三角形三线定理
专题--三角形中的三线(高角分线中线)
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
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变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
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例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
初中数学-暑假第2讲-三线合一-学生版
三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
简言之：两线合一，必等腰。
（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。
三角形三线合一
三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。
比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。
应用三条线合一是等腰三角形。
分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。
一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。
这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。
三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。
3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
三角形的三线指的是哪三线(二)
三角形的三线指的是哪三线（二）引言概述：在数学几何中，三角形的三线是指三角形内部经过某个特定点的三条线段。
这三条线段分别是三角形的垂心连线、重心连线和外心连线。
本文将详细介绍这三条线段的定义、特性和应用。
正文：一、垂心连线垂心连线是指从三角形的每个顶点垂直于对边所得的线段。
具体的小点包括：1. 垂心的定义和性质2. 垂心连线的长度和角度特性3. 垂心连线与三角形内角的关系4. 垂心连线的几何意义5. 垂心连线的应用案例二、重心连线重心连线是指由三角形的每个顶点与对边中点所连成的线段。
具体的小点包括：1. 重心的定义和性质2. 重心连线的长度和角度特性3. 重心连线与三角形内角的关系4. 重心连线的几何意义5. 重心连线的应用案例三、外心连线外心连线是指三角形顶点与外接圆圆心所连成的线段。
具体的小点包括：1. 外心的定义和性质2. 外心连线的长度和角度特性3. 外心连线与三角形内角的关系4. 外心连线的几何意义5. 外心连线的应用案例四、三线共点定理三线共点定理指的是三角形的垂心、重心和外心连线交于同一点。
具体的小点包括：1. 三线共点定理的证明和解释2. 三线共点定理的几何意义3. 三线共点的应用案例五、三线与其他几何属性的关系三线与其他几何属性存在着一定的关系，比如与旁心连线、内切圆圆心连线等。
具体的小点包括：1. 三线与旁心连线的关系2. 三线与内切圆圆心连线的关系3. 三线与其他特殊点的关系4. 三线与三角形面积、周长等属性的关系5. 三线与三角形相似性和共线性的关系总结：三角形的三线指的是垂心连线、重心连线和外心连线。
这三条线段具有特定的定义和性质，在几何学中有着重要的地位和应用。
通过研究三线的长度、角度和关系，我们可以深入了解三角形的特性以及与其他几何属性的关联，从而在数学问题的解决中有所应用。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线是哪三(二)2024
三角形的三线是哪三（二）引言概述：三角形的三线是指三角形的三个特殊线段，即三垂线、三中线和三角形的两个角平分线。
这些特殊的线段在三角形中具有重要的几何性质和关系。
本文将详细介绍三角形的三线是哪三，并探讨它们的特点和应用。
正文：1. 三垂线：- 定义和特性：三垂线分别由三角形的三个顶点向对边作垂直线段所得。
它们交于一个点，称为三角形的垂心。
- 线段比例关系：三垂线上的线段具有特殊比例关系，即任意两垂线上的线段比例相等。
- 垂心的性质：垂心到三个顶点的距离相等，且垂心到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：三垂线的交点垂心可以用来证明一些重要的几何定理，如欧拉定理和垂心四边形性质等。
2. 三中线：- 定义和特性：三中线分别连接三角形的三个顶点与对边中点，并交于一点，称为三角形的重心。
- 重心的性质：重心将三角形的每条中线分成两部分，且其中一部分的长度是另一部分的二倍。
- 重心与三个顶点的关系：重心到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 应用举例：三中线与三角形的其他元素（如内接圆、内切圆）之间存在一些有趣的关系，可以用来证明三角形的一些性质。
3. 三角形的两个角平分线：- 定义和特性：三角形的两个角平分线分别由一个角的顶点分别向对边的两个角平分点作垂直线段所得。
它们的交点称为角平分点。
- 角平分线的性质：角平分线与对边一起构成一组相似三角形，且角平分点到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 角平分点的性质：角平分点到对边的距离相等，且角平分点到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：角平分线的性质可以用来证明一些角度和边长的比例关系，以及角平分线定理等。
4. 三线的关系与性质：- 三线共点定理：三垂线、三中线和两个角平分线的交点共线，并且该点称为三角形的费马点或第一等心点。
- 三线的对偶定理：三垂线和两个角平分线的中垂线与三中线相交于同一点。
- 三线长度的性质：三垂线长的和等于三中线长的一半，而垂径长的和等于中线长的两倍。
三角形定理
2.1按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.2按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
【注意】（1）任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
3.1三条重要的线（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线；（2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
【注意】（1）三角形的角平分线、中线和高都有三条； （2）三角形的三条角平分的交点是三角形的“内心”。
五、三角形1 定义2 分类3 相关概念1.1三角形：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形。
1.2边：组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a 、b 、c 或AC 、AB 、BC 。
1.3顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
1.4角：相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。
1.5记法：三角形用符号“△”来表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作△ABC ，读作“三角形ABC”。
Aabc BC3.2三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.3三角形的内角：三角形的内角和等于180°，∠1+∠2+∠3=180°。
3.4三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角； （2）性质：①三角形的一个外角与相邻的内角互补，∠1+∠4=180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠2+∠3=∠4； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠4＞∠3或∠3＜∠4。
三角形三线定理
的是努力使弱点趋于最小,
使机会趋于最大
O
T ST对策
最小与最大对策,即着重考 苦乐
虑优势因素和威胁因素,目 参半
大
小
的是努力使优势因素趋于 最大,是威胁因素趋于最小。
SO对策
最大与最大对策,即着重考 虑优势因素和机会因素,目 的在于努力使这两种因素 都趋于最大。
理想
PEST法
政治／法律:
•垄断法律 •环境保护法 •税法 •对外贸易规定 •劳动法 •政府稳定性
经济
•经济周期 •GNP趋势 •利率 •货币供给 •通货膨胀 •失业率 •可支配收入 •能源供给 •成本
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
三角形三线定理
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三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线,顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高,
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线.
