高三数学一轮复习课件：第五章平面向量、复数5-3(20200829130526)
高考数学一轮复习第五章平面向量复数51平面向量的概念及线性运算课件苏教版
4.(必修4P68练习T8改编)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,所以a⊥b.
必备知识·自主学习
5.(必修4P72习题2.2T4改编)化简:
1 (A B ＋ M B )＋ B O ＋ O M ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2N Q ＋ Q P ＋ M N － M P ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【解析】(1)原式= A B ＋ B O ＋ O M ＋ M B ＝ A B . (2)原式= NP＋ P =N0. 答案:(1) A B (2)0
核心素养·微专题
解题新思维 向量共线性质的运用
【结论】
已知 O A O B O C (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件为λ+μ=1. 【典例】 如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分
别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 A B ＝ m A M ， A C ＝ n A N ,则m+n的
值为________.
【解析】 A O ＝ 1 (A B ＋ A C ) ＝ m A M ＋ n A N .因为M,O,N三点共线,所以
m＋
n
2
=1,m+n=2.
22
22
答案:2
核心素养·微专题
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量: 两个方面:_大__小__和_方__向__. 其中,向量的大小叫做向量的 _长__度__(_或__模__)_. (2)零向量: 大小为0;方向是任意的. (3)单位向量:大小为_1_个__单__位__;方向是确定的. (4)平行向量:方向_相__同__或_相__反__的非零向量.平行向量又叫_共__线__向__量__.规定:0与 任一向量_平__行__.
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》5-3精品课件
知识归纳 一、平面向量的数量积 1．向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → ＝a，OB → ＝b ， 已知两个非零向量 a、b，过 O 点作OA 则 θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角． π 当 θ＝2时，a 与 b 垂直，记作 a⊥b； 当 θ＝0 时，a 与 b 同向； 当 θ＝π 时，a 与 b 反向．
• 4．若<a，b>＝θ，则a在b方向上的投影 为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为 |b|·cosθ，应注意区分． → OS
→ 共线的向量，不要和投影|O→ OS F |cosθ 相混淆．
→ 在 OS → 方向上的分力 OF → ′＝ |OF → |cosθ· ，是与 力 OF →| |OS
• ∴al＝|a|·cosθ(其中θ为a与轴l的正向所 成的角)当θ为钝角时，al<0；当θ为直角 时，al＝0；当θ为锐角时，al>0，当θ＝ 0°时，al＝|a|.当θ＝180°时，al＝－|a|. • (4)平面向量数量积的几何意义 • 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上 的射影|b|cosθ的乘积．
• 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉 及到长度、角度、平行、垂直、共线、共 点等问题的处理，目标是将几何问题符号 化、数量化、坐标化，从而将推理转化为 运算．向量的代数形式的运算与其几何意 义是紧密联系在一起的，明确了几何意义 使向量的代数形式的运算得以实施，而运 算的结果则可以肯定或否定几何结论． • 一般研究夹角问题总是从数量积入手，研 究长度则从模的运算性质入手，而研究共 线、共点问题则多从向量的加减运算及实 数与向量的积着手．
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②对角线A→C
③b＋a a＋(b＋c) 0＋a (2)a－b 3．(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①μ(λa) ②λa＋μa ③λa＋λb 4．b＝λa
2019年5月30日
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设 a0 为单位向量， ①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；
②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；
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对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当 a＋b＝0 时，a＝－b，所以 a∥b；当 a∥b 时， 不一定有 a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不 必要条件．故选 A.
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下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线；
④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
⑤若 m＝n，n＝p，则 m＝p.
其中不正确的个数是
A．2
B．3
C．4
() D．5
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解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两 个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，
由于 a 与 b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故②不正确．若A→B
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高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第4节 复 数
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
+ (+)(-) + -
④除法: =
=
+ (+)(-)
=
+
+
+
(+ )
(-)
=1-i.
等于(
D.1+i
)
(2)已知复数 z 满足(2z+3)i=3z,则等于(
A.- - i
√
)
B.- + i
C. - i
D. + i
解析:(2)因为(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,
i
B.2
D.-1+
√
i
)
→
解析:(2)设复数 z=x+yi(x,y∈R),因为向量 与实轴正向的夹角为
→
120°且复数 z 的模为 2,所以当 z 在第二象限时,x=||cos 120°=
→
2×(-)=-1,y=||sin 120°=2× = ,所以 z=-1+ i;当 z 在第三
所以其共轭复数为2-i.故选B.
