北师大版数学选修4-1练习：综合学习与测试(1)(含答案)

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北师大版数学选修4-1练习(第1章)直线、多边形、圆(2)(含答案)

第一章直线、多边形、圆同步练习(二)1. 若一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似的三角形，则这个三角形必是（）A. 等腰三角形B. 任意三角形C. 直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形2. 如图，AB=BC ，∠A=25°，则∠O=（）A. 25°B. 50°C. 30°D. 都不对3. △ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，角AC 于E ，且2:1:=∆D BCE AD E S S ，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比是（）A. 2:1B. )12(-:1C. )13(-:1D. 3:)13(-4. 如图，圆O 与AB 相切于点A ，BO 与圆O 交于点C ，∠BAC=27°，则∠B 为（）A ．27° B．36° C ．49.5° D．63°5. 如图，O 为圆心，PAB 是一条直线，=+y x ( )A. 2zB. 90+zC. 180-zD. 180-2z6. 已知直线m 上一点P 与圆O 之间的距离为5cm ，圆O 的半径为3cm ，则直线m 与圆O 的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能7. △ABC 中，AB=12，∠C=30°，则这个三角形的外接圆直径为（）A. 24B. 18C. 36D. 1238. P 是圆O 外一点，OP=13，过P 作圆O 的一条割线PQR ，交圆O 于点Q 、R ，且PQ=9，QR=7，则圆的半径为（） A. 6 B. 8 C. 5 D. 109. 如图，⊿ABC 的内切圆与三角形各边切于点D ，E ，F ，且∠FOD=∠EOD=135°，则⊿ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10. PA 切圆O 于A ，PO 交圆O 于B ，且PB=BO=1，则PA=（） A. 2 B. 3 C. 2 D. 211. 圆内两条相交弦，其中一条被交点分成长3cm 和8cm 的两段，另一条弦长10cm ，那么它被分成的两段长分别为___________和_________ 。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （）A ．2B ．42C ．210D ．62．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或73．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（） A ．10B ．210C ．22D ．424．若过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是( )A ．8333k k ⎧⎪-<<-⎨⎪⎩或8323k ⎫⎪<<⎬⎪⎭B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()3,2-D ．8333k k ⎧⎪-≤<-⎨⎪⎩或8323k ⎫⎪<≤⎬⎪⎭5．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含6．已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，则MQ MP +的最小值为（）A ．3B ．5C ．152－D ．1+52 7．若直线与圆相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则的值为（） A ．或B ．C ．或D ．8．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y xy m <+恒成立，则m 的取值范围是（）． A ．1617<m B ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m9．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x10．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=11．直线:1l y kx =-与圆221x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（） A ．14 B ．12 C ．1 D ．3212．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为（）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．14．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．15．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为__________． 16．设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____.17．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则圆O 的半径为，CD =____________．18．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径r ＝________.19．A ．（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2{212x t y t==+(为参数)，圆C 的参数方程为cos 2{sin x y θθ=+=(θ为参数),则圆心C 到直线的距离为_________． B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．20．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．点P 在曲线C上，则点P 到直线的距离的最小值为．三、解答题21．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为23.点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .（1）求圆C 的方程；（2）求证: ·AN BM 为定值．22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 23．已知直线:l 022=++y x 及圆y y x C 2:22=+．（1）求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线'l 的方程；（2）过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求PT 的最小值． 24．（本小题满分为10分）已知点P （－2，－3）和以点Q 为圆心的圆9)2()422=-+-y x （。

北师大版数学选修4-1练习(第1章)第1节全等与相似(含答案)

全等与相似同步练习一，选择题1，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠DAB=∠DBC ，AB=4，BD=5，则=∆∆ABC ABD S S :（） A.2516 B. 54 C. 4116 D. 41252，在⊿ABC 中，D ，F 是AB 上的点，E ，H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE ，FH 将⊿ABC 分成面积相等的三部分,若线段FH=65，则BC 的长为（）A. 15B.10C.2615 D. 3152 3，在⊿ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且2:1:=∆ABC AD e S S 四边形，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A. 2:1B. )12(:1-C. )13(:1-D. 3:)13(-4，在⊿ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则CBD ACD S S ∆∆:为（） A.85 B. 6425 C. 3925 D. 89255，如图，若⊿ACD~⊿ABC ，则下开式子中成立的是（）A. DB AD CD ⋅=2BDB. AB AD AC ⋅=2C. CD AB AD AC ⋅=⋅D. AD AB BC AC ⋅=⋅ 6，如图，ABCD 是边长为4的正方形，PC PQ PB AP ⊥=,31，则PQ 的长是（）A.54 B. 45 C. 34 D. 43 7，如图，BDEF 是平行四边形，如果CD ：DB=2：3，那么ABC BD EF S S 三角形平行四边形是的（）CDA.94 B. 163 C. 196 D. 2512 8，在直角三角形中，斜边上的高为6cm,且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（） A.265 B. 64 C. 65 D. 235 9，矩形的长为8cm,宽为6cm,EF 是对角线BD 的垂直平分线，那么线段EF 的长为（）A.415 