河南省驻马店名校2016-2017学年高二上学期期末质量检测 数学(理)Word版含答案
2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)及参考答案与解析
2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b33.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.1285.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.20178.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣49.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.4012.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为.14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为.15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式＞1的解集为()A.(﹣∞，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)【解答】解：不等式可化为x(x﹣1)＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集为(0，1)，故选B.2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()A.a＝1，b＝0B.＜C.a2＞b2D.a3＞b3【解答】解：A.当a＝1，b＝0时，满足a＞b，反之不成立，则a＝1，b＝0是a ＞b的一个充分不必要条件.B.当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C.当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D.由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故选：A3.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()A. B. C. D.【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA＝，∴sinA＝＝，由正弦定理得，，则sinB＝＝＝，故选D.4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()A.16B.32C.64D.128【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴，解得a＝2，q＝2，∴a6＝2×25＝64.故选：C.5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akmB.2akmC.akmD.akm【解答】解：根据题意，△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∵AC＝akm，BC＝2akm，∴由余弦定理，得cos120°＝，解之得AB＝akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D.6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点E，F满足＝3，＝3，∴B(4，4，0)，E(4，3，4)，D(0，0，0)，F(0，1，4)，＝(0，﹣1，4)，＝(0，1，4)，设异面直线BE与DF所成角为θ，则cosθ＝＝＝.sinθ＝＝，∴BE与DF所成角的正弦值为.故选：A.7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()A.1008B.1009C.2016D.2017【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1009＝1，∴S2017＝(a1＋a2017)＝2017a1009＝2017.故选：D.8.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，由，得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1＋x2＝1，y1•y2＝k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝k2[x1•x2﹣(x1＋x2)＋1]'则•＝x1•x2＋y1•y2＝x1•x2＋k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝﹣3.故选：C.9.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A. B. C. D.【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝.故选D.10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣【解答】解：∵，∴⇒4＝AC2＋AB2﹣2AC•ABcosA⇒4＝AC2＋AB2＋AC•AB≥2A•CAB＋AC•AB＝3AC•AB⇒AC•AB≤∴•＝AC•ABco s120°≤，则•的最大值为，故选：A.11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()A.16B.24C.32D.40【解答】解：正实数a，b满足＋＝1，∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b＝2a＝4时取等号.b＋2a＝ab.∴(a＋2)(b＋4)＝ab＋2(b＋2a)＋8＝3ab＋8≥32.故选：C.12.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA＝QP，则QA﹣QO＝QP﹣QO＝OP＝R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣，]，tanx ＞m.【解答】解：命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣，]，tanx＞m”，故答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为[0，] .【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z＝x＋2y化为：y＝﹣＋，当y＝﹣＋经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A(，)，则z＝x＋2y的最小值为：0；最大值为：＝.则z＝x＋2y的取值范围为：[0，].故答案为：[0，].15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.【解答】解：设双曲线的右焦点为F′(4，0)，由题意，A，P，F′共线时，△APF 周长最小，直线AP的方程为y＝(x﹣4)，即4x＋3y﹣16＝0，∴点F到直线AP的距离为＝，故答案为：16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为820.＋(﹣1)n a n＝2n﹣1，【解答】解：由于数列{a n}满足a n＋1故有a2﹣a1＝1，a3＋a2＝3，a4﹣a3＝5，a5＋a4＝7，a6﹣a5＝9，a7＋a6＝11，…a50﹣a49＝97.从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a9＋a7＝2，a12＋a10＝40，a13＋a11＝2，a16＋a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.{a n}的前40项和为10×2＋(10×8＋×16)＝820，故答案为：820三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.【解答】(本题12分)解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为：2x2﹣x＞0⇒x(2x﹣1)＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…(6分)(2)不等式f(x)＋1＞0即(m＋1)x2﹣mx＋m＞0∵不等式f(x)＋1＞0的解集为，所以是方程(m＋1)x2﹣mx＋m＝0的两根因此⇒. …(12分)18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值；(2)求边b，c.【解答】解：(1)由在△ABC中，a2﹣c2＝b2﹣①，整理得cosA＝＝，则sinA＝＝；(2)∵S＝bcsinA＝24，sinA＝，∴bc＝80，将a＝6，bc＝80代入①得：b2＋c2＝164，与bc＝80联立，解得：b＝10，c＝8或b＝8，c＝10.19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解：(1)由题得a n2＋a n＝2S n，a n＋12＋an＋1＝2S n＋1，两式子相减得：结合a n＞0得a n＋1﹣a n＝1 …..(4分)令n＝1得a12＋a1＝2S1，即a1＝1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n＝n…..(6分)(2)因为b n＝＝(n≥2)所以T n＝＋…＋①T n＝＋…＋＋②…..(8分)①﹣②得T n＝1＋＋…＋﹣＝﹣，所以数列{b n}的前n项和T n＝3﹣.…..(12分)20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.【解答】解：当P真时，f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，有△＝4﹣4a＜0，解得a＞1.…..(2分)当q真时，即使g(x)＝ax2﹣ax﹣6＋a在x∈[1，3]上恒成立，则有a＜在x∈[1，3]上恒成立，而当x∈[1，3]时，＝≥，故a＜.…..(5分)又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..(6分)当p真q假时，a＞1.…..(8分)当p假q真时，a＜…..(10分)所以实数a的取值范围是(﹣∞，)∪(1，＋∞)…..(12分)21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.【解答】解：(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2，∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..(2分)D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，1，)，C(0，1，0)，，＝(0，1，)，＝(0，1，0)，的法向量为，设平面ADB则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，…..(4分)设直线DC与平面所ADB1成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝，∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..(6分)(2)假设存在点P(a，b，c)，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，设＝，由A1(0，0，)，得(a﹣1，b，c)＝λ(﹣a，﹣b，)，∴，解得，B1(0，1，)，C1(﹣1，1，)，＝(﹣1，0，0)，＝(，﹣1，﹣)，设平面的法向量为＝(x，y，z)，则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，….(9分)由(1)知，平面AB1C1D的法向量为＝(0，﹣，1)，∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°＝＝＝.由λ＞0，解得λ＝2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP＝2PA1.22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，＝动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率；(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)，P(x0，y0)，由＝得x0＝x，y0＝y …..(2分)因为x02＋y02＝3，所以x2＋3y2＝3，即＝1，其离心率e＝.…..(4分)(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，|AB|＝.(5分)②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知，得.(6分)把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2﹣3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝(7分)∴k≠0，|AB|2＝(1＋k2)(x2﹣x1)2＝3＋≤4，当且仅当9k2＝，即k＝时等号成立，此时|AB|＝2.(10分)当k＝0时，|AB|＝.(11分)综上所述：|AB|max＝2，此时△AOB面积取最大值＝(12分)。