基础练习
1、点D是△ABC的BC边上的一点。 A ∵BD=CD,
∴线段AD是△ABC的中__线_
B
D
C
∵∠BAD=∠CAD,
A
∴线段AD是△ABC的角__平__分_ 线
B
D
C
A
∵∠ADC=90°,
∴线段AD是△ABC的_高__
B
D
C
2、如图,AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中线 、高。
巧用等腰三角形＂三线合一＂定理
Ｃ
例 ｌ 已知 如 图 １ ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＝２ Ａ Ｃ ， ＬＢ Ａ Ｄ＝ Ｃ Ａ Ｄ， Ｄ Ａ＝Ｄ Ｂ， 求证 Ｄ Ｃ上Ａ Ｃ 分析 欲 证 Ｄ腰三角形． 。 ． ‘ Ａ Ｄ是底边 Ｅ Ｃ上的高 ， 由“ 三线合一 ” 定理知 Ａ Ｄ是 Ｅ Ｃ边 上的中线 ，
．
．
ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ ， Ｃ Ｄ上Ａ 于
延 长线必过 Ｂ Ｃ边 的中点 ， 证 明请 同学们 自己完成．
Ｄ， 求 证 厶４ ＝２ ＬＢ Ｃ Ｄ
Ｂ
（ 图５ ）
Ｃ
三、 巧 用等 腰三角形底边上的高线是底边上 的中线
例 ３ 已知 如 图 ３ ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ＝２ Ｃ ， Ａ Ｄ上
分 析 ’ ． ‘ ：２
简， 化难为易 的绝妙效果 ， 下面举例加 以说 明， 供 同学 们
学 习时参考．
一
Ｃ， ． ’ ． 延长 Ｂ Ｅ到 Ｅ使 Ｂ Ｅ＝ Ｂ Ａ， 连结 Ａ Ｅ， 贝 ０
＝
、
巧用等腰三角形底边上 的中线是 底边上的高线
￣ ／ ＿ Ａ Ｓ Ｃ ＝ Ｌ Ｃ ，
分 析 欲 证 Ａ Ｏ 平 分
鲋 Ｃ， ． 。Ａ Ｂ ：ＡＣ ．ＡＡ ＢＣ
Ｄ Ｅ ． 又只需证 ＡＤ Ａ Ｂ ￣ ＡＤ Ａ Ｅ而这 由已知条件 是不难 证得 的， 证明请 同学们 自己完成．
说 明此题 还有 别的证法请同学们思考后 自己完 成．
二、 巧用等腰三角形底边上 的中线是顶角平分线 例 ２ 已知如 图 ２ ， Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ， Ｍ、 Ｎ分别是 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ的
点， ． 。 ． Ｂ Ｍ＝ ＭＣ ． 于是有 Ａ Ｂ＋（ Ｂ Ｍ— Ｄ Ｍ）＝ Ｄ Ｍ＋ Ｂ Ｍ，
初中三角形的定理
初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
“三线合一”性质的逆定理
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。
证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。
证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE, ∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。
三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。
证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。
（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理②的简单应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
直角三角形的三线定理
直角三角形的三线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90度，另外两个角度的和为90度。
在直角三角形中，存在一些特殊的线段，它们之间存在一定的关系，这就是直角三角形的三线定理。
三线定理规定了直角三角形中的三条线段：高、斜边和直角边，它们之间的关系如下：1. 高与斜边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与斜边c之间的关系为h = a*b / c，其中a和b分别为直角边的长度。
2. 高与直角边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与直角边a之间的关系为h = a*tanB，其中B为直角三角形的另一个角度。
3. 斜边与直角边的关系：在直角三角形中，直角边a和斜边c之间的关系为a^2 + b^2 = c^2，这就是著名的勾股定理，也是直角三角形的基本性质之一。