考点二
复数的四则运算
-
[例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z= + ,则z- 等于(
A.-i
√
B.i
2020届高三一轮复习数学精品资料：第五章平面向量(57页精美WORD版)第五章平面向量
AC =a, BD =b,那么AF 等于答案 B1A.b+ 丄 a2D. a- 1 b2答案 B15. 设四边形ABCD 中，有DC = - AB ，且| AD |=| BC |，那么那个四边形是答案 C典例剖析例1给岀以下命题① 向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；② 向量a 与向量b 平行，那么a 与b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点同时相等的向量，其终点必相同;2020届高三一轮复习数学精品资料：第五章平面向量（57页匕基础自测 1.以下等式不正确的选项是 A. a+0=a C AB + BA 工 0 答案 C 精美WQR 版）第五章平面向量 §5.1 平面向量的概念及线性运算自主学习B.a+b=b+a■■q■D. AC = DC +AB + BD2.如下图，在平行四边形 ABCD 中，以下结论中错误的选项是 A AB =DC B. AD AB = AC C. AB AD = BDD. AD CB =0 答案 C3.〔 2018 •广东理，8〕在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点 Q E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F.假设B. -a+1 b 3 3C. 丄 a+1b2D.- a+- b 34.〔 2018 •岳阳模拟丨假设ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ， A D =b ，那么BE 等于A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形④ 两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤ 向量AB 与向量CD 是共线向量，那么点 A B 、C D 必在同一条直线上; ⑥ 有向线段确实是向量，向量确实是有向线段 其中假命题的个数为答案 CAB// DC, M N 分不是 DC AB 的中点，AB =a ， AD =b ， DC =c ，试用 a 、b 、c 表示 BC ， MN ， DN +CN .解 BC = BA + AD + DC =- a+b+c ，--------------■:-------------------- S - ------- --------------------------- ft!MN = MD + DA + AN __ 1 . 1•: MD =-2DC ，DA =- AD ，AN =2AB ， MN =la-b- lc.2 2DN +CN = DM +MN +CM + MN =2 MN =a-2b-c. 例3设两个非零向量a 与b 不共线，〔1〕假设 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3( a- b)， 求证：A 、B 、D 三点共线；〔2〕试确定实数k ，使ka+b 和a+kb 共线.___aFb〔1〕证明•/ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),BD = BC + CD =2a+8b+3( a- b) =2a+8b+3a-3 b =5(a+b)=5 AB . AB 、BD 共线，又T 它们有公共点 B,「. A 、B 、D 三点共线. 〔2〕解■/ ka+b 与 a+kb 共线， 二存在实数 ，使ka+b= (a+kb), 即 ka+b= a+ kb. /• (k- ) a=(k-1) b.•/ a 、b 是不共线的两个非零向量, /. k- =k-1=0，二 k 2-仁0./. k=± 1.■ 1 ■ °例4 〔 12分〕如下图，在△ ABO 中, OC =丄OA,4--- ■- 4 - - ---------------------------------------- ■-OD=1OB ，AD 与 BC 相交于点 M ，设 OA =a ，OB=b.试 用a 和b 表示向量OM . 解设 OM =na+nb ,那么 AM = OM - OA=na+nb- a=( m-1) a+nb. AD=OD-OA=lOB-OA=-a+X.2 2A.2B.3C.4D.5D Azk羔NR\例2如下图，假设四边形ABCD 是 一个等腰梯形,又：A M D 三点共线，AM 与AD 共线. •••存在实数t,使得AM =t AD , 即(md) a+nb=t (- a+ 1 b). 2 1• (m-1) a+nb=-t a+ t b. 2 m 1 tt ，消去 t 得：m1=-2 n , 即卩 m+2n=1.①n2 又T CM = OM - OC =ma+nb- 1 a=( m 1)a+nb. 4 41 1CB = OB-OC=b- a =- a+b.4 4又••• C M B 三点共线，• CM 与CB 共线. •存在实数t 1,使得CM =t 1CB , 1a b41• (m■丄)a+nb=t 141 m 4n t 14t i消去t i 得,4 m+n=1 10分由①②得m =7,n =7,• OM =1a+3b.7 7121. 