【数学】江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考(理)

（第4题）
江苏省海安高级中学2017-2018学年
高二6月月考（理）
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
． 1．已知复数z 满足i 3i z =
+（i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ．
2．设z 是复数，则下列命题中的假命题是 ▲ ．(填序号)
①若z 2≥0，则z 是实数；②若z 2<0，则z 是虚数；③若z 是虚数，则z 2≥0；④若z 是纯虚数，则z 2<0.
3．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据 3x 1，3x 2，…，3x 100 的标准差为 ▲ .
4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 5. 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的 概率为 ▲ ．
6. 设有1个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为6cm.现用直径为2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为 ▲ ．
7. 从1n +*()n ∈N 个不同小球（其中n 个白球，1个黑球）中取出m *()m n m ∈N ，
且≥个 球共有1C m n +种不同取法，还可换一个角度考虑：若取出m 个球全是白球，则有C m
n 种不 同取法，若取出m 个球中含有黑球，则有1C m n -种不同取法，从而共有1C C m m n n -+种不同 取法．因此，可以得到组合恒等式：11C C C m m m n n n -+=+．请你运用类比推理的方法，可以得到排列恒等式：1A m n +=A m n + ▲ ．
8. 化简：
1239...2!3!4!10!
++++= ▲ ．
9. 100
3)32(+的展开式中，无理数项的个数是 ▲ ．
10. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨
科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 ▲ ．(用数字作答)
11．已知公比不为1的等比数列{}n a 中，11a =，2a a =，且1
2()n n n a k a a ＋＋＝＋对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项12,,m m m a a a ＋＋按某顺序排列后成等差数列，则满足题意的k 的值为 ▲ ．
12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos sin )A αα，，(cos sin )B ββ，
是直线32y x =+ I ← 1 While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2
上的两点，则tan()αβ+的值为 ▲ ． 13. 平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===
为平行四边形内一点，且
2
2
AP =
，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则2u λ+的最大值为 ▲ ． 14. 已知函数322
276()43
x x x f x x x ++=++，0,4x ∈［］，则()f x 最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ．
（1）求证：平面ABC //平面DEF ；
（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．
16. （本小题满分14分）
己知在锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222
tan .ab
C a b c
=
+-
（1）求角C 大小；
（2）当1c =时，求22a b +的取值范围．
17. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(3)(2)4x y -++=，圆2C ：22()(5)x m y m ++++22810m m =++（m ∈R ，且3m ≠-）.
（1）设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆1C 与圆2C 的一条切线，切点分别为1T 、2T ，使得12PT PT =，试求出所有满足条件的点P 的坐标； （2）若斜率为正数的直线l 平分圆1C ，求证：直线l 与圆2C 总相交.
18. （本小题满分16分）
设()2
01231...n
n
n x a a x a x a x -=++++，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两
项，求： （1）1n
i i a =∑；
（2）1
n i i ia =∑；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
19. （本小题满分16分）
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、1
3；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价
格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产
品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.
(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.
20. （本小题满分16分）
设0()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；
（2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
2017—2018第二学期学情阶段检测
高二数学试卷（附加） (满分40分，考试时间30分钟)
1.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，A 的逆矩阵1
1031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
（1）求a ,b 的值；（2）求A 的特征值.
2. （选修4-4：极坐标与参数方程）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为
53
2cos 272sin 2
x y θθ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为圆心，且过点)2
,
2(π
的圆．
（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．
3. 在平设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；
(2)求ξ的概率分布，并求其均值E (ξ).
4. 对于给定的大于1的正整数n ，设2
012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈
{0,1,2,
,1n -}，0,1,2,
,1,i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为n A .
（1）求A 2
（2）设n A =(1)()
2
n n n f n -，求f （n ）.
参考答案
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．【答案】2 2．【答案】③ 解析 设
z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由
z 2≥0，得⎩⎪⎨
⎪⎧
ab ＝0，a 2≥b 2，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝0，|a |≥|
b |或⎩
⎪⎨⎪
⎧
b ＝0，|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实数，所以①为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z 2<0时，z 一定是虚数，故②为真命题；由于i 2＝－1<0，故③为假命题，④为真命题. 3．【答案】3 2 4．【答案】11 5. 【答案】1
10 6. 【答案】
59
7. 【答案】1
m n mA -
8. 【答案】1110!
- 9. 【答案】84
10. 【答案】分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 1
5)＝360(种). ②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 1
5)＝210(种)； ③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种).