B. 5 C. 215 D. 8 10，AD 为RtABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45=AC AB 则=EACE（） A. 2516 B. 54 C. 45 D. 162511，如图，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，QC=31SC ，则AB 等于（）PA. 415B. 436C. 217 D.5 12，在⊿ABC 中，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，连结DE ，则=BCDE（） A.21 B. 31 C. 32 D. 21 二，填空题13，三角形三内角之比为1：2：3，则它的三边之比是14，在⊿ABC 中，DE//BC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，若AD=1，DB=2，那么=+DEBCDE15，等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是16，在⊿ABC 中，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的中线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点，则MN ：BC= 三，解答题 17，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，AD C ABC BCD S S S ∆∆∆⋅=2求证：BD=AC18，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在AD 上取一点F ，使21FD AF ，连结FE 交CB 的延长线于H ，交AC 于G ，求证AG=51ACA19，如图，在⊿ABC 中，AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，AD ，BE 交于点P ，过P 作AB 的平行线FG 交BC ，AC 于F ，G ，求证：PF=PG20，如图，CD 为Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，CE ⊥CD ，CE=310，连结DE 交BC 于F ，AC=4，BC=3，求证：①⊿ABC~⊿EDC ②∠A=∠ACDE参考答案1. C2.A3.D4.B5.B6.B7.D8.A9.C 10.A 11.A 12.A 13. 2:3:1 14.4 15.48 16.41。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（） A ．4 B ．817 C ．2 D ．817172．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（）A ．B ．C ．或D ．或3．点为圆上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是（）A ．B ．C ．D ．4．已知 ,AC BD 是圆224x y +=的互相垂直的两条弦,垂足为()1,2M ,则四边形ABCD 面积的最大值为M ,最小值为N ,则M N -的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知点)2,1(P 和圆C ：02222=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是（） A ．R k ∈ B.332<k C.2303k -<< D ．232333k -<< 6．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[] B ．[] C ．[D ．7．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（） A ．B ．C ．D ．8．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定9．设集合(){},|A x y y x a ==+，集合(){}2,|34B x y y x x ==-，若A B ∅⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（）A ．122,122⎡-+⎣B ．12,3⎡⎤⎣⎦C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦D ．122,3⎡⎤-⎣⎦10．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x+y=m 的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（）A ．(2,32)B ．(32,2)(2,32)--⋃C ．(32,32)-D ．(2,2)-11．当曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（） A ．3(0,)4 B ．53(,]124 C ．3(,1]4D ．3(,)4+∞12．（2013•文昌模拟）过点A （a ，a ）可作圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的两条切线，则实数a 的取值范围为（） A ．a ＜﹣3或B ．C ．a ＜﹣3D ．﹣3＜a ＜1或二、填空题13．已知圆C 经过坐标原点O 和点()4,2A ，圆心C 在直线210x y +-=上，则圆心到弦OA 的距离为__________．14．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，AD CE ⊥于点，若圆的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．16．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，是圆的割线，若，，，则圆的半径___.17．已知圆()()()22:23221C x y M P -+-=-，点，，为圆外任意一点．过点P 作圆C 的一条切线，切点为N ，设点P 满足PM PN =时的轨迹为E ，若点A 在圆C 上运动，B 在轨迹E 上运动，则AB 的最小值为___________．18．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A =___________．19．如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=________________．20．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是__三、解答题21．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程. 22．已知圆C 1：x 2+y 2-2mx -4my +5m 2-4=0（m ∈R ），圆C 2：x 2+y 2=1．（1）过定点M （1，-2）作圆C 2的切线，求切线的方程；（2）若圆C 1与圆C 2相交，求m 的取值范围；（3）已知点P （2，0），圆C 1上一点A ，圆C 2上一点B ，求|PA PB +|的最小值的取值范围．23．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若＝，＝，求的值；（Ⅱ）若EF 2＝FA·FB ，证明：EF ∥CD ． 24．（本题满分16分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点（Ⅰ）写出圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长. 25．（本题满分14分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，圆被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得关于过点的直线对称？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．26．已知圆C 经过(1,4)A ，(3,6)B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上．（1）求圆C 的方程．（2）过(2,0)P 的直线l 与圆C 相交于M ，N 且||23MN =l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】依题意可知直线过圆心()4,1--，代入直线方程得1144,16a b ab ab =+≥≤，当且仅当142b a ==22817a b=+ 2．D解析：D 【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.3．B解析：B 【解析】由题意得即，因此两平行直线之间距离为，选B.4．D解析：D 【解析】试题分析：设点O 到直线AC 和直线BD 的距离分别为12,d d ，如图，做,OE BD OF AC ⊥⊥,则四边形OEMF 为矩形，又()1,2M ，所以22123d d +=，221224,24AC d BD d =-=-．则四边形ABCD 的面积为：()()221212442S AC BD d d ==--，又22213dd =-，所以()()()()222211112443241S d d d d =--+=-+，令21dt =，则03t ≤≤，从而()()()224123403S t t t t t =-+=-++≤≤．