江苏省如皋市2020~2021学年高三上学期期中考试数学试卷及答案
江苏省如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试数学试题及答案
,
0
0,
2
21 21
【详解】设动点 P ( x, y) ，因为 PA = 2 PB ，则 (x + 2)2 + y2 = 2 (x −1)2 + y2 ，
整理得动点 P 得轨迹为 C ： ( x − 2)2 + y2 = 4( y 0) ；
设直线 PM 的方程为 y = k ( x + 3) ，即 kx − y + 3k = 0 ，
A． 30
B． 20
C．10
D．10 3
【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为 40cm，短轴长为 20cm，可得焦距长为 20 3 cm，故离心率为 e = 3 ， 2
所以小椭圆离心率为 e = 3 ，小椭圆的短轴长为 10cm，即 2b =10 cm， 2
A．若 △MF1 F2
的周长为16
，则椭圆的方程为
x2 25
+
y2 16
=
1
B．若△MF1F2 的面积最大时， F1MF2 = 120 ，则 e =
3 2
C．若椭圆 C 上存在点 M 使 MF1 MF2 = 0 ，则 e 0,
2
2
D．以 MF1 为直径的圆与以 A1A2 为直径的圆内切
12.
已知椭圆
C1
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，离心率为 e1 ，椭圆 C1 的上
顶点为 M ，且 MF1 MF2 = 0 ，曲线 C2 和椭圆 C1 有相同焦点，且双曲线 C2 的离心率为 e2 ， P
为曲线 C1
江苏省如皋市2020学年度第一学期高三数学期中调研测试卷 新课标 人教版
江苏省如皋市2020学年度第一学期高三数学期中调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10} 4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位 B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命 题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 对于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则 b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再经过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等 比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题 的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上．13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSM P U 痧＝ .（用列举法表示）14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，如果1473130a a a a ++++=L ，那么36933a a a a ++++L ＝ ．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是 ．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域;(2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范围.21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范围.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明 理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+L *()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．[参考答案]一．选择题：每小题5分，共60分．二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15．216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分 将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分 故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302t t t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分于是53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分 （2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y yx -=+，∴1()f x -3(51)51x x -=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x -=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分） （1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 于是－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).所以f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 （2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范围是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 （2）2C π=⇔A +B = 2π，于是h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++L[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …………2分。
2021届江苏省如皋中学高三第一学期阶段检测试卷 数学
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中数学试题
2021—2022学年度高三年级第一学期期中教学质量调研数 学 试 卷一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －2)}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则(C R A )∩B ＝A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．(2，4)D ．[2，＋∞) 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (2＋i)＝3＋4i ，记―z 为z 的共轭复数，则|―z |＝A ． 5B ．553C ．293D ．2953．已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能是A ．y ＝x cos(x ＋π)B ．y ＝1－cos xe xC ．y ＝sin x －x e xD ．y ＝sin x －x cos x4．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量→a ，→b 满足→a ＝(1，3)，|→a ＋→b |＝4，则|→b |的取值范围是A ．[23，6]B ．[2，23]C ．[2，6]D ．[1，23]5．已知关于x 的不等式x 2＋2bx ＋4＜0的解集为(m ，4m )，其中m ＜0，则b 4a ＋4b的最小值为A ．－2B ．1C ．2D ．86．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种 7．设x ，y ，z ∈R ，已知ln x x ＝y e y ＝ln zez ，若0＜x ＜1，则A ．x ＞y ＞zB ．z ＞x ＞yC ．x ＞z ＞yD ．y ＞z ＞x8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式，对于cos3x ，我们有cos3x ＝cos(2x ＋x )＝cos2x cos x －sin2x sin x ＝(2cos 2x －1)cos x －2sin x cos x sin x ＝4cos 3x －3cos x ，可见cos3x 也可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多项式．(提示：18°×3＝90°－18°×2)如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝54°，AB ＝AC ，且△ABC 的外接圆半径OC ＝1，结合上述知识，可得BC ＝A ．5＋12 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5－14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是A ．φ＝－π3B ．f (x －π6)＝f (－x )C ．函数g (x )为奇函数D ．函数g (x )在区间(π3，3π4)上单调递减10．已知(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则A ．展开式中所有项的系数和为－1B ．展开式中二项系数最大项为第1010项C ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－1 D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2021a 2021＝202111．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，则使得x －y ＜1成立的一个充分不必要条件是A ．x ＋y ＜1B ．log 2x －log 2y ＜1C ．sin x －sin y ＜1D ．4x －2 4y ＜012．观察如下数阵：第n 行 1 x 1 x 2 … … … … … … … x k 2该数阵特点：在第n 行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n ＋1行的数，n ∈N*．设第n 行数的个数为a n ，第n 行的所有数之和为S n ，则A ．a n ＋1＝2a n －1B ．S n ＋1＝3s n －3C ．S n ＝3[(n －1)2＋1] D ．k ＝2n －1－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，sin(π2＋2θ)的值为 ．14．写出满足条件“函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (xy )＝f (x )＋f (y )”的一个函数f (x )＝ ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相切的直线与双曲线C 的一条渐近线相交于点M (点M 在第一象限)，若MF 1⊥MF 2，则双曲线C 的离心率e ＝ ．16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A ，B ，C 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A ，B ，C 招生考试的概率分别为x ，y ，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过A ，B 两所大学招生考试的概率最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月－5月获得“运动达人”称号的统计数据：(1)关于x 的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数； (2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：请补充上表中的数据(与性别有关?参考公式：bˆ＝∑∑==-⋅-ni ini i i x n xy x n yx 1221，aˆ＝―y －b ˆ―x ， K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．已知各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)记c n ＝1a n ＋1a n ＋1，记{c n }的前n 项和为S n ，若a k ＞54，求正整数k 的最小值．19．(本题满分12分)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，sin2C ＝sin B ，且D 为BC 的中点，点E 满足→AE ＝13→AB ＋23→AC ．(1)求a 的值； (2)求cos ∠DAE 的值．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3：2获胜的队员积2分，落败的队员积1分． (1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少?(2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为23．记这轮比赛甲所得积分为X ，求X 的概率分布及数学期望E (X )．21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左，右顶点和右焦点分别为A ，B 和F ，直线l ：x ＝my＋t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记直线AM ，BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3． (1)求证：k 1k 2为定值；(2)若k 1＝3k 3，求△FMN 的周长．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R ． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值； (2)若关于x 的不等式f (x )＋ex －1x＋a －2≥0对任意的实数x ≥1恒成立，其中e 为自然对数的底数，求a 的取值范围．。
2020届江苏省如皋市、如东县高三上学期期中考试数学(理)试题(PDF版)
线 y f (x) 在 M、N 两点处的切线互相平行，则 x1 ＋ x2 的取值范围为
．
答案：(8， )
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．）
15．（本题满分 14 分）
在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 (b2 c2 a2 ) tan A 3bc ．
的体积为
．
D1
C1
A1
D F
B1 E C
A
B
答案：18
9．已知 A＝[0，2]，B＝ x x3 x2 x a 0 ，若 A B，则实数 a 的最大值为
．
答案：﹣1
10．已知等差数列an 的公差为﹣2，且 a2 ， a4 ， a5 成等比数列，则该等比数列的公比为
．
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解：（1）设等差数列的公差为 d ，则
S8
8a1
1 87d 2
8+28d
22
，解得 d
1 2
，
所以 an
a1
(n 1)d
1
1 2
(n 1)
n 1
.
2
（2）法一：因为{ a k n} 为 公 比 q 的 等 比 数 列 ， ak1 1，所以 akn qn1
1 2
，A、B
分别是椭圆的左、右顶点，P
是椭圆上不同于
A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为 、 ，则 cos( ) 的值为
．
cos( )
答案： 1 7
14．已知函数
f (x) ln x 4 x， 2 ，曲线 y x
2020-2021学年南通市如皋市、如东县高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年南通市如皋市、如东县高三上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 对于E ={a 1，a 2，…，a 100}的子集X ={，，…，}，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1= xi 2=⋯= xi k =1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1=1，p i + p i +1=1，1≤ i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1=1，q j + q j +1+ q j +2=1，1≤ j ≤98，则P ∩ Q 的元素个数为__________．2. 已知复数z 满足1−i z+2=−i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是______．3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2,1)，若Q (x,y )为平面区域{x +y ≥2x ≤2y ≤1上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．4.函数=√x+1x 的义域是______ ． 5. (1)已知圆心坐标为(1,2)，且与∵轴相切的圆的标准方程为_____________．(2)设五个数值31，38，34，35，x 的平均数是34，则这组数据的标准差是________．(3)已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直于底面)的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为________．(4)已知O 为原点，双曲线x 2a 2−y 2=1上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为______ ．6. 若−1<a <0，则不等式2a −11+a 的最大值为______ ．7. 给出下列命题：(1)存在实数x ，使得cosx +sinx =π3成立；(2)若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角；(3)若α，β是锐角△ABC 的内角，则sinα>cosβ；(4)函数y =4sin(2x +π3)，x ∈R 的一个对称中心为(−π6,0)． 其中正确的命题的序号是______． 8. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 9. 设集合A ={x|2a <x <a +5}，B ={x|x <6}，且A ⊄B ，则实数a 的取值范围为______ ． 10. 给出下列命题：①数列{a n }的前n 项和S n =3n 2−n +1，则该数列是等差数列；②各项都为正数的等比数列{a n }中，如果公比q >1，那么等比数列{a n }是递增数列； ③等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 和为S n =1−a n1−a ；④等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9<0，S 10>0，则此数列的前5项和最小． 其中正确命题为______ (填上所有正确命题的序号)．11. 已知菱形ABCD 的边长为1，∠B =60°，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______12. 已知sin2α=2√33sinα，α∈(0,π)，则sin2α= ______ ． 13. 已知椭圆的长半轴为，离心率 .则其标准方程为 ▲ ；14. 设曲线y =ax −ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为3x −y =0，则a =______．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅16. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为DD1，BD的中点．(1)求证：EF//平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C；(3)求三棱锥E−FBC1的体积．17. 等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=|10+2log3a n|，求数列{b n}的前n项和S n；(Ⅲ)设c n=(log3a n)2，求证：1c1+1c2+1c3+⋯+1c n<74．18. 已知直线l：y=x+√6，圆O：x2+y2=4，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)已知动直线l1(斜率存在)与椭圆E交于P，Q两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．19. 某疫苗公司生产某种型号的疫苗，2016年平均每箱疫苗的成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2020年平均每箱疫苗出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率．(Ⅰ)求2020年的每箱疫苗成本；(Ⅱ)以2016年的生产成本为基数，求2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01).(参考数据：√2=1.414，√5=2.236，lg2=0.301，lg3=0.477)20. 已知函数f(x)=e xx +mx+mlnx．(Ⅰ)当m=1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极大值，求实数m的取值范围．21. 已知矩阵A =[321221] (1)求A −1；(2)满足AX =A −1二阶矩阵X ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√22t y =1+√22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1：：ρ2(1+sin 2θ)=8，C 2：ρ=2sinθ．(1)写出曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)设点M(0,1)，l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，证明：|MA|⋅|MB|=|CD|2．23. 已知函数f(x)=x 2+2ax +1(a ∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)>f′(x)；(Ⅱ)若x ∈[−2,−1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a 的取值范围．24. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n+1−1=2S n +n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n a n+1}的前n 项和T n ．。
江苏省南通市如皋市2021届高三上学期期中考试数学试卷含答案
