九年级数学下册 2_5_4 三角形的内切圆习题 (新版)湘教版
九年级数学下册 第2章 2.5.4 三角形的内切圆练习 (新版)湘教版
2.5.4 三角形的内切圆知|识|目|标1．经过观察、讨论、猜想教材“议一议”与“动脑筋”，理解三角形的内切圆的概念及其作法．2．结合方程思想，会求直角三角形内切圆的半径.目标一 掌握三角形的内心的性质与内切圆的画法例1 教材补充例题某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．(1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域(如图2－5－17)内确定圆形花坛的圆心P ； (2)若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．图2－5－17【归纳总结】对三角形的内切圆的理解及内切圆的作图步骤：(1)任何一个三角形都只有唯一的内切圆，而一个圆可以有无数个外切三角形． (2)三角形内切圆的作图步骤：①分别作三角形任意两个内角的平分线，设两条内角平分线相交于点I ； ②过交点I 作三角形任意一边的垂线段；③以交点I 为圆心，以②中垂线段长为半径作圆，则所作的圆为三角形的内切圆． (3)三角形的内切圆是三角形内所作的最大的圆，也是三角形能够覆盖的最大的圆，在材料的使用率最大上直接得到体现．目标二 会进行三角形内切圆的有关计算例2 教材例6针对训练如图2－5－18，在△ABC 中，内切圆I 和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，F ，E.求证：(1)∠FDE ＝90°－12∠A ；(2)∠BIC ＝90°＋12∠A.图2－5－18【归纳总结】三角形内切圆的有关计算： (1)三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此三边所在直线均是内切圆的切线，连接圆心与切点，即可构造直角三角形；图2－5－19(2)设三角形的内心为I ，则内心I 向三角形一边张开的角的度数等于这边的对角的一半加上90°.即如图2－5－19，∠I ＝∠A2＋90°.例3 高频考题如图2－5－20，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.⊙O 是△ABC 的内切圆，与三边分别相切于点E ，F ，G. (1)求证：内切圆的半径r ＝1； (2)连接OA ，求tan ∠OAG 的值．图2－5－20【归纳总结】三角形内切圆半径的计算方法：(1)若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r 内，三角形的面积为S ，则有： ①S ＝12(a ＋b ＋c)·r 内；②r 内＝2Sa ＋b ＋c.(2)直角三角形中，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，内切圆半径为r 内，则有r 内＝a ＋b －c2.知识点 三角形的内切圆、内心1．三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆；三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的内心．2．(1)“内切”“外切”只不过是相对位置的内与外，“内”是相对三角形而言，“外”是相对圆而言．(2)正确区分三角形的外接圆与内切圆、接与切、外心与内心这三组概念：①若三角形的三个顶点在圆上，则圆在三角形的外部，这个圆叫作三角形的外接圆．②若三角形的三边都和圆相切，则圆在三角形的内部，这个圆叫作三角形的内切圆．三角形的顶点都在圆上叫作“接”，三角形的边都与圆相切叫作“切”．③内心是三角形三条角平分线的交点，而外心是三角形三边垂直平分线的交点．3．三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的性质对比如下：如图2－5－21，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，小明认为剪下的三角形的周长随直线MN的变化而变化．你认为他的看法正确吗？如果你有不同的意见，请说出你的理由．图2－5－21教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，再求出其面积．解：(1)要使花坛面积最大，需在△ABC 内作一个内切圆，则此圆面积最大，图①中的点P 即为所求．(2)如图②，过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，连接PB.由题意，知在Rt △BPD 中，BD ＝9米，∠PBD ＝30°，∴tan 30°＝PD BD ，∴PD ＝BD·tan 30°＝9×33＝3 3，∴花坛的面积为π×(3 3)2＝27π(米2)．例2 [解析] (1)欲证∠FDE ＝90°－12∠A ，观察图形，联想切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和定理，需连接IE ，IF ，则∠AEI ＝∠AFI ＝90°.因此，在四边形AEIF 中，有∠EIF ＝180°－∠A ，所以∠FDE ＝12∠EIF ＝12(180°－∠A)，问题得证；(2)在△IBC 中，∠BIC ＝180°－(∠1＋∠2)．因为BI ，CI 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，所以∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠ACB.再根据三角形内角和定理可得结论．证明：(1)如图，连接IE ，IF.∵AB ，AC 是⊙I 的切线， ∴∠AEI ＝∠AFI ＝90°.∵∠A ＋∠AEI ＋∠EIF ＋∠AFI ＝360°， ∴∠A ＋∠EIF ＝180°， ∴∠EIF ＝180°－∠A. ∵∠FDE ＝12∠EIF ，∴∠FDE ＝12(180°－∠A)，∴∠FDE ＝90°－12∠A.(2)∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠ACB.∵∠1＋∠2＋∠BIC ＝180°， ∴∠BIC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)．∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ， ∴∠BIC ＝180°－12(180°－∠A)，即∠BIC ＝90°＋12∠A.例3 [解析] (1)如图，连接OE ，OF ，OG.由⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，得到四边形CEOF 是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；(2)连接OA ，在Rt △AOG 中，由锐角三角函数得到结果．解：(1)证明：如图，连接OE ，OF ，OG. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°， ∴易证四边形CEOF 是正方形， ∴CE ＝CF ＝r.由切线长定理知AG ＝AE ＝3－r ，BG ＝BF ＝4－r. ∵AG ＋BG ＝5，∴(3－r)＋(4－r)＝5，解得r ＝1.(2)连接OA.在Rt △AOG 中，∵r ＝1，AG ＝3－r ＝2，∴tan ∠OAG ＝OG AG ＝12.备选目标 三角形的内心与各顶点的连线平分三角形内角性质的应用例 如图所示，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∠C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a.设⊙O 的半径为r.求证：r ＝aba ＋b ＋c.[解析] 连接OA ，OB ，OC ，则S △ABC ＝S △OAC ＋S △OBC ＋S △OAB ＝12AC·BC.证明：连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ， 则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OF ⊥AB. ∵OD ＝OE ＝OF ＝r ， ∴S △OAC ＝12AC·OD＝12br.同理S △OBC ＝12ar ，S △OAB ＝12cr.∴S △ABC ＝S △OAC ＋S △OBC ＋S △OAB ＝12(a ＋b ＋c)r.又∵S △ABC ＝12AC·BC＝12ab ，∴12(a ＋b ＋c)r ＝12ab ，∴r ＝aba ＋b ＋c. [归纳总结] (1)内心是三角形三个内角平分线的交点，因此，①内心与各顶点的连线一定平分该内角；②内心到各边的距离相等，这个距离即是内切圆的半径．(2)若在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，由以上性质可推出S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r ；直角三角形内切圆的半径r ＝a ＋b －c 2＝aba ＋b ＋c (a ，b 分别是直角三角形两直角边的长，c 为斜边长)．【总结反思】[小结] 知识点 1.三条角平分线 [反思] 小明的看法错误，理由略．。
九年级数学下册 2_5_4 三角形的内切圆试题 (新版)湘教版
2．5.4 三角形的内切圆知识要点1 三角形的内切圆及作法文字叙述图例有关概念(1)三角形的内切圆：与三角形各边都________的圆.(2)圆的外切三角形：三角形的三边都与一个圆相切，这个三角形叫作圆的外切三角形.作法作△ABC的∠ABC、∠ACB的________，设交点为I，以点I为圆心，点I到三角形任一条边的________为半径作圆，则⊙I就是该三角形的内切圆.知识要点2 三角形内心的定义及性质内容定义(1)三角形的内心；三角形内切圆的圆心.(2)三角形的内心是这个三角形的三条____________的交点.性质(1)三角形的内心到三角形三边的距离________．如上图，ID＝IE＝IF.(2)三角形的内心与三角形顶点的连线________这个角．如上图，BE为∠ABC的平分线.解题策略内切圆半径与三角形边的关系：(1)任意三角形的内切圆(如图①)，设三角形的周长为C，则S△ABC＝12Cr.(2)直角三角形的内切圆(如图②)①*切线长定理推导：由图可得四边形ODCE为正方形，∴OD＝OE＝CD＝CE＝r，∴BD＝a－r，AE＝b－r，又BF＝BD＝a－r，∴AF＝AB－BF＝c－(a－r)＝c－a＋r.所以由AF＝AE，有c－a＋r＝b－r，可得r＝12(a＋b－c)；②面积推导：S△ABC＝12ab＝12(a＋b＋c)r，可得r＝aba＋b＋c.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB 、BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt△MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r分析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt△ABC的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt△MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r .故选C.(教材P74例6变式)如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，∠B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数．分析：连接OE ，OF .由三角形内角和定理可求得∠A ＝50°，由切线的性质可知∠OFA ＝90°，∠OEA ＝90°.根据四边形内角和为360°得到∠A ＋∠EOF ＝180°，故可求得∠EOF ＝130°.由圆周角定理可求∠EDF .方法点拨：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF 的度数．如图，已知E 是△ABC 的内心，∠A的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D.(1)求证：BD ＝ED ；(2)若AD ＝8cm ，DF ∶FA ＝1∶3.求DE 的长．