运用函数思想解不等式的变量选择
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
函数方程不等式思想
∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α，有
当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.
（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β-1),logmm(α-1)］
∵0＜m＜1, f(x)为减函数.
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
一．巧用函数思想证明不等式
1、利用函数的单调性
例1、求证：≤ （a、b∈R）
分析：本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索。若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解。
证明：令 f（x）=，可证得f（x）在[0，∞)上是增函数（证略）
而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
∵当x>0时，1-2x<0 ，故f(x)<0
当x<0时，根据图象的对称性知f(x)<0
故当 x≠0时,恒有f(x)<0
即：< (x≠0)
小结：本题运用了比较法，实质是根据函数的奇偶性来证明的，本题也可以运用分类讨论思想。但利用偶函数的轴对称性和奇函数的中心对称性，常能使所求解的问题避免复杂的讨论。
利用函数思想认识和证明不等式
利用函数思想认识和证明不等式摘要：函数思想是中学数学中最重要最基本的数学思想之一，它贯彻于中学课程的始终。
有的专家学者曾用三句话概括中学数学的基本观点：以函数为纲，以方程为网，数形结合。
中学数学中的很多内容如方程、不等式、数列等，若用函数的思想（观点）去认识，往往可以展露新的视角、开辟新的解题思路。
本文试着通过实例，就如何利用函数思想来认识和证明不等式这个问题，做一些探究。
关键词：函数；不等式中图分类号：o12 文献标识码：a 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01根据不等式的结构特点，分析其异同，把相同的量固定下来，把不同的量赋予其一个变量，便可构造一个可供利用的函数。
例1（高中数学必修五，第81页）：分析：设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的面积的值（面积单位都相同），由题意知：00。
教材中利用比较法证得：>这个实际问题的数学实质是：已知00，那么>。
现在我们用函数思想重新打量这个不等式：该式可以改写为 >，这样一来，不等式两边两个式子具有了相同的结构形式。
我们把相同的地方固定下来，把不同的地方赋予一个变量，就可构造出一个函数=，而与就是该函数的两个函数值和，要比较与的大小，只要考查该函数的单调性就可以了。
证明：考查函数=(0设0≤又∵m>0，∴>∴>利用函数f(x)的单调性，若m>n>0，则，由此得推论：推论1：0推论2：0例2（高中数学选修1—2，第38页）：求证-a-2≥1∵0,令，探求分界点，得>，∴>, ∴在(+∞)上单调递增，同理，在(0,)上单调递减,∴≥()而()=(-)2≥0 ∴≥0,即++≥可以看到，要构造辅助函数，就要寻找到一个合适的自变量。
该不等式中的三个字母a、b、c本来都是常量，且地位相同，我们让其中一个字母a“动”起来，看做一个变量，变成一个主元，则就找到了自变量，因而构造出了可供利用的函数。
用函数思想解决不等式问题
函数思想在解决不等式问题中的应用河南省新乡市第一中学 吴 磊函数思想是贯穿于高中数学课程的一条主线，它是高考试题的主要内容.由于函数在某个区间上的正、负与不等式问题直接相关，故用函数的理论方法处理不等式问题大有用武之地.函数思想是用运动与变化的观点分析问题中的数量关系，通过函数形式把相关变量的数量关系表示出来加以研究，从而使问题得以解决的策略思想.函数思想在不等式中的应用大致分为以下几个方面：一、 函数的单调性证明不等式函数的单调性的应用之一就是由自变量的大小得出函数值的大小，利用这一性质即可证明某些不等式.例1、 求证：b a ba b ba a+++≥+++111 简析：由所证不等式构造函数x x x f +=1)(，易知)(x f 在[)+∞,0上为增函数，由b a b a +≥+，可知)()(b a f b a f +≥+，即b a ba b a ba +++≥+++11，所以只需证明b a b a b b aa+++≥+++111即可，接下来的工作可由放缩法解决， 即b a ba b a bb a a b ba a+++=+++++≥+++11111.