以下命题中真命题的个数为 ① 假设| a|=| b|，那么a=b 或a=- b; ② 假设AB = DC ，那么A B 、C D 是一个平行四边形的四个顶点; ③ 假设 a=b, b=c,那么 a=c; ④ 假设a // b, b // c,那么a // c. A. 4 B.3 C.2 答案 D2. 在厶OAB 中，延长BA 到C,使AC=BA,在OB 上取点D, 1 _____________ ________ ■- -------- ■- , ■, 使 DB=丄 OB DC 与 OA 交于 E ，设 OA=a ，OB =b ，用 a, 3 b 表示向量OC ， DC .解因为A 是BC 的中点， 1 因此 OA=丄(OB +OC )，即 OC =2OA- OB =2a-b ; 2 —* —*■ —■- —■- p —1- 2 5 DC =OC - OD =OC - OB =2a-b- b=2a- b.3 3 33•假设a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，那么当t为何值时，a, t b, 1 ( a+b)三向量的终点在同一条直线上?3解设OA=a，OB =t b，OC =1 (a+b)，3■ ■ ■ 2 1 ■ ■ ■/. AC=OC-OA=- a+ b，AB = OB - OA =t b- a. 3 3要使A、B、C三点共线，只需AC = AB即-2 a+1 b= t b- a3 3二有•••当t = l时，三向量终点在同一直线上.24. 如下图，在△ ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上, 且AN=2NC, AM与BN相交于点P，求AP ： PM的值.解方法一设e1=BlM , e2= CN ,那么AM = AC +CM =-3e2-e1，BN =BC +CN =2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分不共线，因此存在实数BP = BN =2 e+ e2，• BA = BP- AP=〔+2 〕&+〔3 + 〕e?，另外BA= BC+CA =2e i+3e2,42 2 • 53 3 35—*" 4 ------■- —■■ 3 ---•- AP = AM , BP= BN , • AP： PM=4 : 1. 5 5方法二设AP = AM，1 1 ■ 3 —AM = — ( AB + AC )= AB + AN2 2 4'3•- AP = AB + AN .2 4•/ B、P、N三点共线，• AP - AB =t( AB - AN ),• AP =(1 + t) AB -1 AN12t3t43 —+—=1，4=—，• AP：PM=4 : 12 4 5活页作业、选择题1. 以下算式中不正确的选项是〔 〕5. 设OB=xOA+yOC ，且A 、B 、C 三点共线〔该直线只是端点O 〕，那么x+y 等于〔 〕6. 平面内有一点 P 及一个△ ABC 假设PA + PB +PC =AB ，那么A.点P 在厶ABC 外部 C.点P 在线段BC 上 答案 D 二、填空题7. 在厶ABC 中, CA=a ，CB=b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN AM 交于点P ，那么AP 可用a 、b 表示为 答案-2 a+ 1 b3 38. 在厶ABC 中, D 是AB 边上一点，假设 AD =2DB , C D=! CA+ CB 那么 =3 答案23三、解答题2 ~~9. 如下图，在△ ABC 中, AD =— AB ，DE// BC 交AC 于E ，AM 是 BC 边上中线，交DE 于N 设AB =a ，AC =b ，用a, b 分不表3* I ■A AB + BC +CA =0 B. AB - AC = BC C.O • AB =0 D. ( a)= • • a答案 B2. 〔 2018 •全国I 理,3〕在厶ABC 中, AB =c , AC =b ，假设点D 满足BD =2 DC ，那么AD 等于〔 〕 2 1 5 2 2 1 A. 2b+ 丄 cB. c- bC. _ b- 2 c 3 3 3 3 3 3答案 A3. 假设 AB =3e 1, CD=-5e 1，且 | AD |=| BC |，那么四边形 ABCD 是()A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D. 1 b+2 cD.不等腰梯形答案 C4.如下图，平面内的两条相交直线 OR 和OP 将该平面分割成四个部分I 、H 、山、W〔不包括边界〕.假设OP=aOP 1+bOP 2，且点P 落在第山部分，那么实数 a ，b 满足（） A.a >0, b >0 B.a > 0, b < 0 C. a < 0, b >0 D. a < 0, b < 0 答案 B A. 1 答案 AB.-1C.0D.不能确定B.点P 在线段AB 上 D.点P 在线段AC 上示向量 A E ， BC ， DE ， DN ， A M ， A N .一 2 一 2AE = AC = — b. 3 3DE // BC— 2 — ■AD AB3BC = AC - AB =b- a.由厶 ADE^A ABC 得 DE =2 BC =?(b-a). 3 3 由AM 是△ ABC 的中线，DE // BC,得 ——- 1 1DN=2DE =3(b-a ).11 而且 AM = AB + BM =a+ BC =a+( b- a) 2 2=1 (a+b). 2ADN s ABM — 2 1由一2 —■ AN = AM= — ( a+b).AD AB3 3310. 