对于函数234y t t =-++，其对称轴为32t =，根据一元二次函数的性质，2max min 332534,4224y y ⎛⎫=-+⋅+== ⎪⎝⎭，即max min 2525,2444M S N S ======，所以1M N -=，选D ．考点：1.勾股定理；2.一元二次函数的最值；3.数形结合的思想和方法．【方法点晴】本题考查的是勾股定理和一元二次函数的最值，属于中档题．本题首先根据已知条件可得：12S AC BD =和22123d d +=，从而转化为利用圆中三角形勾股定理求弦长．表示出面积后，利用前面条件，把面积表示为关于21d 的二次函数，利用换元法令21d t =，此时注意03t ≤≤，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，确定对称轴即可求解．5．A解析：A【解析】因为过P 作C 的切线有两条，所以点P 在圆C 的外边；将)2,1(P 代入，得092>++k k ；35261-=-=∆ ，所以092>++k k 恒成立，即R k ∈；故选A.考点：点与圆的位置关系、二次不等式.6．B解析：B 【解析】因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为则根据圆心到直线的距离和园的半径的关系可知，直线的倾斜角的取值范围是，选B7．C解析：C 【解析】试题分析：由∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ，知∠PCA=∠B ．解：如图，PC 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ， ∵∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ， ∴∠PCA=∠B ，故选C ．点评：本题考查弦切角的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．B解析：B 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系. 【详解】设圆心到直线的距离为d,则22|002|21(1)d r -+===+-，所以直线与圆相切，故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.9．D解析：D 【解析】【分析】先求出集合A 、集合B 表示的几何意义，然后结合题意中A B ∅⋂≠的概率为1转化为直线与圆相交，运用直线与圆的位置关系求出结果【详解】集合A 表示在直线y x a =+上的点，化简234y x x =--，可得()()22324y x -+-=3y ≤，则集合B 表示半圆A B ∅⋂≠的概率为1，即直线与半圆有交点如图：将（0，3）代入可得：3a =()2223d 211a -+=≤+-，即122a -≤122221a -≤≤，综上，1223a -≤≤则a 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦故选D 【点睛】本题较为综合考查了集合的运算、直线与圆的位置关系，解题关键是转化为直线与圆的位置关系，然后运用相关知识来求解，需要掌握此类题目解题方法。

北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（） A ．22B ．21-C ．21+D ．22．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（） A ．10B ．210C ．22D ．423．直线1+=kx y 与圆()41)2(22=-+-y x 相交于P 、Q 两点。

若22PQ ≥,则k 的取值范围是（） A ．]0,43[-B ．]33,33[- C ．]1,1[- D ．]3,3[- 4．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或35．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交6．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-= 7．与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有A ．6条B ．5条C ．4条D ．3条8．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20-9．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定10．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（）个. A ．1 B ．2C ．3D ．011．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12．经过直线l :220x y +-=上的点P ，向圆:221x y +=引切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为（）A ．2B ．22C ．3D ．23二、填空题13．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 14．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为255，则实数a 的值为__________． 15．已知P 为平面内一点，且(1,0),(1,0)A B -，若3PA PO =，2PB PO =，则点P 的横坐标等于________16．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 作圆O 的切线与 O C 的延长线交于点P ，则图PA=___________．17．（几何证明选做题）如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12,43PF PD ==则EFD ∠的度数为____．18．已知圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是3，则C到直线PQ的距离为_____．19．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的半径r＝________.20．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆PB=，C是圆上一点使得的切线和割线交圆于,A B．且7∠=∠，则AB=_____.5BC=，BAC APB三、解答题21．如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为,A B，AB与OP交于点、、、四点共圆．M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O C P D22．已知点,直线与圆相交于两点, 且,求. （1）的值；（2）线段中点的轨迹方程；（3）的面积的最小值.23．一个圆的圆心在直线x- y -1= 0上，与直线4x + 3y + 14 = 0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程．24．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上.（1）若圆C 经过()3,2A -和()0,5B -两点，且与y 轴与另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切.设D 是圆C 与x 轴正半轴的交点，直线BD 与直线l 交于点R .试求圆C 的方程，并判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系（说明理由）；（2）设点()0,3M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使2MN NO =，求圆心C 的横坐标的取值范围.25．记事件A 为“直线0=-by ax 与圆6)22(22=+-y x 相交”（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为b a ,，求事件A 发生的概率（2）若实数b a ,满足4)1()3(22≤-+-b a ，求事件A 发生的概率． 26．（本小题12分）已知圆,02042:22=---+y x y x C 直线()().046112:=--++-m y m x m l（Ⅰ）求证：直线l 与圆C 相交；（Ⅱ）计算直线l 被圆C 截得的最短的弦长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果. 【详解】由圆的方程得：圆心坐标()1,0C ，半径1r =(),1Q m m -- Q ∴点轨迹为：1y x =--，即10x y ++=∴圆心到直线距离：d ==min 1PQ d r ∴=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.2．D解析：D 【解析】【分析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为10y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3，圆心到直线l10y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l= 故选：D ．