2018-2019年人教A版高一数学必修1：第3章指数函数的概念及其性质 Word版含答案
人教A版数学必修一指数函数及其性质上课.ppt
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
次，剩余长度y与x的关系是
y
（
1 2
）x (
x.
N
)
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棰 剩余
1尺 1尺 1尺 1 尺
2
4
8
16
(1)x尺 2
探究1 指数函数的概念 形如y=2x，y （1）x 的函数是指数函数.那么，指
AB y
CD
解：ｃ,ｄ大于１且ｃ＞ｄ
ａ,ｂ大于０小于１,且ｂ＜ａ
O
x
∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ
结论：当a>1时,图象越靠近ｙ轴，底数越大;
当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
5.求函数y 4x 2x1 1(x R) 的值域.
解：运用换元法，令t 2x (t 0),
得到关于t的二次函数，答案为 (1, )
要研究函数，主要从哪些角度研究？
研研究究函函数数的的一一般般思方路法：是：
用性质 解问题
函数的 定义
特殊的 函数
函数的 图象
函数的 性质
要研究一个函数，需要研究它哪些性质呢？
定义域 值域
单调性 奇偶性 对称性
特殊点
探究：指数函数的图象及性质
通过列表、描点、连线的方法画出
指数函数 y 2x与 y (1) x 的图象．
2
数函数是怎样定义的呢？ 一般地，函数_y_=_a_x（a＞０，且a≠１）叫做指数函
数，其中x是自变量，函数的定义域是_R_.
思考1：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？ 提若示a＜：0若，a比=如0，y当当=xx(-＞＜400)时时x，，，aa这xx恒无时等意对于义于0，x=1 (n∈N*)在
新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
人教A版高中数学必修一 《指数函数》指数函数与对数函数PPT(第1课时指数函数的概念、图象及性质)
5．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2x－1 4；(2)y＝23 －|x|.
解：(1)要使函数有意义，则 x－4≠0，解得 x≠4.
1
所以函数 y＝2x－4的定义域为{x|x≠4}． 因为x－1 4≠0，所以 2x－1 4≠1，即函数 y＝2x－1 4的值域为{y|y>0，且 y≠1}．
(2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得 x＝0. 所以函数 y＝23 －|x|的定义域为{x|x＝0}． 因为 x＝0，所以23 －|x|＝230＝1，即函数 y＝23 －|x|的值域为{y|y＝ 1}．
本部分内容讲解结束
问题导学 预习教材 P111－P118，并思考以下问题： 1．指数函数的概念是什么？ 2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数 y＝ax(a>1)和 y＝ ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？
1．指数函数的概念 一般地，函数 y＝__a_x__ (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是____自_变__量___．
指数函数的图象
根据函数 f(x)＝12x的图象，画出函数 g(x)＝12|x|的图象， 并借助图象，写出这个函数的一些重要性质．
【解】
g(x)＝12|x
|＝12x（x≥0），其图象如图． 2x（x<0），
由图象可知，函数 g(x)的定义域为 R，值域是(0，1]， 图象关于 y 轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)．
■名师点拨 指数函数解析式的 3 个特征
(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
指数函数的图象与性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.探究函数 = 与 =
深理解；
两道题进一步促进形成
4.通过练习检测目标是否
用函数观点解决实际问
达成.
题的意识.
象与性质
1.用描点法或信息技术画函
数 = 的图象，归纳其
性质；
2.用描点法或信息技术化函
数 =
的图象归纳其性
的图象的关系，并用信
息技术验证.
小结
过程设计
性质.
过程设计
2设计意图
例 1 引导学生将每一组中的两个值可以
看作一个指数函数的两个函数值利用单
调性进行比较，引导学生总结规律方法.
通过应用函数的单调性比较大小，进一
步理解指数函数的单调性.例 2 引导学生
将实际问题转化为数学问题，通过建立
指数函数模型，培养学生数学建模能力
，使学生学习“有用的数学”.
2 思维与能力基础
学生在上一章学习了幂函数，知道研究具体函数基本思路及一般过程，即“背景-概念-图象和性质-
应用”，经历过利用图象归纳出函数性质的过程.本节的学习可采用类比的方法，引导学生发现研究的
对象，研究的内容、研究的方法.
