导数本章复习(例题及知识点)
导数的知识点和典型例题
导数的知识点和典型例题一、导数的定义和概念导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的定义如下：设函数y=f(x)，若极限lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]存在，则称此极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]其中，x0为自变量的一个取值。
二、导数的求法1. 利用定义式直接求解。
2. 利用基本求导公式，例如：（1）常数函数y=C（C为常数），则y'=0；（2）幂函数y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数y=a^x，则y'=a^xlna；（4）对数函数y=loga x，则y'=1/xlna；（5）三角函数和反三角函数等。
三、导数的性质1. 导数存在的充分必要条件是原函数在该点处可导。
2. 导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性。
3. 导数具有介值定理和零点定理。
四、典型例题1. 求解以下函数在给定点处的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，x=1；(2) y=sin x+cos x，x=π/4。
2. 求解以下函数在给定区间的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，[0,1]；(2) y=sin x+cos x，[0,π/4]。
3. 求解以下函数的导数：(1) y=e^(ax)，其中a为常数；(2) y=loga x，其中a为常数且a≠1。
五、总结导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。
求解导数可以利用定义式或基本求导公式。
导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性等性质。
在典型例题中，需要注意区间和常数等问题。
掌握导数的知识点和求解方法对于学习微积分和其他相关学科都具有重要意义。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
导数知识点总结复习
导数知识点总结复习导数知识点总结复习导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。
例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。
3考点二：导数的几何意义。
例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则f(1)f(1)。
2，3)处的切线方程是。
例3.曲线yx32x24x2在点(1点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C：yx33x22x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。
点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。
32点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
第1页考点五：函数的极值。
例6.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。
（1）求a、b 的值；（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数fx的极值步骤：①求导数f"x；②求f"x0的根；③将f"x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f"x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。
考点六：函数的最值。
例7.已知a为实数，fxx24xa。
求导数f"x；（2）若f"10，求fx在区间2,2上的最大值和最小值。
点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。
第2页考点七：导数的综合性问题。
例8.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数（1）求a，b，c的值；f"(x)的最小值为12。
(完整版)导数知识点汇总
导数1.导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数0'()f x ，就是曲线()y f x =过点0x 的切线斜率.∴过点00(,)x y 的切线方程为000'()()y y f x x x -=-0'()0f x =时，切线与x 轴 .0'()0f x >时，切线的倾斜角为 .0'()0f x <时，切线的倾斜角为 .0'()f x 不存在时，切线 .2.基本初等函数的导数公式：3.导数运算法则：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+2()'()()()g'()'()()f x f x g x f x x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦4.复合函数求导：{[()]}''[()]'()f g x f g x g x =⋅:(sin 2)'2cos 2eg x x = 252424[(1)]'5(1)210(1)x x x x x +=+⋅=+5.导数与函数单调性、极值的关系. ① '()0()'()0()f x f x f x f x ⎧>⇒↑⎪⎨<⇒↓⎪⎩()'()0()'()0f x f x f x f x ⎧↑⇒≥⎪⎨↓⇒≤⎪⎩② 若0'()0,f x =且在0x 左边'()0f x >，右边'()0f x <，则0x 是()f x 的极大值点在0x 左边'()0f x <，右边'()0f x >，则0x 是()f x 的极小值点★ 0x 为极值点 0'()0f x =题型一：导数的几何意义【基础题】1.曲线y =在点(4,2)P 处的切线方程是2.已知3y x =在点P 处的切线斜率为3，则P 的坐标为3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =4.已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a =5.若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标为6.若函数()f x 的导数为'()sin f x x =-，则函数图象在点(4,(4))f 处的切线倾斜角为（ ）.A 90︒ .0B ︒ .C 锐角 .D 钝角【提高题】1.设点P 是曲线211ln 42y x x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是2.曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）1.3A 1.2B2.3C .1D3.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则P 到直线2y x =-的距离的最小值是变式：函数2()x f x e =的图象上的点到直线240x y --=的距离的最小值是题型二：导数与函数单调性、极值、最值【基础题】1.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是2.函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =3.设2()ln f x a x bx x =++，在121,2x x ==处有极值，则a = ，b = .4.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是5.若函数x y e ax =+有大于0的极值点，则a 的取值范围是6.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,,M m 则【提高题】1.直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是2.若函数3()26f x x x k =-+在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围.3.已知函数()(1)ln 1,f x x x x =+-+若'2()1xf x x ax ≤++恒成立，求a 的取值范围.4.已知函数21()2,f x ax x =-若()f x 在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围.变式：函数3y ax x =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是5.已知函数2()ln (0),f x x ax x a =-->若函数()f x 是单调函数，求a 的取值范围.题型三：与函数性质有关1.若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2,f =则'(1)f -=2.已知函数3()f x x x =+对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值范围是3.已知对任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且0x >时，''()0,()0,f x g x >>则0x <时（ ）''.()0,()0A f x g x >> ''.()0,()0B f x g x ><''.()0,()0C f x g x <> ''.()0,()0D f x g x <<4.