线．因为，所以．所以直线的方程为．由得，故，．不妨设，．则，故．故圆．考点：直线与圆位置关系，圆方程【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18、试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为，半径为，因此，求直线PF的方程实质求过点P的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线方程：，则解得；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF的斜率：因为，所以．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线方程：，即，所以，试题解析：解：（1）圆．直线方程：．设直线方程：，因为直线与圆相切，所以，解得．所以直线方程：，即．设直线方程：，圆．因为，所以．所以直线方程：，即．因为直线与圆相切，所以，化简得，即．故．考点：直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．19、试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M的横坐标，即得三角形的高，因此，又因为，所以．（2）由中点坐标公式得，再根据点D也在椭圆上，得，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线，直线．联立可得．所以．又因为，所以．所以椭圆方程为．因为，所以．代入椭圆方程得．化简得．因为，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．考点：椭圆标准方程【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．20、试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域，再求函数导数：，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数，（其中为切线函数）满足1为唯一零点，先表示切线方程：，，构造函数，求导函数，因此（3）先分析函数变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。
江苏省省2016届高三第四次模拟5月考试数学试题Word版含答案
省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学 试 题命题：高三数学组(考试时间：120分钟 总分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1、已知集合}02|{2≤--=x x x A ，集合}31|{≤<=x x B ，则B ⋃A = 2、已知i 为虚数单位，复数ii z ++=122，则复数z 的模为 3、命题“∃x ≥0，使x (x ＋3)≥0”的否定是 4、下列程序： 1←SFor I From 1 to 10 Step 3 I S S S ⨯+← End ForPrint S输出的结果S 是5、在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+ y ≤ 0的概率为6、底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ．7、函数3sin 32cos 6)(2-+=x xx f ωω(0>ω)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形，则ω=8、已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则tan ∠AOB 的最大值等于 9、0,0>≥y x ，2≤+y x ，则yx y x +++2124最小值10、已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是11、设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是△12PF F 的内心，若△1IPF ，△2IPF ，△12IF F 的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为12、已知函数||)(a x x x f -=，]3,2[1∈∀x ，]3,2[2∈∀x 21x x ≠， 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则实数a 的取值范围 13、已知点O 为△ABC 的垂心，032=++OC OB OA ， 则角A=14、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=4028，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．．．．，14BC CC ==,D 是11A C 中点. （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ； （Ⅱ）求点B 到平面1B CD 的距离.16、（本小题满分14分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式及定义域； （2）设()6()1g x m f x =⋅+ (0,)3x π∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3(1,]2？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．17、（本小题满分14分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域O AB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切． AB1AC1C D 1B（1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．18、（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d ．（1）求d 的最大值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点,l 为椭圆的右准线．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．19、（本小题满分16分） 已知函数0,0|,|)(ln )(><--+=c a c x c x x a x f(1)当41,43=-=c a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)当12+=a c 时，若41)(≥x f 对任意),(+∞∈c x 恒成立，求实数 a 的取值范围;x O y P F TAlS(3)设函数)(x f 的图像在两点P ))(,(11x f x ，Q ))(,(22x f x 处的切线分别为l 1,l 2，若21ax -=，c x =2，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值.20、（本小题满分16分）已知有穷数列}{n a 各项均不相等，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列}{n P ，称}{n P 为}{n a 的“序数列”，例如数列：1a ，2a ，3a 满足1a >3a >2a ，则其序数列}{n P 为1，3，2．