3 思维与能力基础
指数函数性质的探索需要学生自行选择具体的函数，学生可能在底数的选取上没有思路，在得到
要求用信息技术画图；
3.增加了例4(利用图象分析和解决问题).
3.正文和习题中均没有图象和相关题目.
学情分析
1 知识基础
学生在前面学习了指数函数的概念，解析式，指数增长与指数衰减，在此基础上，能够根据解析
式采用描点法画出函数图象，能够根据指数增长与指数衰减两种类型，对a的取值进行讨论，研究指
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。
下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。
三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。
(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。
2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。
(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。
高一数学人必修课件指数函数及其性质
判断函数 $f(x) = (1/2)^x$ 在 $R$ 上的单调性。
错题分析与总结
错题1
在求解指数方程时，未注意到底 数不能为负数或零的情况，导致 求解错误。总结：在求解指数方 程时，要先判断底数的取值范围 ，避免出错。
错题2
在判断指数函数单调性时，未考 虑到指数函数的定义域和值域， 导致判断错误。总结：在判断指 数函数单调性时，要先明确函数 的定义域和值域，再结合导数进 行判断。
$y = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$，$x$ 为任意实数。
底数 $a$ 的取值范围
$a > 0$ 且 $a neq 1$，保证了函数的定义域为全体实数，且函数 值始终为正数。
指数 $x$ 的取值范围
任意实数，表示指数函数可以描述各种增长或衰减的情况。
指数函数图像与性质
01
野和增强自信心。
THANKS
感谢观看
高一数学人必修课件 指数函数及其性质
汇报人：XX 20XX-01-21
contents
目录
• 指数函数基本概念 • 指数函数运算规则 • 指数函数在生活中的应用 • 指数函数与其他数学知识点的联系 • 典型例题解析与练习 • 学习方法与技巧分享
01
指数函数基本概念
指数函数定义
指数函数的一般形式
指数函数与放射性衰变
放射性物质衰变过程符合指数函数形式。通过了解指数函数的性质，可 以预测和计算放射性物质的衰变情况。
03
实际应用
在核能、医学、环境科学等领域，放射性物质衰变模型对于研究放射性
物质的性质、应用和安全具有重要意义。
细菌繁殖模型
细菌繁殖公式
N = N0e^(kt)，其中N表示t时刻的细菌数量，N0表示初始数量，k表示繁殖速率常数，t表示时间。该公式用于描述 细菌在适宜条件下的繁殖过程。
人教A版高中数学必修一《指数函数及其性质》课件
3.自左向右图
3.自左向右图
性
象 象逐渐上升
象逐渐下降
a>1
0<a<1
1.定义域为R，值域为(0,+).
2.当x=0时，y=1
3.在R上是增 3.在R上是减
函数
函数
特
4.图象分布在左 4.图象分布在左 下和右上两个 上和右下两个区
质
4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0
： 1、定义
与y
1 2
x
这两个函数有 何特点?
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域 是R .
思考:为何规定a0，且a1?
0
1
a
二、新 课
思考:为何规定 0，且 1? 图象分布在左下和右上两个区域内
问题二、比较下列指数的异同，
a
a
图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
图象中有哪些特殊的点？ 2、指数比较大小的方法；
函数图象特征
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1)＿．
2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=ax
图
(a>1) y=1
(0,1)
象
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
图 2.图象过定点（0，1）
细胞个数y关于分裂次数x的表达为
新课标人教A版高一数学必修知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性； 〔2〕元素的互异性； 〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。
〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。
指数函数的图像和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3．函数 y＝121－x 的单调增区间为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A [令 u(x)＝1－x，则 u(x)在 R 上是减函数，又 y＝12u(x)是减函数，故
y＝121－x 在 R 上单调递增，故选 A.]
4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大 小关系为________.
