点线面位置关系导学案
高三 -第16次课-点线面的位置关系-张定康教案 导学案
点、线、面的位置关系（一）1、平面含义：平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分.2、点、线、面的集合表示：点是元素，线与面是点的集合3、点与平面的关系：点A 在平面内，记作A α∈；点不在平面内，记作A α∉； 点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面内，记作l ⊂α；直线l 不在平面内，记作l ⊄α .5、位置关系的分类：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； . 6、异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a a //'，b b //'，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎥⎦⎤⎝⎛2,0π. 7、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．8、空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系共面直线【例1】空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点【例2】下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【例3】分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能【例4】如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【例5】设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是() A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【例6】教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直【例7】下列命题正确的是()A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β【强化练习】1．若直线上有两个点在平面外，则（）A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内2．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°4．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．相交或异面5．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C.③④D．②③④6．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是．7．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是()．A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行点、线、面的位置关系（二）知识梳理一、直线与平面平行的判定定理及性质定理1、直线与平面平行的判定定理文字语言平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)图形语言符号语言 ,a b αα⊄⊂ 且a b a α⇒P P作用证明直线与平面平行2、直线与平面平行的性质定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)图形语言符号语言 ,,,,a b a b P a b ααββαβ⊂⊂⋂=⇒P P P作用 证明两个平面平行4、平面与平面平行的性质定理5、空间中各种平行关系相互转化关系的示意图二、直线与平面垂直的判定定理及性质定理1、直线与平面垂直的判定定理2、平面与平面垂直的判定定理3、直线与平面垂直的性质定理4、平面与平面垂直的性质定理5、直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6、空间中各种平垂直关系相互转化关系的示意图例题精讲【题型一、线面平行考点】【例1】判断下列命题是否正确：(1)一条直线平行于一个平面，这条直线就平行于平面内的任何直线； (2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行； (3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； (4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个．【变式1】如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′A ′CC ′.【例2】下列命题正确的是( )①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④【变式2】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.【题型三、平行的综合问题】【例3】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．【变式3】已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【例4】给出四种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．【变式4】如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD 的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.(2)求证：EF∥平面BB1D1D.【题型二、线面垂直考点】【例1】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF ⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.【例2】如图，在三棱锥A-BCD 中，AD，BC，CD两两互相垂直，M，N 分别为AB，AC 的中点．BC＝AD＝1，CD＝2，求直线AB 与平面ACD 所成的角．【例3】如图，已知P A ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O的直径，点C 是圆周上任一点，过点 A 作AE⊥PC 于点E.求证：AE⊥平面PBC.【例4】如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．【例5】如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.巩固训练（平行关系）1．若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是()①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.A．①②B．②④C．②③ D．①③④2．已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定3．如果平面α平行于平面β，那么()A．平面α内任意直线都平行于平面βB．平面α内仅有两条相交直线平行于平面βC．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直4．已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且P A＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为()A．10或18 B．9 C．18或9 D．65．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.巩固训练（垂直关系）1．设两个平面互相垂直，则( )A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直2．点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，则四边形ABCD是()A．某圆的内接四边形B．某圆的外切四边形 C．正方形 D．任意四边形3．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是()A．x、y、z都是直线B．x、y、z都是平面C．x、y是平面，z是直线D．x是直线，y、z是平面4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．6．如图所示，已知：α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，BC ⊂β，BC ⊥DE.求证：AC ⊥DE .【课后作业】一、选择题。
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解点、线、面的基本概念。
2. 让学生掌握点、线、面之间的位置关系。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：重点：点、线、面之间的位置关系。
难点：如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点、线、面的位置关系。
2. 利用多媒体课件，直观展示点、线、面的位置关系。
3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。
四、教学准备：1. 多媒体课件。
2. 点、线、面模型。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：通过展示现实生活中的点、线、面实例，引导学生关注空间点线面的位置关系。
2. 点、线、面的概念讲解：讲解点、线、面的基本概念，让学生明确它们之间的关系。
3. 点、线、面的位置关系探究：引导学生通过观察、操作、思考，发现点、线、面之间的位置关系。
4. 案例分析：分析现实生活中点、线、面位置关系的应用，让学生体会知识的价值。
5. 小组讨论：分组讨论如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
6. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 评价目标：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对空间点线面位置关系的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂参与度：观察学生在课堂讨论和提问中的活跃程度和思考深度。
练习正确率：统计学生练习题的正确率，分析学生的掌握情况。
作业完成质量：评估学生作业的完成质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。
3. 评价内容：学生能否准确描述点、线、面的概念及其特征。
学生是否能理解并应用点、线、面的位置关系解决简单问题。
学生是否能在实际情境中识别和运用点、线、面的位置关系。
七、教学拓展：1. 拓展活动：组织学生进行空间几何模型制作，如点、线、面的小模型，让学生通过动手操作进一步理解空间关系。
空间点、线、面的位置关系 学案——高一下学期数学人教A版必修2