(1)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n P 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列；(2)若项数不少于5项的有穷数列}{n b ，}{n c 的通项公式分别是)()53(*N n n b n n ∈⋅=，)(*2N n tn n c n ∈+-=，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；(3)若有穷数列}{n d 满足1d =1，)()21(||*1N n d d n n n ∈=-+，且}{12-n d 的序数列单调减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学试题附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21、A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点DAC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =， 3DE =，求BD 的长. B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥. ABDEOC·22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.高三数学四模参考答案1、[-1,3]2、23、∀x ≥0，使x (x ＋3)<04、8805、41 6、4+45 7、4π 8、 9、 10、54- 11、2 12、a 3≥ 13、4π14、33915（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………6分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h ，则1111123=3C B C D B C D V S h -△，1=4h CC =由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1=23,25B D CD =1=215B CD S ∆设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --1231454=3B CD S h h ''⇒=△以B 到平面1B CD 45……………14分 15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin 3BC x π=，sin()32sin3x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=•=⋅-⋅231cos sin )sin 322x x x =- 11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<<……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m +又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2解得m 无解………………………13分 ∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分 17解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r Psin θ＋r P ＝80，………4分∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………10分法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t 2＝80⎝⎛⎭⎫－1－2t 2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1) ∴m ＝34时，有最大值10．………13分 注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2 ∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28∴r Q ≤10．此时sin θ＝13………14分 注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )(1＋t )3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………13分 注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10．………14分 注意：应用题不写答扣1分18(1)由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．d=8 ………5分（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，BPQ且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 24＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 2 4＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－ 45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．………10分（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t 4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k5—x 1＋k＋t —4k 5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t 4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．………6分综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．19、函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥-+=,0,)(ln ,,)(ln )(22c x c x x a c x c x x a x f 求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<++-≥+-=c x x a cx x c x xacx x x f 0,22,,22)('22 (1)当43-=a ，41=c 时，⎝⎛<<-+-≥--=410,4328,41,4328)('22x x x x x x x x x f若0<x<14 ，则04328)('2<-+-=xx x x f 恒成立，所以f(x)在(0，14 )上单调递减若x ≥14 ，则xx x x f 4)34)(12()('-+=，令f'(x)=0，解得x=34 或x=- 12 (舍去)当14 ≤x<34 时，f'(x)<0，f(x)在[14 ，34 ]上单调递减； 当x>34 时，f'(x)>0，f(x)在(34，+∞)上单调递增综合，函数f(x)的单调减区间是(0，34 )，单调增区间是(34，+∞)(2)当x>c ，c=a 2 +1时， xa x x x f )2)(1()('--=，而c=a2 +1<1所以当c<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(c ，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增 所以函数f(x)在(c ，+∞)上的最小值为f(1)=a24 ，所以a 24 ≥14 恒成立，解得a ≤-1或a ≥1(舍去)又由c=a2+1>0，得a>-2，所以实数a 的取值范围是(-2，-1] (3)由l 1⊥l 2知， )(')2('c f a f -=-1，而f'(c)=ac ，则a c a f -=-)2('，若c a ≥-2，则c aa ac a a f 2222)2(2)2('-=-+---=-，所以-2c=-c a ，解得a=12 ，不合题意故2a -<c ，则222)2(2)2('aaa c a a f -+-+--=-=--8a +2c=-c a ，整理理，128+-=a a a c ，由c>0，得a<- 12 ，令-8a =t ，则a=- t 28 ，t>2，所以821482322-=+-⋅-=t t t tt c ，设g(t)=8223-t t ，则g'(t)=2222)82()12(2--t t t 当2<t<2 3 时，g'(t)<0，g(t)在(2，2 3 )上单调递减； 当t>2 3 时，g'(t)>0，g(t)在(2 3 ，+∞)上单调递增所以函数g(t)的最小值为g(2 3 )=3 3 2 ，故实数c 的最小值为3 3220．