2019重庆中考数学第24题专题训练十七
2019重庆中考数学第24题专题训练---矩形(含答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练---矩形1、沙坪坝区2017—2018学年度第二学期期末调研测试八年级数学试题如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，连接BE 、CE ，∠ABE =45°． （1）如图1，若32BE，BC =4，求EC 的长．（2）如图2，点P 是EC 的中点，连接BP 并延长交CD 于F ，H 为AD 上一点，连接HF ，且∠DHF =∠CBF ，求证：BP=PF+FH ．2、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习 已知,如图所示,在矩形ABCD 中,点E 为BC 边上,∠AEF=90°.(1)如图1,已知点F 在CD 边上,AD=AE,AD=5,AB=4,求DF 的长； (2)如图2,已知AE=EF,点G 为AF 的中点,求证:2.AB BE BG +=FCDFG图1 图23、重庆第二外国语学校初2019级初三年级第二学月质量检测如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，过点E 作EF ⊥DE 于点E. （1）如图1，已知F 在AB 上，AD=DE,AD=10, CD=6, 求BF 的长； （2）如图2，已知DE=EF ，点G 为DF 的中点，求证：2.CD EC CG +=4、已知:在矩形ABCD 中,点H 是对角线AC 与BD 交点,点E 是AB 上的一点,连接HE,连接CE 交BD于F.(1) 如图1,若HE ⊥AC.且BC=3,AB=4,求△BEH 的面积; (2) 如图2,若∠AEB=∠BEC,求证:F 是BH 的中点.5、重庆巴蜀中学2019届初三下半期如图1,在矩形ABCD 中,AC 为矩形的对角线,点E 为AD 边上一点,连接BE. (1)若045EBC ∠=,且BE=CB ，AB=2，求AC 的长;(2)如图2,过B 作BF ⊥BE,使得BF=CD,连接CF 交BE 于点G,，当G 为CF 的中点时，求证:AE=2BG.6、重庆南开（融侨）中学初2018届初三下入学在矩形ABCD 中,点F 在AD 延长线上,且DF=DC,M 为AB 边上一点,N 为MD 的中点,点E 在直线CF 上,且BN=NE.(1)如图1,若AB=BC=6,13BM AB =,E 为线段FC 上的点,求NE 的长；(2)如图2.若AB<BC,E 为线段FC 延长线上的点,连结BE,求证:2.BE NE =7、重庆一中初2018级17—18学年度下期第一次定时作业如图1:在矩形ABCD中,AC为对角线,延长CD至点E使CE=CA，连接AE，F为AB上一点,且BF=DE,连接FC.（1）若DE=1,CF=22，求CD的长；（2）如图2,点G为线段AE的中点,连接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=60°，求证:AF+CE=3AC.8、重庆巴蜀中学初2018级17—18学年度下期第一次月考在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O，E为OB上一点，连接CE，G为CE中点.（1）如图1,连接AE,OG,若∠DAC=60°,BE=2,AB=53,求OG的长；（2）如图2,点F为线段OC上一点,连接BF,BG,若∠COB=∠OBG=∠CBF,求证:BE+CF=OA.2019重庆中考数学第24题专题训练---矩形答案1、沙坪坝区2017—2018学年度第二学期期末调研测试八年级数学试题如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，连接BE 、CE ，∠ABE =45°． （1）如图1，若32BE，BC =4，求EC 的长．（2）如图2，点P 是EC 的中点，连接BP 并延长交CD 于F ，H 为AD 上一点，连接HF ，且∠DHF =∠CBF ，求证：BP=PF+FH ．解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠A =∠D =90° 又∵∠ABE =45° ∴AB =AE设AB =AE =x 在Rt △ABE 中，∠A =90° 222AB AE BE += 即(22233x x += 解得：13x = 23x =-（舍） ∴AB =AE =3∵矩形ABCD ∴ AB =CD =3， BC =AD =4 ∴ED =AD -AE =4-3=1 在Rt △CDE 中，∠D =90° 22223110CE CD ED =++ （2）如答图，延长BF 交AD 的延长线于G ∵AG ∥BC ， ∴∠G =∠PBC 又∵P 为CE 的中点， ∴EP =CP 在△EPG 和△CPB 中 G PBCEPG CPB EP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPG ≌△CPB （AAS ） ∴BP =GP∵∠DHF =∠CBF ，∠CBF=∠G ∴∠DHF=∠G ∴FH =FG ∴GP =PF +FG =PF +FH2、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习 已知,如图所示,在矩形ABCD 中,点E 为BC 边上,∠AEF=90°. (1)如图1,已知点F 在CD 边上,AD=AE,AD=5,AB=4,求DF 的长； (2)如图2,已知AE=EF,点G 为AF 的中点,求证:2.AB BE BG +=ABCDEFABCDFEGH图1 图23、重庆第二外国语学校初2019级初三年级第二学月质量检测如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，过点E 作EF ⊥DE 于点E. （1）如图1，已知F 在AB 上，AD=DE,AD=10, CD=6, 求BF 的长；（2）如图2，已知DE=EF ，点G 为DF 的中点，求证：.CD EC +=解答：M4、已知:在矩形ABCD中,点H是对角线AC与BD交点,点E是AB上的一点,连接HE,连接CE交BD 于F.(3)如图1,若HE⊥AC.且BC=3,AB=4,求△BEH的面积;(4)如图2,若∠AEB=∠BEC,求证:F是BH的中点.解答：M5、重庆巴蜀中学2019届初三下半期如图1,在矩形ABCD 中,AC 为矩形的对角线,点E 为AD 边上一点,连接BE. (1)若045EBC ∠=,且BE=CB ，AB=2，求AC 的长;(2)如图2,过B 作BF ⊥BE,使得BF=CD,连接CF 交BE 于点G,，当G 为CF 的中点时，求证:AE=2BG.解法一：解法二：解法三：解法四：6、重庆南开（融侨）中学初2018届初三下入学在矩形ABCD 中,点F 在AD 延长线上,且DF=DC,M 为AB 边上一点,N 为MD 的中点,点E 在直线CF 上,且BN=NE.(1)如图1,若AB=BC=6,13BM AB =,E 为线段FC 上的点,求NE 的长； (2)如图2.若AB<BC,E 为线段FC 延长线上的点,连结BE,求证:2.BE NE =如图1:在矩形ABCD中,AC为对角线,延长CD至点E使CE=CA，连接AE，F为AB上一点,且BF=DE,连接FC.（1）若DE=1,CF=22，求CD的长；（2）如图2,点G为线段AE的中点,连接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=60°，求证:AF+CE=3AC. 解答：在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O，E为OB上一点，连接CE，G为CE中点. （3）如图1,连接AE,OG,若∠DAC=60°,BE=2,AB=53,求OG的长；（4）如图2,点F为线段OC上一点,连接BF,BG,若∠COB=∠OBG=∠CBF,求证:BE+CF=OA.。
2019重庆中考数学第24题专题训练---- 平行四边形(含大部分题目答案)
6、重庆市沙坪坝区 2019 届九年级上学期期末
A E
D
G
F
A
D
G
E
F
B
C
第 24 题图 1
B
C
第 24 题图 2
3
7、已知，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，且 E 为 BC 的中点，AE=2BE，P 为 BC 上一点，连接 DP，作 EF⊥DP 于点 F，连接 AF. （1）若 AD=4，求 AE 的长； （2）求证： 2 AF+EF=DF.