空间中点线面的位置关系第I部分知识梳理 (1)知识点1平面的基本性质 (1)知识点2直线与直线的位置关系 (2)第II部分题型分类 (2)题型1 平面基本性质的应用 (2)【变式训练】 (3)题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角 (4)【变式训练】 (5)题型3 线面、面面位置关系的判断 (7)【变式训练】 (7)第I部分知识梳理知识点1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识点2 直线与直线的位置关系1. 位置关系的分类⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧一个平面内异面直线：不同在任何相交平行共面直线 2. 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π. 3. 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．第II 部分 题型分类题型1 平面基本性质的应用1. 在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④4.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【变式训练】5.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．36.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？7. 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．8. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角9. 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定10. 如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c的位置关系是________．11. 在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)12.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．13.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30° B．45° C．60° D．90°【变式训练】14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行15.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．16. 若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．17. 四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A所成角的余弦值为( )A.255B.55C.45D.3518. 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．19. 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．20. 如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．题型3 线面、面面位置关系的判断21. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α22. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.3323. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．【变式训练】24. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④25.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l26.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．若P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.则P A与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC 的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)27.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3) C．(1，2) D．(1，3)。
点线面之间位置关系导学案
点、直线、平面之间的位置关系复习班级：________ 姓名________一、教案目标：掌握点线面位置关系和平行、垂直的判定以及空间角的计算。
二、复习提纲：1、本章知识回顾<1）空间点、线、面间的位置关系：<2）空间角的定义及求法：<3）线线平行的判定方法：<4）线面平行的判定方法：<5）面面平行的判定方法：<6）线面垂直的判定方法：<7）面面垂直的判定方法.2、整合知识，发展思维<1）平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。
<2）空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；<3）空间平行、垂直之间的转化与联系：一不可。
3、常用的结论：1、平行于同一条直线的两条直线平行2、平行于同一个平面的两个平面平行3、两条平行线中，如果一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面4、垂直于同一个平面的两条直线平行5、垂直于同一条直线的两个平面平行三．新知探究例1：完成下列填空已知平面、和直线，给出条件：①//，②⊥，③，④⊥，⑤//。
当满足条件时，有//；当满足条件时，有⊥。
例2：如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，底面△ABC 是直角三角形，∠ABC = 90°，BC = BB1，且A1C ∩AC1= D ，BC1∩B1C = E ，连结DE 。
b5E2RGbCAP <1）求证：A1B1⊥平面BB1C1C ； <2）求证：A1C ⊥BC1；例3：如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1。
<1）求异面直线B1C1与AC 所成角的大小；<2）若直线A1C 与平面ABC 所成角为45°，求三棱锥A1—ABC 的体积。
高中人教版数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》精品导学案
§2。
1点、直线、平面之间的位置关系1.学习目标：1）直观认识和理解、体会空间中的丶直线、平面之间的位置关系 2）学会用数学语言表述几何对象的位置关系2.学习重点与难点：1）空间直线、平面的位置关系2）三中语言：文字语言，图形语言和符号语言的转化图（1） 图（2） 图（3）观察以上图中的点、线、面的位置关系回答以下问题：图（1）几何体的有 个面围成，有 个顶点，有 条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是 棱与面的位置是顶点与棱的位置是 顶点与面的位置是图（2）几何体的有 个面围成，有 个顶点，有 条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是 棱与面的位置是顶点与棱的位置是 顶点与面的位置是 图（3）你能视为几何体吗？答 有 个面，有 个顶点，有 条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是 棱与面的位置是顶点与棱的位置是 顶点与面的位置是你能用以前学习过的集合的语言描述图（1）,图（2）,图（3）,中的点与线的位置（举例说明）点与面的位置 （举例说明）线与线的位置 （举例说明）线与面的位置M C A B S NABCDA 1B 1C 1D 1EF 面与面的位置如图所示用集合语言表示A AB ， B AB ，C AB ， 1A AB ， A 平面1AB ，C 平面1AB ， A 平面BE ， AB 平面BE ， EF 平面AC ，BF 平面11C A平面BE 平面AC = ，平面AC 平面11C A = ， BF CE ，BF CD ，BF 1CC ，BF BC ，BF 11D A ，通过以上你能归纳出空间的点与面，点与线，线与线，线与面，面与面的位置关系吗？点与线的位置 线与线的位置 线与面的位置面与面的位置 §2.1.1平面 一、学习目标：（1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。
二、学习重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
点线面的位置关系导学案
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面主备人：( ) 审核人：（ ）审核领导一、课标及考纲要求：1.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用；二、教学重点、难点重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、教学过程设计1．平面含义生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2．平面的画法及表示平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
右图中 点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α3、平面的基本性质引导学生思考教材P41的思考题D C BA α α β ·A αB师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
高一数学(人教版)必修2导学案设计：2.1.1空间点、线、面位置关系(无答案)
编号：gswhsxbx2----02-01文华高中高一数学必修2§2.1.1《空间点、线、面位置关系》导学案学习目标1.记住平面的几何概念2.记住三个公理的三种语言表达方法3.会运用三个公理解决实际应用问题重点难点三种数学语言的转换与翻译，利用三个公理证明共点、共线、共面问题学习方法几何直观与空间想象能力情感态度与价值观通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美，培养学生学习数学的兴趣。
学习过程一.知识链接举出生活中的平面：二、自主学习1.我们研究立体几何中的平面的特点：2.平面的画法：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用表示平面，平行四边形的锐角通常画成，且横边长且等于邻边长的倍，为增强立体感，被遮挡部分画成。
3.平面的表示法：平面通常用希腊字母，等表示，如等，也可以用表示平面的平行四边形的来表示，或者用4.点P在直线l上，记作：；点P不在直线l上，记作：。
5.直线l上的所有点都在平面α内，记作：；直线l在平面α外，记作：。
