高考数学命题热点名师解密：专题(01)集合的解题技巧(理)(含答案).doc
高考数学命题热点名师解密：专题(01)集合的解题技巧(理)(含答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。
二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系M=,则例1. 已知{0,1}A.M N∈ C.N M∈ B.N M⊆⊆ D.M N【答案】AM=，【解析】{0,1}∴∈M N练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．【解析】由A中y=log2（x+1），得到x+1＞0，即x＞-1，∴A=（-1，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． （二）集合中元素重复陷阱例 2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中， 此时（y ，z ，w ）=（3，4，1）∈S ，（x ，y ，w ）=（2，3，1）∈S ， 故A 、C 、D 错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性. 练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B ，求20152016a b ＋.【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M ∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是： M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M ∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。
2020年高考数学(理)之高频考点解密01 集合(解析版)
解密01集合考点1 集合的含义及集合间的基本关系题组一集合的含义调研1 方程2280+-=的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数x x+-=和方程2120x x为A．1B．2C．3D．4【答案】C-，根据集合中元【解析】由题意，方程2280+-=的两根为4,3x xx x+-=的两根为2,4-，方程2120素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素，故选C．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二求集合的子集调研2 若x A∈，则1Ax∈，就称A是和美集合，集合111,0,,,1,323M⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,-再考虑含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D.【名师点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题. 题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知集合{}{}220,430A x x ax B x x x =-==++=，若A B U 所有子集的个数为8，则a 可能的取值组成的集合为 A ．{}1,3-- B ．{}0,1,3--C ．{}0,3-D ．{}0,1-【答案】B【解析】因为A B U 所有子集的个数为8，所以A B U 有3个元素， 又{}1,3B =--，集合A 的一个元素为0， 故a 可能的取值为0,1,3--， 所以组成的集合为{}0,1,3--. 故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的化简和集合的子集的个数的求法，考查元素与集合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】由题意，集合()(){}310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.调研2 已知全集U =R ，集合{|7}A x x =∈<N ，{}2|450B x x x =--≥，则()U A B I ð的元素个数为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】{}{|7}0123456A x x ==∈<N ，，，，，，，{}{2|450=|5B x x x x x =--≥≥或1}x ≤-，则{|15}B x x =-<<R ð，则(){0,1,2,3,4}A B =R I ð共5个元素，故选：B ．【名师点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．题组二 点集的交、并、补运算调研3 设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5}【答案】D【解析】∵{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，∴{}1,5U A =ð，∴图中阴影部分表示的集合是{}1,5U A =ð， 故选D ．题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A I ð＝{9}，则A ＝________. 【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.调研5 已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为 A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C【解析】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12B x x x =≤≥R 或ð， 又由()A B =R R U ð，所以2a ≥．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21x B x =>，则()A B =R I ðA ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤【答案】B【解析】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0xB x x x =>=>，则{}|16A x x =-≤≤R ð，所以(){}|06A B x x =<≤R I ð. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．（河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题）已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =IA ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】由题意，集合()(){}310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．（2019年11月四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知集合{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =I A ．{1012}-，，， B ．{101}-，， C ．{012}，， D ．{01}，【答案】C【解析】因为{}=10123M -，，，，{}02N x x =≤≤， 由交集定义可得{}012M N =I ，，，故选C. 4．（湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学、十堰一中、十堰二中等2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|}121M x x =<-≤-，{}24|N x x =<<，则M ∪N = A ．(2.3] B ．(2，3)C ．[1，4)D ．(1，4)【答案】C【解析】{|121}={|13}M x x x x =-<-≤≤<，{|24}N x x =<<，所以{|14}M N x x =≤<U ,故选C.5．（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是 A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 【答案】A【解析】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤，{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，A B ⊆，则2,42mm ≤≤，故选A.6．（2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考数学试题）若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I A ．∅ B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,0,1,2}-【答案】B【解析】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I .7．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019年高三上学期10月月考数学试题）已知集合{{}|1,|20A y y B x x ==+=-≤，则A B =IA ．[]1,2B ．[]0,2C ．(],1-∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】{|1[1,)A y y ===+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 8．（2019年10月山西省吕梁市高三阶段性测试数学试题）已知集合{}{}23|log 1,|280xA xB x x x =<=+-<，则A B =IA ．{}|43x x -<<B ．{}|42x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】因为3log 1x <，所以03x <<，所以{|03}A x x =<<； 因为2280x x +-<，所以42x -<<，所以{|42}B x x =-<<； 所以{|02}A B x x =<<I . 故选：A ．【名师点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零. 9．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测数学试题）集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学年高三11月月考数学试题）已知集合{}2|50A x x x =->，则A =R ðA ．{|05}x x ≤≤B ．{|0}x x <C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】{}{2|500A x x x x x =->=<或}5x >，{}05A x x ∴=≤≤R ð，故选A.11．（云南省昆明市民族中学2019-2020学年高三上学期10月适应性月考数学试题）已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =U A ．{}1,3,5,7 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,2,3,5,7【答案】D【解析】由题意，集合{}1,2,3A =，{}{}21,3,5,7B y y x x A ==+∈=， 所以{}1,2,3,5,7A B =U .故选D ．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合B ，以及集合并集运算是解答的概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）已知集合{}{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥，若2m ≤-，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B =∅ID ．A B =R U【答案】A【解析】∵{}2|3100A x x x =--≤，解不等式23100x x --≤,得25x -≤≤,所以集合{|25}A x x =-≤≤,因为2m ≤-，所以作出集合A 与集合B 的示意图如下图所示，从图中可以看出A B ⊂≠，故选A ．13．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考数学试题）已知集合{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ，则下列结论正确的是A ．AB A =I B ．A B B =IC ．A B =D ．以上均不对【答案】B【解析】集合A 为自然数中3的倍数构成的集合，集合B 为自然数中6的倍数构成的集合，所以B A ⊆．故选B ．14．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________．【答案】(,1](0,1)-∞-U【解析】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}， ∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0}， ∴A B U ＝{x |x ＜1}， A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}，根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：(,1](0,1)-∞-U . 故答案为：(,1](0,1)-∞-U .【名师点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．15．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________．【答案】{5,2,1}【解析】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }， 当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}.【名师点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示．1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<<I ． 故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U【答案】B【解析】解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A ={x|x <−1或x >2}， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð. 故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.5．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =I A ．{}0 B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥, 所以{}1,2A B =I . 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1， 当x =−1时，y =−1,0,1； 当x =0时，y =−1,0,1； 当x =−1时，y =−1,0,1, 所以共有9个元素. 选A ．【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别. 7．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I {|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U .故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 8．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =I ，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B =I 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =.故选C ．【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合， 集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛ ⎝⎭，22⎛-- ⎝⎭， 则A B I 中有2个元素. 故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.。
