利用等差数列推导椭圆方程
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结「篇一」1.椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆;(2)若a=c，则集合P为线段;(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。
三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。
(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。
椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。
②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于)。
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。
三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题17椭圆理(含解析)
专题17椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读 要求 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握 选择题 解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质掌握填空题 解答题 ★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握 解答题 ★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程 2能熟练运用几何性质（如范围、对 称性、顶点、离心率）解决相关问题 3能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题 ，判断位 置关系及解决相关问题 4本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主 ，与 向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强 ，分值约为12分，难度较大.2020年咼考全景展示【答案】D详解：因为 "叽为等腰三角形所以卩0市2=2&由AP 斜率为6得, tanAPAF 2 二 巴 A ainAPAF 2 二 COSA PAF 2 二6 订131.【2020年理数全国卷II 】已知x y,耳/是椭圆「丁訂心旳的左，右焦点，是」的左顶点，点在过|且斜率为aB.的直线上, 1r 一 d ；；，贝y 的离心率为A.C.D.【解析】分析：先根据条件得 PR=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率由正弦定理得sim.PAf 2AF 2 sin£APF 2所以 选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 心:詞的方程或不等式，再根据卜;':订的关系消掉£得到的关系式，而建立关于应绥的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.2 .【2020年浙江卷】已知点 F (0 , 1)，椭圆4 +y 2=mm >1)上两点A , B 满足川「=2也，则当m F _____________ 时, 点B 横坐标的绝对值最大. 【答案】5【解析】分析先根1S 条件得到"坐标间的关系，代入椭圆方程解得歩的纵坐标」即得F 的福坐折关于從 的函数关系，晶后扌魁®二次函数性质确定最值朝去.i 羊解；设机％化莎},由和=2而甯-冷=23 -乃=2仕- 1)“ -yi = 2上-3・因为上占在椭圆上:所仪手+百=忆于■疋=r +总比-3)£ =玳上手+山-f}1 = 了与亍+ F 孑=m 对应相减得Ji =宁，疋=- 10m+ 9] 4j 当且仅当用=5吋取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 于函数最值的探求来使问题得以解决W : —— + = 1(口 > I )A 0)3.【2020年理北京卷】已知椭圆线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ___________双曲线N 的离心率为 ___________ . 【答案】^2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 •关系，即得双曲线 N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得卜一匸^力]，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为汀认I ,再根据椭圆定义得 ： ，所以椭和:|x=±-^圆M 的离心率为双曲线N 的渐近线方程为加，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的(或者多个)变量的函数，然后借助.若双曲线N 的两条渐近由八計、诂尸，可得ab =6,从而a =3, b =2•所以，椭圆的方程为(n)设点P 的坐标为(X 1,y 1),点Q 的坐标为(X 2, y 2).由已知有y 1>y 2>0,故卩叮八泊=倾斜角为 n n 2n ——=tan - = 3』 / 3m + n m + 3 m——=4* AC = 2.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于I;虫箱的方程或不等式，再根据卜黒的关系消掉E 得到的关系式，而建立关于|怎冷•:的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.4.【2020年理数天津卷】设椭圆 (a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B 已知椭圆的离心率为 3 ,点A 的坐标为顾，且丨皿一；. (I )求椭圆的方程; (II )设直线l与椭圆在第一象限的交点为 P,且I 与直线AB 交于点Q 若(O 为原点)，求k 的值.11【答案】(i )|；(n )2或想【解析】分析：(I)由题意结合椭圆的性质可得 a =3, b =2.则椭圆的方程为.(n)设点P 的坐儿=i\可得.由1 •据此得到关于k 的方程，解方程可得 k 的值为 或标为(X 1 ,yj ,点Q 的坐标为(X 2, y 2).由题意可得5y 1=9y 2.由方程组1°2k11详解：(I)设椭圆的焦距为2c ,由已知知,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得，I"：-打，■‘,X i ,因为sin^OAB 而/ 71 1叔1_曾•OA两，故1饨| =佝2.由|卩Q厂4呵°，可得5y i=9y2.由方程组，y-kx, x2 y2—+ 5-^U q 4消去X , 可得J恣1=瓷易知直线AB的方程为x+y - 2=0,由方程组•消去2kx,可得.由5y i=9y2,可得5 (k+1)=,两边平方，整理得11 = 0,解得丹―旳.又t= 11 1 11或 厉•所以，k 的值为2或函’点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、 弦长、斜率、三角形的面积等问题.W(1, m)(m > 0).为 上一点，且悴;“阳咔感：剧.证明：两， , 成等差数列，并求该数 列的公差.【答案】（1）【解析】分析：⑴ 设而不求，利用点建法进行证明。