三．合作探究公理1 文字语言：；符号语言：图形语言：作用：公理2 文字语言：符号语言：图形语言：作用：公理3 文字语言：；符号语言：图形语言：作用：四．课堂展示1.用符号表示下列语句（1）点A在平面α内，点B在平面α外；符号表示为：（2）直线l经过平面α外的一点M ；符号表示为：2.P43页教材例1，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。
（每日一题）如图所示,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点。
.五.本节小结本节我学到的知识点有： .我存在的疑惑有：文华高中高一数学必修2《三大公理》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：----------1．下列推断中，错误的是（ ）.A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=IC ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合2．下面四个叙述语（其中A,B 表示点，a 表示直线，α表示平面）① ,,A B AB ααα⊂⊂∴⊂Q ； ②,,A B AB ααα∈∈∴∈Q ； ③ ,,A a a A αα∉⊂∴∉Q ； ④ ,,A a A a αα∉⊂∴∉Q . 其中叙述方式和推理都正确的序号是3.在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1,,B C D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线.4.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M,N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过点D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ，（1）画出直线l ；（2）设11l A B P =I ，求PB 1的长；（3）求D 1到l 的距离。
二年级下册美术导学案第3课《点、线、面》人教新课标
二年级下册美术导学案第3课《点、线、面》人教新课标一、课程背景本课程是二年级下册美术课程的第三节课，课程名称为《点、线、面》。
本节课程主要讲解美术中的基本元素——点、线和面，让学生了解它们的特点，以及它们在美术创作中的应用。
二、教学目标1.了解美术中的基本元素——点、线、面的概念及其特点。
2.能够分辨出不同种类的线条及其应用。
3.能够用点、线、面进行简单的创作。
三、教学内容1. 点的概念点是最基本的图形元素之一，它是没有长度、宽度、厚度的点。
它可以用来表示位置，或者是在图形中用来强调重点。
2. 线的概念线是由一系列点组成的图形元素，它有长度，但没有宽度和厚度。
线的形状有直线、曲线、折线等，可以用来表示方向和形态。
3. 面的概念面是由一些线组成的图形元素，它有长度和宽度，但没有厚度。
面的形状有正方形、长方形、三角形等，可以用来表示面积。
4. 线条的分类在美术中，线条可以分为直线、曲线、折线等不同种类。
直线是沿着一条直线运动形成的线条，直线是最基本的线条类型，它可以分为水平线、竖直线、对角线等不同种类。
曲线是在不同时间段时，物体的各自位置出现的变化所具有的空间像，曲线可以分为圆弧线、波浪线、圆形线等不同种类。
折线则是指两个以上直线组成的线条，其特点是转角很锐利，折线可以分为直角、锐角、钝角等不同种类。
四、教学方法本节课程通过讲解概念和分类，加上实际绘画的操作演示，让学生从多个维度了解美术中的基本元素，从而更加深入的理解其应用。
教学方法包括：1.黑板讲解概念。
2.演示绘画操作，让学生模仿。
3.布置作业，加强巩固。
五、学生活动设计1. 点和线的练习让学生画出不同类型的点和线条，例如弯曲的线、直线、点线等。
2. 面的练习让学生画出不同类型的面，例如正方形、长方形和三角形等。
3. 模仿绘画老师演示绘画过程，让学生模仿，画出不同的画。
六、课程总结通过本节课程，学生们通过讲解和实践，进一步了解了美术中的基本元素——点、线、面。
点线面位置关系学案
空间点、线、面之间的位置关系一、考纲要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构1. 符号表示：点A在直线l上______________；点A不在平面α内_____________；直线l在平面α内____________；直线a不在平面α内___________；直线l与直线m相交于A点____________；平面α与直线l交于A点______________；平面α与平面β相交于直线l___________.2. 平面的基本性质公理1 作用：判断直线是否在平面内内容：_______________________________________________________。
公理2作用：确定一个平面的依据。
内容：_______________________________________________________。
推论1 _________________________________________________________ 推论2 _________________________________________________________ 推论3 __________________________________________________________ 公理3 作用：判定两个平面是否相交的依据或证明点共线的依据内容：__________________________________________________________ _______________________________________________________。
3．空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有_________公共点；共面直线平行直线：同一平面内，________公共点；异面直线： __________________________________。
点、线、面、体导学案
4.1.2点、线、面、体导学案【学习目标】1、经历探索空间点、线、面、体之间的内在联系的过程，进一步认识点、线、面、体。
2、探索点、线、面、体的关系，初步掌握点动成线、线动成面、面动成体。
【学习重点】对几何图形中的点、线、面、体的认识，建立“点动成线，线动成面，面动成体”的动态几何的理念。
【学习难点】对点、线、面、体之间的内在联系及区别的理解与掌握。
【预习导航】一、认真阅读课本119至120页，完成下面的学习内容。
1.请同学们认真观察下面的立体图．思考：①你们知道这些体是由什么围成的吗？它们有什么不同吗？②面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同呢？③线与线相交处又形成了什么？2.体：长方体、__________________________________等都是几何体，几何体简称为体。
3.（1）体是由____围成的；_____有两种，______和_______。
（2）面与面相交的地方形成了______。
（3）线与线相交的地方是_______。
探究1：通过上面的问题，得出结论：点动成_____________，线动成_________，面动成___________.思考：构成几何体的的基本元素是什么？几何体都是由___、____、_____、_____构成的，____是构成图形的基本元素。
探究2：（1）将半圆绕着它的一条直径旋转一周，得到什么立体图形。
（2）将一个长方形绕着它的一条边旋转一周，得到什么立体图形。
（3）将一个直角梯形绕着它的高旋转一周，得到什么立体图形。
（4）现有一条长为5cm，宽为4cm的矩形，分别绕它的长，宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别为多少？谁的体积大？你得到怎么样的启示？练习：1．人在雪地上走，他的脚印形成一条_______，这说明了______的数学原理．2．体是由_______围成的，面和面相交于_______，线和线相交于______．3．点动成________，线动成______，面动成_______．4．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如下图所示立体图形的是（）．A B C D5．如下图中的棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？它们是平面还是曲面．6．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，•用线连一连．7.把下面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请用虚线连一连：8.粉笔盒的形状类似于长方体，它是由个面围成的，这些面都是，有个顶点，经过每个顶点都有条棱。
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课题：空间中点、直线、平面之间的位置关系学习目标：1、掌握空间直线、平面的位置关系。
2、解决各类夹角问题教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换。
学习过程：一、预习篇1.四大公里公理1：如果一条直线上的—点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过的三点，有且只有一个平面。
三个推论：①确定一个平面。
%1确定一个平面o%1确定一个平面O公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有的公共直线。
公理4：(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线o2.空间中直线与直线之间的位置关系概念|异面直线及夹角］:两条直线叫做屏面直线。
异面直线。
,力所成的夹角|夹角范围位置关系：］共面直线仲交- 一［平行直线：_________________________;.异面直线：.3.空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：, , o4.空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：, o自主练习：1.一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( )(A) 1个或3个(B) 1个或4个(C) 3个或4个(D) 1个、3个或4个2.以下命题正确的有()(1)若a〃b, b〃c,则直线a, b, c共面；(2)若a// a,则a平行于平面a内的所有直线；(3)若平面a内的无数条直线都与”平行，则a 3 § ：(4)分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个 (D) 4 个3.正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是()(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 124.若三个平面两两相交，则它们的交线条数是()(A) 1条(B) 2条(C) 3条 (D)l条或3条BB[=2屈,求异面直线与MN 所成角的余弦值。
探究点三：求线面夹角例3.已知长方体中AB=8, 平面BC1的夹角的正弦值。
高三理-第18次课-点线面的位置关系 导学案