高考数学母题解密专题01 集合的表示及其运算附答案及解析(北京专版)
专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,67．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,38．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,29．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．113．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=315．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________．19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）AB ；（3）()()UU A B ⋂．21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解析附后专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>，∴{}1,2,3AB =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.2．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =【答案】B【解析】由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆，故选：B3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B 【解析】若AB A =,则A B ⊆,又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥，即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥，所以2{|0}3U B x x =<<，则12(){|}23UA B x x ⋂=<<，应选答案D. 5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-.6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,6【答案】C【解析】为使()6y lg x =-有意义，则60x ->,解得6x <,()6A ∴=-∞，， 由0212x >=,解得0x >,()0,B ∴=+∞, ∴(],0UB =-∞,∴()(]A 0UB ⋂=-∞，,故选C .7．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】B【解析】由已知：{}|1R C B x x =≤，所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-．8．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤ B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x C x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A C B ⋂=9．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =；当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件.10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则AB =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-，，，故选：D.11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123，， 12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.13．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)【答案】A【解析】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=215．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.【答案】{1,2,4}【解析】因为{}2A B ⋂=，所以2A ∈，若221m m =⇒=，此时{21}A =，，满足条件； 若2m =，则{24}A =，，{}24A B ⋂=，，不符合题意，舍去. 所以1m =，AB ={1,2,4}.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________【答案】(0,2)【解析】由题意{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 则AB ={|22{|}(003}{|02})2,x x x x x x -<<=<<<<=.17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞ 【解析】由B A ⊆可得： 当B =∅,则121m m +>-， ∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2 【解析】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称， 又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .【解析】(1)由220-++>x x 得，12x -<<，∴{|12}A x x =-<<，∴()2222111y x x x =-+=-+≥，∴{|1}B y y =≥. （2）由（1）得，{|12},A B x x ⋂=≤< {}x 1,A B x ⋃=>-又[)U 6,=-+∞，所以()UA B ={|61}x x -≤≤-.20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）A B ；（3）()()UU A B ⋂．【解析】{}2|560A x x x =--<={|16}-<<x x ，{||2|1}B x x =-{|1x x =≤或3}x ≥，（1）A B ={|11x x -<≤或36}x ≤<；（2）A B =R ；（3）因为|1{UA x x =≤-或6}x ≥，{|13}UB x x =<<，所以()()UU A B ⋂={|1x x ≤-或6}x ≥{|13}x x ⋂<<=∅.21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．【解析】因为集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭， 所以集合A 表示不包括点(3,4)的直线(1)370a x y a ---+=， 当210a -=且10a -=时，即1a =时，集合B 为空集， 显然AB =∅成立，故1a =符合题意；当1a ≠时，集合B 不为空集，要想AB =∅成立，只需：直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行或者 直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)， 当直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行时，有2(1)(1)1a a a --=-且(37)(1)5a a --≠，解得1a ≠，而1a ≠，所以不存在这种情况；直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)，有()2213(1)453440aa a a -⋅--⋅=-⇒-=，解得2a =或23a =-，综上所述：实数a 的值为21,2,3-22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.【解析】(1)画出1y x =+的图像，又y kx =为过原点的直线. 临界条件为：当y kx =为x 轴时，0k =；当y kx =与1y x=+在[)1,-+∞上的射线平行时，1k =. 故不等式1x kx +>恒成立，则01k <≤(2)因为二次函数()222f x ax x a =--，故0a ≠，且判别式()()22242480a a a ∆=---=+>，所以()0f x =两根之积为12220ax x a-==-<，故不妨设两根120x x <<. 当0a >时，若A B ⋂≠∅则有23x <，故()30f >，即9620a a -->，解得67a >. 当0a <时，若A B ⋂≠∅则有21>x ，故()10f >，即220a a -->，解得2a <-. 综上有2a <-或67a >. 23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】假设存在实数a 和b 同时满足题中的两个条件, 则2315.y ax b y x =+⎧⎨=+⎩，由A B ⋂≠∅， 则必存在整数n 使 23(15)0,n an b -+-=于是它的判别式 2()12(15)0,a b ∆=--- 即212(15).a b -又由 22144a b + 得 22144,a b - 由此便得 12(15-2)144,b b -即 2(6)0,b - 故 6.b = 将 6b = 代人上述的 212(15)a b -及 22144a b -，得 2108a =,所以 a =± 将 6a b =±= 代入方程23(15)0,n an b -+-= 求得 .n =Z故不存在实数a ，b 使A B ⋂≠∅，与(,)a b C ∈同时成立．。
高考数学(理)热点型和提分秘籍(解析版)
专题01 集合1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算.集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考查，一般为基础题，解题时要充分利用韦恩图、数轴等直观性迅速得解，预计今后这种考查方式不会变.热点题型一 集合的基本概念例1、【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【提分秘籍】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集。
(2)看这些元素满足什么限制条件。
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性。
【举一反三】已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2015a 的值为________。
解析：①若a ＋2＝1，即a ＝－1，则(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合元素的互异性。
②若(a ＋1)2＝1即a ＝－2或a ＝0。
当a ＝－2时，a ＋2＝0，a 2＋3a ＋3＝1， 不满足集合元素的互异性；当a ＝0时，a ＋2＝2，a 2＋3a ＋3＝3，满足题意。
③若a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－1或－2，由①，②可知均不满足集合元素的互异性。
综上知实数a 的取值集合为{0}， 则2015a 的值为1。
答案：1热点题型二 集合间的基本关系例2、 【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【提分秘籍】1．根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练01 集合与常用逻辑用语(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。
专题01 集合的含义及运算-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之集合函数导数 Word版含解析
专题01 集合的含义及运算一、本专题要特别小心：1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱；6．子集中忽视空集陷阱；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱.二、【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(V enn)图表达集合间的关系与运算．三、【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B；若A⊆B，且A≠B，，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。