(1)充分性：当数列{a n }为单调数列时，即a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a m-1<a m ，所以其序数列{p m }为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，均为等差数列必要性：当列{a m }的序数列为等差数列时，其序数列{p m }必为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，所以有a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a n-1<a n ，所以数列{a n }为单调数列综上，有穷数列{a m }的序数列{p m }为等差数列的充要条件是有穷数列{a m }为单调数列 (2)由题意得，b n+1-b n =(35 )n ·3-2n5 ，当n=1时，易得b 2>b 1，当n ≥2时，b n+1<b n ，又b 1=35 ，b 3=3×（35 ）3，b 4=4×(35 )4，b 4<b 1<b 3，即b 2>b 3>b 1>b 4>…>b n ，故数列{b n }的序数列为2，3，1，4，…，n ，则数列{c n }的序数列 所以对于数列{c n }有2<t 2 <52，解得4<t<5(3)因为{d 2n +1}的序数列单调递减，所以{d 2n-1}是递增数列，故d 2n+1-d 2n-1>0，于是(d 2n+1-d 2n )+(d 2n -d 2n-1)>0，又(12 )2n <(12 )2n-1，所以|d 2n+1-d 2n |<|d 2n -d 2n-1|，从而d 2n -d 2n-1>0，d 2n -d 2n-1=(12 )2n-1=1222)1(--n n，因为{d 2n }的序数列单调递增，所以{d 2n }是递减数列，同理可得d 2n+1-d 2n <0，故d 2n+1-d 2n =-(12 )2n =n n 2122)1(+-，由①②得d n+1-d n =nn 2)1(1+- 所以d n =d 1+(d 2-d 1)+(d 3-d 2)+…+(d n -d n-1)=1+122)1(2121--+++n n=1+211)21(1211+--⋅-n=12)1(3134--⋅+n n， 即数列{d n }的通项公式为d n =12)1(3134--⋅+n n(n *N ∈)解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦1021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由逆矩阵公式得， 1()MN -=20102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦……4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ……6分1,22x x y y ''==， ……8分代入得：1sin 22y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分 C （1）m=1 ……4分 (2)32……10分解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为ξ 2930 31 32 33 34 35P 0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=23．（1）解：由原递推式得到11(1)1n n n nn t a a a t ++-=+-22121(1)1(1)12t a a t a t -==-+-3233232221(1)(1)(1)1231)3(1)2t t t a t a a t t -⋅---===+-- 猜想得到1nn t a n -=…………（2分） 下面用数学归纳法证明1n n t a n-= 10当n=1时 a 1=t —1 满足条件20假设当n=k 时，1k k t a k -=则1111(1)(1)k k kk k t t a t t k k++--+-=- ∴1111k k k t a k k ++--⋅= ∴1111k k t a k ++-=+, 即当n=k+1时，原命题也成立。
2016届高三第一学期第四次段考试数学(文)试卷
2016 届高三第四次段考（文数）试卷时间： 120 分钟总分： 150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分。
共 60 分．1．已知会合 A={ x | x 24 x5 0 } ，B={ x | 2 x 4 } ，则 A B=A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)2．已知向量 a =(1， 2)，b =(0，1)，c =(-2，k) ，若 (a +2b )// c ，则 k=A ． 8B ．1C ．1D ．8223．若 sin10 ，且 为第四象限角，则 tan的值等于10A ．1B ．1C ． 3D ． 3334．以下说法正确的选项是A ．命题 “若 x 2 1 ，则 x 1 ”的否命题为： “若 2 1 ，则≠”xx 1 B ．若命题 p ： x ∈R ，x 2-x+1<0，则命题 P ：x ∈R ，x 2-x+1>0 C ．命题 “若 x=y ，则 sinx=siny ”的逆否命题为真命题D ．“ 25x6”的必需不充足条件是 “x1 ”x5．曲线 yx在点（ 1， 1）处的切线方程为x2A ．y=x 2B ．y= 2x+3C ．y=2x 3D ．y= 2x+1．已知 n 是等差数列 { a n 的前 n 项和，若a 1 a 3 a 5 3，则 S 56 S} A ．5B ．5C ． 7D ． 927．函数 y x ln | x |的图象是| x |8. 已知A. 9x y 0,3x y6 0, 则 2x y 的最小值是 （）.x y 20,B. 4C. 3D. 29．已知定义在 R 上的函数 f (x)2|x m|1(m 为实数 )为偶函数，记 a=f(2-3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则A．a<b<c B． a<c<b C．c<a<b D． c<b<a10．已知定义在 R 上的函数y f (x)对随意的 x 都知足f ( x 2) f (x) ，当-1≤x<1时， f ( x)x3，若函数 g (x) f ( x)log a | x |起码 6个零点，则 a 取值范围是A．(0,1](5,)B．(0,1)[5,)C．(1,1](5,7)D．(1,1)[5,7) 55757511．定义在(0,) 上的函数 f ( x) ， f'(x) 是它的导函数，且恒有 f'(x) f (x)tan x 2成立。
江苏省如东县马塘中学2016届高三自主练习四数学试题(教师版)Word版含答案