知识导入（进入美妙的世界啦~）（一）空间点、直线、平面的位置关系知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言 公共点 直线与平面相交a ∩α＝A1个平行 a ∥α 0个 在平面内a ⊂α 无数个 平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个例题精讲【题型一、平面的基本性质及应用】【例1】在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．【题型二、空间两直线的位置关系】【例2】已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c 的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面【方法技巧】1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．巩固训练1、下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32、已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．①求证：BC与AD是异面直线；②求证：EG与FH相交．（二）直线、平面平行的判定与性质知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理例题精讲【题型一、线面平行、面面平行的基本问题】【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中真命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个文字语言 图形语言 符号语言判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β， α∩β＝b ，∴l ∥b文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β，b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α，∴α∥β性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β， α∩γ＝a ， β∩γ＝b ， ∴a ∥b【方法技巧】解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．【题型二、直线与平面平行的判定与性质】【例2】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．【方法技巧】证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．【题型三、平面与平面平行的判定与性质】【例3】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．【方法技巧】判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．巩固训练1、过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有_____条．2、如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .3、如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证： (1)平面AD 1E ∥平面BGF ；(2)D 1E ⊥AC .（三）直线、平面垂直的判定与性质知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α例题精讲【题型一、垂直关系的基本问题】【例1】设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【方法技巧】解决此类问题常用的方法(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．【题型二、线面垂直的判定与性质】【例2】如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P -BDF 的体积．【方法技巧】1．解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．2．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．【题型三、面面垂直的判定与性质】【例3】如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .【方法技巧】1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．2．由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．3．平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l ⊂α，l ⊥β，缺一不可．巩固训练1、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题① ⎭⎬⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎬⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β ③⎭⎬⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎬⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α 其中正确的命题是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点． (1)求证：直线AE ⊥直线DA 1；(2)在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG .3、已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AD ＝AA 1，点F 为棱BB 1的中点，点M 为线段AC 1的中点．(1)求证：MF ∥平面ABCD ；(2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（一日悟一理，日久而成学）一、方法小结:二、本节课我做的比较好的地方是：三、我需要努力的地方是：课后作业【基础巩固】1、若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交2、下列说法中正确的是( )①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④3、设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44、“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件回顾小结5、若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不．正确的是()A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α∩β＝m，且n与α，β所成的角相等，则m⊥n6、若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直7、如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．8、如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点．9、在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝2，EF＝2＋2，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E -ABCD(E，F重合)．(1)求证：BE⊥DE；(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.10、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；(2)求证：CF ⊥B 1E .【能力提升】1．下列说法正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面2．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α3、如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()4、a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题① ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ② ⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④ ⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④5、如图，O为正方体ABCD-A 1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C15、如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件______时，有MN∥平面B1BDD1.6、已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)7、如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点，M为BC的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．。
03点线面位置关系(教案教学设计导学案)