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．32．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．73．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．2405．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝06．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3二、多项选择题（共4小题）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD110．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8三、填空题（共4小题）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC 的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围7083789181749176104903600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．3【分析】根据模的定义即可求出．解：a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则1+a2＝4，解得a＝，故选：A．2．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．7【分析】根据题意可看出N一定含元素0，可能含元素1，2，从而可得出集合N的个数．解：∵M＝{1，2}，M∪N＝{0，1，2}，∴N一定含元素0，可能含元素1，2，∴集合N的个数为：22＝4．故选：B．3．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，然后即可得出a，b，c的大小顺序．解：∵，log25＞log24＝2，1＝log33＜log37＜log39＝2，∴b＞c＞a．故选：D．4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．240【分析】根据题意，先计算“5人排成一排”的排法数目，又由其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，分析可得答案．解：根据题意，将5人排成一排，有A55＝120种排法，其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，则甲排在乙左边的排法有×120＝60种，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝0【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，即有圆的标准方程，化为一般式方程可得结论．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，则F（2，0），双曲线的渐近线方程为x±y＝0，由题意可得F到渐近线的距离为d＝＝，即有圆F的半径为，圆心为（2，0），则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝3，化为x2+y2﹣4x+1＝0，故选：D．6．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π【分析】首先判断SA，SB，SC两两垂直，再将三棱锥补为正方体，运用正方体的对角线即为其外接球的直径，求得半径，再由球的表面积公式可得所求值．解：由正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，且22+22＝（2）2，可得SA，SB，SC两两垂直，以SA，SB，SC为正方体的三条相邻的棱，将正四棱锥扩展为正方体，可得正方体的对角线即为该棱锥外接球的直径，设球的半径为R，可得2R＝2，即R＝，可得球的表面积为S＝4πR2＝12π，故选：C．7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据函数的图象可得A＝1.5﹣1＝0.5，＝4﹣0，ω＝，结合五点法作图，φ＝0，故所给的图为y＝sin（x）+1的图象，故将函数的图象向右平移个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象，故选：B．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3【分析】利用二倍角公式化简函数y＝tan2x﹣2tan x，再利用换元法求出分母的最小值，即可求出y的最大值．解：当＜x＜时，tan x＞1，函数y＝tan2x﹣2tan x＝﹣2tan x＝＝，设t＝，t∈（0，1）；则f（t）＝t3﹣t，所以f′（t）＝3t2﹣1；令f′（t）＝0，解得t＝；当t∈（0，）时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；当t∈（，1）时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；所以t＝时，f（t）取得最小值为f（）＝﹣＝﹣，所以y的最大值为＝﹣3．故选：A．二、多项选择题（共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD1【分析】利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B；再由平面与平面垂直的判定判断D．解：如图，取CC1的中点G，连接D1G，EG，可证A1D1＝EG，A1D1∥EG，得四边形A1EGD1为平行四边形，则A1E∥D1G，若直线A1E∥平面ACD1，则D1G∥平面ACD1或D1G⊂平面ACD1，与D1G∩平面ACD1＝D1矛盾，故A错误；由正方体的结构特征可得A1B1⊥平面AA1D1D，则A1B1⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面DA1B1，得AD1⊥B1D，同理可证AC⊥B1D，又AD1∩AC＝A，∴直线B1D⊥平面ACD1，故B正确；而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1，故D正确；连接A1C1，A1B，BC1，由A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形AA1C1C为平行四边形，则A1C1∥AC，∵A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，又AC∩AD1＝A，∴平面A1BC1∥平面ACD1，若平面A1EF∥平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1重合，则EF⊂平面A1BC1，与EF∥平面A1BC1矛盾，故C错误．故选：BD．10．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数y＝f（x）是奇函数，若其定义域步包含0，f（0）＝0一定不成立，反之若f（0）＝0，即函数图象过原点，函数f（x）不一定为奇函数，故f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的既不充分又不必要不充分条件，A错误；对于B，“两面派”函数既是奇函数又是偶函数，可以为x轴关于原点对称的一部分，其定义域有无数种情况，即两面派”函数一定有无数个，B正确；对于C，若f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数f（x）的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于y轴对称，即其导函数必为偶函数，C正确；对于D，f（x）＝，其导数f'（x）＝，是奇函数，但f（x）不是偶函数，D错误；故选：BC．11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．【分析】求出对应的点P，从而求出对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，推导出P （X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，由此能求出结果．解：由题意得对应的点P有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，对于A，p4＝P（X＝4）＝≠2P2＝，故A错误；对于B，P（3≤X≤5）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝＝，故B正确；对于C，E（X）＝＝4，故C正确；对于D，V（X）＝（2﹣4）2×+（3﹣4）2×+（4﹣4）2×+（5﹣4）2×+（6﹣4）2×＝，故D正确．故选：BCD．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8【分析】设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对y2＝4x两边对x同时求导，可得2yy′＝4，即y′＝，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝＝（y﹣y1），化为x＝y﹣①，同理可得过B的切线方程为x＝y﹣②，由①②解得x＝，由P的横坐标为﹣2，即＝﹣2，则y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正确；因为|k1﹣k2|＝||＝||不为定值，故B错误；因为AB的直线方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+x﹣，即y＝（x﹣2），所以AB恒过定点（2，0），故C正确；将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）＝5+（+）≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以|AF|•|BF|的最小值为9，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝﹣．【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可．解：正三角形ABC的边长为3，，，可得＝，＝，则＝（）•（）＝﹣+•＝﹣+﹣＝﹣．故答案为：﹣．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝﹣39．【分析】把（1﹣2x）5按照二项式定理展开，可得a0和a3的值，从而得到a0+a3的值．解：∵（1﹣2x）5（1+x）＝（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）•（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝1+（﹣80+40）＝﹣39，故答案为：﹣39．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为[2，+∞）．【分析】题意可知a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），△＝b2﹣4ac＝0，所以，进而得到，再利用基本不等式即可求出ac的最大值，由已知条件可得λ＝2+﹣2，利用基本不等式结合0＜a＜1，即可求出λ取值范围．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），∴a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），∵开口向上且值域为[0，+∞），∴△＝b2﹣4ac＝0，∴b＝2，∴，∴，∴，∴1＝，即，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴，即ac，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴ac的最大值为（当且仅当a＝c＝时最大），∵＝1﹣b＝a+c＝a+（1﹣）2＝2a﹣2+1，∴λ＝2﹣2+＝2+﹣2，∵a+c＝2a﹣2+1＝1﹣b＜1，即2a﹣2＜0，∴a﹣＜0，∴a﹣＝＜0，∴0，∴0＜a＜1，∴＝2，当且仅当即a＝时，等号成立，又∵a→0时，→+∞，∴λ∈[2，+∞），故答案为：，[2，+∞）．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为77．【分析】设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，由题意可知n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，得到m＝798﹣9n，再根据100＜m＜110求出n的取值范围，进而得到n的值．解：由题意可知，20位老人的年龄之和为1748，设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，则有n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，整理得：m＝798﹣9n，∴100＜798﹣9n＜110，∴76.4＜n＜77.5，∴n＝77，即20位老人中年龄最小的岁数为77岁．故答案为：77．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求sin A的值，结合A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解BC边上的高．（2）由余弦定理可求cos C的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin（A﹣C）的值．解：（1）因为b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为＝bc sin A＝sin A，解得sin A＝，因为A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a＝＝＝，设BC边上的高为h，则ah＝×h＝，解得h＝．即BC边上的高为．（2）因为cos C＝＝＝，可得sin C＝＝，sin（A﹣C）＝sin A cos C﹣cos A sin C＝×﹣＝﹣．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用已知条件求出数列，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，①，当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得a n+1＝3a n，即（常数），所以数列{a n}是以a2＝3为首项，3为公比的等比数列．所以（首项符合通项），所以．（2）设公差为d的等差数列{b n}的各项均为正数，且，即b1+b2+b3+b4＝24，已知a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以，故，解得或（舍去），故b n＝2n+1，所以，故①，②，①﹣②得：﹣2T n＝3+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n＝，整理得：．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．【分析】（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有EF∥MB，故而得证；（2）过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，由平面ACC1A1⊥平面ABC，推出C1O⊥平面ABC．选择条件①：先求得OC＝1，可证OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面ACC1A1和平面EFG的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下来同②中．【解答】（1）证明：取A1B1的中点M，连接ME，MB，则ME∥B1C1∥BF，ME＝B1C1＝BC＝BF，∴四边形MEFB为平行四边形，∴EF∥MB，∵EF⊄平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1．（2）解：过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，∴C1O⊥平面ABC，选择条件①：三棱锥C1﹣ABC的体积V＝•C1O•S△ABC＝•C1O•×2×＝1，∴C1O＝，在Rt△C1OC中，OC＝＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），E（0，﹣1，），F（，，0），G（0，，），∴＝（，，﹣），＝（0，，），∵OB⊥AC，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，∴OB⊥平面ACC1A1，∴平面ACC1A1的一个法向量为＝（，0，0），设平面EFG的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝，z＝，∴＝（，1，），∴cos ＜，＞＝＝＝，故平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值为．选择条件②：∵C1C与底面所成的角为60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB1∥AA1，∴∠A1AE即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠A1AE＝30°，∵AA1＝2，A1E＝1，∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围708378918174917610490 3600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.537【分析】（1）把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得值；（2）由已知数据及相关系数公式求得r值，结合临界值表得结论；（3）求出全校高一男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解．解：（1）由已知可得，＝4030，则样本点的中心的坐标为（80，4030），代入，得4030＝32.26×80.5+a，即a＝1433.07；（2）假设H0：变量x，y不具有线性相关关系，由参考公式，，得r＝＝，由相关性检验临界值表知，r0.01＝0.561，而0.601＞0.561，∴有99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的；（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml的有5个，∴全校高一男生大肺活量的概率为，设从本校高一年级任意抽取4名男同学恰有2名男生是大肺活量的概率为p，则p＝．故从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率是．21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，解得a2，b2，即可得椭圆E的方程．（2）根据题意设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆的方程，消去x，可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，结合韦达定理得y1+y2，y1y2，写出直线BM方程与OQ的方程，联立解得T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，再作差k2﹣k1＝0，即可得证．解：（1）将（1，e）和代入椭圆E方程得：，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为＝1．（2）AT∥BN．理由如下：依题意，A（﹣2，0），B（2，0），直线l不与x轴平行，设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，所以△＞0，且y1+y2＝，y1y2＝，直线BM的方程为y＝（x﹣2），直线OQ的方程为y＝﹣x，联立方程组，解得，即T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，则k1＝＝﹣，k2＝，所以k2﹣k1＝+＝，由于x1y2+x2y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝[ty1﹣2（t+1）]y2+[ty2﹣2（t+1）]y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝2（t+1）y1y2﹣2（t+2）（y1+y2）＝2（t+1）×﹣2（t+2）×＝0，所以k1＝k2，所以AT∥BN．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点个数即可；（2）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数．解：（1）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，，f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，由于≤x≤π，cos x≤0，又sin x≤1，∴f′（x）≥0，f（x）在[，π]上单调递增，∵f（）＝﹣3＜0，f（π）＝π﹣1＞0，∴函数f（x）在[，π]上有唯一零点；（2）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，x∈[0，2π]，则f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，令h（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x，①当0≤x≤时，∵cos x≥，1﹣2cos x＜1﹣2×＝1﹣＜0，∴f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x＝（1﹣2cos x）﹣sin x﹣x cos x＜0，∴函数f（x）在[0，]上无极值点，②当＜x＜π时，h（）＝0，当＜x＜π时，∵cos x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＞0，∴h（x）在[，π]上递增，h（x）＞h（）＝0，即f′（x）＞0，当＜x＜时，sin x＞cos x，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＝2（sin x﹣cos x）+x sin x＞0，∴h（x）在（，）递增，h（x）＜h（）＝0即f′（x）＜0，∴是f（x）在（，π）上的极小值点，③当π＜x≤时，sin x＜0，cos x≤0，则f′（x）＞0，f（x）无极值点，④当＜x≤2π时，cos x＞0，sin x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＜0，∴h（x）在（，2π）上递减，且h（）＝2＞0，h（2π）＝﹣2π﹣1＜0，∴h（x）在（，2π）上有唯一零点x2，当＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x2＜x＜2π时，f′（x）＜0，故x＝x2是函数f（x）的一个极大值点，综上，函数f（x）存在2个极值点．。
江苏省南通市如皋县2021届高三上学期期中调研考试 数学 答案
cos C
−
1 2
sin
C
=
3 2
7 14
−
1 2
3 21 14
=
−
21 14
.
………………10 分
18（. 1）Q Sn
=
1 2
(an+1
− 1)
， Sn−1
=
1 2
(an
− 1)
(n 2) ，以上两式相减得：Sn
−
Sn−1
=
1 2
(an+1
−
an )
，
即 an
=
1 2
(an
+1
−
an )
，所以 an+1
【参考答案】（2020－2021 学年度高三年级第一学期教学质量调研（二））
1.A 9. BD
13.
