【人教A版】2020年高考数学理科二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及中档题型精讲卷
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程讲义
第1讲 坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析](1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值. 解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.。
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(中档)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题8 第1讲 坐标系与参数方程1
所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆．
π－θ 因为直线 l 的极坐标方程为ρsin 6 ＝2，
则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为π， 6
所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB＝π. 6
连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA＝π， 2
所以 AB＝4cosπ＝2 3. 6
3
当α＝π时，l 与⊙O 交于两点． 2
| |2
当α≠π时，记 tanα＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当 1＋k2 <1，解得 k<－1 或 k>1， 2
π，π
π，3π
即α∈ 4 2 或α∈ 2 4 .
π，3π 综上，α的取值范围是 4 4 .
x＝tcosα， (2)l 的参数方程为
专题八 选修系列 4 第一讲 坐标系与参数方程
高考考点
考点解读
1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程 参数方程
2．参数方程与普通方程的互化
极坐标
1.常见的直线及圆的极坐标方程 2．极坐标方程与直角坐标方程的互化
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下知识点：
一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与
在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与
C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，
|－k＋2|
所以
＝2，故
2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题20 坐标系与参数方程 Word版含答案
θ＋4sin 17
θ－a－4|．
当a≥－4时，d的最大值为a＋179．
由题设得a＋9＝ 17
17，所以a＝8；
第十八页，编辑于星期日：一点 四分。
当a<－4时，d的最大值为－a1＋7 1．
由题设得－a＋1＝ 17
17，
所以a＝－16．
综上，a＝8或a＝－16．
第十九页，编辑于星期日：一点 四分。
2．(2017·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半 轴为极轴建立坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
第二十四页，编辑于星期日：一点 四分。
4．(2017·江苏卷，21C)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x＝－8＋t y＝2t
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为xy＝＝22s22，s (s 为参数)．设 P 为曲线
C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值.
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核心知识整合
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第八页，编辑于星期日：一点 四分。
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ
2 0
－
r2＝0．
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程
①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； ②当圆心位于M(a,0)，半径为a：___ρ_＝___2_a_c_o_s_θ______；
• [分析] (1)直接由sin2t＋cos2t＝1消参可得； • (2)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，先
求出C1、C2两交点的直角坐标，再化为极坐 标．
2020高考数学理科二轮复习导学案+极坐标与参数方程+Word版含解析
坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2α－44 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－ ，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝ 圆C 的半径为5，△CMN 的面积为 .2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y xx +=≠-；l 的直角坐标方程为2110x+=；（2． 【解析】（1）解法一：，221111t t--<≤+，，，，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.解法二:因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，代入⊙O 的直角坐标方程得t 2－22t sin α＋1＝0.直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，所以 ，， α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.条件探究：点 (0，－2)，过点M 的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程
第 1 页 共 10 页2020年高考数学（理）二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤第 2 页 共 10 页(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， ⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ第 3 页 共 10 页得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以， 所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB第 4 页 共 10 页①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 2π⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y第 5 页 共 10 页注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为. 例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222第 6 页 共 10 页(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t 527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒第 7 页 共 10 页③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k )4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π第 8 页 共 10 页7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．⎩⎨⎧+-=+=ty at x 41,3⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x第 9 页 共 10 页14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．专题14 坐标系与参数方程参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223(第 10 页 共 10 页|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
2020版高考数学二轮复习教程第二编专题七系列第1讲坐标系与参数方程练习理
第1讲坐标系与参数方程「考情研析」高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大。
核心知识回顾1.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ），则2．常见圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r的圆:错误!ρ＝r（0≤θ〈2π)．（2)圆心为M(a,0），半径为a的圆：□，02ρ＝2a cosθ错误!.（3）圆心为M错误!,半径为a的圆：错误!ρ＝2a sinθ(0≤θ≤π）．3．常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为α:错误!θ＝α(ρ∈R）．(2）直线过点M(a，0）,且垂直于极轴：错误!ρcosθ＝a错误!.(3）直线过点M错误!，且平行于极轴：错误!ρsinθ＝a(0〈θ〈π）．4．直线、圆与椭圆的参数方程热点考向探究考向1 极坐标方程及应用例1 (2019·全国卷Ⅱ）在极坐标系中,O 为极点，点M (ρ0,θ0)（ρ0〉0）在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A （4,0)且与OM 垂直,垂足为P .（1)当θ0＝错误!时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解 （1)因为M （ρ0，θ0)在曲线C 上,当θ0＝π3时，ρ0＝4sin 错误!＝2错误!. 由已知得|OP ｜＝｜OA ｜cos 错误!＝2.设Q（ρ,θ）为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcos错误!＝|OP|＝2.经检验，点P错误!在曲线ρcos错误!＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcos错误!＝2.（2）设P（ρ,θ）,在Rt△OAP中，|OP｜＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ。
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是错误!。
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：8.1坐标系与参数方程 Word版含解析
由ρcos2θ＝sinθ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，
则y＝x2，故曲线C的直角坐标方程为y＝x2.