3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.四．题型方法规律总结（一）集合的含义与表示例1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.练习1．给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）R为实数集，为实数，所以正确；（2）Z、Q分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误；（3）空集中没有任何元素，所以错误；（4）空集为任何集合的子集，所以正确.故选B.练习2．若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得集合，所以集合B中共有4个元素．故选D．（二）集合中代表元易错点揭秘例2．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为() A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B【解析】由题意，当时，，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.练习1．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是A．｛1｝B．｛｝C．｛0，1｝D．｛，0，1｝【答案】D【解析】时，，满足题意；时，，．综上的取值集合是．练习2．用列举法表示集合＝________．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【解析】，为的因数则则答案为练习3．集合{|y y ∈N =用列举法可表示为__________.【答案】{}1,2,4,8 【解析】∵,1x x ∈≠N ,∴当0x =时, 8y =-,不符合题意, 当2x =时, 8y =,符合题意, 当3x =时, 4y =,符合题意, 当4x =时, 83y =,不符合题意, 当5x =时, 2y =,符合题意,当6x =时, 85y =,不符合题意, 当7x =时, 86y =,不符合题意,当8x =时, 87y =,不符合题意,当9x =时, 1y =,符合题意,则y =，不符合题意.∴用列举法可表示为{}1,2,4,8. （三）集合的基本关系 例3．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N ⊆M ，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．练习1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴的真子集的个数为个．故选C．练习2．若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的单调区间为，由，得．∵函数在区间内没有最值，∴函数在区间内单调，∴，∴，解得．由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．练习3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.（四）子集中常见错误例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】当集合时，，解得，此时满足；当，即时，应有：，据此可得：，则，综上可得：实数的取值范围是.本题选择C选项.练习1．Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A=，B=，则= A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】；B=∴；集合的子集有：∴Z（A∩B）＝4．故选：B练习2.设集合，不等式的解集为B.（Ⅰ）当时，求集合A,B；（Ⅱ）当，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或.【解析】（Ⅰ）当时，，.（Ⅱ）①若，即时，可得， 满足，故符合题意．②当时，由，可得，且等号不能同时成立， 解得． 综上可得或．∴实数的取值范围是．练习3．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.（五）集合的基本运算 例5.已知，，则()R AB ð中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】解：{1x x =<，或3}x ≥，，，的元素个数为2个.故选:B .练习1．已知集合，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.练习2．集合，,若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.练习3．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是________.【答案】【解析】∵，∴， ∴．（六）集合的应用例6．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ．20 B ．17C ．14D ．23【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B练习1．已知集合.给定一个函数，定义集合若对任意的成立，则称该函数具有性质“”(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_____；(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】（答案不唯一）①②【解析】(I)对于解析式：，因为，，…符合。
高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
高一数学知识讲学专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(word档含答案解析)
专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．例1.考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④知识点二元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集，记作A∩B。
2025年新高考数学专题 集合与常用逻辑用语 含解析
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
专题1.1 集合(精讲精析篇)(解析版)
专题1.1集合（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． 5M B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【答案】D 【解析】由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，由51>，故5M ∉；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π2M -∈． 故选D ．【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2010·陕西省高考真题（理））已知全集，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】化简{}1,2A =，{}{}2,41,2,4B A B =⇒⋃=，{}()3,5UA B ⋃=,集合()UA B 中元素的个数为2个，故选B ．【例4】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【答案】0,2,2- 【解析】{}{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-； 因为方程4kx =最多有一个实数根,故2,2B 不可能成立.故答案为：0,2,2- 【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =， ()U U U C A B C A C B =． 【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.【典例6】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1） B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C 【解析】 ∵ ，∴ ，故选C.【典例7】（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,8【答案】D 【解析】{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，{4,5,6}B =， ∴{}4,5,6,7,8UA =，{}1,2,3,7,8UB =，∴()(){}=7,8UU A B ∩.故选：D.【典例8】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有32114211m m m m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例9】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．巩固提升1. （2017·全国高考真题（理））已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B. 2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==, {}3,5A B ∴⋂=,故选C3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.4.（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U AC B =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．2,0,1,2【答案】B 【解析】由题可知，{}2,1,2U C B =-，所以(){}1,2U A C B =故选：B5．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C 【解析】 因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C.6.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（ ）A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选：C ．7．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A Z 中的元素的个数是（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】C 【解析】39{|}{1,0,1,2,3,4}22A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.故选：C.8.（全国高考真题（理））已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A.0或3 B.0或3C.1或3D.1或3【答案】B 【解析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.9.（上海高考真题）设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】B 【解析】 当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.10.（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C 【解析】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ．11.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____. 【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}A B ⋂=.12．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.13．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________． 【答案】7 【解析】用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个． 故答案为：7.14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x【解析】 如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}352x x x <<≤-或.15.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．【答案】13【解析】由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5,④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个.故答案为：13。
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题01 集合 文(含解析)
专题01 集合【高频考点解读】1.了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境下，了解全集和空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用Venn 图表达集合的关系和运算． 【热点题型】题型一 集合的基本概念例1、已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9【举一反三】集合{x ∈N *|12x∈Z}中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【热点题型】题型二 集合间的基本关系例2、设全集U ＝R ，集合M ＝{x|x>1}，P ＝{x|x 2>1}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝P B ．P MC ．MP D ．(∁U M )∩P ＝∅【举一反三】若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为( )A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]【热点题型】题型三集合的基本运算例3、已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∩B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}【举一反三】设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.题型四集合的创新性问题例4、设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是( )A．7 B．10 C．25D．52【举一反三】若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________．【高考风向标】1．（2014·北京卷) 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝( )A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}2．（2014·福建卷) 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于( )A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}3．（2014·福建卷) 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．4．（2014·广东卷) 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝( ) A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}5．（2014·湖北卷) 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝( ) A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}6．（2014·湖南卷) 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝( )A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}7．