−
7 2
2.B 3. D 10. BC
4.B 5.D 6.C 11. BCD 12. AC
14. −39
15. 1 [2 2 − 2, + ) 16
7.B 8.A 16. 77
17.（1）在
ABC
中，因为
选③
Q
A1A// B1B,
A1 AE
= 300 ，在 A1 AE
中， A1 A sin A1EA
=
A1E sin A1 AE
，即 2 sin A1EA
=
1 sin 300
………………12 分
19.（1）取 AB 的中点 H ，连 A1H , HF ，
z
因为 H, F 分别是 AB, BC 的中点，
A1
所以 HF // AC ， HF = 1 AC ；
江苏省如皋中学2020-2021学年度高三第一学期阶段检测数学试卷附参考答案
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省如皋、如东2021届高三数学上学期期中试题(含解析)
江苏省如皋、如东2021—2021度第一学期期中考试高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A B ＝ ．答案：{2，3} 考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，∴A B ＝{2，3}．2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)13i 13i (13i)(13i)10z --====-++-， 故z 的实部为1．3．已知a b +＝(3，4)，a b -＝3，则a b ⋅= ． 答案：4考点：与向量的模有关的计算 解析：∵a b +＝(3，4)， ∴5a b +=，则2()25a b +=，即22225a a b b +⋅+=①， 由a b -＝3，得2229a a b b -⋅+=②， 由①，②解得a b ⋅=4．4．已知函数4, 1()3, 1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若(())16f f a =，则实数a = ．答案：﹣1 考点：分段函数解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()(())416f a f f a ==，∴()2f a =，当a ≥1时，()442af a =≥≠，故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．5．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，且过点(5，，则其焦距为 ． 答案：7考点：双曲线的性质解析：∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，∴b a =①，∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，，∴2225181a b -=②， 由①、②解得：2254a =，26b =， ∴2222549644c a b =+=+=，即72c =，27c =， 故该双曲线的焦距为7．6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则14m n+的最小值为 ． 答案：34考点：基本不等式解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=，∴1412125532=12312312312124m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故14m n+的最小值为34．7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ．答案：56π 考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，∴212k πθπ⨯+=∴6k πθπ=-，∵0θπ<<， ∴56πθ=． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．F E D 1C 1B 1A 1D CBA答案：18考点：棱锥体积解析：1—11(36)61832E FDD V =⨯⨯⨯⨯=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}320x x x x a ---≥，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为 ．答案：﹣1考点：不等式恒成立解析：由题意，得x ∀∈[0，2]，不等式320x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32a x x x ≤--对x ∀∈[0，2]恒成立，令32()f x x x x =--，则2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+，当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减，当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1． 10．已知等差数列{}n a 的公差为﹣2，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该等比数列的公比为 ． 答案：12考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列{}n a 的公差为﹣2，∴212a a =-，416a a =-，518a a =-， ∵2a ，4a ，5a 成等比数列，∴2425a a a =，即2111(6)(2)(8)a a a -=--， 化简得：110a =， 故公比q ＝41216106121022a a a a --===--． 11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P 是曲线y x =(0≤x ≤1)上一个动点，则OP AP⋅的最小值是 ．答案：14-考点：平面向量数量积 解析：设P(0x ，0x )，∴OP ＝(0x ，0x )，AP ＝(02x -，0x )， 故2000011OP AP (2)()24x x x x ⋅=-+=--， ∵0≤x ≤1，∴012x =时，OP AP ⋅有最小值为14-．12．已知cos()63x -=，x ∈(0，π)，则sin(2)3x -＝ ． 答案：429-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：∵0＜x ＜π，∴6π-＜6x π-＜56π， ∵1cos()63x π-=＞0，故6π-＜6x π-＜2π，又当6π-＜6x π-＜0时，cos()126x π<-<，与1cos()63x π-=矛盾， ∴0＜6x π-＜2π，则sin()63x π-=，∴sin(2)sin(2)sin[2()]2sin()cos()33666x x x x x πππππ-=--=--=---12339=-⨯⨯=-． 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ． 答案：17考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12e =， ∴12c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得2234b a -=-， ∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，∴PA PB k k ⋅＝2234b a -=-，∴1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PBk k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+⋅-++===+---⋅31()14371()4+-==--． 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ．答案：(8，+∞)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4()ln f x x x xλ=+-， ∴24()1f x xx λ'=--， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴12()()f x f x ''=，即2211224411x x x x λλ--=--， ∴21212124()()2x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ， 从而1216x x λ+>，对λ≥2恒成立，∴12max 16()8x x λ+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且222()tan A b c a +-=． （1）求角A ；（2）若2a =，△ABC的面积S 11b c+的值． 解：（1）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin bc A =，又0bc >，得sin 2A =． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π．（2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得224b c bc +-=，又1sin 2S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1．16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．P D 1C 1B 1A 1D CBA（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =． 在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面， 所以1BD A P ⊥．OPD 1C 1B 1A 1D CBA17．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中k 1＝1，且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则8118878+28222S a d d =+⨯⨯==，解得12d =，所以111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-=.（2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1n n k a q -= 又12n n k k a +=，所以111212n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以121n n k q -=⨯-.因为2*n n k k N ≥∈，，所以1212n q -⨯-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥，所以最小的公比2=q ． 所以21nn k =-．法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时3223924k a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由1924n +=， 解得7*2n N =∉，所以22>k ，同理32>k ；若23k =，则由32a =，得2=q ，此时12n n k a -=，另一方面，12n n k k a +=，所以1122n nk -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．所以21nn k =-． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B=于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E的离心率e = （2）由e =()40a k k =>，c，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称， 所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20,关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n =,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．19．（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ，θ∈(6π，2π)1． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1，休息区每平方米造价为2(0)t t >，则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2222sin cos sin 2ABCD S OB BCR R θθθ=⨯==.在矩形BEFG 中，sin ,cos cos cos 6262R EF R BE R R R ππθθ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，222cos 2BEFG S EF BE Rθ⎛⎫=⨯=- ⎪⎪⎝⎭.所以，()2=22=22cos ,,62ABCD BEFG f S S t tRππθθθθ⎛⎫+⨯-+∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，()())222'=22sin 2sin f tRtRθθθθθ+=+()2=22sin 1tR θθ-+，因为,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1sin ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()'0f θ=，解得sin θ因为,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以=3πθ.列表如下：所以，当=3πθ时，总造价()f θ取得极大值(2tR ，即最大值为(2tR . 20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； （3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1()ln f x x x=-图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x=-=+，得1()()()=ln h x f x g x x ax b x =----，则211'()h x a x x=+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，211'()0h x a x x =+-≥， 即()0,x ∀∈+∞，211a x x ≤+，令21,(),0t H t t t t x==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为(,0]-∞．（2）设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x =-图象的切线，所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以0012ln 1b x x =---， 令()010u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u uϕ+---=-+-==当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-． 所以a b +的最小值为1-．（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-．当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零点，故0a >．令方程21=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因为()F x 在()0,+∞上有两个零点，所以00000012()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->，解得01x >（构造函数2()ln 2G x x x=-+，根据单调性求解）， 所以()200110,2a x x =+∈． 取()0100x x e x -=∈，，则()0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ； （2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）得=4cos =2cos 3πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos sin ρρθθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得222x y x +=+，即2220x y x +--=．（*）设1122(1,),(1,)2222A B ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得210t --=12121t t t t +==-所以，12=PA PB t t +-====【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++．解： 由20()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10()'()=2cos 2xf x f x e x=. 同理，()2()2cos 2sin 2x f x e x x =-，()3()4sin 2x f x x =- （2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()4()4sin cos 2kx k f x x x =-⨯+， 当()4+1n k k N =∈时，()()41()42cos kx k f x x +=-； 当()4+2n k k N =∈时，()()4+2()42cos 2sin 2kx k f x x x =-⨯-， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin kxk f x e x +=--.所以，()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 24kk x x k k k k f x f x f x f x x x e x π+++⎛⎫+++-⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++()1=54cos 4n k x k e x π-=⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭∑()=14cos 4n xe x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值； （2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S +＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ． 综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．。
2020届江苏省如皋如东高三上学期期中数学试题
2020届江苏省如皋、如东高三上学期期中数学试题一、单选题 1．已知集合1{|0}3x A x x +=-，{|04}B x x =<<，则(A B = )A ．{|14}x x -<B ．{|03}x x <C ．{|03}x x <<D ．{|14}x x -<<【答案】A【解析】可以求出集合A ，然后进行并集的运算即可． 【详解】 解：1|03x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭{|13}A x x ∴=-<， {|04}B x x =<<， {|14}AB x x ∴=-<．故选：A ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >【答案】A【解析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点. 【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限， 需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<，A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.3．设R θ∈，则“π0θ3”是“0sin θ<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由三角函数的单调性直接判断π0θ3是否能推出0sin 2θ<<，反过来判断0sin 2θ<<时，是否能推出π0θ3. 【详解】当π0θ3时，利用正弦函数sin y x =的单调性知0sin θ<<；当0sin θ<<时，()223k k k Z ππθπ<<+∈或()2223k k k Z πθππ+<<+∈.综上可知“π0θ3”是“0sin θ<<”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数的性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.4．二项式2nx ⎛- ⎝⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值． 【详解】二项式2nx ⎛ ⎝⎭的展开式中第7项为 ()6666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x x -----⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭， 由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．5．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D【解析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件， 则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6．设x ，y 是两个[]0,1上的均匀随机数，则01x y ≤+≤的概率为（ ） A ．12B ．14C ．29D ．316【答案】A【解析】首先画出实验所构成的区域，和事件01x y ≤+≤构成的平面区域，按面积比值求概率. 【详解】首先实验的全部结果0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示如图所示的正方形，面积1S =事件010101xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩构成的区域即如图的阴影部分，面积111122S=⨯⨯=，这是一个几何概型，所以11212P==.故选：A【点睛】本题考查几何概型，意在考查抽象概括和数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 7．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量．20072018-年，某企业连续12年累计研发投入搭4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使（）A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C．该企业连续12年研发投入逐年增加D．该企业来连续12年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】结合折线图对每一个选项分析判断得解.【详解】对于选项A, 2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%，2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%,所以该选项正确；对于选项B, 2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C, 该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的；对于选项D, 该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（ ） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-【答案】B【解析】研究()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式. 【详解】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232x x ->解得31x -<<， 故选B 项.【点睛】本题考查分段函数单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，以2F 为圆心的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，直线1PF 恰与圆2F 相切于点P ，与双曲线左支交于点Q ，且12PQ FQ =，则双曲线的离心率为 A 3B 5C 13D 15【答案】B 【解析】【详解】设122|PQ|=2m,|QF ,3m 2,|m+2.m PF a QF a =∴=-=,在三角形2PQF 中，0222490.(2)(32)(2),.3P m m a m a m a ∠=∴+-=+∴= 在直角三角形12PF F 中，222224(3)(32)(2),,5, 5.3m m a c m a c a e +-==∴=∴= 故选B.点睛：本题的关键是寻找关于离心率的方程，一个方程是2PQF ∆中的勾股定理，另外一个是直角三角形12PF F 中勾股定理，把两个方程结合起来就能得到离心率的方程. 10．已知曲线1C 是以原点O 为中心，12F F 为焦点的椭圆，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线，A 是曲线1C 与2C 的交点，且21AF F ∠为钝角，若1275,22AF AF ==，则12AF F ∆的面积是（）A 3B ．2C 6D ．4【答案】C【解析】根据抛物线的定义，求得1cos F AD ∠，也即12cos AF F ∠，利用余弦定理求得12F F 的值，再利用三角形面积公式求得三角形12AF F 的面积.【详解】画出图像如下图所示，1AD F D ⊥,根据抛物线的定义可知252AF AD ==，故15cos 7F AD ∠=，也即125cos 7AF F ∠=，在三角形12AF F 中由余弦定理得()2121249255447722F F F F +-=⨯⨯，解得122F F =或123F F =，由于21AF F ∠为钝角，故12AD F F >,所以123F F =舍去，故122F F =.而212526sin 177AF F ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭,所以 12172626227AF F S ∆=⨯⨯⨯=.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线和椭圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查余弦定理解三角形，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11．已知圆22:22330C x y x y +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．3(,)22B ．3(,)22C ．3(,)22D ．3(,)22【答案】C【解析】由题得圆的方程为22(1)(1,x y -+=(0,),B m -设(,),M x y 由于0AM BM ⋅=，所以222222(,)(,)0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22xy +表示圆C 上的点到原点距离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.0003123,60,3sin 30,3sin 602M M OM MOx x y =+=∠=∴=⨯==⨯=故选C.12．已知函数()32log ,041,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()() F x f x b =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且满足:1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A ．)⎡+∞⎣ B ．