2.2《直接证明-综合法与分析法》课件(新人教选修2-2).ppt
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
栏 目 链 接
栏 目 链 接
πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
栏 目 链 接
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
跟 踪 训 练
1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
高中数学2-2-1综合法与分析法课件新人教A版选修
n
������ ,∴ ������+1 ������������
=
2������ +1 ������ 2
=
2×2������ ������ =2. 2
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列. (2)求证: 6 + 7≥2 2 + 5. 证明:要证原不等式成立, 只需证( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2, 即证 2 42>2 40, 由于上式显然成立,因此原不等式成立.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
2.
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒ 线面垂直⇒ 面面垂直. 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄ 平面 PCD,PD⊂ 平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD.
证明:方法一:∵ a,b>0,且 a+b=1, ∴ a+b≥2 ������������,∴ ������������ ≤ ,∴ + = 当且仅当 a=b 时,取“=”号. 方法二:∵ a,b 是正数, ∴ a+b≥2 ������������>0, + ≥2
1 ������ 1 ������ 1 1 1 >0,∴ (a+b)( + )≥4.又 ������������ ������ ������ 1 2 1 ������ 1 ������ ������+������ ������������
������ ,∴ ������+1 ������������
=
2������ +1 ������ 2
=
2×2������ ������ =2. 2
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列. (2)求证: 6 + 7≥2 2 + 5. 证明:要证原不等式成立, 只需证( 6 + 7)2≥(2 2 + 5)2, 即证 2 42>2 40, 由于上式显然成立,因此原不等式成立.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
2.
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒ 线面垂直⇒ 面面垂直. 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄ 平面 PCD,PD⊂ 平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD.
证明:方法一:∵ a,b>0,且 a+b=1, ∴ a+b≥2 ������������,∴ ������������ ≤ ,∴ + = 当且仅当 a=b 时,取“=”号. 方法二:∵ a,b 是正数, ∴ a+b≥2 ������������>0, + ≥2
1 ������ 1 ������ 1 1 1 >0,∴ (a+b)( + )≥4.又 ������������ ������ ������ 1 2 1 ������ 1 ������ ������+������ ������������
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知 识来论证．
证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，① 得(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1， (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.② ②－①，得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)． ∴aan＋n 1＝m2＋m3.∴{an}是等比数列．
综合法与分析法的综合应用 【例4】 已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ. 【解题探究】综合运用综合法和分析法，与三角函数知识 相结合来进行证明．
证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1.③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ， 即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3) 【答案】C
【解析】将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax2＋bx＋c
中，得
3＝a－b＋c， 1＝a＋b＋c，
∴b＝－1.∴a＋c＝2.又0<c<1，∴0<2
－a<1.∴1<a<2.故选C．
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a⊂平面M，b⊂平面 N，M∩N＝c.
复习课件
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知 识来论证．
证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，① 得(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1， (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.② ②－①，得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)． ∴aan＋n 1＝m2＋m3.∴{an}是等比数列．
综合法与分析法的综合应用 【例4】 已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ. 【解题探究】综合运用综合法和分析法，与三角函数知识 相结合来进行证明．
证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1.③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ， 即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3) 【答案】C
【解析】将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax2＋bx＋c
中，得
3＝a－b＋c， 1＝a＋b＋c，
∴b＝－1.∴a＋c＝2.又0<c<1，∴0<2
－a<1.∴1<a<2.故选C．
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a⊂平面M，b⊂平面 N，M∩N＝c.
复习课件
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
2019-2020学年人教A版选修2-22.2.1 综合法和分析法课件(21张)
解析答案
(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 已知 a>0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
解析答案
类型三 综合法和分析法的综合应用
a＋b b＋c c＋a 例 3 若 a，b，c 为不全相等的正数，求证：lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 > lg a＋lg b＋lg c.
x＋y A.x< 2 <y<2xy
x＋y B.2xy<x< 2 <y
x＋y C.x< 2 <2xy<y
x＋y D.x<2xy< 2 <y
解析 ∵y>x>0，且 x＋y＝1，∴设 y＝34，x＝14，
则x＋2 y＝12，2xy＝38，∴x<2xy<x＋2 y<y，故选 D.
1 234
解析答案
1 234
解析答案
1 234
3.对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件 是( D ) A.m⊥l，m∥α，l∥β B.m⊥l，α∩β＝m，l⊂α C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.m∥l，l⊥β，m⊂α 解析 D 选项， lm⊥∥βl，⇒ mm⊂⊥αβ，⇒α⊥β.