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式l =3．C解析：C 【解析】试题分析：由已知知：圆()41)2(22=-+-y x 的圆心为()2,1，半径为2r =，直线1+=kx y 过点()0,1P ，且()0,1P在圆上；因为PQ ≥，所以圆心到直线的距离d =≤21k ≤，解得11k -≤≤.故选C.考点：直线与圆的位置关系；圆的弦长；点到直线的距离.4．D解析：D 【解析】试题分析：由圆的方程4)()1(22=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2.圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离()22121211a a d +--==+-.由题意可得222122222a ⎛⎫⎛-⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.5．A解析：A 【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，过点P （3，1）作圆C ： ()2221x y -+=的切线，切点A 、B 的坐标分别为（2，1），（3，0），∴直线AB 的方程为： ()10323y x -=--，即x ＋y －3＝0，故选A ．考点：考查了圆的切线和直线方程．点评：解本题的关键是求出两个切点的坐标，然后根据两个点的坐标求出直线方程．7．C解析：C 【解析】试题分析：由圆的方程知圆的圆心为，半径为，而该直线在轴、轴上的截距相等可得斜率，所以设直线方程为．由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，得，解得或．当时，；当时，（舍去）或，故选C ．考点：直线与圆的位置关系．8．B解析：B【解析】试题分析：将圆22:450C x y x ay +++-=化成标准方程()2222924a a x y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点圆心C ，所以()2210102aa ⨯---=⇒=-，故选B ．考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．9．B解析：B 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系. 【详解】设圆心到直线的距离为d,则d r ==，所以直线与圆相切，故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.10．C解析：C 【解析】【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k 的值. 【详解】圆22230x y x y +-+=的圆心为3(1,)2-，所以设直线为3(1)2y k x +=-. 联立23(1)2y k x y x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得2302ky y k ---=. 因为恰有一个公共点，所以0k =或者0314()02k k k ≠⎧⎪⎨---=⎪⎩，解得k =. 综上可得，k 的值有3个，故选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.11．D解析：D【解析】试题分析：设的中点为，由平行四边形法则可知所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，因为圆心到直线的距离为，所以取得最小值为故答案选考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.12．C解析：C 【解析】试题分析：设直线直线l :220x y +-=为直线MN ，过圆心O 作直线OP MN ⊥，连接OA ，如图所示：由PA 为圆O 的切线，得到OA PA ⊥，即90OAP ∠=︒，221x y +=，故圆心O 坐标为00（，），半径3OA =，则圆心O 到直线220x y +-=的距离22101022211OP ⨯+⨯-==+，在Rt OAP 中，根据勾股定理得：223AP OP OA =-=故选C考点：点到直线的的距离二、填空题13．【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式从而得到取值范围【详解】解：直线方程即由已知得且则可得到由于所以则由于则所以所以解得：【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系利用点线距建立不等式是解题的解析：5122c a +<<【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围. 【详解】解：直线BF 方程1x yc b +=，即b x+c y-b c=0，由已知得22bc d a b c=<+且a b <则可得到42310e e -+<，由于e>1，所以e>1，则512e +<,由于a b <则222a c a <-，所以2e >，所以5122c a +<<解得：5122c a +<<【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难度中档.14．【解析】【分析】根据题意画出图形结合图形求出点O 到直线的距离d 利用勾股定理求出的值得到结果【详解】设点O 到直线的距离为d 则又过垂足引圆的切线切线长的最小值为则有解得故答案是【点睛】该题考查的是有关圆解析：3±【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出点O 到直线20x y a ++=的距离d ，利用勾股定理求出a 的值，得到结果. 【详解】设点O 到直线20x y a ++=的距离为d ，则5a d =，又过垂足引圆221x y +=的切线，切线长的最小值为255，则有24155a +=，解得3a =±，故答案是3±. 【点睛】该题考查的是有关圆的切线问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，特殊的三角形，正确转化题的条件是解题的关键.15．【解析】【分析】先根据条件化简得方程组解得点P 的横坐标【详解】设则由得即解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标考查基本分析求解能力属基础题解析：16【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P 的横坐标. 【详解】设(,)P x y ，则由3PA PO =，2PB PO =得22222222(1)3(),(1)2()x y x y x y x y ++=+-+=+，即2222212(),21x x y x x y +=+-+=+，解得1.6x = 【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【解析】连接OA ∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC 且∠ABC=30°∴圆心角∠AOC=60°又∵直线PA 与圆O 相切于点A 且OA 是半径∴OA ⊥PA ∴Rt △PAO 中OA=1∠AOC=60°∴PA=OAtan 解析：【解析】连接OA ，∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC ，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线PA 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径， ∴OA ⊥PA ，∴Rt △PAO 中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°=故答案为17．30°【详解】由切割线定理得连接ED 则∴又∴∴故答案为：解析：30°. 【详解】由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒===，1248EF PF PE ∴=-=-=,连接OD ,ED ,则142OE OD EF ===, 448PO PE EO =+=+=，∴12OD PO =，又OD PD ⊥，∴30P ∠=,∴60POD ∠=, ∴113022EFD EOD POD ∠=∠=∠=，故答案为：30︒.18．1或【解析】【分析】设到直线的距离为根据圆的弦长公式利用三角形面积公式可得结合可得的值【详解】根据题意设到直线的距离为圆的半径若的面积是则即解可得或故答案为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及圆解析：13【解析】【分析】设C 到直线PQ 的距离为d ，根据圆的弦长公式，利用三角形面积公式可得221232S d r d =⨯⨯-=，结合2r 可得d 的值.【详解】根据题意，设C 到直线PQ 的距离为d ，圆()()22344x y -+-=的半径2r ，若CPQ ∆的面积是3，则221232S d r d =⨯⨯-=，即243d d ⨯-=，解可得1d =或3，故答案为1或3. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式的应用，属于基础题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121l k x x =+-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.19．