833,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．839⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图象，可得出当直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点时b 的取值范围，根据图象得出124x x +=-，341x x =，并求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +-转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +-的取值范围. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当01b <≤时，直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点，由于二次函数241y x x =++的图象关于直线2x =-对称，则124x x +=-，又4344log log x x =，由题意可知，301x <<，41x >，4344log log x x ∴-=，可得341x x =，431x x ∴=，由(]33log 0,1x b =∈，即330log 1x <-≤，解得3113x ≤<. 222132343233122x x x x x x x x +∴-=+，令231,19t x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则12y t t =+， 由基本不等式得11222y t t tt =+≥⋅=，当且仅当21,129t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭时，等号成立， 当19t =时，283999y =+=，当1t =时，3y =，所以，1832229t t ≤+≤， 因此，221323432x x x x x x +-的取值范围是832,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量a ，b 满足(1,3)a =，()a a b ⊥-，则a b ⋅的值为_________. 【答案】4【解析】由()a ab ⊥-得到()0a a b ⋅-=,把2a 代入得ab ⋅的值 【详解】由()1,3a =可得()222134a a ==+=()a ab ⊥- ()0a a b ∴⋅-= 20a a b -⋅=即40a b -⋅=，4a b ∴⋅=【点睛】本题考查向量的垂直关系和基本计算，属于简单题.14．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为__________．【答案】4.5【解析】由题意可知：产量x 的平均值为1(3456) 4.54x =+++=. ∵线性回归方程为0.70.5ˆ3yx =+，且线性回归方程过样本中心点(,)x y ∴0.7 4.50.35 3.5y =⨯+=∴表中空格处的值为4 3.5 2.534 4.5⨯---= 故答案为4.5.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则76f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______.【答案】1 【解析】首先由512π-和12π之间的距离求ω，再根据,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭求ϕ，再求函数值. 【详解】设()f x 的最小正周期为T ，根据题中图象可知，22T π=，∴T π=，故2ω=，根据2sin 2012πϕ⨯+⎫⎪⎝⎭=⎛（增区间上的零点）可知，26k πϕπ+=，k Z ∈，即26k πϕπ=-，k Z ∈，又2πϕ<，故6πϕ=-.∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴7142sin 2sin 16666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查基本的数形结合分析问题的能力，函数()sin y A ωx φ=+，一般根据振幅求A ，再根据周期求ω，根据“五点法”求ϕ.16．抛物线21:8E y x =和圆222(2):4E x y -+=，直线2y x =-与抛物线1E 和圆2E 分别交于四个点A 、D 、B 、C （自上而下的顺序为A 、B 、C 、D ），则||||||AB BC CD ⋅⋅的值为__________.【答案】16【解析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出圆的半径和圆心坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合圆的性质和抛物线的定义，根据根与关系求出||||||AB BC CD ⋅⋅的值.抛物线的焦点坐标为：(2,0)F ，准线方程为：2x =-，圆心坐标为(2,0)，半径为2，因为直线2y x =-经过圆心(2,0)，所以||4BC =.直线2y x =-与抛物线21:8E y x =方程联立，得21240x x -+=，设()()1122,,,A x y D x y ，于是有121212,4x x x x +==， 于是有()()12||||||(||2)4(||2)4222216AB BC CD AF DF x x ⋅⋅=-⋅⋅-=+-+-=.故答案为：16 【点睛】本题考查了抛物线的定义和一元二次方程根与系数关系，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*11n n a S n n N +=++∈.（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若2n n b a n =+，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*21nn a n N=-∈（2）1222n n +-+【解析】（1）当2n ≥时，构造1n n a S n -=+，两式相减得到121n n a a +=+，再通过构造得到()()11212n n a a n ++=+≥，并且验证()21121a a +=+满足；（2）根据（1）可知221nn b n =+-，由数列形式可知用分组转化法求和.【详解】（1）由11n n a S n +=++得：()12n n a S n n -=+≥，两式相减得：()112n n n a a a n +-=+≥，即121n n a a +=+，∴()()11212n n a a n ++=+≥，由11n n a S n +=++，令1n =得23a =，而11a =，故()21121a a +=+，所以{}1n a +为首项是2，公比是2的等比数列，故12nn a +=，()*21nn a n N=-∈.（2）2221nn n b a n n =+=+-，∴()()222213521n n T n =++++++++-1222n n +=-+.本题考查已知数列的前n 项和n S ，求n a ，和数列求和，本题属于基础题型，但第一问需注意n 的取值范围，()()11212n n a a n ++=+≥只能说明数列{}1n a +从第2项起是等比数列，还需验证首项满足，这点需注意.18．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1.A 类用户B 类用户 9 7 7 0 6 8 6 5 1 7 8 9 9 8 2 8 5 6 7 8 8 719789图2（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[)50,150内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[)250,350内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图2；若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？满意不满意合计附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b b c a c b d -=++++，n a b c d =+++. 【答案】（1）0.0044x =，186（度）；（2）表格见解析，没有【解析】（1）利用频率之和为1，求x ，利用频率分布图代入公式直接求这50户用户的平均用电量；（2）首先根据茎叶图填写22⨯列联表，并计算2K ，并和3.841比较大小. 【详解】 解：（1）()10.0060.00360.002420.00120.004450x =-++⨯+=，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为675912515175112256275332518650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）.（2）因为2K 的观测值()2246369 1.6 3.8411212915k ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”.【点睛】本题考查频率分布图的应用，和独立性检验，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题．19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (1)若,3,43A a C ππ===，求b ；(2)若,23A a π==，求ABC 的周长的范围.【答案】（1（2）(]4,6 【解析】（1）根据两角和的正弦公式求出sin B ，利用正弦定理求解即可（2）利用正弦定理sin 33b c B C +=+,化简利用三角函数求范围即可. 【详解】 （1）sin sin sin cos cos sin 4343434B ππππππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭sin sin sin sin b a a b B B A A =⇒==(2)方法一:由正弦定理得2sin sin sin sin 3b c a B C A π===，,sin 33b Bc C ==所以sin sin sin 3333b c B C B B π⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14cos 4sin 23B B B π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以24b c <+≤所以ABC 的周长的范围是(]4,6方法二：222cos 32b c a bc π+-=，221422b c bc+-∴=22()423()4bc b c bc bc b c =+--⇒=+-2332b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()2164b c b c ∴+≤⇒+≤，当且仅当2b c ==时，取“=”号 2,b c +>24b c ∴<+≤所以ABC 的周长的范围是(]4,6 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和差的正弦公式，均值不等式，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且点(1,A 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过A点的直线:2l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点，P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明：AM AN =．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，根据已知条件得到关于a,b,c 的方程，解方程即得椭圆C 的方程.（2）第（2）问，转化成证明OMA ONA ∠=∠,再转化成证明0AN AM k k +=，再利用韦达定理证明0AN AM k k +=.试题解析：（1）由2c a =可得12b a =，所以22121314b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的方程为：2214x y +=.（2）设()()()112211,,,,,P x y Q x y R x y --，联立方程，得2214y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x t ++-=，所以240,22t t ∆=->-<<即，21212,1x x x x t +=⋅=-，∴()()()()121212121211221111AN AMy x x y y y k k x x x x ⎛⎛-+++ ⎝⎭⎝⎭+=+=+-+-，分子()()121211x t x x x t =+-++++⎝⎭⎝⎭())()2121210x t x x t t =++=-+=.∴OMA ONA ∠=∠, ∴AM AN =．点睛：本题的第（2）问的关键是转化，把证明AM AN =转化成证明OMA ONA ∠=∠, 再转化成证明0AN AM k k +=，再利用韦达定理证明0AN AM k k +=.转化的思想是数学里的用的最普遍的数学思想，大家遇到了复杂的数学问题，大家要学会转化. 21．已知函数()ln xf x xe a x ax a e =--+-．（1）若()f x 为单调函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）0a ≤（2）0a ≤或a e =【解析】（1）对()f x 求导得()f x '，因为()f x 为单调函数，故()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，利用导数研究()0f x '≥或()0f x '≤哪个能成立即可；（2）因为()10f =，所以1x =是()f x 的一个零点，由（1）可知，当0a ≤时，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以()f x 仅有一个零点，满足题意，当0a >时，()10f '=得a e =，分a e =，a e >，0a e <<讨论验证即可．【详解】解析：（1）由()ln xf x xe a x ax a e =--+-（0x >），得()()()()()111x xxe a a x f x e x x x x-+'=+-=+， 因为()f x 为单调函数，所以当0x >时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，由于11x +>，于是只需x a xe ≤或x a xe ≥对于0x >恒成立， 令()xu x xe =，则()()1xu x x e '=+，当0x >时，()0u x '>，所以()xu x xe =为增函数，则()()00u x u >=．又当x ∈+∞时，()u x ∈+∞， 则x a xe ≥不可能恒成立，即()f x 不可能为单调减函数． 当()0a u ≤，即0a ≤时，x a xe ≤恒成立， 此时函数为单调递增函数．（2）因为()10f =，所以1x =是()f x 的一个零点． 由（1）知，当0a ≤时，()f x 为()0,∞+的增函数，此时关于x 的方程()0f x =仅一解1x =，即函数()f x 仅一个零点，满足条件． 当0a >时，由()10f '=得a e =，（ⅰ）当a e =时，()ln xf x xe e x ex =--，则()xf x xe e '=-，令()xv x xe e =-，易知()v x 为()0,∞+的增函数，且()10v =，所以当01x <<时，()0v x <，即()0f x '<，()f x 为减函数， 当1x >时，()0v x >，即()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()0f x ≥，在()0,∞+上恒成立，且仅当()10f =，于是函数()f x 仅一个零点． 所以a e =满足条件．（ⅱ）当a e >时，由于()xv x xe a =-在()1,+∞为增函数，则()10v e a =-<，当x =+∞时，()v x =+∞． 则存在01x >，使得()00v x =，即使得()00f x '=， 当()01,x 时，()00f x '<，当()0,x +∞时，()00fx '>，所以()()010f x f <=，且当x =+∞时，()f x =+∞． 于是当()0,x +∞时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去．（ⅲ）当0a e <<时，则()xv x xe a =-在()1,+∞为增函数，又()00v a =-<，()10v e a =->，所以存在001x <<，使得()00v x =，也就使得()00f x '=， 当()00,x 时，()00f x '<， 当()0,1x 时，()00fx '>，所以()()010f x f <=，且当0x =时，()f x →+∞． 于是在()00,x 时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去． 综上，a 的取值范围为0a ≤或a e =． 【点睛】本题考查了函数图象和性质，函数零点，导数在研究函数中的应用，是一道难度较大的题目．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的方程为：20x +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； （2）已知射线:3OA πθ=与曲线C 和直线l 分别交于M 和N 两点，求线段MN 的长.【答案】（1）曲线：22(1)3x y -+=，直线：sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）1 【解析】（1）消参即可得曲线C 的普通方程，将cos x ρθ=、sin y ρθ=代入20x +-=即可得出直线l 的极坐标方程；（2）求出M 和N 两点的极坐标M ρ、N ρ，再通过M N MN ρρ=-计算即可.【详解】（1）由1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=.由直线l的方程为：20x +-=sin cos 20θρθ+-=，即sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （2）曲线C 的极坐标方程是22cos 20ρρθ--=，把3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得220ρρ--=，解之得2M ρ=或1M ρ=-（舍）. 把3πθ=代入直线l 的极坐标方程得1N ρ=，所以M N |21|1MN ρρ=-=-=.【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化及利用极坐标的概念求线段的长度问题，属中等难度题.23．已知关于x 的不等式||20x m x -+≤的解集为(,1]-∞-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2221b c aa b c++.【答案】（1）1m =；（2）见解析【解析】（1）解出不等式||20x m x -+≤即可求出m 的值；（2）利用基本不等式先证明22b a b a +、22c b c b +、22a c a c+，三式相加即可. 【详解】（1）由||20x m x -+，得,20,x m x m x ⎧⎨-+⎩或,20,x m m x x <⎧⎨-+⎩化简得：,3x m m x ⎧⎪⎨⎪⎩或,,x m x m <⎧⎨-⎩由于0m >，所以不等式组的解集为(,]m -∞-. 由题设可得1m -=-，故1m =.（2）由（1）可知，1a b c ++=，又由均值不等式有：22b a b a +，22c b c b +，22a c a c+，三式相加可得：222222b c aa b c b c aa b c+++++++，所以2221 b c aa b ca b c++++=.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式证明不等式问题，属中等难度题.。
江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测数学试题
江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A ．2-iB ．2+iC ．-2-iD ．-2+i2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（ ）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,34．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x-=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．)2 B ．)1C ．)2D ．)18．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ）A B ．45C D ．15二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞011．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45°D ．//EF 平面1111D C B A12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ） A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________． 15．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝(),()()(),()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是__________． 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式； （2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值. 18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．参考答案1．A 【解析】 试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A考点：1.复数运算；2.共轭复数； 2．A 【分析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解. 【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>， 所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．C 【分析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，∴()1,12A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项.5．D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 6．B 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题. 8．A 【分析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值. 【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题. 9．CD 【分析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：y =(),2,⎡-∞+∞⎣，关于原点对称，()()f x f x -===，所以y =C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．ABD 【分析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】 因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<， 当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 11．ABD 【分析】连接1A B ，根据中位线定理得到11//EF A C ，结合线面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定,,A B D 正确，再由异面直线所成的角的概念，可判定C 错误，即可求解. 【详解】连接1A B ，则1A B 交1A B 于点E ，又F 为1BC 的中点，可得11//EF A C ， 由1BB ⊥平面1111D C B A ，可得111BB A C ⊥，可得1BB EF ⊥，故A 正确； 由11//EF A C ，11A C ⊥平面11BDD B ，可得EF ⊥平面11BDD B ，故B 正确；异面直线EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，因为1A A 的长度不确定，所以11AC D ∠的大小不确定，所以C 错误；由,E F 分别是11,AB BC 的中点，得到11//EF A C ，可得//EF 平面1111D C B A ，故D正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及异面直线所成角的求解及判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 12．BCD 【分析】利用函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x ex =+，求出()f x 在R上的解析式，判断A 错；由A 分别令()0f x =，解出零点，判断B 对；由A 令()0f x <，求出解集，判断C 对；当0x <时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R ∀∈，()()122f x f x -<，即证明()f x 最大值与最小值的差的绝对值小于2，D 对． 【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x ex --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11x x f x f x e x e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，对于B ，当0x <时，由()()10x f x ex =+=得1x =-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对；对于C ，当0x <时，由()()10x f x ex =+<得1x <-， 当0x >时，由()()10x f x e x -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；对于D ，当0x <时，由()()1x f x ex =+得()()2x f x e x '=+， 由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20x f x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011x f x e x e =+<+=， 又∵ 当0x <时，()()10x f x e x =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1e e --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题． 13．【分析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=.【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体， 该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=所以132ABC S ∆=⨯=，所以挖去的正三棱锥的体积为11233ABC V S PO ∆==⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x =，设()()22(1)x x x x e e x e e xf x f x x x x⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e x y mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3e e 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15．2a > 【分析】当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，根据图像可知：当f≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f＜0，即2a >=时，列式f (23)＜0或者20323f ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<，可解得结果. 