G.点 H 在 BC 的延长线上，且 CH=AG, 连接 EH.
(1)若 BC 12 2 ,AB=13,求 AF 的长; (2)求证:EB=EH.
9
19、重庆市 2018 年初中学业水平暨高中招生考试数学( A 卷)
A
F
D
O
H
G
B
E
C
10
2019 重庆中考数学第 24 题专题训练---平行四边形答案
连接 AF 与 DE 交于点 G。 （1）若∠C=60°，AB=2，求 GF 的长； （2）过点 A 作 AH⊥AD，且 AH=CE，求证：AB=DG+AH
1
3、如图，已知 ABCD 中，DE⊥BC 于点 E，DH⊥AB 于点 H，AF 平分∠BAD，分别交 DC、DE、DH 于点 F、G、M，
（1）若∠F=60°，∠C=45°，BC= 2 6 ，请求出 AB 的长；（2）求证：CD=BF+DF.
F
E
D
A
B
G
C
6
13、重庆一中初 2019 级 17－18 学年度下期期末
已知在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE BC 于点 E ，且 AD DE ．连接 AC 交 DE 于点 F ，作 DG AC 于点 G ． （1）如图 1，若 EF 1 ， AF 13 ，求 DG 的长；
2019重庆中考数学第24题专题训练十一
2019重庆中考数学第24题专题训练十一
2018、12
1、重庆实验外国语学校2018-2019学年度度上期2020级八年级第二次月考（2018年12月中旬）
2、2018-2019学年重庆实验外国语学校九年级数学定时练习试题
如图△ABC,以AC为斜边向下作等腰直角△ADC,直角边AD交BC于点E
BC=+求线段DC的长;
(1)如图1,若∠ACB=30°,∠B=45°,BC=2
(2)如图2,若等腰R△ADC的直角顶点D恰好落在线段BC的垂直平分线上,过点A作AF⊥BC于点F,连接DF,
求证:AB=.
3、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题
4、2018-2019学年重庆外国语学校初三上第2次月考数学试题
5、重庆八中2019届初三上期第三学月
6、重庆第十一中学珊瑚校区2018-2019学年上学期初2019届初三年级第二次月考。
2019重庆中考数学第24题专题训练---三角形
2019重庆中考数学第24题专题训练---三角形2019、2、201、如图,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,B 、C 、E 三点共线,连接DC,点F 为CD 上的一点,连接AF 。
(1)若BE 平分∠AED ，求证:AC=EC ； (2)若∠DAF=∠AEC ，求证:BE=2AF.ACBEDF2、如图,等腰Rt △ACB 和Rt △CDE 中,∠ACB=∠DCE=090,CA=CB.CD=CE,点D 在线段AB 上,连接AE, 点F 为线段DB 的中点,连接CF 交AE 于点G ，,求证:（1）CF AE ⊥ ；（2）2.AE CF =GABCDEF3、如图,等腰Rt △ACB 和Rt △CDE 中,∠ACB=∠DCE=090,CA=CB.CD=CE,点D 在线段AB 上,连接AE,过C 作CF ⊥AE 于G ，交AB 于点F,求证:（1）点F 为线段DB 的中点；（2）2.AE CF =GABCDEF4、如图，等腰直角三角形ABC 中，090ACB ∠=,,CE CD ⊥ 且,CE CD = 连接AD ，过C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点G .求证：G 为BE 的中点.FACBDE G5、重庆市巴川中学2018-2019学年度上学期（秋季）初2020届初二年级半期考试 已知在△ABC 中,AB=AC,0120BAC ∠=,,点E 是AD 上一点,AD=CE,060AEC ∠= ,(1)如图1,求证:△ACE ≌△BAD(2)如图2,连接BE 并廷长,交AC 于点H,点E 恰好是BH 的中点,∠BAC 的角平分线交CE 于点F,求证:DE=AE+EF6、八中2019级周考157、重庆八中初2018届初三上期期末考试已知Rt ABC ∆中， CD 是斜边AB 边上的中线，点E 是直角边AC 上一点，连接DE ，.BE （1）如图1，若DE AB ⊥,且3BC =，4AC =，求CDE ∆的,面积；. （2）如图2，若AED BEC ∠=∠，求证：F 是CD 的中点.DF ACBEAC BE图1 图28、如图1,在五边形 ABCDE 中,∠E=90°,BC=DE 连接AC,AD,且AB=AD,AC ⊥BC(1)求证：AC=AE ； (2)如图2，若∠ABC=∠CAD ，AF 为BE 边上的中线，求证：AF ⊥CD.BB图1 图29、如图在ABC中,过点A作AE⊥BC交BC于E,D为△BC外一点且AD⊥DC,AD交BC于F,连接、D,已知AE=BE,AD= DC.(1) AB=22，BC=35,求DC长度；（2）求证：∠CBD+∠ACE=045.AB CED10、在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF 于点G，过点C作BD的垂线交BC于点H，交AB于点E：（1）如图1，∠ABD=∠CBD，CG=1，求AB；BH AH．（2）如图2，连接AH、FH，∠AHF=90°，求证：211、如图1，△AOB 中，∠AOB= 90°，AO=BO,点C 在边AB 上,连接CO ，过点O 作CO 的垂线，在垂线上取点D ，使DO=CO,连接BD ，CD.（1）已知AC=2，BC=6，求CD 的长；（2）如图2，取线段BC 的中点E ，连接OE ，AD ，求证：OE ⊥AD 且AD=2OE.AOBDCFAOBDCE图1 图212、如图，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连AD ，BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF（1）如图1，当D 点在BC 上时，CE=4,BD=2,求CF;（2）如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，求证：BE=2CF ．13、已知：△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH ．（1）如图1所示，若AB ＝8，CD ＝2，求OH 的长。
2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形(含答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形201902121、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（2）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .GEA B CDF3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1 图24、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD 中，CB 的延长线上有一点E,连接AC 、AE. (1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE 的面积； (2)如图2，连接BD 交AC 于点O ，在线段AB 上取点F ，使BE=BF ，连接CF ，过点B 作BG ∥CF ，交AE 于点G ，连接OG 、BG.求证：.BG AG +=5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD 边AD 为边作等边三角形ADE ,EF ⊥AD 于点F ,连接BE 交AD 于G . (1)若正方形的边长为2,求AG 的长；(2)如图2，∠EAD 的平分线交BE 于点P ，连接CP ，求证:AP +PC6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥C F于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD中,AE为过顶点A的任意一条射线,过C作CE⊥AE于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE的长；(2)如图2,过D作DF⊥AE于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ． （1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形答案1、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（3）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（4）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．