高考数学(文)全程复习课件：8.6 双曲线

点评：本题是典型的定义法求轨迹，解时要注意：|FA|－|FB| ＝2，没有“绝对值”，因此，它仅是双曲线的下半支．
x2 y2 变式探究 1 已知双曲线 C：9 －16＝1 的左、 右焦点分别为 F1、F2，P 为 C 右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2 的面 积等于( ) A．24 B．36 C．48 D．96
x2 y2 x2 y2 2 ．与双曲线 a2－ b2＝ 1 共渐近线的双曲线方程为 a2－ b2＝ λ(λ≠0)． c2－a2 c2 b 3．双曲线的形状与 e 的关系：k＝a＝ a ＝ a2－1＝ e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线 的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 由此可知， 双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔.
)
x2 y2 解析：双曲线方程可变为 4 － 8 ＝1，所以 a2＝4，a＝2，2a ＝4. 答案：C
x2 y2 4．设 F1 和 F2 为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点， 若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( ) 3 5 A.2 B．2 C.2 D．3
图形
范围 对称性 性 质
x ≥a 或 x≤－a ____________
y ≥a 或 y≤－a ____________
x 轴、y 轴 x 轴，y 轴 对称轴：__________ 对称轴：__________ 坐标原点 对称中心：__________ 坐标原点 对称中心：__________
顶点坐标： (－a,0) ， A1__________ (a,0) A2__________ 顶点坐标： (0，－a) ， A1__________ (0，a) A2__________
解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得 |PF1| 1 － |PF2| ＝ 6 ， |PF1| ＝ 16 ， 因 此 △ PF1F2 的 面 积 等 于 2 ×16× 162 2 10 － 2 ＝48，选 C. 答案：C
题型二 求双曲线的标准方程 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： x2 y2 (1)与双曲线 9 －16＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； x2 y2 (2)与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)．
题型探究 题型一 双曲线定义的应用 例 1 已知定点 A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以 C 为一个焦 点作过 A、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程．
解析：设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半 轴)， ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋52＝2， ∴|FA|－|FB|＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的 双曲线的下半支上， 2 x ∴点 F 的轨迹方程是 y2－48＝1(y≤－1)．
7 解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(± 7，0)，离心率是 4 . 2 7 c 故在双曲线中 c＝ 7，e＝ 4 ＝a，故 a＝2，b2＝c2－a2＝3，故 x2 y2 所求双曲线的方程是 4 － 3 ＝1. x2 y2 答案： 4 － 3 ＝1
疑点清源 1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 “六点”(两 个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、 两条渐近线)， “两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 ) 研究它们之间的相互联 系．
2b c 2 解析：依题意得 tan60° ＝ c ，b＝ ，因此该双曲线的离心 3 c c 率是a＝ 2 ＝2，选 B. c －b2 答案：B
x2 y2 x2 y2 5．已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆16＋ 9 ＝1 有相 同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的 方程为__________．
a、b、c 关系
a2＋b2 c＞a＞0，c＞b＞0) c2＝__________(
考点自测 1.双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( 2 5 6 A. ，0 B. ，0 C. ，0 D．( 3，0) 2 2 2
)
2 y 解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－ 1 ＝1，∴a2＝1， 2 6 1 3 6 2 2 2 2 b ＝2，∴c ＝a ＋b ＝2，∴c＝ 2 ，故右焦点坐标为 ，0. 2 答案：C
顶点
渐近线
b y＝± x a __________
a y＝± x b __________
c 2 2 离心率 a ＋ b a ，e∈(1，＋∞)其中 c＝________ e＝______
性 质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 ______ 2b ；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做 |B1B2|＝______ 双曲线的虚半轴
8．6 双曲线
考点梳理 一、双曲线的定义 绝对值 等于常 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的__________ 数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线． 两个定点 F1、F2 叫做双曲线的______ 焦点 ，两焦点的距离|F1F2| 焦距 叫做双曲线的______.
二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 y2 x2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0) a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
Байду номын сангаас
x2 y2 2．设双曲线a2－ 9 ＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x± 2y＝0，则 a 的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1
x2 y2 解析：双曲线a2－ 9 ＝1 的渐近线方程为 3x± ay＝0，与已知 方程比较系数得 a＝2. 答案：C
3．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( A．2 B．2 2 C．4 D．4 2