【详解】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝由()0f x '>，得x <x >()0f x '<，得x << 所以函数f (x )在(－∞，∞)上单调递增，在(上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f＜0，即310a -<，又20a -=，10<1>，所以2a >=时， 要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者20323f ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<， 即322()1033a -+<或322103323a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭>，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又2a >423>，所以2a >.故答案为：2a >或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题.16．5【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-， 所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin A ≤则sin A .. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.17．（1）2()43f x x x =++；（2）1-. 【分析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=.()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠由(0)33f a ==，得1a =，所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++， 当且仅当3x x '=，x ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【分析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围．【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解. ∴3337()10log (7)log (7)10log 7a h a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--.【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．（1）29140；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【分析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()33035029140C P A C ==． （2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．所以X 的分布列为13111()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．(1)证明见解析.. 【分析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD . 可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()1,0AD =--，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ， ∴()1,0AD =--，(AF =-，()AB =-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·30·30AF n x AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩， 取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ， 则·15sin cos ,·AD nAD n AD n θ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【分析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】 解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >， 因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f e f k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤． 令x =21n *()n N ∈，则21n +22nln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题
2020-2021学年度高三年级第一学期教学质量调研(三)数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|20}A x x =-，{|(1)}B x Z y ln x =∈=+，则A B ⋂=（ ） A. [1-，2] B. (1-，2]C. {0，1，2}D. {1-，0，1，2}C求出集合A ，B ，由此能求出A B ． 集合{|20}{|2}A x x x x =-=，{}{|(1)}|1B x Z y ln x x Z x =∈=+=∈>-，{0A B ∴=，1，2}．故选：C ．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题． 2. 已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A. 3i2+ B.1i2+ C. 13i 2-D.13i2+ D求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.121312(2)(1)2z i iz i i i +++++===-.故选：D. 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3. 苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑（门顶厚度忽略不计），“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，距离门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米则“东方之门”的高度约为（ ）A. 150米B. 200米C. 250米D. 300米B以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程()220x py p =->，求出p 的值，可求得抛物线的方程，再将40x =代入抛物线的方程，即可得解.以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知点()8,8-在抛物线22x py =-上，所以，()2828p =-⨯-，解得4p =，所以，抛物线的方程为28x y .将40x =代入抛物线的方程可得2402008y ==--. 因此，“东方之门”的高度约为200米.故选：B. 思路点睛：利用解析法解决平面几何问题的步骤如下： （1）认真审题，明确题意；（2）建立平面直角坐标系，用方程表示曲线，从而将实际问题中建立曲线方程； （3）利用解析几何相关知识求解问题； （4）将代数结果还原为实际问题的解答.4. 已知向量(12)(21)a x b ＝－，，＝，，则“x ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件C根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 充分性：当x ＞0时，2(1)220a b x x ⋅=-+=>；但是当x ＝5时，(42)a ＝，，与b 共线，a 与b 夹角为0°，故充分性不成立， 必要性：a 与b 夹角为锐角，则2(1)220a b x x ⋅=-+=>， 解得x ＞0，故必要性成立，故选C.本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 5. 函数()52sin 33x xx xf x -+=-([,0)(0,])x ππ∈-的图象可能为（ ） A. B.C. D.A根据定义判断奇偶函数，以及利用特殊值排除，即可得出答案.解：由题意可知定义域([,0)(0,])x ππ∈-关于原点对称，()()i 352s n 3x x f x x x --+---=()5n 332si x x x x ----=-352n 3si x x x x-+-=()f x =， 所以()f x 为偶函数，排除B ，D ， 又()0335332sin 5f ππππππππ--=-=-+>，排除C , 所以A 正确.故选：A.本题考查图像的识别，一般利用奇偶性，单调性，特殊性进行排除.6. 若3cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ）A. 3- B. 3±C. -1D. ±1C首先对cos cos 3παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭)6πα-，将条件代入，求得结果.cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭1cos cos 2ααα+=32cos αα)16πα-=-.故选：C.该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有两角差的余弦公式，属于基础题目.7. 已知定义域为R 的函数()f x 满足1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()40f x x '+>，其中()f x '为()f x 导函数，则满足不等式2()12f x x ≥-的解集为（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ A设()()221g x f x x =+-则()()40g x f x x ''=+>故()g x R 上单调增，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解不等式.设()()221g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调增，又11111211022422g f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()2210g x f x x =+-≥的解为12x ≥，则不等式2()12f x x ≥-的解集1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：A8. 直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱14BB =，2AB =，3AC BC ==，则点C 到平面11A BC 的距离为（ ）A.B.C.D.B由等体积法得111101133A BC A CC Sh S h ⋅=⋅ 所以1111A CC A BC Sh h S⋅=，再由条件求得11A C CS，0h ，11A BC S代入即可得结果. 如图所示：设点C 到平面11A BC 的距离为h ，点B 到平面11A CC 的距离为0h ，由等体积法得1111C A BC B A CC V V --=则111101133A BC A CC Sh S h ⋅=⋅ 所以1111A CC A BC Sh h S⋅=过点B 作BM AC ⊥交AC 于M ，又因为1AA ⊥平面ABC ，所以1BM AA ⊥，则BM ⊥平面11A CC ，所以BM 为B 到平面11A CC 的距离为0h 由0132ABCSh =⨯⨯＝212312⨯-得0423h = 1114362A C CS=⨯⨯= 在11A BC 中22153207cos 25315C +-==⨯⨯ 所以111sin 15C =得1111sin 532112A BC SC =⨯⨯=所以42211h = 故选：B 方法点睛：求点到面的距离常用方法： 1、等体积法；2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；3、向量法：用向量距离公式求解.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 关于双曲线2212y x -=有下列四个说法，正确的是（ ）A. B. 与椭圆2214x y +=有相同的焦点C. 与双曲线2212y x -=有相同的渐近线D. 过右焦点的弦长最小值为4 BC由题，求出1,a b c ===由题可知，1,a b c ===对于A ，以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为122S =⨯⨯=A 错误；对于B ，焦点均为()，故B 正确； 对于C ，渐近线均为2y x =±，故C 正确；对于D ，双曲线的弦可以截在两支上，那么经过右焦点和左顶点的弦长最短，弦长最小值即为22a =，故D 错误．故选：BC ．易错点睛：本题易错点在于D 项，如果直接认为弦表示的是与双曲线交于一支的话，其弦长就是通径，那么D 项就是正确的，实则不然，能够正确辨析此概念是解决问题的关键． 10. 下列不等式的解集与不等式22(1)(23)x x ---<-的解集完全相同的是（ ） A.11|1||23|x x <-- B.1122log (1)log (23)x x -<-C. 2222log (1)log (23)x x ->-D. 12322x x -->AC逐一找出每个选项中不等式的等价不等式，然后和题干中的不等式对比即可． 解：由22(1)(23)x x ---<-得()()221230x x ->-≠，即 2013x x ->≠-，对A ．11123|1||230|x x x x ><----≠⇔，符合解集相同；对B ．1122log (1)log (23)1230x x x x -<-⇔->->，与2013x x ->≠-不同；对C ．()()()()222222log 1log 2312301230x x x x x x ->-⇔->->⇔->-≠，符合解集相同； 对D ．12322123x x x x -->⇔->-，与2013x x ->≠-不同．故选：AC ．11. 已知正项数列{}n a 满足11a =，2211n n n n a na a na ++-=-，则6a 的值可能为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4ABCD根据已知2211n n n n a na a na ++-=-，移项化简，因式分解后，逐一判断即可． 因为2211n n n n a na a na ++-=-，所以()()110n n n n a a a a n ++-+-=所以1n n a a +=①或1n n a n a +=-②对于A ，前6项均满足①即可得到，故A 正确；对于B ，43,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故B 正确； 对于C ，54,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故C 正确；对于D ，65,a a 满足②，其余项满足①即可得到，故D 正确；故选：ABCD ．本题难度不大，但是由于本题选择四个选项，故其易错点在于能够不漏掉每一个选项的情况，可能遗漏某种情况造成失分．12. 在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()()t f g θθ=是偶函数B. 函数()()1t f g θθ=+-的最小正周期为2πC. 函数()()t f g θθ=-的一个单调减区间为3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为2BCD依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求单调递减区间即可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．由题意知()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，对于A ，()()cos sin f g θθθθ=，()()()()cos sin f g f g θθθθθθ--=-=-，()()t f g θθ=为奇函数，故错误；对于B ，()()1cos sin 1)14t f g πθθθθθ=+-=+-=+-，最小正周期为2π，故正确；对于C ，()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭，因为[]3,,0,444πππθθπ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，又cos y x =在[]0,x π∈单调递减，故C 正确； 对于D ，()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，因为()2'2sin 2cos22sin 212sin t θθθθ=-+=-+-()()22sin 1sin 1θθ=--+，当1sin ,1'02t θ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，()()22t f g θθ=+是减函数，当1sin 1,'02t θ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，()()22t f g θθ=+是增函数，所以当1sin 2θ=，cos θ=，t 最大，则max t =BCD. 方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若3nx⎫+⎪⎭的展开式中二项式系数和为64，则展开式中常数项为_________.135首先利用二项式系数之和等于264n =，求出n 的值，再令二项式展开式的通项中x 的指数位置等于0即可求解.由题意可得：264n =解得：6n =，63x x ⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()13632216633k k k k k k k k T C x x C x ---+== 令3302k-=可得2k =， 所以展开式中的常数项为2263135C =，故答案为：135.14. 半圆的直径2AB =，C 为半圆上的点满足6CAB π∠=，D 为BC 上的点满足2BD DC =，则AD BC ⋅=_________.13- 计算出AC 、BC 的长，利用AC 、BC 表示AD ，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD BC ⋅的值. 如下图所示：由已知可得ACB ∠为直角，且2AB =，6CAB π∠=，所以，cos36AC AB π==，sin16BC AB π==，13AD AC CD AC BC =+=-，因此，221111013333AD BC AC BC BC AC BC BC ⎛⎫⋅=-⋅=⋅-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：13-.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，三角形PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_________.283π 计算出正PAD 的外接圆直径2r ，将四棱锥P ABCD -补成直三棱柱PAD QBC -，利用公式()2222R r AB =+可求得四棱锥外接球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.如下图所示：圆柱12O O 的底面圆的直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到该圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球的球心，设球O 的半径为R ，则()()22222R r h =+. 如下图所示：四边形ABCD 为正方形，则AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，将四棱锥P ABCD -补成直三棱柱PAD QBC -，作出PAD 的外接圆圆1O ，作出QCB 的外接圆圆2O ，则直三棱柱PAD QBC -的外接球与圆柱12O O 的外接球为同一个球，设该球的半径为R ，正PAD 的外接圆直径为243233sin3r π===， 所以，()()22221628422+433R R r AB ==+==. 因此，四棱锥P ABCD -外接球的表面积为22843R ππ=. 故答案为：283π.方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16. 现有A 、B 、C 、D 、E 、6F 个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为_________.设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X ，则期望()E X =________.(1). 540 (2). 2先将6个货柜分为3组，利用分步计数原理可计算出不同的分配方案的种数；由题意可知X 的可能取值有1、2、3、4，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可计算出()E X 的值. 先将6个货柜分为3组，各组的容量分别为1、1、4；1、2、3；2、2、2.因此，不同的分配方案的种数为22412364665333540C C C C C A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；由题意可知X 的可能取值有1、2、3、4，()()11226552115403C C C A P X +===，()21222642647254018C C A C C P X +===，()312632235409C C A P X ===，()42621454018C A P X ===.所以，()172112342318918E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：540；2.方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3312S a +=，3213S a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()22log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . （1）12n na ；（2）2nn T n =⋅.（1）利用等比数列基本量代换求出通项公式； （2）先把n b 表示出来，用错位相减法求和 解：（1）设n a 的首项为1a ，公比为q因为3312S a +=，3213S a -=，所以123312321213a a a a a a a a +++=⎧⎨++-=⎩①② ①+②得：212a a =，所以2q ，将2q代入①得：11a =数列n a 的通项公式为12n na（2）()()122log 12n n n n b a a n -=+=+⋅所以2212223242212n n n T n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅③2212223212212n n n n T n n n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅++⋅④③-④得：()()2122222221212212nn nn n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅=-⋅-所以2nn T n =⋅即数列{}n b 的前n 项和为2nn T n =⋅(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质； (2)数列求和的方法：公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．18. 己知函数()sin()0,02f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>-<< ⎪⎝⎭满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①2ω=，②周期T π=，③过点(0,0)，④332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）试写出能确定()f x 解析式的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求()f x 的解析式； （2）求（1）中函数()f x 的图像与直线1y =交点间的最短距离. （1）答案见解析；（2）3π由2ω=可得周期T π=，判断条件①②相同，所以分①③④和②③④分别求解；选①③④时，2ω=，只需把()00f =和332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭联立，解得m ϕ、. 选②③④时，先由周期T π=求得2ω=，只需把()00f =和332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭联立，解得m ϕ、.（2）由题意解方程1()sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即可.解：（1）当选①③④时，因为2ω=，所以()sin(2)f x x m ϕ=++，因为过点(0,0)，332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 02sin 03m m ϕπϕ+=⎧⎪⎨⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相减得：cos 3πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πϕ-<<，所以633πππϕ-<+<，所以36ππϕ+=，所以6πϕ=-，12m =， 所以()f x 的解析式为1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当选②③④时，因为周期T π=，所以2ω=，以下过程与选①③④相同..（2）函数()f x 的图像与直线1y =交点为1()sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 所以6x k ππ=+，k Z ∈或2x k π=+π，k Z ∈所以（1）中函数()f x 的图像与直线1y =交点间的最短距离为3π 求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.19. 如图，已知五面体ABCDEF 中，CDEF 为正方形，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，120ADC BCD ∠=∠=.（1）证明：ABCD 为等腰梯形；（2）若AD DE =，求二面角F BD C --的余弦值. （1）证明见解析；（2）5. （1）过D ，C 分别作DH AB ⊥，CM AB ⊥，垂足分别为H ，M 可证明//CD 平面ABFE ，即可证明//AB DC ，再证明ADH BCM ≅，可得DA CB =即可求证；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDF 的一个法向量1n 、平面BDC 的一个法向量2n ，利用121212cos ,||n n n n n n ⋅=⋅即可求解.（1）证明：过D ，C 分别作DH AB ⊥，CM AB ⊥，垂足分别为H ，M ， 因为CDEF 为正方形，所以//EF DC ， 因为AB平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以//CD 平面ABFE ，因为DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB = 所以//AB DC ， 因DH AB ⊥，CM AB ⊥，所以90HDC MCD DHA CMB ∠=∠=∠==所以四边形DHMC 为矩形，所以DH CM = 因120ADC BCD ∠=∠=，所以30ADH BCM ∠=∠=，所以ADH BCM ≅，所以DA CB =， 所以ABCD 为等腰梯形.