全国研究生数学建模竞赛论文(2012年国家一等奖)讲解

参赛密码（由组委会填写）第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛学校山东-青岛科技大学参赛队号C10426015队员姓名1.刘邵星2.荆禄旭3.韩梦参赛密码（由组委会填写）第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛题目有杆抽油系统的数学建模及诊断摘要：本文主要研究有杆抽油系统的数学建模及诊断问题。

针对问题一，本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发，首先建立了游梁的摆动方程，进而求得了悬点E运动的数学模型（式（19）），并根据题给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线（如图3），最后与有荷载的附件1的悬点位移数据进行了比较（见表1）。

针对问题二，首先利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为位移函数和荷载函数，并对其进行傅里叶级数展开，得出了悬点处随时间变化的位移和荷载函数，求得了泵随时间变化的位移和荷载函数，进而计算出两口油井的泵功图数据（表3、表4），绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图（图5、图6）。

针对问题三，本文选择对第2问（泵内气体判断）进行研究。

首先对泵内气体影响情况进行了分析，然后给出了有效冲程的计算方法，在此基础上提出了泵内是否充气的判别算法，并根据所给数据求解判断出口井1泵内有气，口井7泵内无气。

针对问题四，第一问中，首先分析了Gibbs波动方程建立的过程，认为Gibbs 模型忽略了重力的影响，在Gibbs模型的基础上加入了重力因素加以改进，得到了相应的位移和荷载函数（式71、式72）。

第二问中，通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式，并给出了迭代求解阻尼系数的算法和迭代流程图（图9）。

本问题的研究对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义。

关键词：Gibbss模型，阻尼系数，傅里叶系数，有效冲程1．问题重述目前，开采原油广泛使用的是有杆抽油系统（垂直井，如图1）。

电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭，从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。

通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况，如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。

要精确诊断油井的工作状况，最好采用泵功图。

然而，泵在地下深处，使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。

因此，通过数学建模，把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图（统称为地下示功图）并最终确定泵功图，以准确诊断该井的工作状况，是一个很有价值的实际问题。

请解决以下问题：问题一：光杆悬点运动规律电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。

假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动，悬点E下只挂光杆（光杆下不接其它杆，不抽油，通常用来调试设备）。

请按附录4给出四连杆各段尺寸，利用附件1的参数，求出悬点E的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。

并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。

问题二：泵功图计算请使用Gibbs模型，给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；附件1是只有一级杆的某油井参数和悬点示功数据，附件2是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据，利用它们分别计算出这两口油井的泵功图数据；并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图（每口井绘一张图，同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上，请标明坐标数据）。

问题三：泵功图的应用（下面2小问选作一问。

鼓励全做）1）建立2个不同的由泵功图估计油井产量的模型，其中至少一个要利用“有效冲程”；并利用附件1和附件2的数据分别估算两口油井一天（24小时）的产液量。

（单位：吨，这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体）2）如图5（C）形式的泵功图表示泵内有气体，导致泵没充满。

请建立模型或算法，以由计算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情况。

并对附件1、附件2对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。

问题四：深入研究的问题（下面2小问选作一问。

鼓励全做）1）请对Gibbs模型进行原理分析，发现它的不足。

在合理的假设下，重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；利用附件1、附件2的数据重新进行计算；对计算结果与问题二的计算结果进行比较，分析你的模型的优缺点。

2）Gibbs模型在数学上可简化为“波动方程”：22222u u ua ct x t∂∂∂=-∂∂∂其中a为已知常数，c称为阻尼系数，鉴于大多数的阻尼系数公式[1][2]是作了诸多假设后推出的，并不能完整地反应实际情况。

如果能从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参数c，贡献是很大的。

对此，请你进行研究，详细给出计算c的理论推导过程并尽可能求出c。

如果需要题目之外的数据，请用字母表示之并给出计算c的推导过程。

2．模型假设1．深井泵质量合格工作正常。

2．不考虑活塞在上下冲程中抽油杆柱所受到的摩擦力、惯性力、振动荷载和冲击荷载等的影响。

3．力在抽油杆中的传递是瞬时的，阀的起落也是瞬时的。

4．抽油设备在工作过程中不受沙、蜡、水和温度等因素的影响。

5.油层供液能力充足。

3．通用符号说明 序号符号 符号说明 10θ 0θ为游梁初始摆角 2w w 为曲柄转动角速度 3H H 为O '到坐标横轴的距离 4E E 为钢杆弹性模量 5r A r A 为抽油杆柱在x 截面处的截面积 6I I 为O '到坐标纵轴的距离。

7E S E S 为任意时刻悬点位移 8'J 'J 为J 对时间的导数 9ψ' ψ'为ψ对时间的导数 10θ' θ'为游梁摆动的角速度 11 θ''θ''为任意时刻游梁摆动的角加速度 4．问题一 ：光杆悬点运动规律4.1问题分析题目要求根据附录4给出的四连杆各段尺寸，利用附录1的参数，求出悬点E 的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。