湘教版高中数学选修2-1：椭圆的定义与标准方程
D.7x52 ＋2y52 ＝1
解析
设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，由3ay2x2＋－bxy22－＝21＝，0得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，x1＋x2＝a21＋2b92b2＝1，所以 a2
＝3b2 ①.又由焦点为(0，±5 2)知，a2－b2＝50 ②，由①②得
3．椭圆的方程中，a，b，c 三者之中 a 最大，且满 足 a2＝b2＋c2 ． 4．如图所示，在△OF2B 中，|OF2|＝c，|OB|＝b，则|BF2|＝a．
自主探究 1．椭圆的两种标准方程，能否合为一种一般形式？
提示 椭圆的两种标准方程都是关于 x2，y2 的二元二次方程， 当焦点在 x 轴时，标准方程为ax22＋by22＝1，当焦点在 y 轴时，标准 方程为：ay22＋bx22＝1，其中的 a＞b＞0，若焦点位置不能确定时， 可将方程设为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)或xm2＋yn2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)都可以．
椭圆的定义与标准方程
1．进一步掌握椭圆的定义、标准方程，会用定义、标准方程 解决问题．
2．会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．
自学导引 1.方程 Ax2＋By2＝C(A、B、C 均不为零)表示椭圆的条件 是 A、B、C 同号，且 A≠B ． 2．椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就 在 x 轴 上，如果 y2 的分母大，焦点就在 y 轴上．
质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入
繁琐的化简运算之中
1．△ABC的三边a＞b＞c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1，0)、 (1，0)，求顶点B的轨迹方程．
解 设 B(x，y)，因为 a，b，c 成等差数列， 所以 a＋c＝2b＝4， 即|BA|＋|BC|＝4，且 4＞2， 故点 B 应在椭圆x42＋y32＝1 上． 又 a＞c，即 （x－1）2＋y2＞ （x＋1）2＋y2， 所以 x＜0. 当 x＝－2 时，B、A、C 共线，故排除， 所以顶点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1(－2＜x＜0)．
数学选修2-1~2.2(2)椭圆的标准方程
2 2
y M
F1
0
F2
x
y b
2 2
1(a b 0)
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
x
2
根据题意:2a=3, 2c=2.4,
2.25
y
2
0.81
1
示例5、将圆 x 2 y 2 4 上的点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线。
x
2
依定义知,点A 的轨迹为双曲线(除去顶点)方程为：
4
y
2
12
1 （ y≠0）
请同学们思考：
1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆 方程是_____________。 2.△ABC中，三边a、c、b成等差数列，且a>c>b， 若A（-1，0），B（1，0），则动点C的轨迹方程 为____________。 3. 椭圆 A.5
堂小结(1) 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提; (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是 常数 2a; (3)常数 2a 要大于焦距 2c;
MF1 MF2 2 a 2 c
4
椭圆的标准方程(1)
x a
2 2
y b
2 2
2 2
×
2
y b
2 2
1( a , b 0)的焦点坐标为
2
( a b , 0)
×
9
Ex3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测： 椭圆
课时跟踪检测（四十七） 椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝6， ∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b 2＝27. 所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝13．椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＋PF 2＝22，F 1F 2＝2.由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， 解得PF 1·PF 2＝43.故△F 1PF 2的面积S ＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e ＜1，所以22≤e＜1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则P Q 的最大值是________．解析：已知圆心C (0,2)，P Q ≤PC ＋C Q ＝1＋C Q ，故只需求C Q 的最大值即可．设Q (x ，y )，则 C Q ＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝⎛⎭⎫y ＋142＋272.∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，C Q max ＝272＝362， ∴ P Q max ＝1＋362. 答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________． 解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89，所以e ＝c a ＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)， 所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0， 故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)． 答案：5－125．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：∵F 为椭圆的右焦点，OF ＝2，∴c ＝ 2. 设椭圆方程为x 2b 2＋2＋y 2b2＝1(b ＞0)，∵A ，B 是椭圆的两个顶点，∴A ()b 2＋2，0，B (0，b )．又∵C 是AB 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋22，b 2.由OC 的延长线交椭圆于点M ，MF ⊥OA ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b 2b 2＋2.