2018年秋高中数学章末综合测评2 圆锥曲线与方程新人教A版选修2-1

合集下载

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程检测(A)

第二章检测(A )(时间:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆=1上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3,则点P 到另一个焦点的距离为( )x 225+y 216A.2 B.3C.5D.7P 到另一个焦点的距离为d ,由椭圆定义可知P 到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.2已知抛物线C 1:y=2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y=-x 对称,则抛物线C 2的准线方程是( )A.x=-B.x=C.x=D.x=-18121812C 1:y=2x 2关于y=-x 对称的抛物线C 2的解析式为-x=2(-y )2,即y 2=-x ,故C 2的准线方程为x=.12183已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0),离心率等于,则双曲线C 的方程是( )32A.=1 B.=1x 24‒y 25x 24‒y 25C.=1D.=1x 22‒y 25x 22‒y 25C 的右焦点为F (3,0),知c=3.由离心率e=,知,则a=2,32c a =32故b 2=c 2-a 2=9-4=5,因此,双曲线C 的方程为=1.x 24‒y 254已知动点P 到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离之和为2λ(λ≥1),则点P 轨迹的离心率的取值3范围为( )A.B.C.D.[33,1)(33,32](0,33](32,1),得2λ>|F 1F 2|=2,3故点P 的轨迹是椭圆,其中a=λ,c=1.3于是e=.故选C .13λ≤135若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是( )A. B.C. D.5+125-1225152a ,2b ,2c 成等比数列,所以b 2=ac.又因为b 2=a 2-c 2,所以a 2-c 2-ac=0,解得e=.5-126抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-=1的渐近线的距离是( )y 23A. B. C.1D.12323,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x ,即±x-y=0,故由点到直线33的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=.|±3-0|2=327AB 为过椭圆=1(a>b>0)的中心的弦,F 1为一个焦点,则△ABF 1的最大面积是(c为半焦距)( )x 2a 2+y 2b 2A.ac B.ab C.bc D.b 2ABF 1的面积为c ·|y A |,因此当|y A |最大,即|y A |=b 时,面积最大.8方程mx+ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是( )9如图,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,准线与对称轴交于点M ,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y 2=xB.y 2=3x 32C.y 2=xD.y 2=9x92,知|BF|等于点B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得∠BCM=30°.又|AF|=3,从而A ,A 在抛物线上,代入抛物线方程y 2=2px ,(p 2+32,332)解得p=.故抛物线方程为y 2=3x.3210双曲线与椭圆4x 2+y 2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为( )A.y 2-3x 2=36 B.x 2-3y 2=36C.3y 2-x 2=36D.3x 2-y 2=364x 2+y 2=64,得=1,∴c 2=64-16=48,x 216+y 264∴c=4,∴e=.3438=32在双曲线中,c'=4,e'=.323=c 'a '∴a'=c'=6,∴b'2=48-36=12.32∴双曲线方程为=1,即y 2-3x 2=36.y 236‒x 212二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线=1的两条渐近线的方程为 .x 2256‒y 2144y=±x.34±x3412过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .F,设直线方程为y=x-.由得x 2-3px+=0.(p 2,0)p2{y 2=2px ,y =x -p 2,p 24设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=3p.故|AB|=x 1+x 2+p=3p+p=8,即p=2.13在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-3,0)和C (3,0),顶点B在椭圆=1上,则x 225+y 216= . sinA +sinCsinB14在平面直角坐标系中,椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径作圆,过点x 2a2+y 2b 2所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e= .(a 2c,0)M,两个切点分别为P ,Q.(a 2c,0)因为|MP|=|MQ|,MP ⊥MQ ,所以四边形MPOQ 是正方形.又因为c=1,所以=2a 2.(a 21)2整理得a=.故e=.212=215设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,点Q 为线段AB 的中点,若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 .l 的方程为y=k (x+1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由联立,得k 2x 2+2(k 2-2)x+k 2=0.{y 2=4x ,y =k (x +1)则x 1+x 2=-,2(k 2-2)k 2故=-=-1+,x 1+x 22k 2-2k 22k2,y 1+y 22=2k即Q.又∵|FQ|=2,F (1,0),(-1+2k 2,2k)∴=4,解得k=±1.(-1+2k2-1)2+(2k)21三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)点A ,B分别是椭圆=1的长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,x 236+y 220且位于x 轴上方,PA ⊥PF.求点P 的坐标.A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标是(x ,y ),则=(x+6,y ),=(x-4,y ).AP FP 由已知,得{x 236+y 220=1,(x +6)(x -4)+y 2=0,解得x=或x=-6.32因为y>0,所以只能取x=,于是y=,32532所以点P 的坐标是.(32,532)17(8分)已知椭圆=1(a>b>0),短轴顶点B (0,b ),若椭圆内接三角形BMN 的重心是椭圆的左x 2a2+y 2b 2焦点F ,求椭圆的离心率的取值范围.,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),且已知B (0,b ),F (-c ,0),由重心公式,得{x 1+x 2+03=-c ,y 1+y 2+b3=0⇒{x 1+x 2=-3c ,y 1+y 2=-b .则弦MN 的中点E 的坐标为.(-3c 2,-b2)又点E 在椭圆内部,则<1⇒e 2<⇒0<e<.(-3c 2)2a 2+(-b2)2b 21333故椭圆的离心率的取值范围为.(0,33)18(9分)已知点P (3,4)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,F 1,F 2为椭圆的两焦点,若PF 1⊥PF 2,试求:x 2a 2+y 2b 2(1)椭圆的方程;(2)△PF 1F 2的面积.令F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0),则b 2=a 2-c 2.因为PF 1⊥PF 2,所以=-1.k PF 1·k PF2即=-1,解得c=5,43+c ·43-c 所以可设椭圆方程为=1.x 2a2+y 2a 2-25因为点P (3,4)在椭圆上,所以=1,解得a 2=45或a 2=5.9a2+16a 2-25又因为a>c ,所以a 2=5(舍去).故所求椭圆方程为=1.x 245+y 220(2)由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6.①5又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100,②由①2-②得2|PF 1|·|PF 2|=80,所以|PF1|·|PF 2|=20.S △PF1F 2=1219(10分)如图,点P (0,-1)是椭圆C 1:=1(a>b>0)的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直x 2a 2+y 2b 2径,l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A ,B 两点,l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程;(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.由题意得{b =1,a =2.故椭圆C 1的方程为+y 2=1.x 24(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).由题意知直线l 1的斜率存在,不妨设其为k ,则直线l 1的方程为y=kx-1.又圆C 2:x 2+y 2=4,故点O 到直线l 1的距离d=,则|AB|=2=2.1k 2+14-d 24k 2+3k 2+1又l 2⊥l 1,故直线l 2的方程为x+ky+k=0.由{x +ky +k =0,x 2+4y 2=4,消去y ,整理得(4+k 2)x 2+8kx=0,故x 0=-.则|PD|=.8k4+k 28k 2+14+k 2设△ABD 的面积为S ,则S=|AB|·|PD|=,1284k 2+34+k 2故S=324k 2+3+134k 2+3≤,3224k 2+3·134k 2+3=161313当且仅当k=±时取等号.102故所求直线l 1的方程为y=±x-1.10220(10分)在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP的斜率之积等于-.13(1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ,N ,问:是否存在点P ,使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.因为点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,所以点B 的坐标为(1,-1).设点P 的坐标为(x ,y ).由题意得=-,y -1x +1·y +1x -113化简得x 2+3y 2=4(x ≠±1).故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4(x ≠±1).(2)方法一:设点P 的坐标为(x 0,y 0),点M ,N 的坐标分别为(3,y M ),(3,y N ),则直线AP 的方程为y-1=(x+1),直线BP 的方程为y+1=(x-1).y 0-1x 0+1y 0+1x 0-1令x=3,得y M =,y N =.4y 0+x 0-3x 0+12y 0-x 0+3x 0-1于是△PMN 的面积S △PMN =|y M -y N |(3-x 0)=.12|x 0+y 0|(3-x 0)2|x 20-1|又直线AB 的方程为x+y=0,|AB|=2,2点P 到直线AB 的距离d=,|x 0+y 0|2于是△PAB 的面积S △PAB =|AB|·d=|x 0+y 0|.12当S △PAB =S △PMN 时,得|x 0+y 0|=.|x 0+y 0|(3-x 0)2|x 20-1|又因为|x 0+y 0|≠0,所以(3-x 0)2=|-1|,解得x 0=.x 2053因为+3=4,所以y 0=±.x 20y 20339故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为.(53,±339)方法二:若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点P 的坐标为(x 0,y 0),则|PA|·|PB|sin ∠APB 12=|PM|·|PN|sin ∠MPN.12因为sin ∠APB=sin ∠MPN ,所以.|PA ||PM |=|PN ||PB |所以,|x 0+1||3-x 0|=|3-x 0||x 0-1|即(3-x 0)2=|-1|,解得x 0=.x 2053因为+3=4,所以y 0=±.x 20y 20339故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为.(53,±339)。