2016-2017学年河南省高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年河南省高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是A. 2,210x R x ∀∈+≤B. 2,210x R x ∃⊂+>C. 2,210x R x ∃∈+<D. 2,210x R x ∃∈+≤2.复数11z i =-的共轭复数是 A. 1122i + B. 1122i - C. 1i - D.1i +3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是A. 4B. 8 D.与m 有关4.当x 在()-∞+∞上变化时，导函数()f x '的符号变化如下表：则()f x 图象的大致形状为5.如图所示，程序的输出结果为132S =,则判断框中应填 A. 10?i ≥ B. 11?i ≥ C. 11?i ≤ D. 12?i ≥6.用数学归纳法证明不等()1111112224n N n n n *+++>∈++ 式的过程中，由n k =递推到1n k =+时，下列说法正确的是 A.增加了一项()121k + B. 增加了两项121k +和()121k +C.增加了B 中两项，但又少了一项11k + D. 增加了A 中一项，但又少了一项11k + 7.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 38.已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F 点，P 为椭圆C 上一动点，定点()2,4A ，则P A P F -的最小值为A. 1B. 1-D.9.已知向量123,,a a a均为单位向量，则1a =⎝⎭是113a a a ++=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.设球的半径为时间t 的函数()R t ，若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 11.到两条相互垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D.双曲线12.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()1212,x x x x <，则 A. ()()1210,2f x f x >>-B. ()()1210,2f x f x <<- C. ()()1210,2f x f x ><- D. ()()1210,2f x f x <>-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+= .14. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点，且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .15.已知双曲线E 的中线在原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的方程式为 .16.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，10,,a s t =是互不相等的正整数，则有()()110t s s a t a ---=”，类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R,命题()():52xq f x m =--是减函数，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b b a +=>>的离心率为2，且22.a b =（1）求椭圆的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于A,B 两点，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.19.（本题满分12分）已知函数()()32,,.f x x ax bx c a b c R =-++∈（1）若函数()f x 在1x =-和3x =处取得极值，试求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,6x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,ABCD ,,,1,2,PA PD PA AD AB AD AB AD AC CD ⊥=⊥====（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ，若存在，求AMAP的值，若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，直线L 的方程4.x =（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任意一条弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）设函数() 2.xf x e ax =--（1）求()f x 的单调区间；（2）若1,a k =为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.。
2016-2017年河南省驻马店市名校联考高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．2．（5分）若f（x）=f′（1）x2+e x，则f（1）=（）A．e B．0C．e+1D．e﹣13．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0B．3x+4y=0C．3x+4y﹣12=0D．6x+8y﹣25=0 5．（5分）在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，则t=（）A．B．C．D．7．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣0.5，0.2）C．（﹣2，1）D．（﹣0.5，1）9．（5分）若0＜x＜1，则的最小值为（）A．B．1+C．2+D．3+10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A．p B．C．2p D．11．（5分）从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种．A．87B．88C．89D．9012．（5分）已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）过函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为．15．（5分）若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为．16．（5分）已知：；；，利用上述结果，计算：13+23+33+…+n3=．三.解答题：17．（10分）已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）．（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求△ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．19．（12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭．若用a n，b n分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求a n+b n的值（2）写出数列{a n}的递推关系式（3）求出数列{a n}和{b n}的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意．20．（12分）已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求实数m的取值范围．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EF⊥A1C（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为α，求tanα的最小值．22．（12分）已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C 上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．【分析】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．【解答】解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴，且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是．故选：A．2．（5分）若f（x）=f′（1）x2+e x，则f（1）=（）A．e B．0C．e+1D．e﹣1【分析】由f（x）=f′（1）x2+e x，求导得：f′（x）=2f′（1）x+e x，令x=1，解得f′（1）=﹣e．f（x）=﹣ex2+e x，可得f（1）．【解答】解：由f（x）=f′（1）x2+e x，求导得：f′（x）=2f′（1）x+e x，令x=1可得，f′（1）=2f′（1）+e，解得f′（1）=﹣e．∴f（x）=﹣ex2+e x，∴f（1）=﹣e+e=0．故选：B．3．（5分）若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：=（﹣5，﹣1，﹣3），=（﹣2，3，﹣1），=（3，4，2），=10﹣3+3=10＞0，可得A为锐角，同理可得B，C也为锐角．==，同理可得=，=．∴△ABC为不等边锐角三角形．故选：A．4．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0B．3x+4y=0C．3x+4y﹣12=0D．6x+8y﹣25=0【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，①﹣②得：，即，∴．∴以点为中点的弦所在的直线方程为y﹣，整理得：3x+4y﹣12=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简可求tanA=2，进而利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简整理即可得解．【解答】解：∵，∴bcsinA=×2bccosA，解得：tanA=2，∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=2，整理可得：tanB+tanC﹣2tanBtanC=﹣2，故选：D．6．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，则t=（）A．B．C．D．【分析】先分别求出a1，a2，a3，由等比数列{a n}中，，能求出t的值．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，且，∴a1=S1=2017×2016﹣2018t，a2=S2﹣S1=（2017×20162﹣2018t）﹣（2017×2016﹣2018t）=2017×2016×2015，a3=S3﹣S2=（2017×20162﹣2018t）﹣（2017×20162﹣2018t）=2017×20162×2015，∵等比数列{a n}中，，∴（2017×2016×2015）2=（2017×2016﹣2018t）×（2017×20162×2015），解得t=．故选：C．7．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AA1C1C所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，∴A（0，0，0），D（，，1），=（），平面AA1C1C的法向量=（1，0，0），AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣0.5，0.2）C．（﹣2，1）D．（﹣0.5，1）【分析】由已知中不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可得a ﹣1＞0，{﹣b，}={﹣1，3}，即a=5，b=﹣3，则不等式x2+bx﹣2a＜0可化为：x2﹣3x﹣10＜0，解得答案．【解答】解：若不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则a﹣1＞0，{﹣b，}={﹣1，3}，即a=5，b=﹣3，故不等式x2+bx﹣2a＜0可化为：x2﹣3x﹣10＜0，解得：x∈（﹣2，5），故选：A．9．（5分）若0＜x＜1，则的最小值为（）A．B．1+C．2+D．3+【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵0＜x＜1，∴﹣1＞0，∴=﹣1++1≥2+1=1+2，当且仅当﹣1=即x=﹣1时“=”成立，故选：B．10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A．p B．C．2p D．【分析】设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l′：x=﹣．如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=|AB|，可得|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|=|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x轴，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到k AB=tan60°=，当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l′：x=﹣．如图所示，①当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．∵|AF|=3|BF|=|AB|，∴|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|=|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=|AB|，可得∠BAC=60°．∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．∴k AB=tan60°=，直线方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，可得3x2﹣5px+p2=0，∴|AB|==p，②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得k AB=﹣．|AB|=p综上可知：|AB|=p，故选：D．11．（5分）从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种．A．87B．88C．89D．