2019-2020年高二数学 上学期两条直线的位置关系 第二课时教案二
高二数学 上学期两条直线的位置关系 第二课时教案二
高二数学上学期两条直线的位置关系第二课时教案二●教学目标(一)教学知识点1.直线l1到l2的角.2.直线l1与l2的夹角.3.夹角公式.(二)能力训练要求1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.(三)德育渗透目标1.2.认识事物在一定条件下能够相互转化.●教学重点两条直线的夹角.●教学难点夹角概念的理解.●教学方法学导式首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l1到l2的角，直线l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.●教具准备投影片两张第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2 A）第二张：本节例题(记作§7.3.2 B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾.［师］两直线平行的充要条件是什么?［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等.［师］两直线垂直的充要条件是什么?［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1.［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.Ⅱ.讲授新课1.直线l1到l2的角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角.［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，应注意在这一概念中l 1、l 2是有顺序的.如图，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2.并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的概念.2.直线l 1与l 2的夹角如上图所示，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2＝π－θ1，当直线l 1与l 2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.当直线l 1⊥l 2时，直线l 1和l 2的夹角是2π. 说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π.［师］请大家根据直线l 1到l 2的角与l 1与l 2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同?［生］l 1到l 2的角的取值范围是(0°，1８0°)，l 1与l 2的夹角的取值范围是(0°，2π］. ［师］下面我们一起推导直线l 1到l 2的角的公式.3.直线l 1到l 2的角的公式tan θ＝21121k k k k +- (给出投影片§7.3.2 A)推导：设直线l 1到l 2的角为θ，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2.如果1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1，则θ＝2π；如果1＋k 1k 2≠0设l 1、l 2的倾斜角分别是α1和α2，则k 1＝tan α1，k 2＝tan α2由上图(1)(2)分别可知：θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1）∴tan θ＝tan （α2－α1）或tan θ＝tan ［π＋（α2－α1）］＝tan （α2－α1）于是tan θ＝121212121tan tan 1tan tan k k k k +-=+-αααα ［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l 1到l 2的角取绝对值而得到l 1与l 2的夹角公式.4.直线l 1和l 2的夹角公式tan α＝12121k k k k +- ［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.5.例题讲解［例4］求直线l 1：y ＝－2x ＋3，l 2：y ＝x －23的夹角(用角度制表示). 解：由两条直线的斜率k 1＝－2，k 2＝1得tan α＝3)2(1)2(111212=-+--=+-k k k k ∴α＝ar c tan3＝71°3４′评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握.［例5］等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2＝0，底边所在直线l 2的方程是x ＋y －1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程.分析：已经已知l 3上一点，故求出l 3的斜率k 3即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而θ1、θ2分别为直线l 1到l 2与l 2到l 3的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，由此可建立关于k 3的方程.解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1＝21，k 2＝－1. ∴tan θ1＝21)1(121)1(11212⋅-+--=⋅+-k k k k ＝－3. 因为l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1＝θ2，ｔa ｎθ2＝tan θ1＝－3. 即23231k k k k ⋅+-＝－3，将k 2＝－1代入得3311k k -+＝－3 解得k 3＝2.因为l 3经过点(－2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为y ＝2（x －（－2）) 即：2x －y ＋４＝0这就是直线l 3的方程.评述：此题应用了l 1到l 2的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点斜式，要求学生注意解答的层次.Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1.求下列直线l 1到l 2的角与l 2到l 1的角：（1）l 1：y ＝21x ＋2；l 2：y ＝3x +7；(2)l 1：x －y ＝5；l 2：x ＋2y －3＝0解：（1）∵k 1＝21，k 2＝3 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则tan θ1＝23121312112+-=+-k k k k ＝1 ∴θ1＝４5°即l 1到l 2的角为45°.∴l 2到l 1的角为135°.(2)解：∵k 1＝1，k 2＝－21 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则l 2到l 1的角为θ2＝π－θ1∴tan θ1＝321112112112=---=+-k k k k ∴θ1＝π－arctan3.θ2＝arctan3即l 1到l 2的角为π－arctan3，l 2到l 1的角为arctan3.2.求下列两条直线的夹角：（1）y ＝3x －1，y ＝－31x ＋４； （2）x －y ＝5；y ＝４.(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.解：(1)k 1＝3，k 2＝－31. tan α＝037313133112112-=⨯---=+-k k k k 分母为0，正切值不存在.此时，两直线夹角为90°.(也可根据k 1·k 2＝-1得出的结论)(2)k 1＝1，k 2＝0tan α＝21121k k k k +-＝1 ∴α＝４5°即两直线夹角为４5°.(3)k 1＝35，k 2＝－35 ∴k 1·k 2＝－1∴两直线夹角为90°.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l 1到l 2的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 53习题7.38.三角形的三个顶点是A (6，3)，B (9，3)，C (3，6)，求它的三个内角的度数.解：由斜率公式：k AB ＝6933--＝0 k BC ＝219336-=-- k AC ＝6336--＝－1 tan CAB ＝ABAC AB AC k k k k ⋅+-1＝－1 ∴∠CAB ＝135°tan ABC ＝01211+=⋅+-BC AB BCAB k k k k 21= ∴∠CBA ＝arctan 21＝26°3４′ ∴∠C ＝1８0°－135°－26°3４′＝1８°26′9.已知直线l 经过点P （2，1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.解：设直线l 的斜率为k 1，直线5x ＋2y ＋3＝0的斜率为k 2.则k 2＝－25. tan ４5°＝21121k k k k ⋅+-＝1 即1125125k k ---＝1 解得k 1＝-73或k 1＝37. 所以直线l 的方程为：y －1＝－73（x －2）或y －1＝37（x －2） 即：3x ＋7y －13＝0或7x －3y －11＝0.（二）1.预习内容：P 50～512.预习提纲：（1）如何通过直线方程判断两直线相交? （2）如何求解两直线的交点?●板书设计。