二、用函数图象的相对位置解不等式例2设函数ax x x f -+=1)(2，其中a ＞0，解不等式1)(≤x f .解：1)(≤x f 等价于ax x +≤+112.设y x =+12，122=-∴x y （y ＞0） 设ax y +=1,则所研究的问题为直线ax y +=1位于双曲线122=-x y 上半支上方时x 的范围,如下图所示,(1) 当0＜a ＜1时,直线l 与双曲线c 有两个交点,横坐标分别为212,0a a x x -==,此时不等式的解为2120a a x -≤≤; (2) 当1≥a 时,直线与双曲线只有 一个(0,1)交点,故只要x ≥0,原不等式就成立,综合(1)、(2)可知，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x ； 当1≥a 时，原不等式的解集为{}0≥x x三、变量的取值范围，可考虑将一个变量表示为另一变量的函数处理 例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围. 解：.13,3-+=∴++=b b a b a ab 又∵a ＞0,b ＞0,13-+∴b b ＞0,∴b ＞1. ()()()()951412514114414411443132=+--≥+-+-=-++=-++-=-+-+=-+=∴b b b b b b b b b b b b b b b ab 当且仅当141-=-b b ，即b =3时，等号成立， ∴ab 的取值范围是[)+∞,9四、 整体分析把不等式问题转化为函数问题解决例4、对于满足40≤≤p 的实数p ，不等式32++px x ＞p x +4恒成立，求x 的取值范围.简析：我们习惯于以x 为自变量构造函数()p x p x y -+-+=342，于是问题转化为当[]4,0∈p 时，y ＞0恒成立，求x 的范围，此时可用二次方程区间实根分布的问题解决，但过程相当繁杂；如果设)34()1()(2+-+-=x x p x p f ＞0 对一切[]4,0∈p 恒成立，则对于一次函数)(p f ，只需)0(f ＞0且)4(f ＞0即可，从而得出()()+∞⋃-∞-∈,31,x，所以用函数思想解题往往能起到“润物细无声”的效果.。
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)
![[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/ea53aff8ba1aa8114531d97e.png)
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
54[1].利用函数思想解不等式的几种策略(王照区)
![54[1].利用函数思想解不等式的几种策略(王照区)](https://img.taocdn.com/s3/m/a574e9b3f121dd36a32d8259.png)
・ 二当 当
当一 ｉ ＜ｘ － ＜ｌ － 时， ｆ （ ｘ ） ＞
一 １ 城ｘ ＿ ｝ － ０
Ｏ ｝ｘ ＿ｌ
ａ 簇 ０ 时， 不等式解集为〔 １ ， 十０ ０） ；
３ ４
解题探讨
今
中学生理科月刊． ２ ０ ０ ４ 一１
浙江省瑞安市第十中 学 ③ 王照区 （ ３ ２ ５ ２ ０ ０ ）
解不等式的基本思想是等价转化， 而在转化变形 过程中， 常出现增根 、 失根的情况， 即不等价变形， 或 出现计算、 讨论较复杂情况． 若巧妙地利用函数思想 方法来解不等式 ， 往往可以使问题简化． 下面通过实 例谈一谈利用函数思想解不等式的几种策略．
原不等式的解集为Ｒ ｃ ＝ ＞ ｆ （ ｘ ） ｍ ｉ ， ＞ ａ ， ｆ （ ｘ ） ）一 ３ ， ａ ＜一 ３ ， 即ａ 的 取值范围 是（ 一 ０ ， 一 ３ ） ．
函数与不等式的知识综合是高考考查的重点内 （ １ ） 求当、 〔［ 一 １ ， １ ］ 时， 函数ｆ （ ｘ ） 的表达式； 容之一， 利用函数的性质解不等式， 可以达到事半功 （ ２ ） 若函数ｆ （ ｘ ） 的最大值为 １ ／ ２ ， 解关于 ｘ 的不 倍的效果， 平时应多加强训练．
直接解不等式．
； ｘ ２ ＋ － ｘ ａ ＋ ｘ １ （ ａ ４ ５ ２ 且 ・ ‘ “ ，
（ １ ） ． ． ｆ （ ｘ ） 是偶函 数，