【详解】设⊙O 的半径为r(r ＞0)∵PA ＝1AB ＝2∴PB ＝PA ＋AB ＝3延长PO 交⊙O 于点C 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r 设PO 交⊙O 于点D 则PD ＝3－r 由圆的割线定理知PA·PB ＝PD·PC ∴1×3＝解析：6【详解】设⊙O 的半径为r (r ＞0)，∵PA ＝1，AB ＝2，∴PB ＝PA ＋AB ＝3. 延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，PA ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r 620．【解析】由题设知:又于是有得所以 35【解析】由题设知:ACB PAB ∠=∠,又BAC APB ∠=∠, 于是有ACB PAB ∆~∆,得AB CBPB AB= 所以35AB =三、解答题21．证明见解析【分析】先根据,PA PB 为圆O 的两条切线,得到OP 垂直平分弦AB ,进而得到2OM MP AM ⋅=;再结合相交弦定理即可得到AM BM CM DM ⋅=⋅,二者相结合得到三角形相似,进而即可得到,,,O C P D 四点共圆. 【详解】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在R t OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=，在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅，.由于圆中同弦所对的圆心角相等, 所以, , , O C P D 四点共圆．【点睛】本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理的应用及切线性质的应用，考查了四点共圆问题，是对基础知识的考查. 22．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．试题（1）直线的方程,即:, 圆圆心到的距离即：，化简得，．①（2）设点的坐标为,则代入①得即：为所求的轨迹方程．（3）,当时, 面积最小, 最小值为．考点：直线与圆的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．23．()()251222=-+-y x .【解析】试题分析：由题意设圆心为()1,-a a ，半径为r ，利用圆与直线01434=++y x 相切，在01043=++y x 上截得弦长为6，列出方程组，求出a ，r ，得到圆的方程．试题由圆心在直线01=--y x 上，可设圆心为()1,-a a ，半径为r ，由题意可得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++==+-+22510139514134a a r r a a ，经计算得2=a ，5=r 所以所求圆的方程为()()251222=-+-y x .考点：直线与圆的位置关系.24．（1） ()2229x y ++=，此时PR 为直径的圆与直线CD 相切；（2）30a -≤≤或14a ≤≤.【解析】试题分析：（1）设出圆的方程220x y Dx Ey F ++++=，利用待定系数法即可求解圆的方程，再求出以PR 为直径的圆S 到CD 的距离，得到d r =，即可得到结论；（2）点N在圆()22:14E x y ++=上，由点N 在圆C 上，圆E 圆N 有公共点，进而确定不等式关系，即可求解a 的取值范围. 试题（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由题意知222133202550E D D E F E F ⎧-=--⎪⎪+-+=⎨⎪-+=⎪⎩解得：0,4,5D E F ===-，∴圆()22:29C x y ++=知()()0,10,5P B -、，则:1l y =，设)D，:5,DB y R ⎫=-⎪⎪⎝⎭，以PR为直径的圆的圆心5S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，半径r =:2CD y x =-，即20x -= 以PR 为直径的圆的圆心S 到CD 的距离设为d则d ==故以PR 为直径的圆与直线CD 相切（2）设圆心(),2C a a -，设(),N x y ，2MN NO =，∴()2222344x y x y +-=+， ∴点N 在圆()22:14E x y ++=上又点N 在圆C 上，∴圆E 与圆C 有公共点∴3232EC -≤=≤+∴30a -≤≤或14a ≤≤考点：圆的方程；直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题思维量大、运算繁琐，需要仔细解答、认真运算，属于难题，本题的解答中要牢记直线与圆的位置关系的判定方法——圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，同时注意圆与圆的位置根系的应用是列出不等关系的依据. 25．（1）43；（2）23- 【解析】试题分析：（1）根据条件得到b a ,间的关系，找出所有的基本事件再找出事件A 中的基本事件即可得到事件A 发生的概率；（2）首先分析这是一个几何概型，找出相应的区域计算面积进而得出事件A 发生的概率．试题（1）事件A223a b <⇔<总的基本事件有36个，A 发生有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共27个故事件A 发生的概率为43 （2）事件A 发生的区域如图阴影部分面积为半圆面积加上弓形面积弓形面积为3-32π阴影部分面积为83π- 故事件A发生的概率为234π- 考点：概率模型的应用．26．（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）直线l 被圆C 截得的最短的弦长为3108．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出圆心和半径，直线恒过点，根据圆心和直线恒过点的距离小于半径，知直线和圆相交；（Ⅱ）当CM 垂直弦AB 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为3108．试题（Ⅰ）证明：圆的标准方程25)2()1(22=-+-y x ，圆心)2,1(，直线经过定点)314,32(M 22214(1)(2)2533-+-< 点M 在圆的内部，则直线和圆相交．（Ⅱ）当CM 垂直弦AB 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为3108．考点：1、直线与圆的位置关系；2、弦长问题．【思路点晴】先根据圆的一般方程得到圆心和半径，再把直线方程化为()2640x y m x y +--+-=，得直线恒过定点214(,)33从而得直线和圆的位置关系；当碰到直线被圆所截得的弦长的最值问题时，一般弦为直径时最长，和弦垂直时最短，再根据勾股定理求得弦长的值；本题主要考查直线和圆的位置关系、弦的最值问题，属于中档题．。

北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案)

《几何证明选讲》习题一考试大纲说明的具体要求：1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________. 3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________. 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________. 8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：1.如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD．2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为cm 2．3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．A BC D E F GBCDE F4.如图所示，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __.5.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R=_______.6. 如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __.三、基础训练：1.如图所示，PC切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=AB=BC=3. 则BD 的长______，AC 的长_______．5. 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ， ∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.BADCEN CBADEF11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D. AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.14.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.15.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（）A ．