两条直线的位置关系教案
两条直线的位置关系教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．（5）进一步掌握求直线方程的方法．（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议一、教材分析1．知识结构2．重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．（1）平行与垂直①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在．（2）夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念．到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则＋＝．与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向．当到的角为锐角时，则和的夹角也是；当到的角为钝角时，则和的夹角也是．②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出．再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．（3）交点①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若，，则：与相交；且；与重合且．（4）点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：．③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有即得，即，．当时，上述公式也成立．（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．二、教法建议1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式． 2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．教学设计方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.（2）会求点到直线的距离.（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程（一、引入点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离．（由学生分析、解答）分析：先求出过点和垂直的直线：：，再求出和的交点∴如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离．二、点到直线距离分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度．∵点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了．又∵点是直线和直线的交点又∵直线的方程已知∴只要求出直线的方程就可以了.即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）问：这种解法好不好，为什么?根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：，所以：，所以：根据三角形面积公式：所以：（至此问题2已经解决）公式的完善.容易验证（由学生完成）：当，即轴时，公式成立；当，即轴时，公式成立；当点在上时，公式成立．公式结构特点师生一起总结：（1）分子是点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根．类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固练习1（1）到直线的距离是________．（2）到直线的距离是_______．（3）用公式解到直线的距离是______．（4）到直线的距离是_________．订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）．练习21．求平行直线和的距离．解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离．因此，＝＝【问题3】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离．解：在直线上任取一点，如则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）．因此，＝＝注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．四、小结作业1、点到直线的距离公式及其推导；师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2、利用公式求点到直线的距离．3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．作业：P5413、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．。
高二数学8.3两条直线的位置关系第二课时表格式教案设计
8．3 两条直线的位置关系（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：
培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．
【教学难点】
两条直线的位置关系的判断及应用．
【教学设计】
与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是0,90⎡⎤⎣⎦
．
教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．
例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．
例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．
需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图8－12 探索新知
图8－14
8－15
11tan BC
k AB
α==， 233tan tan()tan ==-=-=-AB BC
ααα180 121k k ⋅=-．
上面的过程可以逆推，即若121k k ⋅=-，则1l ⊥2l
1l
【教师教学后记】。
教学教案-两条直线的位置关系教案(第2课时)
2.2.3两条直线的位置关系2.两条直线垂直的条件一、本单元的地位与作用（一）本单元的地位与作用：在初中数学中，学生已经学习过通过角度等于90°来判定两条直线垂直，对垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步理解能力.本单元通过公式讨论两条直线垂直时的条件，体现了用代数方法研究几何问题的思想，是一种全新的思维方式.通过本单元的学习，我们要让学生学会判定两条直线是否垂直，可以为下一阶段的点到直线距离打下基础，理解两条直线垂直与直线斜率的关系，更对以后学习圆锥曲线有着重要的作用，因此十分重要.（二）外部知识结构：二、本单元知识结构与内容分析（一）知识点：1、根据直线的一般方程判断两条直线垂直公式2、根据直线方程的斜率判断两条直线垂直公式3、公式推导4、判断两条直线是否互相垂直的计算步骤（二）内部知识结构：（三）内容分析：1、公式分析：（1）公式的引入：上节课学习了两条直线的位置关系中的相交、平行与重合的条件，教师在教学过程中可以举实例引入.例如，现实生活中墙角所处的两条直线就是相交的位置关系，但是是一种90°的特殊情况，进而引出本节课我们将进一步讨论的两条直线垂直的位置关系.（2）公式：①已知L 1:A 1x +B 1y +C 1=0，L 2: A 2x +B 2y +C 2=0,则L 1⊥L 2 ⇔ A 1 A 2+ B 1 B 2=0②已知L 1:A 1x +B 1y +C 1=0，k 1=- 11B A (B 1 ≠0) L 2: A 2x +B 2y +C 2=0，k 2=-22B A ( B 2 ≠0) 则L 1⊥L 2 ⇔ k 1 k 2=-1注意：当两条直线中有任意一条直线或者两条直线斜率都为不存在时，必须应用公式①进行判定.