（ １ ） 求ｘ ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ ） 的解析式； （ ２ ） 解不等式ｆ （ ｘ ） ）１ ． ｆ （ 一 ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ） ． ｘ ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ 一 ｘ ） ＝ ｘ ２ 一ｘ＋１
不等式求解技巧大全
不等式求解技巧大全不等式是数学中的一种重要的关系表达式，解不等式是我们在数学中常常会遇到的问题。
在解不等式时，我们常常需要使用一些技巧和方法来求解。
下面是一些常见的不等式求解技巧。
1.化简法：对于一些较为复杂的不等式，我们可以先进行化简，将不等式转化为一个简单的形式，再进行求解。
例如，对于不等式2(x-1)>3x+4，可以先将其化简为2x-2>3x+4，再继续求解。
2.移项法：不等式的基本思想是找到使不等式成立的数的范围。
在移项法中，我们可以将不等式中的变量项移到同一边，并用0替代不等式。
例如，对于不等式2x+3>5x+2，可以将其改写为0>3x-2，然后继续求解。
3.分情况讨论法：有时候，不等式的解集与变量的取值范围有关。
在这种情况下，我们可以将不等式根据变量的取值范围进行分情况讨论，然后求解每一个情况。
例如，对于不等式，x-1，>2，可以将其分为两个情况讨论：x-1>2或者x-1<-2，然后分别求解。
4.绝对值法：绝对值是求解不等式时常常会遇到的一个概念。
在解绝对值不等式时，我们可以将绝对值分成两部分，然后分别求解每一部分。
例如，对于不等式，2x-1，>3，可以将其分为两个不等式2x-1>3或者2x-1<-3，然后分别求解。
5.图像法：有些时候，我们可以利用图像来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以通过绘制函数y=x^2-4x+3的图像，找到使不等式成立的区间。
6.数列法：数列法是一种递归思想，如果不等式中的变量之间存在其中一种特殊关系，我们可以通过构造一个数列来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-3x-4>0，我们可以构造数列{a_n}，其中a_n=a_{n-1}^2-3a_{n-1}-4，然后通过求解这个数列的极限值来求解不等式。
7.寻找最值：有时候，我们可以通过寻找不等式中的最值来求解不等式。
巧用函数的思想解决不等式问题
例 ２ 方程 ｘ＋ｘ ｂ Ｏ ： ２ ＋＝， ａ 有两根 一。 １
求证 ： １４ ２ ｌ ＋ 。 Ｉ＜ ，１＜ ｂ ｂ ａ４
且Ｉ１ ， ２２ ｘ＜ ｉ１ ， １ ２ ｘ＜
例 １ 已知 ａＯ 解不 等式 ： ／ 二 ： ＞， 、 Ｉ
分析 ： 本题是含 参变量的无理 不等式 ， 常规 的解
此题 用不等式两边 “ 求差” 的方法 构造辅助 函
数。
证： 由已知 条 件得 ａ ａ ｂ ｃ ＜ ， ａ与 ａ ｂ ｃ （＋ ＋ ）０ 则 ＋ ＋
三 、巧 用 函数 的 单调 性 函数 的单调性 是函数最重要 的一个性质 ，有 着
广 泛 的应 用 ，巧妙地 利用 函数 的单 调性解 不等 式 、 证 明 不等 式 ， 有 独到 之处 ， 具 往往 能起 到 出奇制 胜
问题 是非常有效 的手段 。 数形结合 时常将对称轴 、 判 值恒成立 ， 的取值 范围 。 求 分析 ：＝ ｘ—ｘ ｍ ｌ ｙ ｍ ２２ — ＋ 是二次 函数 ， 求解起来 较麻 烦， 注意到题 中给 出 的 ｍ是一 个 范围 ， 若将 ｍ看 做 自变量 ， 看做 常数 ， 则此 函数是一 次函数 。 解： 由题 意得 ： ｘ－ ｘ ｍ＋ ＜ ， ｆ（ ＝ 一 ） ｍ ２２ — ｌ ０ 令 ｍ） （。 １
二 、巧 用 函数 的奇 偶 性
利用 函数 的奇偶 性 不 仅 能解 决 函数 的有 关 问 题， 而且还 能处理一些有 关的非 函数 问题 ， 这就需要
（— ， ２ ， 根据题 设条件 巧妙 地构造 一个 奇 函数 或偶 函数 ， 然 ｍ＋ １ ２ ）一 ≤ｍ≤２
后借助 函数 的奇偶性使 问题 简捷 、 明快地 得以解决。
利用函数思想解不等式
如果 Ｐ和 Ｑ有且仅有一个正确 ， ｃ 求 的取值范 围．
０时事 热点＠ 温家宝 总理２ １ 年 １Ｂｇ Ｉ ０ １ １ Ｅ主持召开 国务 院常务会议 ．研究部署 进一步做好打 击侵 犯知识产 权 和制售假 冒伪劣商 品工作 ．讨论通 过 ‘ 。 － ＿ 控制温 室气体排放工作 方案 ＞。 十－ Ｙ ／ ．
Ｃ 河 ＜ ＜ ｂ Ｄ ． ＜ 口＜ ＜ ６
分析 ： 不用逐一论证 ， 可取特殊值 法来 解决．
解 ：１ 取 ｏ＝ｂ 一１ 则 Ａ、 、 （） ＝ ， Ｂ Ｃ均 不 成 立 ， 选 择 题 的 又