（2014·重庆卷) 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．8．（2014·江苏卷) 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．【答案】{－1，3} 【解析】由题意可得A∩B＝{－1，3}．9．（2014·江西卷) 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁RB)＝( )A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)（2014·辽宁卷) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( ) 10．A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}11．（2014·全国卷) 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为( )A．2 B．3C．5 D．712．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )A．∅ B．{2}C．{0} D．{－2}13．（2014·全国新课标卷Ⅰ）已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N ＝( )A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)14．（2014·山东卷) 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝( )A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)15．（2014·陕西卷) 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)16．（2014·四川卷) 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}17．（2014·天津卷) 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.18．（2014·浙江卷) 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝( ) A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]19.（2013·福建卷) 若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为( )A．2 B．3C．4 D．16【答案】C 【解析】A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4个，故选C.20．（2013·北京卷) 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1，0}C．{0，1} D．{－1，0，1}【答案】B 【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.21．（2013·安徽卷) 已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1，0，1} D．{0，1}【答案】A 【解析】因为A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1}．22．（2013·天津卷) 已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D 【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．23．（2013·陕西卷) 设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M，则∁RM为( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】B 【解析】M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故∁RM＝ (1，＋∞)．24．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝( )A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}【答案】C 【解析】M∩N＝{－2，－1，0}．故选C.25．（2013·辽宁卷) 已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}26．（2013·江苏卷) 集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】8 【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.27．（2013·湖南卷) 已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则 (∁U A)∩B ＝________．28．（2013·湖北卷) 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则B∩(∁U A)＝( )A．{2} B．{3，4}C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}【答案】B 【解析】∁U A＝{3，4，5}，B∩(∁U A)＝{3，4}．29．（2013·广东卷) 设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝( )A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}【答案】A 【解析】S＝{－2，0}，T＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.30．（2013·广东卷) 设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝( )A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}【答案】A 【解析】S ＝{－2，0}，T ＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.31．（2013·新课标全国卷Ⅰ） 已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝n 2，n ∈A}，则A∩B ＝( )A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{9， 16}D ．{1，2}【答案】A 【解析】集合B ＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．32．（2013·浙江卷) 设集合S ＝{x|x>－2}，T ＝{x|－4≤x ≤1}，则S∩T＝( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．[－4，1] D ．(－2，1]【答案】D 【解析】从数轴可知，S∩T＝(－2，1]．所以选择D.33．（2013·重庆卷) 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}【答案】D 【解析】因为A ∪B ＝{1，2，3} ，所以∁U (A ∪B)＝{4}，故选D. 【随堂巩固】1．已知集合P ＝{y ＝x 2＋1}， Q ＝{y|y ＝x 2＋1，x ∈R}，S ＝{x|y ＝x 2＋1，x ∈R}，T ＝{(x ， y)|y ＝x 2＋1，x ∈R}，M ＝{x|x≥1}，则( )A ．P ＝MB ．Q ＝SC ．S ＝TD ．Q ＝M2．已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，x ∈N ，B ＝{x|x ≤2，x ∈Z}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．84．若集合A ＝{x ∈Z|2<2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R|x 2－2x>0}，则A∩(∁R B)所含的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知集合A ＝{－1,1}， B ＝{x|ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}6．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n2，当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b)|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．7．已知A ＝{(x ，y)|y ＝|x 2－1|}，B ＝{(x ，y)|y ＝1－x 2}，则A∩B 的真子集个数为________．8．已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B ＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝________.9．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m)(x －2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________.10．设集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ||x ＝y ＋3·|y－1＋y ＋3，－52 }≤y≤3，若(a ，b)∈M ，且对M 中的其他元素(c ，d)，总有c≥a，则a ＝________.11．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．12．设集合A ＝{x|－1≤x≤2}，B ＝{x|x 2－(2m ＋1)x ＋2m<0}．(1)当m<12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．。
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题01 集合及其运算 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题01 集合及其运算 理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．【热点题型】题型一 集合的基本概念例1、已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析 由已知得A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【提分秘籍】(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．【举一反三】设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝PB ．P MC ．M PD ．(∁U M )∩P ＝∅【答案】C题型二 集合的基本运算(例2、(1)(设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2]B ．(1,2)C ．[1,2)D ．(1,4)(2)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R}，N ＝{x |x 2<1，x ∈R}，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[0,1)【答案】 (1)C (2)D【提分秘籍】在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图、数轴和坐标平面等工具，使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素为连续实数时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．【举一反三】若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R}，且M ∩N ＝N ，求实数a 的取值集合．解析：∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，又M ＝{－3,2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}，∴－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1，∴a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，23. 题型三 集合的创新性问题例3．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】C 【解析】由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然若k ＝0，则k 2＝k ＝0，若k ＝1，则k 2＝k ＝1，所以0,1，都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M 中所含的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选3与5，即M ＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M 共有5个．故选C.【提分秘籍】以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等．(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质． (2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解. 【举一反三】设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，定义A ⊙B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A ⊙B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52 【答案】B 【解析】【高考风向标】【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB（ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x << (){|23}D x x <<【答案】A 【解析】{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，选A.【2015高考广东，理1】若集合，） A ．．．．【答案】【解析】【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．【2015高考重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ） A 、A =B B 、A ⋂B =∅ C 、A B D 、B A【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．