课堂小结 1、指数函数y ax与y ( 1 )x的图象关于y轴对称
a
a>1
0<a<1
指 数
图
y
y
函
象
1
1
数
o
x
o
x
图 象 与
(1)定义域:
性 (2)值域:
R (0,+∞)
性
(3)过定点:
(0,1)
质
(4)单调性：增函数 (4)单调性： 减函数
质 (5)奇偶性： 非奇非偶 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1. (6)当x>o时，0<y<1,
则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0 ＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移 |－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
(2)因为y=0.6x是单调递减函数，且-1.2>-1.5, 所以0.6-1.2<0.6-1.5
(3)因为1.70.2>1.70=1，0.92.1<0.90=1， 所以1.70.2>0.92.1
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 重点难点归纳总结
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 (1)3.1.1函数的概念 (1)第一课时函数的概念(一） (1)第二课时函数的概念(二) (5)3.1.2函数的表示法 (12)第一课时函数的表示法 (12)第二课时分段函数 (16)3.2函数的基本性质 (23)3.2.1单调性与最大(小)值 (23)第一课时函数的单调性 (23)第二课时函数的最大(小)值 (29)3.2.2奇偶性 (33)第一课时奇偶性的概念 (33)第二课时函数奇偶性的应用 (37)3.3幂函数 (40)3.4函数的应用(一) (47)3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第一课时函数的概念(一）知识点函数的概念对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定．2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．答案：①②④3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．答案：{x|x<4}4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：2题型一函数关系的判断[例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2 D．3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍[解析](1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.[答案](1)B(2)AD1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．[例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝x －1·1－x ； (2)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. [解] (1)由题意得，⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，∴函数的定义域为{1}．(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[例3]已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．[解析]∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.[答案]1317求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．第二课时函数的概念(二)知识点一区间的概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．特殊区间的表示用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；(4)R＝________；(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)∪(2，＋∞)(4)(－∞，＋∞)(5)[－5，－1](6)(－∞，9)∪(9，20)知识点二同一个函数定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．()(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()答案：(1)×(2)√2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C题型一区间的应用[例1]将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．[解](1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[例2](多选)下列式子表示同一个函数的是()A．f(x)＝|x|，φ(t)＝t2B．y＝x2，y＝(x)2C．y＝1＋x·1－x，y＝1－x2D．y＝（3－x）2，y＝x－3[解析]A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；B：y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一个函数；C：y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一个函数；D：∵y＝（3－x）2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝（3－x）2与y＝x－3不是同一个函数．[答案]AC判断两个函数是否为同一个函数的步骤题型三求函数的值域[例3]求下列函数的值域：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；(3)y＝3x－1 x＋1；(4)y＝2x＋41－x.[解](1)(直接法)∵x≥0，∴x－1≥－1，∴y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．(3)(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.∵4x＋1≠0，∴y≠3，∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R，且y≠3}．(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．抽象函数与复合函数的定义域一、概念1．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．2．复合函数的概念若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C ⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．[说明]由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．二、结论理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．[迁移应用]1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域[例1] 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，53 C ．[－3，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 [思路点拨] 解题的关键是求出函数y ＝f (x )中x 的范围，这个范围即为3x －2的范围，建立不等式求出自变量x 的范围即可．[解析] 由－x 2＋2x ＋3≥0， 解得－1≤x ≤3，即函数f (x )的定义域为[－1，3]． 由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53， 则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53.