阅读理解型2020年中考数学学霸专题(原卷版)
专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》专题16 新定义和阅读理解型问题一、单选题1．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A． B． C． D．2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．163．已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B 两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对4．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A．23B．1 C．43D．535．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（ ）A ．9B ．7C ．﹣9D ．﹣76．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．B ．C ．D ．或17．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：()()22@a b a b a b =+--，则下列结论：①若@0a b =，则a =0或b =0；②()@@@a b c a b a c +=+；③不存在实数a ，b ，满足22@5a b a b =+；④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，@a b 最大．其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③8．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（ ）A ．B ．C ．34D ．109．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C． D．10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A． B． C． D．方程组的解为11．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣212．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤1213．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A． B． C． D．14．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．4201815．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1二、填空题16．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.17．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．18．对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．19．规定：，如：，若，则＝__.20．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．21．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．22．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．23．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．24．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．25．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．26．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．27．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．28．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．29．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）30．定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=_____．31．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.32．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．三、解答题33．综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．解决问题(1)在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为．34．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．35．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．36．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．38．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．39．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为__________；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．40．阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.41．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为正整数).求的长(用含的式子表示).42．结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，，.根据勾股定理，得.整理，得.所以.小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：的内切圆与相切于点，，.可以一般化吗？（1）若，求证：的面积等于.倒过来思考呢？（2）若，求证.改变一下条件……（3）若，用、表示的面积.43．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
专题05 阅读理解D篇(2024年新课标I卷) (专家评价+三年真题+满分策略+多维变式) 原卷版
《2024年高考英语新课标卷真题深度解析与考后提升》专题05阅读理解D篇（新课标I卷）原卷版(专家评价+全文翻译+三年真题+词汇变式+满分策略+话题变式)目录一、原题呈现P2二、答案解析P3三、专家评价P3四、全文翻译P3五、词汇变式P4(一)考纲词汇词形转换P4(二)考纲词汇识词知意P4(三)高频短语积少成多P5(四)阅读理解单句填空变式P5(五)长难句分析P6六、三年真题P7(一)2023年新课标I卷阅读理解D篇P7(二)2022年新课标I卷阅读理解D篇P8(三)2021年新课标I卷阅读理解D篇P9七、满分策略（阅读理解说明文）P10八、阅读理解变式P12 变式一：生物多样性研究、发现、进展6篇P12变式二：阅读理解D篇35题变式（科普研究建议类）6篇P20一原题呈现阅读理解D篇关键词: 说明文;人与社会;社会科学研究方法研究;生物多样性; 科学探究精神;科学素养In the race to document the species on Earth before they go extinct, researchers and citizen scientists have collected billions of records. Today, most records of biodiversity are often in the form of photos, videos, and other digital records. Though they are useful for detecting shifts in the number and variety of species in an area, a new Stanford study has found that this type of record is not perfect.“With the rise of technology it is easy for people to make observation s of different species with the aid of a mobile application,” said Barnabas Daru, who is lead author of the study and assistant professor of biology in the Stanford School of Humanities and Sciences. “These observations now outnumber the primary data that comes from physical specimens(标本), and since we are increasingly using observational data to investigate how species are responding to global change, I wanted to know: Are they usable?”Using a global dataset of 1.9 billion records of plants, insects, birds, and animals, Daru and his team tested how well these data represent actual global biodiversity patterns.“We were particularly interested in exploring the aspects of sampling that tend to bias (使有偏差) data, like the greater likelihood of a citizen scientist to take a picture of a flowering plant instead of the grass right next to it,” said Daru.Their study revealed that the large number of observation-only records did not lead to better global coverage. Moreover, these data are biased and favor certain regions, time periods, and species. This makes sense because the people who get observational biodiversity data on mobile devices are often citizen scientists recording their encounters with species in areas nearby. These data are also biased toward certain species with attractive or eye-catching features.What can we do with the imperfect datasets of biodiversity?“Quite a lot,” Daru explained. “Biodiversity apps can use our study results to inform users of oversampled areas and lead them to places – and even species – that are not w ell-sampled. To improve the quality of observational data, biodiversity apps can also encourage users to have an expert confirm the identification of their uploaded image.”32. What do we know about the records of species collected now?A. They are becoming outdated.B. They are mostly in electronic form.C. They are limited in number.D. They are used for public exhibition.33. What does Daru’s study focus on?A. Threatened species.B. Physical specimens.C. Observational data.D. Mobile applications.34. What has led to the biases according to the study?A. Mistakes in data analysis.B. Poor quality of uploaded pictures.C. Improper way of sampling.D. Unreliable data collection devices.35. What is Daru’s suggestion for biodiversity apps?A. Review data from certain areas.B. Hire experts to check the records.C. Confirm the identity of the users.D. Give guidance to citizen scientists.二答案解析三专家评价考查关键能力，促进思维品质发展2024年高考英语全国卷继续加强内容和形式创新，优化试题设问角度和方式，增强试题的开放性和灵活性，引导学生进行独立思考和判断，培养逻辑思维能力、批判思维能力和创新思维能力。