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 湘教版高二选修2-1数学试题

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D.由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.依题意得c ＝4，e ＝c a ＝4a＝2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，因此所求的双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1，故选A.3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．4．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215解析：选B.根据椭圆定义可得4＋2a ＝14，解得a ＝5，故其离心率e ＝c a ＝25，故选B.5．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( ) A ．2或233B ．2C.233D. 3解析：选A.不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为y ＝±bax .由题意，则ba ＝33或a b ＝33，所以b 2a 2＝13或a 2b 2＝13，可以求得e ＝233或2.6．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．7．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50 B ．x 2－y 2＝24 C ．x 2－y 2＝－50 D ．x 2－y 2＝－24解析：选D.因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.8．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64解析：选B.抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1解析：选C.直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m ≤1，解得m ≥1，又m ≠5，故选C.10．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ∶x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A.11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，②由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝2，4a2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝114．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0，2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.答案：x 2＋(y －2)2＝1615．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，又c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝5，b ＝4，所以双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝116．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．解析：依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32.求椭圆E 的方程．解：因为椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，半焦距为c (a >0，b >0，c >0)．由题意知F (0，1)为椭圆的短轴的上顶点，所以b ＝1，又由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，所以6＝2p ×32，所以p ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝4x .因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，所以c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，所以94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8.(舍去) 所以所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知点P (3，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解：(1)令F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以k PF 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3，4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.20．(本小题满分12分)如图，O 为坐标原点，过点P (2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值； (2)求证：OM ⊥ON .解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．① 由①及y 2＝2x 消去y 可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1，x 2是方程②的两个根，由根与系数的关系得x 1x 2＝4k2k 2＝4，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16，又y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(2)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－44＝－1，所以OM ⊥ON .21．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论． (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值X 围．解：(1)点F 在直线l 上⇒|FA |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x 轴平行，所以上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0，因为x 1≠x 2，所以当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，所以x 1＋x 2＝－14.因为A ，B 为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l上，所以116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，所以l 在y 轴上的截距的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.22．(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求A 1A 2的长．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依据题意得c ＝1，c a ＝12，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，又F 1(－1，0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为焦点在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒有两个交点．设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1，0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k （x －1），得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋2＝2＋4k 2＋2＝649.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2，即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积．【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1章末综合测评2 圆锥曲线与方程含解析精品

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.双曲线3x2－y2＝9的焦距为()A. 6B.26C.23D.4 3【解析】方程化为标准方程为x23－y29＝1，∴a2＝3，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，∴2c＝4 3.【答案】 D2.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()【导学号：37792096】A.12 B.32C.1D. 3【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－y23＝1的渐近线3x－y＝0的距离为|3×1－1×0|(3)2＋12＝32，故选B.【答案】 B3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()A.x＝－18 B.x＝12C.x＝18 D.x＝－12【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－12x，其准线方程为x＝18.【答案】 C4.已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14x B.y ＝±13x C.y ＝±12xD.y ＝±x【解析】由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C6.如图1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 【答案】 A7.如图2，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是()图2A.22B.24C.12D.32【解析】因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8.若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F (－2,0)，所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1，即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP →·FP →＝x (x ＋2)＋y 2，因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP →·FP →最小，且为3＋23，即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞). 【答案】 B9.已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D.5【解析】已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10.已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A.y 2＝2(x －1)B.y 2＝4(x －1)C.y 2＝x －1D.y 2＝12(x －1)【解析】设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y 02，所以⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1). 【答案】 D11.已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )【导学号：37792097】A.(1, 3]B.[3，＋∞)C.(1,2]D.[2，＋∞)【解析】依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12.已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A.位于原点的左侧B.与原点重合C.位于原点的右侧D.以上均有可能【解析】设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________. 【解析】由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.【解析】由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图3所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：37792098】图3【解析】由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.【答案】 816.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________.【解析】设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x ＋1)，联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2(k 2－2)k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1,0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程.【解】设椭圆的半焦距为c ，依题意，得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18.(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：37792099】【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切.(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0). ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4，连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意. 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形.20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积.【导学号：37792100】【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21.(本小题满分12分)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点.(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下：假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0).由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切.(1)求椭圆C 的标准方程；【导学号：37792101】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值.【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12，又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2， ∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·48(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2 ＝48(1＋k 2)(3＋4k 2)2·3＋4k 22＝24(1＋k 2)3＋4k 2. 又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224(1＋k 2)3＋4k 2 ＝12m 21＋k 2·24(1＋k 2)3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2＝3，为定值.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.1

