2020北师大版九年级数学上册 降次--解一元二次方程
【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程(重难点)
降次-解一元二次方程（重难点、易错点）课前检测1、简述一元二次方程的常见解法，并分析和比较这几种解法的优缺点。
2、结合一元二次方程的几种解法分析一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根的情况。
3、通过配一元二次方程的一般式得到一元二次方程的求根公式。
重难点讲解1、配方法判断多项式的值。
例题1：用配方法证明：2x x-+-的值恒小于0.31216变式1：对于二次三项式21036-+,小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都x x不可能是10.你是否同意他的说法？请说明理由。
2、一元二次方程的根例题2：已知方程20++=有一个根是(0)x bx a-≠，则下列代数式的值恒为常a a数的是（）C.a b+D.a b-A.a bB.ab例题3：关于x的一元二次方程20+=解的情况是___________________________；mx nx例题4：已知关于x的一元二次方程2-++-=,试证明不论m取何值，原9(7)30x m x m方程都有两个不相等的实数根。
3、根据一元二次方程根的情况判断三角形形状例题5：若,,a b c 是A B C 的三边，且关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=有两个相等的实数根，试判断A B C 的形状。
变式2：在R t A B C 中，090C ∠=，若,,a b c 是R t A B C 的三边，试证明关于x 的方程21()()04a c x bx c a +-+-=有两个相等的实数根。
变式3：若,,c a b 是A B C 的三条边的长，且,a b 是方程2-33+1=0x x 的两根，5c =试判断A B C 的形状。
4、根据方程的根求多项式的值例题6：（2010北京海淀第一学期期中）已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值。
例题7：已知12,x x 是方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++=____________；5、根与系数关系例题8：已知关于x 的方程222(3)410x k x k k --+--=。
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
22.2.2降次--解一元二次方程公式法(一)
b b2 4ac x 2a 2a
x2
-b-
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac ＝0 即 x
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
例2 用公式法解下列方程
（1） （2） （3 ） （4 ）
x - 4x - 7 0
2
2x - 2 2x 1 0
2
5x - 3x x 1
2
x 17 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
随堂 练习 用公式法解下列方程：
北师大版九年级数学上册用因式分解法求解一元二次方程课件
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
新课进行时
要点归纳 解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先 化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若 容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时， 用配方法也较简单.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
新课进行时
典例精析
合适运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
合适运用配方法 ④
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
x1
5 3
, x2
5.
5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2=
新课进行时
（3）x2 - 12x = 4 ;
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得
北师大九年级上册2.2 配方法解一元二次方程 教学设计
2.2配方法解一元二次方程教学设计
观察下面的一元二次方程，试着解一解。
x2=5
2x2+3=5
x2+2x+1=5
(x+6)2+72=102
提问：观察上面的一元二次方程，它们都有什么特点？
等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式，另一边是一个非负常数的形式.
对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解.
【小组讨论】怎样解方程x2+12x-15=0？
怎样将这个方程化成上述方程的形式？
将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62
即：x2+2·x·5+62=15+62，
（x+6）2=51
两边开平方，得x+6=51
因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1= 51-6, x2= -51-6
【小组讨论】上面是用什么方法解方程x2+12x-15=0？
这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另。
数学北师大版九年级上册2.2.1.用配方法求解一元二次方程(一).2.1降次--解一元二次方程配方法(一)
（X+a)2= b b 0
(x6)
2
51
开平方
化成两个一元 一次方程
x6 51
x 6 5 1 或 x 6-5 1
定解
x 5 16 , x 5 16 1 2
心动
不如行动
例1: 用配方法解方程
2
2
x+ 8 x 9 0
8 x 9 解: 移项得： x + 2 2 2 + 8 x 4 94 配方得： x 2 即( x + 4 ) 2 5
一次方程
开方 降次
左边：完全平方 右边：一个非负数 3、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 的步骤： 移项—配方—开方—求解—定解
1、将一元二次方程x2-2x-4=0 （x+a）2=b的形式为_______ 根为_________ 2、若x2+6x+m2 （ ）
A 3 B -3 C 3 D
，所以方程 的
4 x 2 x
问题： 1.上面等式的左边常数项和一次项系数有何关系？
常数项等于一次项系数一半的平方
做一做：根据完全平方公式填空
x2 x2 x2
2 6 +12 x+
=(x+6)2 2 )2 )2
-4 x+ 22 =(x +8 x+
42
=(x +
4
问题： 1.上面等式的左边常数项和一次项系数有何关系？ 2.对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式 ？
教材：北大师版 九年级上册
授课教师：新亨镇硕榕初级中学黄露妍
学习目标
• 1 会用配方法解二次项系数为1
《降次--解一元二次方程》
练习
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(2)(4x－3)2=(x+3)2
小结
因式分解法的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解 一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
小结
一元二次方程的解法：
解： (2) a=1，b=-4，c=4 b2-4ac=(-4)2- 4×1×4=0
( 4) 0 4 0 x 2 1 2
4 即x1 x 2 2 2
解： (3) a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=(-3)2- 4×1×4= -7<0 因为在实数范围内负数没有平方 根，所以方程无实数根。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，求出方程的根，这种解法
叫做因式分解法。
1、 什么样的一元二次方程 可以用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二方 程，必须要先化成一般形式吗？ 3、用因式分解法解一元二次方 程，其关键是什么？
1、配方法；
适用任何一 2、公式法； 元二次方程 3、因式分解法.