若函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(2)f x f x =-，且当1x ≠时其导函数'()f x 满足(1)'()0,x f x ->若12,a <<则（ ）2.(log )(2)(2)a A f a f f << 2.(2)(log )(2)a B f f a f <<2.(2)(2)(log )a C f f f a << 2.(log )(2)(2)a D f a f f <<5.设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0,f x g x f x g x +>且(3)0,g -=则不等式()()0f x g x <的解集为（ ）.(3,0)(3,)A -+∞ .(3,0)(0,3)B -.(,3)(3,)C -∞-+∞ .(,3)(0,3)D -∞-6.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，不等式()'()0f x xf x +>恒成立，0.10.122112(2),(log 2)(log 2),(log )(log )44a fb fc f ππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）.Aa b c >> .B c b a >> .C b a c >> .D a c b >>题型四：图象题 1.函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有 个极小值点.2.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3.设曲线21y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）4.已知函数'()y xf x =的图象如右图所示，则()y f x =的图象大致是（ ）5.已知()y f x =在(0,1)内的一段图象是图象所示的一段圆弧，若1201,x x <<<则（ ）1212()().f x f x A x x < 1212()().f x f x B x x > 1212()().f x f x C x x = .D 不能确定 6.若函数2()f x x bx c =++的图象顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）链接高考：1.(2015,12)设函数'()f x 是奇函数()f x 的导函数，(1)0,f -=当0x >时，'()()0,xf x f x -<则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）.(,1)(0,1)A -∞- .(1,0)(1,)B -+∞.(,1)(1,0)C -∞-- .(0,1)(1,)D +∞2.(2015,21)设函数2().mx f x e x mx =+-（1）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（2）若对于任意12,[1,1],x x ∈-都有12|()()|1,f x f x e -≤-求m 的取值范围.3.(2015,21)已知函数31(),()ln .4f x x axg x x =++=- （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0),h x f x g x x =>讨论()h x 零点的个数.4.(2014,7)设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2,y x =则a =（） .0A .1B .2C .3D5.(2014,12)设函数(),xf x m π=若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()],x f x m +<则m 的取值范围是 （ ）.(,6)(6,)A -∞-+∞ .(,4)(4,)B -∞-+∞.(,2)(2,)C -∞-+∞ .(,1)(1,)D -∞-+∞6.（2014,21）已知函数()2.x x f x e ex -=-- （1）讨论()f x 的单调性.（2）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0,g x >求b 的最大值,（3）已知1.4142 1.4143,<<估计ln 2的近似值（精确到0.001）7.（2014，11）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一零点0,x 且00x >，则a 的取值范围是8.（2014,21）设函数1()ln ,x xbe f x ae x x -=+曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1) 2.y e x =-+（1）求,.a b（2）证明：() 1.f x >9.（2013,21）设函数2(),()().xf x x ax bg x e cx d =++=+若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线4 2.y x =+（1）求,,,a b c d 的值.（2）若2x ≥-时，()(),f x kg x ≤求k 的取值范围.。
导数的应用与极值例题和知识点总结
导数的应用与极值例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数无疑是一个极为重要的工具。
它不仅能够帮助我们描绘函数的变化趋势，还能在解决各种实际问题中发挥关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨导数的应用与极值，通过具体的例题来加深对相关知识点的理解。
一、导数的定义与几何意义导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处可导，那么其导数记为＄f'（x_0)＄，表示函数在＄x_0$ 处的切线斜率。
从几何意义上看，导数就是函数图像在某一点处切线的斜率。
当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减；当导数等于零，可能是函数的极值点。
二、导数的计算对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，都有相应的求导公式。
例如，对于幂函数＄y ＝ x^n$ ，其导数为＄y' ＝ nx^｛n 1}＄；对于指数函数＄y ＝ e^x$ ，其导数仍为＄y' ＝ e^x$ ；对于对数函数＄y ＝＼ln x$ ，其导数为＄y' ＝＼frac{1}｛x}＄。
三、利用导数求函数的单调性例 1：求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调区间。
首先，对函数求导：＄f'（x) ＝ 3x^2 6x$令＄f'（x) ＝ 0$ ，即＄3x^2 6x ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 0$ 或＄x ＝2$ 。
当＄x ＜ 0$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增；当＄0 ＜ x ＜ 2$ 时，＄f'（x) ＜ 0$ ，函数单调递减；当＄x ＞ 2$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增。
所以，函数的单调递增区间为＄（＼infty, 0)＄和＄（2, ＋＼infty)＄，单调递减区间为＄（0, 2)＄。
四、利用导数求函数的极值例 2：求函数＄g(x) ＝ 2x^3 9x^2 ＋ 12x 3$ 的极值。
对函数求导：＄g'（x) ＝ 6x^2 18x ＋ 12$令＄g'（x) ＝ 0$ ，即＄6x^2 18x ＋ 12 ＝ 0$ ，化简得＄x^2 3x＋ 2 ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 1$ 或＄x ＝ 2$ 。
导数基础知识点汇总及经典习题解答
导数导数基础：1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.常用性质：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =A )('x f y =BA BB A ⊇)(x f y =0x 0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x fy y -=-4. 求导数的四则运算法则：（为常数）②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.（为常数）（）.5. 复合函数的求导法则：或6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c )0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 0'=C Cxx cos )(sin '=2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x Rn ∈xx sin )(cos '-=2'11)(arccos x x --=xx 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x xx e e =')(aa a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arc )()())(('''x u f x f x ϕϕ=xu x u y y '''⋅=)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =注：①是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即0时f （x ） = 0，同样是f （x ）7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；例1. 