[答案] A2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[例2] 已知f (x 2－1)定义域为[0，3]，则f (x )的定义域为________． [思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f (x 2－1)中x ∈[0，3]，求出x 2－1的范围，这个范围即为f (x )的定义域．[解析] 根据f (x 2－1)定义域为[0，3]，得x ∈[0，3]， ∴x 2∈[0，9]，∴x 2－1∈[－1，8]． 故f (x )的定义域为[－1，8]． [答案] [－1，8]3．已知f (g (x ))的定义域，求f (h (x ))的定义域[例3] 若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________．[思路点拨] 由f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，即－12≤x ≤2，可求得12≤x ＋1≤3，也就是f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由此可推出12≤x －1≤3，进而求出x 的范围即为f (x －1)的定义域．[解析] 由题意知－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.故f (x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，43.1.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法知识点 函数的表示方法函数三种表示法的优缺点比较1．函数y ＝f (x )的关系如下表，则f (11)＝( )x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y23 45A ．2B ．3C．4 D．5答案：C2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝()A．2 B．4C．0 D．3答案：C3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝－18x题型一函数的表示法[例1](链接教科书第67页例4)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．[解](1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为x 01234 5y 50403020100(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．1．函数的三种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．2．用三种表示法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．题型二函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)．[解] (1)当x ∈[0，2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[注意] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．题型三函数解析式的求法角度一用待定系数法求函数解析式[例3]已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴{2a＝2，2b＝－4，2a＋2c＝0，∴{a＝1，b＝－2，c＝－1，∴f(x)＝x2－2x－1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．角度二用换元法(配凑法)求函数解析式[例4]求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解](1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.换元法、配凑法求函数解析式已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，再用x 替换t ，便得到f (x )的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t 的取值范围，即函数f (x )的定义域； (2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出g (x )，用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．角度三 用方程组法求函数解析式[例5] 已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )的解析式．[解] 在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代换x ，可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ， 则⎩⎨⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ， f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ， 消去f (－x )，可得f (x )＝23x －1.方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f (－x )，f (x )的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f (－x )，f (x )的方程，联立解出f (x )．第二课时 分段函数知识点 分段函数 1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝{x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( )(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.则f (－2)＝________．答案：23．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ＞0，－2，x ＜0的定义域为________________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)4．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是________(填序号)．答案：④[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.2．(变设问)本例条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解：当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．。
高一数学必修第一册2019(A版)_《指数》教材分析
4.1指数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：实数指数幂的运算及其性质.难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂.三、教科书编写意图及教学建议指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集.为研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步推广.类似于先把整数推广到有理数，然后把有理数推广到实数一样，本节教科书也是将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础.在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”是核心思想.对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中已经有所体会，本节教学中要让学生进一步体会.学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题.与对无理数的理解一样，对无理数指数幂的理解是本节教学的难点.对此，教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想引入无理数指数幂.教学中，可以类比初中用有理数逼近无理数的教学，让学生通过经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；然后在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂.由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到.4.1.1n次方根与分数指数幂学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如12S的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容.平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到n次方根，介绍n次方根的性质；然后在此基础上，建立n次方根与分数指数幂的关系，说明分数（有理数）指数幂的意义，并把整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的情形.1.n次方根的概念及其性质初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根.类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，因为4(2)16±=，所以把2±叫做16的4次方根；同样，由于5232=，所以把2叫做32的5次方根.以此类推，就可以得出n次方根的概念.这种推广以具体的例子为载体，由特殊到一般，由具体到抽象，学生理解起来并不困难，通过n次方根的概念，也容易得到其性质，即（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n.（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成0)a>.（3）负数没有偶次方根.（4）0的任何次方根都是00=.进一步，根据n次方根的意义，可以把实数的n次方根推广到n次根式，实现数到式的推广，而且数的性质可以自然地推广到式，这就是数式通性在n次根式中的表现，由此我们容易得到教科书105页探究栏目中问题的答案：当n a=；当n为偶数时，,0, ||,0.a aaa a⎧==⎨-<⎩2.例1的设计及教学例1的作用是巩固n次方根的概念，.前3个小题涉及的都是具体的数，第4小题涉及字母.解决问题时，要特别注意当n 为偶数时最后结果的准确表示以及化简.例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论之后再化简.3.n次方根与分数指数幂的关系以n次方根的概念及其性质为基础，教科书进一步研究了n次方根与分数指数幂的关系.对于根式的被开方数的指数与根指数，存在整除与不能整除两种情况.教科书首先通过具体的实例说明，当根式的被开方数，如10a（看成幂的形式）的指数10能被根指数5整除时，可以表示为分数指数幂105a的形式.这样，就把10a的5次方根与分数指数幂105a联系起来，这种联系是非常自然的.整除的情况研究清楚了，自然就会提出“当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式”的问题.这也就是教科书105页的“思考”提出的问题，这是一个非常重要的问题，这个问题突破了，分数指数幂的推广就顺理成章了.教科书仍然是通过具体的实例，说明根据n次方根的概念及其性质，当根指数不能整除被开方数的指数时，为了使整数指数幕的运算性质，如()n k kna a=仍然成立，根式可以表示为分数指数幂的形式，如23(0)a a=>12(0)b b=>54(0)c c=>.在将n次方根表示为分数指数幂的过程中，核心思想是指数幂的运算性质仍然成立.这种兼容性为运算带来极大的方便，这同时说明了n次方根表示为分数指数幂的合理性.至此，关于正数的正分数指数幂的意义)*0,,,1mna a m n n=>∈>N.就顺理成章了.于是，在条件0a>，m，*n∈N，1n>下，根式都可以写成分数指数幂的形式，指数由整数推广到了正分数.类似正整数指数幂到负整数指数幂的推广，根据正分数指数幂的意义，可以规定正数的负分数指数幂的意义)*10,,,1mnmna a m n na-==>∈>N.负分数指数幂的规定，是完全类比负整数指数幂的规定.这种规定是合理的，它保持了正分数指数幂的运算性质.同样地，与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数幂x a中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.由上可知，教科书通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系：分数指数幂是n次方根的一种表示形式，两者是统一的.同时这种表示为后面的运算带来了极大的方便.另外，通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对于根式和分数指数幂的理解.4.有理数指数幂的运算性质对有理数指数幂的运算性质，下面通过n次方根与有理数指数幂的关系给出证明.我们以（1）为例.首先考虑0r>，0s>的情况.由于r ，s 是有理数，所以n r m=，s p q =，其中m ，n ，p ，q 都是正整数，且m 与n 互质，p 与q 互质，所以q np mq np mqn q nr s r s p mp mp mp m p m a a a a a a a a a +++========.对于0r <，0s <的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明.5.例2～例4的设计及说明例2通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质.例3通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式.例4具有一定的综合性，需要综合运用n 次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质.例3与例4中，为了考虑问题的方便，而且主要是理解有关概念及运算性质，我们假定作为被开方数的字母均为正数.实际上，考虑到后面学习指数函数及对数函数，字母为负数有时没有意义.4.1.2无理数指数幂及其运算性质1.如何理解无理数指数幂指数幂中的指数由整数推广到有理数，比较自然，理解起来也不难.但是，指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？如果有意义，其意义是什么？有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成n 次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显.在有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度.但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果.不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的.在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值，，得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数，是无理数的证明.同样，对于无理数指数幂，可以运用有理数推广到无理数的经验，通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，认识无理数指数幂的意义.对于无理数指数幂的认识，教科书安排了一个探究栏目，从具体的.假设的不足近似值x （有理数）和过剩近似值y （有理数），根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，计算相应的5x ，5y 的值，并填入表中.可以发现，的不足近似值x 和过剩近似值y 时，相应的近似值都趋向于同一个数.这时，从差55x y -趋向于0，也可以进一步说明5x ，5y 都趋向于同一个数，这个数就是也就是说， 1.4 1.41 1.414 1.41425,5,5,5,和另一串逐渐减小的有理数指数幂 1.5 1.42 1.415 1.41435,5,5,5,逐步逼近的结果.由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）.逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数，这个数就是还是为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向——不断增大的方向（单调递增）和不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，，不仅在数轴上确实存在，而且是唯一的.这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案.这种方法在后面学习导数、积分等内容时，学生会感受得更加深刻.教科书通过“探究”中的表格和图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程.