专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题 (原卷版)备战2020年中考数学之解密压轴解答题命题规律
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题 【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A 的坐标为(3, 4)，点B 是x 轴正半轴上的一个动点，设OB ＝x ，AB ＝y ，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示，AB ＝5，点O 沿直线EF 翻折后，点O 的对应点D 落在AB 边上，设AD ＝x ，OE ＝y ，那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PE PF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积；②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.【例2】如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ．①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -，抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D .（1）求出,,a b c 的值；（2）如图1，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上的动点，连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴，对称轴l 上，且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时，请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2，连接AC ，把AOC ∆按照直线y x =对折，对折后的三角形记为A OC ∆''，把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动，移动后三角形的记为A O C ∆'''''，连接DA ''，DC ''，在移动过程中，是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在，直接写出点C ''的坐标；若不存在，请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中，BC ＝6，高AD ＝4，两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点)，且MN ∥BC ，以MN 为边长向下作正方形MPQN ，设MN ＝x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ．(1)如图(1)，当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时，求x 的值；(2)如图(2)，当PQ 落△ABC 外部时，求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大，最大是多少？【例5】如图，抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值；（3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．【例6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点，且S△ABQ＝12S△ACQ，求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M，N（M在N的左边），P为抛物线上一动点（不与M，N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H，若HM HNHP⋅＝5，求m的值．【变式训练】 1．如图，抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为5，抛物线与y 轴交于点C （0，6），A 是抛物线的顶点，P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点，则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 2cm /s 的速度向点D 运动，过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ，过E 点作EF ⊥BC 于点F ，设△ABP 的面积为S 1，四边形PDFE 的面积为S 2，则点P 在运动过程中，S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中，已知()A 2,4、()P 1,0，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC V ，使点C在x 轴上，BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点，则PM 的最小值为______．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A ，点M 是x 轴上方抛物线上一点，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ，以MP 为对角线作矩形MNPQ ，连结NQ ，则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图，在平面直角坐标系中，过A （－1，0）、B （3，0）两点的抛物线交y 轴于点C ，其顶点为点D ，设△ACD 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数23333y x x =--+，顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称，且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，则HN NM MK ++的最小值为________9．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -，(4,)B m 两点，且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ．当2PE ED =时，求P 点坐标；（3）如图所示，设抛物线与y 轴交于点F ，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q ，使得四边形OFQC 的面积最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在矩形ABCD 中，AB=18，AD=12，点M 是边AB 的中点，连结DM ，DM 与AC 交于点G ，点E ，F 分别是CD 与DG 上的点，连结EF ，(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6，当以E ，F ，D 为顶点的三角形与△CDG 相似时，求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发，以每秒2个单位的速度向点C 运动，点F 从点G 出发，以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①，抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( ， )，并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线l ，连接BD ，线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上，求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点，连接BF ，CF ，当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时，求此时点F 的坐标.12．如图，抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（1，0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ，使PA +PC 的值最小，求出点P 的坐标（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点M ，使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，直线y=kx+b 经过点A ，与这条抛物线的对称轴交于点M （1，2），且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为线段AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下，求△AQC面积的最大值．14．如图，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=- x2 + 4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1，1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当∆PBE 的面积最大时，求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中，PH+HF+12方FO 取得最小值时，将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H'，过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由.16．已知，二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m ，0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1，求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标；（2）如图2，过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C ，交二次函数图像于点D ， ①当PD=2PC 时，求m 的值；如图3，已知A （3，-3）在二次函数图像上，连结AP ，求12AP OP +的最小值；(3如图4，在第（2）小题的基础上，作直线OD，作点C关于直线OD的对称点C’，当C’落在坐标轴上时，请直接写出m的值.17．如图1，已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 )，C (0,3 )三点，其顶点为D，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2，若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ，交x 轴于点G ，设点 E 的横坐标为m ，四边形AODF 的面积为S 。
挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题02解方程与解不等式篇(原卷版+解析)
专题02 解方程与解不等式1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
②去括号。
注意括号前的符号，是否需要变号。
③移项——含有未知数的项移到等号左边，常数移到等号右边。
移动的项一定要变符号。
④合并——利用合并同类项的方法合并。
⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数）。
2. 解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。
（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组） ②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。
3. 解分式方程的步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
4. 解一元二次方程的方法：（1）直接开方法：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0） ①p x =2时，方程的解为：p x p x -==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：a b p x a b p x --=-=21，。
（2）配方法的具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方得到完全平方式。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
（3）公式法：根的判别式：ac b 42-=∆；求根公式：a ac b b x 242-±-=。
2023年中考数学必刷真题考点专题31新定义与阅读理解创新型问题【原卷版】
专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．。
2020年广东省中考数学试题(原卷版)
23.某社区拟建 A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积比每个 B 类摊位的占地面积
多 2 平方米，建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位每平方米的费用为 30 元，用 60 平方米建 A 3
类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位个数的 ．