02第二章圆锥曲线与方程2.1　曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P (cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y 2=3上,则α的值为( ) A. B.π35π3C. D.π3或5π3π3或π6(cos α-2)2+sin 2α=3,得cos α=.12∵0≤α<2π,∴α=.π3或5π32方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是( )A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (-,0),B (,0),则顶点C 的轨迹是( )33A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P 在曲线2x 2-y=0上,则点A (0,-1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x 12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1.由于P (x 1,y 1)在曲线2x2-y=0上,代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α+β,其中OC OA OB α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=6方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= . (m 3,m )3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足=0,则点P 的轨迹方程为 .PM ·PNP 的坐标为(x ,y ),由=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,PM ·PN 则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =,k MB =.y +4x y -4x 又k MA ·k MB =-1,∴=-1,化简得x 2+y 2=16.y +4x ·y -4x 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0x|y |D.-1=0|x |y选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若,则点P 的轨迹方程为( )RA =APA.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1),R A =AP 则由,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ),RA =AP 则即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.{1-x 1=x -1,-y 1=y ,3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+λOP =OA ,λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(AB|AB |AC|AC |)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心由与∠BAC 的平分线共线,AB |AB |AC |AC |又λ>0,设λ(P'为∠BAC 的平分线上的点),则,(AB|AB |AC|AC |)=AP OP=OA +AP =OP 故,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.OP =OP '4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则=2,化简得x 2-4x+y 2=0.(x +2)2+y2(x -1)2+y 2即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 . ,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离d==r.①|a -b -1|2又圆C 过A (4,1),B (2,1),故(4-a )2+(1-b )2=r 2,②(2-a )2+(1-b )2=r 2.③由①②③,得a=3,b=0,r=.2因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于,则动点P 的轨迹方程为　.132-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|,到点A 的距离为.(x -2)2+y 2由已知,得|x-8|=2,(x -2)2+y 2化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足,试求动点P 的轨迹方程.AB ⊥BP ,BC =12CPP (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则=(x',-y'),=(x-x',y ).BC CP 由,得(x',-y')=(x-x',y ),BC =12CP 12即x'=,y'=-,x 3y 2故B ,C .(0,-y2)(x 3,0)又A (-3,0),∴.AB =(3,-y 2),BP =(x ,32y )由,得=0,AB ⊥BP AB ·BP故3x-y 2=0,得y 2=4x ,34即为动点P 的轨迹方程.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

2.3.2　双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6,0),则其标准方程为( )A.=1B.=1x 29‒y 29y 29‒x 29 C.=1D.=1y 218‒x 218x 218‒y 218等轴双曲线的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为=1(n>0),x 2n ‒y 2n ∴2n=36,∴n=18.故选D .2若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )53A.y=±x B.y=±x 5445C.y=±xD.y=±x 4334=1(a>0,b>0),得e=.y 2a2‒x 2b2c a =53设a=3k ,c=5k (k ∈R ,且k>0),则b 2=c 2-a 2=25k 2-9k 2=16k 2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±x.343已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )x 2a2‒y 25A. B. C. D.314143243243a 2+5=32⇒a=2⇒e=,选项C 正确.c a =324若直线过点(,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )2A.1条B.2条C.3条D.4条5设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )x 2a 2‒y 29A.4 B.3C.2D.16点A (x 0,y 0)在双曲线=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .x 24‒y 232(6,0),由题意,得解得x 0=2.{x 0≥2,(x 0-6)2+y 20=4x 20,x 204-y 2032=1,7设椭圆C 1的离心率为,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点513的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 .=1y 298直线2x-y-10=0与双曲线=1的交点坐标是 .x 220‒y25或(143,-23)9设F 1,F 2分别是双曲线=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且x 2a2‒y 2b 2|AF 1|=3|AF 2|,求双曲线的离心率.AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2.①因为|AF 1|=3|AF 2|,所以点A 在双曲线的右支上.则|AF 1|-|AF 2|=2a ,所以|AF 2|=a ,|AF 1|=3a ,代入到①式得(3a )2+a 2=4c 2,.c 2a 2=104所以e=.c a=10210求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x ±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为,虚半轴长为2;54(3)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.3设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即=1.9y 232‒x 28(2)由题意,得b=2,e=.c a =54令c=5k ,a=4k (k ∈R ,且k>0),则由b 2=c 2-a 2=9k 2=4,得k 2=.49则a 2=16k 2=,故所求的双曲线方程为649=1或=1.9x 264‒y 249y 264‒x 24(3)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,3则另一条渐近线方程为y+x=0.3设所求的双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ>0),则a 2=,b 2=λ.λ3所以c 2=a 2+b 2==4,所以λ=3.4λ3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23能力提升1若双曲线mx 2+y 2=1的焦距是实轴长的倍,则m 的值为( )5A.- B.-4C.4D.1414mx 2+y 2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y 2-=1.x 21-m ∵焦距是实轴长的倍,∴虚轴长是实轴长的2倍.5∴-=4,即m=-.1m 142若双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=( )x 26‒y 23A. B.2C.3D.63y=±x ,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可22得圆心到渐近线的距离等于r ,即r=.|±32|2+4=326=33若0<k<a 2,则双曲线=1与=1有( )x 2a 2-k‒y 2b 2+k x 2a2‒y 2b 2A.相同的虚轴 B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点0<k<a 2,且a 2-k+b 2+k=a 2+b 2,∴有相同的焦点.★4设F 1,F 2分别是双曲线x 2-=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且=0,则||=y 29PF 1·PF 2PF 1+PF 2( )A.2B.C.2D.551010,知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(-,0),F 2(,0).1010设点P (x ,y ),则=(--x ,-y ),=(-x ,-y ).PF 110PF 210∵=0,∴x 2+y 2-10=0,即x 2+y 2=10.PF 1·PF 2∴||PF 1+PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2PF 1·PF 2==2.2(x 2+y 2)+20105已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点,且x 2a2‒y 2b 2PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是 . PF 1⊥PF 2,所以由{|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,||PF 1|-|PF 2||=2a ,得4c 2-4a 2=8ab ,所以b=2a ,c 2=5a 2,所以e=.5★6已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线上存在一点P ,x 2a2‒y 2b 2使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=ac|PF 1|=|PF 2|.ca 由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则|PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=.ca 2a 2c -a 由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c-a ,则>c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,2a 2c -a 故e 2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.22又e ∈(1,+∞),故双曲线的离心率e ∈(1,+1).2(1,+1)27设双曲线=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲x 29‒y 216线交于点B ,求△AFB 的面积.双曲线方程为=1,x 29‒y 216∴渐近线方程为y=±x.43∵A (3,0),F (5,0),不妨令直线BF 的方程为y=(x-5),43代入双曲线方程,得(x 2-10x+25)=1.x 29‒116×169解得x=,∴y=-,∴B .1753215(175,-3215)∴S △AFB =(5-3)×.123215=32158已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).210(1)求此双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在此双曲线上,求证:=0.F 1M ·F 2Me=,所以a=b.c a=2设双曲线方程为x 2-y 2=n (n ≠0),因为点(4,-)在双曲线上,10所以n=42-(-)2=6.10所以双曲线方程为x 2-y 2=6.M (3,m )在双曲线上,所以m 2=3.又点F 1(-2,0),点F 2(2,0),33所以=-=-1.k MF 1·k MF 2=m 3+23·m 3-23m 23所以=0.F 1M ·F 2M ★9已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点是F (2,0),离心率e=2.x 2a2‒y 2b 2(1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k 的取值范围.由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23(2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)的坐标满足方程组{y =kx +m ,x 2-y 23=1,① ②将①式代入②式,整理,得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k 2≠0,且Δ=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+3)>0.整理,得m 2+3-k 2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN 的中点坐标(x 0,y 0)满足x 0=,y 0=kx 0+m=.x 1+x 22=km 3-k23m3-k 2从而线段MN 的垂直平分线方程为y-=-.3m3-k21k(x -km 3-k 2)此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为.(4km 3-k2,0),(0,4m 3-k 2)由题设可得=4.12|4km3-k2|·|4m 3-k 2|整理,得m 2=(k ≠0).(3-k 2)22|k |将上式代入③式,得+3-k 2>0,(3-k 2)22|k |整理,得(k 2-3)(k 2-2|k|-3)>0(k ≠0).解得0<|k|<或|k|>3.3故k 的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).33。