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．00)( x f 32x y =),(+∞-∞0)( x f 0)( x f 0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f6．函数x xy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2e D ．3102．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f xg x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ）21<b5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e2．若'0()3fx =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 1.(2005全国卷Ⅰ文)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 23．（2005广东）函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）4.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x =+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g()(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（ ）A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0 6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12C ．12-D ．1-导数答案。
导数的定义与几何意义例题和知识点总结
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
(完整版)导数知识点与基础习题(含答案),推荐文档
A．6 B．18 C．54 D．81
4、曲线 y 1 在点 (1 , 2) 处的切线斜率为_________，切线方程为 x2
__________________．
5、已知函数 f (x) ax2 2 ，若 f (1) 1 ，则 a __________．
6、计算：
（1） f (x) 5x 7 ，求 f (3) ；（2） f (x) 2 x2 2 ，求 f ( 1) ；
x) x
f
(x0 )
2. 导数的几何意义: 当点 Pn 趋近于 P 时，函数 y f (x) 在 x x0 处的导数就是切线 PT
的斜率 k，即
k
lim
x0
f
(xn ) f (x0 ) xn x0
f
(x0 )
3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导
9、已知 y 1 sin 2x sin x ，那么 y 是（ ） 2
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数
1
10、曲线 y e2 x 在点 (4, e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． 9 e2 B． 4e2 2
4、（2009 全国卷Ⅱ理）曲线 y x 在点 (1,1) 处的切线方程为____________________． 2x 1
5、曲线 y x3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形面积为__________．
6、求下列函数的导数：
（1）
y
(1)x 3
log3
x
；（2）
1
x3
B．
5.2导数的运算 (解析版)
5.2导数的运算知识点一.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)知识点二.导数的运算法则（1）［f （x ）±g （x ）］′＝f′（x ）±g′（x ）；（2）［f （x ）·g （x ）］′＝f′（x ）g （x ）＋f （x ）g′（x）；知识点三.复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法链接【常用结论】（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．（2）函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．函数导函数函数导函数y ＝c(c 是常数)y′＝0y ＝sin x y′＝cos_x y ＝x α(α为实数)y′＝αx α－1y ＝cos x y′＝－sin_xy ＝a x (a>0，a≠1)y′＝a x lna 特别地(e x )′＝e xy ＝log a x(a>0，a≠1)y′＝1xln a 特别地(ln x)′＝1x【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与Inx”，“a x’与log a x”，“sinx与cosx”的导数区别.【例题1】（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.(1)y=x12；(2)y=1x4；(3)y=3x；(4)y=ln x；(5)y=cos x.【答案】(1)y′=12x11(2)y′=−4x5(3)y′=3x ln3(4)y′=1x(5)y′=−sin x【分析】根据函数求导公式即可得出答案.【详解】（1）y′=x12′=12x11（2）y′=1x4=x−4′=−4x−5=−4x5（3）y′=3x=3x ln3（4）y′=ln x′=1x（5）y′=cos x′=−sin x【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)y=1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【答案】(1)y'=12x11(2)y'=−4x5(3)y'=35x−25(4)y'=3x ln3(5)y '=1x ln5【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.(1)y '=(x 12)'=12x 11(2)y '=(1x 4)'=(x −4)'=−4x −5=−4x 5；(3)y '=(5x 3)'==35x −25；(4)y '=(3x )'=3x ln3；(5)y '=(log 5x )'=1x l n 5【变式1-1】2.求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈（4）2()3ln f x x x x=-+-（5）sin y x =（6）11x y x +=-【答案】（1）2()68f x x x=-+（2）2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.(1)y =x 3−2x +3；(2)y =ln xx.【答案】(1)y ′=3x 2−2(2)y ′=1−ln xx 2【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可.【详解】（1）y =x 3−2x +3，则y ′=3x 2−2.（2）y =ln xx，y ′=1x⋅x −ln x x 2=1−ln xx 2.【变式1-1】4.求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x=++，1x =；（2）2cos 1sin x x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y xx -'=-++，12x y ='=（2）21sin x y x++'=，21ln2x y π==+'【变式1-1】5.给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由求导公式知②③④正确．题型2复合函数求导【例题2】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数f x =3x1.6−2x −1的导函数为（）A ．f ′x =4.8×3x 0.6−2B ．f ′x =1.6×3x 0.6−2C ．f ′x =4.8×3x 0.6−3D ．f ′x =1.6×3x0.6−3【答案】A【分析】由复合函数求导法则进行求解.【详解】f ′x =1.6×3×3x 1.6−1−2=4.8×3x0.6−2．故选：A【变式2-1】1．（全国·高考真题（理））设y =x ln 1+x 2，求y ′．【答案】y ′=ln(1+x 2)+2x 21+x 2【分析】根据导数的运算法则和复合函数的求导原则直接计算能够求出y ′.【详解】函数y =ln 1+x 2可以看作函数y =ln u 和u =1+x 2的复合函数，根据复合函数求导法则有y x′=y u′⋅u x′=ln u′⋅1+x 2′=1u⋅2x =2x1+x 2，ln 1+x 2′=2x1+x 2，函数y =x ln 1+x 2，则有y ′=x ′⋅ln 1+x 2+x ⋅ln 1+x 2′=ln 1+x 2+2x 21+x 2.【变式2-1】2．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．（1）y =e x cos x +x −t 2（t 为常数）；（2）y =ln(2x +5)3+ln xx.