分析 ： 利用指 、 对数 函数 的单调性 ， 即可 比较大小． 解：１ （ ）因 为 ｎ ：５ ＇ ， ｍ¨ ６：５ ：５８瓜 ， １ ￣ ２ ｃ：
÷ｃ。丁则， 的小 系 ，ｌ ４ 。， 大关 是 ＝ ，６ ｃ
Ａ ． ＜ｂ ＜ｃ ０ Ｂ． ｃ＜ｂ ＜０
（ ）２ １ ２ （ ０ １年高考陕西文科卷 ） ０＜０＜ｂ则 下列不等 设 ，
Ｃ． ｂ＜Ⅱ＜Ｃ
Ｄ． ｂ＜ｃ＜口
Ａ ＜＜ ７ 譬 ． ６， ＜ Ｂ ＜７ ＜ 口 ／ ．，＜ ６ 。／
县 增 教 ． 用 单 调 糖 大 小 巾． 一 种 常 用 方 法 ． 利 县
Ｃ ０＞ｃ＞ｂ ．
Ｄ． ｃ＞ｎ＞ｂ
（ 上接 第 ３ ｌ页）分 析 ： （Ｉ）＜法 一 ＞： ｌ ≤２时 ， 等式 当 Ｐｌ 不
＋ ＋１＞ ｘ＋ ２ ｐ总成立 ，
分析 ： 据题意知 ， ０＜ １ 对于 Ｑ， Ｐ： ｃ＜ ， 我们利用下 面两种
所以５ｇ ＞ ｌ孚＞ ｌ ｌ“ ５ｓ ５ｇ ｏ ２ ￣ ３ ｏ ２
（） ２ 因为 。＝ｌ ｉ１＝ｌ ， 。 皓 。 ｇ
用函数思想解决方程或不等式中的参数问题
ｍ＝ 一 ＋１而求 解 函数 ． ）＝一 一 ＋１在 一 ． 厂 （
且对任 意 ， Ｙ∈Ｒ 都 有 ｆ ＋） ， ）＋ （，． （ ， ）＝ （ ， ） 若 ） 间上有解 ， 而求ｆ ） 这个 区问上 的值 域的问 从 （ 在 － ・ ＋ 一 ２ ０对任意 ＥＲ恒成立， 厂 ３） ３ ９ 一 ）＜ （ 题． 当然要进行这个转化的第一步必须是分离参数 求实数 的取值范围． ， ． ｎ 利用函数的单调性和奇偶性可将原不等式转化 类题练 习 １ 已知关 于 的方 程 ０ ： ｈ＋ｔ ｎ ・ ＋１ 为３ 一（ ＋ ）・ ２ ０对任意 Ｅ １ 后 ３＋ ＞ Ｒ成立 ， 等价 ０ 有实根 ， 求实数 ｔ 的取值范围． 于 ｔ一（ ） ＋ ０ 令 ３ ） 任 意 ｔ ０恒成 １＋ ｔ ２＞ （ ＝￡对 ＞ 点拨 ： 本题很 自然的会 把 ０ 作为一个整体换 立． 将左 边视 为关 于 ｔ 若 的二 次 函数 ｚ ｔ一（ ）＝ １＋ 元， 令 ＝口 ， ＞ 将原 问题 转化 为 关 于 ｕ的方 程 ０，
侈 已知集 合 Ａ：｛ ， ） ＋， 一，＋ ０ １ （ Ｙ Ｉ 眦 ， ２＝ ０｝集合 Ｂ＝｛ ，） ～ ， （ ｙ Ｉ Ｙ＋１ ０，≤ ＝ ０ ≤２｝又 Ａｎ ， Ｂ≠ｆ ， ２ 求实数 ｒ的取值 范 围． ｊ ｒ ／ ， 分 析 ： ＡｎＢ≠０两 集合 的交集 非 空转 化 为方 将 程 ＋懈 一 ＋１＝０在 ［ ， ］ 有 实 数 解． 大 多 ０２ 上 绝
是ｇｕ （ ）＝一 一 在 （ ， ０ ＋∞ ） 的值 域． 上
“
类 题练 习 ２ 已知 方程 ２ｉ ： ｓ ｘ＋ＣＳ ＋２ ３＝ ｎ Ｏ 口一 ０ 在 ［ ，盯］ ０ ２ 内恰 有 两 个 不 同 的实 根 ， 。的取值 范 求
围．
用函数的观点看方程与不等式教学设计
用函数的观点看方程与不等式教学设计观美中学张少青函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，一个函数若有解析表达式，那么那个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，假如那个对应关系是函数，那么那个方程能够看成是一个函数。
许多有关方程、不等式的问题能够用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也能够用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。
【教学目标】1、明白得一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会依照一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。
【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的明白得。
【教学难点】对应关系的明白得及实际问题的探究建模。
【教学过程】一、创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。
它与我们往常学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必定的联系。
今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。
（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。
二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必定的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该把握的思想方法。