分析：(1)求证BD ＝ED ，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE ＝∠DEB 即可；(2)要求DE 的长，可转化为求BD 的长．利用△BDF ∽△ADB ，用比例式即可求解．方法点拨：(1)充分利用内心的定义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝80°，O 是△ABC 的内心，∠BOC ＝___度．2.如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．3．已知，在△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F .(1)若∠A ＝60°，求∠FDE 的度数； (2)若∠A ＝130°，求∠FDE 的度数；(3)你能猜想出∠FDE 与∠A 有什么数量关系吗？参考答案: 要点归纳知识要点1：相切 角平分线 距离 知识要点2：角平分线 相等 平分 典例导学 例1 C例2 解：连接OE ，OF .∵∠B ＝60°，∠C ＝70°，∴∠A ＝180°－60°－70°＝50°.∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OFA ＝90°.同理∠OEA ＝90°，∴∠A ＋∠EOF ＝180°，∴∠EOF ＝130°，∴∠EDF ＝65°.例 3 (1)证明：∵E 是△ABC 的内心，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠BAD ＝∠CAD .又∵∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CBD .∴∠CBE ＋∠CBD ＝∠ABE ＋∠BAD .即∠DBE ＝∠DEB ，∴BD ＝ED ；(2)解：∵AD ＝8cm ，DF ∶FA ＝1∶3，∴DF ＝14AD ＝14×8＝2(cm)．∵∠CBD ＝∠BAD ，∠D ＝∠D ，∴△BDF ∽△ADB ，∴BD AD ＝DF BD.∴BD 2＝AD ·DF ＝8×2＝16(cm 2)，∴BD ＝4cm ，又∵BD ＝DE ，∴DE ＝4cm. 当堂检测 1．115 2.333．解：(1)∠FDE ＝60°；(2)∠FDE ＝25°； (3)∠A ＋2∠FDE ＝180°.。
2021春湘教版九年级数学下册 第2章 2.5.4 三角形的内切圆
基础巩固练
8．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接 圆⊙O 相交于点 D，过 D 作直线 DG∥BC.求证：DG 是⊙O 的切线．
基础巩固练
证明：连接 OD 交 BC 于 H，如图． ∵点 E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC，
︵︵ 即∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴OD⊥BC. ∵DG∥BC，∴OD⊥DG. 又∵OD 是⊙O 的半径，∴DG 是⊙O 的切线．
2．三角形的内心是这个三角形的三条_角__平__分__线___的交点．三角 形的内心到三角形三边的距离相等．
基础巩固练
1．如图，点 O 是△ABC 的内心，则点 O 是△ABC 的( B ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中△ABC 中，∠A＝66°，点 I 是内心， 则∠BIC 的大小为( C ) A．114° B．122° C．123° D．132°
湘教版 九年级下
第2章 圆
2.5 直线与圆的位置关系 第4课时 三角形的内切圆
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新知笔记 1 相切；内心 2 角平分线
1B
2C
3C
4C
5C
6A
7 70° 8 见习题 9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
新知笔记
1．与三角形各边都___相__切___的圆叫作三角形的内切圆．内切圆 的圆心叫作三角形的__内__心____，这个三角形叫作圆的外切三 角形．
基础巩固练
3．【中考·烟台】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC＝124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( C ) A．56° B．62° C．68° D．78°
2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2-5直线与圆的位置关系2-5-4三角形的内切圆练习新版湘教版(1)
2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2-5直线与圆的位置关系2-5-4三角形的内切圆练习新版湘教版(1)
课后篇巩固提升
A组
1.下列关于化石燃料的加工说法正确的是()
A.石油裂化主要得到乙烯
B.石油分馏是化学变化,可得到汽油、煤油
C.煤干馏主要得到焦炭、煤焦油、粗氨水和焦炉气
D.煤制煤气是物理变化,是高效、清洁地利用煤的重要途径
2.乙烯可通过石油裂解获得。
下列有关乙烯性质的说法错误的是()
A.在常温常压下为液体
B.能使酸性KMnO4溶液退色
C.可自身加成形成聚乙烯
D.能使溴的CCl4溶液退色
3.刚摘的猕猴桃往往青涩难吃,但将熟透的红苹果与它共同装入袋内,三天后就香甜可口了,原来是熟透的苹果挥发出的乙烯对猕猴桃起了催熟作用。
下列有关乙烯的说法中不正确的是()
A.乙烯分子为平面结构
B.乙烯与溴发生加成反应后的产物中所有原子都共平面
C.乙烯的产量常用来衡量一个国家石油化工水平
D.乙烯是一种植物生长的调节剂,也可做水果催熟剂
4.下列反应中,属于加成反应的是()
A.乙烯通入酸性KMnO4溶液
B.乙烷与溴蒸气反应
C.乙烯在一定条件下与水反应生成乙醇
D.乙烯燃烧生成二氧化碳和水。
【教育专用】九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆同步练习1新版湘教版