【答案】（1）y ′=e x (cos x −sin x )+2）y ′=62x +5+1−ln xx 2【分析】（1;（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数【详解】（1）由y =e x cos x +x −t 2可得y ′=e x cos x −e x sin x =e x cos x −sin x +（2）由y =ln(2x +5)3ln xx=3ln(2x +5)+ln xx 可得y ′=3×22x +5+1x ⋅x −ln x x 2=62x +5+1−ln x x 2【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数y =e −2x sin 5x +【答案】y ′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【分析】根据导数的运算法则计算．【详解】y ′=(e −2x )′sin(5x +π4)+e −2x [sin(5x +π4)]′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数(1)y =2x 4−x 2−x +3；(2)y =x 3−1sin x ；(3)y =cos 2x +3−log 2x ；(4)y =x ⋅e 3x +ln x 2+x .【答案】(1)y ′3−1(2)y ′(3)y ′=−2sin 2x +3−1xln2(4)y ′=3x +1e 3x+2x +1x 2+x【分析】（1）（2）利用导数运算法则可求得原函数的导数；（3）（4）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数.（1）解：y ′=8x 3−2x −1.（2）解：y ′（3）解：y ′=cos 2x +3′−1x ln2=−2sin 2x +3−1x ln2.（4）解：y ′=x ′e 3x +x ⋅e 3x′+ln x 2+x′=3x +1e 3x +2x +1x 2+x .题型3求导数的值【例题3-1】（2022·江苏·连云港市赣马高级中学）已知f ′x 是函数f x =x cos x 的导函数，则f '=（）A．−π2B．π2C．−1D．1【答案】A【分析】根据函数求导法则，求出导函数，代入可得答案.【详解】由题意f′x=cos x−x⋅sin x，∴f'=0+π2⋅−1=−π2．故选：A.【变式3-1】1．（2022·上海市行知中学高二期末）已知f(x)=6x sin x，则f′=________.【答案】6【分析】利用求导公式求导，从而可得出答案.【详解】解：f′(x)=6sin x+6x cos x，则f′=6.故答案为：6.【变式3-1】2．（2021·宁夏·海原县第一中学）设函数f(x)=x2，f′(x0)=2，则x0=（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.【详解】∵f′x=2x，∴f′x0=2x0=2，解得x0=1.故选：B.【变式3-1】3．（2022·江苏连云港·高二期末）已知f(x)=ln x x，若f′(x0)=1−ln24，则x0=（）A．12B．2C．1e D．e【答案】B【分析】由f(x)，求出f′(x)，代入f′(x0)求值.【详解】由f(x)=ln x x，有f′(x)==1−ln x x2．=1−ln24，解得x0=2．∴f′(x0)=1−ln x0x02故选：B．【变式3-1】4．（2022·上海·格致中学高三期中）设f x=2x，则方程f′x=ln4的解集为______.【答案】{x|x=1}或{1}【分析】解方程2x ln2=ln4即得解.【详解】解：由题得2x ln2=ln4,∴2x ln2=2ln2,∴2x=2,∴x=1.所以方程的解集为{x|x=1}.故答案为：{x|x=1}【变式3-1】5．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（文））设函数f(x)=e x x+a.若f'(1)=e4，则a＝________．【答案】1【分析】求导，得到f′x=f′1=e4列方程，解方程即可得到a.【详解】f′x=f1=e4，解得a=1.故答案为：1.【例题3-2】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数f x的导函数为f′x，且满足f x=2f′1ln x+2x，则f e=（）A．0B．−1C．−2D．−4+2e【答案】D【分析】对f x求导，得到f′x=+2，令x=1，得到f′1=−2，即可得到f x=−4ln x+ 2x，然后求f e即可.【详解】由f x=2f′1ln x+2x，得f′x=+2，令x=1，则f′1=+2，解得f′1=−2，所以f x=−4ln x+2x，f e=−4+2e.故选：D.【变式3-2】1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x+ f′0cos x−1，则f0=（）A．−1B．0C．1D．2【答案】C【分析】求得f'(x)，通过赋值求得f'(0)，再求f(0)即可.【详解】因为f x=sin2x+f′0cos x−1，故可得f'(x)=2cos2x−f'(0)sin x，令x=0，则f'(0)=2，故f x=sin2x+2cos x−1，则f0=1.故选：C.【变式3-2】2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数f x的导函数为f′x，且溥足f(x)=3xf′(2)−2ln x，则f1＝______．【答案】32##1.5【分析】首先对函数求导，将x=2代入导函数中，求解f′2的导函数值，进而求得f x= 3x−2ln x，最后代入x=1求解f1即可.2【详解】由题意得，f′(x)=3f′(2)−2x，∴f′(2)=3f′(2)−1，解得f′(2)=12，∴f(x)=32x−2ln x，∴f(1)=32．故答案为：32【变式3-2】3．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数f x的导数为f′x，且满足f x= e x−2f′0sin x+1，则f=__________.【答案】eπ2+13【分析】求导，令x=0可求得f′(0)，然后可得.【详解】因为f′x=e x−2f′0cos x所以f′0=e0−2f′0cos0，解得f′0=13所以f=eπ2−23sinπ2+1=eπ2+13.故答案为：eπ2+13【变式3-2】4．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x−f'⋅cos x，则f'=__________.【分析】对原函数求导得f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，得到方程，解出即可.【详解】f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，则f'2cosπ3+f'⋅sinπ6，即f'=1+12f'=2.【变式3-2】5．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若f x=3x2+2x⋅f′1，则f′0=__________.【答案】−12【详解】计算可得f x=3x2+2x⋅f′1，可得f′1=−6，即可得f′x=6x−12，将x=0代入计算可得答案.【解答】解：根据题意，f x=3x2+2x⋅f′1，则f′x=6x+2f′1，可得f′1=6+2f′1，解得f′1=−6，则f′x=6x−12，则f′0=−12，故答案为：−12.【例题4-1】（2022·河南·上蔡县衡水实验中学）函数x x12,0的切线方程为（）A．y=2x−4B．y=2x+1C．y=2x−3D．y=2x−1【答案】A【分析】求出函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率，即可写出切线方程.【详解】对函数f x=x ln x−1求导，得f′x=ln x−1+x x−1，所以f′2=ln1+21=2，即函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率为2，所以函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线方程为y=2x−2，即y=2x−4.故选：A【变式4-1】1．（2022·四川泸州·高二期末（理））曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为（）A．−2πB．2πC．−4π2D．1π【答案】B【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解.【详解】因为y=sin(2x)x，所以y′=2x cos(2x)−sin(2x)x2，y′|x=π=2πcos(2π)−sin(2π)π2=2π，所以曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为2π.故A，C，D错误.故选：B.【变式4-1】2．（2022·湖南·长沙外国语学校高三阶段练习）已知曲线y=ax b在点−1,a 处的切线方程为8x−y+6=0，则（）A．a=2，b=4B．a=−2，b=4C．a=−2，b=1D．a=8，b=−1【答案】B【分析】将点−1,a代入切线方程，求出a=−2，再求导，利用导数的几何意义得到b=4.【详解】将−1,a代入8x−y+6=0，得a=−2，易知直线8x−y+6=0的斜率为8．因为y′=abx b−1，所以−2b⋅−1b−1=8，所以b=4．故选：B．【变式4-1】3．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线y=2x+a e x在点0,a 处的切线方程为y=x+b,则a+b=（）A．2B．e C．3D．2e【答案】A【分析】根据导数的几何意义,求出导函数y′=−2x+2−ae x,令x=0结合切线的斜率求出a,再将点坐标代入切线方程求出b即可得到结果.【详解】根据导数的运算公式y′==−2x+2−ae x,当x=0时,y′=2−a,∴2−a=1,即a=1.∵0,1满足方程y=x+b,即b=1,∴a+b=2.故选:A.【变式4-1】4．（2022·广东·高三阶段练习）函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线与直线a−2x+y−2=0垂直，则实数a的值为（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.