5 （1）求每个 A ， B 类摊位占地面积各 为 多少平方米？
三角形的形状，并说明理由．
22.如图 1，在四边形 ABCD 中， AD//BC ， ∠DAB =90° ， AB 是 � O 的直径， CO 平分 ∠BCD ．
（1）求证：直线 CD 与 � O 相切； （2）如图 2，记（1）中的切点为 E ， P 为优弧 »AE 上一点， AD = 1 ， BC = 2 .求 tan ∠APE 的值．
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 18.先化简，再求值： (x + y)2 + (x + y)(x − y) − 2x2 ，其中 x = 2 ， y = 3 ．
19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基 本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了 120 名学生的有 效问卷，数据整理如下：
13.若 a − 2 + | b +1|=0 ，则 (a + b)2020 = _________．
14.已知 x= 5 − y ， xy = 2 ，计算 3x + 3y − 4xy 的值为_________．
15.如图，在菱形 ABCD 中， ∠A = 30° ，取大于 1 AB 的长为半径，分别以点 A ， B 为圆心作弧相交于两 2
挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题01实数的运算篇(原卷版+解析)
专题01 实数的运算1. 实数的运算法则：先乘方，再乘除，最后加减。
有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
2. 绝对值的运算： ()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a ，常考形式：()小大-=-b a 。
3. 根式的化简运算：①利用二次根式的乘除法逆运算化简。
乘除法：ab b a =⋅；b aba =； ②a a =2；③a a =33。
③分母有理化。
即()()b a ba ba b a b a ba -=±=± 1。
④二次根式的加减法：()m b a m b m a ±=±。
4. 0次幂、负整数指数幂以及﹣1的奇偶次幂的运算：①()010≠=a a ；②n n a a 1=-；③11-=-n ；④()()()⎩⎨⎧-=-是奇数是偶数n n n111。
5. 特殊角的锐角三角函数值计算：特殊角1．（2023•内蒙古）计算：（﹣21）﹣1+2cos30°+（3﹣π）0﹣38 ．2．（2023•菏泽）计算：（21）﹣1+4cos45°﹣8+（2023﹣π）0．3．（2023•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣3|+（31）﹣1．4．（2023•深圳）（π﹣1）0﹣9+2cos45°+（51）﹣1．5．（2023•沈阳）计算：12﹣3tan30°+（21）﹣2+|3﹣2|．6．（2023•广安）计算：（36﹣1）0+|3﹣2|+2cos30°﹣（31）﹣1．7．（2023•贺州）计算：()23-+|﹣2|+（5﹣1）0﹣tan45°．8．（2023•广元）计算：2sin60°﹣|3﹣2|+（π﹣10）0﹣12+（﹣21）﹣2．9．（2023•娄底）计算：（2023﹣π）0+（21）﹣1+|1﹣3|﹣2sin60°．10．（2023•新疆）计算：（﹣2）2+|﹣3|﹣25+（3﹣3）0．11．（2023•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（21）﹣1﹣8．12．（2023•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣8+|﹣3|．13．（2023•泸州）计算：（3）0+2﹣1+2cos45°﹣|﹣21|．14．（2023•德阳）计算：12+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣3|+（﹣2）﹣2．15．（2023•遂宁）计算：tan30°+|1﹣33|+（π﹣33）0﹣（31）﹣1+16．专题01 实数的运算6. 实数的运算法则：先乘方，再乘除，最后加减。
2020中考数学考点总动员专题13 二次函数的应用(原卷版)
专题13 二次函数的应用１．利用二次函数解决实际问题,关键是构建函数模型,运用函数的图象与性质加以解决．２．运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围,然后通过配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值．３．应用二次函数解决实际问题可按下面的步骤进行:一找:找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;二列:列函数表达式表示它们之间的函数关系;三解:应用二次函数的图象及性质解题;四检:检验结果的合理性,特别是检验是否符合实际意义．【例1】（2019•嘉兴）某农作物的生长率p 与温度(C)t ︒有如下关系：如图，当1025t 剟时可近似用函数11505p t =-刻画；当2537t 剟时可近似用函数21()0.4160p t h =--+刻画．（1）求h 的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天)与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：生长率p0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天) 051015求：①m 关于p 的函数表达式； ②用含t 的代数式表示m ．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20C ︒时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到2025t 剟时的成本为200元/天，但若欲加温到2537t <…，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注:农作物上市售出后大棚暂停使用）【例2】（2019•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间)与每间标准房的价格x（元)的数据如下表：x（元)⋯190200210220⋯y（间)⋯65605550⋯（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元)．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？1．（2019•乐清市模拟）图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为米．2．（2019•宁波模拟）某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E 发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退m，恰好把水喷到F处进行灭火．3．（2019•温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是2m．4．（2019•衢州一模）两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ，F ．若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了 m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．5．（2018•台州）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该原料药的月销售量为P （单位：吨），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数120(08)4P t t =<+„的图象与线段AB 的组合；设第t 个月销售该原料药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：28,01244,1224t t Q t t +<⎧=⎨-+<⎩„„（1）当824t <„时，求P 关于t 的函数解析式；（2）设第t 个月销售该原料药的月毛利润为w （单位：万元） ①求w 关于t 的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336513w 剟是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值．6．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元)的最大值及相应的x值．7．（2018•衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．8．（2019•温州三模）某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克(5x…且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a元后(a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．9．（2019•金华模拟）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米)与飞行时间t（秒)之间的函数图象如图2所示．（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米)随飞行时间t（秒)的函数表达式．（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？10．（2019•宁波模拟）城隍庙是宁波市的老牌商业中心，城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装，购进时的单价是600元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是800元时，销售量是200件，销售单价每降低10元，就可多售出20件．（1）求出销售量y （件)与销售单价x （元)之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌女装获得的利润W （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式；（3）若服装厂规定该品牌女装的销售单价不低于760元且不高于800元，则商场销售该品牌女装获得的最大利润是多少？11．（2019•义乌市模拟）儿童游乐场有一项射击游戏，从O 处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC ．正方形篮筐三个顶点为(2,2)A ，(3,2)B ，(2,3)D ．小球按照抛物线2y x bx c =-++飞行．小球落地点P 坐标(,0)n ．（1）点C 坐标为 ．（2）求c ，b 并写出小球飞行中最高点N 的坐标 （用含有n 的代数式表示）； （3）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n 的取值范围．12．（2019•温州一模）如图1，某工厂拟建一个矩形仓库ABCD，仓库的一边利用长为12m的一面旧墙，另外三边用30m长的建筑材料围成．（1）设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为2Sm．①用含x的代数式表示BC的长，并求出x的取值范围．②求S关于x的函数关系式，及S的最大值．（2）为增大仓库面积，预拆旧墙a米移至另三边，后所有墙面进行统一的修饰．已知该项目修建的相关费用如图2所示，若要使该项目的总费用最少，且仓库面积达到2110m，求此时的总费用及a的值．13．（2019•台州模拟）问题情境有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①)和一边“包含”墙（如图②)．特例分析（1）当12m；若按图②的方案设计，a 时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是2则该方案中养鸡场的最大面积是2m．（2）当20a 时，解决“问题情境”中的问题．解决问题（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．11。
2020中考数学考点总动员专题35 应用题(原卷版)
