北师大版九年级数学下册 同步练习确定二次函数的表达式

《确定二次函数的表达式》同步练习
1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于C 点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( )
A ．y=－x 2
+2x+3 B ．y ＝x 2
－2x －3
C ．y=x 2
+2x ―3或y ＝－x 2
+2x+3 D ．y=－x 2
+2x+3或y ＝x 2
－2x －3
2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax 2
+bx+c 上的点，那么抛物线的对称轴是 ( )
A ．x=3
B ．x=－3
C ．x=
32 D ．x=－32
3．二次函数y=ax 2
+bx+c ，b 2
=ac ，且x=0时y=-4则（ ） A ．y 最大=-4 B ．y 最小=-4 C ．y 最大=-3 D ．y 最小=3
4．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x ≤1时，二次函数y =﹣（x ﹣m ）2
+m 2
+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ﹣2 B
或
C 2或
D 2或﹣
或
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图2 - 78所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m ，距地高均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m ，2．5 m 处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为 ( )
A ．1.5 m
B ．1.625 m
C ．1.66 m
D ．1.67 m
6．将抛物线y=x 2
向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是________．
7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满
◆ 填空题
◆ 选择题
足条件的二次函数的表达式________．
8．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．
9.如图2 - 79所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示)
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．
◆解答题
11．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题．
(1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大?
(3)当x取何值时，y的值大于0?
12.把8米长的钢筋，焊成一个如图4所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式.
图4
. 13．（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，•其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图2 - 80所示，试确定a，b，c，b2－4ac 及a+b+c的符号．
15．―抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
16．如图2 - 81所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y 轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的．点O′在x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y ＝ax 2
+bx+c （a ≠0)的图象经过O ，O ′两点，且图象顶点M 的纵坐标为－l ，求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P ，使得△POM 为直角三角形?若存在，求出点P 的坐标和△POM 的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C ′O ′所在直线的解析式．
答案与解析
1．D[提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要漏解．] 2．C
3．C [提示：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线x ＝
3
2
对称．] 4．B[提示：建立如图2－82所示的平面直角坐标系，由图象可知三点坐标(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)，则抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋3
2
，又当x ＝1.5时，代入求出y ＝1.625．故选B ．]
5．B
◆ 填空题
◆ 选择题
6.分析：根据平移的规律，上加下减，可以得到答案是：y=（x+4）2-2 （y=x 2
+8x+14） 7.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x 2
-2
8.分析：把点（1.2）代入可以得到b-c 的值为1,所以答案是：1
9．8－2m[提示：点A 到抛物线对称轴的距离为4－m ，所以线段AB 的长为2(4－m)＝8－2m ．]
10．y=－
12x 2＋2x ＋5
2
11．解：y=－(x －1)2
＋2，图略．(1)顶点坐标为(1，2)，与x 轴的两个交点坐标分别为(1－2，0)，(1＋2，0)． (2)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大. (3)当l －2＜x ＜1＋2时，y 的值大于0． 12、解：半圆面积：
2
1πx 2
. 长方形面积：2
1×2x (8－2x －πx )=8x －(2+π)x 2
. ∴y =
2
1πx 2+8x －(2+π)x 2
, 即y =－(2
1π+2)x 2
+8x ,
13、 （1）y=-
12x 2+32x+2，顶点坐标（32，258
） （2）略，（3）当-1<x<4时，y>0． 14．解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴C ＜0．又∵对称轴在y 轴左侧，∴ab ＞0．∵a ＞0，∴b ＞0．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2
－4ac ＞0．∵当x=1时，y ＞0，∴a ＋b ＋c ＞0．
15．解：(1)设这个抛物线的解析式为y=ax 2
＋bx ＋c ．将A(－2，0)，B(1，0)，C(2，8)三
点代入，得420,0,428,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解这个方程组，得2,2,4,a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
∴所求抛物线的解析式为y ＝2x
2
＋2x －4． (2)∵y=2x 2
＋2x －4＝2(x 2
＋x －2)=2(x ＋12)2－9
2
，∴该抛物线的顶点坐标为(－
12，－9
2
)． 16．解：(1)如图2－83所示，连接BO ，BO ′，则BO=BO ′．∵BA ⊥OO ′，∴AO
◆ 解答题
＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴
420,
1,
0,
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
++=-
⎨
⎪=
⎩
解得
1,
2,
0,
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
∴所求
二次函数的解析式为y＝x2－2x．
(2)假设存在满足题设条件的点P(x，y)．连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y．∵P(x，y)在二次函数y=x2－2x的图象上，∴x＝x2－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在对称轴的右侧，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的点．连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形，∴点O′(2，0)也是满足条件的点，∴满足条件的点是P(2，0)或P(3，
3)，∴O P=32，OM=2，∴S△POM=1
2
OP·OM=3或S△POM＝
1
2
OM·O′M=1．
(3)设AB与C′O′的交点为D(1，y)，显然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，
AO′2＋AD2＝O′D2，即1＋y2＝(3－y)2，解得y=4
3
，∴D(1，
4
3
)．设边C′O′所在直线的
解析式为y＝kx＋b，则
4
,
3
20,
k b
k b
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
解得
4
,
3
8
,
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴所求直线的解析式为y=
48
.
33
x
-+。