适用部分一 元二次方程
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可以化为 的形式 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元 二次方程的一般形式，其中ax２ ， 项、一次项和常数项，a， 数．
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
降次--解一元二次方程--(习题课)
2．3降次--解一元二次方程---（习题课）◆随堂检测1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0>aB 、0≠aC 、1=aD 、0≥a2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、522=-x xB 、5422=-x xC 、542=+x xD 、522=+x x3、方程x x x =-)1(的根是（ ）A 、2=xB 、2-=xC 、0,221=-=x xD 、0,221==x x4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．5、用适当的方法解下列方程：（1）0672=+-x x ； （2）)15(3)15(2-=-x x ；（3）0362=+-x x ； （4）22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=, 令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去）， 当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x .◆课下作业●拓展提高1、方程062=--x x 的解是__________________．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、-45、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体.然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =.∴原方程的解为1234x x x x ====解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程4260x x --=. ●体验中考1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ）A．4+ B．12+ C．2+ D．212++3、（2008年，凉山）已知反比例函数ab y x=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ）A ．有两个正根B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)4、（2008年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)参考答案：◆随堂检测1、B. 依据一元二次方程的定义可得.2、C.3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.4、2+依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.5、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==； （3）用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==A DC EB（4）用公式法解22510x x --=得:12x x ==. ◆课下作业●拓展提高1、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.2、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3、答案不唯一：如2230x x +-=.4、A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.5、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 6、解:（1）换元法,转化.（2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x =.●体验中考1、答案不唯一，如21x =2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=2，BC=2，∴ABCD Y 的周长为422+，故选A 。
北师版九年级上册 2.4因式分解法解一元二次方程
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明 地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(6)(x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r
10 2
200
.
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
北师大版九年级上册数学用因式分解法求解一元二次方程说课稿
总结：
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般情势; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一 次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降 次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
作业布置
（三）教学重点与难点
重点：用因式分解法解某些一元二次 方程
难点：将方程转化为一般情势后，对方 程左侧进行因式分解。
二、教法分析
根据本节课的教学目标、教材内容 以及学生的认知特点，教学上采用以 自主探究为主，通过实际问题加深数 学与生活的联系,从而使用因式分解法 解方程成为一种的需要。并以分析、 讨论、交流、演示相结合的教学方法， 帮助学生通过已有的知识经验，归纳 出用因式分解法解一元二次方程。
• 完成导学案未完成的习题 • 将学案上的错误习题进行改正
2、解下列一元二次方程：
（1） 2x2 8
（2） (x 2)2 16 0
知识检测
3、对于式子ab=0说明了什么？
导入
4、把下列各式因式分解. （1）x2－x
（2） x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （4）（2x－1）2－x2
(二)、自主探究，合作交流
1、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样 来解这些方程？
第二章 一元二次方程
第4节 用因式分解法求解一元二次方程
一、教材分析 二、教法分析 三、学法分析 四、教学设计
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
本节课是九年级上册第二章第4节因式 分解法解方程的内容。本节是在学习了直 接开平方法、配方法、公式法的基础上学 习的内容。通过“降次”，把一元二次方 程转化为两个一元一次方程，突出运用转 化的数学思想方法。力求使学生在今后解 决实际问题中能根据不同方程的特征，灵 活运用不同的方法，使解决问题的策略多 样化。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 配方法(2)
t - 3 = 1 或 t - 3 = 1.
22
2
2
t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
例2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1 = (k－2)2＋1
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1. 所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
∵周瑜 30 岁还攻打过东吴，
∴周瑜去世的年龄为 36 岁.
当堂小结 定义
配 步骤 方 法
在方程两边都配上
一次项系数 2
2
一 移常数项且二次项系数化为 1；
二
配方[配上
一次项系数 2
2
]；
三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四 开平方解方程
应用
特别提醒：
求代数式的最值或证明
在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式.
解：移项，得 配方，得
Hale Waihona Puke x2 + 6x = -8，
(x + 3)2 = 1.
想一想怎么来解
开平方，得 x + 3 = ±1.
3x2 + 8x - 3 = 0.
解得
x1 = -2 ， x2 = -4.
试一试：解方程： 3x2 + 8x - 3 = 0. 解：两边同除以 3，得 x2 + 8 x 1 0.
同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要
使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程
2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次
出现，可以用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方
程，从而达到降次的目的.
典例精讲
【题型一】用因式分解法解一元二次方程
例 1： 用因式分解法解下列方程：
所拼的图形画在虚线方框内.
a=0或b=0
总结:1.如果 ab=0,那么________.
等于0
2.因式分解法：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解
成 两个一次因式的积
时，令每个因式分别为就是原方程的解，这种解方程的
方法称为因式分解法.