2.5.4 三角形的内切圆一、选择题1．2017·广州如图K－20－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )图K－20－1A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．2017·怀化模拟在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，它的内切圆⊙O的半径是1，则AC的长为 ( )A．6 B．3 C．4 D．53．如图K－20－2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为( )图K－20－2A．23 B．22 C．21 D．204．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为( )A．1∶ 2 B．1∶ 3 C．1∶2 D．1∶35．如图K－20－3，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为( )图K－20－3A．128° B．126° C．122° D．120°6．如图K－20－4，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )图K－20－4A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形二、填空题7．2018·湖州如图K－20－5，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－20－58．如图K－20－6，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD＝3，CD＝2，△ABC的周长为14，则AB＝________．图K－20－69．如图K－20－7所示，⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径是________．图K－20－7三、解答题10．如图K－20－8所示，有三边分别为0.4 m，0.5 m和0.6 m的三角形形状的铁皮，想要从中剪出一个面积最大的圆形铁皮，请你根据所学的知识，设计解决问题的方法.链接听课例1归纳总结图K－20－811．2017·黄石如图K－20－9，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.(1)求证：DB＝DE；(2)求证：直线CF为⊙O的切线．12．已知Rt△ABC的斜边AB＝5，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－(2m＋1)x ＋2m＝0的两个实数根．(1)求m的值；(2)求Rt△ABC的内切圆的半径．13．已知任意三角形的三边长，如何求该三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S ＝ p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(其中a ，b ，c 是三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c2，S 为三角形的面积)，并给出了证明．例如：在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴p ＝a ＋b ＋c2＝6，∴S ＝ p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝6×3×2×1＝ 6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图K －20－10，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9. (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆的半径r .图K －20－10阅读与探究题 【阅读材料】如图K －20－11①，在面积为S 的△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，内切圆的半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，△ABC 被划分为三个小三角形． ∵S ＝S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB ＝12BC ·r ＋12AC ·r ＋12AB ·r ＝12ar ＋12br ＋12cr ＝12(a ＋b ＋c )r ，∴r ＝2Sa ＋b ＋c.【类比推理】如图K －20－11②，若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆的半径r .【理解应用】如图K －20－11③，在Rt △ABC 中，内切圆的半径为r ，⊙O 与△ABC 各边分别相切于D ，E 和F ，已知AD ＝3，BD ＝2，求r 的值．图K －20－11教师详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．B 2.C3．[解析] A ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∴AF ＝AD ＝13，CF ＝CE ，BD ＝BE.∵AC ＝25，∴CF ＝AC －AF ＝25－13＝12. ∵BC ＝35，∴BE ＝BC －CE ＝35－12＝23， ∴BD ＝BE ＝23.故选A .4．[解析] C 如图，等边三角形ABC 的内心、外心重合，连接OB ，OD ，则在Rt △BOD 中，∠OBD ＝30°，∠ODB ＝90°，sin ∠OBD ＝ODOB ，∴ OD ∶BO ＝1∶2.5．[解析] C 在⊙O 中，∵∠CBD ＝32°， ∴∠CAD ＝32°.∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAC ＝64°，∴∠EBC ＋∠ECB ＝(180°－64°)÷2＝58°， ∴∠BEC ＝180°－58°＝122°.故选C .6．[解析] A 过O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ，OQ ⊥AC 于点Q ，连接OK ，OD ，OF ，由垂径定理得DM ＝12DE ，KQ ＝12KH ，FN ＝12FG.