2017-2018学年高中数学人教A版选修(2-1)第二章《圆锥曲线与方程》单元测试卷(原卷版)

第02章圆锥曲线与方程一、选择题：1. 【2018届西藏日喀则地区一高2018学年第一学期10月检测】如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面CD AB 上的动点，且动点P 到直线11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线2. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】（1）方程322x xy x +=所表示的曲线是(A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆 3. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 12 ，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A) x 24＋y 2＝1(B) x 216＋y 212＝1 (C) x 24＋y 23＝1 ((D) x 216＋y 24＝14. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知椭圆:C 2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅uuu v uuu v的最大值为(A)23 (B) 21 (C)233 (D)4155. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）(A)3 (B)11(C) 10 (D) 226. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），椭圆C 的离心率(A)12(B)13(C)23 7. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为c 2，若)y x c + 与椭圆E 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于8. 【宁夏育才中学2017-2017-1示的图形是（）A ．两条直线 B.两个点 C.四个点 D.四条直线9. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x = ）A ．224515x y -= B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．225514x y -= 10. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点是F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线渐近线的斜率为（）A ．12±B ．C ．1±D ．11. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知曲线221:13x C y +=和222:1C x y -=的焦点分别为12,F F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则12MF F ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定12. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】已知椭圆22221x y a b+=(0,0)a b >>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．1]B ．C ．D ． 13. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】设抛物线24y x =的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为（）A ．3 B ．3C ．43D 14. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】抛物线24x y =的准线方程为 A.1-=y B.161-=x C.1-=x D.161-=y 15. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】与椭圆1422=+y x 共焦点且过点)1,2(P 的双曲线方程是A.1422=-y x B.1222=-y x C.13322=-y x D.1322=-y x 16. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为A ．22128x y -= B ．221312x y -= C ．221312y x -= D ．22128y x -= 17. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x=的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程是A ．22142x y +=B ．2213x y +=C ．22124x y +=D ．2213y x += 18. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．4x =19. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】当双曲线C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆”．则离心率“伴生椭圆”的离心率为A ．12BCD．220. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．4B ．7C ．332D ．321. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】已知点1F 、2F 分别是椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是A．()01 B ．()1,12- C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215,0 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,215 22. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b -=>> 右支上一点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则双曲线的离心率为( ) A ．4 B.52 C ．2 D ．5323. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A.14B.12C.2D.4 24. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆1422=+y x 的两个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（） A.23B.3C.27D.425. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 26. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（）C.2 127. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A.23 B.23C.34D.43 28. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（）A.恒等于2aB.恒大于2aC.恒小于2aD.不确定29. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左，右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221||||PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.[2,)+∞B.(1,3]C.(1,2]D.[3,)+∞30. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线方程为043=±y x ，则该双曲线的标准方程为A ．116922=-y x B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．191622=-x y 31. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F ∆的重心，若1GA PF λ=，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关 32. 【云南省玉溪市第一中学2018届高二上学期期中考试】方程2222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．），（∞+1B ．）（+∞,21C ．）（21,0D ．）（1,2133.【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】抛物线28x y =的焦点F 的坐标是（）A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2)34. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线221169x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为20，则椭圆的离心率e 的值为（）A 、12 B C D 、45 35. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的离心率为53，则双曲线C 的渐近线方程为（）A 、34y x =±B 、43y x =±C 、y =D 、y x =36. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆1422=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 ( )A 、3倍B 、4倍C 、5倍D 、7倍37. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若2F PQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的值为（）A B 、2 C 、3 D 38. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A 、B 在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点D 到y 轴距离的最小值为（）A 、2pB 、52p C 、32p D 、3p 39. 【福建省厦门双十中学2017-2018学年高二上学期期中考试】椭圆29x ＋24y k +＝1的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D. 1925或21 40. 【福建省厦门双十中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线PQ 的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.四条线段41. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2,则12||2F F c =,点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c == 且,则椭圆的离心率为（）ABCD42. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA +=（）A ．134B ．142C ．132D ．14343. 已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则实数k 的值为（）A ．31 B ．32 C ．32 D ．32244. 【辽宁省沈阳市第二中学2017-2018学年高二上学期10月月考】已知c 是椭圆2222=1(>>0)x y a b a b+的半焦距，则b c a +的取值范围是________． 45. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件46. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】下列双曲线中与椭圆2214x y +=有相同焦点的是 ( )A ．2214x y -= B ．2214y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 47. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A(1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A 、224412521x y +=B 、224412125x y +=C 、224412521x y -= D 、224412125x y -=二、填空题：1. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】点P 为椭圆2211615x y +=上的任意一点，EF 为圆22(1)4x y -+=的任一条直径，则PE PF ∙的取值范围为 .2. 【2017-2018年唐山一中高二第一学期期中考试】圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ∙= ，则P 点的轨迹是 .3. 【南昌二中2018—2018学年度上学期期中考试】线段PQ 是椭圆22143x y +=过(1,0)M 的一动弦，且直线PQ 与直线4x =交于点S ，则________.SM SM SPSQ+=4. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是 .5. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知点(,)P x y 在椭圆22:24C x y +=上，则2x y +的取值范围是，椭圆C 上的点到(1,0)M 的距离的最大值为 .6. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】抛物线x y C 2:2=的准线方程是，经过点)1,4(P 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=.7. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二，第四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 .8. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知椭圆22:13x C y +=的弦AB 过点(1,0)-，则弦AB 中点的轨迹方程是 .9. 【浙江省宁波市效实中学2017-2018学年高二上学期期中考试】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = .10. 【石家庄市第一中学2018—2018学年第一学期高二年级期中考试】已知圆22:(36M x y += 及定点N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2NP NQ = ，0GQ NP =．则动点G 的轨迹C 的方程为．11. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，且120PF PF ⋅= .若12PF F ∆的面积为9，则b = .12. 【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试】给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π；②已知过抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-；③已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为 .13. 直线230x y -+=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A,B 两点，且(1,1)P -恰好为AB中点，则椭圆的离心率为14. 【河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高二上学期期中考试】在平面直角坐标系xoy中，点M 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点.若MPQ V 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．三、解答题1. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题（本小题10分）已知1F 、2F 为椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 做椭圆的弦AB .（Ⅰ）求证：AB F 1∆的周长是常数；（Ⅱ）若AB F 1∆的周长为16，且1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，求椭圆方程． 2. 【吉林省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点(,2)2在椭圆上．（I ）求椭圆的离心率；（II ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，求证：△2PF Q 的周长是定值．3. 【宁夏育才中学2017-2017-1高二年级期中考试】（本小题满分10分）已知M （-2,0），N （2,0），求以MN 为斜边的直角三角形顶点P 的轨迹方程。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学章末综合测评2 圆锥曲线与方程新人教A版选修1-1