解析答案
第二章 §2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
学习目标
1.理解综合法、分析法的意义、掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 综合法
思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac ，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
高中数学PPT课件-综合法和分析法
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是 b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
高中数学2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修2_2
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式问题
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 分析:解答本题的关键是从基本不等式入手,利用同向不等式相 加而得证. 证明:(1)∵a
1 , ������ 3
2
求证:(1)a2+b2+c2≥3 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
*
3 3 2������������-1 ∴当 n∈N ,且 n≥2 时,bn= 2 ������(������n − 1) = 2 ·������ +3. ������-1 1 1 1 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴ ������ − ������ = 3. ������ ������-1 1 1 ∴数列 ������ 是首项为1,公差为 3 的等差数列. ������
【做一做】 命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证 明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了 的证明 方法. 解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系 证得了结论,应用了综合法的证明方法. 答案:综合法
第1课时 综合法
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
综合法
定义 利用已知条件和某些 数学定义、 公理、 定理 等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种 证明方法叫做综合法 推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论) 特点 顺推证 法 或由因 导 果法
最新 人教A版 选修2-2数学 公开课课件：2.2.1《综合法与分析法》ppt课件
P 件．若用________ 表示要证明的结论，则分析法的推理形式为
P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 得到一个明显成立的条件
7．分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索 因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻 找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解 决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断 充分 条件，最后的一步归结为已被证明 都是使结论成立的________
了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结 综合 法． 论，这个倒推的证明过程就是____叙述条理清楚，不便
于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清 楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用， 综合 写过程． 分析 找思路，________ 即：________ (3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有 分析法 去探求解题思路，特别是对于条件简单而 时可以运用________ 结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒等 式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明 题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看 能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方 法．
析法
5．分析法的特点 分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看 已知 需知 ”，执果索因，逐步靠拢“________ “________ ”，其逐步推 充分 条件． 理，实际上是要寻找“结论”的________
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密
的逻辑推理．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条
P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 得到一个明显成立的条件
7．分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索 因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻 找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解 决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断 充分 条件，最后的一步归结为已被证明 都是使结论成立的________
了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结 综合 法． 论，这个倒推的证明过程就是____叙述条理清楚，不便
于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清 楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用， 综合 写过程． 分析 找思路，________ 即：________ (3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有 分析法 去探求解题思路，特别是对于条件简单而 时可以运用________ 结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒等 式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明 题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看 能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方 法．
析法
5．分析法的特点 分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看 已知 需知 ”，执果索因，逐步靠拢“________ “________ ”，其逐步推 充分 条件． 理，实际上是要寻找“结论”的________
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密
的逻辑推理．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课件新人教B版选修2_2
������+������
������
������
解析：因为 x>0,y>0,
������ ������ 所以 1+������ + 1+������
>
������ ������ + 1+������+������ 1+������+������
=
������+������ . 1+������+������
题型一
题型二
题型三
分析法 【例题2】 如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E, 过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.
分析：本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定 如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论 出发,逐步反推,寻求使要证结论成立的充分条件.
题型一
题型二
题型三
证明：要证AF⊥SC,只需证SC⊥平面AEF,只需证AE⊥SC(因为 EF⊥SC),只需证AE⊥平面SBC,只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB),只需 证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可 知,上式成立.所以AF⊥SC. 反思 在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都 是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此, 从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
证明与推理有哪些联系与区别? 剖析：(1)联系:证明过程其实就是推理的过程.就是把论据作为 推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以 只含一个推理,也可以包含一系列的推理;可以只用演绎推理,或只 用归纳推理,也可以综合运用演绎推理和归纳推理,所以证明就是 推理,是一种特殊形式的推理. (2)区别:①从结构上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知 的,结论是根据前提推出来的;而证明是由论题、论据、论证三部 分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的,论据相当于推理的前 提.
高中数学人教A版选修2-2课件 2-2 直接证明与间接证明 第17课时《分析法》
所以－4≤f(x)≤－1，故 a≥－1. 答案：[－1，＋∞)
5．当 a≥2 时，求证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2.
证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2＜( a＋ a－1)2， 只需证 a＋1a－2＜ aa－1， 只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)， 只需证－2＜0，而－2＜0 显然成立， 所以 a＋1－ a＜ a－1－ a－2成立.