（1）:1:2BM CM ==,2BM x CM x ∴=设则∵正方形ABCD 3,90AB x ABC ∴=∠=︒Rt ABM AM ∆在中，∵点E 为线段AM 的中点2AM BM ∴== 2x ∴=36AB x ∴==（2）G AE 为中点AG EG ∴=AGD EGN AG EG AGD EGN DG NG ∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中AGD EGN ∴∆≅∆ 4N ∴∠=∠ EDG ENG ∠=∠,34ED EN ∴=∠=∠ DG NG = 90EGD ∴∠=︒AF CDE ∠平分12∴∠=∠123452FDG CDA ∴∠=∠+∠=∠=︒,90A AH AF FD H FAH ⊥∠=︒过作交延长线于即//DG AH ∴45H FDG ∴∠=∠=︒AHF ∴∆为等腰直角三角形,AH AF FH ∴=90DAB HAF ∴∠=∠=︒ DAH BAF ∴∠=∠DAH BAF AH AF DAH BAF AD AB DAH BAF DH BF∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中BF DF DH DF FH ∴+=+==2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .解答：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠BCG =∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC .∵BE ⊥DF∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F .∴∠CBG=∠CDF . ∴△CBG ≌△CDF .∴BG=DF=4.∴在Rt △BCG 中，222BG BC CG =+∴CG =73422=-. …………………………4分 （2）过点C 作CM ⊥CE 交BE 于点M∵∠BCG=∠MCE =∠DCF =90° ∴∠BCM=∠DCE ，∠MCG=∠ECF ∵BC=DC ，∠CBG=∠CDF∴△CBM ≌△CDE ∴CM=CE∴△CME 是等腰直角三角形∴ME=CE 2 ，即MG+EG=CE 2 又∵△CBG ≌△CDF ∴CG=CF∴△CMG ≌△FCE ∴MG=EF∴EF+EG =2CEGEA B CDFM3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1图2解答：4、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD中，CB的延长线上有一点E,连接AC、AE.(1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE的面积；(2)如图2，连接BD交AC于点O，在线段AB上取点F，使BE=BF，连接CF，过点B作BG∥CF，交AE于点G，连接OG、BG.求证：.+=BG AG5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD边AD为边作等边三角形ADE,EF⊥AD于点F,连接BE交AD于G.(1)若正方形的边长为2,求AG的长；(2)如图2，∠EAD的平分线交BE于点P，连接CP，求证解法一：解法二：6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM⊥C F 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP⊥CF，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．解：∵∠1=∠2=22.5°，又CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又∵AB=4 ∴AP=42 ∴S △A P C =12AP•CD=82（2）∵在△PDC 和△FBC 中，{ ∠PDC=∠FBCCD=BC∠1=∠3∴△PDC≌△FBC∴CP=CF 在CN 上截取NH=FN ，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB 和△BHC 中，{ ∠1=∠4AB=BC∠HBC=∠BAM，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD 中,AE 为过顶点A 的任意一条射线,过C 作CE ⊥AE 于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE 的长；(2)如图2,过D 作DF ⊥AE 于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ．（1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．。
2019重庆中考数学第24题专题训练十二((含答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练十二2019、11、重庆巴蜀中学初2019届初三上期末试卷MMPN2、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学4、2018-2019学年重庆实验外国语学校九年级数学定时练习试题如图△ABC,以AC为斜边向下作等腰直角△ADC,直角边AD交BC于点EBC=+求线段DC的长;(1)如图1,若∠ACB=30°,∠B=45°,BC=2(2)如图2,若等腰R△ADC的直角顶点D恰好落在线段BC的垂直平分线上,过点A作AF⊥BC于点F,连接DF,求证:AB.BB图1图2B6、如图,△ABC中,∠BAC=5°,点D是AB边上一点,且CB=CD,过点B作BH⊥CD于H,交AC于E(1)若CH=4,DH=2,求△BCD的面积；(2)求证:∠BEC=∠A+12∠BCD；(3)用等式表示AE与BD之间的数量关系;并证明。
7、如图1,在五边形 ABCDE 中,∠E=90°,BC=DE 连接AC,AD,且AB=AD,AC ⊥BC (1)求证:AC=AE; (2)如图2,若∠ABC=∠CAD,AF 为BE 边上的中线,求证:AF ⊥CDABB图1 图2方法一：方法二：MN方法三：8、如图①,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D 在AC 上(且不与点A,C 重合),以AD 为直角边向外作等腰Rt △ADE,使∠ADE=90°,连接CE,再以CE 、CB 为邻边作平行四边形CBFE (1)已知求线段CF 的长;(2)将Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转角a(90°<a<180°),如图②,连接CD 、CE,再以CE 、CB 为邻边作平行四边形CBFE,设线段AB 、CE 交于点G ,求证BECF图① 图②9、已知,在△ABC中,∠ABC=45,高线AD、BE相交于点G,（1）如图,若∠CAD=30°,GE=2,求DG的长（2）如图2,连接DE,过点D作DF⊥DE交BE于点F,连接AF,过点D作DH⊥AF于点H交BE于点M求证:AF=2DM10、如图在ABC中,过点A作AE⊥BC交BC于E,D为△BC外一点且AD⊥DC,AD交BC 于F,连接、D,已知AE=BE,AD= DC.(1) AB=BC=,求DC长度；（2）求证：∠CBD+∠ACE=45B CADEMM11、八中2019级周考1512、如图，平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD 于点E ，点F 是AD 上一点，连接BF 、CF,交BE 于点G.. （1）若CF 平分∠BCD,∠A=60°，BC=8,求线段CG 的长。