2016届马塘中学高三数学自主练习四一.填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案写在答题卡相应位置.） 1. 已知集合A ＝{1, 2, 3, 4}，那么A 的非空真子集的个数是 14 ． 2. 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为_____．－1 3． 函数4tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为____2π 4．已知向量a 与b 的夹角是120，且满足(2,1)a =-，10a b ⋅=-||b ＝．5．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ． (0，94]6. 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1．若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________．－1 7. 已知函数11)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是____0≤m ＜48. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．129．已知函数'()2(1)ln f x f x x =-，则()f x 的极大值为 ．2ln 22-10. 已知函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在区间[1,1]-上是单调递增，则实数a的取值范围为(2,(2,4)-⋃11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为_______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0， 则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，4π3上为减函数，∵5π4<4<4π3，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)， 又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．12.O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= ． 2913． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x <2，12f （x －2），x ≥2，则方程xf (x )－1＝0根的个数为________．解析：方程xf(x)－1＝0，显然x ＝0不是方程的解，因而原方程等价于y ＝f(x)与y ＝1x 两个函数图象的交点个数，f(x)示意图如下图所示．∵ f(7)＝18<17，从而x>7时f(x)＝1x无交点，因而原方程有6个解．14．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x )的最大值为________．解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a ＋b)＝0， f(－3)＝(1－9)(9－3a ＋b)＝0，联立，解得a ＝8，b ＝15，所以f(x)＝(1－x 2)(x2＋8x ＋15)，即f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)． 令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16，当t ＝1时，f(x)max ＝16．二．解答题. （本大题共6小题，共90分；请把答案写在答题卡相应位置.） 15. （本题满分14分）已知函数22()sin ()cos ()sin cos ,63f x x x x x x R ππ=-+-+⋅∈。
江苏省沭阳如东中学2016届高三上学期数学综合小练(二,含解析)
如东中学高三数学综合小练（17）一、填空题1．设i 为虚数单位，若2(,)a ib i a b R i+=-∈，则a b +=__________ 2．已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-<，则()U AC B =___________3．命题“∃x ＞0，x 2+x ﹣2≥0”的否定是 _________ ________________4．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，__________________ 5．已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为___________________6．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，x的函数_____________ 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c>b>a ，若向量m ＝（a －b ，1）和n ＝（b －c ，1）平行，且sin BABC b ＝_______ 8．已知D 为三角形C AB 的边C B 的中点，点P 满足C 0PA +BP +P =，D λAP =P ，则实数λ的值为9．点P 是曲线x 2－y －0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是___________________10．的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是_____________二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)A 作斜率为k 的直线l ，若直线l 与以C 为圆心的圆22430x y x +-+=有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得向量CP CQ +与向量(2,1)=-m 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．12．已知函数2()ln f x x mx =-，（m R ∈），令()()()F x f x g x =+． （1时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值．高三数学综合小练（17） 组题人：宗陈林2015.11.11一、填空题1．设i 为虚数单位，若2(,)a ib i a b R i+=-∈，则a b +=__________ 3 2．已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-<，则()U AC B =___________(,1][2,)-∞+∞3．命题“∃x ＞0，x 2+x4．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，__________________ 2 5．已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为___________________ 210x y +-=6．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，x 的函数_____________ 0 ，可得0x ≠，因而()g x 的零点跟()xg x 的非零零点是完全一样的，① 所以，在(0,)+∞上，函数()xg x 单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴在(0,)+∞上，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，因此，在(0,)+∞上，函数()()1xg x xf x =+ 没有零点． ②当0x <()xg x 在(,0)-∞上是递减函数，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，故函数()xg x 在(,0)-∞上无零点．R 上的零点个数为0， 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c>b>a ，若向量m ＝（a －b ，1）和n ＝（b －c ，1）平行，且sin B【解析】由题意得：,2,a b b c b a c -=-=+因此sin B B 为锐角，因此 2.b =．8．已知D 为三角形C AB 的边C B 的中点，点P 满足C 0PA +BP +P =，D λAP =P ，则实数λ的值为 ．-2试题分析：由0PA BP CP ++=可知， PA PB PC =+，所以四边形PCAB 这平行四边形，如图所示，所以2AP PD =-，故2λ=-．9．