）二、探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x + 20 = 0.（2）当自变量为何值时，函数y = 2x + 20的值为零？问：①关于2x + 20 = 0和y = 2x + 20，从形式上看，有什么相同和不同的地点？②从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？③作出直线y = 2x + 20，看看（1）与（2）是如何样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，关心学生明白得；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用摘要：高中数学的函数思想，即根据函数的概念与性质，来设计问题、分析问题以及解决问题。
函数的思想在高中数学的解题过程中联系紧密，是解决“数学型”的一种非常常见的手段。
本文笔者结合高中利用函数思想解决问题的教学经验，来浅要分析高中时期如何利用函数思想解决问题？关键词：函数思想；高中数学；解题应用引言：函数思想的研究自初中以来便有了一定的认知，高中教学相较有所区别，在于知识点结合更加紧密，学习范围无论从纵向还是横向都有了更深层的探究，此外，高中解题过程中，利用函数思想更加灵活变换与变量与定量之间的关系。
根据函数思想在高中各大知识点的结合应用，笔者提出一些教学经验。
一、把握函数的概念与性质在高中利用函数思想解决问题的题型数不胜数，函数作为高中学习生涯中至关重要的内容，教师在培养学生如何利用函数思想进行解题时，首要需要学生理解何为函数，函数的性质与概念在解题时是如何结合利用的，故教师在教导学生利用函数思想时，首要解决的是学生对于函数思想的理解，掌握了函数的基本概念与性质才能更好分析题目，解答题目。
例如：在人教版高中教学过程中，借助函数思想解答不等式问题的联系较为频繁。
在教师在教学不等式的解题过程中，可以巧妙借助函数的单调性质，来解析不等式。
如不等式的最值与恒成立问题是函数思想渗透的关键。
以某一解题过程反应，对任意，的值大于零恒成立，求的取值范围。
此不等式的解题思路可以利用函数的单调性进行解答。
何为单调性？教师在利用函数思想借此题时首先需要带领学生回顾函数的单调性，即函数的增减性。
将作为函数单调性中的闭区间，在解答的值是在函数图像中，，以及三段图像进行分析，讨论此图像的走向曲线，来判定的值的具体情况，分别求出三段图像中的取值范围，最终在三段图像中的最终范围运用集合的内容，求得此题的解为。
所以在不等式借助函数思想解题过程中，教师在引导学生解题时，需要回顾函数的单调性质，即在某一区间内某值之间的呈现的递增或者递减的变化。
利用数学思想巧解不等式
◆刘丽霞 对于初 中数学教学 ， 不仅是 传授学生知识 ， 重 ’ 更
要 的是 教 给学 生 一 些 数 学 思 想 、 法 。 比如 ， 归 思 方 化 Ａ、 Ｂ Ｃ错误 。选答 案 Ｄ 。 两 种情 况综 合 ， 故选 答案 Ｄ。 三 、 函数 思想 确定 不等 式 的解 集 用 不 等式 问题 可 以转 化 为 与其 相 关 的 函数 问题 ， 即 用 函数 思 想解 答非 函 数 问题 。 它 主要 是 通 过题 目中 数量 的关 系 ， 决 问题 。 解
轴上 （ 或下 ） 方部 分所 有 的点 的横 坐标所 构成 的集
合 。如 图 ） （
例 ２若 ａ ， ２一１ ＞ｂ则 ａ
２一１（ “ 或 “ ） ｂ ．填 ＞” ＜”
解析 ： 根据不等式 的性质 ２ 在不等式的两边同时 ， 乘以或除以一个正数 ， 不等号的方 向不变。在 ａ ｂ ＞ 的 条件下 ， 不等式两边 同时乘以了２ 原不等号 的方向不 ，
故没有选项 ； 对于ａ： 因为 ａＩ０ 据不等式 的性 质 ２ ２ ， ＞ 故
２ １ 辫 ９。 ０２ ｉ ３
用化 归 思想 比较 不等 式 的大小
不等式 中可以比较大小 ， 它体现 了数学中的化归
思 想 ， “ 归 ” 所 得 出 的 问题 ， 是 已经解 决 或是 即 化 后 应 较 为 容易 解决 的问题 。
例 １若 ａ ， ｃ ｃ ｃ ＞ｂ ａ ＜ｂ ， ０（ “ 或 “ ） ． 填 ＞” ＜”
数学问题的结果不唯一时将数学问题按某种标准分
类作 答 的一种 思想 方 法 。
（ 。 ）
Ａ． ｘ＞ａ Ｂ． ２ ＜ ａＹ Ｃ． ２ ａ ｙ ａｘ￣ ａｘ＞ａ ｙ Ｄ． ２ ＞ ａＹ ２ ａｘ￣
利用二次函数解决不等式问题
以算）恒正及一（口）＞ｏ； ③利用二元函数ｆ（ｘ，口）分离
变量为∥（口）、一（并），若已知一（膏）有 最大值肼，则ｆ（ｘ，口）＞ｏ恒成立的