当两条直线中有任意一条直线斜率不存在时，与之垂直的直线的斜率为0.（3）公式的组成：已知L 1:A 1x +B 1y +C 1=0，k 1=- 11B A (B 1 ≠0) L 2: A 2x +B 2y +C 2=0，k 2=-22B A ( B 2 ≠0) 结论L 1⊥L 2 ⇔ A 1 A 2+ B 1 B 2=0⇔ k 1 k 2=-1（4）公式的地位与作用：本单元学习的判断两条直线垂直的条件公式可以更一般性的判断两条直线垂直，运用更广泛，更方便.本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线垂直的位置关系，它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础.（5•••••••证明方法及基本过程 已知两条直线：L 1:A 1x +B 1y +C 1=0 ，L 2: A 2x +B 2y +C 2=0，由于直线L 1与直线L 1’ :A 1x +B 1y =0平行或重合，直线L 2与直线L 2’:A 2x +B 2y =0平行或重合，因此我们研究L 1和L 2垂直条件时，可转化为研究直线L 1’和L 2’垂直的条件.①假定L 1，L 2都不与坐标轴平行或重合：当L 1⊥L 2时，通过坐标原点作直线L 1’∥ L 1和L 2’∥ L 2，则L 1’和L 2’互相垂直. 在直线L 1’ ，L 2’上分别取两点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）(不含原点).由勾股定理和两点间距离公式，得x 12+ y 12 +x 22+ y 22=( x 1-x 2)2+( y 1-y 2)2有 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0②假定L 1，L 2中有一条直线与坐标轴平行或重合：当L 1⊥L 2时，可以推出L 1，L 2中的另外一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A 1 A 2 +B 1 B 2 =0.总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线L 1和L 2，有L 1⊥L 2 ⇔ A 1 A 2+ B 1 B 2=0③如果B 1 B 2 ≠0，则L 1的斜率k 1=- 11B A ，L 2的斜率k 2=-22B A ，又可以得出： L 1⊥L 2⇔ k 1 k 2=-1•证明中用到的论据：勾股定理、两点间距离公式和斜率表达式•证明思想：用坐标法证明，体会数形结合的思想（6）公式的限制条件：通过公式k 1 k 2=-1判断两条直线垂直时，斜率必须存在，即B 1 B 2 ≠0.（7）公式的用途：通过公式判断两条直线是否垂直，也可以通过两条直线垂直求解直线方程.（8）两条直线的垂直与两条直线的相交、平行、重合的联系与区别：已知两条直线：L 1:A 1x +B 1y +C 1=0 ,斜率为k 1，L 2: A 2x +B 2y +C 2=0，斜率为k 2.2、判断两条直线是否互相垂直的计算步骤：（1）给A 1 、B 1、C 1，A 2、 B 2 、 C 2 赋值；（2）计算M =A 1 A 2 +B 1 B 2 ;（3）若M =0，则L 1⊥L 2；若M 0，则L 1与L 2不垂直.3、例题与习题分析：例3、例题类型：判断题已知条件：两条直线方程①2x -4y -7=0与2x +y -5=0;②y =3x +1与y =-31x +5. 求解目标：判断下列各组中的两条直线是否垂直搭配习题：练习A 1、2，练习B 1、2、3例4、例题类型：证明题已知条件：两条直线方程直线Ax +By + C 1=0与直线Bx -Ay + C 2=0求证目标：证明直线Ax +By + C 1=0与直线Bx -Ay + C 2=0垂直.搭配习题：练习A 3例5、例题类型：计算题已知条件：①点（-1,3），直线方程y =2x -3;②点 (1,2),直线方程2x +y -10=0.求解目标：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程解题所需数学水平：理解和掌握两条直线垂直的判定公式，进一步形成灵活运用的能力例题目的：通过两条直线垂直的条件，求解直线方程，掌握两条直线垂直的判定公式的逆运用求解过程：①通过两条直线垂直的判定公式求出所求直线的斜率②通过直线斜率写出直线的待定系数的点斜式方程③通过已知点求出方程求解方法：待定系数法搭配习题：练习A4，练习B4三、数学学习的心理分析：学生在初中已经学习过两条直线垂直的判断，对垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步理解能力.所以学生容易产生马虎心理，部分学生可能对自己的学习要求放松，不能严格要求自己，造成粗心、马虎现象.但是本单元通过公式讨论两条直线垂直时的条件，体现了用代数方法研究几何问题的思想，学生面对的又是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯.学生又可能会产生厌烦心理，这种心理一定程度上制约着学生参与课堂学习的积极性，教师应注意避免教学方法单一，教学内容枯燥，课堂毫无生机的情况发生.教师在教学中可以采用课件演示来调动学生学习的兴趣，也可以通过学生自主探索、师生互动等形式提高学生学习兴趣，达到有意义学习的目的.四、本单元的教学目标、重点与难点（一）教学目标：1、知识与技能：（1）进一步理解直线方程的概念，熟练掌握两条直线垂直的判定公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；（2）掌握两条直线垂直的充要条件，根据两条直线垂直的位置关系求出（或表示出）相关直线的斜率.2、过程与方法：（1）在两条直线相交、平行与重合的位置关系的知识基础上，通过观察、猜想和师生讨论得出两条直线垂直的条件；（2）通过体验、经历用斜率研究两条直线位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的关系，解释几何含义，即初步体会数形结合的思想.3、情感态度与价值观：（1）通过对知识的自主探索、归纳，提高学习兴趣，树立信心，培养坚强的意志品质和锲而不舍的学习精神；（2）感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用，培养学生数形结合思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点.（二）教学重点：两条直线垂直的斜率判定公式.教学难点：两条直线垂直的判定公式的推导.如何突破重点：教师在教学过程中应该注重加深学生对两条直线垂直的判定公式的理解，举出各种形式的例题来帮助学生巩固知识点.例如判断一条斜率存在的直线与一条斜率不存在的直线，一条斜率为零的直线与一条斜率非零的直线，一条斜率为正数的直线与一条斜率为负数的直线等.如何突破难点：教师在教学过程中，可以采用师生互动的形式，先让学生自主探索推导，最后教师进行总结，加深学生对公式推导过程中的各种情况讨论的理解与知识点的巩固，掌握分类的思想方法.。
2019-2020年高二数学上 7.3 两条直线的位置关系(二)优秀教案
2019-2020年高二数学上 7.3 两条直线的位置关系（二）优秀教案一、教学目标(一)知识教学点1，知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．2点到直线距离公式的推导及其熟练应用(二)能力训练点1，通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．2，培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．展示点到直线的距离公式的探求思维过程2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．(三)推导点到直线的距离公式设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，x1)(图1-37)．∵PR∥Ox，∴y1=y．代入直线l的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．∵α＜90°，∴|PQ|=|PR|sinα1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业习题3第7题2019-2020年高二数学上 7.3《等比数列》教案沪教版一、教学内容分析本小节的重点是等比数列和等比中项的概念，理解的关键是发现相邻项之间的关系．本小节的难点是等比数列的递推公式．突破难点的关键是掌握相邻两项或三项之间运算关系．二、教学目标设计理解等比数列和等比中项的概念; 能正确计算公比及相关的项；通过对等比数列的学习，培养观察、类比分析能力．