【2015高考新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A ．【2015高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 【答案】C【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423AB x x x x x x =<<<<=<<.故选：C.【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q =，故选C.【2015高考江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【2015高考上海，理1】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则UAB = ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =（2014·北京卷） 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 【答案】C【解析】∵A ＝{0，2}，∴A ∩B ＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．（2014·福建卷） 若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【答案】6 【解析】若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d ＝4；由②不正确，得b ＝1，则满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.（2014·广东卷） 已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2，}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，2} C ．{－1，0，1，2} D ．{－1，0，1} 【答案】C【解析】本题考查集合的运算．因为M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．（2014·湖北卷） U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( ) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( ) A．(0，4] B．[0，4)C．[－1，0) D．(－1，0]【答案】B【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x<4}．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B ＝( )A．[－2，－1] B．[－1，2)B．[－1，1] D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x ＜3}．故选C.（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)【答案】B【解析】由M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}，得M∩N＝[0，1)．（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}【答案】A【解析】由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.【解析】所以s<t.（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}【答案】B【解析】∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}，故选B.（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．【答案】{7，9}【解析】由题知∁U A＝{4，6，7，9，10}，∴(∁U A)∩B＝{7，9}．（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( )A． {1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【答案】D（2013·北京卷） 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B ，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.（2013·广东卷） 设集合M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x∈R}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x∈R}，则M∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2} 【答案】D【解析】∵M＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D. （2013·湖北卷） 已知全集为R ，集合A ＝，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A ．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x≤2或x≥4} 【答案】C【解析】A ＝{x|x≥0}，B ＝{x|2≤x≤4}，∁RB ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C. （2013·江西卷） 已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 【答案】C【解析】zi ＝4z ＝－4i ，故选C.22．（2013·辽宁卷） 已知集合A ＝{}x|0<log 4x<1，B ＝{}x|x≤2，则A∩B＝( ) A ．(0，1) B ．(0，2] C ．(1，2) D ．(1，2] 【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故选D.（2013·全国卷） 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．（2013·山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3 C．5 D．9【答案】C（2013·陕西卷）设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为( ) A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．（2013·四川卷）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( ) A． {－2} B．{2} C．{－2，2} D．【答案】A【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．（2013·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0，1，2}．（2013·浙江卷）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( ) A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】C【解析】∁RS ＝{x|x≤－2}，T ＝{x|(x ＋4)(x －1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T ＝(－∞，1]．故选择C.（2013·江苏卷） 集合{－1，0，1}共有________个子集． 【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8. （2013·湖南卷） 设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0. 【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③ 【解析】(2)因f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1，因c>a>0，c>b>0，则0<a c <1，0<b c <1，当x∈(－∞，1)时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x >a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >a c ＋b c ，又a ，b ，c 为三角形三边，则定有a＋b>c ，故对x∈(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>0，即f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>0，故①正确；取x ＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2<a c ＋b c ，取x ＝3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，由此递推，必然存在x ＝n 时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n<1，即a n ＋b n <c n，故②正确；对于③，因f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知，x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.【高考押题】1．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】 D【解析】因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}，而T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．2．设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为 ( )A．4 B．5 C．6 D．7【答案】 C3．若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则集合A∪B＝ ( )A．{1} B．{1，2}C．{－1，1，2} D．{－1，1，－2}【答案】 C【解析】∵A＝{－1，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，1，2}．4．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有 ( ) A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】 B【解析】P＝M∩N＝{1，3}，故P的子集共有4个．5．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R【答案】 A【解析】由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.6．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是 ( )A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，1) D．(1，＋∞)【答案】 B【解析】A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为 ( ) A．{－1，0，1} B．{－1，1}C．{－1，0} D．{0，1}【答案】 A【解析】8．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 D【解析】A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选D.9．设集合M＝{(x，y)|y＝lg x}，N＝{x|y＝lg x}，则下列结论中正确的是 ( ) A．M∩N≠∅B．M∩N＝∅C．M∪N＝N D．M∪N＝M【答案】 B【解析】因为M为点集，N为数集，所以M∩N＝∅.10．已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有 ( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个【答案】 B11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为__________． 【答案】 4【解析】 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.12．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．【答案】 －1 1【解析】 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.13．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是__________．【答案】 (－∞，－1]14．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x，x ＞2，则∁U P ＝__________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥12【解析】 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}＝{y |y ＞0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x ＞2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0＜y ＜12，∴∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥12.15．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞) 【解析】。
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题01 如何破解集合间的关系类问题