90【分析】根据题意，由小明“跨两级台阶”的次数分6种情况讨论，每种情况下分析需要跨台阶的次数，利用组合数公式计算可得每种情况下的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从一楼到二楼共有十级台阶，小明“跨两级台阶”的次数有6种情况，则分6种情况讨论：①、每次都是跨一级台阶，则有1种情况，②、有1次跨两级台阶，即有8次跨一级台阶，有C91=9种情况，③、有2次跨两级台阶，即有6次跨一级台阶，有C82=28种情况，④、有3次跨两级台阶，即有4次跨一级台阶，有C73=35种情况，⑤、有4次跨两级台阶，即有2次跨一级台阶，有C64=15种情况，⑥、全部都是跨两级台阶，有1种情况，则共有1+9+28+35+15+1=89种；故选：C．12．（5分）已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4B．17，13﹣4C．19，12﹣4D．20，13﹣4【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）过函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是[0，）∪[，π）．【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【解答】解：由y=f（x）=x3﹣3x2+2x+5，得y′=3x2﹣6x+2，设函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则y′=3x02﹣6x0+2=3（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴函数f（x）=x3﹣3x2+2x+5图象上任一点的切线的倾角的取值范围是[0，）∪[，π）．故答案为：[0，）∪[，π）．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为[﹣1，] ．【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解答】解：画出满足条件不等式组的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y∈[﹣1，2]，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线﹣x+y=0，可得z=﹣x+y∈（﹣1，]．所以z=|x|+y的取值范围为：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．15．（5分）若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为．【分析】根据两点间的距离公式与双曲线的定义，可得点P的轨迹是以F1（﹣5，0）、F2（5，0）为焦点的双曲线的左支．由题中数据求出双曲线的方程，再将y=4代入解出x的值，即可得出点P的横坐标．【解答】解：设点P（x，y），F1（﹣5，0），F2（5，0），可得点P满足|PF2|﹣|PF1|=6，可得点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的左支．又∵c=5，2a=6，得a=3，∴b2=c2﹣a2=25﹣9=16，因此该双曲线的方程为=1（x＜0），若点P的纵坐标是4，则将y=4代入双曲线方程解得x=﹣3（正值舍去）．∴点P的横坐标为．故答案为：．16．（5分）已知：；；，利用上述结果，计算：13+23+33+…+n3=．【分析】利用n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，再叠加，结合条件，可得结论．【解答】解：∵（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1，∴（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，∴n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，…34﹣24=4×23+6×22+4×2+124﹣14=4×13+6×12+4×1+1上述n个等式相加，得（n+1）4﹣14=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，∴4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n=（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]=（n+1）（n3+n2）∴13+23+…+n3=，故答案为．三.解答题：17．（10分）已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）．（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）由双曲线方程可知双曲线的焦点在x轴上，进一步可得椭圆的焦点在x轴上，求出椭圆的半焦距与双曲线的实半轴长，列等式求得m值；（2）由方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，双曲线﹣=1的离心率e∈（，）分别求出m的范围，结合“p∧q”是真命题，取交集得答案．【解答】解：（1）由双曲线﹣=1，得m＞0，且a2=5，a=．∵椭圆+=1的焦点和双曲线﹣=1的顶点重合，∴椭圆+=1的焦点在x轴上，且a2=9﹣m，b2=2m，则，∴，解得m=；（2）∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3，∵双曲线﹣=1的离心率e∈（，），∴（），即，若“p∧q”是真命题，则＜m＜3．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求△ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）A、B、C成等差数列，求出B，利用余弦定理求出a，即可求△ABC 的面积；（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，b2=ac，再用余弦定理，求出a=c，即可试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，由余弦定理，可得7=4+a2﹣2a，∴a=3，∴△ABC的面积S==；（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列∵sin2B=sinAsinC，∴b2=ac，∴cosB==，∴a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形19．（12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭．若用a n，b n分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求a n+b n的值（2）写出数列{a n}的递推关系式（3）求出数列{a n}和{b n}的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意．【分析】（1）由已知可得：a1=，a2==．同理可得：b1=，b2=．n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，b n=b n•（1﹣30%）+a n﹣1•20%．可得a n+b n=1．﹣1（2）n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，化为：a n=a n﹣1+．由（1）可得：b n=1﹣a n﹣1，即可得出．﹣1（3）由（2）可得：a n=+，变形为：a n﹣=．利用等比数列的通项公式可得a n﹣．进而得到b n=1﹣a n．【解答】解：（1）由已知可得：a1=，a2==．同理可得：b1=，b2==．n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，b n=b n﹣1•（1﹣30%）+a n﹣1•20%．∴a n+b n=a n﹣1+b n﹣1=…=a1+b1==1．（2）n≥2时，a n=a n﹣1（1﹣20%）+b n﹣1•30%，化为：a n=a n﹣1+．=1﹣a n﹣1，由（1）可得：b n﹣1∴a n=a n﹣1+（1﹣a n﹣1）=+．（3）由（2）可得：a n=+，变形为：a n﹣=．=﹣，∴数列{a n﹣}是等比数列，首项为﹣，公比为．∴a n﹣=．即a n=．∴b n=1﹣a n=+．n→+∞时，米饭a n→=1200份，面条b n→=800份．因此随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条分别为1200、800份，才能使广大师生员工满意．20．（12分）已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求实数m的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意解得a=1，求出曲线y=f（x）在x=2处的切线的斜率和f（2），由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得m（+1）+x+1＞0，x∈[2，4]，即为m＞（﹣x）max，x ∈[2，4]，由一次函数的单调性，可得最大值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）f（x）=aln（x﹣1）+x，导数f′（x）=+1，则f′（2）=a+1=2，解得a=1，f（x）=ln（x﹣1）+1，f′（x）=+1，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1+1=2，f（2）=ln1+2=2，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣2=x﹣2，即为g（x）=x；（2）h（x）=mf′（x）+g（x）+1=m（+1）+x+1，对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，即为m（+1）+x+1＞0，x∈[2，4]，即有m•+x+1＞0，即为m＞（﹣x）max，x∈[2，4]，由﹣x≤﹣2=﹣，可得m＞﹣．则实数m的取值范围是（﹣，+∞）．21．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EF⊥A1C（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为α，求tanα的最小值．【分析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，则EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A 1C内的射影，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长为4，则CN=1，NF∥AC1，推导出C1⊥A1C，NF⊥A1C，由此能证明EF⊥A1C．（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME，则EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角由此能示出tanα的最小值．【解答】证明：（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C，∴EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个棱长为4，∵CC1=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，则由==，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可知EF⊥A1C．解：（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=α，设∠FAC=θ，则0°＜θ≤45°，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinθ故tanα=，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤故当θ=45°时，tanα达到最小值，∴tanα的最小值为anα=．22．（12分）已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C 上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围．【分析】（1）由已知可得b=c=1，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求出|MN|、|PQ|，求出四边形的面积；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），得到直线l2的方程：y=﹣．分别联立直线方程与抛物线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|MN|、|PQ|，代入四边形面积公式，利用换元法求得四边形PMQN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵在椭圆C上满足条件的点A有且只有两个，∴A点为椭圆短轴两端点，则b=c=1，∴a2=b2+c2=2，则椭圆C的方程为：；（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求得|MN|=4，|PQ|=2，则；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．则，|MN|=．∵l1⊥l2，∴直线l2的方程：y=﹣．令P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0．．∴|PQ|==．∴=．令t=1+k2（t＞1），∴．∴四边形PMQN面积的取值范围是．第21页（共21页）。