∵k OM ＝k OC ，∴b 2b 2＋22＝b2b 2＋22，∴b ＝2，故所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上，所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋AF 2＋BF1＋BF 2＝4a ＝16， 所以a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，所以c ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2019·句容月考)离心率e ＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e ＝13，焦距为4，∴c ＝2，a ＝6，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1.答案：x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△P Q F 2的周长为8，求椭圆C 的方程；(2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围． 解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝Q F 1＋Q F 2＝2a ， 从而△P Q F 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且在椭圆上， 所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q (x 1，y 1)． 因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1， 解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ， 所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A .若平行于AF 且在y 轴上截距为3－ 2 的直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A ，可得AF 的斜率为－b c ，则平行于AF 且在y 轴上截距为3－2的直线方程为y ＝－bc x ＋3－ 2.由该直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b 2c2＝1，解得b ＝c ，所以e ＝c a ＝12＝22. 答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26， 因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB的最大值为22613.答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥Q F ，C 为P Q 中点，线段P Q 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段P Q 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线P Q 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线P Q 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0， 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1＞0， ①x 1x 2＝2(b 2－1)2k 2＋1＞0， ②Δ＝8(2k 2－b 2＋1)＞0， ③由PF ―→·Q F ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0， 代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b 2k 2＋1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kb2k 2＋1，b 2k 2＋1，所以线段P Q 的中垂线AB 的方程为y －b 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2kb 2k 2＋1.令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1，则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AF AO ＝2(1－x A )x A＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b 29b 4＋2b 2＋1，所以S △BCF S △ABO ＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3. 所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233. 经检验，满足条件①②③， 故直线P Q 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测(数学试题文)试题
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测（数学试题文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．22．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．733．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BCD6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．459．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10511．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，E ，F分别为AC ，PB 的中点，32EF =，则球O 的体积为______. 14．已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______.三、解答题：共70分。
一道解析几何问题的解法及启示
CD :y = - + m，其中
由；y = -
m与
x2 ~4
+ y2
=
1 得 ％2 - 2/71% + 2tti2 - 2
=
0 ，则 4
= 4/n2
一4(2m2 _2) = 8 _ 4 m2 > 0 , 即 m e ( _ ^ " ，1) U
+ = , (1，V5~)• 设 ，C(x2，y2) ，则 X! x2 2m x1
C
U2 1
(；f 4纪■2’±1
+--r4-4rfrktv； 22).则
由
// DC，直
线
的
1 - Akl22 - Ak,
1 + 4k2 ~ 1 + 4kl 相等，即 - 8"2 Sk] - 2 ~
1 +4k2 1 +4k]
-，化 简 得 16衫衫
- "2) _■2(kx - k2)
- 左2) + 4A^左之+ 1]
+1FBI. 点评 ：第（2 ) 问运用等差数列的定义，把问题等 -->■ -- ► -- ► -- ►
价转化为证明：丨F P 丨 - 丨 丨 = 丨 丨 -I W 3 丨. 思路分析5:(利用椭圆的参数方程）该椭圆参
数方程为 I
广’则 Apcosc^ ， •^"sinc^ ) ，
l-y = y3 sina.
的教学实践给出了几点启示，以期与同行分享.