专题01 如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系中任意一个元素均为真子集并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4} 【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________． 解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试】设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}|13x x x ≤-≥或B .{}|13x x x <≥或C .{|1}x x ≤D .{|1}x x ≤-【答案】D招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________． 解析：（1）当B ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，则a ≤2. (2)当B ≠∅时，若B A ⊆，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－22a －1≤7a ＋1<2a －1，解得2<a ≤4. 综上，a 的取值范围为a ≤4.【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三周考】已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1， 则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．【例6】已知集合}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ，},若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析． 4．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为2n－1. 实战演练:1．【四川省成都市龙泉第二中学2017届高三5月高考模拟考试】已知集合A ＝{x |y ＝lg (2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A .B .(0,1]C .(－∞，0]D .以上都不对【答案】B2．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知集合11{|<22},{|ln 0}22x A x B x x ⎛⎫=≤=-≤ ⎪⎝⎭，则()R A C B ⋂=( )A .∅B .11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .(]1,1-【答案】B【解析】由题意得，{|11}A x x =-<≤，13{|}22B x x =<≤，则()11,2R A C B ⎛⎤⋂=- ⎥⎝⎦，故选B .3．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若集合()(){|410}A x x x =++<，集合{|2}B x x =<-，则()R A C B ⋂等于( )A .()2,1--B .[)2,4-C .[)2,1--D .∅【答案】C【解析】由题意可得，()()[)4,1,2,1R A A C B =--∴⋂=--,故选C .4．【陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试】已知2{|8150}A x x x =-+=,{|10}B x ax =-=,若B A ⊆,则a =( )A .13B .15C .13或15D .13或15或0 【答案】D5．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测】集合{|3,}nM x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系( )A .M N ⊆B .N M ⊆C .M N ⋂=∅D .M ⊆N 且N ⊆M【答案】D【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D .6．若集合{}1,2A =-，{}0,1B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈的子集共有( )A .2个B .4个C .8个D .16个【答案】D【解析】集合：{}{}1,2,0,1A B =-=,∴集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈={}1,0,2,3-,则集合的子集有4216=个.点睛：对于有限集合我们有一下结论：若一个集合中有n 个元素，则它有2n个子集.有2n-1个真子集7、已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：方法一：因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为 (∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，故选D . 方法二：如图8所示，得A ＝{3,9}，故选D .8、某校田径队共30人，主要专练100m ，200m 与400m ．其中练100m 的有12人，练200m 的有15人，只练400m 的有8人．则参加100m 的专练人数为________．解析：用Venn图表示A代表练100m的人员集合，B代表练200m的人员集合，C代表练400m 的人员集合，U代表田径队共30人的集合，设既练100m又练200m的人数为x，则专练100m 的人数为12－x.∴12－x＋15＋8＝30，解得x＝5.所以专练100m的人数为12－5＝7.答案：79、【2017江苏泰兴中学高三月考】已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝__________.解析：由1<2x≤16，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．而B＝{x|x<a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4，即c＝4.10、(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．。
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题01如何破解集合间的关系类问题(new)
专题01 如何破解集合间的关系类问题考纲要求：1。
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝∁U A＝｛x|x∈U,且x∉A}3.并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A;A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A）＝U；A∩(∁U A）＝∅;∁U（∁U A）＝A．应用举例:招数一、韦恩图：一般地,若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A ＝｛－1，0,4｝，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0,x ∈N },全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B ＝｛x ｜x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x ｜－1≤x ≤3，x ∈N }＝｛0，1,2，3｝．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为｛－1,4}．答案：{－1，4｝【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝｛n ∈N ｜1≤n ≤10｝，A ＝{1，2，3，5，8｝，B ＝｛1，3,5,7，9},则（∁U A )∩B ＝________． 解析：U ＝{1，2，3，4,5,6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A ）∩B ＝{7,9}．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试】设全集U ＝R ,集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为（ )A .{}|13x x x ≤-≥或B 。
专题01+集合的解题技巧-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析
一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--， {}7,2,3,8,13,18P =--， {}7,3,13,23S =-，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－ 【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x f f x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B AD. AB【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B ⋂=（ ）A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故答案为C 。
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解01 集合
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点01集合1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类：① 按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； （3） 集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B时，称A 是B 的真子集。
3、集合运算（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；（2） 运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ），C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。
集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn 图法解决集合运算问题一、单选题1．（2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}0C ．{}5D ．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=ð. 故选：D2．（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩ð，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12U B x x =-≤≤ð， 由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =ð.故选：B.3．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则（ ）A ．{}0B ．{}2,4C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,4【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =， 所以，所以.故选：A 二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A B ＝ _______ . 【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴A B ＝{﹣1，0，2}， 故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2023·北京石景山·一模）已知非空集合A ，B 满足：AB =R ，AB =∅，函数()3,,32,x x A f x x x B⎧∈=⎨-∈⎩对于下列结论：①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数； ②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数； ③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解． 其中正确结论的序号为_________． 【答案】①③【分析】通过求解332x x =-可以得到在集合A ，B 含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x 与x -都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程()0f x =判断③是否正确 【详解】①若x A ∈，x A -∈，则3()f x x =，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x B -∈，则()32f x x =-，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x A ∈，x B -∈，则3()f x x =，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x A -∈，则()32f x x =-，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 综上不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数 ②若332x x =-，则1x =或2x =-，当{}1B =，时，(1)312f =⨯-满足当1x =时31x =，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数当{}2B =-，A B =R ð时，(2)3(2)28f -=⨯--=-满足当2x =-时38x =-，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数所以存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数，且不唯一③30x =解的0x =，320x -=解的23x =，当非空集合对(,)A B 满足0A ∉且23B ∉，则方程无解，又因为A B =R ，AB =∅，所以存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理 ①通过对x 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(,)A B 使得函数()f x 为偶函数②观察可以发现3x 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式32x -归并到3x 当中，使得()f x 成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数n ，令1{(n a a Ω==，2a ，⋯，)|{0n i a a ∈，1}，1i =，2，3，⋯，}n ．对任意的1(x x =，2x ，⋯，)n x ，1(y y =，2y ，⋯，)n n y ∈Ω，定义x与y 的距离1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合{(,)|D d x y x y =≠，x ，}∈y A 中的最小值称为A 的特征，记作χ（A ）．（Ⅰ）当3n =时，直接写出下述集合的特征：{(0A =，0，0)，(1，1，1)}，{(0B =，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，{(0C=，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．