∵DE ＝FG ＝HK ，∴DM ＝KQ ＝FN.∵OD ＝OK ＝OF ，∴由勾股定理，得OM ＝ON ＝OQ ，即点O 到三角形ABC 三边的距离相等，∴点O 是△ABC 的内心．故选A .7．70° [解析] ∵△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，∴BO 平分∠ABC ，OD ⊥BC ， ∴∠OBD ＝12∠ABC ＝12×40°＝20°，∴∠BOD ＝90°－∠OBD ＝70°.故答案为70°.8．[答案] 5[解析] 如图所示，由切线长定理可知：BE ＝BD ＝3，CD ＝CF ＝2，AE ＝AF.设AE ＝AF ＝x.根据题意，得2x ＋x ＝2， ∴AE ＝2，∴AB ＝BE ＋AE ＝3＋2＝5. 9．[答案] 45[解析] 设AC 切⊙O 于点E ，连接OE ，则OE ⊥AC.∵BC ⊥AC ，∴OE ∥DC ，∴△AOE ∽△ADC ，∴OE DC ＝AE AC ＝AC －OEAC.代入相应数据即可求得OE.10．解：作∠B ，∠C 的平分线BM 和CN ，交点为I ，过点I 作ID ⊥BC ，垂足为D ；以I 为圆心，ID 为半径作⊙I ，⊙I 即为面积最大的圆形，沿⊙I 剪下来即可． 11．证明：(1)∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAE ＝∠CAE ，∠EBA ＝∠EBC.∵∠BED ＝∠BAE ＋∠EBA ，∠DBE ＝∠EBC ＋∠DBC ，∠DBC ＝∠EAC ， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE.(2)连接CD.∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠DAC ， ∴BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD. ∵BD ＝DF ， ∴CD ＝DB ＝DF ， ∴∠BCF ＝90°， ∴BC ⊥CF.又∵BC 为⊙O 的直径， ∴CF 为⊙O 的切线．12．解：(1)∵两直角边AC ，BC 的长分别是一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＝0的两个实数根，∴AC ＋BC ＝2m ＋1，AC ·BC ＝2m ，∴AC 2＋BC 2＝(AC ＋BC)2－2AC·BC＝(2m ＋1)2－4m ＝4m 2＋1.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴4m 2＋1＝5，∴m ＝1(负值已舍去)，即m 的值是1.(2)把m ＝1代入方程得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，可设AC ＝1，BC ＝2，如图，连接OD ，OF.∵⊙O 切AC 于点D ，切BC 于点F ， ∴∠ODC ＝∠OFC ＝90°＝∠C. 又∵OD ＝OF ，∴四边形ODCF 是正方形， ∴OD ＝OF ＝CD ＝CF.∵⊙O 切AC 于点D ，切BC 于点F ，切AB 于点E ，∴AE ＝AD ，BE ＝BF ， ∴AC －OD ＋BC －OD ＝AB ，即1－OD ＋2－OD ＝5，解得OD ＝3－52.故Rt △ABC 的内切圆的半径是3－52.13．解：(1)∵BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9， ∴p ＝BC ＋AC ＋AB 2＝5＋6＋92＝10，∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝10×5×4×1＝10 2，∴△ABC 的面积为10 2.(2)∵S △ABC ＝12·r·(AC＋BC ＋AB)，∴10 2＝12r·(5＋6＋9)，解得r ＝2，∴△ABC 的内切圆的半径r ＝ 2. [素养提升]解：【类比推理】如图①，连接OA ，OB ，OC ，OD.∵S ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COD ＋S △AOD ＝12ar ＋12br ＋12cr ＋12dr ＝12(a ＋b ＋c ＋d)r ，∴r ＝2Sa ＋b ＋c ＋d.【理解应用】 如图②，连接OE ，OF ，则四边形OECF 是正方形，OE ＝EC ＝CF ＝FO ＝r.在Rt△ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3＋r)2＋(2＋r)2＝52，r 2＋5r －6＝0，解得r ＝1(负值已舍去)．。
九年级数学下册 2.5.4 三角形的内切圆习题 湘教版(2021年整理)
2017春九年级数学下册2.5.4 三角形的内切圆习题（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017春九年级数学下册2.5.4 三角形的内切圆习题（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.5。
4 三角形的内切圆基础题知识点1三角形的内切圆、内心及作图1．已知△ABC的内切圆O和各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的中垂线的交点2．关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三顶点的距离相等;③是三边垂直平分线的交点；④是三内角平分线的交点．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )A．△ABC的三条内角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处4．若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形5．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．（保留作图痕迹，知识点2三角形的内心、内切圆的有关计算与证明6．如图，在△ABC中,∠ABC＝50°，∠ACB＝80°,点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数是( ) A．105° B．115° C．120° D．130°7．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别是点D，E，F，且∠EDF＝50°，则∠A的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°8．等边三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为( )A．1 B。
