第三章_DFS定义2016S

3
( n)e x
n 0 j k 4 4 j k 4
N 1
j
2 kn N
n e x
n 0
7
j
2 kn 8
e
n 0
j kn 4


1 e

1 e sin sin

k j k j 2 2 e e e j k j k j k e 8 e 8 e 8
6
3.2
DFS—离散傅氏级数
x(nT )
3.非周期离散信号：离散时间傅里叶变换 DTFT
X (e jT )
T
时域离散频域周期
2 T
T x(nT ) 2



T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
(e jT ) X
n

x(nT )e jnT
9
3.2.1 DFS 定义：正变换
( k ) 的关系，作下列变量代 ( nTs ) X 为了推导 x 0 换：
时域： 频域：
DFS
则得：
k 0 k
nTs n
?
~ x (n)
~ X (k)
DFS
n
01
N
01
N
k
10
3.2.1 DFS 定义：正变换
周期离散序列的 Z 变换存在（收敛）的问题
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
t
T
时域周期 频域离散
0
2 T
(t ) x
n-
jn0 t X(n )e 0

1 X ( n 0 ) T

T 2
T 2
( t )e jn0 t dt x
时域连续函数 频谱是非周期的 时域的周期 频谱是离散的
k
时域周期、离散频域周期、离散
2 2 0 T NTs
8
离散傅里叶级数 DFS
3.2
结论：Βιβλιοθήκη DFS—离散傅氏级数1. 时域中函数取样（映射）频域中函数周期重复
2. 频域中函数取样（映射）时域中函数周期重复 2 3. 取样间隔（映射）周期（ ） 间隔 如果同时对频域和时域取样，其结果是时域和频 域的波形都变成离散、周期性的波形 关系 离散傅氏级数 DFS
第三章 离散傅里叶变换DFT及快速算法
DFS（离散傅里叶级数） DFT（有限离散傅里叶变换）
FFT （快速离散傅里叶变换）
IDFT
频谱分析
1
3.1 问题的提出：离散信号的变换
离散信号在两种变换域中的表示方法：
1.离散时间傅里叶变换 DTFT -- 提供了绝对可和的离 散时间序列在频域（ω）中的表示方法
2.Z变换 -- 提供任意序列的z域表示
X (z )
n


x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
1. 变换适合于无限长序列 2. 是连续变量 ω 或 z 的函数
2
问题: 可计算性
X(z)、X(ejw) 都是连续的，计算机处理很困难， 因此
提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题 必须截断序列，得到有限个点的序列
因此，需要一个便于进行数值计算的变换 方法：
1.
2.
对 DTFT 在频域中采样 DFS 将 DFS 应用到有限持续时间序列 DFT
成为有限长序列傅里叶变换的重要方法 有快速算法
3
DFT已成为DSP算法中的核心变换：
3.2
DFS—离散傅氏级数
时间域 频率域
1. 非周期连续时间—傅里叶变换(FT)：连续频率 2. 周期连续时间 —傅里叶级数(FS)：离散频率 3. 非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)： 连续频率 4. 周期离散时间 — 离散傅里叶级数(DFS)： 离散频率
1 ( n) x N
X (k )e
k 0
N 1
j(
2 ) kn N
1 N
kn X ( k ) W N k 0
N 1
18
3.2.1 DFS 变换对
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列
间的关系
kn X ( k ) x ( n ) W N n 0 N 1 1 kn x ( n) X ( k )W N N k 0
1 X ( s ) T n
时域离散 频谱是周期的
时域的非周期 频谱是连续的
7
3.2
DFS—离散傅氏级数
(nTs ) x
n 周期
4. 周期离散时间信号：
N
T T=NTs Ts
T
Ts
取样间隔
( k ) X 0
2 Ts
0 2 T
2 N 0Ts
14 12e
10e
8e
6e
10e
(0) 60 X (3) 0 X
(1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3 X
(2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3 X
20
例 求出下面周期序列的 DFS 表示式
( n) {...., 0,1, 2, 3, 0,1, 2, 3, ......} x
n 0 3
3
(3) x ( n)( j )3 n ( 2 2 j ) X (n)W43n x
n 0 n 0
21
3.2.1 DFS 定义：计算举例
例：已知序列x( n) R4 ( n), 将x( n)以N 8为周期 ( n)，求x ( n)的DFS。 进行周期延拓成x
N 1
n
0

（ω 是连续变量，需要对其离散化）
12
3.2.1 DFS 定义：正变换
频域取样
X(ejω) 是连续变量 ω 的周期函数，周期为2π。 把ω 离散化，即在0～2π区间内等间隔取 N 个点，取样间隔为 2π/N X(ejω) 是 Z 平面单位圆上的 Z 变换。连续变 量 ω 的离散化也可以认为是把单位圆分 N 等 分，每分为 2π/N
e
k 0
N 1
j(
2 )k ( m n) N
N 0
nm
16
3.2.1 DFS 定义：反变换
反变换IDFS
j
正变换两端乘以 e ，m=0,1,…,N-1 然后对 k=0，1，…，N-1 求和，得：
2 km N
X (k )e
k 0
N 1
j(
2 ) km N
( n)e x
(1) 1 j X
2 1
2 1
(2) 0 X (6) 0 X
(7) 1 j X
(3) 1 j X
2 1
2 1
22
3.2.1 DFS 定义：计算举例
解法二：公式解
k DFS x X n
解法一：数值解
(k ) X
nk nk x ( n ) W x ( n ) W N 8 n 0 3 n 0 N 1 7
W8nk
n 0
1 e
(0) 4 X (4) 0 X
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
(5) 1 j X
X (e
2 k) N
2 j k N
(k ) ) X
j 2 kn N
则
(k ) x ( n)e X
N 1 n0
jn (
( n)e x
n0
N 1
DFS：
( n)WN x
kn
令
WN e
j
2 N
14
3.2.1 DFS 定义：正变换
(k N ) x ( n)e X
其频谱：
jn X ( z ) |z e j X (e ) x (n )e j n 0 N 1
n


(n) z n x (n ) z n x
n 0
N 1
( n) 的一个主周期进行 Z 变换） （取 x
x(n)
X e j

2
0 1 2
2 其中： N
Im
2 k
N
1
2 N
称为频域中的取样间隔 也称为频率分辨率
Re
Z平面
13
3.2.1 DFS 定义：正变换
X ( z ) | z e j X (e j )
记
jn ~ x ( n ) e n 0 N 1
X (e ) |
N 1 n0
j

2 k N
(k ) 也仅有 0，1，…，N-1 个独立值,也是周期 X 为 N的序列
15
3.2.1 DFS 定义：正变换
WN e
j 2 N
nk { W 集合 N , k 0,1,..., N 1}为一完备的离散正交系，即
1 N
W
n 0
N 1
nk1 N
W
nk2 N
1 N
N 1 n 0
N 1
k 0 直流分量 k 1 基频分量 k 1 谐波分量
其中
WN e
2 j N
19
例 已知序列 x(n) 是一周期序列，如图所示，试求其DFS 的
系数
解：根据定义求解
N 1 n 0 5
(k ) X
nk nk x ( n ) W x ( n ) W N 6 n 0 j 2 k 6 j 2 2k 6 j 2 3k 6 j 2 4k 6 j 2 5k 6