条件就是痧（口）＞Ｍ成立的条件．
这里的思路（鳓其实在高中课
内教学中是很难遇到的具有新意的 数学思想，务必让学生掌握，现在 我们仅就后二思路给出两种解法．
２－导冉（茹一１）２＜ｏ．
由二次函数的图像知，当口∈ （０，１）时，火ａ）＜ｍａｘ｛ｆ（ｏ）以１）ｌ＜ｏ， 以并）＜０，因此，结论成立．
变更元是解答多元变量的问题 的一条有效的方法，本题通过变更 元构造出一个二次函数，再利用二 次函数的性质进行解答的．
２．利用二次函数巧解不 等式
例３设ｘ是实数，不等式
诎２＋２茗一１． 函数．令ｆ（ａ）＝（矿＋２ｘ２）ａ２一（３ｘ４—２矿）
显然ｘ４＋搿ｔ＞０，特别地ｘ－－Ｏ
时，以０）＝－１＜０成立， 而互≠０时，ｆ（Ｏ）＝一４矿＋２ｚ一
ｗ＾ １＝－４（ｘ－了１，＂２一了３
，（１）≈４＋缸２一缸４＋知３—如２＋缸一
１：一２一＋氩３一ｈ２＋厶一ｌ＝－２（ｘ２一丁１茗）
解得０＜ａ＜１．
责任编辑罗峰
广东教育·教研２００８年第１２期
万方数据
利用二次函数解决不等式问题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴玉荣 潮州市松昌中学
广东教育（教研版） GUANGDONG EDUCATION 2008，""(12) 0次
本文链接：/Periodical_gdjy-jyb200812065.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3bf1b4f1-c41f-4ba9-ac15-9da50168cd01，下载时间：2010年6月 30日
解不等式的几种常见思路
解不等式的几种常见思路不等式是数学领域中一个很容易被混淆的概念。
这种领域之所以难以理解，可能是因为很多学生没有形成系统的解决方法，而是被这一学科中的许多公式所困扰，从而产生了无法解决复杂的不等式的困惑。
本文将展示一些常用的解不等式的思路，以及如何应用它们有时会出现的一些困难，以帮助读者更好地理解这一学科。
第一种思路就是使用分段函数的思想来解决不等式。
本质上，将不等式中的变量分为两个段，并比较每个段的概率值。
如果两个变量的概率值相等，则可以得出结论：不等式成立。
一般来说，变量x的概率值是由函数f(x)来确定的，函数f(x)在不等式中可以表示为：F(x)≥G(x)，其中F(x)表示x的概率值，G(x)表示另一个变量y的概率值。
从这里可以得出结论：只要F(x)≥G(x)，就说明不等式成立。
另一种解不等式的思路是将不等式中的变量分为几类，并用一两种方法来比较这几类的概率值的大小。
例如，比较变量x和y的概率值，可以首先计算出x的概率值，然后再计算y的概率值，最后比较x和y的概率值，如果x大于y，则可以确定不等式成立。
注意，在这种情况下，不适用分段函数的思想，而是将变量分为几类，再分别计算每一类的概率值，最后将这些概率值比较得出结论。
第三种思路是根据解中的变量类型和取值范围来确定不等式的性质。
例如，如果解中的变量是实数，取值范围是[0,∞]，那么就可以确定不等式的形式是单调递增的，即必有x≤y，且不等式成立。
另一方面，如果解中的变量是实数，取值范围是[-∞,0]，那么就可以确定不等式是单调递减的，即必有x≥y，且不等式成立。
最后，有一种思路可以让读者在处理复杂不等式时不易出错，这就是“解不等式分析法”。
在这种思路中，需要将不等式中的变量按不同类型分别求解，并对求得的结果进行分析，以便得出正确的结论。
例如，对于不等式x2 +2x≥-1，可以将变量x分为正数和负数两类进行求解，并且可以得出结论：x<-2或x>1，即不等式x2 +2x≥-1的解是x∈(-2,1)。
不等式中的函数思想总结
不等式中的函数思想总结函数是数学中的一个重要概念，它表示一种关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数的思想在不等式中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种不等式的问题。
本文将对不等式中的函数思想进行总结，力求使读者对此有一个全面的了解。
首先，不等式中的函数思想被广泛应用于求解一元一次不等式。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，形如f(x)≥0或f(x)≤0的形式。
在解这种不等式时，我们可以将其转化为求解关于x的一元一次方程的问题。
具体做法是，将f(x)与0比较，如果f(x)>0，则方程f(x)=0无解；如果f(x)=0，则方程f(x)=0的解即为不等式的解；如果f(x)<0，则通过求解方程f(x)=0，再确定不等式的解的范围。
其次，函数的思想在不等式的图像表示中也有重要作用。