(2)将 代入y＝x2，得t2＋ t－2＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－2，易知直线l过点P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.
(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.
1．[2019·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
则直线l过点 ，倾斜角为 .
又B ，所以点B到直线l的距离为(3 － )×sin ＝2.
2．[2019·湖北八校第一次联考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (α为参数，t为常数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos ＝ .
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
又由①得t1＋t2＝－ ，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．
(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.
(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为
＝ .
当α＝－ 时，4cos ＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为 .
2020届高三理科数学二轮专题复习讲义(三)
2020届高三理科数学二轮专题复习讲义（三）《直线、圆、圆锥曲线》 专题一、专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。
高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。
其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。
本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。
二、热点题型范例 题型一、动点轨迹方程问题例1．如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。
解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.，因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b x 2-23y =1.(II)由（I ）及（21）图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=1144±-舍去,所以|PN|=14+. 因为双曲线的离心率e=c a =2，直线l ：x =12是双曲线的右准线，故||PN d =e=2，所以d=12|PN |，因此2||2||4||4||1||||PM PM PN PN d PN PN ====+变式：在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥． 当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．(AB x ==而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以465AB =． 题型二、线性规划问题例2．①若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C ) A ．34B ．1C ．74D ．5②在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 _____ 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭变式：1．若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是（ D ）A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)2．若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 ( C ) （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 题型三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = 8例4. 已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y k x =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切， 2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0N A N B =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-2214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB=．变式：已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程解：(Ⅰ)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142222=--ay a x （0＜a 2＜4)， 将点（3，7）代入上式，得147922=--aa .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为.12222=-y x (Ⅱ)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx－6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212kx x k k -=-于是|EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=|1|32214)(1222212212k k k x x x x k--+=-++∙∙，而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+,∴S ΔOEF =.|1|322|1|32211221||21222222k k k k k k EF d --=--++=∙∙∙∙ 若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|3222422=--⇔=--k k k k 解得k =±2，满足②. 故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y 题型四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．(0,2 D ．2变式：1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 2题型五、直线与圆锥曲线位置关系问题例6．已知抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、． （1）证明E F N 、、三点共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-，即1212()y x x x x x =+- 因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+-① 又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+由210012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得：221001x y x x y x ---=，所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=同理，200222,F F y y x y x x =-=，所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=--令0x x =-得0120012[()]y y x x x y x x =+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上，所以,,E F N 三点共线（2）由已知A B M N 、、、共线，所以()00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2200x y y y +-=，由()22002x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22000210y y y y y --+-= 所以0y y =（舍去），01y y =- 。
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题七选考部分第1讲坐标系与参数方程学案理新人教A版