B ．C ．或D ．或3．圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是（） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离4．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ). A ．3- B ．1- C ．1 D ．35．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或36．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交7．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（） A ．45B ．25C ．255D ．1058．当曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（）A ．3(0,)4B ．53(,]124 C ．3(,1]4D ．3(,)4+∞ 9．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]--- 10．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．11．已知点P （t ，t ），t ∈R ，点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（） B ．2 C ．3 D ．12．设点P 是函数22y x x =--图象上的任意一点，点Q 是直线260x y --=上的任意一点，则||PQ 的最小值为（） A ．51+ B ．51- C ．45D ．以上答案都不对二、填空题13．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．14．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.15．如图，已知AB 是AC 的直径，CAD ∠，AD 和是AC 的两条弦，,，则的弧度数为_____________.16．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．17．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．18．（平面几何选做题）已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，，则的长为_______．19．如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为______________．20．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为_______ ．三、解答题21．已知动点M 到点(4,0)A 的距离是它到点(2,0)B -的距离的两倍．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 与轨迹E 交于两点，若这两点间的距离为43，求直线l 的方程．22．已知圆22:215C x y x ++=，M 是圆C 上的动点，(1,0)N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ,求点P 的轨迹方程．23．（本题满分12分）已知直线l 过点)1,1(P ，并与直线03:1=+-y x l 和062:2=-+y x l 分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程． 24．（本小题满分14分）如图，已知过点的光线，经轴上一点反射后的射线过点.（1）求点的坐标；（2）若圆过点且与轴相切于点，求圆的方程.25．如图，森林的边界是直线l ，图中阴影部分是与l 垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A 和点B 处，其中1AB BC km ==，现兔子随机的沿直线AD ，以速度2v 准备越过森林边界l 逃入森林，同时，狼沿线段BM 以速度v 进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M 处，狼就会吃掉兔子．某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy （如图），并假设点M 的坐标为(,)x y ．（Ⅰ）求兔子的所有不幸点M （即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S ；（Ⅱ）若兔子随机沿与AC 成锐角(CAD θθ=∠）的路线越过l 向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．26．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】【分析】设M （x ，y ），P （a ，b ），由于M 是AP 的中点，点B （6，0），故可由中点坐标公式得到a ＝2x ﹣6，b ＝2y ，又P （a ，b ）为圆x 2+y 2＝1上一点动点，将a ＝2x ﹣6，b ＝2y 代入x 2+y 2＝1得到M （x ，y ）点的坐标所满足的方程，整理得点M 的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论分别为的情况即可.【详解】设M （x ，y ），P （a ，b ）由B （6，0），M 是AP 的中点故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点， ∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1． △（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若=，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若=，这样的M 点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，注意△直角三角形分类要全面.2．D解析：D 【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.3．A解析：A 【解析】试题分析：两圆的圆心为()()2,2,2,5-，圆心距为5d =，两圆半径为12121,4r r r r d ==∴+=，所以两圆外切考点：两圆的位置关系4．C【解析】试题分析：若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，故圆心在直线x y m 3++=0上，又圆心坐标为(,)-12，故()m 3⨯-1+2+=0，解得1m =.考点：关于直线对称的圆的方程.5．D解析：D 【解析】试题分析：由圆的方程4)()1(22=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2. 圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离d ==.由题意可得22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.6．A解析：A 【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为，因为M 在圆内，所以2ax by r +<r >，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．7．A解析：A 【解析】(x －1)2＋(y －1)2表示点P(x ，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.8．C解析：C 【解析】试题分析：曲线24x y --=表示圆422=+y x 的下半圆，直线042=-+-k y kx 过定点），（42--如图所示，直线2543-=x y 与圆422=+y x 的下半圆相切过点），（42--与点）（0,2的直线斜率为12204=---- 曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是]143，（故答案选C 考点：函数与方程.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.9．B解析：B 【解析】试题分析：圆心为(),a a ，半径2r a =，设圆的参数方程为2cos 2sin x a a y a a θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以2cos 2AP AC CAP AP AC⋅∠==⋅，()222AC a a =+-，因为,AC PC 长度固定，当P 为切点时，CAP ∠最大，要存在点P 使45CAP ∠=，则需最大角度不小于45，所以()2222sin 4522PC a AC a a =≥=+-，整理得2220a a +-≥，解得31a ≥-，由于A 在圆外()2222,1AC a a a a =+-<<，综上所述[31,1)a ∈-.考点：点和圆的位置关系.【思路点晴】化圆的一般方程为标准方程易得圆心为(),a a ，半径2r a =，由题意可得1sin PCCAP AC≥≥∠，有距离公式可得a 的不等式，解这个不等式可得a 的的取值范围.考查了划归与转化的数学思想方法.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.