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3D [方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.]2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：97792116】A.12B.32C ．1D. 3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B.] 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A.12B.55C.14D.5－2A [由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.]4．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知1m＝2.即m ＝14，则n ＝1－14＝34，从而mn ＝316.]5．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 23＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 24＝1 D [由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝c a ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.]6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64B [抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.]7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]8．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)D [设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．]9．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )【导学号：97792117】A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆D [∵sin θ＋cos θ＝34，∴sin θcos θ＝－732.∵θ为△ABC 的一个内角，∴sinθ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴1－cos θ>1sin θ>0，∴方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1是焦点在y 轴上的椭圆．]10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Г上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32A [设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.]11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)A [设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x >1)．]12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C的方程为x 220＋y 25＝1，选D.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________． 513 [因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.]14．如图1所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：97792118】图18 [由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.]15．如图2等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．图2x 2＝4y [依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .]16．如图3，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．图33＋1 [如图，连接AF 1，由△F 2AB 是等边三角形，知∠AF 2F 1＝30°.易知△AF 1F 2为直角三角形，则|AF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 2|＝3c ，∴2a ＝(3－1)c ，从而双曲线的离心率e ＝ca＝1＋ 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．[解] 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为＋k2x 1－x 22＝2[4＋m2－4×16]＝2m 2＋8m . 由2m 2＋8m ＝6 2.解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：97792119】[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．[解] (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16.(2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2(图略)，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4，连接CP 3，CP 4(图略)，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意．综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．[解] (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝k －x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝k －14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A ，短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围.【导学号：97792120】[解] (1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－b a .(A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b )时，同样有k ＝－ba)则有y －c ＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴c 2a 2＋y 2b2＝1.② 由①②得c 2a 2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22. (2)设|QF 1|＝m ，|QF 2|＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn＝m ＋n2－2mn －2a 22mn ＝a2mn－1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ≤1，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.。

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末整合提升优质课件新人教A版选修2-1

典例 3 (1)若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，则双曲
渐近线方程为
A．y＝±12x
B．y＝±2x
C．y＝±4x
D．y＝±14x
(2)(2017·天津理，5)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点为若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲
则x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1x2＝21m＋2－2k22 ， m2<2k2＋1，
即x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1·x2＝21m＋2－2k22 ，
所以 kMA·kNA＝x1－y1 2·x2－y2 2＝kx1x－1＋m2·xk2x－2＋m2＝－12．所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－ 2)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0，即 m2＋ 2km＝0⇒m＝0 或 m＝－ 2k(舍去)．所以 MN：y＝kx 过定点(0,0)．当 MN 斜率不存在时 M，N 为短轴两端点，显然也符合题意恒过定点(0,0)．
∴|OQ|＝12|AF1|＝a． ∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．
(2)设 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点，A1、A 线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任一点，求证：以 A1A2 为 PF2 为直径的圆外切，又与以 PF1 为直径的圆内切.
[思路分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证明|O 并且|ON|＝12|PF1|－a.因为点 P 在双曲线的右支上，F1、F2 是双曲具备了运用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证
(1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于问：直线 MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，