（2）因为CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥， 因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD DC =，ED ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，则()0,0,0D ，)3,3,0B，()0,2,2F ，()3,3,0DB =，()0,2,2DF =设平面BDF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，因为1DB n ⊥，1DF n ⊥，所以1111330220x y y z +=+=⎪⎩，令11y =，则13x =-11z =-，所以()13,1,1n =-- 平面BDC 的一个法向量为()20,0,1n =， 所以1212125cos ,551||n n n n n n ⋅===-⨯⋅， 由图可知二面角F BD C --的平面角为锐角， 所以二面角F BD C --5. 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 20. 某学校为了纪念华罗庚先生(1910年1月-1985年6月)逝世3周年，特举办“华罗庚”杯数学竞赛，现从参赛选手中抽取100名学生进行研究，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100（1）求a 的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（3）用频率估计概率，现从学校所有参赛选手中随机抽取1名学生，共抽取3次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的3名选手中成绩恰好在[)60,80上的人数为随机变量ξ，求()E ξ.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()20P K K ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0K2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）0.025a =；（2）列联表答案见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”；（3）1.5.（1）利用频率和等于1，求出a ；（2）分析题意完成2×2列联表，直接套公式求出2K ，对照参数下结论；（3）由题意分析ξ服从二项分布，求出()E ξ. 解：（1）根据频率分布直方图得：0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=所以0.025a =. （2） 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计3565100因为22100102540259.89010.82850503565K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”. （3）根据题意，随机变量1~3,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以13 1.52E ξ=⨯=.(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出2K ,对照参数下结论，一般较易；(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意. 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.21. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点()2,0P 且离心率22e =，过点2,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线与椭圆交于A 、B 两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PA PB⊥；（3）求PA PB⋅的最大值.（1）22142x y+=；（2）证明见解析；（3）最大值为329.（1）本题可设椭圆C的方程为22221x ya b+=，然后通过题意得出2a=、c=，最后根据b b的值，即可得出结果；（2）本题可设直线AB的方程为23x ky=+、()11,A x y、()22,B x y，然后联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理得出12y y+、12y y，最后通过求出0PA PB⋅=即可证得PA PB⊥；（3）本题可求出点P到直线AB的距离以及弦长AB，然后通过等面积法得出PA PB⋅=PA PB⋅=.（1）设椭圆C的方程为22221x ya b+=，0a b>>，因为椭圆C过点()2,0P且离心率2e=，所以2a=，22ce==，c=b===，故椭圆C的方程为22142x y+=.（2）因为直线过点2,03Q⎛⎫⎪⎝⎭，所以可设直线AB的方程为23x ky=+，()11,A x y，()22,B x y，联立2223142x kyx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()224322039k y ky++-=，()122432k y y k +=-+，()1223292y y k =-+，则112,PAx y ，222,PB x y ，()()1212121222222233PA PB x x y y ky ky y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2122221241613932441610399232k k y y y k k k k y k --=+⋅-⋅++=+-++=+， 故PA PB ⊥.（3）()2,0P ，直线AB 的方程为23x ky =+，即203x ky --=，则点P 到直线AB的距离d =，弦长12AB y y ===-43== 因为PA PB ⊥，所以PA PB AB d ⋅=⋅，即43PA PB ⋅==令222t k =+≥，则PA PB ⋅==令110,2n t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则329PA PB ⋅===≤， 故当12n =时，PA PB ⋅取最大值，最大值为329. 关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法以及椭圆与直线相关问题的求解，可通过求出a 、b 的值来求出椭圆方程，考查离心率的相关性质，考查韦达定理以及等面积法的应用，可通过向量乘积为0的方式来证明垂直，考查计算能力，是难题.22. 已知函数()(1)cos (1)sin f x x x x x =--+.（1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =零点的个数； （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. （1）零点的个数为0；（2）[)0,+∞.（1）先用导数判断单调性，再用零点存在定理判断零点个数； （2）规定新函数()()1g x f x ax =-+，只需 ()min 0g x ≤，分类讨论求()min g x ，求出a 的范围 . 解：（1）()sin cos f x x x x x '=-- 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0x x x x -≤-≤，，所以()0f x '<，所以函数()y f x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数.所以()(0)10f x f ≤=-<所以()y f x =零点的个数为0.（2）()()1g x f x ax =-+，(0)0g =，()sin cos g x x x x x a '=---，令()()h x g x '=，则()sin cos cos 4h x x x x π⎛⎫'=---+ ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0,cos 04x x x π⎛⎫-≤-<+≤ ⎪⎝⎭，所以()0h x '<，所以函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以()()()044a g g x g a π'''--=≤≤=- 1︒当0a ≥时，()g 0x '<，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数， 所以()()00g x g ≤=，满足题意2︒当4a ≤-时，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π增函数，所以()()00g x g ≥=，不满足题意3︒当0a <<时，因为()00g '>，04g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，且函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以存在唯一的10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()10g x '=，所以函数()y g x =在[]00,x 增函数，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦减函数，当[]00,x x ∈时，()()00g x g ≥=，不满足题意. 综上所述：实数a 的取值范围为[)0,+∞.（1）判断零点类问题用零点存在定理；（2）恒成立问题通常转化为求函数的最小值问题.。
江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省如皋、如东2019—2020学年度第一学期期中考试高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{2，3}考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，∴A I B ＝{2，3}．2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)13i 13i (13i)(13i)10z --====-++-， 故z 的实部为1．3．已知a b +r r ＝(3，4)，a b -r r ＝3，则a b ⋅=r r．答案：4考点：与向量的模有关的计算解析：∵a b +r r＝(3，4)，∴5a b +=r r，则2()25a b +=r r ，即22225a a b b +⋅+=r r r r ①，由a b -r r＝3，得2229a a b b -⋅+=r r r r ②，由①，②解得a b ⋅=r r4．4．已知函数4, 1()3, 1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若(())16f f a =，则实数a = ．答案：﹣1 考点：分段函数解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()(())416f a f f a ==，∴()2f a =，当a ≥1时，()442af a =≥≠，故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．5．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为26y x =，且过点(5，32，则其焦距为 ． 答案：7考点：双曲线的性质解析：∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为26y x =， ∴26b a =①， ∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，32，∴2225181a b -=②， 由①、②解得：2254a =，26b =， ∴2222549644c a b =+=+=，即72c =，27c =， 故该双曲线的焦距为7．6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则14m n+的最小值为 ． 答案：34考点：基本不等式解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=， ∴14121251532=1231231231236124m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故14m n +的最小值为34． 7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ．答案：56π 考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，∴212k πθπ⨯+=∴6k πθπ=-，∵0θπ<<， ∴56πθ=． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．F E D 1C 1B 1A 1D CBA答案：18考点：棱锥体积 解析：1—11(36)61832E FDD V =⨯⨯⨯⨯=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}320x x x x a ---≥，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为 ．答案：﹣1考点：不等式恒成立解析：由题意，得x ∀∈[0，2]，不等式320x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32a x x x ≤--对x ∀∈[0，2]恒成立，令32()f x x x x =--，则2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+， 当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减， 当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1． 10．已知等差数列{}n a 的公差为﹣2，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该等比数列的公比为 ． 答案：12考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列{}n a 的公差为﹣2，∴212a a =-，416a a =-，518a a =-，∵2a，4a，5a成等比数列，∴2425a a a=，即2111(6)(2)(8)a a a-=--，化简得：110a=，故公比q＝41216106121022a aa a--===--．11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线y x=(0≤x≤1)上一个动点，则OP AP⋅u u u r u u u r的最小值是．答案：14-考点：平面向量数量积解析：设P(x，x)，∴OPu u u r＝(x，x)，APu u u r＝(2x-，x)，故2000011OP AP(2)()24x x x x⋅=-+=--u u u r u u u r，∵0≤x≤1，∴12x=时，OP AP⋅u u u r u u u r有最小值为14．12．已知cos()63x-=，x∈(0，π)，则sin(2)3x-＝．答案：429-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：∵0＜x＜π，∴6π-＜6xπ-＜56π，∵1cos()63xπ-=＞0，故6π-＜6xπ-＜2π，又当6π-＜6xπ-＜0时，3cos()126xπ<-<，与1cos()63xπ-=矛盾，∴0＜6xπ-＜2π，则22sin()6xπ-=，∴sin(2)sin(2)sin[2()]2sin()cos() 33666x x x x xπππππ-=--=--=---221422339=-⨯⨯=-． 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ． 答案：17考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12e =， ∴12c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得2234b a -=-， ∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，∴PA PB k k ⋅＝2234b a -=-，∴1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PBk k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+⋅-++===+---⋅31()14371()4+-==--． 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ．答案：(8，+∞)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4()ln f x x x xλ=+-， ∴24()1f x xx λ'=--， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，∴12()()f x f x ''=，即2211224411x x x x λλ--=--， ∴21212124()()2x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ， 从而1216x x λ+>，对λ≥2恒成立，∴12max 16()8x x λ+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222()tan A 3b c a bc +-=．（1）求角A ；（2）若2a =，△ABC 的面积=3S ，求11b c+的值． 解：（1）由222()tan 3b c a A bc +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin 3bc A bc =，又0bc >，得3sin A =． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π．（2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得224b c bc +-=，又13sin 324S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1．16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．PD 1C 1B 1A 1D CBA（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =． 在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面， 所以1BD A P ⊥．OP D 1C 1B 1A 1D CBA17．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中k 1＝1，且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则8118878+28222S a d d =+⨯⨯==，解得12d =，所以111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-=. （2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1n n k a q -= 又12n n k k a +=，所以111212n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以121n n k q -=⨯-.因为2*n n k k N ≥∈，，所以1212n q -⨯-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥，所以最小的公比2=q ． 所以21nn k =-．法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时3223924k a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由1924n +=， 解得7*2n N =∉，所以22>k ，同理32>k ；若23k =，则由32a =，得2=q ，此时12n n k a -=，另一方面，12n n k k a +=，所以1122n nk -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．所以21nn k =-． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为223，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 222222a a b =+于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率221478c e a= （2）由14e =可设()40a k k =>，14c k ，则2b k =，于是11A B 的方程为：2240x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =242k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称， 所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20,关于直线11A B ：240x -+=的对称点为()m n , ， 则21,22224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得8223m n =,所以，圆C 的方程为()(2282243x y -+=．19．（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ，θ∈(6π，2π)31． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．IH游泳池休息区休息区G FED CB O A解：（1）设3t ，休息区每平方米造价为2(0)t t >，O A 1A 2B 1B 2x y则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2222sin cos sin 2ABCD S OB BC R R θθθ=⨯==.在矩形BEFG 中，3sin,cos cos cos 6262R EF R BE R R R ππθθ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2322cos BEFG S EF BE R θ⎫=⨯=⎪⎪⎝⎭.所以，()2=322=322cos 3,,62ABCD BEFG f S t S t tRππθθθθ⎛⎫+⨯-∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，()())222'=2322sin 2323sin f tRtR θθθθθ+=+()2=22sin 331tR θθ-+，因为,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1sin ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()'0f θ=，解得3sin θ因为,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以=3πθ.列表如下：所以，当=3πθ时，总造价()f θ取得极大值(21+23tR ，即最大值为(21+23tR . 20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1()ln f x x x=-图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x=-=+，得1()()()=ln h x f x g x x ax b x =----，则211'()h x a x x=+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，211'()0h x a x x=+-≥， θ,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()'f θ + 0 -()f θZ极大值]即()0,x ∀∈+∞，211a x x≤+，令21,(),0t H t t t t x ==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为(,0]-∞．（2）设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以0012ln 1b x x =---， 令()010u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u uϕ+---=-+-==当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-． 所以a b +的最小值为1-．（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-． 当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零点，故0a >．令方程21=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因为()F x 在()0,+∞上有两个零点，所以00000012()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->， 解得01x >（构造函数2()ln 2G x x x=-+，根据单调性求解），所以()200110,2a x x =+∈． 取()0100x x e x -=∈，，则()0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ； （2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为212(22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）得=4cos =2cos 233πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos 3sin ρρθρθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得x A C P O2223x y x y +=+，即22230x y x y +--=．（*）设11222222(1,),(1,)2222A B ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得 2610t t --=12126,1t t t t +==-所以，()()2212121212=46410PA PB t t t t t t t t +-=-=+-=+=【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．解： 由20()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()102()'()=2cos 2xf x f x e x =. 同理，()22()2cos 2sin 2x f x e x x =-，()32()4sin 2x f x x =- （2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()42()4sin cos 2kx k f x x x =-⨯+， 当()4+1n k k N =∈时，()()412()42cos 2kx k f x e x +=-⨯； 当()4+2n k k N =∈时，()()4+22()42cos 2sin 2kx k f x x x =-⨯-， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin kxk f x e x +=--.所以，()[]()44142432()()()()=45cos 5sin 45cos 4kk x x k k k k f x f x f x f x x x e x π+++⎛⎫+++--=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1=54cos 4n k x k e x π-=⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭∑()=14cos 4n xe x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ．（1）求S 2，S 4的值；（2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ． 当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3． 于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋ (12)＋1）＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112， 当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ．综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．。