如利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离等.10．D解析：D【解析】试题分析：设圆心，则，，则满足，∴.考点：1.轨迹求解问题；2.直线与圆相交形成弦问题.11．B解析：B 【解析】试题分析：如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0，1），圆的圆心 F （2，0），这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+21， PM|的最小值为|PE|-21 PN PM -=|PF|-|PE|+1，点P （t ，t ）在直线 y=x 上，E （0，1）关于y=x 的对称点E′（1，0），直线FE′与y=x 的交点为原点O ，则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2，故答案为B ．考点：是圆的方程的综合应用．12．B解析：B 【解析】试题分析：函数22y x x =--()2211x y -+=的下半部分包括两个端点．圆心()1,0到直线260x y --=的距离()221206512d -⨯-==+-．由数形结合可知||PQ 51．故B 正确．考点：1点到线的距离；2转化思想，数形结合思想．二、填空题13．【解析】【分析】通过成等差数列可以得到直线恒过然后可知在以为直径的圆上由图形可知求解出和即可得到结果【详解】成等差数列即直线恒过又点在动直线上的射影为在以为直径的圆上如图所示；且此圆的圆心的坐标为半解析：522-【解析】【分析】通过,,a b c 成等差数列，可以得到直线恒过()1,2A -，然后可知H 在以PA 为直径的圆上，由图形可知min QH BQ r =-，求解出BQ 和r 即可得到结果. 【详解】a ，b ，c 成等差数列 2b a c ∴=+，即20a b c -+= ∴直线0ax by c 恒过()1,2A -又点()3,2P -在动直线0ax by c上的射影为H90PHA ∴∠=H ∴在以PA 为直径的圆上，如图所示；且此圆的圆心B 的坐标为()1,0-,半径2211442222r PA ==+= 由图形可知，QH BQ r =-时，QH 最小又()3,3Q 22435BQ ∴=+=∴线段QH 的最小值为522-【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，关键在于能够确定所求最小值即为,B Q 两点间距离减去半径.14．22【解析】设圆心为A 则劣弧所对的圆心角最小时直线l 与AP 垂直即k×21-2=-1k=22 解析：【解析】设圆心为，则劣弧所对的圆心角最小时，直线与垂直，即15．【解析】试题分析：连接则所以由于和都为三角形内角故所以考点：直径的性质解析：512π 【解析】试题分析：连接CB BD ，，则90ACB ADB ∠=∠=︒，所以，．由于和都为三角形内角，故，，所以54612CAD πππ∠=+=．考点：直径的性质．16．【解析】试题分析：因为直线与圆相切于点所以因为是圆的直径所以在中在中所以故考点：1弦切角；2直径所对的圆周角解析：13【解析】试题分析：因为直线CE 与圆O 相切于点C ，所以C CD θ∠AB =∠A =，因为AB 是圆O 的直径，所以C C B ⊥A ，在Rt C ∆AB 中，Csin θA =AB，在Rt CD ∆A 中，D sin C θA =A ，所以2C D D 1sin C 9θA A A =⋅==AB A AB ，故1sin 3θ=．考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角．17．【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆直线恒过；画出半圆的图象找到直线与半圆有两个交点的临界状态利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围【详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由解析：53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过()2,4；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围. 【详解】214y x =+- ()()22141x y y ⇒+-=≥()24y k x =-+为恒过()2,4的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率(]12,k k k ∈时，曲线与直线有两个相异交点()124y k x =-+与半圆()()22141x y y +-=≥相切，可得：12121421k k--+=+解得：1512k = 又()2413224k -==-- 53,124k ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦本题正确结果：53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线y 的范围，误认为曲线为圆.18．2【解析】试题分析：连结OC 过E 作EF ⊥OC 于F 连接OE 由已知条件推导出四边形CDEF 是矩形并求出DC 和AD 的长由此利用勾股定理能求出BC 的长连结OC 过E 作EF ⊥OC 于F 连接OE ∵AB 为半圆O 的直径解析：2 【解析】试题分析：连结OC ，过E 作EF ⊥OC 于F ，连接OE ，由已知条件推导出四边形CDEF 是矩形，并求出DC 和AD 的长，由此利用勾股定理能求出BC 的长．连结OC ，过E 作EF ⊥OC 于F ，连接OE ，∵AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，∴四边形CDEF 是矩形，2211111132DE CF DE OF OC AB CD EF OE OF =∴==∴=-=-=∴==-=，，，，2222222312161242CD DE DA DA AC CD AD BC AB AC BC =⋅∴=∴=+=∴=-=-=∴=，，，，．考点：与圆有关的线段19．2【解析】试题分析：由于PAB 与PCD 是圆的两条割线且PA=3AB=4PO=5我们可以设圆的半径为R 然后根据切割线定理构造一个关于R 的方程解方程即可求解解：设⊙O 的半径为R 则PC=PO-OC=5-R解析：2 【解析】试题分析：由于PAB 与PCD 是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R ，然后根据切割线定理构造一个关于R 的方程，解方程即可求解解：设⊙O 的半径为R ，则PC=PO-OC=5-R ，PD=PO+OD=5+R ，又∵PA=3，AB=4，，∴PB=PA+AB=7，由切割线定理易得：，PA•PB=PC•PD ，即3×7=（5-R ）×（5+R ），解得R=2，故答案：2 考点：圆相关的比例线段点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键20．【解析】试题分析：延长交圆于则是圆的直径∵为的中点∴设长为长为根据相交弦定理得∴∴即；故答案为考点：与圆有关的比例线段解析：2【解析】试题分析：延长CO 交圆O 于E ，则CE 是圆O 的直径，∵D 为OC 的中点，2CE OC =，∴43CE CD DE CD =⇒=，设CD 长为x ，DE 长为3x ，根据相交弦定理，得AD BD ED CD ⋅=⋅，∴2232332x x x x ⨯=⋅=⇒=，∴2x ，即2CD =2 考点：与圆有关的比例线段．三、解答题21．（1）2280x y x ++=；（2）3y x =. 【解析】【分析】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由2MA MB =，根据点点距离列出方程，化简即可；（2）根据垂径定理得到2d =，再根据点到直线的距离公式得到k 值. 【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由2MA MB =， ()()2222422x y x y -+=++2280x y x ++=，∴动点M 的轨迹E 的方程为2280x y x ++=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx =，即0kx y -=，由方程2280x y x ++=知，圆心坐标为()4,0-，半径4r =，设圆心E 到直线l 的距离为d ，则22243r d -=，解得2d =． ∴2421kk =+，即33k =±．∴直线l 的方程为33y x =±．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

北师版数学选修4-1：第1章章末综合测评1