专题35 应用题1．（2019•嘉兴一模）小红同学想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出登元硬币和伍角硬币的质量，于是，他找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录：请你帮小红同学算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？2．（2019•温州三模）某商店销售A、B、C三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年5月1日起将A饮料每瓶的价格上调20%，将B饮料每瓶的价格下调10%，C饮料价格不变，是每瓶7元．已知调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元．（1）问A、B两种饮料调价前的单价；（2）今年6月份，温州某单位花费3367元在该商店购买A、B、C三种饮料共n瓶，其中购得B饮料的瓶数是A饮料的2倍，求n的最大值．3．（2019•嘉善县模拟）在某县美化城市工程招投标中，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合作12天可完成．问：（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需工程款2万元，该工程计划用时不超过35天，在不超过计划天数的前提下，由甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独完成，那么安排甲队单独施工多少天工程款最省？最省的工程款是多少万元？4．（2019•杭州模拟）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？设合伙人为x人，羊价为y钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：54573 y xy x=+⎧⎨=+⎩乙同学：54573 y xy x=-⎧⎨=+⎩请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．5．（2019•温州二模）“一路一带”倡议6岁了！到目前为止，中国已与126个国家和29个国际组织签署174份合作文件，共建“一路一带”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域．截止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示．（1）求投资制造业的基金约为多少亿元？（2）按照规划，中国将继续对“一路一带”基金增加投入，到2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？6．（2019•乐清市一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．7．（2019•荔湾区一模）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为200元，第二周该商店对纪念品打8折销售，结果销售量增加3件，营业额增加了40%．（1）求该商店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格．8．（2019•余姚市一模）随着科技的发展，智能产品越来越受到人们的喜爱，为了奖励员工，某公司打算采购一批智能音箱．现有A，B两款智能音箱可供选择，已知A款音箱的单价比B款音箱的单价高50元，购买5个A款音箱和4个B款音箱共需1600元．（1）分别求出A款音箱和B款音箱的单价；（2）公司打算采购A，B两款音箱共20个，且采购A，B两款音箱的总费用不超过3500元，那么A款音箱最多采购多少个？9．（2019•慈溪市模拟）践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？10．（2019•温岭市一模）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．11．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若6a ．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0 6.5<<，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．a12．（2020•温州模拟）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：售价（元/件）100110120130⋯月销量（件)200180160140⋯已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是()元；（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？13．（2019•青白江区模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米)与登山时间x（分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米)与登山时间x（分)之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？14．（2019•瑞安市三模）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元)，每日销售量y（件)每日的利润w（元)．在试销过程中，每日销售量y（件)、每日的利润w（元)与销售单价x（元)之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：（元)19202130（件)62605840（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件)，每日的利润w（元)关于销售单价x（元)之间的函数表达式．（利润=（销售单价-成本单价）⨯销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？15．（2019•温州三模）某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克(5x…且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；（3）市政府每日给果农补贴a元后(a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．16．（2019•海宁市二模）某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．（2）求水流的速度．（3）若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．17．（2019•包头二模）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30︒．且D离地面的高度DE m=．坡底305=，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60︒，点E，A，C在同一水平线上，EA m求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）18．（2019•嘉兴一模）图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度2AD =米，两扇门的大小相同（即)AB CD =，且AB CD AD +=，现将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转67︒（如图2所示）．（1）点C 到直线AD 的距离．（2）将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向外面旋转，设旋转角为α（如图3所示），问α为多少度时，点B ，C 之间的距离最短．参考数据：(sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan29.60.57︒≈，tan19.60.36︒≈，sin 29.60.49)︒≈19．（2019•金华模拟）在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB 是订书机的托板，压柄BC 绕着点B 旋转，连接杆DE 的一端点D 固定，点E 从A 向B 处滑动，在滑动过程中，DE 的长保持不变．已知52BD cm =．（1）如图1，当45ABC ∠=︒时，B ，E 之间的距离为15cm ，求连接杆DE 的长度．（2）现将压柄BC 从图1的位置旋转到与底座AB 垂直，如图2所示．求在此过程中点E 滑动的距离．20．（2019•台州模拟）港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离(CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30︒，测得B点的俯角为20︒，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离(AB的长）．（已知3 1.73≈，tan200.36︒≈，结果精确到0.1)11。
2020年江西省中考数学试卷(原卷版+解析版)
江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-3的倒数是（ ）A ．3B ．-3C ．13-D ．132.下列计算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．32a a a -= C ．326a a a ⋅= D ．32a a a ÷=3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ）A ．115.017510⨯B ．125.017510⨯C ．130.5017510⨯D ．140.5017510⨯ 4.如图，1265,335︒︒∠=∠=∠=，则下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．30B ︒∠= C ．2C EFC ∠+∠=∠ D ．CG FG > 5.如图所示，正方体的展开图为（ ）6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）7.计算：2(1)a -=．8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：11.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为．12.矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为厘米.三、解答题：本大题共5个小题,每小题6分,共30分.13.（1）计算：21(1|2|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）解不等式组：32152x x -≥⎧⎨->⎩14.先化简，再求值：221111x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率.16.如图，在正方形网格中，ABC ∆的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）. （1）在图1中，作ABC ∆关于点O 对称的'''A B C ∆；（2）在图2中，作ABC ∆绕点A 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的'''A B C ∆.17. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.四、本大题共3个小题,每小题8分,共24分.18. 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，OA =（1）求反比例函数的解析式； （2）求EOD ∠的度数.19. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：（1）m =；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数.20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动.（结果保留小数点后一位） （1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度.（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈,sin 26.60.448≈,cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）五、本大题共2个小题,每小题9分,共18分.21. 已知MPN ∠的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r .（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，80MPN ∠=，求ACB ∠的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，APB ∠的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC 交圆O 于点D ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）.22. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（2）求抛物线的表达式及,m n 的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为'P ，描出相应的点'P ，再把相应的点'P 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y m =（2m >-）与抛物线及（3）中的点'P 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为1A ，2A ，3A ，4A ，请根据图象直接写出线段1A ，2A ，3A ，4A 之间的数量关系.六、本大题共12分.23. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷 (参考答案与解析)满分：120分 时间：120分钟一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-3的倒数是（ ）A ．3B ．-3C ．13-D ．13【解析】-3的倒数为31-，故选C2.下列计算正确的是（ ）A ．325a a a += B ．32a a a -= C ．326a a a ⋅= D ．32a a a ÷=【解析】由于3a 和2a 不是同类项，故A ，B 选项均错误，同底指数幂相乘，底数不变指数相加，故C 选项正确答案应为52323a a a a ==⋅+，D 选项正确，故答案为D3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ）A ．115.017510⨯B ．125.017510⨯C ．130.5017510⨯D ．140.5017510⨯ 【解析】50175亿即为数字5017500000000，根据科学记数法应写为a ×10N ，（1≤|a |＜10），N 为小数点移动的位置，可得5.0175×1012.故应选B4.如图，1265,335︒︒∠=∠=∠=，则下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．30B ︒∠= C ．2C EFC ∠+∠=∠ D ．CG FG > 【解析】由∠1=∠2=65°，可得内错角相等，两直线平行，故A 选项正确，∠3和∠BFE 互为对顶角，∴∠BFE=35°，∠1为△BEF 的外角，∴∠1=∠BFE+∠B ，可得∠B=30°，故B 选项正确.