本构关系

分析计算作了某些假定，造成难以完全满足各单元之间的变形协 调，特别是难以满足边界约束条件。因此，也不一定要求从微观 上严格满足变形协调，但在宏观上，即整体上，仍能满足变形协 调条件，使结构分析的结果与实际情况不致有较大的出入。 本构关系则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如 材料的应力-应变（σ-ε、τ-γ）或构件截面的弯矩-曲率、轴力-伸 长（缩短）、扭矩-转角等，……之间的关系，统称为本构关系。 各种材料的、不同形式和体系的结构，在力学分析时所用的 前二类方程原则相同、数学形式相近，而本构关系可有很大差 别。例如，本构关系有弹性的、塑性的，还有与时间相关的黏 弹性、黏塑性的，与温度相关的热弹性、热塑性等。每一种特 定的本构关系都可发展成为一个相对独立的力学分支，如弹性 力学、塑性力学、黏弹（塑）性力学，热弹（塑）性力学等。 近期发展的断裂力学、损伤力学等，也各有相应的本构关系。 由于本构关系的不同，这些力学分支各有独特的分析思路和求 解方法，并获得相应的计算结果。
这就是众所熟知的广义虎克定律。其中包含了3个弹性常数： E — 弹性模量（N/mm2）； ν— 横向变形系数、即泊松比； G— 剪切模量（N/mm2）。 且由于
E G (2) 2(1 )
独立的弹性常数只有2个，一般以E和ν表示。
将式（1）合并
1 E

E 1 E


E 0 11 22 33 12 0 23 0 31 1 G
1 E E 11 E 11 1 22 , 22 E E E 33 33 1 E E E
12 12 1 23 23 (1) G 31 31
钢筋混凝土是一种特殊的组合结构材料。除了钢筋 （材）和混凝土本身的材料本构关系因所用材料的品 种和强度等级而不同外，还因二者的配合和相对比例、 如面积比、强度比、弹性模量比、……等的变化，而 又有更复杂的组合本构关系，如平均应力-应变、截面 弯矩-平均曲率、……等。将这些钢筋混凝土的特殊本 构关系引入结构的非线性分析，完全有理由称之为钢 筋混凝土力学。事实上，这已是混凝土结构和构件分 析的重要发展方向。 混凝土在简单应力状态下的本构关系，即单轴受压和 受拉时的应力-应变关系比较明确，可以相当准确地在相 应的试验中测定，并用合理的经验回归式加以描述。即 来自百度文库如此，仍然因为混凝土材性的离散、变形成分的多样 和影响因素的众多等而在一定范围内变动。
◆与时间有关的混凝土受力性能，如定应力或变应力作用下的 徐变（松弛）、收缩、……；
◆钢材（筋）的应力-应变关系，和反复应力作用的 Bauschinger效应；
◆钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（τ-s）关 系，包括单调和反复荷载作用； ◆混凝土受拉开裂后，沿裂缝面有骨料咬合作用；与 裂缝相交的钢筋，纵向有受拉刚化效应，横向有销栓作 用； ◆横向约束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和钢管 混凝土等的应力-应变关系； ◆构件（截面）在单调荷载作用下的弯矩-曲率关系， 在（地震）反复荷载作用下的弯矩-曲率恢复力模型；
1、各向同性本构模型
结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量： 即正应力σ11、 σ22 、 σ33 剪应力τ12=τ21、 τ23=τ32 、 τ31=τ13 。 相应地也有6个应变分量： 为正应变ε11、 ε22 、 ε33 剪应变γ12=γ21、 γ23=γ32 、 γ31=γ13 假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应 力-正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：
4.8本构关系
4.8.1本构关系的概念 一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析， 二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正 常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程， 即： ⑴力学平衡方程； ⑵变形协调条件； ⑶本构关系。 力学平衡方程，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载 的作用、分析的准确解或近似解都必须满足，这是混凝土结构 进行结构分析最基本的条件。 变形协调条件，是几何或机动方程。结构是连续体，在荷载 作用下会发生变形和位移，但仍应为连续体。几个部分的变形 应该是协调的，在边界、支座、节点等处仍能互相吻合，这就 是满足变形协调条件。但有时为对结构计算简图作某些简化，
所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和 理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构 关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要 和常用的本构关系有： ◆混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；
◆混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；
◆多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压 卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳）， 快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温 ＜0oC）状况下的加卸载，……；
④其它力学理论类模型。 (非弹性模型) 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样， 简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个 通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精 度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最广泛的还是
源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性 类本构模型。
各向同性的线弹性本构模型，是迄今发展最成熟，应用最广 泛的材料本构模型。经典的弹性力学就是以此模型作为物理基 础，对许多二维、三维结构，包括扳、壳结构等的分析给出了准 确的解析解。现今，分析二维和三维结构最常用的有限元方法， 也以此本构模型为基础推导基本公式，并编制成多种通用的或专 用的结构分析程序，例如ANSYS、 SAP、ADINA等，已在实际 工程中广为应用，卓有成效。
1 1
0 1 2 2
0 1 2 2 0
0 0 1 2 2
0
0 0
11 22 33 (3) 12 23 31
这就是各向同性材料的线弹性本构模型。对于任一种 材料，只需测 定或给定其弹性模量E和泊松比ν，即可 确定其全部本构关系。
混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复 杂得多。3个方向主应力的共同作用，使各方向的正应 变和横向变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝 的出现和发展程度。而且，混凝土多轴抗压强度的成
倍增长和多轴拉／压强度的降低，扩大了混凝土的应 力值范围，改变了各部分变形成分的比例，出现了不 同的破坏过程和形态。这些都使得混凝土多轴变形的
4.8.4本构关系（模型）的分类
在结构设计计算和有限元分析中须引入混凝土的多轴本构关 系，许多学者进行了大量的试验和理论研究，提出了多种多样 的混凝土本构模型。根据这些模型对混凝土材料力学性能特征 的概括，分成4大类： ①线弹性模型； (弹性模型)
②非线（性）弹性模型； (弹性模型) ③塑性理论模型； (非弹性模型)
11 E E 1 22 33 E E E 12 23 31 0