【精品】2017学年河南省驻马店市高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜02．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．45．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．37．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．69．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=．三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选：D．2．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：设等差数列的公差为d，依题意得﹣1=﹣9+3d，解得d=，∴，又=﹣9×（﹣1）=9，∴b2=3或b2=﹣3，若b2=3，=﹣9b2=﹣27与＞0矛盾，∴b2=3舍去，∴a2b2﹣a1b2=b2（a2﹣a1）=﹣3×=﹣8．故选：B．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选：C．4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选：B．5．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosA=b，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=，又A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=，又a＞b，∴B=30°．故选：A．6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵a1=﹣1，a2=2，a n+1=a n+a n+2，∴a3=a2﹣a1=3，同理可得：a4=1，a5=﹣2，a6=﹣3，a7=﹣1，…，=a n．∴a n+6则a2016=a335×6+6=a6=﹣3．故选：A．7．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）【解答】解：每一年的销售额形成等比数列{a n}满足，a1=1.1a，a2=1.12a，…，可得：=a×1.1n．∴从今年起10年内这家超市的总销售额==11a（1.110﹣1）．8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．6【解答】解：∵0＜x＜2，f（x）=+，f′（x）=﹣+==．∴当x=时，f（x）取得最小值=2+6=8．故选：A．9．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜，π，且0＜B+A＜π，由①，A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①对由②，因为△ABC中，利用余弦函数在（0，π）递减，可得A＞B，则cosA＜cosB，故②对．对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A＞sin2B，所以③不对；对于④，因为在锐角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以利用二倍角公式即1﹣2sin2 A＜1﹣2sin2 B，∴cos2A ＜cos2B，故④对．正确的是：①②④故选：D．10．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选：A．11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．故选：B．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．∴a≤﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1]．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=768．【解答】解：∵a n=3S n（n∈N+），∴n=1时，a2=3；+1n≥2时，a n=3S n﹣1，可得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，∴a6==3×44=768．故答案为：768．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=30°．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：根据图形及向量的平行四边形法则得到：=﹣，由点D为边BC的中点，得到=，则•==，而•=（a2﹣ac），得到=（a2﹣ac），即a2+c2﹣b2=ac，则cosB===，又B∈（0，180°），所以B=30°．故答案为30°三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．【解答】解：∵＞1（a＞0），∴＞0，0＜a＜1时，解得：2＜x＜，a=1时，解得：x＞2，a＞1时，解得：x＞2或x＜．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．∴n=1时，a1=；n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2•a n﹣1=．可得3n﹣1a n=，∴a n=．n=1时也成立．∴a n=．（2）a n b n=n，∴b n=n•3n．∴数列{b n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，解得S n=．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．【解答】证明：（1）∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，即2sinAsinC﹣2sin2B=0，即sinAsinC=sin2B，即ac=b2，∴a，b，c依次成等比数列；解：（2）若b=2，则ac=4，则u=||=||=|a﹣c|+||≥2，当且仅当|a﹣c|=时，u=||取最小值2，此时cosB===．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：当a＞0时，若命题p：A=∅为真，则，解得：a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），∴a∈（1，+∞），若命题q：B=R为真．则2﹣4≤0，解得：a∈（0，4]（1）若p∧q为真，则a∈（1，4]，故a的最大值为4；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，则p，q一真一假，若p真q假，则a∈（4，+∞），若p假q真，则a∈（0，1]，综上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．【解答】证明：（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，），F（1，2，0），=（0，1，），=（0，2，0），=（﹣2，0，0），∴=0，=0，∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF．解：（2）设面BCD的法向量为，则（0，0，1），设面BDE的法向量为（x，y，z），∵=（﹣1，2，0），=（0，1，），∴，取x=2，得=（2，1，﹣），∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，∴cos＜＞=＜cos45°=，由h＞0，解得h＞，∴h的取值范围是（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答题前，请填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。
3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。
为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。
已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。
A。
100B。
150C。
200D。
2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。
无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。
A。
2B。
3C。
5D。
3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。
A。
$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。
$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。
$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。
$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。
河南省驻马店地区数学高二上学期理数期末考试试卷
河南省驻马店地区数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·莆田期中) 命题“∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n”的否定形式是（）A . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤nB . ∀n∈N，f（n）∉N且f（n）＞nC . ∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）≤n0D . ∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞n04. （2分） (2016高一下·岳阳期末) 若＜＜0，则下列结论正确的是（）A . a2＞b2B . ab＞b2C . a﹣b＜0D . |a|+|b|=|a+b|5. （2分） (2018高三上·哈尔滨月考) 朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。
他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。
“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一上·武邑月考) 已知点，，向量，若，则实数的值为（）A .B .C . 2D . -28. （2分）椭圆的焦点为F1和F2 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么︱PF1︱是︱PF2︱的（）A . 3倍B . 4倍C . 5倍D . 7倍9. （2分） (2016高一下·南安期中) 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（）A . (1,3]B . [2,3]C . (1,2]D . [3,)10. （2分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分） (2016高一下·新疆期中) 已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A . ﹣2B . ﹣C .D . 212. （2分）抛物线上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·吴江模拟) 设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________．14. （1分） (2019高二上·上海月考) 数1与9的等差中项是________.15. （1分） (2018高二上·惠来期中) 在中, ，那么 ________.16. （1分）(2019·全国Ⅰ卷理) 曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知等差数列满足(I)求的通项公式；(II)设等比数列满足问：与数列的第几项相等？18. （10分）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b（b﹣c）=（a﹣c）（a+c），且角B 为钝角．（1）求角A的大小；（2）若a=，求b﹣c的取值范围．19. （5分）(2013·安徽理) 设函数fn（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[ ，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．20. （5分） (2020高三上·海淀期末) 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.21. （10分） (2016高二上·汉中期中) 已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2 ， a3 ， a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式an（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．22. （10分）(2020·广东模拟) 已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.（1）求的方程.（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
河南省驻马店市名校联考2016-2017学年高二上学期期末