∠EFC 为△CFG 的外角，∴∠EFC=∠C+∠CGF ，故C 选项错误.因为在△CGF 中，∠CFG ＞∠C ，∴CG ＞FG ，故D 选项正确，所以本题答案为C5.如图所示，正方体的展开图为（ ）【解析】根据平面展开图的定义可得A 选项为正确选项，故选A6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+ D ．2y x =+ 【解析】将抛物线322--=x x y 配方可得4)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为)0,3(),0,1(-，∴B （3,0）与y 轴交点)3,0(-A ，∴OA=3，OB=4根据平移的规律可得3==''OB B O 且1='O x ，∴4='B x ，代入抛物线可得5='B y ，直线AB 的解析式为3-=x y ，根据AB ∥B A ''可得直线B A ''的解析式为m x y +=，再将)5,4(B '代入可得1=m ，∴直线B A ''的解析式为1+=x y ，故选B二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）7.计算：2(1)a -=．【解析】根据差的完全平方公式展开得122+-a a ，故答案为122+-a a8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为． 【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据acx x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-29.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2510.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：【解析】由于9出现的次数为14次，频数最多，∴众数为9，故答案为911.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为．【解析】CD=CB ，∠ACD=∠ACB ，CA=CA ，∴△CAD ≌△CAB ，∴∠B=∠D ，设∠ACB=α，∠B=β，则∠ACD=α，∠D=β，∠EAC 为△ACD 的一个外角，∴︒=+49βα，在△ABC 中有内角和为180°，∴︒=∠++180BAC βα，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°12.矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为厘米.【解析】当∠ABE=30°时，则∠A EB '=︒='∠30BC A ，在Rt △ABE 中，tan ∠ABE=33=AB AE ，∴此时 33430tan =︒=AB AE . 当∠AEB=30°时，此时在Rt △ABE 中，tan ∠AEB=33=AE AB ，∴34=AE 当∠︒='30ED A 时，过A '作AB 的平行线交AD 于F ，BC 于G ，∵︒='∠=∠90E A B A ， ∴230sin =︒'=B A BG ，设x AE =，则x E A ='，∴x E A EF 2330cos =︒'=在矩形ABGF 中，AF=BG ，∴223=+x x ，解得348-=x ，此时348-=AE 故答案为：334或34或348- 三、解答题：本大题共5个小题,每小题6分,共30分.13.（1）计算：21(1|2|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）解不等式组：32152x x -≥⎧⎨->⎩【解析】 原式=2)21(121+- 解不等式①，得1≥x =341=+- 解不等式②，得3<x ∴原不等式组的解集是31<≤x14.先化简，再求值：221111x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =【解析】 原式=xx x x x x x 1)1)(1(1)1)(1(2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+ =x x x x x x 1)1)(1()1(2+⋅-++-=xx x x x x 11)1)(1(1=+⋅-+- ∵2=x ，∴原式=22211==x 15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率. 【解析】 （1）41（2）根据题意画出树状图如下：由树状图可得所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等“其中两位同学均来自八年级”的结果共有2种，∴P （两位同学均来自八年级）=61122= 16.如图，在正方形网格中，ABC ∆的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）. （1）在图1中，作ABC ∆关于点O 对称的'''A B C ∆；（2）在图2中，作ABC ∆绕点A 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的'''A B C ∆.【解析】作图如下：17. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.【解析】（1）设笔芯x 元/支，笔记本y 元/本，依题意可得,2671923⎩⎨⎧=+=+y x y x 解得,53⎩⎨⎧==y x答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.（2）方法一：合买笔芯，合算. ∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元 ∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯 ∴共可节约：0.5×10=5元.∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品. 方法二：合买笔芯，单算.∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯. ∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3 ∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.四、本大题共3个小题,每小题8分,共24分.18. 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，OA =（1）求反比例函数的解析式； （2）求EOD ∠的度数.【解析】：（1）∵AD ⊥x 轴，∠AOD=45°，OA=22，∴2==OD AD .∴A （2,2） ∵点A 在反比例函数图象上，∴422=⨯=k ，∴xy 4= （2）∵△ABC 为直角三角形，点E 为AB 的中点， ∴AE=CE=EB ，∠AEC=2∠ECB ，∵AB=2OA ，∴AO=AE.∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB.∵∠ACB=90°，AD ⊥x 轴，∴BC ∥x 轴. ∴∠ECB=∠EOD ，∴∠AOE=2∠EOD.∵∠AOD=45°， ∴∠EOD=31∠AOD=︒=︒⨯15453119. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：（1）m =；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有 人；（5）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数. 【解析】（1）14.（2）对比前一次测试优秀学生的比例大幅提升； 对比前一次测试学生的平均成绩有较大提高； 对比前一次测试学生成绩的众数、中位数增大. （3）20,34 （4）32050614800=+⨯答：该校800名八年级学生数学成绩优秀得人数是320人20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动.（结果保留小数点后一位） （1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度.（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈,sin 26.60.448≈,cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）【解析】（1）如图1，过点C 作CH ⊥DE 于点H. ∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=2380==CH CD CH ， ∴28.69732.140340≈⨯≈=CH作AM ⊥DE 于点M ，CN ⊥AM 于点N.∴MN=CH=340，∠NCD=∠CDE=60° ∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°. ∵sin ∠ACN=,80,=AC ACAN∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44. ∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.（2）解法一：∵AB 绕着点C 逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD. ∵DC=80，CB=40.∴tan ∠CDB=4080BC CD ==0.5.∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4° 答：CD 旋转的度数约为33.4°解法二：当点B 落在DE 上时，如图3在Rt △BCD 中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一） ∴tan ∠CDB=4080BC CD ==0.5.∴∠CDB≈26.6 ∴∠CDC '=∠BDC '-∠BDC=60°-26.6°=33.4° 答：CD 旋转的度数约为33.4°五、本大题共2个小题,每小题9分,共18分.21. 已知MPN ∠的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r .（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，80MPN ∠=，求ACB ∠的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，APB ∠的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交圆O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.【解析】（1）如图1，连接OA，OB.∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°（2）如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形.连接OA，OB.由（1）可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°.∴∠ACB=60°=∠APB.∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心.∵PA，PB为⊙O的切线，∴四边形APBC为轴对称图形.∴PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.∵∠APB=∠ACB=60°，∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形（3）∵⊙O的半径为r，∴OA=r，OP=2r∴AP =，PD r =，∴∠AOP=60°，∴601803AD r rl ππ==弧∴=1)3AD C PA PD l r π++=+阴影弧22. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（2）求抛物线的表达式及,m n 的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为'P ，描出相应的点'P ，再把相应的点'P 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y m =（2m >-）与抛物线及（3）中的点'P 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为1A ，2A ，3A ，4A ，请根据图象直接写出线段1A ，2A ，3A ，4A 之间的数量关系.【解析】（1）上；直线1x =（2）由表格可知抛物线过点（0，-3）.∴23y ax bx =+-将点（-1,0），（2，-3）代入，得304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴223y x x =--当2x =-时，2(2)2(2)35;m =--⨯--=当1x =时，212134n =-⨯-=-（3）如图所示，点P '所在曲线是抛物线. （4）34121A A A A -=六、本大题共12分.23. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.【解析】（1）123;S S S +=（2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F ，∴△ABD ∽△CAE ∽△BCF. ∴22122233,.S S AB AC S BC S BC ==∴221223.S S AB AC S BC++=∵△ABC 为直角三角形 ∴222AB AC BC +=.∴1231S S S +=，∴123S S S +=，∴成立. （3）过点A 作AH ⊥BP 于点H.∵∠ABH=30°，AB=∴3,60AH BH BAH ==∠=︒.∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴∴AP =，BP=BH+PH=3∴(33222ABP BP AH S ∆⋅+===.连接PD.∵2PE ED ==，∴PE ED AP AB ====. ∴.PE ED AP AB=又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP ∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，BD PE BP AP ==.∴∠BPD=90°，1PD =∴213BPD ABP S S ∆∆=⋅== 连接BD.∴3)(1322BPD PB PD S ∆⋅+===.∵tan ∠PBD=PD BP =PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30° ∵∠C=105°，∴△ABP ∽△EDP ∽△CBD.∴S △BCD =S △ABP +S △EDP =2=. ∴S 五边形ABCDE =S △ABP +S △EDP +S △BCD +S △BPD+=2)3)7。