2022春九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆习题课件湘教版
A．h＝R＋r B．R＝2r
C．r＝
3 4a
D．R＝
3 3a
【点拨】如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为 O. 设 D，E 为切点，连接 OE，OD，OA，易得点 A，O， D 共线，则 OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R＋r，故 A 正确．
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝12∠BAC＝12×60°＝30°.
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(2)求证：E为△PAB的内心． 证明：连接AE，如图． ∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°. ∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°. ∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED， ∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD. 由(1)知△AOP≌△BOP，∴∠APO＝∠BPO. ∴PD平分∠APB交∠PAD的平分线于E， ∴E为△PAB的内心．
10，∴AO＝
10 2.
∵∠DPA＋∠PAD＝90°，∠PAD＋∠BAC＝90°， ∴∠DPA＝∠BAC. 又∵∠PAO＝∠ABC＝90°，
∴△PAO∽△ABC，∴PAOC＝ABOC，
10
∴PO＝ABOC·AC＝
2 1
×
10＝5.
8 【2021·毕节】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是 △ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D， 连接BD，BE. (1)求证：DB＝DE；
∴AD＝AE＋DE＝7＋x.∴4＋4 x＝74＋ ＋xx，
解得 x1＝2，x2＝－6(不合题意，舍去)． 经检验，x＝2 是分式方程的解． ∴DB＝4＋x＝4＋2＝6.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月28日星期四下午4时46分51秒16:46:5122.4.2 8
2020年春湘教版九年级数学下册 2.5.4 三角形的内切圆
2.5.4 三角形的内切圆1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．185.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A=________．7．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．8．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．9．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．。
湘教版九下数学三角形的内切圆课时作业
课时作业(二十)[2.5.4三角形的内切圆]一、选择题1．⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()链接听课例1归纳总结A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．2019·娄底如图K－20－1，边长为2 3的等边三角形ABC的内切圆的半径为()图K－20－1A．1 B. 3 C．2 D．2 33．如图K－20－2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC ＝35，则BD的长度为()图K－20－2A．23 B．22 C．21 D．204．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3 C．1∶2 D．1∶35．如图K－20－3，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE.若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为()图K－20－3A．128° B．126° C．122° D．120°6．2018·烟台如图K－20－4，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC ＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为()图K－20－4A．56° B．62° C．68° D．78°7．如图K－20－5，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是()图K－20－5A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形二、填空题8．2018·湖州如图K－20－6，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－20－69．