如下图，在△ ABC 中，D F 分不是BC _ — _ ¥ __ J ,AC 的中点，AE = AD , AB =a , AC =b. 3 〔1〕用a 、b 表示向量 AD 、AE 、AF 、〔2〕求证：B 、E 、F 三点共线.BE 、BF ;M〕解延长AD 到一吏AD =1AG ，连接BG CG 得到 因此 AG =a+b,ABGC口AD = 1 AG = 1 (a+b),2 - 2 —_- AE = AD =3 1 1(a+b). 3 — 1 — 1AF = AC =丄 b,2 2、 -1 1BE = AE - AB = -(a+b)-a= (b-2 a).3 3 1 1BF = AF - AB = - b- a= (b-2 a).2 2 —■- 2 —(2)证明 由(1)可知BE =- BF ,因此B3 E 、 11.:任意四边形 证明方法一v E 、F 分不是 F 三点共线.ABCD 中, E 、F 分不是AD BC 的中点，求证: 1EF =1( 2AB +DC ).如图,AD BC 的中点,/• EA+ ED =0, FB + FC =0, 又 v A B + B F + FE + E A =0, EF = AB +BF + EA 同理 EF = ED +DC +CF 由①+②得,2E F =A B + D C + [ E A + ED 〕+〔 B F +CF 〕= A B + DC ./• EF = 1 ( AB + DC ).2方法二连结EB , EC ,那么EC' = ED + DC ,EB=EA + AB，二EF =-( EC + EB) 2=1 ( ED + DC + EA + AB )= 1 ( AB + DC )2 212.点GABC的重心，过G作直线与AB AC两边分不交于M N两点，且AM =xAB , AN =y AC , 求1+1的值.x y解依照题意G为三角形的重心，故AG = 1 ( AB + AC )，31MG=AG-AM=3(AB + AC )-xAB=(1-X)AB+3AC，GN = AN - AG =y AC - AG=y AC - 1 ( AB + AC )31 —- 1 —-=〔y-3〕A C-3 AB,由于MG 与GN共线，依照共线向量差不多定理知MG = GN (1-x) AB + 1 AC 31 —3AB，31 -(y严1 1 1 1x x —3 3 3 = 31 1 1 1(y丄)y —3 3 3 31 1 x+y-3xy=0两边同除以xy得+ — =3.x y§ 5.2 平面向量的坐标表示及运算---- i•—自主学习匕基础自测1 31. 平面向量a=〔1，1〕，b=(1,-1),那么向量丄a- -b等于〔2 2A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案D2. 〔2018 •安徽理,3〕在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，假设AB =(2，4)，AC =(1，3)，那么〔〕A. (-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5)D. (2,4)答案 B3.假设向量a=(1,1) ,b=(1,-1), c=(-2,1),那么c 等于BD等于〔 〕A 13 . A.a+ b B.La- 3b C 3 1 h C.a- b D31 .D.a+ b 2 22 22 22 2答案 B4. (2018 •烟台模拟)向量 a=(8, ]x), b=(x,1),其中 x >0,假设〔a-2b 〕1/(2 a+b),那么 x 的值为〔〕2 A. 4 B.8C.0D.2答案 A5. 〔 2018 •广东五校联考〕 设a= sin x,3 , b= -,-cosx ，且a // b ,那么锐角x 为4 3 2------------5A.B.C.D.— 6 4 312答案 B---- 典例剖析 一*^* -----------例1设两个非零向量e -和e 2不共线.〔1〕假如 AB=e 「e 2, BC =3e 1+2e 2, CD=-8e 「2e 2, 求证：A C 、D 三点共线；〔2 丨假如 AB =e 1+e 2, BC=2e 1-3 e 2, CD =2e 1- ke 2，且 A 、C D 三点共线，求 k 的值. 〔1〕证明 AB =e 1 - e 2, BC =3e 1 +2e 2, CD =-8 e 1-2 e 2, AC = AB + BC =4e 1+e 2 1 1 —=-—(-8 e 1-2 e 2)=- — CD2 2 ' ■ - A C 与CD 共线， 又T AC 与CD 有公共点C , ••• A C 、D 三点共线.〔2〕解 AC = AB + BC =〔 e 1+e 2〕+〔 2e 【-3 e ?〕=3e 1-2 e 2,T A 、C 、D 三点共线，••• AC 与CD 共线，从而存在实数使得AC = CD,即3e-2e 2= (2e 「ke 2)，由平面向量的差不多定理, 得32 2 k ，解之得=2，k =4.例 2 点 A(1 , 0)、B(0, 2)、C(-1 , -2)，求以 A 、 解设D 的坐标为〔x, y 丨.(1)假设是 ABCD 那么由AB = DC 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-( x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2- y).B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.21 x 1 . _ , ，…x=0, y =-4.2 y 2D 点的坐标为〔0, -4〕〔如图中的DJ .