点P 是曲线x 2－y －0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是＋ln 2)【解析】：由已知可知所求距离可化为曲线y =x 2－4x ＋4y ＋1＝0平行的切线和直线4x ＋4y＋1＝0之间的距离求出切点坐标即由切点到直线的距离就是两平行线间的距离,由点到直线的距离公式求得＋ln 2),10的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是【解析】原函数在y 轴左侧是一段正弦型函数图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，即，应该与原来y 轴右侧的图象至少有3个公共点不能满足条件，只有01a <<此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)A 作斜率为k 的直线l ，若直线l 与以C 为圆心的圆22430x y x +-+=有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得向量CP CQ +与向量(2,1)=-m 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．分析：第一问利用直线与圆交于不同的两点即判别式大于0，第二问首先假设共线，利用共线向量的坐标关系得121242()0x x y y +-++=，进一步消元得到求的k 的值．解：（Ⅰ）直线l 的斜率存在，设其方程为：1y kx =+，圆的方程：22430x y x +-+=， 联立并消元得22(1)(24)40k x k x ++-+=， 设两个交点的坐标分别为1122(,),(,)P x y Q x y ，由直线与圆有两个不同的交点可知22(24)16(1)0,k k ∆=--+>另解：借助圆心到直线的距离小于半径求解．由（Ⅰ）假设可得1122(2,),(2,),CP x y CQ x y =-=- 所以1212(4,)CP CQ x x y y +=+-+，又(2,1)=-m ，由向量CP CQ +与(2,1)=-m 共线可知121242()0x x y y +-++=，…（※） 而11221,1y kx y kx =+=+，得1212()2y y k x x +=++， 代入（※）式化简得12(12)()0k x x ++=，或2k =（舍去），12．已知函数2()ln f x x mx =-，（m R ∈），令()()()F x f x g x =+． （1时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值．分析：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．第一问，先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；第二问，关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，即为求得单调区间，讨论m 的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m 的最小值． 解：（1（0x >），，得1x <，又∵0x >， ∴函数()f x 的单调递增区间为(0,1)．（2）关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，即为当0m ≤可得'()0h x >恒成立，()h x 递增，无最大值，不成立；，'()0h x >，()h x 递增，显然1m =不成立，2m =时，4ln 21≥即有42e ≥成立．整数m 的最小值为2．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．。
江苏省南通市如东县高三上学期期末数学试卷 Word版含
2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2015-2016学年江苏省南通市如东县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos+cosπ=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M的坐标，由k MA与k MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过锐角三角函数的定义易知AC=2、MC=、AM=、BM=10﹣，进而利用y=30（BM+2AM）化简即得结论；（2）通过令y=0可知cosθ=，结合α≤θ≤及tanα=可知θ=，通过求导判定函数的单调性，进而可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，由AD=1、∠ACD=30°可知AC=2，在Rt△ACM中，MC=，AM=，则BM=10﹣，设造价y的单位为千万元，则y=30（BM+2AM）=30（10﹣+）=60（5+），（α≤θ≤，其中tanα=）；（2）y=60•=60•，令y=0，得cosθ=，又∵α≤θ≤，其中tanα=，∴θ=，∴当θ=时y有最小值，此时BM=10﹣．答：当BM长为（10﹣）米时才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极大值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．2016年9月16日。
江苏省如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试题word版含答案
2016届如东中学高三数学阶段测试一．填空题：1.已知集合{}1,3A =，{}2,B x =，若{1,2,3,4}A B = ，则x = ▲2.命题“0,1x x e x ∃><+”的否定是 ▲3.已知函数=''+=)0(),1(2)(2f f x x x f 则 ▲4．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。
若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ▲5．已知a ，b 为正实数，函数x bx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 ▲ 6．已知3(0,),cos()45παπα∈+=，则tan α＝ ▲ 7．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 ▲8. 已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 ▲9．设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 有下列四个结论：①D （x ）的值域为{0,1}；② D （x ）是偶函数；③D （x ）不是周期函数；④D （x ）不是单调函数；其中正确的是 ▲ （填序号）10．已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件：①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(,4)x ∃∈-∞-, )(x f 0)(<x g 。
则m 的取值范围是 ▲11．在ABC ∆中，若tan tan tan tan 2tan tan A C B C A B +=，则 222cb a += ▲ 12．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ▲13．已知函数2log ,0()2,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲14.设函数132)(2+-+=a bx ax x f ，当]4,4[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，则b a +5的最大值是 ▲ 二．解答题：15．已知命题p ：函数21y x mx =++ 在(1,)-+∞内单调递增 ；命题q ：函数244(2)1y x m x =+-+大于0恒成立 ，若命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．16．已知函数()sin()(0,||,)2f x A x A x R πωϕϕ=+><∈，且函数()f x 的最大值为2，最小正周期为2π，并且函数()f x 的图像过点(,0)24π（1）求函数()f x 的解析式；（2）设ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()24cf =，c =2a b +的取值范围。