2018年高中数学人教A版选修2-1第2章圆锥曲线与方程 2.2.1习题含解析

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y 236+x235=1C.x 236+y21=1D.x 236+y235=1或y236+x235=12椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.8a2=25,∴a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.3如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( ) A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1 D.以上都不对6椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12. 故∠F 1PF 2=120°.120°7已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C 上一点,且PF 1 ⊥PF 2 .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,有 |PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2, 即a 2-c 2=9,故b=3.8已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 52,-32 ,求它的标准方程.椭圆的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).∵2a= 5+2 2+ -3 2+ 5-2 2+ -32=2 10,∴a= 10,a 2=10.∵c=2,∴c 2=4,∴b 2=a 2-c 2=6.故椭圆方程为x 210+y 26=1.9已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,求|PF 2|的长.F 1的坐标为(- ,0).设P (- 3,y ),把P (- 3,y )代入椭圆的方程中, 得|y|=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4, 故|PF 2|=4-|PF 1|=4-12=72.能力提升1已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为( ) A.9或917 B.34或32 C.9或34D.917或32椭圆9x 2+25y2=100的标准方程为x 21009+y 2=1,∴焦点在x 轴上,且c 2=1009-4=649, ∴c=83.又∵椭圆ax 2+y 2=8的标准方程为x 28a+y 2=1,∴8a -8=649或8-8a =649, 解得a=917或a=9.2已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1 ·MF 2 =0,则点M 到x 轴的距离为( ) A.2 3B.2 6C. 3D. 33若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP·FP 的最大值为 ( )A.2B.3C.6D.8,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则y 02=3 1-x 02,OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3 1-x 02=1(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP ·FP 取得最大值为6.4已知F 1,F 2是椭圆x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积等于 ( )A.24B.26C.22 2D.24 2a 2=49,a=7,所以|PF 1|+|PF 2|=2a=14. 又因为|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.又因为|F 1F 2|=2c=2 49-24=10, 所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.5已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12,则|AB|= .,知|F 2A|+|F 1A|+|F 2B|+|F 1B|=4a=20,则|F 1A|+|F 1B|=|AB|=20-12=8.6若方程x 2a +ay 2=1表示椭圆,则实数a 满足的条件是 .将x 2+ay 2=1化为x 2+y 21a=1.由题意,得a>0,且a ≠1a,解得a>0,且a ≠1.0,且a ≠1 7F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M ,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形MF 1NF 2的周长为4,设过F 1的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且|AB|=43,则|AF 2|·|BF 2|的最大值为 . 8求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点A 6, 3 和B 2 2,1 的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A 6, 3 和B2 2,1 , ∴ m · 63 2+n ·( 3)2=1,m · 2 23 2+n ·12=1, 解得m=1,n=19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 2=1.(2)∵已知椭圆x 2+y 2=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a '2+y 2a '2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a '2+4a '2-5=1.∴a'2=15.∴所求椭圆方程为x 2+y 2=1.★9已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP'垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P',并且M 为线段PP'的中点,求点P 的轨迹方程.人教A版2018-2019学年高中数学选修2-1习题P(x,y),点M坐标为(x0,y0).∵点M在椭圆x 236+y29=1上,∴x0236+y029=1.∵M是线段PP'的中点,∴x0=x, y0=y.把x0=x,y0=y代入x02+y02=1,得x2+y2=1,即x2+y2=36.故点P的轨迹方程为x2+y2=36.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.4.1

又��23=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2.
★ 9 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针
��2 + ��2 方向)的轨迹方程为100 25=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为
为
m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=3 时,x=± 6,故水面宽为 2 6 m. 答案:2 6
7 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不
( ) 对称轴、M 0,674 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程. (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
64
解:(1)设曲线方程为 y=ax2+ 7 (a<0),
( ) 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2
2
��
-
�� 2
,与
y2=2px
联立,从而有
4x2-5px+p2=0,
5��
故 x1+x2= 4 .
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即 p=4. 故抛物线的方程为 y2=8x. (2)由(1),得 p=4,代入 4x2-5px+p2=0,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4, 则 y1=-2 2,y2=4 2. 故 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设��=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4λ,-2 2+4 2λ),