只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真．
变式探究 2 如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，并且 PA， PB，PC 两两垂直．PH⊥平面 ABC 于 H.求证 H 是△ABC 的垂心．
证明：连接 AH，BH.要证 H 是△ABC 的垂心， 只需证 AC⊥HB 且 BC⊥AH， 只需证 BC⊥平面 PHA，AC⊥平面 PHB， 只需证 BC⊥AP 且 BC⊥PH，AC⊥PB 且 AC⊥PH， 只需证 AP⊥平面 PBC，PB⊥平面 PAC， 也就是要证 AP⊥PB，AP⊥PC，PB⊥PA，PB⊥PC. 由条件知 PA，PB，PC 两两垂直，上式显然成立， 所以结论成立，即 H 是△ABC 的垂心.
变式探究 3 已知 a，b，c 表示△ABC 的三边长，m＞0，求证： a＋a m＋b＋b m＞c＋c m.
证明：要证明a＋a m＋b＋b m＞c＋c m， 只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m＞0 即可， 所以a＋a m＋b＋b m－c＋c m ＝ab＋mc＋m＋a＋bma＋ bm＋mc＋ cm＋－mca＋mb＋m.
所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须ba＝ab且ac＝ac且bc＝ bc，
即当 a＝b＝c 时等号成立.
5．当 a≥2 时，求证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2.
证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2＜( a＋ a－1)2， 只需证 a＋1a－2＜ aa－1， 只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)， 只需证－2＜0，而－2＜0 显然成立， 所以 a＋1－ a＜ a－1－ a－2成立.
只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真．
变式探究 2 如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，并且 PA， PB，PC 两两垂直．PH⊥平面 ABC 于 H.求证 H 是△ABC 的垂心．
证明：连接 AH，BH.要证 H 是△ABC 的垂心， 只需证 AC⊥HB 且 BC⊥AH， 只需证 BC⊥平面 PHA，AC⊥平面 PHB， 只需证 BC⊥AP 且 BC⊥PH，AC⊥PB 且 AC⊥PH， 只需证 AP⊥平面 PBC，PB⊥平面 PAC， 也就是要证 AP⊥PB，AP⊥PC，PB⊥PA，PB⊥PC. 由条件知 PA，PB，PC 两两垂直，上式显然成立， 所以结论成立，即 H 是△ABC 的垂心.
变式探究 3 已知 a，b，c 表示△ABC 的三边长，m＞0，求证： a＋a m＋b＋b m＞c＋c m.
证明：要证明a＋a m＋b＋b m＞c＋c m， 只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m＞0 即可， 所以a＋a m＋b＋b m－c＋c m ＝ab＋mc＋m＋a＋bma＋ bm＋mc＋ cm＋－mca＋mb＋m.
所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须ba＝ab且ac＝ac且bc＝ bc，
即当 a＝b＝c 时等号成立.
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回顾证明基本不等式：
a+b 2
ab a>0,b>0
直接证明
1.综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的 结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
… Qn Q
特点：
从“已知”看“可知”，逐步推向
“未知”
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
ab
变题：
已知 a,b, c R，且 a b c 1
求证：(1)a2 b2 c2 1 ; 3
(2) a b c 3.
例2.如图，四棱锥 P ABCD中，
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
（1）求证：CM // 面PAD; （2）求证：面PAB 面PAD.
C
A EO
F B
D
4.分析法和综合法的优缺点：
分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法；
缺点：思路逆行，叙述较繁.
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题；
缺点：不便于思考.
注：解题时，一般用分析法寻找解题 思路，再用综合法写解题过程
例2.已知 a 0,b 0 ，
求证： a b a b ba
2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法(1)
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向 演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
猜想需要推理 否定猜想? 举反例 肯定猜想? 证明
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
本题条件
已知定义 已知公理
⇒
A⇒
B⇒
C
已知定理
⇒ 本题结论
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF
例3.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 - tan2α = 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
直接证明
例1.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
例3.已知数列{an}的通项 an 0(n∈N*), 它的前n项的和记为 Sn ,数列{Sn2}是首项
为3,公差为1的等差数列.
(1)求 an 与 Sn 的解析式; (2)试比较Sn与 3nan (n∈N*),的大小.
求证:
1 - tan2α = 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为
E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF
D
E
C
F
A
B
练习2:求证： 3 - 2 > 6 - 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明：1 + 1 > 4