等于0
3.一般步骤如下：(1)整理方程使其右边________；
力，学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提
高学生解决问题的能力.
旧知回顾
1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？
（直接开平方法、配方法、公式法）
2.分解因式的方法有哪些？
（提公因式法、公式法）
对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还
可以怎样求解呢?观察和分析小亮的思考及解法，你认为
解: 设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,
整理得t²+t-2=0,(t+2)(t-1)=0,
解得t₁=-2,t₂=1,
∴x+y=-2或x+y=1.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程
变式 1: 解方程:²+ + +
²
= .
北师大版-数学-九年级上册-配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程“降次”为两个一元一次方程.通过解两个一元一次方程，到达求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基础方法，且又是一种重要的方法，下面让我们一起来理解配方法在解一元二次方程中的应用.1．知识点拨配方法:通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方法的基本思想：通过配方来降次,将方程转换为(x+n)2=P(P≥0),进而转化为x+n=P ±达到求解的目的.配方的基本步骤:①方程两边同除以二次项的系数,将二次的系数化为1;②移项:把常数项单独移到方程的右边;③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+n)2=P(P≥0);④求解:将方程(x+n)2=P(P≥0)化为两个一元一次方程:x+n=P ±,进而求出方程的解.2．应用体验例1 用配方法解方程x 2+10x-8=0.分析:方程的特点是二次项的系数等于1,可以先移项,再配方求解.解:移项,得x 2+10x=8,配方,得x 2+10x+52=8+52,即(x+5)2=33,所以x+5=±33所以x 1=-5+33,x 2=-5-33点评:配方的关键是方程两边加上一次项系数的平方的一半.例2 用配方法解方程-21x 2+x+2=0。
分析：观察方程的特点可知，二次项的系数不为1，可在方程的两边同乘除-2，将二次项的系数化为1，然后再配方求解。
解：化二次项系数为1，得x 2-2x-4=0，移项，得x 2-2x=4，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，得x 2-2x+1=4+1，即(x-1)2=5,,所以x-1=5所以x1=1+5,x2=1-5.点评:本题求接的关键是将二次项系数化为1.3. 亲自尝试(1) 用配方法解方程2x2-12x-182=0.(2) 用配方法解方程x(x+4)=8x+12.答案: (1) x1=13,x2=-7; (2) x1=6,x2=-2.。
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降次--解一元二次方程
配方法
◆随堂检测
1、将二次三项式x 2
-4x+1配方后得（ ）
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2-3
2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A 、x 2-8x+42=31
B 、x 2-8x+42=1
C 、x 2+8x+42=1
D 、x 2-4x+4=-11 3、代数式2221
x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0.
点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=mx+n=p ≥0）.
◆典例分析
用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得2152
x x -=，
配方，得2211()15224x x -
+=+， 即21
61()24
x -=，
解得122
x -=±，
即12x x ==．
分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题中一次项系数是2
-，因
此，等式两边应同时加上2(或2才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：
配方，得22115248
x x -+=+，
即2121(8
x =，
解得44
x -=±，
即122x x ==-
． ◆课下作业
●拓展提高
1、配方法解方程2x 2-43
x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=109
2、用配方法解方程x 2-23
x+1=0正确的解法是（ ）
A 、（x-13）2=89，x=13±3
B 、（x-13）2=-89
，原方程无解
C 、（x-23）2=59，x 1=23，x 2
D 、（x-23
）2=1，x 1=53，x 2=-13 3、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数．
4、如果16（x-y ）2
+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
5、用配方法解下列方程：（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；
（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 2
6、如果a 、b 2-12b+36=0，求ab 的值． ●体验中考
1、（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．()216x +=
B ．()216x -=
C ．()229x +=
D ．()229x -= 2、（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．
3、（2008年，陕西）方程2
(2)9x -=的解是（ ）
A ．125,1x x ==-
B ．125,1x x =-=
C ．1211,7x x ==-
D ．1211,7x x =-=
4、（2008年，青岛）用配方法解一元二次方程：2220x x --=.
参考答案：
◆随堂检测
1、B.
2、B.
3、解:依题意,得222010
x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =． 4、解：（1）移项，得x 2+6x=-5，
配方，得x 2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4，
由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5
（2）移项，得2x 2+6x=-2，
二次项系数化为1，得x 2+3x=-1，
配方x 2+3x+（32）2=-1+（32
）2，
即（x+32）2=54，由此可得x+32
=±2，
∴x 1=2-32，x 2=-2-32
（3）去括号整理，得x 2
+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1，
配方，得（x+2）2
=5，
由此可得x+2=，∴x 1，x 2◆课下作业
●拓展提高
1、D.
2、B.
3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.
4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54
.
5、解：（1）x 1，x 2；（2）x 1=1+
2x 2=1-2
（3）y 1+1，y 2；（4）x 1=x 2.
62(6)0b -=，∴34060
a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43
a =-，6
b =，∴8ab =-. ●体验中考
1、 B.分析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()2
16x -=，故选B ．
2、解：242x x +=-
∴122, 2.x x =
3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.故选A.
4、解得1211x x ==。