【名师课堂】2018年高中数学人教A版选修2-1：第2章圆锥曲线综合检测 Word版含解析

2018年高中数学人教A 版选修2-1：第2章圆锥曲线综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.椭圆x 2＋my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A.14B.12C.2D.42.若直线mx ＋ny=4与圆O ：x 2＋y 2=4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24=1的交点个数为( )A.至多一个B.2C.1D.03.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=43x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.324.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=3x ，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1B.x 29-y 227=1C.x 2108-y 236=1D.x 227-y 29=15.以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2=a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A. xy-2x-4y=0B. xy ＋2x ＋4y=0C. xy-2x ＋4y=0D. xy ＋2x-4y=06.已知椭圆x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π7.已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A. 1＋ 3B. 1- 3C. 1＋32D. 1－328.已知抛物线y 2=4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x-4y ＋9=0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125B.65C.2D.559.如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一条直线，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A.y 2=254xB.y 2=454xC.x 2=-452yD.x 2=-454y11.设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y=0B. 3x ＋5y=0C. 5x ±4y=0D. 4x ±3y=012.已知点A(2,0)，在圆x 2＋y 2=4上任取两点B ，C ，使∠BAC=60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A. (x ＋2)2＋y 2=4B. x 2＋(y-2)2=4C. (x-2)2＋(y ＋2)2=4D. (x-2)2＋y 2=4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.方程(x ＋y-1)²x －1=0所表示的曲线是__________.14.动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x ＋2=0相切，则动圆必过点__________.15.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________.16.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y29=1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程.18.(12分)已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x=0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程.19.(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(-22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y=x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标.20.(12分)如图，已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l：y=x，设长为2的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.21.(12分)如图，抛物线顶点在原点，圆x2＋y2=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点.(1)求抛物线的方程； (2)求|AB|＋|CD|的值.22.(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2=λ上的两点，点N(1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点.(1)当λ=3时，过点P(0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF|的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程.参考答案1.解析：由题意可得21m =2³2，解得m=14.答案：A 2.解析：∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1，∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24=1的内部， ∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24=1有两个交点.答案：B3.解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a =43，可得e=c a =32＋423=53.答案：A4.解析：抛物线y 2=24x 的准线方程为x=-6，故双曲线中c=6. ①由双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y=3x ，知ba =3， ②且c 2=a 2＋b 2. ③由①②③解得a 2=9，b 2=27.故双曲线的方程为x 29-y 227=1，故选B.答案：B5.解析：本题主要考查由曲线求方程的方法.设M(x ，y)，A(x-m ，y-n)，B(x ＋m ，y ＋n)，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧x －m 2＋2 y －n 2＝a x ＋m 2＋2 y ＋n 2＝ak AB ²k PM ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m＝－x －2y －2⇒x 2y =x －2y －2，即xy ＋2x-4y=0为所求轨迹方程，故选D.答案：D6.解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y2－1cos α=1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴-1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D 7.解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法.设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|=2c ，|MF 1|=3c ，|MF 2|=c ，由双曲线的定义有|MF 1|-|MF 2|=2a ，即3c-c=2a ，所以双曲线的离心率e=c a =23－1=3＋1，故选A.答案：A8.解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x-4y ＋9=0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5=125.答案：A9.解析：本题主要考查曲线的特征分析.由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC ⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC.由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10.解析：若设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302=2p ²40,2p=452，所以所求抛物线方程为y 2=452x.选项中没有y 2=452x ，但C 中的2p=452符合题意.方程不同主要是因为讨论的焦点不同.答案：C11.解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用.由题意可知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|=24c 2－4a 2=4b ，又|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以4b-2c=2a ，所以2b-a=c ，两边平方可得4b 2-4ab ＋a 2=c 2=a 2＋b 2，所以3b 2=4ab ，所以4a=3b ，从而b a =43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y=0，故选D.答案：D12.解析：本题主要考查求曲线的方程.设H(x ，y)，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD=∠EAC ，所以△CBD与△HAD 相似，则有|AH||BC|=|AD||BD|⇒|AH|=|AD|²|BC||BD|，而∠BAC=60°，得|AD||BD|=33.又∠BOC=2∠BAC=120°，OB=OC=2，所以|BC|=22＋22－2³2³2cos120°=23，得|AH|=23³33=2.故垂心H 的轨迹方程为(x-2)2＋y 2=4，故选D.答案：D13.解析：由方程(x ＋y-1)²x －1=0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x-1=0，∴x ＋y-1=0(x ≥1)或x=1.答案：直线x=1或射线x ＋y-1=0(x ≥1)14.解析：直线x ＋2=0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0). 答案：(2,0)15.解析：由题意，得b 2＋c c －b 2=3⇒b 2＋c=3c-32b ⇒b=c ，因此e=c a =c 2a 2=c 2b 2＋c 2=12=22.答案：22 16.解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式.因为抛物线的焦点为F(p 2，0)，所以直线AB 的方程为y=33(x-p 2)，代入y 2=2px(p>0)，整理得，x 2-7px ＋p 24=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2=7p ，x 1²x 2=p 24，y 1-y 2=33(x 1-x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p)|y 1-y 2|=48，即12(x 1＋x 2＋p)|33(x 1-x 2)|=36(x 1＋x 2＋p) x 1＋x 2 2－4x 1x 2=48，解得p 2=3，p=3，故抛物线的方程为y 2=23x.答案：y 2=23x 17.解：设P 点的坐标为(x ，y)，M 点的坐标为(x 0，y 0).∵点M 在椭圆x 236＋y 29=1上，∴x 2036＋y 209=1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2，代入x 2036＋y 209=1，得x 236＋y 236=1，即x 2＋y 2=36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2=36.18.解：设双曲线方程为y 2-3x 2=k(k ≠0)，当k>0时，a 2=k ，b 2=k 3，c 2=4k3，此时焦点为(0，±4k3)，由题意得3=4k 32，解得k=27，双曲线方程为y 2-3x 2=27，即y 227-x29=1；当k<0时，a 2=-k 3，b 2=-k ，c 2=-4k 3，此时焦点为(±－4k3，0)，由题意得3=－4k 2，解得k=-9，双曲线方程为y 2-3x 2=-9，即x 23-y 29=1.∴所求双曲线方程为y 227-x 29=1或x 23-y29=1.19.解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c=22，a=3，从而b=1，所以其标准方程是x 29＋y 2=1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 线段的中点为M(x 0，y 0)，那么x 1＋x 2=-185，x 0=x 1＋x 22=-95，所以y 0=x 0＋2=15.也就是说线段AB 的中点坐标为(-95，15).20.解：如图，∵线段AB 在直线l ：y=x 上，且线段AB 的长为2，设M(x ，y)，A(t ，t)，B(t ＋1，t ＋1)(t为参数)，则直线PA 的方程为y-2=t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠-2)，①直线QB 的方程为y-2=t －1t ＋1x(t ≠-1). ②∵M(x ，y)是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2-y 2＋2x-2y ＋8=0. ③ 当t=-2时，PA 的方程为x=-2，QB 的方程为3x-y ＋2=0，此时的交点为M(-2，-4). 当t=-1时，QB 的方程为x=0，PA 的方程为3x ＋y ＋4=0，此时的交点为M(0，-4). 经验证，点(-2，-4)和(0，-4)均满足方程③.故点M 的轨迹方程为x 2-y 2＋2x-2y ＋8=0.21.解：(1)由圆的方程x 2＋y 2=4x ，即(x-2)2＋y 2=4可知，圆心为F(2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线方程为y 2=8x.(2)|AB|＋|CD|=|AD|-|BC|，∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=4，则|AB|＋|CD|=|AD|-4. 设A(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，∵|AD|=|AF|＋|FD|，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y=2(x-2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2 x －2 ，消去y ，得x 2-6x ＋4=0.∴x 1＋x 2=6.∴|AD|=6＋4=10.因此，|AB|＋|CD|=10-4=6.22.解：(1)当λ=3时，椭圆方程为x 2＋y 23=1，直线EF 方程为：y=3x ＋1.设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x-1=0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF|=1＋k 2|x 2-x 1|=1＋3² x 1＋x 2 2－4x 1x 2=2153. (2)设直线AB 的方程为y=k(x-1)＋3，代入3x 2＋y 2=λ，得(k 2＋3)x 2-2k(k-3)x ＋(k-3)2-λ=0.①设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=2k k －3 k 2＋3，且Δ=4[λ(k 2＋3)-3(k-3)2]>0.② 由N(1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2=2.∴k(k-3)=k 2＋3解得k=-1代入②得λ>12. ∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x-y ＋2=0.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.2.2

①
在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos 60°=(2c)2,
即 m2+n2-mn=16.
②
由①-②,得 3mn=20.
�� 故
△
��1��2
=
1
2·mn·sin
1
60°=2
×
20 3
×
3 2
=
53
3.
53
答案: 3
��2
�� = 1 ∴e=�� 5.故选 D.
答案:D
1
4 中心在原点,焦点坐标为(0,±5 2)的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为2,则椭圆
的方程为( ) 2��2 + 2��2
A. 25 75 =1
2��2 + 2��2 B. 75 25 =1
AB
分为
100
等份,过每个分点作
AB
的垂线,分
别交椭圆的上半部分于点 P1,P2,…,P99,F1 为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B| 的值是( )
A.98a
B.99a
C.100a
解析:由椭圆的定义及其对称性可知
D.101a
|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为 50×2a+|F1P50|=101a. 答案:D
��2 + 故所求的椭圆方程为 3

高中数学阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程新人教A版选修2-1(2021年整理)

（浙江专版）2018年高中数学阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018年高中数学阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程新人教A版选修2-1的全部内容。

阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程(时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（安徽高考）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ）A．x2－错误!＝1 B。