江苏省南通市如东县马塘中学高三数学文期末试题含解析
江苏省南通市如东县马塘中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．2. 在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点,是曲线在点处的切线, 且交坐标轴于两点, 则以下结论正确的是（）A．的面积为定值 B．的面积有最小值为C．的面积有最大值为 D．的面积的取值范围是参考答案：A试题分析：设，则,因此的面积为，所以选A.考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3. 设向量=(﹣1，2)，=(2，1)，则+与的夹角为（）A．45° B．60° C．120°D．135°参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与夹角公式，求出与夹角的余弦值，即可求出夹角θ．【解答】解：向量，∴=（1，3），|+|==，∴（+）?=1×2+3×1=5，又||==，设与的夹角为θ，则cosθ===，∴夹角θ=45°．故选：A．4. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间0，2上是增函数，若方程在区间-8，8上有四个不同的根，则=（）A． 0 B． 8 C． -8 D． -4参考答案：C5. 5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传,每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（）种A．25 B．50 C．150 D．300参考答案：C略6. 有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A．144 B．216 C．288 D．432参考答案：D7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C8. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则|BF|=( )A. 2B.C. 1D.参考答案：B【分析】设，及，利用抛物线的定义直接求出得值，进而得到的值，即可求解.【详解】如图所示，设，及，则点到准线的距离为，得到，即，又由，整理得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和标准方程，以及几何性质的应用，其中解答中熟练利用抛物线的定义，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线化成标准形式求出渐近线为y=x ，从而y=x 与直线x ﹣2y+1=0平行算出t=4．由此得到双曲线的方程，进而算出它的离心率．【解答】解：∵双曲线tx 2﹣y 2﹣1=0，即tx 2﹣y 2=1，∴双曲线的渐近线为y=x ，∵一条渐近线与直线x ﹣2y+1=0平行， ∴渐近线的斜率为，即=，得t=双曲线的方程为，得a=2，b=1，c==∴此双曲线的离心率为e=故选：B【点评】本题给出含有字母的双曲线，在其渐近线与已知直线平行的情况下求双曲线的离心率．着重考查了直线的位置关系、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．10. 4张卡片上分别写有数字1,2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A ．B ．C ．D ．参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，若∥，则******. .参考答案：412. 我校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从我校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本,则应从高二年级抽取____名学生。
启东市、如东县高三年级第一学期期末联考数学试卷(word版无答案).docx
高中数学学习材料唐玲出品江苏省启东市、如东县2016届高三年级第一学期期末联考数学Ⅰ 必做题部分一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1.设集合}21|{≤≤-=x x A ，}40|{<<=x x B ,则=B A2.某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有 名3. 如果复数i iai z (11++=是虚数单位）的实部与虚部 互为相反数，那么=||z4.函数)ln()(2x x x f -=的单调递减区间为5.如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值是6.若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1,2的两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号数的概率是7.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20,653≤≥S S ,则6a 的最大值是8.若21)2sin(,23)2cos(),2,0(,-=-=-∈βαβαπβα，则)cos(βα+的值等于 9.设向量n a )3cos ,3(sinππn n =，n b )4cos ,4(sin ππn n =，（*N n ∈）, 则=⋅∑=121)(n n n b a10.已知直线:l 02=+-m y x 上存在点M 满足与两点)0,2(),0,2(B A -连线的斜率 MA k 与MB k 之积为1-，则实数m 的取值范围是11.某工厂生产一种无盖冰淇淋纸筒为圆柱形，现一客户订制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为π273cm ，设该圆柱纸筒的底面半径为r ，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 cm 。
12.已知等比数列}{n a ，首项21=a ，公比3=q ，21781=++++k p p a a a （*,N k p k ∈>），则=+k p13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=0,10,2)(2x e x x x f x ，若函数t x x f y +-=2)(有两个零点，则实数t 的取值范围是14.对任意实数21,1>>y x ，不等式141222-+-≤x y y x p 恒成立，则实数p 的最大值为二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知函数x x x f 2sin 3cos 2)(2+=.（1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）在ABC ∆中,若C 为锐角,3,32,0)(===+BC AC B A f ,求AB 的长.16．（本小题满分14分）如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,D 是边BC 上异于C 的一个点,D C AD 1⊥.（1）求证:⊥AD 平面11B BCC ;（2）如果点E 是11C B 的中点,求证:平面//1EB A 平面1ADC .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21， 且右准线方程为4=x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016届马塘中学高三数学自主练习四一.填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案写在答题卡相应位置.） 1. 已知集合A ＝{1, 2, 3, 4}，那么A 的非空真子集的个数是 14 ． 2. 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为_____．－1 3． 