重庆中考数学24题专题
重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．（1）证明： 如图（1），延长AD 交FE 的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF ∵AB ∥FN ，ABDECFAN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG∴FG=FH；（2）解：∵AC=CE∠E=60°∴△ACE为等边三角形∴CE=AE=8∵AB⊥BC∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ．∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．解答：（1）证明：连接BE ，∵梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD ，可证△ABC ≌△DCB ，∴∠GCB=∠GBC ， 又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD 为等边三角形，（2）解：∵BE 为△BCG 的中线，∴BE ⊥AC ，在Rt △ABE 中，EF 为斜边AB 上的中线， ∴EF=AB=5cm ．G 24题图PFEDCBA12、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE=EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF=EC ，连接DF ． （1）试说明梯形ABCD 是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF 的形状；（3）在条件（2）下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵EF ∥AB ，∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形； （2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=CD ，∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴CF=（BC ﹣AD ）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF 是等腰直角三角形； （3）共四种情况：∵DF ⊥BC ，∴当PF=CF 时，△PCD 是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1； 当P 与F 重合时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P 在点C 的左侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3﹣； 当PC=CD=（P 在点C 的右侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3+． 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且DE ⊥AD 于D ，∠EBC=∠CDE ,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =AB CDEFG二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。
重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)
重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==， ∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。
2019重庆中考数学第24题专题训练十五
图1
图2
3
4、如图，在菱形 ABCD 中， ABC 600 , AE CF , 点 G 为 BE 的中点。 （1）若 E 是 AC 的中点，AB=6，求 AG 的长；（2）求证： FG 3AG.
4
5、重庆一中初 2019 级 18-19 学年度下期定时练习
（1）如图 1，若 DE 平分 ADC ，点 G 为 AB 的中点， CD 2 3CF 6 ，求平行四边形 ABCD 的面 积. （2）如图 2，点 P 在 GF 上，且 PE PF ，延长 EP 交 AC , CD 于点 O , Q ,连接 AQ ,若 AC BC EQ ， EQC 45 ,求证： CE 2BG DQ .
10
10、重庆二外初 2019 级一诊模拟
11
A
D
OG
F
B
E
C
图1
图2
12
已知：在▱ABCD 中，过点 D 作 DE 延长线于点 F．
交 BC 延长线于点 E，且
，连接 AC 并延长交
如图 1，若
，
，求 AD 的长；
如图 2，作
于点 G，作
于点 M，连接 DM，求证：
解： 四边形 ABCD 是平行四边形，
5
6
6、南开（融侨）中学初 2019 届（下）阶段检测二
7
7、八中初 2019 级初三下第一次月考
8
8、2019 届一外第一次模拟考试
9
9、重庆巴蜀中学初 2019 届初三（下）第二次定时作业 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 、 F 在 BC 上，且 CF BE ，连接 DE ，过点 F 作 FG AB 于 点 G ，交 DE 于点 P .
2019重庆中考数学第24题专题训练二(含部分答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练二1、如图,∠ABC=90°,∠DEB=90°,BA=BC,BD=BE,连接AE,CD,AE所在直线交CD于点F,连接BF.（1）连接AD,EC,求证:AD=EC；（2）若BF⊥AF,求证:F点为CD的中点.2.在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点F是AC的中点,过点A作BF的延长线的垂线,垂足为点D,连接CD,过点C作CE⊥CD交BF于点E.（1）如图1,若CE=AD=1,求AC的长；（2）如图2,连接AE,求证:AE=2CF.3、如图,矩形ABCD中,BC=2AB,点E是边AD的中点,点F是线段AE上ー点(点F不与点A,E重合)连接BF,过点F作直线BF的垂线,与线段CE交于点G,点H是线段BG的中点.（1）若CE=2求矩形ABCD的面积;（2）求证：BF=EH.4、如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,H为CD边上一点,连接BH交AC于K,E 为BH上一点,连接AE交BD于点F．（1）若AE⊥BH于E,且CK=,AD=6,求AF的长;（2）如图2,若AE=BE,且∠BEO=∠EAO,求证:AE=2OE．5、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为形外一点,BD⊥CD于点D,CD交AB于E. （1）如图1,若∠ABD=15°,BE=6,求BC的长;（2）如图2,连接AD,作AF⊥BC于F,交CD于M,若DA=DB,求证:CE=CM.6.（2017春・垫江县期末）已知,如图1在锐角△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F.（1）若BF=5,DC=3,求AB的长；（2）在图1上过点F作BE的垂线,过点A作AB 的垂线,两条垂线交于点G,连接BG,得如图2。
①求证：∠BGF=45°;②求证：AB=AG+AF.2019重庆中考数学第24题专题训练二答案解析。
2019重庆中考数学第24题专题训练七
2019重庆中考数学第24题专题训练七（部分答案）
2018.10.16
1、重庆市第八中学2019级九年级上第一次月考 24.在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，AB=BD ，E 为线段AD 上一点,AE=BE ，F 为射线BE 上一点,DE=BF ，连接AF.