错误!－y2＝1C.错误!－x2＝1 D．y2－错误!＝1解析：选C 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B,选项C中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x，故选C.2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是( ）A．椭圆B．双曲线C．抛物线 D．圆解析：选C 由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆,sin θ可以小于0,这时曲线表示双曲线,sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶｜F1F2｜∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于（）A。

错误!或错误! B.错误!或2C。

错误!或2 D.错误!或错误!解析：选A 设｜PF1|＝4k,|F1F2｜＝3k,｜PF2｜＝2k.若曲线C为椭圆,则2a＝6k，2c＝3k，∴e＝错误!；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝错误!。

高中数学人教A版选修2-1圆锥曲线与方程(答案).docx

2.1曲线与方程【例题选讲】B .1 6,0.2-==b a3．解：3032212322=⇔=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=x x x x y x y 或1-=x 32y x =+与212y x =交于)21,1(),29,3(-B A 24=AB4．解：设),(),,(),,(2211y x Q y x B y x A 则x x x 221=+ y y y 221=+【方法一】（点差法）⎩⎨⎧=+=+424222222121y x y x )(221222122y y x x --=-⇒ yxk y y x x x x y y AB 22112121212-=⇔++-=--⇔42)2(2422=++⇔-=+=⇔y x y xx y k PQ AB 中点Q 的轨迹方程为42)2(22=++y x )01(≤<-x 【方法二】（韦达定理法）设过点P 的直线)4(:+=x k y l043216)12()4(42222222=-+++⇒⎩⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 两根为21,x x点Q 的坐标满足：⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=⇔⎩⎨⎧+=+=)4(128)4(22221x k y k k x x k y x x x 42)2(22=++y x 016100)18)(12(162562224≤<-⇒<≤⇔>-+-=∆x k k k kAB 中点Q 的轨迹方程为42)2(22=++y x )01(≤<-x 【巩固练习A 】1.B2.C3.D4.C5.24x y = 6.1±=xy 7.)0(0596≠=+-y y x 8. 36【提高练习B 】9．解：设抛物线22(21)1y x m x m =+++-()m R ∈的顶点),(y x P则434)12()1(421222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=x y m m y m x 抛物线22(21)1y x m x m =+++-的顶点的轨迹方程为0344=--y x10．解：设),(),,(00y x H y x A 则由题易得 00,3x x y ==930)3)(3(0200=±⇔=++-⇔=⋅y x y y x x CA BH ABC ∆的垂心H 的轨迹方程为932=±y x11．解：设所求直线l 与曲线1422=-y x 交于),(),,(2211y x B y x A 则621=+x x 221-=+y y【方法一】（点差法）)(444442122212222222121y y x x y x y x -=-⇒⎩⎨⎧=-=- 43)(412121212-=⇔++=--⇔AB k y y x x x x y y 直线l 的方程为0543=-+y x 【方法二】（韦达定理法）设过点M 的直线)3(1:-=+x k y l 0)23(12)13(8)41(44)13(22222=+-++-⇒⎩⎨⎧=-+-=k k x k k x k y x k kx y 两根为21,x x 621=+x x 43614)13(82-=⇔=-+⇔k k k k 直线l 的方程为0543=-+y x12．解：直线2+=kx y 与曲线212y x =交于),(),,(2211y x B y x A则04221222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=kx x x y kx y 两根为21,x x ⎩⎨⎧-==+⇒422121x x k x x 16)4)(1(4]4))[(1())(1(2221211221222≥++=-++=-+=k k x x x x k x x k AB 当且仅当0=k 时，4min =AB ，此时方程0422=--kx x 有两个不相等的根2.2椭圆的标准方程【例题选讲】1．D 2. （1）4 （2）4≥a 3．解：设n PF m PF ==21,则：5220,62=≤-≤==+c n m a n m]9,4[]36,16[)()(422∈⇔∈--+=mm n m n m mn 21PF PF ⋅的最大值为9，最小值为44．解：设(m PF =P 是椭圆13422=+y x 上任一点）及数列}{F P n 是公差为d 则点P 到椭圆的另一焦点的距离为m m a -=-42 311222)4(≤≤⇔≤-⇔=≤--m m c m m由题意得 213)1(1=-≤-=-d n PF PF n1001>d Θ 20121001<⇔<-n n ∴n 的最大值为200 【巩固练习A 】1．A 2。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( )A ． 6B ．2 6C ．2 3D ．4 3 D [方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.]2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：46342125】A ．12B ．32C ．1D ． 3 B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|(3)2＋12＝32，故选B ．] 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A ．12B ．55C ．14D ．5－2 A [由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.]4．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83 A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知1m＝2.即m ＝14，则n ＝1－14＝34，从而mn ＝316.]5．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 23＝1C ．x 216＋y 212＝1 D ．x 216＋y 24＝1 D [由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝c a ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.]6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64B [抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.]7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1D [由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2. ①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7. ②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]8．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)D [设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．]9．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )【导学号：46342126】A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆D [∵sin θ＋cos θ＝34，∴sin θcos θ＝－732.∵θ为△ABC 的一个内角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴1－cos θ>1sin θ>0，∴方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1是焦点在y 轴上的椭圆．]10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Г上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32A [设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A ．]11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)A [设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x >1)．]12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．x 28＋y 22＝1B ．x 212＋y 26＝1C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1 D [因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1，选D ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________． 513 [因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.]14．如图1所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：46342127】图18 [由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.]15．如图2等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．图2x 2＝4y [依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .]16．如图3，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．图33＋1 [如图，连接AF 1，由△F 2AB 是等边三角形，知∠AF 2F 1＝30°.易知△AF 1F 2为直角三角形，则|AF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 2|＝3c ，∴2a ＝(3－1)c ，从而双曲线的离心率e ＝ca＝1＋ 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．[解] 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2[4(4＋m )2－4×16] ＝22(m 2＋8m ). 由22(m 2＋8m )＝6 2. 解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：46342128】[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．[解] (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16.(2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2(图略)，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意； (ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4，连接CP 3，CP 4(图略)，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意．综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．[解] (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A ，短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围.【导学号：46342129】[解] (1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－b a .(A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b )时，同样有k ＝－ba)则有y －c ＝－b a ，∴y ＝bca . ①又∵点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，∴c 2a 2＋y 2b2＝1. ② 由①②得c 2a 2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22. (2)设|QF 1|＝m ，|QF 2|＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，|F 1F 2|＝2C ．在△F 1QF 2中，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn＝(m ＋n )2－2mn －2a 22mn ＝a 2mn －1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ≤1，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.。

2018年秋高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修2-1

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 检测(A)

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 湘教版高二选修2-1数学试题

高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1章末综合测评2 圆锥曲线与方程 含解析 精品