【详解】函数f x=x ln x+2，求导得：f′x=ln x+2+x x+2，则f′−1=−1，即函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线斜率为−1，因为切线与直线a−2x+y−2=0垂直，有2−a×−1=−1．所以a=1.故选：C【变式4-1】5．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为（）A．3x−y−6=0B．3x+y−6=0C．x−y−2=0D．x+y−2=0【答案】B【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】令f(x)=4x−x22=0，则x3=8,∴x=2，即f(x)=4x−x22的零点为x=2，又f′(x)=−4x2−x,∴f′(2)=−3，而f(2)=0，故函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为y−0=−3(x−2)，即3x+y−6=0，故选：B.【变式4-1】6．（2022·陕西渭南·一模（理））已知曲线y=12x2−ln2x在某点处的切线的斜率为−32，则该切线的方程为______.【答案】12x+8y−7=0【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.【详解】设切点坐标为(x0,y0)（x0>0），由y=12x2−ln2x，得y′=x−1x（x>0），因为曲线y=12x2−ln2x在(x0,y0)处的切线的斜率为−32，所以x 0−1x 0=−32，解得x 0=−2（舍去），或x 0=12，所以y 0=12×−ln 2=18，所以切线方程为y −18=−12x +8y −7=0，故答案为：12x +8y −7【变式4-1】7．（2022·江苏扬州·高三期中）已知直线y =kx 是曲线y =log 2x 的切线，则实数k =________．【答案】1eln2【分析】设切点坐标x 0,log 2x 0，对函数求导，代入切点横坐标得切线的斜率，又因为直线过原点，由切点和坐标原点可以表示斜率，解方程得k 的值.【详解】设切点坐标x 0,log 2x 0，y ′=1x ln2，则切线斜率k =1x 0ln2，因为直线y =kx 过原点，则切线斜率k =log 2x 0x 0，所以log 2x 0x 0=1x0ln2，解得x 0=e ，k =1eln2.故答案为：1eln2.【变式4-1】8．（2022·全国·高二课时练习）曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．【答案】x −y −1=0或x −y +3=0．【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l 的方程x −y +m =0（m ≠1），利用点到直线距离公式列出方程，求出m 的值，得到直线l 的方程.【详解】∵y =e sin x ，∴y ′=e sin x cos x ，∴曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线的斜率为e sin0⋅cos0=1，其方程为y −1=x ，即x −y +1=0．又∵直线l 与x −y +1=0平行，∴直线l 的方程可设为x −y +m =0（m ≠1）．=2得：m =−1或m =3．∴直线l 的方程为x −y −1=0或x −y +3=0．【例题4-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()=−2+ln，过点(0,−2)作曲线=()的切线l，则l的方程为___________.【答案】x−e y−2e=0【分析】根据导数的几何意义设切点坐标(t,−2+ln t)(t>0)，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点P(0,−2)，解出t，即可求得切线方程.【详解】解：由题意可设切点坐标为(t,−2+ln t)(t>0)，因为f(x)=−2+ln x，所以f′(x)=1x，所以切线l的斜率k=1t，−t，又点P(0,−2)在切线上，所以−2+2−ln t=−t则l的方程为y+2−ln t=解得t=e，所以切线方程为：y+1=故答案为：x−e y−2e=0.【变式4-2】1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）求与曲线y=f(x)=3x2在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.【答案】3x+y-20=0【分析】先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.【详解】因为y=3x2，所以y′=(3x2)′=(x23)′=23x−13，所以f′(8)=23×8−13=13，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为13.所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.【变式4-2】2．（2022·山西临汾·高三期中）已知函数f(x)=x3+f′(1)x2−2x，其中f′x 是f x的导函数.(1)求f′1；(2)求曲线y=f x过原点的切线方程.【答案】(1)f'1=−1(2)y=−2x或y=−94x【分析】（1）求出函数的导函数，再令x=1，计算可得；（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点t,t3−t2−2t，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出t的值，再代入求出切线方程.【详解】（1）解：因为f(x)=x3+f′(1)x2−2x，所以f′x=3x2+2f′1x−2，令x=1，得f′1=2f′1+1，∴f'1=−1.（2）解：由（1）可得f(x)=x3−x2−2x，所以f′(x)=3x2−2x−2，设切点t,t3−t2−2t，则f′t=3t2−2t−2，所以切线方程为y−t3−t2−2t=3t2−2t−2(x−t)，由题−t 3−t 2−2t =3t 2−2t −2(−t )，整理得t 2(2t −1)=0，解得t =0或t =12.当t =0时，切线方程为y =−2x ；当t =12时，切线方程为y =−94x .综上，曲线y =f x 过原点的切线方程为y =−2x 或y =−94x .【变式4-2】3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x－y－4＝0；（2）x－y－4＝0或y＋2＝0．【分析】（1）求导f′(x)＝3x2－8x＋5，进而得到f′（2）,f（2），写出切线方程；（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，根据过点A(2，－2，)写出切线方程，再将切点坐标代入求解.【详解】（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．【变式4-2】4.（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过a ,b 可做y =x +1x (x >0)的两条切线，则（）A．a <b <a +1a B．a >b C．b <0D．b >a +1a 【答案】A【分析】设切点为x 0,x 0+,x 0>0，利用导数的几何意义可得切线方程为：y −x 0+=1x −x 0，把点(a ,b )代入可得：(b −a )x 02−2x 0+a =0，则此方程有大于0的两个实数根，列出不等式组，求解即可得出结论．【详解】设切点为x 0,x 0+,x 0>0,y ′=1−1x 2，切线的斜率k =1−1x 02，则切线方程为：y −x 0+=1−x −x 0，把点(a ,b )代入可得b −x 0+=1a −x 0，化为：(b −a )x 02−2x 0+a =00的两个实数根．则b −a ≠0Δ=4−4b −a a >02b −a >0a b −a >0，即b >aa >0b −a a <1，则a <b <a +1a ，故选：A．【变式4-2】5．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高三期中）已知f (x )=2x 3+(a −2)x 2−3x 是奇函数，则过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是（）A．1B．2C．3D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数f (x )的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数f (x )是奇函数，则由f (−x )+f (x )=0得2(a −2)x 2=0恒成立，则a =2，即有f (x )=2x 3−3x ，f ′(x )=6x 2−3，设过点P (−1,2)向曲线y =f (x )所作切线与曲线y =f (x )相切的切点为Q (x 0,2x 03−3x 0)，而点P (−1,2)不在曲线y =f (x )上，则6x 02−3=2x 03−3x 0−2x 0+1，整理得4x 03+6x 02−1=0，即(2x 0+1)(2x 02+2x 0−1)=0，解得x 0=−12或x 0=−1±32，即符合条件的切点有3个，所以过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是3.故选：C【变式4-2】6．（2020·全国·高二课时练习）已知函数f (x )=13x 3−x 2+3ax (a ∈R ).（1）若f (x )在x =−1时有极值，求a 的值；（2）在直线x =1上是否存在点P，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）−1；（2）不存在；答案见解析.【解析】（1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可；（2）设点P 坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可.