函数4tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为____2π4．已知向量a 与b 的夹角是120，且满足(2,1)a =-，10a b ⋅=-则||b ＝． 5．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ． (0，94]6. 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1．若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________．－17. 已知函数11)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是____0≤m ＜48. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．129．已知函数'()2(1)ln f x f x x =-，则()f x 的极大值为 ．2ln 22-10. 已知函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在区间[1,1]-上是单调递增，则实数a 的取值范围为(2,(2,4)-⋃11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为_______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤5π4，4π3上为减函数， ∵5π4<4<4π3，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)， 又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．12.O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= ． 2913． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x <2，12f （x －2），x ≥2，则方程xf (x )－1＝0根的个数为________．解析：方程xf(x)－1＝0，显然x ＝0不是方程的解，因而原方程等价于y ＝f(x)与y ＝1x两个函数图象的交点个数，f(x)示意图如下图所示．∵ f(7)＝18<17，从而x>7时f(x)＝1x无交点，因而原方程有6个解．14．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x )的最大值为________． 解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a ＋b)＝0， f(－3)＝(1－9)(9－3a ＋b)＝0，联立，解得a ＝8，b ＝15，所以f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，即f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)．令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16，当t ＝1时，f(x)max ＝16．二．解答题. （本大题共6小题，共90分；请把答案写在答题卡相应位置.） 15. （本题满分14分） 已知函数22()sin ()cos ()sin cos ,63f x x x x x x R ππ=-+-+⋅∈。
（1）求()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值； （2）求()f x 在[0,]π上的单调增区间。
(1)1cos(2)1cos(2)133()sin 2222x x f x x π2π--+-=++ 11(sin 2cos2)2x x =+-)124x π=-+，当2242x k ππ-=π+，即3,8x k k π=π+∈Z 时，()f x1+.(2)由222242k x k ππππ--π+≤≤，即3,88k x k k πππ-π+∈Z ≤≤，又因为0x π≤≤，所以所求()f x 的增区间为3[0,],[,π]88π7π.16. （本题满分14分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =→，)2sin ,2(cos x x b -=→，且]2,0[π∈x ．（1）求→→⋅b a 及→→+b a ；（2）若→→→→+-⋅=b a b a x f λ2)(的最小值是23-，求实数λ的值． 解：(1）x xx x x x x b a 2cos )223cos(2sin 23sin 2cos23cos =+=-=⋅→→． x x xx x x b a cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos22=+=-++=+→→． （2）12)(cos 21cos 4cos 2cos 222cos )(222---=--=⋅-=λλλλx x x x x x f ．]2,0[π∈x ，1cos 0≤≤∴x ． ①当0<λ时，)(x f 在0cos =x 时取得最小值1-，不合题意． ②当10≤≤λ时，)(x f 最小值为122--λ， 令23122-=--λ，解得21±=λ（负值舍去）． ③当1>λ时，)(x f 在1cos =x 时取得最小值为λ41-，令2341-=-λ，解得85=λ，与条件1>λ不合，舍去． 因此，λ的值为21．17．（本题满分14分） 已知函数2()121x f x =-+． ⑴试判断函数()f x 的单调性和奇偶性,并证明；⑵若函数()f x 在2log [],3a 上的最大值为a ，求实数a 的值；⑶若对任意的实数21(,)33t ∈--，不等式()2(32)210f t f kt ++->恒成立，求实数k 的取值范围．解：⑴函数()f x 的定义域为R ． 设12x x <，则1212122222()()(1)(1)21212121x x x x f x f x -=---=-++++21121122(21)(21)x x x x ++-=++． ∵12x x <，∴1211x x +<+，由指数函数的性质得121122x x ++<；又1210x+>，2210x +>，∴211211220(21)(21)x x x x ++->++，即12()()f x f x >．故函数()f x 在R 上单调递减； 2222()()(1)(1)2121212112x x x x f x f x -+-=-+-=+-++++12222112x xx +=+-++ 112222021x x x+++--==+，即()()f x f x -=-． 故函数()f x 是奇函数．⑵由⑴知函数()f x 在R 上单调递减， ∴2(log )f a a =，即2log 2211211a a a a -=⇒=+++．解得1a =-±0a >，∴1a =-⑶22(32)(21)0(32)(21)f t f kt f t f kt ++->⇔+>--． 由⑴知函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递减，∴22(32)(12)3212f t f kt t kt +>-⇔+<-，即23210t kt ++<．令2()321h t t kt =++，则由题意得()h t 在21(,)33--上恒小于0，也是有22222()03()2()103332111()03()2()10333h k k h k ⎧⎧-≤⨯-+⨯-+≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪-≤⨯-+⨯-+≤⎪⎪⎩⎩． 故k 的取值范围是[2,)+∞．