三、教学重点及难点重点：等比数列和等比中项的概念；难点：等比数列递推关系．四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题什么叫等差数列、等差中项？递推关系式是什么？二、讲授新课１、等比数列（１）等比数列的概念引入研究下面3个数列的递推公式及其特点（课本P19）1，2，4，8，…；①5，25，125，625，…； ②1，-，，-，…； ③解答：数列①②③的递推公式分别是：数列①：，数列②：， 数列③：()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-122111a n a a n n ．[说明]启发学生观察并发现如下结论：这三个递推公式都可以写成()为非零常数q n q a a n n ,21≥=-的形式，得出相邻两项之间的关系． （２）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q 表示． ２、等比中项（１）等比中项的概念与等差中项的概念类似，如果成等比数列，那么G 叫做的等比中项.等比中项的性质：（1） 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积.（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.3、概念深化以为等比中项的三个数可表示为，显然它们的积是等比中项的立方.4、例题解析例1.在数列中，如果数列为等比数列，，求公比及，并用计算器计算、．解： ，=-25，=-6.25，=-0.78125[说明]①启发学生利用等比数列的定义，即相邻两项的关系解决问题．②让学生回味计算过程，为研究通项公式作铺垫．例2．求9与25的等比中项G ．解：G ＝．例3．在2与9之间插入两个数，使前三个数依次成等差数列，后三个成等比数列，试求出这个数列.解：设插入的两个数依次为，则有，解得分别为或4，6，所以这个数列的各项为2，，9或2，4，6，9例4．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数.（补充）解：设前三个数分别为，则第四个数为，由 ()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-36372d a a a d a d a 解得，，所求的四个数是12，16，20，25或.[说明] 合理利用等差中项与等比中项的性质，可使本题求四个量转化为求两个量.三、巩固练习练习7.3（1）四、课堂小结等比数列与等比中项的概念，探究它们的递推关系，利用定义进行正确的计算．五、课后作业书面作业： 习题７.3 A 组 ５、７ Ｂ组 １、。
2.1.2两条直线的位置关系 教案-2020-2021学年高二数学人教A版必修2
两直线的位置关系一、教学目标1、使学生熟练运用两条直线垂直、平行、相交、重合的判定方法解题。
2、使学生熟练运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解题，会求两条平行线间的距离。
3、使学生掌握运用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
4、培养学生自主学习的习惯，训练其思维的严密性。
二、教学重难点重点：判断两条直线的位置关系并利用直线的位置关系写方程。
难点：讨论含参数的两条直线的位置关系。
三、教学过程（一）课前练习( 1)已知直线1l :ax+2y+6=0 与直线2l :x+(a-1)y+2a -1=0垂直，则实数a= （ ）A. 23B. -1C. 2D. -1或2 （2）已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1710 B. 175C.8D.2 （二）题型分析题型1.两直线的位置关系问题：例1、已知直线1l 过A （3，a ），B （a-2,3）两点，2l 过C(2,3),D(-1,a-2)两点，且12l l ⊥，求a 的值。
变式1.已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线为1l ，直线2x+y-1=0为2l ，直线x+ny+1=0为3l ，若1l 与2l 平行，2l 与3l 垂直，求实数m+n 的值变式2.设直线1l ：2x-my-1=0,2l :(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“1l 与2l 平行”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件巩固练习1、若直线l 过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l 的方程为___________2、若直线l 过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0平行，则直线l 的方程为___________3、经过两直线1l ：x-2y+4=0和 2l :x+y-2=0的交点P ，且与直线 3l ：3x-4y+5=0垂直的直线方程为__________________.知识小结：常见的三大直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m≠C)． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R)． ③过直线1l :1A x ＋1B y ＋1C ＝0与2l ：2A x ＋2B y ＋2C ＝0的交点的直线系方程为1A x ＋1B y ＋1C ＋λ(2A x ＋2B y ＋2C )＝0(λ∈R)，但不包括2l .题型2. 距离问题例2、已知点()2,1P -，求（1）过点P 与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过点P 与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？变式：已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l ：4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使PA PB =,且点P 到直线l 的距离为2思考:已知直线l ：2x-3y+1=0,点A （-1，-2），求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标（三）课堂小结（四）作业布置：三维设计P114考点三对称问题。
2019-2020年高中数学两条直线的位置关系(交点)教案新课标人教版必修2(B)
2019-2020年高中数学两条直线的位置关系(交点)教案新课标人教版必修2(B)教学目的：1. 掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2. 认识两直线交点与二元一次方程组的关系；3.体会判断两直线相交中的数形结合思想.4.认识事物间的内在联系，用辩证的观点看问题.教学重点：判断两直线是否相交.教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一、复习引入：直线上的点与直线方程的关系，进而设问两直线的交点到底与这两直线的方程有何关系？二、讲解新课：两条直线是否相交的判断设两条直线和的一般式方程为：，：如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点.因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解二、讲解范例：例1 求经过原点及两条直线:x-2y+2=0,:2x-y-2=0的交点的直线的方程。
例2 两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点在第四象限，则的取值范围是。
例3当为何值时，直线过直线与的交点?例4 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.四、课堂练习：1.求下列各对直线的交点，并画图：(1) ：2＋3＝12，：－2＝４.(2) ：＝2，：3＋2－12＝0.2.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标.(1) ：2－＝7 ，：４＋2＝1；(2) ：2－6＋４＝0 ，：＝；(3) ：（－1）＋=3 ，：＋（＋1）＝2.五、小结：两直线相交的判断方法，及求解两直线交点坐标.两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合六、课后作业：课本P54习题7.310.光线从点M(－2，3）射到轴上一点P(1，0)后被轴反射，求反射光线所在的直线的方程.11.求满足下列条件的方程：(1)经过两条直线2－3＋10＝0和3＋４－2＝0的交点，且垂直于直线3－2＋４＝0；(2)经过两条直线2＋－８＝0和－2＋1＝0的交点，且平行于直线４－3-7＝0；(3)经过直线＝2＋3和3－＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线.12.直线＋2＋８＝0，4＋3＝10和2－＝10相交于一点，求的值.七、板书设计（略）。