个性化授课指导授课方案学生姓名上课时间2021年年月日级高二学科教师姓名数学课题人教A版必修2第二单元点线面的地址关系授课目的1．掌握点线面的几何特色以及在空间中的地址关系，而且会用几何语言表述出来；2．掌握异面直线的求解方法；3．懂得利用几个公义和推论去证明相关问题．授课过程教师活动学生活动1． a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线a，那么 c 与 b()A ．异面B ．订交C．不能能平行 D ．不能能订交2．以下命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形能够确定一个平面；③两两订交的三条直线最多能够确定三个平面；④若是两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．A ． 0B ． 1C． 2 D ．33．空间中有三条线段AB， BC和CD ，且∠ABC＝∠ BCD，那么直线AB 与CD的位置关系是()A．AB∥CD B．AB 与CD异面C．AB与CD订交D． AB∥ CD或AB与CD异面或AB与 CD订交4．以以下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1中， E， F 分别是AB，AD的中点，那么异面直线B1 C 与 EF 所成的角的大小为________．5．平行六面体ABCD － A1B1 C1D 1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱的条数为________．1．证明两两订交且不共点的三条直线在同一平面内．AB∩ α＝ P， BC∩ α＝Q， AC∩ α＝ R，2．△ ABC 在平面α外，其三边所在的直线满足以以下图．求证：P， Q，R 三点共线．3．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，判断以下直线的地址关系：(1)直线 A1 B 与直线 D 1C 的地址关系是________；(2)直线 A1 B 与直线 B1C 的地址关系是 ________；(3)直线 D1D 与直线 D1C 的地址关系是 ________；(4)直线 AB 与直线 B1C 的地址关系是________.4．如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中， A1A＝ AB， E， F 分别是 BD 1和 AD 的中点，求异面直线CD1， EF 所成的角的大小．5．以下说法：①假设直线 a 在平面α外，那么 a∥ α；②假设直线 a∥ b，直线 b? α，那么 a∥ α；③假设直线 a∥b， b? α，那么直线 a 就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0B．1C．2D．31．假设点 Q 在直线 b 上， b 在平面β内，那么 Q， b，β之间的关系可记作()A ． Q∈ b∈ βB ． Q∈ b? βC． Q? b? β D ．Q? b∈β2．两个平面假设有三个公共点，那么这两个平面()A ．订交B ．重合C．订交或重合 D ．以上都不对3．以下对平面的描述语句：①宁静的太平洋面就是一个平面；② 8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚；③四边形确定一个平面；④平面能够看作空间中点的会集，它自然是一个无量集．其中正确的选项是 ________( 填序号 )．4．设平面α与平面β交于直线l ，A∈α，B∈ α，且直线 AB∩ l＝ C，那么直线 AB∩ β＝ ________.5．将以下符号语言转变成图形语言．(1)a? α， b∩ α＝ A， A?a.(2)α∩ β＝ c， a? α，b? β，a∥ c， b∩ c＝ P.6．如图， AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A ． 6B ． 4C． 5 D ．87． AB∥ PQ， BC∥QR，∠ ABC＝ 30°，那么∠ PQR 等于 ()A．30° B ． 30°或 150°C． 150° D ．以上结论都不对8．正方体ABCD -EFGH ，那么 AH 与 FG 所成角的度数是________．9．给出以下说法：(1)假设直线上有两个点在平面外，那么直线上最少有一个点在平面内；(2)假设直线上有两个点在平面外，那么直线上有无量多个点在平面内；(3)假设直线上有两个点在平面外，那么直线上所有点都在平面外；(4)假设直线上有两个点在平面外，那么直线上至多有一个点在平面内；(5)假设 a，b 是异面直线，c∥ a，那么 c 与 b 必然是异面直线．其中正确的选项是 ________( 填序号 )．10．以以下图，空间四边形 ABCD 中， AB＝ CD，AB ⊥CD， E，F 分别为 BC， AD 的中点，求EF 和 AB 所成的角的大小．11．假设 a， b， c 是空间三条直线，a∥ b， a 与 c 订交，那么 b 与 c 的地址关系是 ()A ．异面B ．订交C．平行 D ．异面或订交12．以以下图，在三棱锥S-MNP中， E，F，G，H分别是棱SN， SP，MN ， MP的中点，EF与 HG的地址关系是()那么A ．平行B．订交C．异面D．平行或异面13．如图是一个正方体的平面张开图，那么在正方体中，AB 与 CD 的地址关系为 ()A ．订交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直14．以下命题：①若是一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②若是两条订交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角 )相等；③若是一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④若是两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有 ()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个15．假设 P 是两条异面直线l， m 外的任意一点，那么 ()A ．过点 P 有且仅有一条直线与l， m 都平行B．过点 P 有且仅有一条直线与l， m 都垂直C．过点 P 有且仅有一条直线与l， m 都订交D．过点 P 有且仅有一条直线与l， m 都异面16．M∈ l ， N∈ l， N?α， M∈ α，那么有 ()A ． l∥ αB ． l? αC． l 与α订交 D ．以上都有可能17．以以下图，用符号语言可表示为()A ．α∩ β＝ lB ．α∥ β， l ∈αC． l ∥β， l?α D ．α∥ β， l? α18．平面α∥平面β，直线 a? α，那么 a 与β的地址关系是 ________．19．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．20．三个平面α，β，γ，若是α∥β，γ∩ α＝a，γ∩ β＝b，且直线c? β，c∥ b.(1)判断 c 与α的地址关系，并说明原由；(2)判断 c 与 a 的地址关系，并说明原由．21．直线 a， b? 平面α，且 a， b 成的角为 40°，经过α外一点 A 与 a， b 都成 30°角的直线有且只有 ________条．22．正方体ABCD -A1B1C1D1中， E 为C1D 1的中点，那么异面直线AE与 A1B1所成的角的余弦值为 ________．23．如图，点P， Q， R， S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，那么直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．24．以以下图， E， F 求证：四边形B1EDF 分别是长方体是平行四边形．A1B1C1D 1-ABCD的棱A1A， C1C的中点．25．三棱锥 A-BCD 中， AB＝ CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M， N 分别是 BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角．1．三个公义的作用(1)公义 1 的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公义 2 的作用：确定平面的依照，它供应了把空间问题转变成平面问题的条件．(3)公义 3 的作用：①判断两平面订交；②作两订交平面的交线；③证明多点共线．2．异面直线的相关问题(1)判断方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内但是该点的直线是异面直线，如图．(2)所成的角的求法：平移法．3．求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：依照所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算〞来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤ 90° .1．用符号表示“点A ． A∈ l ，l?αC． A? l， l?αA 在直线l 上， l在平面α外〞，正确的选项是 B ． A∈ l， l?αD ．A? l ， l?α()2．以下说法正确的选项是()A．三点能够确定一个平面B．一条直线和一个点能够确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条订交直线能够确定一个平面3．空间两两订交的三条直线，能够确定的平面数是()A ． 1B ． 2C． 3D．1或 34．以下推断中，错误的选项是()A ． A∈ l ，A∈ α， B∈l ，B∈ α? l? αB． A∈ α， A∈ β，B∈ α， B∈ β? α∩ β＝ ABC． l?α，A∈ l? A?αD． A， B， C∈ α， A，B， C∈ β，且 A， B， C 不共线 ? α，β重合5．在空间四边形ABCD 的边 AB，BC，CD ，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，若是EF 与HG M()A ． M必然在直线AC上B． M必然在直线BD上C． M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D． M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上6．若是在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的地址关系必然是()A ．平行B ．订交C．平行或订交D．不能够确定7．若是一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的地址关系为 ()A ．平行B．订交C．直线在平面内 D ．平行或直线在平面内8．假设直线l 不平行于平面α，且l ?α，那么 ()A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都订交9．直线m，n 和平面α， m∥ n， m∥ α，过 m 的平面β与α订交于直线a，那么n 与a 的地址关系是()A ．平行C．异面B ．订交D ．以上均有可能10．给出以下几个说法：①过一点有且只有一条直线与直线平行；②过一点有且只有一条直线与直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为()A．0B．1C． 2D． 311．以下命题：①两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合；②假设l ，m 是异面直线，l∥ α，m∥β，那么α∥ β.其中错误命题的序号为________．12．与空间四边形ABCD四个极点距离相等的平面共有________个．13．以下命题正确的有________( 填序号)．①假设直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内；②假设直线l 上有无数个点不在平面α内，那么l∥ α；③假设直线l 与平面α订交，那么l与平面α内的任意直线都是异面直线；④若是两条异面直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线必然与该平面订交；⑤假设直线l 与平面α平行，那么l与平面α内的直线平行或异面；⑥假设平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a∥b.14．求证：若是两两平行的三条直线都与另一条直线订交，那么这四条直线共面．1．以下说法正确的选项是()①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面．A ．①②B ．②③C．②④ D ．③④2．以下说法中，正确的个数是()①若是两条平行直线中的一条和一个平面订交，那么另一条直线也和这个平面订交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条订交直线，其中一条与一个平面平行，那么另一条必然与这个平面平行．A ． 0B ． 1C． 2 D ．33．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，那么共有________组互相平行的面，与其中一个侧面订交的面共有________个．4．以以下图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，设线段A1C 与平面 ABC1D1交于点 Q，求证： B，Q，D 1三点共线．5．以以下图，在空间四边形各边AD， AB， BC， CD 上分别取E， F，G，H 四点，若是EF， GH 交于一点P，求证：点P 在直线 BD 上．6．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中， M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明原由．(2)D 1B 和 CC1是否是异面直线？说明原由．7． ABCD -A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与 B1C 所成的角的大小．.8．三棱锥 A-BCD 中， AB＝ CD ，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M， N 分别是 BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角．9．以以下图， G 是正方体ABCD -A1B1C1 D1的棱 DD 1延长线上的一点，E，F 是棱 AB，BC 的中点．试分别画出过以下各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点 G 及 AC； (2)过三点 E， F， D1 .。