如图K－20－7，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD＝3，CD＝2，△ABC 的周长为14，则AB＝________．图K－20－710．如图K－20－8所示，⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径是________．图K－20－8三、解答题11．如图K－20－9所示，有三边分别为0.4 m，0.5 m和0.6 m的三角形形状的铁皮，想要从中剪出一个面积最大的圆形铁皮，请你根据所学的知识，设计解决问题的方法.链接听课例1归纳总结图K－20－912．已知Rt△ABC的斜边AB＝5，两直角边AC，BC的长分别是关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋2m＝0的两个实数根．求：(1)m的值；(2)Rt△ABC的内切圆的半径．(结果保留根号)13．如图K－20－10，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连接BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.求：(1)∠A的度数；(2)⊙O的半径．图K－20－10阅读与探究题【阅读材料】如图K－20－11①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC ＝b，AB＝c，内切圆的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝12BC·r＋12AC·r＋12AB·r＝12ar＋12br＋12cr＝12(a＋b＋c)r，∴r＝2Sa＋b＋c.【类比推理】如图K－20－11②，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆的半径r.【理解应用】如图K－20－11③，在Rt△ABC中，内切圆的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于点D，E和F，已知AD＝3，BD＝2，求r的值．图K－20－11教师详解详析[课堂达标] 1．B2．[解析] A 如图，设D 为⊙O 与AC 的切点，连接OA 和OD. ∵等边三角形的内心即为中线或底边高或角平分线的交点， ∴OD ⊥AC ，∠OAD ＝30°，OD 为⊙O 的半径． 又∵AC ＝2 3， ∴AD ＝12AC ＝3，∴在Rt △OAD 中，OD ＝AD·tan 30°＝3×32＝1.3．[解析] A ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点， ∴AF ＝AD ＝13，CF ＝CE ，BD ＝BE.∵AC ＝25， ∴CF ＝AC －AF ＝25－13＝12. ∵BC ＝35，∴BE ＝BC －CE ＝35－12＝23， ∴BD ＝BE ＝23. 故选A .4．[解析] C 如图，等边三角形ABC 的内心、外心重合，连接OB ，OD ，则在Rt △BOD中，∠OBD ＝30°，∠ODB ＝90°，sin ∠OBD ＝ODOB，∴ OD ∶BO ＝1∶2.5．[解析] C 在⊙O 中，∵∠CBD ＝32°， ∴∠CAD ＝32°.∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAC ＝64°，∴∠EBC ＋∠ECB ＝(180°－64°)÷2＝58°， ∴∠BEC ＝180°－58°＝122°.故选C . 6．[解析] C ∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA. ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB) ＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA) ＝180°－2(180°－∠AIC) ＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDE ＝∠B ＝68°. 故选C.7．[解析] A 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ，OQ ⊥AC 于点Q ，连接OK ，OD ，OF.由垂径定理，得DM ＝12DE ，KQ ＝12KH ，FN ＝12FG.∵DE ＝FG ＝HK ， ∴DM ＝KQ ＝FN. ∵OD ＝OK ＝OF ，∴由勾股定理，得OM ＝ON ＝OQ ， 即点O 到三角形ABC 三边的距离相等， ∴点O 是△ABC 的内心． 故选A . 8．[答案] 70°[解析] ∵△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ， ∴BO 平分∠ABC ，OD ⊥BC ， ∴∠OBD ＝12∠ABC ＝12×40°＝20°，∴∠BOD ＝90°－∠OBD ＝70°.故答案为70°. 9．[答案] 5[解析] 如图所示，由切线长定理可知BE ＝BD ＝3，CD ＝CF ＝2，AE ＝AF.设AE＝AF＝x.根据题意，得2x＋3＋3＋2＋2＝14，解得x＝2，∴AE＝2，∴AB＝BE＋AE＝3＋2＝5.10．[答案] 4 5[解析] 设AC切⊙O于点E，连接OE，则OE⊥AC.∵∠C＝90°，∴OE∥DC，∴△AOE∽△ADC，∴OEDC＝AEAC＝AC－OEAC.代入相应数据即可求得OE，OE即为⊙O的半径．11．解：作∠B，∠C的平分线BM和CN，交点为I，过点I作ID⊥BC，垂足为D；以I为圆心，ID长为半径作⊙I，⊙I即为面积最大的圆形，沿⊙I剪下来即可．12．解：(1)∵两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－(2m＋1)x＋2m＝0的两个实数根，∴AC＋BC＝2m＋1，AC·BC＝2m，∴AC 2＋BC 2＝(AC＋BC)2－2AC·BC＝(2m＋1)2－4m＝4m2＋1.湘教版九下数学三角形的内切圆课时作业∵AC 2＋BC 2＝AB2，∴4m2＋1＝(5)2，∴m＝1(负值已舍去)，即m的值是1.(2)把m＝1代入方程得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，可设AC＝1，BC＝2，如图，连接OD，OF.11/ 11。