2020年中考数学压轴解答题15新定义与创新型综合探究问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题15新定义与创新型综合探究问题【类型综述】阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读一一分析一一理解一一创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.【方法揭秘】阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。
解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有分析法，比较法等.【典例分析】②设k为正整数(k 3)，则k2(k 2)2=_________________________________ 都是智慧数”；(1)补全材料中空缺的部分；(2)求出所有大于5而小于20的非智慧数”；【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(X i,y〔)，点Q的坐标为(X2，y),且x〔X2，y〔京，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的相关矩形”.下图为点P,Q的相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0).①若点B的坐标为(3,1)求点A,B的相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A,C的相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式;(2) OO的半径为也，点M的坐标为(m,3).若在③。
上存在一点N,使得点M,N的相关矩形”为正方形,求m的取值范围.【例4】我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3)，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形. 例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等则这个四边形是正方形.国1 孰图3(1)已知凸五边形ABCDE的各条边都相等.①如图1,若AC AD BE BD CE ,求证：五边形ABCDE是正五边形;②如图2,若AC BE CE,请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写真”或假”)如图3,已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等.①若AC CE EA,则六边形ABCDEF是正六边形；()②若AD BE CF ,则六边形ABCDEF是正六边形. ()【例5】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形^(1)如图1,在半对角四边形如以中Q二,4二:乙A,求匕5与匕。
2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题(含答案)
2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题1．(2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE732．(2019白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM ≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，111111111111A B EB A B M EB MM B M B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°， ∴∠A 1M 1N 1=180°﹣90°=90°． 3．(2019江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.解：（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭，即：n P 顶点满足关系式21y x =+. ②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=．C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=．∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1， ∴C n C n –1=21k +. ③n n C A 与11n n C A --不平行． 理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．4．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=1131 2-，即3+32+33+34+ (310)1131 2-；故答案为：1131 2-；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1，a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1；a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =111n a a +--，即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--.5．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ．【基础训练】 （1）解方程填空：①若2x +3x =45，则x =__________； ②若7y –8y =26，则y =__________； ③若93t +58t =131t ，则t =__________； 【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除，mn –nm 一定能被__________整除，mn •nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．解：（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算， 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：495．②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：100a +10b +c –（100c +10b +a ）=99（a –c ）， 结果为99的倍数，由于a ＞b ＞c ，故a ≥b +1≥c +2， ∴a –c ≥2，又9≥a ＞c ≥0， ∴a –c ≤9，∴a –c =2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…， 故都可以得到该黑洞数495．6．（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x 3a c +=，y 3b d+=那么称点T 是点A ，B 的融合点． 例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x 143-+==1，y ()823+-==2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）∵17 3 +﹣=2，573+=4，∴点C（2，4）是点A、B的融合点；（2）①由融合点定义知x13=（t+3），y13=（2t+3），则t=3x﹣3，则y13=（6x﹣6+3）=2x﹣1；②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当∠DHT=90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m32302133m mm+++=-=或，解得：m32=，即点E（32，6）；（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在；综上所述，符合题意的点为（32，6）或（6，15）．7．（2019济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0<x1<x2，f（x1）–f（x2）=()212112121266666x xx xx x x x x x---==．∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴()21126x xx x-＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f （x 1）＞f （x 2），∴函数f （x ）═6x （x ＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f （x ）=21x+x （x <0）， f （–1）=21(1)-+（–1）=0，f （–2）=21(2)-+（–2）=–74． （1）计算：f （–3）=__________，f （–4）=__________；（2）猜想：函数f （x ）=21x+x （x <0）是__________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．解：（1）∵f （x ）=21x +x （x <0）， ∴f （–3）=21(3)-–3=–269，f （–4）=21(4)-–4=–6316， 故答案为：–269，–6316； （2）∵–4<–3，f （–4）＞f （–3），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数， 故答案为：增；（3）设x 1<x 2<0，∵f （x 1）–f （x 2）=12221211x x x x +--=（x 1–x 2）（1–122212x x x x +） ∵x 1<x 2<0，∴x 1–x 2<0，x 1+x 2<0，∴f （x 1）–f （x 2）<0，∴f （x 1）<f （x 2），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数． 8．（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点． 求证：四边形ABEF 是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．解：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形ABEF即为所求；（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE，∴CE=CD+DE=5BE，∵∠EDF=90°，M为EF中点，∴DM=ME．∴∠MDE=∠MED，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴3 5QB BDNC CE==，∵QB=3，∴NC=5，∵AN=CN，∴AC=2CN=10，∴AB=AC=10．9．（2019枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．解：（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；（2）根据题中的新定义化简得：2241x yx y-=⎨+=-⎧⎩①②，①+②得：3x+3y=1，则x+y=13．10．（2019河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7．则（1）用含x 的式子表示m =__________；（2）当y =–2时，n 的值为__________．解：（1）根据约定的方法可得：m =x +2x =3x ；故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可得x +2x +2x +3=m +n =y ．当y =–2时，5x +3=–2．解得x =–1．∴n =2x +3=–2+3=1．11．（2019白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A =80°，则它的特征值k =__________．解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：218080︒-︒=50°， ∴特征值k =808505︒=︒； ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k =208014︒=︒； 综上所述，特征值k 为85或14； 12．（2019湘西）阅读材料：设a r =（x 1，y 1），b r =（x 2，y 2），如果a r ∥b r ，则x 1•y 2=x 2•y 1，根据该材料填空，已知a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，则m =__________．解：∵a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，∴4m =3×8，∴m =6．。
初中数学中考复习 第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题(原卷版)