〔2〕假设是 ADBC 那么由AD =CB 得 〔x , y 〕-〔 1, 0〕=〔 0, 2〕-〔-1 , -2 丨， 即(x-1, y)=(1,4).解得 x=2, y=4.D 点坐标为〔2, 4〕〔如图中的D 〕. 〔3〕假设是 ABDC 那么由AB =CD 得〔0, 2〕-一〔 1, 0〕=〔 x, y 〕-(-1,-2), 即(-1,2)=( x+1,y+2).解得 x=-2, y=0. •••D 点的坐标为〔-2 , 0〕〔如图中的D 3〕综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为〔0, -4〕或〔2, 4〕或〔-2 , 0〕例3〔 12分〕平面内给定三个向量 a =(3,2), b=(-1,2), c=(4,1).回答以下咨询题:〔1〕假设〔a+kc 〕// (2 b-a)，求实数 k; (2)设 d=(x, y)满足(d- c) // (a+b)且| d-c|=1,求 d.解〔1〕：〔 a+kc 〕//〔 2b-a 〕， 又 a+kc=(3+4 k,2+ k),2 b- a=(-5,2), /• 2 X (3+4 k)-(-5) X (2+k)=0, -k = 1613〔2〕： d-c=(x-4, y-1), a+b=(2,4), 又(d- c) // (a+b)且| d-c|=1,4x42 y 1 0“ 2x 4y 1 1x 4丄 x 4解得5或 52、52\5 y 1 5y 15...d= 2^5 丄空或 d= 2^5 口5 ' 5 5 ' 52分4分6分8 分10 分.12 分知能迁移a=4d- 2c,代入②3 31.如下图，在平行四边形 ABCD 中, 解 方法一 设AB =a , AD =b , 那么 a= AN + NB =d+ 丄 b 2将②代入①得a=d+ 1 c2M N 分不为DC , BC 的中点， AM =c , AN =d ,试用c d 表示 AB , AD .①I1 b= AM + MD =c+— a 2②得 b=c+ 1 4d -c?c-?d2 3 33 3即 AB = 4 d- 2c , AD = 4 c- 2 d3 3 3 3方法二 设 AB =a , AD =b.因M N 分不为CD, BC 的中点， 因此BN = =1 b , DM =1 a ,2 2c b 1 a a 2_(2d c) 因而 2 3d1 , b2 d )a b 2 (2c 3 即 AB = 2(2 d-c), AD =2：_(2c-d). 3 32. A 〔-2 , 4丨、B 〔 3, -1〕、C 〔-3 , -4 丨且 CM =3CA , CN =2CB ，求点 解 •/ A 〔-2 , 4〕、B 〔3, -1〕、C 〔-3 , -4 丨， ••• CA=〔 1, 8丨，CB =〔6, 3〕， 二 CM =3CA=〔3, 24〕，CN =2CB=〔 12, 6). 设 M 〔x , y 〕，那么有 CM =〔 x+3 , y+4〕, x 3 3 . x 0 y 4 24 ' y 20’.M 点的坐标为〔0 , 20〕. 同理可求得N 点坐标为〔9 , 2〕,因此MN =〔9 , -18丨， 故所求点M N 的坐标分不为〔0 , 20〕、〔 9 , 2〕， MN 的坐标为〔9 , -18丨.一 1 3. A 、B 、C 三点的坐标分不为〔-1 , 0〕、〔 3 , -1〕、〔 1 , 2〕，同时 AE=-3 求证：EF // AB .证明 设E 、F 两点的坐标分不为〔X 1 , yj 、〔 x 2 , y 2],那么依题意，得 AB =〔4 , -1〕. 1 2 21 2 .AE AC (一，), BF BC (,1) 3 3 3 3 32 2、•- AE (x-yj ( 1,0) (-,^),—— 2BF My) (3, 1) ( -,1).3• (x-yj (2,2) ( 1,0) ( 1,-), 3 3 3 3 2 7 (x 2,y 2) ( -,1) (3, 1) (-,0), 3 3• EF (x 2, y 2) (X 1,yJ (8, ■2),3 3又：AB (4, 1),M N 及M N 的坐标. 1 ■ ・•AC ，B F =3 BC .AC =〔 2 , 2〕, BC =〔 -2 , 3〕,〔 I4X (? (1)x 3 °」EF /AB.一、选择题1.向量a=(2,3), b=(-1,2),假设ma+nb 与a-2 b 共线,那么 m 等于n答案 A答案 D3. 向量 OM =(3,-2), ON =(-5,-1), 那么 1 MN 等于2答案 D设 AB =a , BC=b ,〔1〕求：3a+b-3 c ；〔2〕求满足a=nb+nc 的实数m , n. 解 由得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3 a+b-3 c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)活页作业4.〔 2018 •武汉武昌区调研测试 〕0是厶ABC 的外心, AB=2, AC=1,Z BAC=120° .设 AB =a ,AC =b ,假设 AO那么!+ 2的值为 A . 23 16 B.兰 16 C.^6D.丄2答案 C 5.〔 2018 •辽宁文，5〕四边形ABCD 的顶点A 〔 0, 2〕、 B 〔 -1 , -2 丨、C 〔 3, 1〕，且 BC =2 AD ,那么顶点D 的坐标为 a+ 2 b, 〕() A(2, 7)2 1 B.(2, 1 ) 2C(3,2)D.(1,3)答案 A 6.设 0W < 2 ,两个向量OP ,=〔cosA 2B.答案 C 二、填空题7. 〔 2018 •全国 H 文, 答案28. 