第1讲 坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用[典型例题](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x 换成ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程． (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 1的极坐标方程式为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A (π2，ρ1)、B (π4，ρ2)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.参数方程及其应用 [典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22.②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③|AB |＝|t 2－t 1|.④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[对点训练]1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3.将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝517×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得，F (－23，0)，则 FA →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA →·FB →的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用[典型例题](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为(2，π4)． (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)(一题多解)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.【解】 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为(2，π4)，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝|t 1＋t 22|＝5541. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M (841，－341)．所以|PM |＝(841－1)2＋(－341－1)2＝(－3341)2＋(－4441)2＝5541.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练]1．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围． 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一： 把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．2．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B (ρ2，φ＋π6)，C (ρ3，φ－π6)(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋π6)，ρ3＝2cos(φ－π6)，则ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋π6)＋2cos(φ－π6)＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，所以在平面直角坐标中，B (12，32)，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，所以ρ1＝ 3.所以四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcos θ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值．解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 30°y ＝1＋t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝1＋12t(t 为参数)．设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0)．(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中， 得(2＋32t )2－4(2＋32t )＋(1＋12t )2＝0， 即t 2＋t －3＝0，Δ＝13>0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t 2(其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)过P (0，1)的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，当|PA |·|PB |＝8时，求直线l 的倾斜角． 解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y ，曲线C 2的极坐标方程可化为ρcos θ－3ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m cos αy ＝1＋m sin α(m 为参数，α为直线l 的倾斜角且α≠90°)，代入曲线C 1的普通方程中得m 2cos 2α－4m sin α－4＝0， 所以m 1m 2＝－4cos 2α，所以|PA |·|PB |＝|m 1m 2|＝4cos 2α＝8，得α＝45°或135°，即直线l 的倾斜角为45°或135°.3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)法一：由直线C 2∶ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1，则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2>0－1<－a 2<1f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin(θ＋π4)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×(22＋22)＝5152.5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t (t 为参数，其中a >0)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－t 2－a ＝0，Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4a3，所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4·(－4a 3)|－4a 3|＝4，化简得64a 2－12a －1＝0， 解得a ＝14或a ＝－116(舍去)，所以a ＝14.6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与C 1交于O ，A两点，与C 2交于O ，B 两点，当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解：(1)将C 1的参数方程化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin(2θ＋π4)＋1.因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈[π4，5π4]，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin(2θ＋π4)＋1取得最大值，为2＋1.7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)P ，Q 为曲线C 上两点，若OP →·OQ →＝0，求|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α，得曲线C 的普通方程是2x 25＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得5ρ2sin 2θ＋2ρ2cos 2θ＝5，即ρ2＝53sin 2θ＋2(ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ也可得分)． (2)因为ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ，所以1ρ2＝sin 2θ＋2cos 2θ5， 由OP →·OQ →＝0，得OP ⊥OQ ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q 的极坐标可设为(ρ2，θ±π2)，所以|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2＝11|OP →|2＋1|OQ →|2＝11ρ21＋1ρ22＝1sin 2θ＋2cos 2θ5＋cos 2θ＋2sin 2θ5＝11＋25＝57. 8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t 代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y24＝1中，得t 2－2t－4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由(1)知，曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α，2sin α)，0<α<π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin(α＋π3)，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．。
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
【人教A版】2020年高考数学理科二轮复习《不等式选讲》讲义案及中档题型精讲卷