题 目 如 图 1 ，椭圆 %
yf
l(a > 6 > 0 ) 的右顶点 b2 和上顶点分别为为线
段 的 中 点 ，且 成 . 品 = 图1
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。
二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。
本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。
这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。
本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。
三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。
2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。
3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。
能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。
2.渗透数形结合、类比等数学思想。
3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。
情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。
2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。
3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。
四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。
难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。
五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。
2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识。
解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。
从知识上讲，本节是在直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路。
因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点。
本节课的教学重点是：椭圆的定义及其标准方程。
二、学生学情分析（1）学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程；（2）学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤；（3）学生对于利用数形结合思想解决问题的意识还不够强；（4）对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
三、教学目标知识目标：（1）理解椭圆的定义。
（2）掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。
过程与方法：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质。
情感目标：培养学生勇于探索，善于发现的创新思想，形成实事求是的科学态度并体会数学的简洁美、对称美。
教学难点及突破策略：1.本节课的教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
2.突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
四、教学策略分析1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；2.利用手工制作的教具和现代教育手段，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
椭圆的短轴长焦距长轴长依次成等差数列
椭圆的短轴长焦距长轴长依次成等差数列全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种几何形状，它具有两个焦点，长轴和短轴。
椭圆的形状可以根据它的长轴和短轴的长度而变化。
今天我们要探讨的是一种特殊的椭圆，它的短轴长、焦距和长轴长依次成等差数列。
在数学中，等差数列是指一个数列中的相邻项之间的差值都相等的数列。
1，3，5，7，9就是一个等差数列，它的公差为2。
现在我们来看一下关于椭圆的短轴长、焦距和长轴长成等差数列的情况。
让我们回顾一下椭圆的基本定义。
椭圆可以通过两个焦点和一个常数的总和等于一个固定值的所有点构成。
椭圆的长轴是通过焦点的连线构成的，而短轴则是连接两个焦点与椭圆的中心点的线段。
焦距是两个焦点之间的距离。
现在我们假设椭圆的短轴长、焦距和长轴长依次成等差数列，我们可以用数学公式来表示这种关系。
设椭圆的短轴长为a，焦距为d，长轴长为c，且它们成等差数列，那么我们可以写出以下等式：a，a + d，a + 2d这就表示短轴长、焦距和长轴长依次成等差数列。
如果我们进一步展开这个等式，我们可以写出以下等式：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n-1)d这个等式中，n表示等差数列的项数。
根据这个等式，我们可以得到椭圆的短轴长、焦距和长轴长之间的关系。
通过求解这个等式，我们可以得到a、d和c之间的具体数值。
通过这种方法，我们可以找到满足短轴长、焦距和长轴长成等差数列的椭圆的具体形状。
这种椭圆具有独特的特点，它的形状与普通的椭圆有所不同。
通过研究这种特殊椭圆，我们可以更深入地了解椭圆的性质和特点。
在数学领域，椭圆是一个重要的几何形状，它在许多领域都有广泛的应用。
通过研究椭圆的特殊形式，我们可以更好地理解它的性质和特点，从而为解决实际问题提供更多的思路和方法。
椭圆的短轴长、焦距和长轴长依次成等差数列是一种有趣的数学现象，它展示了椭圆的多样性和复杂性。
通过深入研究这种特殊椭圆，我们可以更好地理解椭圆的性质，并为数学研究和实际应用提供更多的启示。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程一、教材及学情分析用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，能够得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。
17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。
在这个章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线相关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。
解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
在第七章中学生已初步掌握理解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
因为教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，所以“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了很多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
所以，教学时应重视表达数学的思想方法及价值。
根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。
二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。
②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提升学生的运算水平。
2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提升学生的归纳概括水平。
②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
③对学生实行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促动形成研究气氛和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促动者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。
1--椭圆及其标准方程
a 2 cx a
两边再平方，得
( x c) 2 y 2
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得
(a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
两边除以 a 2 ( a 2 c 2 ) 得
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆 o B C 且B、C为焦点， (少两点) 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2a 10, 2c 6 2 a b
则a 10 .又c 2, 故b 2 a 2 c 2 10 4 6. x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 1. 10 6
学案问题4
已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
学案问题3
x2 y2 1 若方程 k 2 3 k
①表示焦点在y轴上的椭圆， ②若方程表示椭圆呢?