2019-2020学年人教B版必修二 两直线的位置关系 教案
两直线的位置关系基础知识整合1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔□01k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔□02k 1k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组□03⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝□04 x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝□05|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝□06|C 1－C 2|A 2＋B 2.1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．(2019·广东惠阳模拟)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5 B.55 C. 5 D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.2．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.故选C.3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析 因为所求直线与直线x －2y －2＝0平行，所以设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，得出c ＝－1，故所求方程为x －2y －1＝0.4．(2019·重庆模拟)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5答案 C解析 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝－3－2＋[5－－2＝510.故选C.5．(2019·陕西黄陵模拟)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4)答案 D解析 ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D.6．(2018·金华模拟)经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即交点P (0,2)．因l 3的斜率为34，且l⊥l 3，故l 的斜率为－43.故直线l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.核心考向突破考向一 平行与垂直问题例 1 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当m ＝2时，将m ＝2代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.(2)(2019·湖北武汉调研)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析 由已知两直线垂直得b 2＋1－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，根据b >0，两边同时除以b 得ab ＝b ＋1b≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 即时训练 1.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．2．(2019·宁夏模拟)若直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________．答案 0或16解析 因为直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m ＝3m －1m 或者m ＝0，所以m ＝16或0.考向二 距离公式的应用例2 (1)(2019·四川绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295答案 C解析 因为36＝48≠－125，所在两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. (2)已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 答案 3解析 ∵M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15，而a 2＋b 2的几何意义是a ，b 坐标平面内原点到直线3a ＋4b ＝15上任意一点的距离，所以(a 2＋b 2)min ＝1532＋42＝3.触类旁通点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式. 运用两平行直线间的距离公式d ＝\f(|C 1－C 2|,\r(A 2＋B 2))的前提是两直线方程中的x ，y 的系数对应相等.即时训练 3.P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．4．(2019·河南中原联考)已知直线l 的方程为x －y ＋2＝0，抛物线为y 2＝2x ，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是________．答案324解析 设与直线l 平行的抛物线y 2＝2x 的切线方程为x －y ＋k ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x －y ＋k ＝0消去x ，得y 2－2y ＋2k ＝0，所以Δ＝(－2)2－8k ＝0，解得k ＝12.所以切线方程为x －y ＋12＝0.当点P 为切点时，点P 到直线l 的距离是最短距离，最短距离为直线l 到切线x －y ＋12＝0的距离，所以最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1212＋－2＝324. 考向三 对称问题角度1 点关于点的对称例3 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度2 点关于直线的对称例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.角度3 直线关于直线的对称例5 光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 触类旁通解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．即时训练 5.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.。
人教B版高中数学必修二两条直线的位置关系教案(2)
两条直线的位置关系4、点到直线的距离（说课教案）一．教材分析：1．本节教材在本章中的地位和作用：本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数，微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。
这节课“点到直线的距离”是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用点到直线的距离公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系。
2、本节内容的具体安排及编写思路：出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。
我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。
在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。
教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。
对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。
但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。
3．教学目标：1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。
2019-2020学年人教A版必修二 两直线的位置关系 教案