（1）如图1，若∠BED=60°，
CD=EF 的长；
（2）如图2，连接DF 并延长交AB 于点G ，若AF=2DE ，求证：DF=2GF
图1
A
图2
C
A
第24题图
2、重庆南开中学2019届九上第一次月考（阶段测试二）
H
K
3、重庆市实验外国语学校初2019级第一次月考
4、重庆一中初2019级2018-2019学年度上期第一次定时作业
5、在ABCD 中，AC CD ⊥，点E 为边BC 上一点，点F 为AE 的中点，点G 为ABCD 外一点，连接AG CG DG 、、,已知AGC ADC ∠=∠.
（1） 如图1，若tan 2ADC ∠=,点E 为边BC 中点，1AF =,求线段CD 的长； （2） 如图2，若2ACG ACB ∠=∠,DG BE =,求证：2.CG BF =
B
D
B
D
如图1 如图2
H。
2019重庆中考数学第24题专题训练十
2019重庆中考数学第24题专题训练十1、（八中初二上周考九）如图所示，ABC ∆是等腰直角三角形，其中o90=∠BAC ，D 是AC 边上的一点，连接BD ，过A 作BD AE ⊥交BD 于E ，AE AF ⊥，且AE AF =，连接FE 并延长，交BC 于M 点．（1）若5=FC ，1=ED ，求BD 的长； （2）求证：CM BM =．2、（南开2019级上半期）如图1，在平行四边形ABCD 中，过点作CE AD ⊥于点E ，过AE 上一点F 做FH FH CD ⊥于点H ，交CE 于点K,且KE=DE. （1）若AB=13，且5cos 13D ∠=，求线段EF 的长。
（2）如图2，连接AC ，过F 做FG ⊥AC 与点G ，连接EG ，求证，EG3、（一中2019级上半期）在平行四边形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为BC中点，连接BE,DF 交于点G，且GA=GD,（1）如图1，若AB=AE=BG=,AE⊥CD,求AG2的值（2）如图2，若EM平分∠BEC，且EM//DF，过点G做GN⊥BE交AE于点N且GN=GE,求证：AE⊥CD4、（西附2019级上第一次月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一点，连接AC, E为AD延长线上一点，连接BE并延长，交AC延长线于点G，（1）如图，若BE⊥AE，∠BAD=15°，BC=1，求△ABG的面积。
（2）如图2，连接EC，过点A做AF⊥EC交EC延长线于点F，且∠FAC=∠BAE.求证：CE5、（巴川2019级上半期）在△ABC中，以AB为斜边，做直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，（1）如图1，若AB=AC，∠ABD=60°，BD= 点P, M分别为BC, AB边的中点，连接PM,求线段PM的长。
（2）如图2，若AB=AC,把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC 于点P，求证:BP=CP（3）如图3，若AD=BD,过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，且EF AC, AE=EC, 请直接写出线段BF，FC , AD之间的关系，（不需证明）6、（一外2019级上周考10）如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD=AF, E为△ADC内一点，连接AE, BE, AE平分∠CAD，AE BE.（1）若∠EBD=15°，求∠ADF；（2）求证：BE-AE=DF.7、重庆一中2018-2019学年度上期初2020级八年级数学半期考试8、西南大学附属中学2018-2019学年上学期初2019级初三年级第三次月考10、重庆市巴川中学2018-2019学年度上学期（秋季）初2020届初二年级半期考试11、已知△ABC 中，AB AC =，过B 点作射线BE ，过C 点作射线CF ，使ABE ACF ∠=∠，且射线BE ，CF 交于点D ，过A 点作AM BD ⊥于M ．（1）如图1所示，若CF BE ⊥，4=AB ，︒=∠30ABE ，求CD ； （2）如图2所示，求证：DC DM BM -=.图1A BC EFMD图2。
2019重庆中考数学第24题专题训练二(含答案解析)
2019重庆中考数学第24题专题训练二1、如图，00=90,90,ABC DEB ∠∠==,,BA BC BD BE =连接,,AE CD AE 所在直线交CD 于点,F 连接.BF （1）连接,,AD EC 求证：;AD EC =（2）若,BF AF ⊥求证：F 点为CD 的中点.BBCADF E3、如图，矩形ABCD 中，2BC AB =,点E 是边AD 的中点，点F 是线段AE 上一点（点F 不与点,A E 重合）连接BF ,过点F 作直线BF 的垂线，与线段CE 交于点,G 点H 是线段BG 的中点. （1）若CE =求矩形ABCD 的面积；（2）求证：.BF =B4、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F （1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长；（2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEBHBH图1 图25、如图，在ABC ∆中，090BAC ∠=,AB AC =,点D 为形外一点，BD CD ⊥于点D ，CD 交AB 于E , （1）如图1，若015ABD ∠=,6,BE =求BC 的长；（2）如图2，连接AD ,作AF BC ⊥于,F 交CD 于,M 若DA DB =,求证：2.CE CM =EBC ADEMBCA DF图1 图22019重庆中考数学第24题专题训练二答案解析1、如图，00=90,90,ABC DEB ∠∠==,,BA BC BD BE =连接,,AE CD AE 所在直线交CD 于点,F 连接.BF （1）连接,,AD EC 求证：;AD EC =（2）若,BF AF ⊥求证：F 点为CD 的中点.MG3、如图，矩形ABCD 中，2BC AB =,点E 是边AD 的中点，点F 是线段AE 上一点（点F 不与点,A E 重合）连接BF ,过点F 作直线BF 的垂线，与线段CE 交于点,G 点H 是线段BG 的中点. （1）若22,CE =求矩形ABCD 的面积；（2）求证： 2.BF EH =EABCDFGH。
2019重庆中考数学第24题专题训练九
2019重庆中考数学第24题专题训练九
2018.11.25 重庆八中初２０１９级初三上第六次周考数学试题
C
重庆八中2018-2019学年上学期2019届初三半期考试
M
重庆第二外国语学校初2019级初三年级第二学月质量检测
重庆市第八中学初2019级初三上学期第十次周考
重庆市第八中学初2019级初三上学期第八次周考
重庆外国语学校2018—2019学年度（上）初三年级半期考试
如图，ABC
∠90
BCD
ABC.