2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）：1．不等式的解集为（）A．[﹣3，4]B．[﹣3，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）2．数列{a n}的前n项和，则q=0是{a n}为等差数列的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）A．y=e B．y=x﹣e+C．y=x D．y=4．已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．35．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．37．命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A．4＜m＜5 B．3＜m＜5 C．1＜m＜5 D．1＜m＜38．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A．线段B．直线C．圆D．椭圆9．双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形10．给出下列四个命题，则真命题的个数是（）①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值；③已知p：∃x∈R，使cosx=1，q：∀x∈R，则x2﹣x+1＞0，则“p∧（￢q）”为假命题④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．△PF1F2的内切圆圆心在直线上B．△PF1F2的内切圆圆心在直线x=b上C．△PF1F2的内切圆圆心在直线OP上D．△PF1F2的内切圆经过点（a，0）12．已知f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，﹣2）二.填空题（每小题5分，共20分）：13．若实数a，b满足ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），则（a+3）（b+2）的最小值为．14．已知数列，则此数列前2016项之和为．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积是．16．设a∈R，若函数f（x）=e x+ax有大于0的极值点，则a的取值范围是．三.解答题：17．已知两个命题r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈R，r （x）与s（x）有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A、B两点（1）求出抛物线C的方程以及焦点坐标，准线方程；（2）若直线l经过抛物线的焦点F，当线段AB的长为5时，求直线l的方程．19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sinC﹣sinA（cosB+）=0（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=8，a n=3S n+8（n≥2）﹣1（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）在（1）成立的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R）（1）若函数f（x）的图象在x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式和单调区间；（2）若a=1，且函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）：1．不等式的解集为（）A．[﹣3，4]B．[﹣3，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】若，则，解得答案．【解答】解：∵，∴，∴∴x∈[﹣3，4），故选：B2．数列{a n}的前n项和，则q=0是{a n}为等差数列的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由等差数列的求和公式可得：S n=na1+d=n2+n，即可判断出结论．【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S n=na1+d=n2+n，因此q=0是{a n}为等差数列的充要条件．3．曲线f（x）=在x=e处的切线方程为（）A．y=e B．y=x﹣e+C．y=x D．y=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，可得x=e处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，x＞0，f（x）=在x=e处的切线斜率为f′（x）==0，又f（e）=，则曲线f（x）=在x=e处的切线方程为y﹣=0（x﹣e），即为y=．故选：D．4．已知实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的三角形及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得z=3x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由得A（﹣2，2），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值2，2）=﹣4．∴z最小值=F（﹣5．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．3【考点】余弦定理．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C7．命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A．4＜m＜5 B．3＜m＜5 C．1＜m＜5 D．1＜m＜3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆⇔0＜5﹣m＜m﹣1，解得m范围，【解答】解：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆⇔0＜5﹣m＜m﹣1，解得3＜m＜5．则使命题p成立的充分不必要条件是4＜m＜5．故选：A．8．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A．线段B．直线C．圆D．椭圆【考点】圆方程的综合应用．【分析】设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论．【解答】解：如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．9．双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．【解答】解：双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，所以，所以b2m2﹣a2b2﹣b4=0即m2=a2+b2，所以以a，b，m为边长的三角形是直角三角形．故选C．10．给出下列四个命题，则真命题的个数是（）①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值；③已知p：∃x∈R，使cosx=1，q：∀x∈R，则x2﹣x+1＞0，则“p∧（￢q）”为假命题④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接求出f（1）与f（e）的值，结合零点存在定理判断①；举例说明②错误；首先判断命题p、q的真假，再由复合命题的真假判断判断③；由充分必要条件的判定方法判断④．【解答】解：①∵f（1）=ln1﹣2+1=﹣1＜0，f（e）=lne﹣2+e=e﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点，故①正确；②若f′（x0）=0，则y=f（x）在x=x0处取得极值错误，如f（x）=x2，f′（0）=0，但函数在x=0处无极值；③命题p：∃x∈R，使cosx=1为真命题，命题q：∀x∈R，则x2﹣x+1=＞0为真命题，则￢q为假命题，∴“p∧（￢q）”为假命题，故③正确；④在△ABC中，由A＜B⇔a＜b⇔sinA＜sinB，∴A＜B是sinA＜sinB的充分必要条件，故④错误．∴真命题的个数是2个，故选：B．11．已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．△PF1F2的内切圆圆心在直线上B．△PF1F2的内切圆圆心在直线x=b上C．△PF1F2的内切圆圆心在直线OP上D．△PF1F2的内切圆经过点（a，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，因此|F1M|﹣|F2M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，可得结论．【解答】解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|﹣|PF2|=2a，故|F1M|﹣|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|﹣|F2M|=2a可得（x+c）﹣（c﹣x）=2a解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故选D．12．已知f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，﹣2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．【解答】解；设切点坐标（x0，x03﹣3x），∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3∴曲线y=f（x）在（x0，x03﹣3x）处的切线斜率为3x02﹣3又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为，∴=3x02﹣3即2x03﹣3x02+m+3=0 ①∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程①有3解．令ω（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则ω（x0）图象与x轴有2个交点，∴ω（x0）的极大值与极小值异号ω′（x0）=6x02﹣6x0，令ω′（x0）=0，得x0=0或1∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0﹣3＜m＜﹣2故选D二.填空题（每小题5分，共20分）：13．若实数a，b满足ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），则（a+3）（b+2）的最小值为25．【考点】基本不等式．【分析】解出b，根据（a+3）（b+2）=a（a﹣1+）+17，结合基本不等式的性质求出其最小值即可．【解答】解：∵ab﹣2a﹣b+1=0（a＞1），∴b==2+（a＞1），∴（a+3）（b+2）=4（a+b）+5=4（a+2+）+5=4（a﹣1+）+17≥4•2+17=25，当且仅当a﹣1=即a=2时“=”成立，故答案为：25．14．已知数列，则此数列前2016项之和为1008．【考点】数列的求和．【分析】通过分类讨论可知数列{a n}的通项公式，进而可求出数列{a n}的前2006项和Q2016=1008．【解答】解：记，则a n=，记数列{a n}的前n项和为Q n，则Q2016=2×=1008，故答案为：100815．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|+1，进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|+1=+1=4，所以y0=±2，=|PM||y0|==．∴S△MPF故答案为．16．设a∈R，若函数f（x）=e x+ax有大于0的极值点，则a的取值范围是a＜﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a，由题意知e x+a=0有大于0的实根，由e x=﹣a，得a=﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1，∴a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．三.解答题：17．已知两个命题r（x）：sinx+cosx＞m，s（x）：x2+mx+1＞0．如果对∀x∈R，r （x）与s（x）有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围{m|m≤﹣2或﹣≤m＜2} ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先求出命题r（x）与s（x）成立的等价条件，利用r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题．确定实数m的取值范围．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴要使sinx+cosx＞m恒成立，则m，即：r（x）：m．若x2+mx+1＞0成立，则△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即s（x）：﹣2＜m＜2．若对∀x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，若r（x）为真，s（x）为假，则，解得m≤﹣2．若r（x）为假，s（x）为真，则，解得﹣≤m＜2．综上：m≤﹣2或﹣≤m＜2．故答案为：{m|m≤﹣2或﹣≤m＜2}．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A、B两点（1）求出抛物线C的方程以及焦点坐标，准线方程；（2）若直线l经过抛物线的焦点F，当线段AB的长为5时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的焦点F到准线的距离为2，求出p的值，可得抛物线C的方程，可得焦点坐标，准线方程；（2）设直线l：x=ty+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）∵抛物线的焦点F到准线的距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；焦点F（1，0），准线方程x=﹣1；（2）设直线l：x=ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）则代入y2=4x，消去x得y2﹣4ty﹣4=0，∴y1+y2=4t，y1•y2=﹣4，∴|AB|==5∴t=，∴直线l：x=2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sinC﹣sinA（cosB+）=0（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求tanA=，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式可求b+c=8sin（B+），结合范围B+∈（，），利用正弦函数的性质可求b+c=8sin（B+）的范围．