两直线的位置关系 教案1．(2018·安阳模拟)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则直线l 1：x ＋2y －1＝0，直线l 2：x ＋2y ＋4＝0，故两直线平行；若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，则a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝1或a＝－2.故“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．答案：A2．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由条件知k l ＝－32，∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，选A. 答案：A3．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：由直线垂直可得a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0， 变形可得a 2＋b 2＝4，由基本不等式可得4＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴ab 的最大值为2. 答案：B判断两直线平行或垂直的两个策略(1)设A 2B 2C 2≠0，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2.更一般地，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件为A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系，注意斜率不存在的情况不能忽略．考点二 距离问题|直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] 当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)． 即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离 d 1＝|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离 d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.求解距离问题的注意点解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．设a ，b 是关于x 的方程x 2sin θ＋x cos θ－2＝0(θ∈R )的两个互异实根，直线l 过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，则坐标原点O 到直线l 的距离是( )A ．2B ．2|tan θ| C.2|tan θ|D ．2|sin θcos θ|解析：由二元一次方程根与系数的关系可得⎩⎨⎧a ＋b ＝－cos θsin θ，ab ＝－2sin θ.直线l 的斜率k ＝a 2－b 2a －b＝a ＋b ，故直线l 的方程为y －a 2＝(a ＋b )(x －a )， 即(a ＋b )x －y －ab ＝0. 故原点O 到直线l 的距离 d ＝|－ab |(a ＋b )2＋(－1)2＝|ab |(a ＋b )2＋1＝⎪⎪⎪⎪－2sin θ⎝⎛⎭⎫－cos θsin θ2＋1＝2.答案：A考点三 对称问题|对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：1．点关于点对称． 2．点关于线对称． 3．线关于线对称． 4．对称问题的应用． 探究一 点关于点的对称问题1．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：依题意a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，所以|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10，故选B.答案：B探究二 点关于线对称问题2．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． 在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小． 解：设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎨⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值， 为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． 探究三 线关于线对称问题3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解：(1)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (2)在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 探究四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．18.忽视斜率不存在致误【典例】 直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．[解析] 法一：当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. [答案] x ＋3y －5＝0或x ＝－1[易误点评] 易漏掉k 不存在这一情形．[防范措施] 在求直线方程时，不论是平行、垂直还是距离问题都应数形结合判断直线的斜率是否存在．[跟踪练习] 已知点P (a,2)(a <2)到直线x ＝2的距离为1，则点P 到直线 x －y ＋2＝0的距离为________．解析：由已知2－a ＝1，解得a ＝1.所以P (1,2)． 故点P 到直线x －y ＋2＝0的距离为d ＝|1－2＋2|12＋(－1)2＝22. 答案：22A 组 考点能力演练1．(2018·南宁模拟)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0 解析：直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为3x －4(－y )＋5＝0.即3x ＋4y ＋5＝0.答案：A2．(2018·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为1，且与直线x －3y ＋1＝0垂直，则a ＋b 等于( )A.43 B ．－23C ．4D ．－2解析：由题意知⎩⎨⎧1b ＝1，－a b ×13＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以a ＋b ＝4.答案：C4．若三条直线x －2y ＋3＝0,3x ＋4y －21＝0,2x ＋3y －k ＝0交于一点，则k 的值等于( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，3x ＋4y －21＝0，得交点P (3,3)，代入2x ＋3y －k ＝0，得k ＝15.答案：C5．(2018·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.52 2 B ．5 2 C.1522 D ．15 2解析：设P 1P 2中点P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20即x －y ＝10.∴y ＝x －10.∴P (x ，x －10)∴P 到原点的距离d ＝x 2＋(x －10)2＝2(x －5)2＋50 ≥50＝5 2.答案：B6．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________． 解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－87．(2018·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0. 在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝09．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.10．(2018·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时， 该直线在两坐标轴上的截距都为0， 此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点， 即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1， 所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a ＋1)·1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.B 组 高考题型专练1．(2018·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0，故选D.答案：D2．(2018·高考天津卷)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 答案：C3．(2018·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则|c|22＋12＝5，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：A4．(2018·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋(－4)2＝1，在△OAB中，点O到边AB的距离d＝r sin 30°＝r2＝1，所以r＝2.答案：2。