求k的取值范围;
答:① 0 k 2 3 k
2 k 2.5
k 2 0 ② 3 k 0 k 2 3 k
2 k 3, k 2.5
x0 2 x , y0 y
P ( x0 , y0 )在圆x 2 y 2 4上
2 2 x 0 y0 4
y0 x x0 , y 2
y M
辅 助 点 P 法
x
将 x0 x ,
14—椭圆的标准方程-教师版
1．已知点P (1，2)和圆C ：02222=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】232333k -<<2．若实数x 、y 满足等式()3222=+-y x ，那么xy的最大值为 ． 【难度】★★ 【答案】33．过点M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ． 【难度】★★【答案】0301543=+=++x y x 或4．圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和03422=--+y y x 的交点的圆的方程是 ． 【难度】★★【答案】032622=-+-+y x y x5．已知点A (0，2)和圆C ：536)4()6(22=-+-y x ，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A 点到切点所经过的路程为 ． 【难度】★★椭圆的标准方程及性质热身练习【答案】5518 【解析】解法一 设反射光线与圆相切于D 点.点A 关于x 轴的对称点的坐标为A １(０，－２)，则光从A 点到切点所走的路程为｜A １Ｄ｜.在Rt △A １ＣD 中，5936536)42()6(2222121⨯=---+-=-=CD C A D A△｜A 1D ｜＝5518. 即光线从A 点到切点所经过的路程是5518. 解法二 设圆心C （6，4）关于x 轴的对称点为C′（6，－4），过点A 作圆C′的切线，切点为E ，则光从A 点到切点所走的路程等于｜AE ｜.在Rt △A Ｃ′E 中，22222369(06)(24)3655AE AC C E ''=-=-++-=⨯ △｜AE ｜＝5518，即光线从A 点到切点所经过的路程是5518．椭圆知识梳理焦点，焦距椭圆定义中点在原点，焦点在x 轴中点在原点，焦点在y 轴椭圆的标准方程椭圆的定义椭圆的性质 对称性 顶点 范围一、椭圆的定义及应用(1)文字形式在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．(2)代数式形式集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c . (3)坐标形式(x －c )2＋y 2＋(x ＋c )2＋y 2＝2a ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集． 【例1】已知两个定点,,(1)若=10,则点的轨迹方程是 . (2)若=8, 则点的轨迹方程是 . (3)若=6, 则点的轨迹方程是 . 【难度】★★ 【答案】 无【例2】已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=9，点p 为圆上一动点，定点A （﹣1，0），线段AP 的垂直平分线与直线CP 交于点M ，则为点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【难度】★★ 【答案】圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9，圆心为（1，0），半径为3，如图，因为M 是线段AP 的垂直平分线与CP 的交点，所以|MA|=|MP|，所以|MA|+|MC|=|MC|+|MP|=|PC|=3．而|AC|=2，|MA|+|MC|＞|AC|． 所以由椭圆定义知，M 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆．故选A ．1(4,0)F -2(4,0)F 12MF MF +M 12MF MF +M 12MF MF +M 221259x y +=0y =(44)x -≤≤例题解析【例3】一动圆与已知圆O 1：（x+3）2+y 2=1外切，与圆O 2：（x ﹣3）2+y 2=81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．【难度】★★【答案】解：设M （x ，y ），动圆M 的半径为r （r ＞0），则由题意知|MO 1|=1+r ，|MO 2|=9﹣r ， 于是|MO 1|+|MO 2|=10，即动点M 到两个定点O 1（﹣3，0）、O 2（3，0）的距离之和为10．又因为 10=|MO 1|+|MO 2|＞|O 1O 2|=6，所以点M 在以两定点O 1（﹣3，0）、O 2（3，0）为焦点的椭圆上．|MO 1|+|MO 2|=10，整理得动圆圆心M 所在的曲线方程为．【巩固训练】1． 下列方程表示椭圆的是（）（A） （B ） （C ） （D ）【难度】★【答案】C2．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2．从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，求线段PP ′中点M 的轨迹．【难度】★★【答案】解：由题意可得已知圆的方程为x 2+y 2=4．设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），∵M 是线段PP ′的中点，∵由中点坐标公式得，即x 0=x ，y 0=2y ．∵P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，∵① 将x 0=x ，y 0=2y 代入方程①得x 2+4y 2=4，即．∵点M 的轨迹是一个椭圆．11625x 22=+y 444x 44x 2222=+++++-+x y x y 244x 44x 2222=+++++-+x y x y 644x 44x 2222=+++++-+x y x y 244x 44x 2222=+++++-+x y x y 2,00y y x x ==42020=+y x 1422=+y x二、求椭圆的标准方程取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。
旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学
3
，
1
2
两点，求该椭圆的标准方程.