（Ⅱ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）2=，求A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）3=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）22019；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明A 中元素个数至多有2 2019 个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为2 2019 个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）设1{A x =，2x ，}m x ⋯，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω…，先证明对任意的1i m 剟，()i N x 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以202020212m …，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）χ（A ）3=，χ（B ）2=，χ（C ）1=；（Ⅱ）（a ） 一方面：对任意的1(a a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a A ∈， 令f （a ）1(a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a ， 则(d a ，f （a ）2020)1212a =-=<，故f （a ）A ∉， 令集合{B f =（a ）|}a A ∈，则A B =∅，2020()A B ⋃⊆Ω 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω 中共有20202 个元素，其中至多一半属于A ， 故A 中至多有2 2019 个元素．（b ）另一方面：设1{(A a =，2a ，⋯，20202020122020)|a a a a ∈Ω++⋯+ 是偶数}，则A 中的元素个数为0242020201920202020202020202C C C C +++⋯+= 对任意的 1(x x =，2x ，⋯，2020)x ，1(y y =，2y ，⋯，2020)y A ∈，x y ≠，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++ 奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，由x y ≠，得(,)0d x y >，故(,)2d x y …， 注意到(0，0，0，0，⋯，0，0)，(1，1，0，0，0⋯，0)A ∈ 且它们的距离为2， 故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019．（Ⅲ）当2020n = 时，设2020A ⊆Ω 且χ（A ）3=， 设1{A x =，2x ，}m x ⋯，任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω…， （a ） 对任意的，()i N x 中恰有 2021 个元素，事实上①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，()i N x 中恰有2021个元素， （b ） 对任意的，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，1(j x x ='，2x '，⋯，2020)x '， 则20201(,)i j k k k d x x x x ==-'∑20201(||)kk k xa a x =-+-'∑…20202020112k k k k x a a x ===-+-'∑∑…，这与χ（A ）3=，矛盾，由 （a ） 和 （b ），12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素， 所以，注意到m 是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于202022021．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合{A x y ==，{}22B x x k =-+>．若A B A =，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()1,7-D ．()(),17,∞∞--⋃+【答案】D【分析】求出集合,A B ，再根据A B A =，知A B ⊆，列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：解不等式2320x x +-≥，得13x -≤≤，即{}13A x x =-≤≤，{}{22B x x k x x k =-+>=>或}4x k <-，由A B A =，知A B ⊆，所以43k ->或1k <-，解得7k >或1k <-. 故选：D ．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()2,3 C ．[]1,3 D ．[]2,3【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合B ，然后由题意得B A ⊆，从而建立不等式组求得a 的范围.【详解】解不等式2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，所以{}1B x a x a =≤≤+. 由A B B =，得B A ⊆，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<﹒ 故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题1．（2023·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|B x y =={，则=（ ）A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】D【分析】化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解.【详解】2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|B x y ={{|4}x x =≤，所以{|0}A B x x =<， 所以={|0}x x ≥，即()U A B ⋂ð[0,)=+∞.故选：D2．（2023·江西宜春·模拟预测（文））已知集合{A x y ==，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．R B ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】由y =1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-， 所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D3．（2023·全国·模拟预测（文））已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C .二、填空题4．（2023·重庆市育才中学模拟预测）设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.【答案】[1,3]【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .5．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=， 故答案为：()3,4.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题. 6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______. 【答案】{}|02x x <<【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以A B ={}|02x x <<. 故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合{}0,1,2A =，集合{}2|20B x x =-<，则A B =________． 【答案】{}0,1【详解】{}0,1,2A =，{}{}220=02B x x x x =-<<<，所以{}01A B =，． 【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U ＝R ，A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则＝_____．【答案】{|3x x ≥或1}x <-【分析】先化简集合,A B ,再求U B ð，最后求U A B ð得解.【详解】解：A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则U B ð＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}， 则U A B ð＝{|3x x ≥或1}x <-， 故答案为：{|3x x ≥或1}x <-．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð. 【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 3M x y x ==-，{}x N y y e ==，则() RM N ⋂=ð（ ）A ．()3,0-B ．(]0,3C ．()0,3D ．[]0,3【答案】B【分析】由题知{}3M x x =>，{}0N y y =>，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为(){}{}ln 33M x y x x x ==-=>，{}{}0xN y y e y y ===>，所以{} R 3M x x =≤ð，所以() R M N ⋂=ð{}(]030,3x x <≤= 故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x M y y x ==>，{N x y =，则M N ⋃等于（ ）A ．∅B ．{}2C ．[)1,+∞D ．[)0,∞+【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合M ，根据二次根式的意义求出集合N ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】{}112222x x y M y y >∴=>=∴=>.{}2200202x x x N x x -≥∴≤≤∴=≤≤.因此[0,)M N =+∞U . 故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}34x x -≤≤ B ．{}33x x -≤≤C ．{}14x x ≤≤D ．{}13x x ≤≤【答案】D【分析】先化简集合B ，再去求A B . 【详解】{}{}333B x x x x =≤=-≤≤则{}{}{}143313A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂-≤≤=≤≤ 故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{}62A x x =-≤≤，{}B y y x A ==∈，则A B =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}12x x ≤≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}13x x ≤≤【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B ，然后根据集合的交集运算法则求得结果.【详解】当62x -≤≤时，13，则{}13B y y =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 故选:B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合{}2,1xA y y x ==≥，(){}2lg 9B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]3,2-B ．()3,2-C ．(]3,2-D ．[)3,2-【答案】B【分析】先求出集合A 、B ，由韦恩图分析，求U B A ⋂ð. 【详解】由1≥x ，得22x ≥，则[)2,A =+∞，所以()U ,2A =-∞ð.\由290->x ，得33x -<<，则()3,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为()U 3,2B A ⋂=-ð. 故选:B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{}22A x x =-≤≤，{}2230B x N x x =∈--<，则A B =（ ） A ．{}12x x -<≤B ．{}21x x -≤<C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合B ，然后根据交集的概念即可求出结果.【详解】解不等式2230x x --<得13x -<<，又x ∈N ，所以{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =，故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 10A x x =-≤，{}20B x x x =-≥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ≠⊂ C ．[)1,A B ⋂=+∞D ．A B R =【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，进而得到结果. 【详解】{}{}[)011010,1A x x x x =<-≤=≤<=，{}[]010,1B x x =≤≤=，[)0,1A B A ∴==，[]0,1A B B ==，A B ≠∴⊂.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{}2,0x A y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(),-∞+∞【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】由已知{}2,0[1,)xA y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，∴[1,2)A B ⋂=． 故选：C ．9．（2023·全国·高三专题练习）若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可 【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =，所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =．故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y =，则A B ⋃=（ ）A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥， 所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞. 故选：D .11．（2023·全国·高三专题练习）设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则U A ð为（ ） A ．{}1,3 B ．{}0,1,3 C ．{}1,1,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴ð. 