2022年 《高三数学 第二节 两直线的位置关系》优秀教案
第二节两直线的位置关系教学目标知识与技能目标：直线和直线的交点、二元一次方程组的解，掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题，理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
过程与方法目标：学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感态度与价值观目标：体会事物之间的内在联系，认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题，能够用辩证的观点看问题，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导，判断两直线是否相交，求交点坐标，点到直线的距离公式。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题，两直线相交与二元一次方程的关系，点到直线距离公式的理解与应用。
[备考方向要明了]1．两条直线的位置关系垂直k1＝－1k2或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0⎝⎛⎭⎪⎫当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1平行k1＝k2且b1≠b2{A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2≠0或{A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0⎝⎛⎭⎪⎫当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠C1C2重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)⎝⎛⎭⎪⎫当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2＝C1C22．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解，假设方程组有唯一解，那么两条直线相交，此解就是交点坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22.(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.两直线的平行与垂直[精析考题][例1] (2021·浙江高考)设a∈R，那么“a＝1〞是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] 假设a＝1，那么直线l1为x＋2y－1＝0，所以l1∥l2，反之，假设l1∥l2，那么a 1＝22≠－14，所以a ＝1. [答案] C [冲关锦囊]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.假设有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．假设直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1；3．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.那么：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[例2] (1)(2021·北京高考)点A (0,2)，B (2,0)．假设点C 在函数y ＝x 2的图象上，那么使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)直线l 经过直线l 1：x －y ＝0，与l 2：2x －y －1＝0的交点，且原点到l 的距离为2，那么l 的方程为________．[自主解答] (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，由于△ABC 的面积为2，那么这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝2，由点到直线的距离公式得 2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．(2)可得l 1与l 2的交点为(1,1)，且l 存在斜率，设l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y －k ＋1＝0由|k －1|k 2＋1＝2，得k ＝－1，l 的方程为x ＋y －2＝0.[答案] (1)A (2)x ＋y －2＝0[冲关锦囊]1．对于直线恒过定点的探索，可转化为两条直线的交点问题，即取两种特殊情况的直线求其交点即可．2．利用两平行线间距离公式时注意C 1，C 2的值是x ，y 的系数相同且直线方程都是一般式时对应的值．3．三角形的面积问题可转化为距离问题解决．对称问题[精析考题][例3] 光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．[自主解答]法一：由{ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得{ x ＝－1，y ＝2.所以反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，那么3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，那么y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上， 那么3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－yx 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－y ＋y 0＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， 故所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[冲关锦囊]对称问题主要包括中心对称和轴对称． (1)中心对称：①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′) 满足{ x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )， 那么有⎩⎨⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 板书设计教学反思课 题 例1,3 例2 作业 知识要点 〔课堂练习〕。