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 11．【答案】25
-
12.【答案】3- 13.【答案】
63
14. 【答案】12. 法一 当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由2x 3+7x 2+6x
x 2+4x ＋3＝，令t ＝
2x +7+6
x
，
由x ∈(0,4］得t ∈［2＋ 3，+∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2+1＝2t +1t ．而t ＋1t
≥4，当且仅当t ＝2＋
3时，
取得等号，此时x ＝
3，所以f (x )≤12．即f (x )的最大值为1
2．法二 f (x )＝2x (x 2+4x +3)－x 2x 2+4x ＋3
＝
2x
x 2
+4x ＋3－(x
x 2+4x ＋3)2，于是令t ＝
x
x 2+4x ＋3
，所求的代数式为
2t －t 2．当x ＝0时，t ＝0；
当x ≠0时，有t ＝1x +4+
3x ≤1
23+4＝2－32，所以t ∈［0，2－32］，当t ＝2－32， 2t －t 2有最
大值12
，此时x ＝
3．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （1）因为AB //DE ，
又AB 平面DEF ， DE 平面DEF ，
所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为，
平面ABC ，
所以平面ABC //平面DEF . （2）因为是二面角C -AD -E 的平面角，
所以 又因为， 平面ABC ，
所以DA 平面ABC ， 又DA 平面DABE ，
所以平面ABC 平面DABE . 16. （1）由已知及余弦定理，得
sin 1
,sin .cos 2cos 2
C ab C C ab C =∴= ……………4分 因为C 为锐角，所以30.C =︒ …………………………………6分
⊄⊂AB
BC C =AB BC ⊂，CAB ∠CA AD BA AD ⊥⊥，
，CA AB A =AB ，CA ⊂⊥⊂⊥
17. 解（1）设点P 的坐标为00()x y , ，圆1C 与圆2C 的半径分别为12r r 、，
由题意得22221122PC r PC r -=-，
即()22222
0000(3)(2)4()(5)2810x y x m y m m m ⎡⎤⎡⎤-++-=++++-++⎣⎦⎣⎦
化简得0010x y ++=， 因为P 为坐标轴上的点，
所以点P 的坐标为(01)-, 或(10)-, . ……6分
（2）依题意可设直线l 的方程为：2(3)y k x +=-，0k >，化简得320kx y k ---=， 则圆心2(5)C m m ---, 到直线l 的距离为
2
13
1
k m k -⋅++，
又圆2C 的半径为22810m m ++， 所以，“直线l 与圆2C 总相交”等价于．．．
“m ∀∈R ，且3m ≠-，213
1
k m k -⋅+<
+22810m m ++，
即
211
k k -<
+22
2810(3)m m m +++ ①，” 记22
2810(3)m m y m ++=
+，整理得2(2)2(34)9100y m y m y -+-+-=， 当2y =时，2m =-；
当2y ≠时，判别式[]2
2(34)4(2)(910)0y y y ∆=----≥，解得1y ≥；
综上得22
2810(3)m m y m ++=
+，3m ≠-的最小值为1， 所以，①式⇐2
111
k k -<+⇔0k >，即证． …………14分
18. 解：n=7 （1）741- （2）3696
（3）第二项和第三项625103T x =，5
35103T x =
19. 思维启迪 (1)求概率分布，应先确定X 的取值，再求X 的取值对应的概率； (2)由E (X 1)<E (X 2)，找出关于p 的不等式，即可求出p 的范围. 解 (1)X 1的概率分布为
X 1 1.2 1.18 1.17 P
16
12
13
E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×1
3＝1.18.
由题设得X ～B (2，p )，即X 的概率分布为
X 0 1 2 P
(1－p )2
2p (1－p )
p 2
故X 2的概率分布为
X 2 1.3 1.25 0.2 P
(1－p )2
2p (1－p )
p 2
所以E (X 2)＝1.3×(1－p )2＋1.25×2p (1－p )＋0.2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.
(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1，所以当E (X 1)<E (X 2)时，
p 的取值范围是0<p <0.3.
20. 解：（1）当1m =时，1
100
111(1)(1)(1)111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=
+++∑∑，， 又1
1(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，
，. （2）0
()(1)n
k k
n
k m P n m C m k ==-+∑，
1
1
1111(1)()
(1)n k k k n n n k m m
C C m k m k
----==+-++-++∑
1
1
1
1
1
11(1)(1)n n
k
k
k k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑
1
1
1
(1,)(1)n
k k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑ 0(1,)(1)n k k
n
k m m P n m C n m k
==-+-+∑
(1,)(,)m
P n m P n m n
=-+
即()(1)n
P n m P n m m n
=
-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n m
n m P n m P m n m C +==+，
，，
又()n
n m Q n m C +=，，所以()()1P n
m Q n m ⋅=，，．
2017—2018第二学期学情阶段检测
高二数学试卷（附加） (满分40分，考试时间30分钟)
1.解：（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．
解得a ＝1，b ＝－2
3．
（2）由（1）得A ＝⎣⎡
⎦⎤3021，
则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．
令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3． 2. 解：（1）⊙M ：22537()()422x y -
+-=，(3,)3
π
对应直角坐系下的点为33(,)22, (2,)2
π
对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：2233()()122x y -+-= （2）PQ=MN -3=431-=.
3. 解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有
8C 23对相交棱，因此
P (ξ＝0)＝8C 23
C 212＝8×366＝411
.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6
C 2
12＝111
， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11，
所以随机变量ξ的概率分布是
ξ 0 1 2 P (ξ)
4
11
611
111
因此E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋2
11.
4. 解：⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =，
故满足条件的x 共有4个，
分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,
,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，
由分步计数原理可得0121,,,
,n a a a a -,n a 的不同取法共有
(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅
⋅-=-，
即满足条件的x 共有(1)n
n n -个，
当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法，
故n A 中所有含0a 项的和为2
1
(1)(0121)(1)2
n n n n n n
n --+++
+--=；
同理，n A 中所有含1a 项的和为2
1
(1)(0121)(1)2
n n n n n n
n n n --+++
+--⋅=⋅；
n A 中所有含2a 项的和为21
2
2
(1)(0121)(1)2n n n n n n
n n n --+++
+--⋅=⋅；
n A 中所有含1n a -项的和为21
1
1(1)(0121)(1)2
n n n n n n n n
n n
n ----+++
+--⋅=⋅；
当n a 分别取1,2,
,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，
故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n n
n
n
n n n n n n +-++
+-⋅=⋅；
所以n A =
2
121
(1)(1)(1)22
n n n n n n n n n n n
n +---+++++⋅；
21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2
n n n n n n n +-=+-
故1()1n n
f n n n +=+-．。