1 G 0 0
0 1 G 0
将式（1）合并后求逆，即得刚度矩阵表示的应力-应变 关系式：
11 22 E 33 12 (1 )(1 2 ) 23 31 1
4.8.5线弹性本构关系
这是最简单、最基本的材料本构关系。它假设材料的各方向 应力与相应应变符合线性比例关系，加载和卸载沿同一直线往 返变化，完全卸载后无残余应变如图。
因而应力和应变有确定的唯 一关系，其比值称弹性常数， 或弹性模量。考虑材料各方向 性能的异同，可分别建立各向 异性的、正交异性的或各向同 性的线弹性本构模型。
4.8.2非线性分析中的各种本构关系
结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离 散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为 二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸 不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全 长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计 算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度 上．当然最基本的是材料一点的应力-应变关系，由此决定或推 导其他各种本构关系。 各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短 时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力 条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲 击作用、高温或低温状况、……等，混凝土的性能和本构关系随 之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门 的本构关系。
◆二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系， 如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界 面的联结单元模型，……； ……。
4.8.3确定本构关系（模型）的方法
结构分析中所需的某种计算单元的本构关系，研究人员可通 过试验的、理论的、或半经验半理论的方法，建立多种具体的 本构模型。例如，混凝土的多轴本构（应力-应变）关系可分作 线弹性、非线（性）弹性、塑性理论或其他力学理论为及其础 的多种模型。其中较实用的非线（性）弹性模型，又细分为各 向同性、正交异性和各向异性类，同一类中又有数种不同的具 体数学模型。 同一种本构关系出现多种不同的具体模型，且形式有繁有简， 或精或粗，相差悬殊，其计算结果也不尽相同。这种情况既因 为混凝土材性的复杂多变和离散性较大，也反映了研究者学术 观点和研究方法的不同。许多模型各有利弊和适用范围，难以 求得统一。因此，在设计和分析结构时应选择合理和适用的本 构模型。
变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多轴试验 方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了应变 量测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。
有限元方法和计算机技术的发展为混凝土结构和构 件的非线性分析创建了便利条件。任何类型、体系和 受力状况的结构或其局部都可依靠非线性分析方法求 解。但是，计算结果的可靠性和准确度主要取决于所 采用的钢筋混凝土各项非线性本构关系是否准确、合 理。因此，建立或选择本构关系是结构非线性分析的 关键问题，成为近20年混凝土结构的一个重要研究方 向。确定了合适的本构关系、进行非线性的全过程分 析，有可能改变目前的钢筋混凝土结构的内力弹性分 析和截面承载力经验性计算等不尽理想的景况，走向 更完善、准确的理论解方向。
确定本构模型有三种方法： ⑴用与工程结构相同的混凝土材料，专门制作足量的试件、 通过试验测定和分析后确定； ⑵选定适合该结构的合理本构模型形式，其数学表达式中所 需的参数值由少量试验加以标定； ⑶采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学） 模型。
为了保证本构关系的可靠性，上述方法按优选次序排列。由 于混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工艺和质量控制水 平出入较大，使混凝土的实际力学性能有较大的变异性和离散 度。结构分析所需的各项本构关系应根据建筑物的重要性、结 构体系的类型、要求的计算精度、实际施工水平，和具备的试 验条件等慎重地加以选择。
1 E E 11 E 11 1 22 , 22 E E E 33 1 33 E E E
12 12 1 23 23 (1) G 31 31