=
∠
Rt∆与BCD
AB=，︒
Rt∆在线段BC的同侧，BC
=
（1）如图1，已知2
=
BD，求CD的长；
=
6
AC，41
（2）如图2，将BCD
Rt∆，点C、D的对应点分别是
90得到BAF
Rt∆绕着点B逆时针旋转︒
点A、F，连接CF和AD.过点B作CF
BH⊥于点H，交AD于点M，求证：BM
=.
CF2。
2019重庆中考数学第24题专题训练十三(含答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练十三(答案在后面)1、重庆一中2019届九年级上学期期末24、如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE=AD，F为DC上一点，且AD=FD，连接AF与DE交于点G。
（1）若∠C=60°，AB=2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH=CE，求证：AB=DG+AHY中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、2、如图，已知ABCDM，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）求证：AB=DG+EC3、如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D 作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．4、如图，在ABCD 中，CE ⊥AD 于点E ，且CB=CE ，点F 为CD 边上的一点，CB=CF ，连接BF 交CE 于点G ． （1）若∠D=60°，CF=，求CG 的长； （2）求证：AB=ED+CG ．5、重庆市沙坪坝区2019届九年级上学期期末BGDB第24题图1 第24题图26、重庆实验外国语学院2018-2019学年上期期末考试初三数学试题在△ABC 中,D 为BC 上一点,连接AD,过点B 作BE 垂直于CA 的廷长线于点E,BE 与DA 的延长线相交于点F(1)如图1,若AB 平分∠CBE,∠ADB=30·,AE=3,AC=7,求C 的长;(2)如图2,若AB=AC,∠ADB=45°,求证:.BC =7、重庆南开中学2019届九年级上学期期末如图,在平行四边形ABCD 中,对角线BD ⊥AD,E 为CD 上一点,连接AE 交BD 于F.G 为AF 的中点,连接DG.(1)如图1,若DG=DF=1,BF=3,求CD 的长；(2)如图2,连接BE,且BE=AD,090,AEB ∠= M 、N 分别为DG ,BD 上的点，且DM=BN,H 为AB 的中点,连接HM 、HN,求证:∠MHN=∠AFB.8、重庆巴蜀中学初2019届初三上期末试卷9、重庆市两江新区2018-2019学年八年级第一学期期末如图,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,B、C、E三点共线,连接DC,点F为CD上的一点,连接AF。
2019重庆中考数学第24题专题训练之二------平行四边形(Word版含答案)
2019重庆中考数学第24题专题训练---平行四边形(二)1、重庆巴蜀中学2018-2019学年度下期初2020级初二第一次定时作业如图,在平行四边形ABCD 中,点H 为DC 上一点,BD 、AB 交于点0、△ABO 为等边三角形,点E 在线段A0上，OD=OE 连接BE,点F 为BE 的中点,连接AF 并延长交BC 于点G 且∠GAD=60°. (1)若CH=2,AB=4求BC 的长；(2)求证: BD=AB+AE 。
2、重庆一中2018-2019学年初2020级八年级下期数学第一次定时作业(4月月考)在平行四边形ABCD 中，CE ⊥BA,交BA 的延长线于点E 。
(1)如图1,连102 AC ,AE=2,BC=10,求ABCD 的面积；(2)如图2,延长CD 至点G,使得CD=DG,连接BG 交AD 于点F,连EF,FC.求证:EF=CFBDB图1 图23、重庆市巴蜀中学、育才中学、南开中学三校联考初2019级一诊4、重庆西南大学附属中学2019级第六次月考在ABCD中,AC=AD,（1）如图1，过点A作AE⊥AC于E，若BC=10，AE=6，求AB边的长；（2）如图2，过点C作CF⊥CD交DD于F，在ABCD外有一点G，连接AG，使得AG=2OF,且∠BAG=∠BFC，连接BG.、DC，若CD=CF,求证：BG⊥BC.图1 图25、如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=BC.（1）如图1，过点B作BE⊥AC于点E，若AC=8，BE=6，求OE的长；（2）如图2，若∠BDC=045,过点C作CF⊥CD交BD于F，过B作BG⊥BC，且BG=BC,.连接AG、DG，求证：AG=2OF.图1 图26、重庆一中初2019级18-19学年度下期定时练习7、南开（融侨）中学初2019届（下）阶段检测二8、八中初2019级初三下第一次月考9、2019届一外第一次模拟考试如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点E 、F 分别在边AB 、BC 上。
2019重庆中考数学第24题专题训练十四