〔 2018 •菏泽模拟〕答案16三、解答题 ,sin 丨，OP 2=〔 2+sin , 2-cos 〕，那么向量 P 1P 2长度的最大值是2、313〕设向量 a=(1,2), b=(2,3)，假设向量 a+b 与向量 c=(-4,-7)共线，那么向量 m=( a-2,-2), n=(-2, b-2), m// n ( a > 0, b > 0)，那么 ab 的最小值是A. - 12B.2C. 1 2D.-22. 设a 、b 是不共线的两个非零向量，A. 1B.2AB =2a+pb , BC =a+b , CD =a-2 b.假设 A C. -2B 、D 三点共线,那么p 的值为D.-1A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,- 1)D. 1(-4,丄)29. A 〔-2 , 4〕，B 〔 3, -1〕，C 〔-3 , -4 丨. CA =c ,且 CM =3c , CN =-2 b ,=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).〔2〕T nb+nc=〔-6m+n , -3 m+8n 丨，10•假设a, b 为非零向量且a // b, 1,2匕R,且i 2工0.求证：v+ 2 b 与v- 2b 为共线向量. 证明 设 a=(x i , y i ), b=(X 2, y 2).T a // b, b 工0,a 工0,二存在实数m 使得a=mb,即 a=(X 1, y"=( mx, myO, 二 1 a+ 2 b=(( m 1+ 2) X 2,( m 1 + 2 )y 2) =(m 1+ 2)( X 2,y 2)同理 1 a- 2 b=( m 1- 2)( x 1 2, y 2), (1a+ 2b) // ( 1a- 2b) // b, 而 b z 0,「•( 1 a+ 2 b) // ( 1 a- 2 b).11.在 ABCD 中，A 〔 1 , 1〕，AB=〔6, 0〕，点M 是线段AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点P. 〔1〕〕假设AD =〔3，5〕，求点C 的坐标；〔2丨当| AB |=| AD |时，求点P 的轨迹. 解〔1〕设点C 坐标为(X 0，y 。
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》51精品课件
• 5．向量的应用 • 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问 题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几 何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际 问题的能力．
• ●命题趋势 • 由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点． • 在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法 则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、 差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正 确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线 性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、 数列等知识结合．
• • • • •
3．平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
• 4．平面向量的数量积 • ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含 义及其物理意义． • ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系． • ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． • ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系．
，
1 ∴当t＝2时，三向量终点在同一直线上.
[例4]
如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且
1→ → → ＝a， BC → ＝b，若 BF → AE ＝ AD ，F为BE与AC的交点．设 AB 4 → ，AF → ＝hAC → ，则k＝________，h＝________. ＝kBE
→ ＝ AB → ＋ BC → ＝a＋b，∴ AF → ＝h AC → ＝ha＋hb， 解析： AC → ＝BA → ＋AF → ＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb， BF 1 → → → → 又BF＝kBE＝k(BA＋AE)＝k(－a＋ b) 4 k k ＝－ka＋4b，∴(h－1)a＋hb＝－ka＋4b， h－1＝－k ∴ k h＝4 4 k＝5 ，解得 h＝1 5
2025年高考数学一轮复习课件第五章平面向量与复数-5.2平面向量基本定理及坐标表示
( √ )
（3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组
基底唯一表示.
