2015洞口二中高一数学 期末检测三

2015洞口二中高一数学 期末检测三
说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分
2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．cos300°＝ ( )
A ．－32
B ．－12
C .1
2
D.
3
2
2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )
A ．65a
B ．－6a
C ．6a
D ．－65
a
３、已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( ) A ．32 B ．3
3
C ． 3
D ．2 3
34.|tan |cos (0,)22
y x x x x ππ
=⋅≤<
≠函数图象是（ ）
5.())sin(3) (6)
3
3
f x x x A k B k C k D k θθθπ
π
ππ
πππ=---+
+
-
函数是奇函数，则等于 ( )
226.sin cos ,35.{|22,}.{|22,}44443.{|,}.{|,}
4444
x x x A x k x k k Z B x k x k k Z C x k x k k Z D x k x k k Z ππππ
ππππππππ
ππππ>-<<+∈+<<+∈-<<+∈+<<+∈若则
的取值范围是 ( )
7.()()(),[0,]()cos ,()03.(2,2)
.(2,2)
2222
.(2,2)
.(2,2)
2
R f x f x f x x f x x f x A k k B k k C k k D k k ππππ
π
π
ππππππ
πππππ+=-∈=>-+-
+++定义在上的偶函数满足若时解析为则的解集是 ( )8.设函数()sin(2)6
f x x π
=+
，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=对称
B ．()f x 的图像关于点(
,0)6
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12
π
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移
12
π
个单位，得到一个偶函数的图像
9、如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( )
A. .BC →＋12BA → B ．－BC →＋12BA →
C ．－BC →－12BA → D..BC →－12
BA →
10．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]
66ππ-
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
sin ()y x x R =∈的图象上所有的点
A ．向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变
B ．向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 D ．向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
11、已知21
sin sin ,sin cos 3
x y u x x +=
=+则的最小值是（ ）
A ．19- B. -1 C. 1 D. 54
12．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆对应的三个内角的正弦值，则
( )
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆均为锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆均为钝角三角形
C ．111A B C ∆为钝角三角形，222A B C ∆为锐角三角形
D ．111A B C ∆为锐角三角形，222A B C ∆为钝角三角形
第Ⅱ卷 （90分）
二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知α为第三象限角，则2
tan
α
的符号为_______ _______
14．设1tan 0,sin cos 4
1tan π
α
αααα
+<<
+=
=-若则___________ 15．将函数)3
2sin(2)(π
+
=x x f 图象沿x 轴向左平移m 个单位(0>m ),所得函数的图象关
于y 轴对称,则m 的最小值为 ________.
16．给出下列命题：
①11tan ,(0,),arctan()22
ααπα=-
∈=-若则 ②若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β;
③函数27
sin()32
y x π=-是偶函数；
④函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π个单位，得到sin(2)4y x π
=+的图象.
其中正确的命题的序号是____________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）
如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤
≤的图象与y
轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．
（1）、求θ和ω的值；
（2）、已知点π02
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，
点00()Q x y ，是PA
的中点，当0y =0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x
18. （本小题满分12分） 已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)在所给坐标系中用五点法作出它在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡89,8ππ上的图象. (3)说明y ＝sin x 的图像可由y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像经过怎样的变换而得到．
19. （本小题满分12分）
A 、
B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．
C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.
(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求αααα22sin 1cos sin cos 3++-的值；
(2)求2
BC 的取值范围．
20． (本小题满分12分)
已知定义在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，23π时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2的图象如图所示．
(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π上的表达式；
(2)求方程f(x)＝
2
2
的解．
21. (本小题满分12分)
分析方程0cos sin 2
=+-a x x 在[)π2,0∈x 的解的个数.
22. (本小题满分12分)
欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ，则水渠壁的倾角α(0°<α<90°)应为多大时，方能使修建成本最低?
沈阳二中2012——2013学年度下学期4月份小班化学习成果
阶段验收高一（15届）数学答案
二、填空题：
13、 负 14、 ,12
π
16、②③ 三、解答题：
17、（1）将0x =，y =
2cos()y x ωθ=+得cos θ=
， 因为02θπ≤≤
，所以6
θπ
=．又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，00()Q x y ，是PA 的中点，02
y =
，所以点P 的坐标为
022x π⎛- ⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
因为
02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤，从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ
-=．即023x π=或034
x π=．
18.(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝4
π.
(3)略.
19.(1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45， ∴tan α＝4
3，
78=
41
原式 (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，
∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π
3))，且C (1,0)，
∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2
(α＋π3)
＝2－2cos(α＋π
3)．
而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π
2)．
∴α＋π3∈(π2，5π
6)，
∴cos(α＋π3)∈(－3
2，0)．
∴|BC |2
的取值范围是(2,2＋3).
20.解：(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，23π时，A ＝1，T 4＝2π3－π6，T ＝2π，ω＝1. 且f (x )＝sin(x ＋φ)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，0， 则2π3＋φ＝π，φ＝π3
.
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
当－π≤x ＜－π6时，－π6≤－x －π3≤2π
3
，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－x －π3＋π3， 而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π
6
对称，
则f (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫－x －π3， 即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－x －π3＋π3＝－sin x ，－π≤x ＜－π6. ∴f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，2π3，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－π，－π6.
(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π
3
≤π，
由f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝22， 得x ＋π3＝π4或3π4，x ＝－π12或5π12
.
当－π≤x ＜－π6时，由f (x )＝－sin x ＝22，sin x ＝－22，
得x ＝－π4或－3π
4.
∴x ＝－π4或－3π4或－π12或5π
12.
21.整理得：2
sin sin 1,(0,2)a x x x π=--+∈，设[]1,1-∈t。

a a a a a a 四解三解二解一解无解或,4
5
1;,1;,11;,1;,14
5
<<=<<--=-<>
22.作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =α
sin h
,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =
h S 2,故CD =h
S
-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =
α
α-+
=α+α-sin )
cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)，由于S 与h 是常
量，欲使y 最小，只需u=
α
α
-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sin α,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2
+y 2
=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-2
3
，21)，则有sin α=2
3
,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低.。