故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{A x y ==，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{{}4A x y x x ===≤，{}1,2,3,4,5B =， 所以A B ={}1,2,3,4， 故选：C13．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =RIð（ ）A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅【答案】A【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R ð【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤，所以1922A xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12R A x x ⎧=≤⎨⎩ð或，由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤，所以()A B =R I ð122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由Venn 图得到()A M A B =⋂ð求解. 【详解】如图所示()A M A B =⋂ð，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=-又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}A A B ∴⋂=ð，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3故选：C15．（2023·全国·高三专题练习）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】{2,1,2}U A =-ð，(){1}U B A =ð． 故选：C ． 二、多选题16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意,a b E ∈，()0,1t ∈，均有()1ta t b E +-∈，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．A ．(){},e xx y y ≥B ．(){},ln x y y x ≥C ．(){},210x y x y +-≥D ．(){}22,1x y x y +≤【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E 是“凸”的意义判断作答. 【详解】设OA a =，OB b =，()1OC ta t b =+-，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A BC D 观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，ACD 符合题意. 故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域. 17．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于U A ð的表达方式正确的有（ ） A ．][(),12,-∞⋃+∞B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解. 【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x -⎧⎫=<=--<=⎨⎬-⎩⎭，所以][()()(){},12,|210U A x x x ∞∞=-⋃+=--≥ð， 故AB 正确，CD 错误， 故选：AB.18．（2023·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =-<<，{}250N x x x =-<，则（ ）A ．[]lg 2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51-+=D ．{}15M N x x ⋃=-≤<【答案】ABD【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg 2lg3lg51lg30,1-+=-∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误. 【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确； 对于C ，()()lg 2lg3lg5lg 2lg5lg31lg30,1-+=+-=-∈，[]lg 2lg3lg50∴-+=，C 错误； 对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =-<<=-≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=-≤<，BD 正确.故选：ABD.19．（2023·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M +?，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则a b M +?，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误； 选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确； 选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ． 三、填空题20．（2023·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =___________【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<， 所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}.。
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1专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。
二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }；2(2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；(4)∁U (A ∩B )＝∁U A ∪∁U B ，∁U (A ∪B )＝∁U A ∩∁U B ，A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ； (5)A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B .三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系 例1. 已知{0,1}M =,则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A 【解析】{0,1}M =，M N ∴∈练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 【解析】由A 中y=log 2（x+1），得到x+1＞0，即x ＞-1，∴A=（-1，+∞），由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A ∩B=，故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U ＝R ，则为 A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简集合A ，B ，然后求出A 的补集，最后求交集即可得到结果.3 【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． （二）集合中元素重复陷阱例 2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中， 此时（y ，z ，w ）=（3，4，1）∈S ，（x ，y ，w ）=（2，3，1）∈S ， 故A 、C 、D 错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性. 练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B ，求20152016a b ＋.【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）4A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M ∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是： M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M ∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A 【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴56若，即时，满足条件；若，则.∵ ∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况． 练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A ，B 的并集A ∪B ＝｛1，2｝，当且仅当A ≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有__________. 【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A ，B ）为：A=，B ＝｛1，2｝；A=｛1｝，B ＝｛2｝；A=｛1｝，B ＝｛1，2｝；A=｛2｝，B ＝｛1｝；A=｛2｝，B ＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B ＝；A=｛1，2｝，B ＝｛1｝；A=｛1，2｝，B ＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.7练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M 的所有非空子集依次记为：M 1，M 2，...,M 15，设m 1，m 2，...，m 15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m 1+m 2+...+m 15=_____ 【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。
【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和令，故答案为【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。
练习2.对于集合M ，定义函数fM(x)＝对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为( ) A ． {1,6,10,12} B ． {2,4,8} C ． {2,8,10,12} D ． {12,46} 【答案】A【分析】根据fA(x)·fB(x)＝－1，必有x ∈{x|x ∈A 且x ∉B}∪{x|x ∈B 且x ∉A}，即可求解.【解析】要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x ∈{x|x ∈A 且x ∉B}∪{x|x ∈B 且x ∉A}＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集，集合描述法的理解，属于中档题. （八）任意、存在问题中的最值问题.例8.【辽宁省实验中学2018-2019学年试题】已知函数的定义域为，函数的值域为，（1）求集合、，并求；（2）若＝，且，求实数的取值范围.【答案】（1）A ＝，B ＝，＝（2）【分析】⑴利用被开方数非负性，求出，利用指数函数的单调性求出，再求、的交集即可⑵若，且，即可得到，解出即可求得答案【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数的不等式，然后求解，较为基础。
练习1.已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【分析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【解析】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．所以，即实数m 的取值范围是．【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．练习2．已知集合，集合.（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【分析】（1）先求出M、N、C R N，结合条件，得到不等式，解出即可；（2）问题转化为集合N集合M，得到不等式，解出即可．【解析】，89 （Ⅰ）依题意，∴ 或∴或（Ⅱ）依题意， 即∴∴【点评】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件，是一道基础题． 练习3．已知集合，，其中.（1）当时，求集合，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.【点评】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解. （九）集合的运算问题例9. 【上海市2018-2019学年 期中考试】设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【解析】（1）证明：若x∈A ，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A 中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点评】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．练习1．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A ，然后分时，m ＞时三种情况讨论求解实数m的取值范围；（2）把中只有一个整数，分时，m ＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【解析】（1）若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；10②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m 的取值范围是．（3）∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m 当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-.【点评】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．（十）集合的综合问题例10．【重庆市一中2018-2019学年考数学试题】函数的定义域为的值域为B（1）当时，证明：在A上单调递增；（2）若,求实数a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）。