江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省如皋、如东2019—2020学年度第一学期期中考试高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{2，3} 考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，∴A I B ＝{2，3}．2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)13i 13i (13i)(13i)10z --====-++-， 故z 的实部为1．3．已知a b +r r ＝(3，4)，a b -r r ＝3，则a b ⋅=r r．答案：4考点：与向量的模有关的计算解析：∵a b +r r＝(3，4)，∴5a b +=r r，则2()25a b +=r r ，即22225a a b b +⋅+=r r r r ①，由a b -r r＝3，得2229a a b b -⋅+=r r r r ②，由①，②解得a b ⋅=r r4．4．已知函数4, 1()3, 1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若(())16f f a =，则实数a = ．答案：﹣1 考点：分段函数解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()(())416f a f f a ==，∴()2f a =，当a ≥1时，()442af a =≥≠，故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．5．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，且过点(5，，则其焦距为 ． 答案：7考点：双曲线的性质解析：∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，∴b a =①，∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，，∴2225181a b -=②， 由①、②解得：2254a =，26b =， ∴2222549644c a b =+=+=，即72c =，27c =， 故该双曲线的焦距为7．6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则14m n+的最小值为 ． 答案：34考点：基本不等式解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=，∴1412125532=12312312312124m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故14m n +的最小值为34． 7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ．答案：56π 考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，∴212k πθπ⨯+=∴6k πθπ=-，∵0θπ<<， ∴56πθ=． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．F E D 1C 1B 1A 1D CBA答案：18考点：棱锥体积解析：1—11(36)61832E FDD V =⨯⨯⨯⨯=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}320x x x x a ---≥，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为 ．答案：﹣1考点：不等式恒成立解析：由题意，得x ∀∈[0，2]，不等式320x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32a x x x ≤--对x ∀∈[0，2]恒成立，令32()f x x x x =--，则2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+， 当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减， 当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1． 10．已知等差数列{}n a 的公差为﹣2，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该等比数列的公比为 ． 答案：12考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列{}n a 的公差为﹣2，∴212a a =-，416a a =-，518a a =-，∵2a ，4a ，5a 成等比数列，∴2425a a a =，即2111(6)(2)(8)a a a -=--， 化简得：110a =， 故公比q ＝41216106121022a a a a --===--． 11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P 是曲线y x =(0≤x ≤1)上一个动点，则OP AP⋅u u u r u u u r的最小值是 ．答案：14-考点：平面向量数量积 解析：设P(0x ，0x )，∴OP u u u r＝(0x ，0x )，AP u u u r ＝(02x -，0x )，故2000011OP AP (2)()24x x x x ⋅=-+=--u u u r u u u r ，∵0≤x ≤1，∴012x =时，OP AP ⋅u u u r u u u r 有最小值为14-．12．已知cos()63x -=，x ∈(0，π)，则sin(2)3x -＝ ．答案：429-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：∵0＜x ＜π，∴6π-＜6x π-＜56π， ∵1cos()63x π-=＞0，故6π-＜6x π-＜2π，又当6π-＜6x π-＜0时，3cos()126x π<-<，与1cos()63x π-=矛盾， ∴0＜6x π-＜2π，则22sin()6x π-=，∴sin(2)sin(2)sin[2()]2sin()cos()33666x x x x x πππππ-=--=--=---2214223=-=．13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ． 答案：17考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12e =， ∴12c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得2234b a -=-，∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，∴PA PB k k ⋅＝2234b a -=-，∴1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PBk k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+⋅-++===+---⋅31()14371()4+-==--． 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ．答案：(8，+∞)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4()ln f x x x xλ=+-， ∴24()1f x xxλ'=--， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴12()()f x f x ''=，即2211224411x x x x λλ--=--， ∴21212124()()2x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ，从而1216x x λ+>，对λ≥2恒成立，∴12max 16()8x x λ+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且222()tan A b c a +-=．（1）求角A ；（2）若2a =，△ABC的面积S 11b c+的值． 解：（1）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin bc A =，又0bc >，得sin A =． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π．（2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得224b c bc +-=，又1sin 24S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1．16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．P D 1C 1B 1A 1D CBA（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面， 所以1BD A P ⊥．OP D 1C 1B 1A 1D CBA17．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中k 1＝1，且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则8118878+28222S a d d =+⨯⨯==，解得12d =，所以111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-=.（2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1n n k a q -= 又12n n k k a +=，所以111212n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以121n n k q -=⨯-.因为2*n n k k N ≥∈，，所以1212n q -⨯-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥， 所以最小的公比2=q ． 所以21nn k =-．法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时3223924k a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由1924n +=， 解得7*2n N =∉，所以22>k ，同理32>k ；若23k =，则由32a =，得2=q ，此时12n n k a -=，另一方面，12n n k k a +=，所以1122n nk -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．所以21nn k =-． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B=于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E的离心率e = （2）由e =()40a k k =>，c，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称， 所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n =,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．19．（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ，θ∈(6π，2π)1． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1，休息区每平方米造价为2(0)t t >，则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2222sin cos sin 2ABCD S OB BC RR θθθ=⨯==.在矩形BEFG 中，sin ,cos cos cos 626R EF R BE R R R ππθθ⎫===-=⎪⎪⎝⎭， 所以，222cos BEFG S EF BE R θ⎫=⨯=⎪⎪⎝⎭.所以，()2=22=22cos ,,62ABCD BEFG f S S t tRππθθθθ⎛⎫+⨯-∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，()())222'=22sin 2sin f tRtRθθθθθ+=-+()2=22sin 1tR θθ-+，因为,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1sin ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()'0f θ=，解得sin =2θ.因为,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以=3πθ.列表如下：所以，当=3πθ时，总造价()f θ取得极大值(2tR，即最大值为(2tR . 20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1()ln f x x x=-图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x=-=+，得1()()()=ln h x f x g x x ax b x =----，则211'()h x a x x =+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，211'()0h x a x x=+-≥， 即()0,x ∀∈+∞，211a x x≤+，令21,(),0t H t t t t x ==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为(,0]-∞．（2）设切点为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以0012ln 1b x x =---， 令()010u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u uϕ+---=-+-== 当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-．所以a b +的最小值为1-．（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-．当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零点，故0a >．令方程21=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因为()F x 在()0,+∞上有两个零点，所以00000012()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->， 解得01x >（构造函数2()ln 2G x x x=-+，根据单调性求解），所以()200110,2a x x =+∈． 取()0100x x e x -=∈，，则()0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ； （2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12(2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）得=4cos =2cos 3πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos sin ρρθθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得222x y x +=+，即2220x y x +--=．（*）设1122(1,),(1,)2222A B ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得210t --=12121t t t t +==-所以，12=PA PB t t +-====【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．解： 由20()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10()'()=2cos 2xf x f x e x =. 同理，()2()2cos 2sin x f x x x =-，()3()4sin x f x x =-（2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()4()4sin cos 2kxk f x x x =-⨯+， 当()4+1n k k N =∈时，()()41()42cos kxk f x x +=-； 当()4+2n k k N =∈时，()()4+2()42cos 2sin 2kx k f x x x =-⨯-， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin kxk f x e x +=--.所以，()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 24kk x x k k k k f x f x f x f x e x x e x π+++⎛⎫+++--=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1=54cos 4n kx k e x π-=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭∑()=14cos 4n xe x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值； （2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S +＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ． 综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．。
江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省如皋、如东2019—2020学年度第一学期期中考试高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{2，3} 考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，∴A I B ＝{2，3}．2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)13i 13i (13i)(13i)10z --====-++-， 故z 的实部为1．3．已知a b +r r ＝(3，4)，a b -r r ＝3，则a b ⋅=r r．答案：4考点：与向量的模有关的计算解析：∵a b +r r＝(3，4)，∴5a b +=r r，则2()25a b +=r r ，即22225a a b b +⋅+=r r r r ①，由a b -r r＝3，得2229a a b b -⋅+=r r r r ②，由①，②解得a b ⋅=r r4．4．已知函数4, 1()3, 1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若(())16f f a =，则实数a = ．答案：﹣1 考点：分段函数解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()(())416f a f f a ==，∴()2f a =，当a ≥1时，()442af a =≥≠，故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．5．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，且过点(5，，则其焦距为 ． 答案：7考点：双曲线的性质解析：∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，∴b a =①，∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，，∴2225181a b -=②， 由①、②解得：2254a =，26b =， ∴2222549644c a b =+=+=，即72c =，27c =， 故该双曲线的焦距为7．6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则14m n+的最小值为 ． 答案：34考点：基本不等式解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=，∴1412125532=12312312312124m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故14m n +的最小值为34． 7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ．答案：56π 考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，∴212k πθπ⨯+=∴6k πθπ=-，∵0θπ<<， ∴56πθ=． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．F E D 1C 1B 1A 1D CBA答案：18考点：棱锥体积解析：1—11(36)61832E FDD V =⨯⨯⨯⨯=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}320x x x x a ---≥，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为 ．答案：﹣1考点：不等式恒成立解析：由题意，得x ∀∈[0，2]，不等式320x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32a x x x ≤--对x ∀∈[0，2]恒成立，令32()f x x x x =--，则2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+， 当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减， 当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1． 10．已知等差数列{}n a 的公差为﹣2，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则该等比数列的公比为 ． 答案：12考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列{}n a 的公差为﹣2，∴212a a =-，416a a =-，518a a =-，∵2a ，4a ，5a 成等比数列，∴2425a a a =，即2111(6)(2)(8)a a a -=--， 化简得：110a =， 故公比q ＝41216106121022a a a a --===--． 11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P 是曲线y x =(0≤x ≤1)上一个动点，则OP AP⋅u u u r u u u r的最小值是 ．答案：14-考点：平面向量数量积 解析：设P(0x ，0x )，∴OP u u u r＝(0x ，0x )，AP u u u r ＝(02x -，0x )，故2000011OP AP (2)()24x x x x ⋅=-+=--u u u r u u u r ，∵0≤x ≤1，∴012x =时，OP AP ⋅u u u r u u u r 有最小值为14-．12．已知cos()63x -=，x ∈(0，π)，则sin(2)3x -＝ ．答案：429-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：∵0＜x ＜π，∴6π-＜6x π-＜56π， ∵1cos()63x π-=＞0，故6π-＜6x π-＜2π，又当6π-＜6x π-＜0时，3cos()126x π<-<，与1cos()63x π-=矛盾， ∴0＜6x π-＜2π，则22sin()6x π-=，∴sin(2)sin(2)sin[2()]2sin()cos()33666x x x x x πππππ-=--=--=---2214223=-=．13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ． 答案：17考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12e =， ∴12c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得2234b a -=-，∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，∴PA PB k k ⋅＝2234b a -=-，∴1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PBk k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+⋅-++===+---⋅31()14371()4+-==--． 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ．答案：(8，+∞)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4()ln f x x x xλ=+-， ∴24()1f x xxλ'=--， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴12()()f x f x ''=，即2211224411x x x x λλ--=--， ∴21212124()()2x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ，从而1216x x λ+>，对λ≥2恒成立，∴12max 16()8x x λ+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且222()tan A b c a +-=．（1）求角A ；（2）若2a =，△ABC的面积S 11b c+的值． 解：（1）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin bc A =，又0bc >，得sin A =． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π．（2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得224b c bc +-=，又1sin 24S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1．16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．P D 1C 1B 1A 1D CBA（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面， 所以1BD A P ⊥．OP D 1C 1B 1A 1D CBA17．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中k 1＝1，且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则8118878+28222S a d d =+⨯⨯==，解得12d =，所以111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-=.（2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1n n k a q -= 又12n n k k a +=，所以111212n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以121n n k q -=⨯-.因为2*n n k k N ≥∈，，所以1212n q -⨯-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥， 所以最小的公比2=q ． 所以21nn k =-．