2020年高考数学二轮复习《不等式选讲》讲义案及中档题型精讲卷一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,ca b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c>⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a bb a>>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件）3.作差比较法0,0 a b a b a b a b>⇔>-><⇔-< (二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a>>⇔>><-或（2）22 ||||a b a b>⇔>（3）||||x a x b c+++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab+>（当且仅当等号成立条件为a b=）（2）0,0,2a ba b+>>≥a b=）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L .当且仅当向量12(,,,)n a a a L a =与向量12(,,,)n b b b L b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法.四、解答题题型总结核心考点:放缩法解不等式预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得112,,,K B B B B B A≤≤≤L 或112,,,K A A A A A B≥≥≥L ，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.1.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=6<. 分析 采用“添项”放缩法解析31a <==+ ①31b <=+ ② 31c <=+ ③①+②+3()36a b c +++=.评注 放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：23(616161)2736a b c ≤+++++=<，6<.2.证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .解析 因为2121111111n n nn n n n n C C C n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()()()()()()()2112122121111111...2!3!1!!n n n n n n n n n n n n n n ---------++⋅+++⋅+⋅-L L111121122112111(1)(1)(1)...(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)2!3!(n 1)!n!n n n n n n n n n n n --++-+--++---+----111112!3!!n <++++⋯+ 2111111112111331222212n n n ---++++⋯+=+=-<- .即()13nnn n +<.由2n ≥时,13n +≥,得()()311nn nn n n n <≤++,故()11n n n n ->+()2,n n N *≥∈.评注 这里用111n -<, 1(1)(12)1n n --<, (11)(1)(1)...(1)12n n n n ----< ①以及112!2≤,2113!2<,3114!2<, (1)11!2n n -< ②3.求证：12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b +<+++<∈++++++++R .解析 由题意，,,,a b c d +∈R ，则b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++1a b c da b c d +++>=+++，b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d aa b c d c d a b <+++=++++.所以原不等式成立.4.设,,,a b c m +∈R ，且满足m m m a b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析 由幂函数性质可知a b >，a c >，要构成三角形，只需b c a +>，故()m mb c a +>， 即证明()m m mb c b c +>+，只需证明1()()m mb c b c b c >+++，即()()m m b c b c b c b c b c b c +<+++++. ① 由0m >，且,(0,1)b cb c b c ∈++，由指数函数(01)xy a a =<<单调递减可知，要使得式①成立，只需1m >. 因此可知，要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时，222a b c =+，三角形为直角三角形；当12m <<时，22222()m m m m m m m m ma a abc a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c -->⋅+⋅22b c =+即222a b c >+，此时三角形为钝角三角形；当2m >时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c --<⋅+⋅22b c =+即222a b c <+，此时三角形为锐角三角形.5.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k.解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n n C T r rrn r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n Λ(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k(15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i j i j i6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ(2)求证:n n 412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n ΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++<++Λ,所以综上有 35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ7.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则ba a k k ≥>+1,否则若)(k mb a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km mm k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |111118.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m kk k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 9.已知nnn a 24-=,nnn a a a T +++=Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T ΛΛ10.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ。
2020届高中毕业班数学学科备考(极坐标与参数方程)
2020届高中毕业班数学学科备考极坐标与参数方程极坐标与参数方程为高考选考内容之一，主要考查直线与圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等。
高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。
一道解答题，位于22题，满分10分；考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。
试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”，第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中,ρθ的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。
随着新课标的实施，2018年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。
考查运算求解能力，考查数形结合思想、划归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。