【详解】解析（1）由f (x )=13x 3−x 2+3ax ，得f ′(x )=x 2−2x +3a ，由f (x )在x =−1时有极值，可得f ′(−1)=1+2+3a =0，解得a =−1.f ′(x )=x 2−2x −3=(x −3)(x +1)，当x <−1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当−1<x <3时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因此当a =−1时，f (x )有极值.所以a 的值为−1.（2）不妨设在直线x =1上存在一点P (1,b )，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.设过点P 且与y =f (x )相切的直线为l，切点坐标为x 0,y 0，则切线l 的方程为y −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a x −x 0，又直线l 过点P (1,b )，所以b −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a 1−x 0，即23x 03−2x 02+2x 0−3a +b =0，设g (x )=23x 3−2x 2+2x −3a +b ，则g ′(x )=2x 2−4x +2=2(x −1)2≥0，所以g (x )在区间(−∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=0至多有一个解，即过点P 且与y =f (x )相切的直线至多有一条，故在直线x =1上不存在点P，使得过P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.题型5公切线问题【例题5】（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线l ：x +my +n =0既是曲线y =ln x 的切线，又是曲线y =e x −2的切线，则m +n =（）A．0B．−2C．0或eD．−2或−e【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为x +my +n =0，通过等量关系可得到m ,n 的取值.【详解】f (x )=ln x ,g (x )=e x −2,∴f '(x )=1x ,g '(x )=e x −2，设切点分别为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则曲线f (x )=ln x 的切线方程为：y −ln x 1=1x 1(x −x 1)，化简得，∴y =ln x 1+1x 1(x −x 1)=1x 1⋅x +ln x 1−1，曲线g (x )=e x −2的切线方程为：y −e x 2−2=e x 2−2(x −x 2)，化简得，y =e x 2−2⋅x +(1−x 2)ex 2−2，∴e x 2−2=1x 1(1−x 2)e x 2−2=ln x 1−1，故(1x 1−1)(ln x 1−1)=0，解得x 1=e 或x 1=1.当x 1=e，切线方程为x −e y =0，故m =−e,n =0,故m +n =−e .当x 1=1，切线方程为y =x −1，故m =n =−1，则m +n =−2.故m +n 的取值为−e 或−2.故选：D【变式5-1】1．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知曲线y =x 2−ln x 在点1，1处的切线与曲线y =ax 2+a +2x +1也相切.则a =______．【答案】1【分析】由导数的几何意义求解，【详解】令f (x )=x 2−ln x ，g (x )=ax 2+a +2x +1，则f ′(x )=2x −1x ，f ′(1)=1，f (1)=1，则f (x )点1，1处的切线方程为y =x 令ax 2+a +2x +1=x ，ax 2+a +1x +1=0，由题意得Δ=(a +1)2−4a =0，解得a =1，故答案为：1【变式5-1】2．（2022·山东省青岛第一中学高三期中）若曲线C 1:f x =x 2+a 和曲线C 2:g x =4ln x −2x 存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.【答案】y =2x −4【分析】先分别求出f (x )和g (x )的导数，然后设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，根据题意有f ′(x 0)=g ′(x 0)，f (x 0)=g (x 0)，代入相应表达式列出方程组，解出x 0与a 的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．【详解】f x =x 2+a ，g x =4ln x −2x ，则有f ′(x )=2x ，g ′(x )=4x −2．设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)=2x 0，g ′(x 0)=4x 0−2，f (x 0)=x 02+a ，g (x 0)=4ln x 0−2x 0．根据题意，有2x 0=4x 0−2x 02+a =4ln x 0−2x 0x 0>0，解得x 0=1a =−3．∴公切线的切点坐标为(1,−2)，切线斜率为2．∴公切线的方程为y +2=2(x −1)，即y =2x −4．故答案为：y =2x −4【变式5-1】3.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f （1）)，则m 等于()A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2【答案】D 【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′（1）＝1.又f （1）＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.【变式5-1】4.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A.14 B.12C ．1D ．4【答案】A 【解析】由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121(4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．【变式5-1】5.若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．【解析】易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．（1）当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l的方程为y ＝2x .＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.（2）当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y ＝＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【变式5-1】6.已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′（1）＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′（1）＝－a .所以f ′（1）＝g ′（1），即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f （1）＝3(x －1)，又f （1）＝－1，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g （1）＝3(x －1)，又g （1）＝－6，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．题型6导数的运算技巧【例题6】若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′（1）＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′（1）＝2，∴f ′(－1)＝－2.【变式6-1】1.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2015(x )的值是()A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【答案】D 【解析】依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f 2015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.【变式6-1】2.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝________.【答案】－(1×2×3×…×2015)【解析】依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．。
导数的概念及运算 知识点+例题 全面分类
由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为_________.答案 16解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．答案 y ＝12e x ＋e 2解析 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2. ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)， 即y ＝12e x ＋e 2. 9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．11。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