不能确定焦点的位置， 不妨就分焦点在x、y轴上两
种情况讨论，是很自然的想法，也是很好的方法.
当焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1 a2 b2
（a>b>0）.
由题意可知
1 ' ' ' ' ' &
4 a2
=1，
1a2=4，
则
所以椭圆的
' ' ' ' ' (
一形成认知冲突驱动探求欲望7世纪荷兰数学家舒腾的椭圆的画法基于两个焦半径之和等于常数是在把圆压扁变成椭圆之后总结出来的教师用几何画板再现这一历史过程直观地可以看出圆压扁后的曲线上任一点到两个定点f根据椭圆的定义圆压扁后的曲线应当是椭圆但这只是几何直观验证有失严谨性需要从代数意义上的严格证明那么又如何证明呢
成，课堂小结由师生共同完善，这既是对学习主体的充 分尊重，使学生获得亲历知识生长发展的体验，又是培 养学生自我参与意识和探索发现能力、开发学生潜能的 有效方式.
诚然，在数学教学中获得结果，特别是获得准确的 结果是重要的，但从某种意义上说，让学生经历和体验 获取知识的过程要比获得结果更重要.这是因为这种获 取知识的过程，不仅是知识生长、发展的动态延伸，更是 开启智慧、发展智力、培养潜能、提高素质的源泉.正如 一次旅行，不必太在意目的地，重要的是不要错过沿途 的风景！
其一，上文中提到的“以数解形”与“以形助数”就是
从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题的具
体体现.
其二，整个标准方程的推导化简过程，既是归纳抽
象，又是演绎推理.尤其在教学时不拘泥于教材中的椭
【一等奖教案】 椭圆
课 题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目标：1．通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法； 2．通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；3．通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学手段：计算机、实物投影仪 教学方法：启发式、探究式 教学过程：一、创设情境，导入新课 1．由“神六”引入新课（1）大屏幕展示“神舟”六号飞船成功发射和运行轨道的资料图片（如图1）．北京时间2005年10月12日9时整，搭乘两名航天员的中国第二艘载人飞船“神舟”六号，在酒泉卫星发射中心发射升空．（2）由“神六”飞船的运行轨道引出课题． 板书：8．1椭圆及其标准方程（一）． 2．让学生直观认识椭圆 （1）“压扁”圆成椭圆 用计算机课件模拟演示将圆“压扁”成椭圆的过程（如图2）．类比圆的画法，导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆．3．师生共同画图体验请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，自己动手画椭圆．然后教师用多媒体演示画椭圆的过程．二、引导探究，掌握新知1．椭圆的定义神州六号飞船运行轨道全程图（资料图）图1图2（1）教师提出问题在上面的作图过程中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（两个定点及绳长是不变的，点M 的位置是运动变化的）在此基础上，请学生阐述“绳长不变”的意义． （2）学生概括椭圆的定义平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距教学预案：若学生将定义叙述为“与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，这时教师要说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字．然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？”由此引发学生大胆想象、质疑、推理，自我探究．教师再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于21F F ，则点M 的轨迹是线段21F F ；若这个常数小于21F F ，则点M 的轨迹不存在；若这个常数大于21F F ，则点M 的轨迹是椭圆．所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：“此常数大于21F F ”．（3）强调定义的条件强调“平面内”三个字不可少，条件“常数大于21F F ”不可缺． 2．椭圆应用的实例利用计算机课件演示，展现生活中椭圆的实例（如图3）．3.椭圆的标准方程（1）复习求动点的轨迹方程的基本步骤 （由学生回答，不正确的教师给予纠正） （2）椭圆标准方程的探求 （ⅰ）建系图3以两定点1F 、2F 所在的直线为x 轴，线段1F 2F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图4）．设c F F 221=()0>c ，则()01，c F -，()02，c F ． （ⅱ）设点设()y x M ，为椭圆上的任意一点，M 与1F 、2F 的距离的和等于a 2(c a 22>)．由定义得到椭圆上点M 的集合为{}a MF MF M P 221=+=．（ⅲ）列式将条件式a MF MF 221=+代数化，得()()a y c x y c x 22222=+-+++ （*）（ⅳ）化简先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视．①教学预案：若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到()()22222222c a a y a x c a-=+- （* *）在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．然后教师提出：有无较为简单的方法化简（*）式呢？请学生观察式子()()a y c x y c x 22222=+-+++，引导学生联想等差中项的定义：“n p m ,,成等差数列p n m 2=+⇔”， 知()22y c x ++，a ，()22y c x +-成等差数列，可设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=++.,2222d a y c x d a y c x再设法消去d ，即可将（*）式化简为（* *）式． 