【解答】解：（1）∵sinC﹣sinA（cosB+）=0，∴sinC=sinA（cosB+），可得：sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+sinA，∴cosAsinB=sinA，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴可得：tanA=，由于A∈（0，π），可得：A=．（2）∵A=，，∴由正弦定理可得：=8，可得：b=8sinB，c=8sinC=8sin（﹣B），∴b+c=8sinB+8sin（﹣B）=8sinB+4cosB+4sinB=8（sinB+cosB）=8sin（B+），∵B∈（0，），可得：B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴b+c=8sin（B+）∈．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=8，a n=3S n+8（n≥2）﹣1（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）在（1）成立的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{b n}的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）a1=8，a n=3S n﹣1+8（n≥2），∴a n﹣1=3S n﹣2+8，∴a n﹣a n﹣1=3S n﹣1+8﹣3S n﹣2﹣8=3a n﹣1，∴a n=4a n﹣1，∴{a n}是以4为公比的等比数列，∵a1=8，∴a n=8•4n﹣1=2•4n=22n+1，∴b n=log2a n=2n+1，（2）==（﹣），∴T n= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=．21．已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R）（1）若函数f（x）的图象在x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式和单调区间；（2）若a=1，且函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）将a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，根据f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立转化为b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立求出b的值．【解答】解：（1）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3∴f（x）=x3﹣3x令f′（x）=3x2﹣3≤0得：﹣1≤x≤1，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）递增，在[﹣1，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）当a=1时，f（x）=x3+bx（x∈R），又函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数∴f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立∴b≤﹣3当b=﹣3时，f′（x）不恒为0，∴b≤﹣3．22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与=即可得到关于t 系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．2017年3月4日。
河南省驻马店名校高二上学期期末质量检测 数学(理)Word版含答案 (2)
驻马店名校2016-2017学年上期期末质量检测高二数学理科试题一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1.已知命题p:112x ≤≤,命题q:()(1)0x a x a ---≤,若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________:A.1[0,]2 B.1[,1]2 C.11[,]32 D.1(,1]3 2.若/2()()x f x f x x e =+，则f(1)=（ ）A.eB.0C.e+1D.e-13.若(6,1,4),(1,2,1),(4,2,3)A B C --，则ABC ∆的形状是（ ）A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.已知椭圆221169x y +=，则以点3(2,)2为中点的弦所在的直线方程为（ ） A.8x-6y-7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y-12=0 D.6x+8y-25=05.在ABC ∆中，S 为ABC ∆的面积，且2221()2S b c a =+-，则tanB+tanC-2tanBtanC=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-26.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且201720162018,n n S t =⨯-则t=（ ） A.20152016 B. 20162017 C. 20172018 D. 201820197.在正三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=1，12AA =，D 为1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C所成角的余弦值为（ ）A.12 8.不等式11ax x b+>+的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，则不等式220x bx a +-<的解集为（ ） A.（-2,5） B.（-0.5,0.2） C.（-2,1） D.（-0.5,1） 9.若0<x<1,则121x x x +-的最小值为（ ）A. B.1+ C.2+ D.3+10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点A 、B ，3AF BF =，则AB =（ ）A.p B.43p C.2p D. 83p 11.从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（ ）种A.87B.88C.89D.9012.已知点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，EF 为圆N ：22(1)1x y +-=的任一条直径，则 .PE PF 的最大值和最小值是（ ）A.16,12-B.17,13-C. 19,12-C. 20,13-二.填空题（每小题5分，共20分）13.过32()325f x x x x =-++图象上一个动点作此函数图象的切线，则所作切线倾斜角的取值范围是（ ）14.已知实数x,y 满足不等式组236022010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）15.若点P6=所表示的曲线上的点，同时P 又是直线y=4上的点，则点P 的横坐标为（ ）16.已知：(1)123...2n n n +++++=；(1)(2)1223...(1)3n n n n n ++⨯+⨯+++=； (1)(2)(3)123234...(1)(2)4n n n n n n n +++⨯⨯+⨯⨯++++=， 利用上述结果，计算：3333123..._______n ++++=三.解答题：17.（本题满分10分）已知P:方程22192x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q:双曲线 2215x y m -=的离心率(2e ∈ （1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点与双曲线2215x y m-=的顶点重合，求实数m 的值 （2）若“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围18. （本题满分12分） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c,且A 、B 、C 成等差数列（1）若2b c ==，求ABC ∆的面积（2）若sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，试判断ABC ∆的形状19. （本题满分12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20℅的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30℅的人改买米饭。
河南省驻马店市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析(打印版)
2015-2016学年河南省驻马店市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R(A∩B)=() A．(﹣∞，1]B．(﹣∞，1) C．(0，1]D．[0，1]2．已知复数z1=﹣i，则下列命题中错误的是()A．z12=z2B．|z1|=|z2|C．z13﹣z23=1 D．z l、z2互为共轭复数3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A．B．4 C．2 D．4．已知等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2是{a n+b n}为等比数列的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=()A．B．C．D．6．平面直角坐标系中，点(3，t)和(2t，4)分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为()A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．17．已知实数x，y满足，则z=的取值范围是()A．[0，]B．[，2) C．[，]D．[，+∞)8．将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=()A． B．C．D．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于()A．B．C．D．10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是()A．12 B．24 C．36 D．4811．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为()A．B．C．2D．712．若曲线C1:y=ax2(a＞0)与曲线C2:y=e x存在公共切线，则a的取值范围为() A．B．C．[，+∞) D．二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)13．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．15．已知f(x)=lg﹣x，则f(x)的最小值为．16．数列{a n}的通项a n=n2(cos2﹣sin2)，其前n项和为S n，则S30为．三、解答题(6小题，70分)17．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．(Ⅰ)证明:tan；(Ⅱ)若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表:测试指标[70，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6(I)试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；(Ⅱ)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(I)的前提下，(i)记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；(ii)求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD ∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．(Ⅰ)证明:Q为BB1的中点；(Ⅱ)若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．20．已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；(2)设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．21．设函数f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e处的切线与y轴相交于点(0，2﹣e)．(1)求a的值；(2)函数f (x)能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．(3)当1＜x＜2时，试比较与大小．选做题(请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分)[几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD；(Ⅱ)求BC的长．[坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(，)，半径r=．(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；(Ⅱ)若α∈[0，)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．[不等式选讲]24．函数f(x)=．(Ⅰ)若a=5，求函数f(x)的定义域A；(Ⅱ)设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩(∁R A)时，求证:＜|1+|．2015-2016学年河南省驻马店市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R(A∩B)=()A．(﹣∞，1]B．(﹣∞，1) C．(0，1]D．[0，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．