（第18题图）的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()2 2P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x =. （I如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB ()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+，得t 当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当t ∈时，()'0S t <，()S t 单调递减，所以当23t =时，()S t 有最大值12827为43m 时，可使填土的土方量最少. （II 相切，如图2，设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭， 则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭， 所以此时梯形OABC 的面积()1222S t t t t ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭号成立，此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少. 19. （本题满分16分）已知函数f (x )＝ax ＋bx e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围． 解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x )e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x． …………2分 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………4分 （2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x ， 当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………8分 记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x． 当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． ………10分解法二：因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x ， 当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以g (2)＝－b2e 2＞0，因此b ＜0． …………6分g ′(x )＝(1＋b x 2)e x ＋(x －b x －2)e x ＝(x －1)(x 2－b )e xx 2． 因为b ＜0，所以：当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在（1，＋∞）上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝(－1－b )e－1…………8分因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以(－1－b )e －1≥1，解得b ≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1． ……10分②解法一：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ． 由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． ………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x 22x －1．设u (x )＝2x 3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． ………16分 解法二：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ． 由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． ……12分 设u (x )＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b (x ≥1)u ′(x )＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax (x －1)－2b ≥-2b 当b ≤0时，u ′(x ) ≥0此时u (x )在[1，＋∞)上单调递增，因此u (x )≥u (1)＝－a －b 因为存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立所以只要－a －b ＜0即可，此时－1＜ba ≤0 …………13分 当b ＞0时，令x 0＝3a ＋9a 2＋16ab 4a ＞3a ＋9a 24a ＝32＞1，得u (x 0)＝b ＞0， 又u (1)＝－a －b ＜0于是u (x )＝0，在(1，x 0)上必有零点即存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立，此时ba ＞0…………15分 综上有ba 的取值范围为（－1，＋∞）． ……16分 20.（本小题满分16分） 已知函数,31)(23b x ax x x f +-+=其中b a ,为常数. （1）当1-=a 时，若函数)(x f 在]1,0[上的最小值为,31求b 的值；（2）讨论函数)(x f 在区间),(+∞a 上单调性；（3）若曲线)(x f y =上存在一点,P 使得曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互相垂直，求a 的取值范围. 解：（1）当a =-1时，f '(x )=x 2-2x -1，所以函数f (x )在[0，1]上单调减， …………2分由f (1)= 13，即13-1-1+b =13，解得b =2． ………………………4分 （2） f '(x )=x 2+2ax -1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x =-a ，因为△=4a 2+4>0，f '(x )=0有两个不等实根x 1,2=a - …………………5分 ①当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上无实根时，有,()0,a a f a -⎧⎨'⎩≤≥解得a ………………6分 ②当方程f '(x )=0在区间(]a -∞，与(a ，+∞)上各有一个实根时，有f '(a )<0，或()0,,f a a a '=⎧⎨->⎩ 解得a ≤． …………………………8分③当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上有两个实根时，有,()0,a a f a ->⎧⎨'>⎩解得a <．综上，当a ≥时，f (x )在区间(a ，+∞)上是单调增函数；当a ≤<时，f (x )在区间(a ，a -+)上是单调减函数，在区间(a -+，+∞)上是单调增函数；当a <时，f (x )在区间(a ，a -)，(a -，+∞)上是单调增函数，在区间(a -，a -+)上是单调减函数． ……10分（3）设P (x 1，f (x 1))，则P 点处的切线斜率m 1=x 12+2ax 1-1，又设过P 点的切线与曲线y =f (x )相切于点Q (x 2，f (x 2))，x 1≠x 2， 则Q 点处的切线方程为y -f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x -x 2)，所以f (x 1)-f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x 1-x 2)，化简，得x 1+2x 2=-3a ．……………………12分 因为两条切线相互垂直，所以(x 12+2ax 1-1)(x 22+2ax 2-1)= -1， 即(4x 22+8ax 2+3a 2-1)(x 22+2ax 2-1)= -1．令t =x 22+2ax 2-1≥-(a 2+1)，则关于t 的方程t (4t +3a 2+3)= -1在t ∈2[(1),0)a -+上有解， …………………14分所以3a 2+3=-4t -1t ≥4，当且仅当t =-12时，取“=”，解得a 2≥13，故a 的取值范围是3(,[,)-∞+∞． ……………………16分。