( √ )
（4）若 = 1 , 1 ， =
1
2 , 2 ，则//的充要条件是
2
（5）向量的坐标就是向量终点的坐标.
=
1
.
2
( ×)
( ×)
返回至目录
2.设1 ，2 是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是 (
1.平面向量基本定理
如果1 ,2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
1 1 + 2 2
有且只有一对实数1 ，2 ，使 =____________.我们把{
1 ,2 }叫做表示这一平面内所
基底
有向量的一个______.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
A. 9,7
√
B. 7,6
C. 1,5
)
D. 0,3
解：依题意,得 = 2,1 ， = 5,5 ，所以2 + = 2 2,1 + 5,5 = 9,7 .故选
A.
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4.（教材题改编）已知向量 = 1, −2 ， = −1, ，若//，则的值为 (
A.1
B.−1
返回至目录
（2）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的
夹角为120∘ ，与的夹角为30∘ ，且 = = 1，
6
= 2 3，若 = + (, ∈ )，则 + 的值为___.
解：（方法一）以和为邻边作平行四边形1 1 ，
A.2
B.−2
C.3
D.−3
√
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。
2025年高考数学一轮复习课件第五章平面向量与复数-5.1平面向量的概念及线性运算
解：对于A，单位向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误.对于B，当时，与 不一定相等,所以错误.对于C，当时，不一定有，因为需且与 同向，所以错误.对于D，，则 ，D正确.故选D.
√
3.【多选题】（教材题改编）下列选项中，向量, 一定共线的有( )
A. B. C. D.
√
√
√
解：由正六边形的结构特征，知与方向相同，长度相等，所以 ，故A正确.与方向相反，所以 ，故B正确.由正六边形的性质，知 ，故C正确.与 不共线，所以不相等，故D错误.故选 .
【点拨】 准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:，有与 方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如 .③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量， 是与 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上.⑥只要不改变向量的大小和方向，可以自由平移 ，平移后的向量与 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
2024
0
解：当单位向量，， ,方向相同时， 取得最大值， 当单位向量，， ,首尾相连时，则 ，所以 的最小值为0.故填2024；0.
【点拨】 运用三角形法则时，注意向量三角不等式的应用.运用平行四边形法则时，注意与 就是以向量和 为邻边的平行四边形的对角线向量.
变式2 在四边形中，若，且 ，则四边形 是( )
变式3（1） （2022年新课标Ⅰ卷）在中，点在边上， .记，，则 ( )
A. B. C. D.
解：如图，因为 ，所以，即 .故选B.
2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数第五讲复数课件
2.(2021 年石家庄摸底)若复数 z 满足 2z＋ z ＝3－i，其
中 i 为虚数单位，则|z|＝( )
A.2
B. 3
C. 2
D.3
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵2z＋ z ＝3－i，
∴2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－i，∴a＝1，b＝－1，
z＝1－i，∴|z|＝ 2.故选 C.
A.3－2i
B.3＋2i
C.－3－2i
D.－3＋2i
解析：i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.
答案：D
考向 2 复数的除法运算
[例 3] (1)(2021 年南海月考)复数 z＝i23－－1i 的共轭复数
为( )
A.－15＋35i
B.－51－53i
C.－12＋32i
D.15－35i
解析：∵z＝i23－－1i ＝－2i－－i1＝－21－＋ii22＋＋ii＝－1＋5 3i＝ －15－35i，
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：复数 z＝1＋i i＝1＋i1i－1i－ i＝1＋2 i， 复数 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 12，－12，在复平面内对应的点位于第四象限.
答案：D
【题后反思】复数几何意义及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z＝(a，b). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系， 因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运 用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 提醒：|z|的几何意义：令 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，由此可知表示复数 z 的点到原点的距离就是|z|的 几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1，z2 的两点之间的距离.
高考数学一轮复习第五章平面向量复数55复数课件文
五
平面向量、复数
章
12/13/2021
第一页，共四十页。
第五节
复数
12/13/2021
第二页，共四十页。
高考概览 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解 复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则 运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
12/13/2021
12/13/2021
第二十二页，共四十页。
[跟踪演练]
1．(2018·辽宁沈阳二中一模)设 i 是虚数单位，若复数 a－41－7 i
(a∈R)是纯虚数，则实数 a 的值为( )
A．－4
B．－1
C．4
D．1
12/13/2021
第二十三页，共四十页。
[解析] 因为 a－41－7 i＝a－41－7i4＋4＋i i＝(a－4)－i 是纯虚 数，所以 a＝4.故选 C.
＝－1.