第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题【考查知识点】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.【解题思路】“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.【典型例题】【例1】（2019·湖南中考真题）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．4【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键．【例2】（2020·四川绵阳实中、绵阳七中初三月考）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=；22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．【名师点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.【例3】（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号） 【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．【例4】(2018新疆中考)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．【名师点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。
中考数学专题《线段中的动点问题与数学思想》专题讲练原卷
专题10 线段中的动点问题与数学思想 专题讲练线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。
本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
1、知识储备考点1. 线段中点有关的动点问题 考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 考点4. 阅读理解型（新定义）问题 考点5. 分类讨论思想 考点6. 数形结合思想 考点7. 整体思想 考点8. 方程思想 2、经典基础题 3、优选提升题1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设x 列方程；2.线段等量代换模型：若FG EH =，则HG FG HG EH ±=±，即FH EG = 3.定和型中点模型：若M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则AB MN 21=线段的动点问题解题步骤：1.设入未知量t表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
考点1. 线段中点有关的动点问题变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC ＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．变式1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且14AB=，动t>秒：点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(0)（1）写出数轴上点B表示的数为______，点P表示的数为______ （用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题AB=厘米，点D和点C在线段AB上，且例1．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段28:5:2AC BC=，:1:4DC AB=．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点．Q运动的时间为．．．．．．t秒．．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当7PQ=厘米时，求t的值．变式1．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P 的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）①求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=13AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；(2)在（1）的条件下，点F 在线段AB上，CF=3，求EF的长；(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求CDAC的值．考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题例1．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段24AB=，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段AB上的运动，当10PM=时，PN=；(2)若点P在射线AB上的运动，当2PM PN=时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．变式1．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；①P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E 是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．考点4. 阅读理解型（新定义）问题例1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC 时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D 是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．变式1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）和40，点C是线段AB的巧点，求点C在【问题解决】（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20数轴上表示的数。
2020年江苏省南京市中考数学试卷(原卷版)
南京市2020年初中学业水平考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算)2(3--的结果是（ ）A ．5-B ．1-C ．1D ．5 2.3的平方根是（ ）A ．9B ．3C ．3-D ．3± 3.计算223)(a a ÷的结果是（ ）A ．3a B ．4a C ．7a D ．8a4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，20192012-年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A ．2019年末，农村费闲人口比上年末减少551万人B ．2012年末至2019年来，农村费人口果计减少超过9000万人C ．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫用人口减少1000万人以上D ．为在2020年末农村困人口全部脱，今年要确保完成减少551万农村人口的任务第4题图 第6题图5.关于x 的方程2)2)(1(ρ=+-x x （ρ为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根6.如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P Θ与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ，若P Θ的半径为5，点A 的坐标是)8,0(，则点D 的坐标是（ ） A ．)2,9( B ．)3,9( C ．)2,10( D ．)3,10(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3 ． 8.若式子111--x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 9.纳秒)(ns 是非常小的时间单位，s ns 9101-=，北斗全球导航系统的授时精度优于ns 20，用科学计数法表示ns 20是 ． 10.计算1233+的结果是 ．11.已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+-=+3213y x y x ，则y x +的值为 ．12.方程211+-=-x x x x 的解是 ． 13.将一次函数42+-=x y 的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是 ． 14.如图，在边长为cm 2的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 ．15.如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若391=∠，则=∠AOC ．16.下列关于二次函数1)(22++--=m m x y （m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2x y -=的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点)1,0(；③当0>x 时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数12+=x y 的图像上，其中所有正确的结论序号是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 计算：12)111(2++÷++-a a a a a18. 解方程：0322=--x x19. 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AC AB =，C B ∠=∠，求证：CE BD =20. 已知反比例函数xky =的图象经过点)1,2(-- （1）求k 的值 （2）完成下面的解答解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-②①112xk x解：解不等式①，得 ． 根据函数xky =的图象，得不等式②得解集 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．21. 为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：h kW ⋅）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内 （2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于h kW ⋅178的大约有多少户22.甲、乙两人分别从A 、B 、C 这3个景点随机选择2个景点游览 （1）求甲选择的2个景点是A 、B 的概率（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是23.如图，在港口A 处的正东方向有两个相距km 6的观测点B 、C .一胶轮船从A 处出发， 北偏东26方向航行至D 处， 在B 、C 处分别测得45=∠ABD .37=∠C 求轮船航行的距离AD ， (参考数据：44.026sin ≈ ，90.026cos ≈ ，49.026tan ≈ ，60.037sin ≈ ，80.037cos ≈ ，75.037tan ≈ ）24.如图，在ABC ∆中，BC AC =，D 是AB 上一点，O Θ经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作BC DF //，交O Θ于点F求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形 （2）EF AF =25. 小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地， 设小丽出发第min x 时， 小丽、小明离地的距离分别为m y 1、m y 2，1y 与x 之间的数表达式22501801+-=x y ，2y 与x 之间的函数表达式是20001001022+--=x x y 。
专题04 因式分解(28题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编