【解答】解:由A中不等式变形得:x(x﹣1)≥0，且x﹣1≠0，解得:x≤0或x＞1，即A=(﹣∞，0]∪(1，+∞)，由B中y=2x+1＞1，即B=(1，+∞)，∴A∩B=(1，+∞)，则∁R(A∩B)=(﹣∞，1]，故选:A．2．已知复数z1=﹣i，则下列命题中错误的是()A．z12=z2B．|z1|=|z2|C．z13﹣z23=1 D．z l、z2互为共轭复数【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z1=﹣i，可得=z2，|z1|=|z2|，，=0．即可判断出．【解答】解:∵复数z1=﹣i，∴=z2，|z1|=|z2|，，因此A，B，D正确．对于C:=0．故选:C．3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A．B．4 C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知:该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．据此即可计算出其体积．【解答】解:由三视图可知:该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．===4．∴V P﹣ABC故选B．4．已知等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2是{a n+b n}为等比数列的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出．【解答】解:等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2=q⇒==q，因此{a n+b n}为等比数列；反之也成立，设{a n+b n}是公比为q等比数列，则a n+b n=，+=，对于∀n∈N*恒成立，∴q1=q2=q．∴q1=q2是{a n+b n}为等比数列的充要条件．故选:C．5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=()A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解:框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；…判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=．算法结束．6．平面直角坐标系中，点(3，t)和(2t，4)分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为()A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．1【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan(α+45°)，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可．【解答】解:由题意得tanα=，tan(α+45°)==而tan(α+45°)===，化简得:t2+5t﹣6=0即(t﹣1)(t+6)=0，解得t=1，t=﹣6因为点(3，t)和(2t，4)分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，所以t=﹣6舍去则t的值为1故选D7．已知实数x，y满足，则z=的取值范围是()A．[0，]B．[，2) C．[，]D．[，+∞)【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化z==1+，由其几何意义(动点与定点连线的斜率)得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图，A(1，0)．z==，的几何意义为可行域内的动点与定点P(﹣1，1)连线的斜率，∵．∴z的取值范围为[，+∞)．8．将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=()A． B．C．D．【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g(x)在x2=，取得最小值，sin(2×﹣2φ)=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g(x)在x2=，取得最大值，sin(2×﹣2φ)=1，此时φ=，满足题意．故选:D．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于()A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣6y+3=0相切⇔圆心(0，3)到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解:取双曲线﹣=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣6y+3=0化为x2+(y﹣3)2=6．圆心(0，3)，半径r=．∵渐近线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，∴=化为a2=2b2．∴该双曲线的离心率e====．故选:C．10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是()A．12 B．24 C．36 D．48【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．【解答】解:由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．11．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为()A．B．C．2D．7【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】由题意，=c••=c2=2，进而可得a2+b2=14≥2ab，即可求出四面体体积的最大值．【解答】解:由题意，=c••=c2=2，∵a2+b2+c2=16，∴a2+b2=14≥2ab，∴ab≤7，∴=≤，∴四面体体积的最大值为，故选:A．12．若曲线C1:y=ax2(a＞0)与曲线C2:y=e x存在公共切线，则a的取值范围为() A．B．C．[，+∞) D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．【解答】解:由y=ax2(a＞0)，得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，∵曲线C1:y=ax2(a＞0)与曲线C2:y=e x存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点()，与曲线C2切于点()，则，将代入，可得2x2=x1+2，∴a=，记，则，当x∈(0，2)时，f′(x)＜0．∴当x=2时，．∴a的范围是[)．故选:C．二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)13．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【考点】定积分的简单应用；几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解:由已知，矩形的面积为4×(2﹣1)=4，阴影部分的面积为=(4x﹣)|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为:．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解:∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=(+)•(﹣)=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为:22．15．已知f(x)=lg﹣x，则f(x)的最小值为lg2．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简f(x)=lg﹣x=lg=lg(10x+10﹣x)，从而利用基本不等式求最值．【解答】解:f(x)=lg﹣x=lg=lg(10x+10﹣x)≥lg2，(当且仅当x=0时，等号成立)；故答案为:lg2．16．数列{a n}的通项a n=n2(cos2﹣sin2)，其前n项和为S n，则S30为470．【考点】数列的求和．【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2(cos2﹣sin2)=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解:∵a n=n2(cos2﹣sin2)=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…= [1+22﹣2×32)+(42+52﹣62×2)+…+]= [(12﹣32)+(42﹣62)+…++(22﹣32)+(52﹣62)+…+]= [﹣2(4+10+16…+58)﹣(5+11+17+…+59)]= [﹣2×]=470故答案为:470三、解答题(6小题，70分)17．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．(Ⅰ)证明:tan；(Ⅱ)若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．【考点】三角函数恒等式的证明．【分析】(Ⅰ)直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．(Ⅱ)通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用(Ⅰ)化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．【解答】证明:(Ⅰ)tan===．等式成立．(Ⅱ)由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由(Ⅰ)可知:tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，则:cosA===．于是sinA==，连结AC，同理可得:cosB===，于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表:测试指标[70，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6(I)试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；(Ⅱ)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(I)的前提下，(i)记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；(ii)求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】(Ⅰ)分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解(Ⅱ)(ⅰ)先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值(ⅱ)设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．由题意，得50n﹣10(5﹣n)≥140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解:(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…(Ⅱ)(ⅰ)随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．所以，随机变量X的分布列为:X 90 45 30 ﹣15P．…(ⅱ)设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得50n﹣10(5﹣n)≥140，解得．所以n=4，或n=5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD ∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．(Ⅰ)证明:Q为BB1的中点；(Ⅱ)若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】(1)由已知得平面QBC∥平面A1AD，从而QC∥A1D，由此能证明Q为BB1的中点．(2)法一:在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，∠AEA1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角，由此求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．(3)法二:以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】(1)证明:∵BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ=B，AD∩AA1=A，∴平面QBC∥平面A1AD，∴平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D．∴△QBC与△A1AD的对应边相互平行，∴△QBC∽△A1AD，∴，∴Q为BB1的中点．(2)解法一:如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E．又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A，所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E．所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BC∥AD，AD=2BC，所以S△ADC=2S△BCA．又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以S△ADC=4，AE=4．于是tan∠AEA1==1，∠AEA1=．