必修2 第2章 点线面的位置关系导学案
1§2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.学习过程一、课前准备4043 引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学※ 探索新知探究1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A 在平面α内，记作A α∈；点A在平面α外，记作A α∉.⑵点P 在直线l 上，记作P l∈，点P 在直线外，记作P l ∉.⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作l α⊂；否则直线就在平面外，记作l α⊄.探究2：平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ=.公理3用集合符号表示为,P a ∈且P β∈⇒l αβ=,且P l ∈※ 典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.2例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列⑴直线AC 在平面ABCD ⑵设上下底面中心为,O O 则平面AA C C ''与平面BB D D '的交线为OO '；⑶点,,A O C '⑷平面ABC ''与平面AC '重合.※ 动手试试练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外； ⑵直线a 经过平面α外的一点M ； ⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.三、总结提升※ 学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※ 知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下面说法正确的是（ ）.①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面A.1个B.2个C.3个D.4个3. 们的交点一定（ ） A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上D.都不对4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________.5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个. 1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.3§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.一、课前准备（预习教材P 44~ P 47，找出疑惑之处） 复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________； 公理2___________________________________； 公理3___________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B '与CC '的位置关系如何？结论：直线A B '与CC '既不相交，也不平行.新知1：像直线A B '与CC '这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b 异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 a '∥a ,b '∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?4⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?※ 典型例题例1 如图2-3,,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB BC CD DA 的中点，若对角线2,BD = 4AC =，则22EG HF +的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA '和CC ' ⑵B D ''和C A '图2-4※ 动手试试练 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，求异面直线AC 与A D ''所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，,,,a A B B a ααα⊂∉∈∉，则直线AB 与直线※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. ,,a b c 为三条直线，如果,a c b c ⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（ ）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对 2. 已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）.A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 3. 已知l αβ=,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）.A.至多与,a b 中的一条相交B.至少与,a b 中的一条相交C.与,a b 都相交D.至少与,a b 中的一条平行4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有___________条.5. 长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA =1，异面直线AC 与11AD 所成角的余弦值是______. 1. 已知,E E '是正方体AC '棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.2. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.5图2-5§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系 §2.1.4平面与平面之间的位置关系1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、 _______、_______三种.复习2：异面直线是指________________________ 的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习3：平行公理：__________________________ ________________；空间等角定理：____________ ___________________________________________.二、新课导学※ 探索新知 探究1：空间直线与平面的位置关系 问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图3-1,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?图3-1新知1：直线与平面位置关系只有三种：⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究2：平面与平面的位置关系 问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种? 图3-2新知2：两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.6※ 典型例题例1 下列命题中正确的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3例2 已知平面,αβ，直线,a b ，且α∥β,a α⊂， b β⊂，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?※ 动手试试练1. 若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交.练2. 已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α； ④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α. 其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.※ 知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线l 在平面α外，则（ ）.A.l ∥αB.l 与α至少有一个公共点C.l A α=D.l 与α至多有一个公共点 2. 已知a ∥α，b α⊂，则（ ）. A.a ∥b B.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1对 B.1对或2对 C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______. 1. 已知直线,a b 及平面α满足: a ∥α,b ∥α,则 直线,a b 的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.7§2.1 空间点、直线、平面之间的学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程一、课前准备（预习教材P 40~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩平行相交异面⑷直线与平面的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩在平面内相交平行⑸平面与平面的位置关系⎧⎨⎩平行相交复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学※ 典型例题例1 如图4-1,ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ,Q ,R 三点共线.