1专题04因式分解（28题）一、单选题1．（2024·广西·中考真题）如果3a b +=，1ab =，那么32232a b a b ab ++的值为（）A ．0B ．1C ．4D ．92．（2024·云南·中考真题）分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -二、填空题3．（2024·甘肃·中考真题）因式分解：228x -=．4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：2228mx my -=．5．（2024·浙江·中考真题）因式分解：27a a -=6．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解：214x -=．7．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式：3312m m -=．8．（2024·北京·中考真题）分解因式：325x x -=.9．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：()()241x x +++=．10．（2024·四川凉山·中考真题）已知2212a b -=，且2a b -=-，则a b +=．11．（2024·山东·中考真题）因式分解：22x y xy +=．12．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式：4ab a +=．13．（2024·四川广安·中考真题）分解因式：39a a -＝．14．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：23x x -=．15．（2024·四川内江·中考真题）分解因式：25m m -=．16．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解：233am a -=．17．（2024·四川广元·中考真题）分解因式：2(1)4a a +-=．18．（2024·陕西省·中考真题）分解因式：2a ab -=．19．（2024·吉林省中考真题）因式分解：a 2﹣3a=．20．（2024·四川宜宾·中考真题）分解因式：222m -=．21．（2024·四川达州·中考真题）分解因式：3x 2﹣18x+27=．222．（2024·江苏扬州·中考真题）分解因式：2242a a -+=．23．（2024·福建省·中考真题）因式分解：x 2+x =．24．（2024·江苏盐城·中考真题）分解因式：x 2+2x +1=25．（2024·江西省·中考真题）因式分解：22a a +=．三、解答题26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）(1)()2014cos 60π52-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭(2)分解因式：3228a ab -27．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数表示结果22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-LL 一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（）2-（）2；（ⅱ）4n =______；(2)兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：3假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．28．（2024·福建·中考真题）已知实数,,,,a b c m n 满足3,bcm n mn a a +==．(1)求证：212b ac -为非负数；(2)若,,a b c 均为奇数，,m n 是否可以都为整数？说明你的理由．。
精品解析：2023年广东省深圳市中考数学真题 (原卷版)
2023年深圳市初中学业水平测试（回忆版）数学学科试卷一、选择题1. 如果10+°C 表示零上10度，则零下8度表示（ ）A 8+℃ B. 8−℃ C. 10+℃ D. 10−℃ 2. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 深中通道世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 60.3210×B. 53.210×C. 93.210×D. 83210× 4. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ） 打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳80L /h 90L /h 105L /h 110L /h 115L /hA. 80L /hB. 107.5L /hC. 105L /hD. 110L /h 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，6BC =，将线段AB 水平向右平移a 个单位长度得到线段EF ，若四边形ECDF 为菱形时，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 下列运算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. 44ab ab −=C. ()2211a a +=+D. ()236a a −= 7. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，120DEF ∠=°，DE 与地面平行，50ABD ∠=°，则ACB =∠（ ） .是A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°8. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A. 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505x x =+ 9. 爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α−，若某人爬了1000m ，该坡角为30°，1.732≈1.414≈）（ ）A. 58JB. 159JC. 1025JD. 1732J10. 如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A.B. C. 17D.二、填空题11. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．12. 已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +值为______．13. 如图，在O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，BAC ∠的角平分线与O 交于点D ，若20ADC ∠=°，的则BAD ∠=______°．14. 如图，Rt OAB 与Rt OBC △位于平面直角坐标系中，30AOB BOC ∠=∠=°，BA OA ⊥，CB OB ⊥，若AB =()0k y k x=≠恰好经过点C ，则k =______．15. 如图，在ABC 中，AB AC =，3tan 4B =，点D 为BC 上一动点，连接AD ，将ABD △沿AD 翻折得到ADE ，DE 交AC 于点G ，GE DG <，且:3:1AG CG =，则AGEADG S S =三角形三角形______．三、解答题16. 计算：()01232sin45π++−−+°． 17. 先化简，再求值：22111121x x x x − +÷ −−+，其中3x =． 18. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a 人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：①调查总人数=a ______人；②请补充条形统计图；③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：若以1:1:1:1进行考核，______小区满意度（分数）更高；若以1:1:2:1进行考核，______小区满意度（分数）更高．19. 某商场在世博会上购置A ，B 两种玩具，其中B 玩具的单价比A 玩具的单价贵25元，且购置2个B 玩具与1个A 玩具共花费200元．（1）求A ，B 玩具的单价；（2）若该商场要求购置B 玩具的数量是A 玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A 玩具？20. 如图，在单位长度为1的网格中，点O ，A ，B 均在格点上，3OA =，2AB =，以O 为圆心，OA 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A 作切线AC ，且4AC =（点C 在A 上方）；②连接OC ，交O 于点D ；③连接BD ，与AC 交于点E ．（1）求证：BD 为O 的切线；（2）求AE 的长度．21. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．的的22. （1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE ， ①若BE BC =，过C 作CF BE ⊥交BE 于点F ，求证：ABE FCB ≌△△；②若20ABCD S =矩形时，则BE CF ⋅=______．（2）如图，在菱形ABCD 中，1cos 3A =，过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过E 作EF AD ⊥交AD 于点F ，若24ABCD S =菱形时，求EF BC ⋅的值．（3）如图，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=°，6AB =，5AD =，点E 在CD 上，且2CE =，点F 为BC 上一点，连接EF ，过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G ，若EF EG ⋅接写出AG 的长．。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：专题07 一元二次方程及其应用(共30道)(原卷版)
专题07一元二次方程及其应用（30道）1．（2023·四川绵阳·统考中考真题）关于x 的方程220x mx n 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（）A ．﹣8B ．8C ．16D ．﹣162．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x 有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k B ．13k C ．13k 且0k D ．13k 且0k 3．（2023·北京·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程230x x m 有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．9B ．94 C ．94D ．94．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x 的一元二次方程20x bx c 有两个相等的实数根，则 2212b c （）A ．－2B ．2C ．－4D ．45．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程2410x x 时，配方后正确的是（）A ．2(2)3x B ．2(2)17x C ．2(2)5x D ．2(2)17x 6．（2023·河南·统考中考真题）关于x 的一元二次方程280x mx 的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m18．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．19．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x 的方程2120x mx 的一个根是3，则此方程的另一个根是．20．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．21．（2023·江苏徐州·统考中考真题）关于x 的方程240x x m 有两个相等的实数根，则m 的值是．22．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程210x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是.23．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）实数m ，n 分别满足22320,320 m m n n ，且m n ，则11m n 的值是．24．（2023·吉林长春·统考中考真题）若关于x 的方程220x x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．25．（2023·内蒙古·统考中考真题）若12,x x 是一元二次方程228=0x x 的两个实数根，则1212x x x x ．26．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程256x x x 的两根为1x 与2x ，则1211 x x 的值为．三、解答题28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：2320x x ．29．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程 22210x m x m m ．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若 2220a b a b ，求m 的值．30．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．。
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第44章 阅读理解型
1. 问题情境
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a
y x x x
=+＞．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+＞的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+(x ＞0)的最小值． 解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
2. 已知A (1，0)， B (0,－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），经过其中三个点.
（1） 求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上； （2） 点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上吗？为什么？ （3） 求a 和k 的 值.
3.如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
4. 如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形
纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
2
2
2041 π？ 请你解答上述两个问题.
y x O B M N C A 28
题图。