直角三角形的三线定理可以用于计算直角三角形的各条边长和角度，帮助解决与直角三角形相关的数学题目。
同时，三线定理也在实际生活中有广泛的应用，例如测量建筑物的高度、导航和航海定位等领域。
总结：直角三角形的三线定理是描述直角三角形中三条线段之间关系的定理。
它包括了高与斜边的关系、高与直角边的关系以及斜边与直角边的关系。
通过利用三线定理，我们可以计算直角三角形的各边长和角度，解决与直角三角形相关的问题。
直角三角形的三线定理不仅仅在数学中有着重要的作用，也在实际生活中应用广泛。
注：本文所述的直角三角形的三线定理是基于几何学中的传统定义，不涉及特殊的情况或非欧几何学的扩展。
三角形三线合一定理的逆定理
三角形三线合一定理的逆定理一、啥是三角形三线合一定理。
在说逆定理之前，咱得先知道啥是三角形三线合一定理。
在一个等腰三角形里哦，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线是重合的，就像三个小伙伴约好了在同一条线上玩耍似的。
这个定理可神奇啦，它能帮我们解决好多关于等腰三角形的问题呢。
比如说，只要知道一个三角形是等腰三角形，又知道一条线是顶角平分线，那我们就能直接说这条线也是底边上的中线和高。
二、逆定理的内容。
那这个定理的逆定理是啥呢？简单来说，如果在一个三角形里，一条线段既是这个三角形的一个角的平分线，又是这个角对边的中线，还同时是这条对边的高，那这个三角形就是等腰三角形。
就好比一个人同时扮演了三个重要的角色，那这个三角形就有了特殊的身份——等腰三角形。
三、为啥这个逆定理成立呢。
咱可以这么想哈。
假设在三角形ABC里，AD是∠BAC的平分线，同时AD又是BC 边上的中线和高。
因为AD是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又因为AD是高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
而且AD还是中线，那BD = DC。
这时候我们就可以用全等三角形的判定啦。
在三角形ABD和三角形ACD里，∠BAD = ∠CAD，AD = AD（这是公共边哦），∠ADB = ∠ADC，根据角边角（ASA）判定定理，就可以知道三角形ABD全等于三角形ACD。
那AB = AC，这个三角形ABC不就是等腰三角形了嘛。
四、逆定理的应用。
这个逆定理在解题的时候可有用啦。
比如说给你一个三角形，告诉你一条线有这三个身份，那你就可以马上判断这个三角形是等腰三角形。
这就像给你一把钥匙，你就能打开通往答案的那扇门。
像在一些几何证明题里，如果我们能发现这个逆定理的条件，就可以很巧妙地得出三角形是等腰三角形的结论，然后再进一步去求其他的量，像角度啊、边长啊之类的。
五、和原定理的联系。
这个逆定理和原定理就像是一对好兄弟。
原定理是从等腰三角形这个身份推出三线合一，逆定理呢是从三线合一推出等腰三角形这个身份。
利用杠杆原理证明三角形的三线共点
利用杠杆原理证明三角形的三线共点在《三角形重心原理和杠杆原理》一文，说了点数学结论里面的物理原理，数理本就一家，今天我们再来一次如此的探讨。
我们用杠杆原理证明三角形里闻名的三线共点。
只是并不打算一个一个证明，因为所有的三线共点都能够归结为闻名的塞瓦定理，只要我们能证明塞瓦定理，所有的三线共点都只是其中的一种专门情形而已，这一点我在《三角形的那些三线共点的证明》一文里差不多专门详细阐述。
先看今天的主角——杠杆原理：质点组的重心在两质点的连线上，且到两质点的距离与这两点的质量成反比。
用图形话的语言来说确实是：假如O点是G和M的平稳点，G点和H点的质量为G何H，他们到平稳点的距离为m和n，则一定有Gm=Hn。
反之，若O点的位置满足Gm =Hn。
则O点一定是G和H的平稳点。
今天确实是要用杠杆原理来证明塞瓦定理，因此第一要明白什么是塞瓦定理。
塞瓦定理：在△ABC中，过三顶点向对边做线段，AX、BY、CZ，则这三条线段交于一点的充要条件是：看这结论多漂亮！我们现在用杠杆原理来证明证明：设BX=a，XC=b，CY=c，YA=d，AZ=e，ZB=f。
在B点放置质量为a的质点，C点放置质量为b的质点，A点放置质量为bd/c的质点，至于什么缘故要如此放，看下图就明白：之因此如此放，确实是因为这时候B点和C点的重心就在X点（因为满足杠杆原理），A点和C点的重心确实是Y点。
因此，质点组(A,B,C)的重心一定在直线AX上,又在BY上，也就必定是AX和BY的交点了，假如我们能证明该质点组的重心还在CZ上的话，那就说明CZ过AX和BY 的交点了，因为一个质点组的重心只有一个，从而证明了AX，BY和CZ 共点。
而依据条件：唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
而对那些专门讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。