导数复习-导数单元复习归纳-导数题型-知识点总结
学案26 导数复习课一、 导数的几何意义导数的几何意义： .习题1：函数)(x f y =的图像在点(5,(5))f 处的切线方程是,8+-=x y则(5)(5)f f '+=____________.习题2：曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为 .习题3：过抛物线2y x =上点11(,)24M 的切线的倾斜角为 .二、常见函数的导数及导数的四则运算常见函数的导数：____________()()_____________,()(sin )____________, (cos )_____________,()_____________, ()_____________,(log )_____________ (ln )____x x a C C x x x a e x x αα''==''==''==''==为常数，为常数，_________.导数的运算法则：如果(),()f x g x 有导数，那么（1）[()()]_______________________f x g x '+=，（2）[()()]______________________f x g x '-=，（3）[()] Cf x '=（C 为常数），（4）[()()]____________________________f x g x '=，（5）()[]___________________(()0)()f xg x g x '=≠ 习题4：函数)23)(32(2-+=x x y 的导数为______________________.习题5：函数sin x y x=的导数为______________________. 习题6：32()32,f x ax x =++若(1)4f '-=，则 .a =※习题7：已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=三、导数与函数的单调性()()0()0y f x f x f x ='>'<一般地，设函数在某个区间内可导，如果在该区间上，则函数在该区间上为_____函数；如果在该区间上，则函数在该区间上为_____函数.习题8、函数3yx x 的递增区间是 .习题9、函数3255yx x x 在122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 的递减区间是 .习题10、根据导函数()f x '的下列信息，试画出函数()f x 图象的大致形状 当14x <<时，()0;f x '>当4x >或1x <时，()0;f x '<；当4x =或1x =时，()0;f x '=.四、导数与函数的极值和最值1、求可导函数()f x 极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x ；(2)求方程/()f x =0的根；(3)列表，判定符号.2、求)(x f 在[]b a ,上的最值的步骤如下：(1)求)(x f 在(,)a b 内的极值；(2)将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 习题11、函数3242y x x x =--的极大值点为_________，极大值为_________；极小值点为_______，极小值为_______.习题12、函数18)(24+-=x x x f 在区间[3,1]-上的最大值是_____________最小值是_____________.习题13、已知函数42)(23-++=bx x ax x f 在1-=x 时有极大值.4-求)(x f y =的解析式并求出单调区间.课后作业：1、（07全国）已知曲线的24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .2、曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .3、函数22234y x x =--（）（）的导数为 .4、函数42335x x y x--=+3的导数为 .5、下列说法正确的是：（ ）A 、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B 、极大值、极小值只能各有一个C 、对于32()21f x x px x =+++，若26p <，则()f x 无极值D 、()f x 在0x 取得极大值，则()f x 在定义域内是先增后减的函数.6、已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为 .7、已知函数53()1f x x ax bx =+++，在1x =和2x =处取得极值， ,a = .b =8、已知函数11232)(23++--=x x x x f 在区间[]1,m 上的最小值为－17,则 m 的值为 .9、若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 .10、已知函数32()f x x bx ax d 的图象过点(0,2)p ，且在点(1,(1))M f --的切线方程为670x y -+=①求函数()y f x =的解析式； ②求函数()y f x =的单调区间.11、求曲线212ln ,[,1]4y x x x =+∈的切线中，斜率最小的切线在y 轴上的截距.12、设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，①求,,a b c 的值；②求函数的递减区间．。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。
导数的知识点和典型例题
导数的知识点和典型例题导数的基本概念1. 导数的定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式定义：其中，h表示x点附近的一个小增量。
该定义可以简化为下面的形式：2. 导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
对于曲线y=f(x)，在点(x, f(x))处的导数即为曲线在该点切线的斜率。
导数正值表示曲线逐渐上升，负值表示曲线逐渐下降。
3. 导数的物理意义导数在物理学中具有速度和加速度的物理意义。
对于位移函数s(t)，其导数s’(t)表示在时刻t的瞬时速度。
二阶导数s’’(t)则表示在时刻t的瞬时加速度。
导数的计算方法1. 基本函数的导数以下是一些常见的函数的导数公式：•常数函数：常数函数的导数为0。
•幂函数：幂函数f(x)=x n的导数为f’(x)=nx(n-1)。
•指数函数：指数函数f(x)=a x的导数为f’(x)=a x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f’(x)=1/(x * ln(a))，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•三角函数：三角函数的导数公式如下：–sin(x)的导数为cos(x)。
–cos(x)的导数为-sin(x)。
–tan(x)的导数为sec^2(x)。
•反三角函数：反三角函数的导数公式如下：–arcsin(x)的导数为1/sqrt(1-x^2)。
–arccos(x)的导数为-1/sqrt(1-x^2)。
–arctan(x)的导数为1/(1+x^2)。
2. 导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，便于计算更复杂函数的导数：•常数因子法则：对于函数y=c f(x)，其中c为常数，f(x)为可导函数，其导数为y’=c f’(x)。
•和差法则：对于函数y=f(x)±g(x)，其中f(x)和g(x)均为可导函数，其导数为y’=f’(x)±g’(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
kx
0<x 1, k R ,
分析：g x e kx k 1 x e kx e kx k 1 kx k 1 k 0时，g x =-1；k 0时，g x ke x , k
f x f ' x g x f x g' x ( g x 0 ) g x 2 g x
6、复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
yx y [ ( x)] f (u) ( x). u ux ; 或 f x
kx
思考：在求g x的单调区间时，如何对k分类？
①当k 0时，g x =-1；g x 在 0，上单调递减； 1 k 1 1 kx ②当k 0时，g x ke x ke x 1 k k
2 4 2 a 1 a 1 1 2 3 当 1时,即,0<a 时，必须 0, 无解. 2 4a 4 4 2a 1 综上所述，所求a的取值范围是 -，- 1， . 2 2
例6.已知函数g x 1 x e 求g x 的单调区间.
注意:
1.求单调区间:
首先注意定义域,
其次区间不能用或( U) 连接. 增函数 f x 0 f x 2.f x 0
f x 0
减函数 f x
f x 0
边界代入检验
例4.已知函数f x x 3＋ax 2＋x＋1，a R.
3 落体在t 0＝2秒到t1＝2.1秒时，其时间增 量Dt＝t1－t0＝0.1秒，由1 知平均速度为
1 v g (2 2 0.1) 2.05 g＝20.09(米 / 秒) 2 4 由 2 知落体在t 0＝2秒时的瞬时速度为 v＝g 2＝19.6(米 / 秒)．
求曲线的切线的关键是找出切点， 要注意区分切线所经过的点是不是切 点．本题切线经过的点 (－1，－1)不是 切点，因此先要假设切点，再求出切线 方程，然后由点(－1，－1)在曲线的切 线上，求出a的值．
b 例3.设函数f ( x)=ax- ,曲线y＝f ( x)在点(2，f 2 ) x 处的切线方程为7x－4y－12＝0.