[答案] (1)A (2)－1
12/13/2021
第三十三页，共四十页。
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者 用向量相等直接给出结论即可．
12/13/2021
第三十四页，共四十页。
[跟踪演练]
1．设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2
12/13/2021
第七页，共四十页。
[温馨提示] 复数有关概念的三个误区：纯虚数；虚部；共 轭复数．
如：(1)已知复数 z＝m2－1＋(m－1)i 是纯虚数，则实数 m＝ －1 .
(2)复数 2－5i 的虚部为 －5 . (3)复数－3＋4i 的共轭复数是 －3－4i .
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积课件文
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10， |a－b|＝ 6，则 a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解：(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得 4a·b ＝4，a·b＝1.故选 A.
第十九页，共38页。
类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系
第七页，共38页。
在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，若 AB＝3，BD＝1， 则A→B·A→D＝________.
解：如图所示，
A→B·A→D＝A→B·(A→B＋B→D)＝9＋3×cos120°＝125，故填125.
第八页，共38页。
(2015·天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且B→E＝23B→C，D→F ＝16D→C，则A→E·A→F的值为________．
第五章
平面向量(xiàngliàng)与复数
• 5.3 平面向量 (xiàngliàng)的数量积
第一页，共38页。
1．数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量________________叫做 a 与 b 的数量 积(或内积)，记作____________，即 a·b＝________，其中 θ 是 a 与 b 的夹角， |a|cosθ(|b|cosθ)叫向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的____________． a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于__________________________________． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律 ①交换律：___________________； ②数乘结合律：____________________； ③分配律：_____________________． (2)常用结论 ①(a±b)2＝________________________； ②(a＋b)·(a－b)＝_________________； ③ a2＋b2＝0⇔______________________；
2023年高考数学一轮复习 新高考方案 课件第五章 平面向量及其应用、复数
度相等且方向相同，又 b ＝c，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相
等且方向相同，故 a ＝c；④不正确．当 a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不
能得到 a ＝b ，故|a |＝|b |且 a ∥b 不是 a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综
―A→B ＋14―A→C ，又由―B→P ＝λ―A→B ＋μ―A→C ，所以 λ＝－34，μ＝14，所以 λ＋μ＝－
34＋14＝－12.
答案：C
•重难点(二) 共线向量定理及其应用 • [典例] 设e1，e2是两个不共线的非零向量．
(1)若―A→B ＝e1＋e2，―B→C ＝2e1＋8e2，―C→D ＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三
• (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈．
a
a
(4)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量．
|a |
|a |
•层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
•重难点(一) 平面向量的线性运算
• [典例] (1)(多选)在△ABC中，E，F分别是边BC和AC上的中点， P是AE与BF的交点，则有
③若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c；
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且 a ∥b .
其中正确命题的序号是 A．②③ B．①② C．③④ D．②④
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解析：①不正确．―A→B 所在的直线与―C→D 所在的直线可能重合；②正确．∵―A→B ＝ ―D→C ，∴|―A→B |＝|―D→C |且―A→B ∥―D→C ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|―A→B |＝|―D→C |，―A→B
高三数学一轮复习课件：第五章 平面向量、复数 5-3
(2)(2018·衡水调研)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC
＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最
小值为________．
[思路引导] (1) 已知得|a|及a·b的值 → 利用|3a＋b|＝ 3a＋b2求得结果
[解析] (1)依题意得|a|＝ 2，a·b＝ 2×2×cos45°＝2，∴|3a ＋b|＝ 3a＋b2＝ 9a2＋6a·b＋b2＝ 18＋12＋4＝ 34，选 D.
[跟踪演练]
1．已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a－2b)＝( )
A．2
B．－2
C．－3
D．4
[解析] 因为 a＋b＝(2,1)，a－2b＝(－1,4)，所以(a＋b)·(a－
2b)＝(－1)×2＋1×4＝4－2＝2，故选 A.
[答案] A
2．已知A→B＝(2,1)，点 C(－1,0)，D(4,5)，则向量A→B在C→D方 向上的投影为( )
求解向量模的问题的技巧 (1)利用公式|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2 把长度问题转 化为数量积的运算问题解决． (2)利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形 法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
[跟踪演练] 1．已知向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a＋b| ＝________. [解析] 由向量加法的几何意义知 a，b，a＋b 围成边长为 1 的等腰三角形，且一内角为 120°，由平面几何知识可求得|a＋b| ＝ 3.
(2)∵向量 a＝(1，k)，b＝(2,2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又 a＋b 与 a 共线．∴(k＋2)－3k＝0，解得 k＝1，∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2 ＋1×2＝4，故选 D.