用表格展示数据，呈现具体的数值，非常醒目；用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合，相得益彰.这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解.通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论.教学时，可以利用计算工具计算，近似值逐步精确，从而更好地看到也可以利用信息技术作图，在数轴上将程，加深学生对于无理数指数幂的理解.教科书接下来安排了一个思考栏目，让学生类比.在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>为无理数是一个确定的实数.这个结论使得以后能在实数范围内定义指数函数，在区间(0,)+∞内定义对数函数.这样，我们把指数幂(0)x a a >中指数x 的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数，即任何正数的实数指数幂是一个确定的实数.应当注意的是，在指数幂x a 中，通常要限定0a >这个条件.这是为了保证后续的指数函数x y a =对于任意实数x 都有意义.因为只有正数的任何实数次幂才都有意义，如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果底数是负数，指数为12n，仍然没有意义.因此我们限定0a 这个条件.本节中，无理数指数幂的理解是教学的一个难点.高中阶段只需知道任何正数的实数指数幂都是确定的实数即可，只要求能通过逼近的方法直观认识它，并不要求严格的证明.但是逼近的思想、用有理数近似表示无理数的方法，则需要学生掌握.2.实数指数幂的运算性质对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略.。
高一数学必修教学课件第三章指数函数的概念
指数函数的复合运算
复合函数的定义
设f(x)和g(x)是两个函数，若对于f(x)定义域内的每一个x值，都有唯一的y值与之 对应，且这个y值在g(x)的定义域内，则称f[g(x)]为f和g的复合函数。
指数函数的复合运算
将指数函数作为另一个函数的变量进行运算。例如，f(x) = a^u，g(u) = u^2， 则f[g(u)] = a^(u^2)。
连续性质
指数函数y=a^x（a>0，a≠1）在其定义域内是连续 的，即对于任意x1和x2（x1≠x2），都存在一个δ>0 ，使得当|x-x1|<δ时，有|f(x)-f(x1)|<ε成立。
06 指数函数与其他 知识点的联系
指数函数与三角函数的关系
要点一
指数函数与三角函数的周期性
要点二
指数函数在三角函数中的应用
指数函数的单调性
当$a>1$时，指数函数在 $mathbf{R}$上是增函数；当 $0<a<1$时，指数函数在 $mathbf{R}$上是减函数。
指数函数的值域
由于指数函数的底数$a$为正数且 不等于1，因此其值域为 $(0,+infty)$。
指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数的互逆关系
指数函数$y=a^x$与对数函数$y=log_a{x}$互为反函数，即它们的图像关于直 线$y=x$对称。
例如，a^x + a^x = 2a^x。
减法运算
同底数指数函数相减， 指数不变，底数相除。 例如，a^x - a^x = 0。
乘法运算
同底数指数函数相乘， 指数相加，底数不变。
例如，a^x * a^y = a^(x+y)。
除法运算
2018-2019学年高中数学人教A版必修一：2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数的图象及性质
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文
2019/8/14
档
5
2.指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
性质
值域 关键点 函数值 的变化 单调性
(0,+∞)
过定点 (0,1) ,即 x=0 时,y=1
当 x>0 时, y>1 ; 当 x<0 时, 0<y<1
当 x>0 时, 0<y<1 ; 当 x<0 时, y>1
.
答案:(2,3)
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文
2019/8/14
档
13
课堂探究·素养提升
题型一 指数函数的概念
【例 1】 下列函数中,是指数函数的个数是( )
①y=(-8)x;②y= 2x21 ;③y=ax;
④y=(2a-1)x(a> 1 ,且 a≠1);⑤y=2·3x. 2
(A)1
(B)2
是 R 上的 增函数
是 R 上的 减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数 y=a-x 与 y=ax 的图象关于 y 轴对称
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文
2019/8/14
档
6
探究2:指数函数图象不可能出现在第几象限? 答案:指数函数图象只出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限. 【拓展延伸】 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象变换 函数的图象是直观表示函数的一种方法,函数的很多性质都可以从图象上 一览无余,数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函 数的图象通过平移、翻转等变换可得出一般函数的图象.利用函数的图象, 能较简捷地解答一些与函数性质有关的问题.
人教版高中数学必修一指数函数及其性质课件PPT
y 2x
x
y
(1 , 2)
(2 , 4)
(3 , 8)
x
y
(1
, -2? )
(2
, -4? )
(3
, -8? )
( m , 2m )
(m
, - ?2m )
横坐标不变，纵坐标互为相反数。
思考
y=2x图像上任意一点P（x,y）关于x轴 的对称点P1(x,-y)都在y=-2x的图像上； 反之亦然。
一般的函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关系？
4、在同一坐标系中作出下列函数的图象，并 说明它们之间有什么关系？
y=2x与y=2|x|
y
yy==22|xx|
1
O
x
由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：
保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上这部分关于y轴对 称的图形.
练习.已知函数y=|2x-2|
（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
关于x轴对称
-y=f(x)
3、 设f(x)= 1 (x>0)，作出函数y=-f(x)、y=f(-x) 的图象。
x
y
y=f(x)
y
y=f(-x) y=f(x)
o1 x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称
o1 x
对
称
变
横坐标取相反数
换
纵坐标不变
图象关于y轴对称
对称变换
y a x y轴 y ax ; y a x x轴 y a x ; y a x 原 点 y ax .
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数函数的概念及其性质
一、单选题(共11道，每道9分)
1.若函数满足，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
2.若函数是指数函数，则的值为( )
A.2
B.
C. D.-2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
3.函数的定义域是( )
A.(-∞，2]
B.["0，2"]
C.(-∞，2)
D.(0，2]
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域
4.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
5.若，则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
9.函数在上是( )
A.单调递减无最小值
B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值
D.单调递增有最大值
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
10.函数在上的最小值为( )
A.-1
B.0
C.2
D.10
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题。