例5.已知函数f x ln x a x ax a R ，
2 2
若函数f x 在区间 1， 上是减函数，求实 数a的取值范围.
分析：由函数f x 在区间1， 上是减函数， . 1 得f x 2a 2 x a 0恒成立 x 2a 2 x 2 ax 1 0在区间1， 上恒成立. 令g x 2a 2 x 2 ax 1 x>1 .问题等价于 g x 0在区间1， 上恒成立
kx
1 1 1 当k 0时， 1 1, x 1 0, ke kx 0, g x 0, k k
0
g a 在 0，上单调递减； 1
0
1 1 2 当0 k 1,1 0, x 1 0, ke kx 0, g x 0, k k g x 在 0，上单调递减； 1
4、基本初等函数求导公式
(1)若a为常数， (x )
α '
x '(a )
(3)(e )
x '
1 ' ( 4)若a 0且a 1, (loga x ) x ln a 1
(5)(lnx)
'
e
x
a ln a
(6)(sinx )
2 落体在t0时的瞬时速度； 3 落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； 4 落体在t＝2秒时的瞬时速度．
【解析】 1 落体在t0到t落体在t0到t0 Dt这段时间 内路程的增量为 1 1 2 1 Ds＝ g (t0＋Dt )2－ gt0 ＝ g (2t0 Dt＋Dt 2 )， 2 2 2 因此，落体在这段时间内的平均速度为： Ds 1 v g (2t0 Dt 2 ). Dt 2 Ds 2 落体在t0时的瞬时速度为v ，当Dt 0时， Dt Ds gt0，所以v＝gt0； Dt
1 3 当k 1时， 1 0,1 .列表如下： k 1 1 1 x 0 0， 1 1 1 1 ， k k k g x + 0 0
1
g x 1 1 g x 在 0， 1 单调递增；在 1 ， 1 单调递减. k k
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
【例2】
x2 已知函数f ( x)=ln( x-2)- (a为常数)． 2a 1 求f 3的值；
2 当x＝3时，曲线y＝f ( x)在点(3，y0 )处的切
线经过点(－1，－1)，求a的值．
1 x 3 【解析】 - ，所以f 3＝ 11因为f ( x)＝ x2 a a 2 x0 2 因为f ( x)＝ln( x0－2)－ ，所以曲线在点(3，y0 ) 2a 9 3 的切线方为 y -[ln(3 2) ] (1 )( x 3), 2a a 3 9 即y (1 ) x 3 ,因为该切线经过点(－1，－1)， a 2a 3 9 5 所以 1 ( 1) 3 , 解得a . a 2a 2
思考：下面必须对a进行分类讨论，你知道该怎样分类吗？
g x 2a2 x2 ax 1 0在区间1 ， 上恒成立.
10当a 0时, 不合题意； a 1 2 20 当 1 时 , 即 a 0 或 a 时，必须g 1 0, 2 a a 1 0, 2 2 2a 4 1 1 a 1或a .综合得a 1或a . 2 2
'
x
cos x
(7) cosx sin
x
5、函数的和差积商的导数
cf x
cf x
f x g x
f x g x
f x g x
'
f x g x f x g x
x a （a，x1）
f '( x)
x1 （x1，x2） x2 （x2，x3）x3 （x3，b） b
f ( x2 )
f ( x) f (a)
f ( x1 )
f ( x3）
f (b)
4,根据上面分析作出y=f(x)大致图象,指出极值点与极值 5,比较极值与两个端点的函数值,找出最值点与最值
导数知识点回顾 1、某点处导数的定义
当 Dx 0 时
2、某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
k f x0
3、导数的物理意义
st vt vt at
【例1】
1 2 已知自由落体的运动方程S gt ，求： 2 1 落体在t0到t0＋Dt这段时间内的平均速度；
1 讨论函数f x 的单调区间；
2 1 2 若函数f x 在区间( , )内是减函数， 3 3 求a的取值范围．
解析： 1 对f x ＝x3＋ax 2＋x＋1求导， 得f x ＝3x 2＋2ax＋1， 当D 0，即a 2 3时，f x 0在R上恒成立， f x 在R上递增； －a ± a 2－3 当D 0，即a 3时，由f x ＝0，得x＝ ， 3
2 设P( x0，y0 )为曲线y＝f ( x)上任意一点．由y 1+
3 x2
3 知曲线在点P ( x0，y0 )处的切线方程为y -y0 (1+ 2 )( x－x0 ), x0 3 3 即y ( x0 ) (1+ 2 )( x－x0 ) x0 x0
6 令x＝0，得y , 从而得切线与直线x＝0的交 x0 6 点坐标为(0, ) x0 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点 坐标为(2x0 , 2x0 ), 所以点P( x0，y0 )处的切线与直线x＝0， 1 6 y＝x所围成的三角形面积为 | - || 2x0 | ＝6 2 x0 故曲线y＝f ( x)上任一点处的切线与直线x＝0， y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
2
－a－ a 2－3 即f x 在(－， )上递增， 3 －a－ a 2－3 －a＋ a 2－3 在( ， )上递减， 3 3 －a＋ a 2－3 在( ，＋)上递增． 3
－a－ a 2－3 2 － 3 3 解析： 2 方法1：由题设得 ， 1 －a＋ a 2－3 － 3 3 且a 2 3，故a 2. 方法2：令g x ＝3x 2＋2ax＋1， 2 1 由题设知g x 在(－ ,－ )内恒小于或等于零， 3 3 2 4 4a g － 0 － ＋1 0 3 3 3 所以 即 g － 1 0 1 － 2a ＋1 0 3 3 3 又a 2 3，故a 2.即a的取值范围是[2，＋)．
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 a 右侧附近 f’(x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． / 函数的最大（小）值与导数
导数应用的知识网络结构图：
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b 内单调 减函数,则 f x 0