并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。

有杆抽油系统的悬点运动的位移、速度和加速度，是抽油机结构设计及力学分析的重要运动参数。

考虑到有杆抽油系统以游梁支点和曲柄轴中心的连接线做固定杆，以曲柄、连杆和游梁后臂为三个活动杆。

我们可从有杆抽油系统四连杆机构的几何关系和运动特点出发，建立游梁的摆动方程，通过建立的游梁的摆动方程得出游梁摆角的变化规律，进而求解悬点E 的一个冲程的运动规律（位移函数、速度函数、加速度函数）建立相应的数学模型，然后联系到实际情况对模型进行简化、求解，最后利用所求结果与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。

4.2 有杆抽油系统四连杆运动函数计算4.2.1游梁摆动方程的建立有杆抽油系统四连杆几何结构如图1所示。

假设曲柄沿顺时针方向做角速度为w 的匀速周期运动。

=0t 时刻，曲柄滑块D 位于上顶点（0=φ），AB 平行于水平面，E 对应坐标原点（称为E 的下死点），E 的位移为0；D 运动到下顶点（=φπ）时，E 的位移到达最大（称为E 的上死点）；D 接着运动到上顶点（2=φπ）时，E 又回到位移为0的位置，完成一个周期（即一个冲程）[1,2]。

图1 有杆抽油系统四连杆几何结构图其中：YOB θ∠=，COD ψ∠=，OO M β'∠=，MO D φ'∠=,OA a =，OB b =，BD L =,OD J =,OO K '=,O D r '=,H 为O '到坐标横轴的距离，I 为O '到坐标纵轴的距离。

在OBD ∆中，根据余弦定理可得[3,4]：[]2222cos ()L b J bJ πθψ=+--+ （1）得 2221cos 2b J L bJ θπψ-⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭（2) 由几何关系可得： ()()22sin cos J I r H r φφ=++- （3） 1sin cos I r tg H r φψφ-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭（4） 可知式中wt φ=。

综上得游梁的摆动方程为：()()2221221cos 2sin cos sin cos b J L bJ J I r H r I r tg H r wt θπψφφφψφφ--⎧⎛⎫+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=++-⎨⎪⎛⎫+=⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪=⎩(5) 4.2.2 悬点位移函数游梁摆动时，因前、后臂转动的角度相等，对于任意时刻，游梁的角位移θ∆为[3,4]0θθθ∆=- 式中0θ为游梁初始摆角，即0t =时刻游梁与纵坐标方向的夹角，故这里02πθ=。

悬点E 的运动情况可以看做图中A 点的运动情况，故任意时刻悬点位移E S 为2221cos 22E A b J L S S a bJ πψ-⎛⎫⎛⎫+-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6） 其中： ()()22sin cos J I r H r φφ=++- 1sin cos I r tg H r φψφ-⎛⎫+=⎪-⎝⎭ 4.2.3 悬点速度函数将式（2）两边同时对时间t 求导数，可得游梁摆动的角速度θ'为[3,4]()()cos sin J J bJ θψθψθψ++'''=-+ （7） 其中：'J 和ψ'为J 和ψ对时间的导数。

由式（3）和式（4）得sin()J wr φψ'=+ （8）cos()wr Jψφψ'=+ （9） 将式（8）和式（9）带入式（7）得()()cos sin()cos()sin J wr wr bJ Jθψθφψφψθψ++'=+-++ （10） 整理的得()()()sin sin sin wr J b bJ φψφθθθψ++-⎡⎤⎣⎦'=+ （11）由几何关系不难得到 ()()sin sin J K φψφβ+=+ （12）其中： 22K I H =+ 1I tg Hβ-= 将式(12)带入式（11）中，得游梁摆动的角速度θ'为()()()sin sin sin wr K b bJ φβφθθθψ++-⎡⎤⎣⎦'=+ （13）游梁摆动时，因前、后臂的角速度相等，故任意时刻悬点的速度E V 为()()()sin sin =sin E A awr K b V V a bJ φβφθθθψ++-⎡⎤⎣⎦'==+ （14）4.2.4 悬点加速度函数将式（13）两边同对时间t 求导，整理得任意时刻游梁摆动的角加速度θ''为()()()()22cos cos 2cos cos sin(+)w r K b bwr bJ φβφθθφθθθψθθψ''++----+⎡⎤⎣⎦''= （15） 游梁摆动时，因前、后臂的角速度相等，故任意时刻悬点的速度E A W W a θ''==为()()()()22cos cos 2cos cos sin(+)E w r K b bwr W a bJ φβφθθφθθθψθψ''++----+⎡⎤⎣⎦= （16） 对于一定型号的抽油机，其尺寸(),,,,,a b L H I r 是已知的，给定曲柄旋转的角速度w 或转速n ，应用以上公式便可计算各运动参数[3]。