故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．(3)解法二:如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．=•2sin60°=6，因为S四边形ABCD所以a=．从而可得C(1，，0)，A1(，0，4)，所以DC=(1，，0)，=(，0，4)．设平面A1DC的法向量=(x，y，1)，由，得，所以=(﹣，，1)．又因为平面ABCD的法向量=(0，0，1)，所以cos＜，＞==，故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．20．已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；(2)设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．【分析】(1)依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；(2)方法一:设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A(x1，y1)、C(x2，y2)在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解:(1)依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；(2)方法一:设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A(x1，y1)、C(x2，y2)在椭圆x2+2y2=1上，∴()()=+4+2(+)=1，即﹣4x1x2y1y2+2(+)=1，所以(x1y2﹣x2y1)2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．21．设函数f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e处的切线与y轴相交于点(0，2﹣e)．(1)求a的值；(2)函数f (x)能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．(3)当1＜x＜2时，试比较与大小．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；(2)函数f (x)不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；(3)当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解:(1)f′(x)=lnx++1﹣a，依题设得=f′(e)，即e+1﹣a(e﹣1)﹣(2﹣e)=e，解得a=2；(2)函数f (x)不能在x=1处取得极值．因为f′(x)=lnx+﹣1，记g(x)=ln x+﹣1，则g′(x)=．①当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，+∞)是增函数，所以g(x)＞g(1)=0，所以f′(x)＞0；②当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)是减函数，所以g(x)＞g(1)=0，即有f′(x)＞0．由①②得f (x)在(0，+∞)上是增函数，所以x=1不是函数f (x)极值点．(3)当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下:由(2)得f (x)在(1，+∞)为增函数，所以当x＞1时，f(x)＞f (1)=0．即(x+1)lnx＞2(x﹣1)，所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．选做题(请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分)[几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD；(Ⅱ)求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【分析】(Ⅰ)连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】(Ⅰ)证明:连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．[坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C(，)，半径r=．(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；(Ⅱ)若α∈[0，)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】(Ⅰ)先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．(Ⅱ)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解:(Ⅰ)∵C(，)的直角坐标为(1，1)，∴圆C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ(cosθ+sinθ)﹣1=0 …(Ⅱ)将代入圆C的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=3，得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3，即t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0．∴t1+t2=﹣2(cosα+sinα)，t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，)，∴2α∈[0，)，∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2)…[不等式选讲]24．函数f(x)=．(Ⅰ)若a=5，求函数f(x)的定义域A；(Ⅱ)设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩(∁R A)时，求证:＜|1+|．【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【分析】(Ⅰ)根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f(x)的定义域A；(Ⅱ)由A、B求出B∩C R A，即得a、b的取值范围，由此证明成立即可．【解答】解:(Ⅰ)a=5时，函数f(x)=，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f(x)的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．(Ⅱ)∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A=(﹣4，1)，∴B∩C R A=(﹣1，1)；又∵，而；当a，b∈(﹣1，1)时，(b2﹣4)(4﹣a2)＜0；∴4(a+b)2＜(4+ab)2，即．2016年7月31日。
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驻马店名校2016-2017学年上期期末质量检测
高二数学理科试题
一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）
1.已知命题p:
112
x ≤≤,命题q:()(1)0x a x a ---≤,若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________:A.1[0,]2 B.1[,1]2 C.11[,]32 D.1(,1]3 2.若/2()()x f x f x x e =+，则f(1)=（ ）
A.e
B.0
C.e+1
D.e-1
3.若(6,1,4),(1,2,1),(4,2,3)A B C --，则ABC ∆的形状是（ ）
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
4.已知椭圆221169
x y +=，则以点3(2,)2为中点的弦所在的直线方程为（ ） A.8x-6y-7=0 B.3x+4y=0 C.3x+4y-12=0 D.6x+8y-25=0
5.在ABC ∆中，S 为ABC ∆的面积，且2221()2S b c a =
+-，则tanB+tanC-2tanBtanC=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
6.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且201720162018,n n S t =⨯-则t=（ ） A.20152016 B. 20162017 C. 20172018 D. 20182019
7.在正三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=1，12AA =，D 为1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C
所成角的余弦值为（ ）A.12 8.不等式11ax x b
+>+的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，则不等式220x bx a +-<的解集为（ ） A.（-2,5） B.（-0.5,0.2） C.（-2,1） D.（-0.5,1） 9.若0<x<1,则
121x x x +-的最小值为（ ）
A. B.1+ C.2+ D.3+10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，
过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点A 、B ，3AF BF =，则AB =（ ）A.p B.43p C.2p D. 83
p 11.从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（ ）种
A.87
B.88
C.89
D.90
12.已知点P 为椭圆22
11612
x y +=上的动点，EF 为圆N ：22(1)1x y +-=的任一条直径，则 .PE PF 的最大值和最小值是（ ）
A.16,12-
B.17,13-
C. 19,12-
C. 20,13-二.填空题（每小题5分，共20分）
13.过32()325f x x x x =-++图象上一个动点作此函数图象的切线，则所作切线倾斜角的取值范围是（ ）
14.已知实数x,y 满足不等式组236022010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）
15.若点P
6=所表示的曲线上的点，同时P 又是直
线y=4上的点，则点P 的横坐标为（ ）
16.已知：
(1)123...2n n n +++++=；(1)(2)1223...(1)3
n n n n n ++⨯+⨯+++=； (1)(2)(3)123234...(1)(2)4
n n n n n n n +++⨯⨯+⨯⨯++++=， 利用上述结果，计算：3333123..._______n ++++=
三.解答题：
17.（本题满分10分）已知P:方程22
192x y m m
+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q:双曲线 2215x y m -=
的离心率(2
e ∈ （1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点与双曲线22
15x y m
-=的顶点重合，求实数m 的值 （2）若“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围
18. （本题满分12分） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c,且A 、B 、C 成等差数列
（1）
若2b c ==，求ABC ∆的面积（2）
若sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，试判断ABC ∆的形状
19. （本题满分12分）本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发
现凡是购买米饭的人下一次会有20℅的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30℅的人改买米饭。
若用n a ，n b 分别表示第n 次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即1112
a b == （1）求n n a b +的值（2）写出数列{}n a 的递推关系式（3）求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意
20. （本题满分12分）已知/,()ln(1),(2)2a R f x a x x f ∈=-+=（1）求a 的值，并求曲线y=f(x)在点（2，f （2））处的切线方程y=g(x)（2）设/()()()1h x mf x g x =++，若对任意的[2,4]x ∈，h(x)>0，求实数m 的取值范围
21. （本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -的各个棱长都相等，E 为BC 的中点，动点F 在1CC 上，且不与点C 重合（1）当14CC CF =时，求证：1EF AC ⊥（2）设二面角C —AF —E 的大小为α，求tan α的最小值
22. （本题满分12分）已知椭圆C ：2
221(1)x y a a
+=>，1F ，2F 分别为左右焦点，在椭圆C 上满足条件12.0AF AF =的点A 有且只有两个（1）求椭圆c 的方程（2）若过点2F 的两条相互垂直的直线1l 与2l ，直线1l 与曲线2
4y x =交于两点M 、N ，直线2l 与椭圆C 交于两点 P 、Q ，求四边形PMQN 面积的取值范围
参考答案：
1-6.ABACDC 7-12.DABDCC
13.3[0,)[,)24π
ππ 14.[-1,3.5] 15.- 16.22(1)4n n + 17.(1)43m =(2)532
m <<
等边三角形 19.（1）1（2）113210
n n a a -=
+（3）米饭1200份，面条800份 20.（1）g(x)=x-1 (2)32m >-
21.（1）略（2
22.（1）2
212x y +=（2）S ≥。