近5年本部分内容考查情况如下：一、存在的问题及原因分析（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是A ．1tB ．12tC 1D 1【评析】易错选为A.为什么错？因为所给的直线l 的参数方程不是标准式，l 上的点1P 对应的参数是1t并没有参数的几何意义.化成标准式x a y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，也可以看出答案为C.【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【解析】把直线l的参数方程2()2x t t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数化为标准的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='232'212t y t x （'t 为参数）代入曲线:C ()2221,y x --=整理得010'4'2=-+t t ，所以10'',4''2121-=-=+t t t t ，所以142''4)''(''2122121=-+=-=t t t t t t AB .【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B 对应的参数分别为12,t t错误得到12||||AB t t =-==. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例3】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以1t ，2t 异号， 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例4】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程. 【解析】把θθcos sin +=y 两边平方得x y 212sin 1)cos (sin 22+=+=+=θθθ，所以x y 212+=， ∵R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ∴.2121≤≤-x ∴所求曲线1C 的普通方程为x y 212+=，.2121≤≤-x 【评析】本题易错点主要在于忽视三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. 【例5】（2014年广东省深圳市高考模拟题）若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθs in c os y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线b x y +=与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线21,l l 之间,则(1]b ∈-.【评析】本题易错点主要在于忽视θ所给的范围，以为⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的图形是圆。
【人教A版】2020年高考数学理科二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及中档题型精讲卷
2020年高考数学二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及中档题型精讲卷—、总论坐标系与参致方程它以函数、方程等知识点为载体，*8着与元■化程、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方血起到『积极的作用.近儿年的数学冏号中频频出现參数的几何意义问题，其形式逐渐多样化。
二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用卜平面图形的变化情况.3 .能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面口角坐标系中表水点的位置的区别，能選行极坐标和直角坐标的互化.4 .能在极坐标系中给出简饵图形（如过极点的宜线、过极点或心在极点的）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理坐用方程平而平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法.并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区別.6.J”解参数方程.了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8 .掌握参数方程化普通方科的方法.三、命题挡势探究本章是新课标新增内容，属选考内容,在高是中可能有所体现.殄数方程是解析几何、平而向危、三角函数、維ilii线与方程等知识的踪合应用和迎一步深化. 是研究曲线的I具之一•值得特別关，i・四、知识讲解1.极坐标系在平iHi I ：収一个定点Q,由点°出发的一条射线。
'•、_个长度饵位及计貝角度的正方向（通常取逆时针 力向）・4称为一个极坐标茶•点O 称为极点.。
、称为模轴.平面上任点M 的位置可以由线以。
』/的II 度。
和从必到。
M 的角度0 （弧度制）来刻网（如图［和图2所示）.这两个实数组成的仃序实数肘（Q ，e ） 称为点M 的极坐标.Q 称为极径，。
称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设』I 为平面上的一点，其口角坐标为仃，｝'）,极坐标为（@8）,山图］6-3］和图16-32可知，卜面的 关系式成立：：3 •极坐标的几何意义P = 〃——友小以。
【人教A版】2020年高考数学理科二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及中档题型精讲卷
2020年高考数学二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及中档题型精讲卷一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化。
二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ （对0ρ<也成立）.3.极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M u u u u u u r的数量，向上向右为正(如图3所示).图 1图 25.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.6.椭圆的参数方程椭圆2222C:1x ya b+=的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C:1x ya b-=的参数方程为sectanx ay bθθ=⎧⎨=⎩(,)2k kπθπ≠+∈Z.8.抛物线的参数方程抛物线22y px=的参数方程为222x pty pt⎧=⎨=⎩（t为参数，参数t的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化1.在极坐标系中，圆4sinρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R)的距离是.极坐标系中的圆4sinρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y+=，即22(2)4x y+-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：图3y x =，即0x -=.圆心(0,2)到直线0x ==.2. 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .解析 解法一：1C x =3：，22:4cos C ρρθ=，得2240,,02x y x πθρ⎛⎫⎡⎫+=∈≥⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（圆在第一象限的部分）。
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：8.1坐标系与参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x(x ≠0).顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 2．圆的极坐标方程，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3，M 3的极坐标方程；M 2，M 3构成，若点P 在本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，46若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎛⎫3，5π(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．『对接训练』因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点2 参数方程1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式【解析】(1)解：曲线C的直角坐标方程为4＋16＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)解：将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是『对接训练』【解析】 本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程『对接训练』(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(－1,2)，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)消去参数，得直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0. 由ρcos 2θ＝sin θ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，则y ＝x 2，故曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋2t代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，的参数方程为⎩⎪⎨y ＝2sin α(α为参数，t 为常数)．以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 有两个交点，求实数t 的取值范围． 解析：(1)消去参数，得圆C 的普通方程为(x －t)2＋y 2＝2.⎩⎨ρ＝23cos θ＋2sin θ，1同理，得|OB |＝|ρ2|＝2 3.又∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×4×23×12＝23， 故△AOB 的面积为2 3.为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝－4＋5t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|P A |·|PB |＝|AB |2，求a 的值．解析：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)得ρ2sin 2θ＝2aρcos θ(a >0)，。