法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时3223924k a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由1924n +=， 解得7*2n N =∉，所以22>k ，同理32>k ；若23k =，则由32a =，得2=q ，此时12n n k a -=，另一方面，12n n k k a +=，所以1122n nk -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．所以21nn k =-． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B=于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E的离心率e = （2）由e =()40a k k =>，c，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =242k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称， 所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n =,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．19．（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ，θ∈(6π，2π)1． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1，休息区每平方米造价为2(0)t t >，则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2222sin cos sin 2ABCD S OB BC RR θθθ=⨯==.在矩形BEFG 中，sin ,cos cos cos 626R EF R BE R R R ππθθ⎫===-=⎪⎪⎝⎭， 所以，222cos BEFG S EF BE R θ⎫=⨯=⎪⎪⎝⎭.所以，()2=22=22cos ,,62ABCD BEFG f S S t tRππθθθθ⎛⎫+⨯-∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，()())222'=22sin 2sin f tRtRθθθθθ+=-+()2=22sin 1tR θθ-+，因为,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1sin ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()'0f θ=，解得sin =2θ.因为,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以=3πθ.列表如下：所以，当=3πθ时，总造价()f θ取得极大值(2tR，即最大值为(2tR . 20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1()ln f x x x=-图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x=-=+，得1()()()=ln h x f x g x x ax b x =----，则211'()h x a x x =+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，211'()0h x a x x=+-≥， 即()0,x ∀∈+∞，211a x x≤+，令21,(),0t H t t t t x ==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为(,0]-∞．（2）设切点为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以0012ln 1b x x =---， 令()010u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u uϕ+---=-+-== 当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-．所以a b +的最小值为1-．（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-．当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零点，故0a >．令方程21=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因为()F x 在()0,+∞上有两个零点，所以00000012()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->， 解得01x >（构造函数2()ln 2G x x x=-+，根据单调性求解），所以()200110,2a x x =+∈． 取()0100x x e x -=∈，，则()0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求2B ； （2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12(2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）得=4cos =2cos 3πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos sin ρρθθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得222x y x +=+，即2220x y x +--=．（*）设1122(1,),(1,)2222A B ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得210t --=12121t t t t +==-所以，12=PA PB t t +-====【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．解： 由20()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10()'()=2cos 2xf x f x e x =. 同理，()2()2cos 2sin x f x x x =-，()3()4sin x f x x =-（2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()4()4sin cos 2kxk f x x x =-⨯+， 当()4+1n k k N =∈时，()()41()42cos kxk f x x +=-； 当()4+2n k k N =∈时，()()4+2()42cos 2sin 2kx k f x x x =-⨯-， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin kxk f x e x +=--.所以，()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 24kk x x k k k k f x f x f x f x e x x e x π+++⎛⎫+++--=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1=54cos 4n kx k e x π-=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭∑()=14cos 4n xe x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值； （2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S +＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ． 综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．。
江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题
江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}()ln x f x x =，B ＝{﹣1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{2，3} 考点：集合的交集运算解析：∵集合A ＝{}()ln x f x x =， ∴集合A ＝(0，+∞) ∵B ＝{﹣1，2，3}，∴A I B ＝{2，3}．2．若()1310z i +=，则z 的实部为 ． 答案：1 考点：虚数解析：∵(13i)10z +=， ∴1010(13i)10(13i)13i 13i (13i)(13i)10z --====-++-， 故z 的实部为1．3．已知a b +r r ＝(3，4)，a b -r r ＝3，则a b ⋅=r r．答案：4考点：与向量的模有关的计算解析：∵a b +r r＝(3，4)，∴5a b +=r r，则2()25a b +=r r ，即22225a a b b +⋅+=r r r r ①，由a b -r r＝3，得2229a a b b -⋅+=r r r r ②，由①，②解得a b ⋅=r r4．4．已知函数4, 1()3, 1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若(())16f f a =，则实数a = ．答案：﹣1 考点：分段函数解析：当()1f a <时，(())()3416f f a f a =+<≠， 故()1f a ≥时，()(())416f a f f a ==，∴()2f a =，当a ≥1时，()442af a =≥≠，故a ＜1时，()32f a a =+=，故a ＝﹣1．5．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，且过点(5，，则其焦距为 ． 答案：7考点：双曲线的性质解析：∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y x =，∴b a =①，∵双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)过点(5，，∴2225181a b -=②， 由①、②解得：2254a =，26b =， ∴2222549644c a b =+=+=，即72c =，27c =，故该双曲线的焦距为7．6．已知(m ，n )为直线120x y +-=上一点，且0mn >，则14m n+的最小值为 ． 答案：34考点：基本不等式解析：∵(m ，n )为直线120x y +-=上一点， ∴12m n +=，∴1412125532=12312312312124m n m n n m m n m n m n m n +++=+=+=++≥ 当且仅当m ＝4，n ＝8时取“＝”， 故14m n +的最小值为34． 7．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝ ．答案：56π 考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，∴212k πθπ⨯+=∴6k πθπ=-，∵0θπ<<， ∴56πθ=． 8．在棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E —FDD 1的体积为 ．F E D 1C 1B 1A 1D CBA答案：18考点：棱锥体积解析：1—11(36)61832E FDD V =⨯⨯⨯⨯=． 9．已知A ＝[0，2]，B ＝{}320x x x x a ---≥，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为 ．答案：﹣1考点：不等式恒成立解析：由题意，得x ∀∈[0，2]，不等式320x x x a ---≥恒成立， 参变分离得32a x x x ≤--对x ∀∈[0，2]恒成立，令32()f x x x x =--，则2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+， 当0＜x ＜1，()f x '＜0，即()f x 在(0，1)上单调递减， 当1＜x ＜2，()f x '＞0，即()f x 在(1，2)上单调递增，故x ＝1时，min ()(1)1f x f ==-，故a ≤﹣1，则实数a 的最大值为﹣1．10．已知等差数列{}n a的公差为﹣2，且2a，4a，5a成等比数列，则该等比数列的公比为．答案：12考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用解析：∵等差数列{}n a的公差为﹣2，∴212a a=-，416a a=-，518a a=-，∵2a，4a，5a成等比数列，∴2425a a a=，即2111(6)(2)(8)a a a-=--，化简得：110a=，故公比q＝41216106121022a aa a--===--．11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线y x=(0≤x≤1)上一个动点，则OP AP⋅u u u r u u u r 的最小值是．答案：14-考点：平面向量数量积解析：设P(x，x)，∴OPu u u r＝(x，x)，APu u u r＝(2x-，x)，故2000011OP AP(2)()24x x x x⋅=-+=--u u u r u u u r，∵0≤x≤1，∴12x=时，OP AP⋅u u u r u u u r有最小值为14-．12．已知cos()63x-=，x∈(0，π)，则sin(2)3x-＝．答案：429-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：∵0＜x＜π，∴6π-＜6xπ-＜56π，∵1cos()63x π-=＞0，故6π-＜6x π-＜2π，又当6π-＜6x π-＜0时，cos()126x π<-<，与1cos()63x π-=矛盾， ∴0＜6x π-＜2π，则sin()63x π-=，∴sin(2)sin(2)sin[2()]2sin()cos()33666x x x x x πππππ-=--=--=---12339=-⨯⨯=-． 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ． 答案：17考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率12e =， ∴12c a = 即2214c a =，则22214a b a -=，解得2234b a -=-，∵A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，∴PA PB k k ⋅＝2234b a -=-，∴1cos()cos cos sin sin 1tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1PA PB PA PBk k k k αβαβαβαβαβαβαβαβ+⋅-++===+---⋅31()14371()4+-==--． 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ． 答案：(8，+∞)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵4()ln f x x x xλ=+-， ∴24()1f x xx λ'=--， ∵曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴12()()f x f x ''=，即2211224411x x x x λλ--=--， ∴21212124()()2x x x x x x λλ++=<，之所以取不到等号是因为1x ≠2x ， 从而1216x x λ+>，对λ≥2恒成立，∴12max 16()8x x λ+>=，故1x ＋2x 的取值范围为(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且222()tan A b c a +-=．（1）求角A ；（2）若2a =，△ABC的面积S 11b c+的值． 解：（1）由222()tan b c a A +-=，及余弦定理2222cos b c a bc A +-=得2sin bc A =，又0bc >，得sin 2A =． 因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，故=3A π．（2）因为2a =，=3A π，根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=得224b c bc +-=，又1sin 2S bc A ===4bc = ．……① 所以2244b c +-=，即()()2222288b c b c bc b c +=+-=+-=． 又+0b c >，所以4b c += ……②根据①②得，114=14b c b c bc ++==，所以，11b c+的值为1．16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．P D 1C 1B 1A 1D CBA（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =． 在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ． （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面， 所以1BD A P ⊥．OP D 1C 1B 1A 1D CBA17．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ＝1，8S ＝22． （1）求n a ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中k 1＝1，且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…．当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则8118878+28222S a d d =+⨯⨯==，解得12d =，所以111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-=.（2）法一：因为{a k n }为公比q 的等比数列，11k a =，所以1n n k a q -= 又12n n k k a +=，所以111212n n n k n k k a q k a +++==+，即1=+1n n k qk q +-，所以()1+1=+1n n k q k +. 又k 1＝1，k 1+1＝20≠，所以{}1n k +是公比q 的等比数列，所以121n n k q -=⨯-.因为2*n n k k N ≥∈，，所以1212n q -⨯-≥，且公比q 为正整数，解得2q ≥，所以最小的公比2=q ． 所以21nn k =-．法二：因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由232a =，得2132a q a ==，此时3223924k a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由1924n +=， 解得7*2n N =∉，所以22>k ，同理32>k ；若23k =，则由32a =，得2=q ，此时12n n k a -=，另一方面，12n n k k a +=，所以1122n nk -+=，即21n n k =-， 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第21n -项．所以最小的公比2=q ．所以21nn k =-． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B=于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E的离心率e = （2）由e =()40a k k =>，c，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =242k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =， 设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n =,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．19．（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHIJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ，θ∈(6π，2π)1． （1）记游泳池及休息区的总造价为()f θ，求()f θ的表达式；（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1，休息区每平方米造价为2(0)t t>，则在矩形ABCD 中，=sin ,cos BC R OB R θθ=， 所以，2222sin cos sin 2ABCD S OB BC R R θθθ=⨯==.在矩形BEFG中，sin,cos cos cos 6262R EF R BE R R R ππθθ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，222cos BEFG S EF BE R θ⎫=⨯=⎪⎪⎝⎭.所以，()2=22=22cos ,,62ABCD BEFG f S S t tRππθθθθ⎛⎫+⨯-∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得，()())222'=22sin 2sin f tRtR θθθθθ+=-+()2=22sin 1tR θθ-+，因为,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1sin ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()'0f θ=，解得sin θ因为,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以=3πθ.列表如下：所以，当=3πθ时，总造价()f θ取得极大值(2tR，即最大值为(2tR . 20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+与函数1()ln f x x x=-图象有两个交点，求实数a 的取值范围．解：（1）由()()1ln ,f x x g x ax b x =-=+，得1()()()=ln h x f x g x x ax b x=----，则211'()h x a x x=+-， 因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，211'()0h x a x x=+-≥，即()0,x ∀∈+∞，211a x x ≤+，令21,(),0t H t t t t x==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为(,0]-∞．（2）设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以0012ln 1b x x =---， 令()010u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u uϕ+---=-+-==当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-． 所以a b +的最小值为1-．（3）当3b =-时，令1()ln 3F x x ax x=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-． 当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零点，故0a >．令方程21=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因为()F x 在()0,+∞上有两个零点，所以00000012()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->， 解得01x >（构造函数2()ln 2G x x x=-+，根据单调性求解），所以()200110,2a x x =+∈． 取()0100x x e x -=∈，，则()0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，所以()F x 在()00,x 上只有一个零点． 同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两．．．．．．小题．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（1）求2B ； （2）求12A B -．解：（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2． 以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +．解：（1）设P ρθ（，）为圆C 上任意一点，则 圆C 的圆心坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，得圆C 过极点， 所以，cos 3OP OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为=4cos 3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）得=4cos =2cos 3πρθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即2=2cos sin ρρθθ+，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，得222x y x +=+，即2220x y x +--=．（*）设1122(1,),(1,)2222A B t t ++,将直线l 的参数方程代入（*），整理得210t --=12121t t t t +==-所以，12=PA PB t t +-====【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知0()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()1()'()*n n f x f x n N -=∈． （1）123(),(),()f x f x f x ；（2）求40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ．解： 由20()sin +4xf x e x π⎛⎫= ⎪⎝⎭得()10()'(2cos xf x f x x=. 同理，()2()2cos 2sin 2x f x e x x =-，()3()4sin 2x f x x =- （2）由（1）得，当()4n k k N =∈时，()()4()4sin cos 2kx k f x x x =-⨯+， 当()4+1n k k N =∈时，()()41()42cos 2kx k f x e x +=-⨯； 当()4+2n k k N =∈时，()()4+2()42cos 2sin kx k f x x x =--， 当()4+3n k k N =∈时，()()43()44sin kxk f x e x +=--.所以，()[]()4414243()()()()=45cos 5sin 45cos 24kk x x k k k k f x f x f x f x e x x e x π+++⎛⎫+++--=-⨯+ ⎪⎝⎭所以，40141()()()n n S f x f x f x -=+++L ()1=54cos 4n k x k e x π-=⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭∑()=14cos 4n xe x π⎛⎫⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭．23．（本小题满分10分）已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值； （2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512．（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． 下面用数学归纳法证明： ①当n =3时，结论成立；②假设n ＝k (k ≥3)时结论成立，即2k S ＞T k ；当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 ＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ． 综上，当n ＝1，2时，2n S =T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ．。