2019重庆中考数学第24题专题训练十四1、重庆育才中学初2019级初三(下)2019年入学考试如图，在平行四边形 A BCD 中，对角线 B D ∞ AD ，E 为 C D 上一点，连接 A E 交 B D 于点 F ，G 为 A F 的中点，连接 D G . （1）如图 1，若 D G =DF =1，BF =3，求 C D 的长；（2）如图 2，连接 B E ，且 B E =AD ， ∠AEB = 90 ，M 、N 分别为 D G ，BD 上的点，且 D M =BN ，H 为 A B的中点，连接 H M 、HN ，求证： ∠MHN = ∠AFB .2、重庆市融汇清华中学2019届九年级下学期数学入学考试如图一所示,△ABC 是等腰直角三角形,其中∠BAC =090，D 是AB 边上的一点,连接CD,过A 作AE CD ⊥.垂足为E ,,,AF AE AF AE ⊥= 连接.FB(1)求证：;CF FB =（2）如图二，延长FE ,交BC 于G ，若G 点正好为BC 的中点，求证：2.EG AE BF +=3、重庆外国语学校初2019级(九年级)2018-2019学年度下期入学考试45，点E在对角线AC上,BE的延长线交CD于点F,交AD的延长线于点在平行四边形ABCD中,∠ABE=0G过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M。
（1）若BE=AE=ABE的面积；(2)若∠ABC=3∠EBC，CA=CB,求证:CM=FG.4、重庆育才中学初2019级九年级上期末考试试题已知平行四边形ABCD中，连接AC，AC=AB,过点B作BE⊥AC,垂足为E,延长BE与CD相交于点F. （1）如图1,若AE=3,CE=2，求线段AD的长；AC=（2）如图2,若∠BAC=45°,过点F作FG⊥AD于点G,连接AF、EG，求证:.如图,在ABCD 中,AD ⊥AC,点E 是AC 上一点,且∠ADE =45°,连接DE 并延长交BC 于点F. （1）若3,2AE CD CE == 求ABCD 的面积； （2）过点A 作AG ⊥CD 于点G ，交DF 于点M ，点N 是CA 延长线上一点，连接MN ，若∠ACD =∠ANM ，求证：AC=CB+AN.6、如图,在ABCD 中，E 是AD 上一点,连接BE ，AH ⊥BC 交BE 于G ，连接CG 并延长交AB 于F,已知GC=CD,090GCD ∠=.(1) 若∠BAG=30°，GC=4，2AG =，求ABCD 的面积; (2)求证：.DE =BH8、重庆南开（融侨）中学初2019届（下）阶段一（入学）检测 如图，对角线AC ，BD 交交于点O ，AD =BD .(1)如图1，若BD =10,ABCD 的面积为60，求AB 的长；(2)如图2，若sin ∠ACD=sin 2ACD ∠=，过D 作DE ⊥DC 交AC 于点E ，过A 在△ACD 的同侧作AF ⊥AC ，且使AF =2OE ，连接BF ，求证：BF ⊥BC 。
2019重庆中考数学第24题专题训练十七
DE
C
F
G
A
B
M
4
5.八中八下周考 7M5Fra bibliotek M6
7
7、如图，在▱ABCD 中，以 BC 为斜边在▱ABCD 内作等腰直角△BCE，连接 DE，过点 E 作 EF⊥DE 交 AD
于点 F，∠CDE＝∠CED＝∠DCB． （1）若 BC＝2 ，求 AE 的长；（2）连接 FB，求证：EF+FA＝FB．
A
H
（2）证法二：
延长 FA 至点 H，使 AH=FE,连接 BH, ∵EF⊥DE,∠BEC=90°,∠DEC=75°，
∴∠FEB=105°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=75°,
∴∠HAB=105°,∴∠HAB=∠FEB
又 DC=EC,DC=AB, EC=BE,
∴BA=BE ∴△ABH≌△EBF(SAS) ∴BH=BF,∠ABH=∠EBF
（1）解：在 Rt△BCE 中，∵CE＝EB，BC＝2 ，∴EC＝EB＝2，设∠CDE＝∠CED＝∠DCB＝x，则 有：45°+ （180°﹣2x）＝x，解得 x＝75°，∴∠DCE＝30°，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴
CD∥AB，∴∠ABC＝180°﹣∠DCB＝105°， ∵∠EBC＝45°，∴∠ABE＝60°，∵CD＝CE＝EB＝AB，∴△AEB 是等边三角形，∴AE＝BE＝2． （2）证法一： 在 FD 上取一点 H，使得 FH＝FE．∵∠DEF＝∠CEB＝90°，∠DEC＝∠DAB＝75°， ∴∠BEF＝105°，∴∠FAB+∠FEB＝180°，∴∠AFE＝180°﹣∠ABE＝120°， ∴△HFE＝60°，∴△FHE 是等边三角形，∴∠HEF＝∠AEB， ∴∠HEA＝∠FEB，∵EH＝EF，EA＝EB，∴△HEA≌△FEB，∴AH＝FB， ∴AF+FH＝FB，∵FH＝FE，∴EF+FA＝FB．
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2019重庆中考数学第24题专题训练十七
1、如图,平行四边形ABCD 中,连接AC,AC=AB,过B 作BE⊥AC 于E,延长BE 与CD 交于F.
(1) 若AE=2,CE=1,求△ABC 的面积;(2)若∠BAC=45°,过F 作FG⊥AD 于G,连接AF、EG,求证:EG AC 2
2、重庆八中2018-2019学年初2020级八年级（下）定时练习（六）
3.重庆育才中学初2019级九年级上期末考试试题
已知平行四边形ABCD 中，连接AC ，AC=AB,过点B 作BE ⊥AC,垂足为E,延长BE 与CD 相交于点F. （1）如图1,若AE=3,CE=2，求线段AD 的长；
（2）如图2,若∠BAC=45°,过点F 作FG ⊥AD 于点G ,连接AF 、EG ，求证
:.AC =
4.在平行四边形ABCD 中,以AB 为边作等边△ABE,点E 在CD 上,以BC 为边作等边△BF,点F 在AE 上,
点G 在BA 延长线上且.FG FB =
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF 的面积；(2)求证：BE=AG+CE.