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2019-2020年高二数学上学期两条直线的位置关系第二课时教案二●教学目标(一)教学知识点1.直线l1到l2的角.2.直线l1与l2的夹角.3.夹角公式.(二)能力训练要求1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.(三)德育渗透目标1.2.认识事物在一定条件下能够相互转化.●教学重点两条直线的夹角.●教学难点夹角概念的理解.●教学方法学导式首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l1到l2的角，直线l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.●教具准备投影片两张第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2 A）第二张：本节例题(记作§7.3.2 B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾.［师］两直线平行的充要条件是什么?［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等.［师］两直线垂直的充要条件是什么?［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1.［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.Ⅱ.讲授新课1.直线l 1到l 2的角两条直线l 1和l 2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角.［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，应注意在这一概念中l 1、l 2是有顺序的.如图，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2.并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的概念.2.直线l 1与l 2的夹角如上图所示，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2＝π－θ1，当直线l 1与l 2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.当直线l 1⊥l 2时，直线l 1和l 2的夹角是2π. 说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π.［师］请大家根据直线l 1到l 2的角与l 1与l 2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同?［生］l 1到l 2的角的取值范围是(0°，1８0°)，l 1与l 2的夹角的取值范围是(0°，2π］. ［师］下面我们一起推导直线l 1到l 2的角的公式.3.直线l 1到l 2的角的公式tan θ＝21121k k k k +- (给出投影片§7.3.2 A)推导：设直线l 1到l 2的角为θ，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2.如果1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1，则θ＝2π；如果1＋k 1k 2≠0设l 1、l 2的倾斜角分别是α1和α2，则k 1＝tan α1，k 2＝tan α2由上图(1)(2)分别可知：θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1）∴tan θ＝tan （α2－α1）或tan θ＝tan ［π＋（α2－α1）］＝tan （α2－α1）于是tan θ＝121212121tan tan 1tan tan k k k k +-=+-αααα ［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l 1到l 2的角取绝对值而得到l 1与l 2的夹角公式.4.直线l 1和l 2的夹角公式tan α＝12121k k k k +- ［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.5.例题讲解［例4］求直线l 1：y ＝－2x ＋3，l 2：y ＝x －23的夹角(用角度制表示). 解：由两条直线的斜率k 1＝－2，k 2＝1得tan α＝3)2(1)2(111212=-+--=+-k k k k ∴α＝ar c tan3＝71°3４′评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握.［例5］等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2＝0，底边所在直线l 2的方程是x ＋y －1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程.分析：已经已知l 3上一点，故求出l 3的斜率k 3即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而θ1、θ2分别为直线l 1到l 2与l 2到l 3的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，由此可建立关于k 3的方程.解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1＝21，k 2＝－1. ∴tan θ1＝21)1(121)1(11212⋅-+--=⋅+-k k k k ＝－3. 因为l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1＝θ2，ｔa ｎθ2＝tan θ1＝－3. 即23231k k k k ⋅+-＝－3，将k 2＝－1代入得3311k k -+＝－3 解得k 3＝2.因为l 3经过点(－2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为y ＝2（x －（－2）) 即：2x －y ＋４＝0这就是直线l 3的方程.评述：此题应用了l 1到l 2的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点斜式，要求学生注意解答的层次.Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1.求下列直线l 1到l 2的角与l 2到l 1的角：（1）l 1：y ＝21x ＋2；l 2：y ＝3x +7； (2)l 1：x －y ＝5；l 2：x ＋2y －3＝0 解：（1）∵k 1＝21，k 2＝3 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则tan θ1＝23121312112+-=+-k k k k ＝1 ∴θ1＝４5°即l 1到l 2的角为45°.∴l 2到l 1的角为135°.(2)解：∵k 1＝1，k 2＝－21 ∴设l 1到l 2的角为θ1，则l 2到l 1的角为θ2＝π－θ1∴tan θ1＝321112112112=---=+-k k k k ∴θ1＝π－arctan3.θ2＝arctan3即l 1到l 2的角为π－arctan3，l 2到l 1的角为arctan3.2.求下列两条直线的夹角：（1）y ＝3x －1，y ＝－31x ＋４； （2）x －y ＝5；y ＝４.(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.解：(1)k 1＝3，k 2＝－31. tan α＝037313133112112-=⨯---=+-k k k k 分母为0，正切值不存在.此时，两直线夹角为90°.(也可根据k 1·k 2＝-1得出的结论)(2)k 1＝1，k 2＝0tan α＝21121k k k k +-＝1 ∴α＝４5°即两直线夹角为４5°.(3)k 1＝35，k 2＝－35 ∴k 1·k 2＝－1∴两直线夹角为90°.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l 1到l 2的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 53习题7.38.三角形的三个顶点是A (6，3)，B (9，3)，C (3，6)，求它的三个内角的度数.解：由斜率公式：k AB ＝6933--＝0 k BC ＝219336-=-- k AC ＝6336--＝－1 tan CAB ＝ABAC AB AC k k k k ⋅+-1＝－1 ∴∠CAB ＝135°tan ABC ＝01211+=⋅+-BC AB BCAB k k k k 21= ∴∠CBA ＝arctan 21＝26°3４′ ∴∠C ＝1８0°－135°－26°3４′＝1８°26′9.已知直线l 经过点P （2，1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.解：设直线l 的斜率为k 1，直线5x ＋2y ＋3＝0的斜率为k 2.则k 2＝－25. tan ４5°＝21121k k k k ⋅+-＝1 即1125125k k ---＝1 解得k 1＝-73或k 1＝37. 所以直线l 的方程为：y －1＝－73（x －2）或y －1＝37（x －2） 即：3x ＋7y －13＝0或7x －3y －11＝0.（二）1.预习内容：P50～512.预习提纲：（1）如何通过直线方程判断两直线相交? （2）如何求解两直线的交点?●板书设计。