图4-1小结：证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图4-2,空间四边形ABCD 中，E ,F 分别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD 和AD 上的点，且EH FG 与相交于点K .求证：EH ,BD ,FG 三条直线相交于同一点.图4-2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?图4-3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※动手试试练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,图4-4则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图4-5，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,D F',DA三线交于一点.图4-5练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 直线1l∥2l,在1l上取3个点，在2l上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（）.A.1个B.3个C.6个D.9个2. 下列推理错误的是（）.A.A l∈,Aα∈,B l∈,Bα∈lα⇒⊂B.Aα∈,Aβ∈,Bα∈,Bβ∈ABαβ⇒=C.lα⊄,A l Aα∈⇒∉D.A,B,Cα∈, A,B,Cβ∈,且A,B,C不共线αβ⇒与重合3. a,b是异面直线,b,c是异面直线，则a,c的位置关系是（）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图4-6,在正方体中M,N分别是AB和DD'的中点，求异面直线B M'与CN所成的角.图4-682. 如图4-7,已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P点是直线α上两点，N,Q分别是直线b,c上一点.求证：MN和PQ§2.2.1 直线与平面平行的判定1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.一、课前准备（预习教材P54~ P55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学※探索新知探究1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图5-2结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是平行的.探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.如图5-3所示，a∥α.图5-3反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※典型例题例1 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？图5-4例2 如图5-5，空间四边形ABCD中，,E F分别是910,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .图5-5※ 动手试试练1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN =，如图5-6 所示.求证：MN ∥平面BEC .图5-6练 2. 已知ABC ∆,,D E 分别为,AC AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使A 到A '的位置，设M 是A B '的中点，求证：ME ∥平面A CD '.三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行⇒线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（ ）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l 与平面α不相交，则l ∥平面αC.,A B 是平面α外两点，,C D 是平面α内两点，若AC BD =，则AB ∥平面αD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交 4. 在正方体1111ABCD A B C D -的六个面和六个对角面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线,a b 相交，且a ∥α，则b 与平面α的位置关系是_____________.1. 如图5-7，在正方体中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图5-7112. 如图5-8，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD.图5-8§2.2. 2 平面与平面平行的判定1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.一、课前准备 （预习教材P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、新课导学※ 探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题⑴如图6-1，AA AA B B '''⊂面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BBC C ''吗？图6-1⑵如图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面，则A ADD ''面∥DCC D ''面吗？图6-2⑶如图6-3，直线A C ''和B D ''相交，且A C ''、B D ''都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ''''∥平面ABCD 吗？图6-3反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 如图6-4所示，α∥β.图6-4反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？12※ 典型例题例1 已知正方体1111ABCD A B C D -，如图6-5，求证： 平面11AB D ∥1CB D.图6-5例2 如图6-6，已知,a b 是两条异面直线，平面α过 a ，与b 平行，平面β过b ，与a 平行， 求证：平面α∥平面β图6-6小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.※ 动手试试练. 如图6-7，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，BC ''，CD ''的中点，求证：平面∥ 平面EFDB .三、总结提升※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有5种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）. A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a 与,αβ都平行，且不在α和β内C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a ∥β,b ∥αD.α内的任何直线都与β平行2. 经过平面α外的一条直线a 且与平面α平行的平面（ ）.A.有且只有一个B.不存在C.至多有一个D.至少有一个3. 设有不同的直线,a b ，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ②若a ∥α,α∥β,则a ∥β③若,a αα⊂∥β,则a ∥β.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_______________. 1. 如图6-8，在几何体ABC A B C '''-中，1∠+ 2180∠=°,34180∠+∠=°,求证：平面ABC ∥ 平面A B C '''.13图6-82. 如图6-9，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、 PAB ∆的重心.求证：面A B C '''∥ABC 面.图6-9§2.2.3 直线与平面平行的性质1. 掌握直线和平面平行的性质定理；2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.一、课前准备（预习教材P 58~ P 60，找出疑惑之处）复习1：两个平面平行的判定定理是____________ _____________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.复习2：直线与平面平行的判定定理是___________ _____________________________________.讨论：如果直线a 与平面α平行，那么a 和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学※ 探索新知探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图7-1，直线a 与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a 平行的直线b .图7-1问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图7-1中把直线,a b 确定的平面画出来，并且表示为β.问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b 的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b 是这两个平面的交线，而直线a 和b 又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图7-2中过直线a 再画另外一个平面γ与平面α相交，交线为c .直线a ,c平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?图7-2新知：直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？※ 典型例题例 1 如图7-3所示的一块木料中，棱BC 平行于A C ''面.⑴要经过A C ''面内的一点P 和棱BC 将木料锯开,应怎样画线?⑵所画的线与平面AC 是什么位置关系?。
空间中点、直线、平面的位置关系导学案
8.4.2空间中点、直线、平面的位置关系（导学案）一、学习目标1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义。