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2.5.4 三角形的内切圆
基础题
知识点1三角形的内切圆、内心及作图
1．已知△ABC的内切圆O和各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的中垂线的交点
2．关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三顶点的距离相等；③是三边垂直平分线的交点；④是三内角平分线的交点．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
4．若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( )
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
5．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．(保留作图痕迹，不要求写作法)
知识点2 三角形的内心、内切圆的有关计算与证明
6．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝80°，点O 是△ABC 的内心，则∠BOC 的度数是( ) A ．105° B ．115° C ．120° D ．130°
7．如图，⊙O 内切于△ABC，切点分别是点D ，E ，F ，且∠EDF＝50°，则∠A 的度数是( ) A ．60° B ．70° C ．80° D ．90°
8．等边三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为( ) A ．1 B.
2 C.
3 D ．2
9．如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，CA 于点D ，E ，F ，设⊙O 的半径为r ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c.求证：S △ABC ＝1
2
r(a ＋b ＋c)．
10．△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
中档题
11．(滨州中考)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )
A. 2 B．22－2
C．2－ 2 D.2－2
12．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，求Rt△ABC内切圆的半径．
14．已知，在△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.
(1)若∠A＝60°，求∠FDE的度数；
(2)若∠A＝130°，求∠FDE的度数；
(3)你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗？不需要证明．
15．如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O.
(1)试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系；
(2)由(1)题的结论写出∠BOC 与∠BIC 的关系． 综合题
16．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k
x 经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为4
－2
2的圆内切于△ABC，则k 的值为____________．
参考答案
1．D 2.B 3.A 4.D 5.略． 6．B 7.C 8.A
9．证明：连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴OD ＝OE ＝OF ＝r.
∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ， ∴S △ABC ＝12cr ＋12ar ＋12br ＝1
2
r(a ＋b ＋c)．
10．根据切线长定理得AE ＝AF ，BF ＝BD ，CE ＝CD.设AF ＝AE ＝x cm ， 则CE ＝CD ＝(26－x)cm ，BF ＝BD ＝(18－x)cm. ∵BC ＝28 cm ， ∴BD ＋CD ＝28(cm)．
∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x ＝8. ∴AF ＝8 cm ，BD ＝10 cm ，CE ＝18 cm. 11．B 12.90
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ， ∴AB ＝5 cm.连接OD ，OE ，OF ，则四边形ODCE 是正方形．
设CD ＝CE ＝r cm ，AE ＝AF ＝x cm ，BD ＝BF ＝y cm ，则有⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋r ＝3，
y ＋r ＝4，x ＋y ＝5.解得r ＝1.
∴Rt △ABC 内切圆的半径为1 cm. 14．(1)连接IE ，IF.
∵内切圆I 和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ， ∴∠AEI ＝∠AFI＝90°.
∴∠EIF ＝360°－∠AEI－∠AFI－∠A＝120°. ∴∠FDE＝1
2∠EIF＝60°.(2)方法同上，∠EIF ＝50°.
∴∠FDE ＝12∠EIF＝25°.(3)∠FDE＝90°－1
2∠A.
15．(1)∠A＝1
2∠BOC.
∵I 是△ABC 的内心，
∴∠IBC ＝12∠ABC，∠ICB ＝1
2
∠ACB.
∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－(12∠ABC＋12∠A CB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A.(2)∠BIC＝90°＋
1
2∠A＝90°＋12×12∠BOC ＝90°＋1
4∠BOC.
16．4。