不等式的图像表示是一种直观的解题方法，通过将不等式表示的区域在坐标轴上画出来，可以直接观察不等式的解的范围。
在画出不等式的图像时，我们可以先将不等式转化为函数的形式，然后再根据函数的性质来进行画图。
例如，对于一个函数f(x)=x^2+2x-3，我们可以通过分析函数的图像，确定它的零点和拐点的位置，然后再根据不等式f(x)>0或f(x)<0来确定图像的范围。
此外，函数的思想在不等式的运算中也有重要应用。
在解不等式时，我们经常需要对不等式进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
在进行这些运算时，我们需要根据函数的性质来确定不等式的符号。
例如，对于不等式f(x)>g(x)，如果我们希望将其化简为只含有一个函数的不等式，则需要对两边同时减去g(x)，得到f(x)-g(x)>0。
通过对函数的进行运算，可以将复杂的不等式问题转化为简单的函数关系，从而更容易进行分析和求解。
最后，函数的思想在不等式的证明中也有关键的作用。
在进行不等式的证明时，我们经常需要利用函数的性质来推导出不等式的结论。
不等式的妙用
不等式的妙用发表时间：2011-01-28T10:34:07.687Z 来源：《少年智力开发报》2010年第11期供稿作者：刘志军[导读] 本题通过不等式恒成立这一条件，联想到函数的最小值，这是解本题的关键。
四川省邻水中学刘志军近年的高考试题已把不等式的妙用渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容，充分体现不等式应用的工具作用。
一、不等式与函数（方程）不等式和函数密不可分的，如一元二次不等式的解法就是借助相应的二次函数的图象和一元二次方程的根来求解的，其实一个不等式的解集的端点往往就是相应方程的根。
点评：利用函数思想，变换主元利用直线型函数特点求解。
点评：本题通过不等式恒成立这一条件，联想到函数的最小值，这是解本题的关键。
例3. 若关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围。
分析：考查不等式的解法及均值不等式的应用，因为，所以可以利用换元思想将方程转化为一元二次方程。
点评：法1的思路是换元后转化为一元二次方程根的分布问题，法2是换元后采用了分离参数法，在求参数范围时，分离参数法是非常重要的，它实际上将求参数的范围转化为求一个代数式的范围，再利用函数求值域的方法或均值不等式来求解。
二、不等式与函数最值点评：通过将参变量分离到式子的两边从而将问题转化为求函数的最小值，这种参变量分离的方法是求参数范围的一种常用方法，此题还可通过令将问题转化为二次方程根的分布问题，但解法不如此解法简洁。
三、数列与不等式的综合问题数列中的不等式关系的证明与判断：如数列的最大（小）项，前几项和的最值、公差、公比，次数的取值范围等都与解不等式或者证明不等式有密切关系。
本题利用了作差法来比较大小，它是一种常用的方法之一。
四、不等式的实际应用解答不等式的实际应用问题，需要阅读理解材料，弄清问题背景，建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题，运用不等式的知识，手段讨论不等关系。
例6：产品进入市场，满足的销售规律是价格越高，销售量越少，某产品的价格每吨P万元，销售量为q吨，则P与q满足的关系q=30-p，（1）若该产品在某地市场被一个公司垄断，试说明该公司为获得的最大收入，不会一味追求价格的提高，并求出收入最大时该产品的价格。
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线 恒 轴 方由 ： 三得 段 在 上 ，｛；即
． ３一 ０．＞ 『 ２ 『 ＞ ｔ
＞ ０
最后 可得 ＞
或 ＜－ － ＿４ ３厂 ｑ ７
．
例 ２ 已知 ０ ≤１ ， ｍ ￣ ≤ ５若 ／ ＋１ ＝
＋５则 其 中 ｍ 的取值 范 围是 什么 ？ ， 分 析 ： 用 函数思 想 ， 运 上述 问题 即为 求 函
Ａ、 一∞， ） （ 一２ Ｂｌ ， 、 一２ ＋∞ ）
分析 ： 由于 口 ｂ ｃ 个 字母 是轮 换 对 称 、、 三
的， 故我们可以选择其 中任一个作为变量 ， 另
两个作为常量 ， 不妨 设 口为变 量 ， 可将 其 化 则 为关于 口的函数 厂 口 （ ）＝（ ｂ＋ｃ 口＋６， 要 ） ｃ只 证 明 厂口 ＋１ ０对 Ｉ ＜１ （） ＞ 口Ｉ 恒成立 即可 ． 通过 数形结合 可以得到 只要满足 ｆ 一１ ＋１ （ ） ＞０且
＿＝
￣ ／
＝￣ ＋１ ￣ ／ ｒ ＋＿二 ＋＿ 一 ； 经过换 元 ｔ 丹 再 经皿秧 兀 ：
：
＋ｌ
￣ ／
＋ｌ