2、结合模型与实例，通过直观感知、操作确认、归纳出空间中点、直线平面的位置关系，并学会用符号表示这些位置关系。
3、结合模型和实例，借助直观感知、操作确认研究问题的过程中，发展数学抽象和直观想象的核心素养。
二、课前热身1.点与直线的位置关系：①文字语言描述：点在直线________；符号语言描述：____________；②文字语言描述：点在直线外；符号语言描述：____________；2.点与平面的位置关系：①文字语言描述：点在平面内；符号语言描述：____________；②文字语言描述：点在平面________；符号语言描述：____________；三、新知探索1.直线与直线的位置关系：【复习思考】平面几何中不同的两条直线间有几种位置关系？分别是如何定义的？平面几何中直线与直线的位置关系：两直线_________，特征：两直线没有公共点；两直线_________，特征：两直线有且只有一个公共点；【观察探究】长方体的棱与棱之间有没有平行与相交的位置关系？你能举出例子，并说明判断理由吗？举例：棱______与棱______ __________（平行/相交）棱______与棱______ __________（平行/相交）【类比总结】你能类比平面几何中平行直线与相交直线的特征，归纳出空间中平行直线与相交直线的特征吗？①_______直线:_________________，没有公共点；②_______直线：_________________，有且只有一个公共点。
【观察探究】长方体中你还能找出其他类型的位置关系吗？③_________直线：_____________________________________【对比归纳】空间中直线与直线的位置关系一共有几种？对比这几种位置关系的特征，归纳它们两两之间有什么共同点和不同点？________直线：________，有且只有一个公共点共同点：直线与直线的位置关系 ________直线：________，没有公共点共同点：________直线：不同在__________ 平面内【深入思考】请通过直观想象的方式进行思考：如何用图形语言描述两条异面直线？异面直线的图形语言描述：几何图形中如何判断两直线异面？2.直线与平面的位置关系【合作探究】观察长方体并进行直观想象，思考长方体中直线与平面具有哪些位置关系，并举例进行说明。
高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》导学案
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面一、学习目标1. 理解平面的概念，会画不会表示一个平面。
2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系。
3.掌握三个公理并会简单应用。
【重点、难点】平面的概念及表示方法；平面的基本性质。
二、学习过程【情景创设】1.观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？2.生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海平面都给我们以平面的形象,请问:生活中的平面有大小之分吗?几何中的“平面”是怎样的?【导入新课】1.平面:(1)概念:平面是从生活中的物体抽象出来的,具有以下特点:①平的②无限延展③没有厚薄。
(2)画法:①通常用平行四边形来表示平面。
②当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°，且横边长是邻边长的2倍；当平面竖直放置时,通常把平行四边形的一组对边画成铅垂线。
(3)表示法：一般用希腊字母α,β,γ,…来表示,还可以用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD、平面AC。
2．点、线、面的位置关系：设A表示点，l，m表示直线，α，β表示平面。
符号语言文字语言图形语言A∈l点A在直线l上A∉l点A在直线l外A∈α点A在平面α内A∉α点A在平面α外l⊂α直线l在平面α内l⊄α直线l在平面α外l∩m=A 直线l,m相交于点Al∩α=A 直线l与平面α相交于点Aα∩β=l平面α,β相交于直线l3.平面的性质(1)公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
(2)公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线有且只有一个平面。
(3)公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
【典型例题】例1：如图长方体ABCD-A1B1C1D1,根据图形,用符号语言表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点M与平面AC.(4)点A1与平面AC.(5)直线AB与直线BC.(6)直线AB与平面AC.(7)直线AB与平面BC1.(8)平面A1BCD1与平面BC1.例2：根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【变式拓展】1.有关平面的说法错误的是( )A.平面一般用希腊字母α,β,γ,…来表示,如平面αB.平面是处处平直的面C.平面是有边界的面D.平面是无限延展的2.已知△ABC中,若AB⊂α,BC⊂α,则AC________α.3.过三点的平面的个数是( )A.0B.1C.2D.1或无数4.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”正确的是( )A.A∈l,l∉αB.A∈l,l⊄αC.A⊂α,l⊄αD.A⊂l,l∉α5.若a⊂α,b⊂α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N三、总结反思1．对点、线、面及其关系的三点说明(1)平面和点、线一样是构成空间图形的基本要素之一,它是无边界、大小和厚薄的。
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课题：空间中点、直线、平面之间的位置关系
学习目标：
1、掌握空间直线、平面的位置关系。
2、解决各类夹角问题
教学重点和难点
重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。
学习过程：
一、预习篇
1．四大公里
公理1：如果一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过的三点，有且只有一个平面。
三个推论：①确定一个平面。
②确定一个平面。
③确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有的公共直线。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系
概念：两条直线叫做
位置关系：⎧⎧
⎪⎨
⎨⎩
⎪
⎩
相交直线：_______________________________;共面直线
平行直线：_______________________________;异面直线：_________________________________________.
3.空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种：，，。
4.空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种：，。
自主练习：
1．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A）1个或3个（B）1个或4个
（C）3个或4个（D）1个、3个或4个
2．以下命题正确的有（）
（1）若a∥b，b∥c，则直线a，b，c共面；
（2）若a∥α，则a平行于平面α内的所有直线；
（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；
（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）（A） 2 （B） 3 （C） 6 （D）12
4．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条
二、上课篇
探究点一：点线面的位置问题
例题 1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
方法总结：有效利用教室模型，多动手，多观察。
探究点二：求直线与直线的夹角
例题2．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
探究点三：求线面夹角
例3．已知长方体中AB=8，AD=4，AA1=6，M 、N 分别是AA1和C1D1的中点，求EF 与平面BC1的夹角的正弦值。
方法总结：先做斜线的射影，求斜线和射影的夹角。
探究点四：求二面角
例4：如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 于D ，交SC 于E ，又SA=AB ，SB=BC ，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的的余弦值。
方法总结：做二面角的平面角，再求解。
提升练习：.在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥
平面,ABC SA SC ==M 、N 分别为,AB SB 的中点。
求二面角N -CM -B 的大小；
F
D1C1C B A
空间中点、直线、平面之间的位置关系课后作业
班级 座号 姓名 作业等级
一、选择题
1.若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
B.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β D . 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α
2．4．在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 是11AC 的中点，则直线
CE 垂直于（ ） A ．AC B ． BD C ．1A D D ．11A D
3．在四面体ABCD 中，已知棱AC
1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ）
A ．12
B ．13 C
D
．3
4．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ．090
B ．060
C ．045
D ．030
二、填空题：
5. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m
⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命
题： .
6*. 正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，
并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为 .
二、解答题：
7正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，
底面对角线的长为，求侧面与底面所成的二面角。
8．如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2
（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；
（2）求二面角P —BC —A 的大小；
（3）求三棱锥P —AEF 的体积.
A C P E F。