若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（* *）式，则师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（* *）式．②b 的引入 由椭圆的定义可知，c a 22>,022>-∴c a ，让点M 运动到y轴正半轴上（如图5），由（图4）图图5学生观察图形自行获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ． （3）标准方程的说明（ⅰ）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；（ⅱ）上述方程表示焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中222b c a +=；（ⅲ）以上的推导过程，没有证明“以满足方程12222=+by a x 的实数对),(y x 为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；（ⅳ）如果椭圆的焦点在y 轴上，并且焦点为),0(),,0(21c F c F -,则椭圆方程为12222=+b x a y ()0>>b a ，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程12222=+by a x 中的y x ,对换而得到的；（ⅴ）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与2x 与2y 项分母的大小即可．若2x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2y 项分母大，则焦点在y 轴上．三、应用举例，巩固新知例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是()04，-、()04，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是()20-，、()20，，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2523，． 分析：解决问题的关键是求出22b a 、，对于（1），易知椭圆中心在原点，焦点在x 根据已知条件设出焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，由已知条件及椭圆的定义求出a 值，再根据已知条件及a 、b 、c 之间的关系求出2b 的值，从而写出椭圆的标准方程为192522=+y x ； 对于（2），有两种解题思路，思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，到两个焦点()20-，、()20，的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程12222=+b x a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标⎪⎭⎫⎝⎛-2523，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y ． 四、回顾小结，归纳提炼 1．知识与技能层面的小结椭圆的定义；椭圆的标准方程；a 、b 、c 之间的关系； 2. 过程与方法层面的小结包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想以及思维能力和运算能力；3．情感、态度、价值观层面的小结． 五、课后作业，巩固提高1．基础题：课本96页习题8.1 第2题、第3题 2．思考题：（1）比较焦点分别在x 轴上、y 轴上的两种椭圆的标准方程12222=+b y a x 、12222=+bx a y ，归纳它们各自的特点及相同点、不同点． （2）如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面200km ，远地点B （离地面最近的点）距地面约350km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6400km ，求“神六”运行轨道的方程（精确到1km ）．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
全国高中数学 青年教师展评课 椭圆及其标准方程教学设计(陕西商南高级中学)
椭圆及其标准方程（第1课时）教学设计一、教学内容解析1．地位与作用：本章是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。
解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
在北师大版必修2中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。
本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。
这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。
在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。
本节是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》第1节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。
教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。
2．教材处理顺序教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。
这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。
教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在y轴上的椭圆的标准方程。
这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。
有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。
3．数学思想方法本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。
在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。