￣ ＋１可将原 函数转化 为基本 函数 ｖ ／ ， ＝ｔ
过变量 的整体相对性 ， 即通过换元的方法可 以将一 般 函数 转 化 为 基 本 函数 ， 而 运 用 基 从
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２０ ０ ６年 第 ３期
河 北理科 教 学研 究
口 ＇题 讨论 ］
运 用 函数 思 想解 不 等 式 的变 量选 择
浙 江省海 盐县教 研 室 沈顺 良 ３４ ０ １３ ０
运用函数思想 ， 我们可 以将不等式问题
转 化 为 函数 问题 ， 而 利 用 函数 的 工 具来 解 从
量， 即将 ＋（ ０—４ ＋０—３看 成 是 关 于 ）
分析 ： 不等式 ＋０ Ｉ ＞０即为 ＋１ Ｉ １ ｌ ｌ ｌ ＞０ 运 用 函数 思想 可化 为 ｖ ＋０ｌ ＋１ ， １
＝
Ｉ Ｉ＋０Ｉ Ｉ 对 一 切 实 数 恒 大 于或 ＋１
等于 ０ 然后将其 中的 Ｉ Ｉ ； 看成一个变量 ｔ ，
ｆ １ ＋１ ， 厂 一１ ＋１ 一ｂ—ｃ ｃ （ ） ＞０ 而 （ ） ＝ ＋６ ＋１
＝
Ｃ ｌ ， 、 一２ ２ Ｊ
Ｄ、０ ＋∞） ｌ，
分 析 ： 法一 同例 １是将 不等 式左 边 看 解 ， 成 是关 于 的一 元 二次 函数 值 ． 解 法二 是 分 离 出 口， 即将 其 看 成 是 口关 于 的 函数 ， 首先 考虑 口＝０的情形 ， 代入 即 可得 是成立 的 ； 然后将 不 等式转 化 为 口 ≥
讨可得｛２ 或一≥ （ 量 ，（ ＋１ ０＋（ 一４ｘ一３）， 用 函 数思 论以到一≤ ｛ ０ 也 数式我们可以将原式看成是关于变量 。的代 或 ） 号ｏ 运
／０Ｉ 【（ 号） （） ０ ／ 一 ≥０ ＞
可以由图象 在 ｖ轴上截距 为 １ 到第一种 得 情 况一 定成 立 ）从而 得解 ： ≥ 一２ ， ０ ．
本 函数 的性质 解决 问题 ．
＋ ４ ≥１， ÷（≥ｔ ）利用其在（，］［， ∞） ０２、 ＋ 的 ２
增减性可以得到 ｍ 的取值范围是 ［ ，］ ４５ ． ２ 把握 变量 与 常量 的相对 性 ， 明确解题 思路
在包含 多个字母 的函数或式子 中 ， 照其 按 形式容 易受思维 负迁 移 的影响 ， 解题错误 导致
・
【 ＞ 或 ＜ ＞ 蔓 ＜ ｌ‘ ０ １ｊ
或 ＜Ｔ－ｅ － ３ຫໍສະໝຸດ ｑ７１ ０ ・ 维普资讯
２０ ０ ６年 第 ３期
河 北理科 教 学研 究
问题 讨论
例 ４ 若 口 ｂｃ ， ， Ｒ且 Ｉ ＜１ Ｉ ＜１ Ｅ 口Ｉ ，ｂ Ｉ ，
Ｉ ＜１ 贝 ６＋６ Ｉ ， ０口 ｃ ｃ＋Ｃ ＞一１ Ｏ ； ．
３ 合理 选择 主 元 ， 简化 解 题过 程
在 多个 变量 的情 形 下 ， 适 地 选 择 主 变 合 量， 然后 运用 函数 方程 思想 或 数形结 合思 想 ， 则 能简 化解题 过 程 ， 则会 造成 解题 的繁琐 ． 否 例 ６ 对一 切 实数 ， 等式 ＋口Ｉ Ｉ 不 ＋１ ０恒 成立 ， 实数 口的取 值范 围是 ＞ ／ 则
数 ｍ ＝＿二一 的值 域 ， 过 变 形 可 得 ｍ ＝ Ｘ＋ Ｄ 通
￣ ＋ ｌ ／
决不等式问题 ． 选择合适的变量 ， 能使函数思 想 的运用 变得顺 利 、 简化 ．
１ 运用 变量 的整体 相对 性 ， 转化 为基 本 函数 问题 解决 中的更 多 函数 为基 本 函数 ， 通
例 １ 对一切实数 ， 不等式 ＋０Ｉ Ｉ ＋１ ≥０恒成 立 ， 则实 数 ０的取值 范 围是 Ａ（ 、 一∞， ２ 一） ｃ ［ ２２ 、 一 ，］ Ｂ ［ ２ ＋∞） 、一 ， Ｄ ［， 、０ ＋∞）
或繁琐 ． 仔细阅读题意 ， 则能准确把握其 中哪 个字母 是变量 ， 变量应该看成是 常数 ． 哪个 例３ ＋ ０— ） ＋０ 在 ０ １ （ ４ —３ ∈（ ， ３ 时恒 正 ， ］ 求 的取值 范 围 ． 分析 ： 受形式 ＋（ ０—４ ＋０—３的 ） 影响， 我们容易将 ０ 成常量 ， 看 将 看成变
值得注意的是该问题 中关 于变量 ｔ 是一元 二次 函数 ， 于变量 不是 一元二次 函数 ， 而关 因 此不能混淆成二次函数在 Ｒ上恒大于等于 ０ ． 想 即可转 化 为 厂 ０ ＝（ｆ ） （ ） ．＋１ ０＋（ 一４ Ｉ
一
３在 ０ １３ 上恒正， ） ∈（ ， Ｊ 借助数形结合得到
则将 原 问题转 化 为 了基 本 二 次 函数 ｆ（ ） ｔ＝
ｔ ＋ａ ＋１ ０ ＋∞） ｔ 在［ ， 上恒大于或等于 ０ 运 ； 用数形结合思想， 通过关于其对称轴位置的
变量 的一元二 次形式 ， 使解题思路受 阻． 其实由题意可知， 它是对 ０ １３ 恒成立 ， ∈（ ， ］ 因此 其 变量应 该 是 ０， 这样 字 母 就 成 了常