A
G
5.八中八下周考7
7、如图，在▱ABCD中，以BC为斜边在▱ABCD内作等腰直角△BCE，连接DE，过点E作EF⊥DE交AD
于点F，∠CDE＝∠CED＝∠DCB．
（1）若BC＝2，求AE的长；（2）连接FB，求证：EF+F A＝FB．
8、重庆市一中2019年九年级下数学期中
9、如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=0
60,点E是对角线BD上一点,以BE为边作等边△BEF,连接FD.
（1）
若AE AD CD
⊥=
，，求AD的长,
（2） 若点G为线段FD的中点,连接AG、EG，求证:AE=2AG.
B D
C
如图：已知▱ABCD中，以AB为斜边在▱ABCD内作等腰直角△ABE，且AE＝AD，连接DE，过E作EF ⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF＝15°
（1）若EF＝，求AB的长．（2）求证：2GE+EF＝AB．
2019重庆中考数学第24题专题训练十七答案
1、如图,平行四边形ABCD 中,连接AC,AC=AB,过B 作BE⊥AC 于E,延长BE 与CD 交于F.
(2) 若AE=2,CE=1,求△ABC 的面积;(2)若∠BAC=45°,过F 作FG⊥AD 于G,连接AF、EG,求证:EG AC 2
H
2、重庆八中2018-2019学年初2020
级八年级（下）定时练习（六）
M
3.重庆育才中学初2019级九年级上期末考试试题
已知平行四边形ABCD中，连接AC，AC=AB,过点B作BE⊥AC,垂足为E,延长BE与CD相交于点F. （1）如图1,若AE=3,CE=2，求线段AD的长；
AC
（2）如图2,若∠BAC=45°,过点F作FG⊥AD于点G,连接AF、EG，求证:.
H
4.在平行四边形ABCD 中,以AB 为边作等边△ABE,点E 在CD 上,以BC 为边作等边△BF,点F 在AE 上,
点G 在BA 延长线上且.FG FB
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF 的面积；(2)求证：BE=AG+CE.
A
G
5.八中八下周考7
M
M
Q
7、如图，在▱ABCD中，以BC为斜边在▱ABCD内作等腰直角△BCE，连接DE，过点E作EF⊥DE交AD
于点F，∠CDE＝∠CED＝∠DCB．
（1）若BC＝2，求AE的长；（2）连接FB，求证：EF+F A＝FB．
（1）解：在Rt△BCE中，∵CE＝EB，BC＝2，∴EC＝EB＝2，设∠CDE＝∠CED＝∠DCB＝x，则有：45°+（180°﹣2x）＝x，解得x＝75°，∴∠DCE＝30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠ABC＝180°﹣∠DCB＝105°，
∵∠EBC＝45°，∴∠ABE＝60°，∵CD＝CE＝EB＝AB，∴△AEB是等边三角形，∴AE＝BE＝2．（2）证法一：
在FD上取一点H，使得FH＝FE．∵∠DEF＝∠CEB＝90°，∠DEC＝∠DAB＝75°，
∴∠BEF＝105°，∴∠F AB+∠FEB＝180°，∴∠AFE＝180°﹣∠ABE＝120°，
∴△HFE＝60°，∴△FHE是等边三角形，∴∠HEF＝∠AEB，
∴∠HEA＝∠FEB，∵EH＝EF，EA＝EB，∴△HEA≌△FEB，∴AH＝FB，
∴AF+FH＝FB，∵FH＝FE，∴EF+F A＝FB．
A
H
（2）证法二：
延长FA至点H，使AH=FE,连接BH, ∵EF⊥DE,∠BEC=90°,∠DEC=75°，
∴∠FEB=105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=75°,
∴∠HAB=105°,∴∠HAB=∠FEB 又DC=EC,DC=AB, EC=BE,
∴BA=BE ∴△ABH≌△EBF(SAS) ∴BH=BF,∠ABH=∠EBF
又∵∠BCD=75°,∴∠ABC=105°,又∠EBC=45°,∴∠ABE=60°,∴∠FBH=60°,
∴△FBH为等边三角形，
∴FH=FB
8、重庆市一中2019年九年级下数学期中
9、已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=0
60,点E是对角线BD上一点,以BE为边作等边△BEF,连接FD.
（3）
若AE AD CD
⊥=
，，求AD的长,
（4） 若点G为线段FD的中点,连接AG、EG，求证:AE=2AG.
B D
C
M
如图：已知▱ABCD中，以AB为斜边在▱ABCD内作等腰直角△ABE，且AE＝AD，连接DE，过E作EF ⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF＝15°
（1）若EF＝，求AB的长．（2）求证：2GE+EF＝AB．
解：（1）作EH⊥AB，交AB于H，∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，EA＝EB，∴EH＝HB＝AH＝AB，∴∠EFH＝∠EAB+∠AEF＝60°，
∴∠FEH＝30°，∴FH＝EF＝EH＝，∴AB＝3，
（2）连接EC，∵∠AEF＝15°，EF⊥DE，AE＝AD，∴∠DEA＝∠EDA＝75°，∴∠EAD＝30°，∵∠BAE＝45°，∴∠DAB＝∠DCB＝75°，∠CBA＝∠CDA＝105°，∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE＝60°，∵AD＝BE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠DCE＝15°，CE＝BE＝AE，∵∠GED＝90°，∠GDE＝30°，∠DGE＝60°，∴DG＝2GE，
∵∠EGC＝105°＝∠AFE，CE＝AE，∠DCE＝15°＝∠AEF，
在△AEF与△ECG中，，
∴△AEF≌△ECG，
∴GC＝FE，
∴AB＝DC＝DG+GC＝2GE+CG＝2GE+EF．。