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的和为()A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm【解析】设其余两边分别为x cm，y cm，则217k＝x5k＝y3k，得x＝15 cm，y＝9 cm，∴x＋y＝24 cm.【答案】 A2.如图1，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，P A＝2，PC＝6，PD＝4，则AB等于()图1A.3B.8C.12D.14【解析】要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知：P A·PB＝PC·PD，解得PB＝PC·PDP A＝6×42＝12，故AB＝P A＋PB＝14.【答案】 D3.(天津高考)如图2，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为()图2A.83B.3C.103D.52【解析】由题意可设AM ＝MN ＝NB ＝x ，由圆的相交弦定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ CM ·MD ＝AM ·MB ，CN ·NE ＝AN ·NB ，即⎩⎪⎨⎪⎧2×4＝x ·2x ，3·NE ＝2x ·x ，解得x ＝2，NE ＝83. 【答案】 A4.如图3，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，若CD ＝3，AB ＝4，则tan ∠BPD 等于( )图3 A.73 B.34 C.43 D.53【解析】注意到AB 是⊙O 的直径，可连接BD ，得∠BDP ＝90°，∵tan ∠BPD ＝BD PD ，即求BD PD 的比值.而△ABP ∽△CDP ，得PD PB ＝CD AB ＝34，可设PD ＝3k ，PB ＝4k ，由勾股定理，得BD ＝7k ，故tan ∠BPD ＝BD PD ＝7k 3k ＝73，故选A.【答案】 A5.如图4所示，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长16 m ，当短臂端点下降0.5。

北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323l x y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两点()2,0M -，()2,0N ，若直线()3y k x =-上存在四个点(1,P i =2，3，4)，使得MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是( )A ．()2,2-B ．44,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．44,00,55⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2525,00,55⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知直线:2l x y +=和圆222:C x y r +=，若r 是在区间()1,3上任意取一个数，那么直线l 与圆C 相交且弦长小于22的概率为（） A ．12B ．22C ．214-D ．212-5．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（） A ． B ．C ．D ．6．已知圆22:40C x y x +-=, 直线03:=--y k kx l , 则直线l 与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上三种均有可能7．（2004•天津）若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．x ﹣y ﹣3=0B ．2x+y ﹣3=0C ．x+y ﹣1=0D ．2x ﹣y ﹣5=08．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x9．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为3k 的值是（）A ．3B ．3C 3D ．3±10．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（）A ．82B ．8C ．42D ．411．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]--- 12．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若圆22(1)4x y +-=上恰有2个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______ 14．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.15．如果直线l ：x+y ﹣b=0与曲线21C y x =-：有两个公共点, 那么的取值范围是_______________16．（几何证明选做题）如图,,B D AE BC ∠=∠⊥090,6,4,ACD AB AC ∠===且12,AD BE ==则___17．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．18．（几何证明选讲选做题）如图2所示AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连交AB 于点，若，则．19．（几何证明选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则点与圆上的点的最短距离为_______．20．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．三、解答题21．已知圆C ：422=+y x 和直线l ：01243=++y x ，点P 是圆C 上的一动点，直线与x 轴,y 轴的交点分别为点A 、B 。

北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)(1)

一、选择题1．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（） A ．22B ．21-C ．21+D ．22．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（） A ．10 B ．210C ．22D ．42 4．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（）A ．B ．C ．或D ．或5．若圆上有且只有一点到直线的距离为，则实数的值为（） A ． B ．C ．或D ．或6．直线1+=kx y 与圆()41)2(22=-+-y x 相交于P 、Q 两点。

若22PQ ≥,则k 的取值范围是（） A ．]0,43[-B ．]33,33[- C ．]1,1[- D ．]3,3[- 7．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（） A ．2 B ．6 C ．4D ．28．已知圆22:40C x y x +-=, 直线03:=--y k kx l , 则直线l 与圆C 的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种均有可能 9．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（）．A ．60B ．240C ．235D ．5010．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（） A ．2B ．1C ．4D ．311．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数k 的值是（）A ．3-B ．3±C ．33D ．33±12．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为（）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为________.16．若集合{}{}2(,)|14,(,)|(2)4A x y y xB x y y k x ==-==-+. 当集合AB 中有2个元素时，实数k 的取值范围是____________.17．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22a 的值为__________．18．已知()()1,0,5,0A B -，若在圆()222:22290C x y mx my m m R +-++-=∈上存在点P 使得2220PA PB +=成立，则m 的取值范围为_____．19．已知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________． 20．过点()2,0A与圆221x y +=相切的直线方程为__________________.三、解答题21．已知圆C 过点，且与圆M ：关于直线对称．求圆C 的方程；过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于点A 和点B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．22．求圆心在直线x y 2=上,并且经过点()2,0-A ,与直线02=--y x 相切的圆的标准方程.23．已知动直线l ：（m ＋3）x －（m ＋2）y ＋m ＝0与圆C ：（x －3）2＋（y －4）2＝9．（1）求证：无论m 为何值，直线l 总过定点A ，并说明直线l 与圆C 总相交．（2）m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值． 24．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程．25．一束光线通过点()25,18M 射到x 轴上，被反射到圆:C ()22725x y +-=上．（1）求通过圆心的反射光线所在直线方程；（2）求在x 轴上入射点A 的活动范围．26．求圆心在直线l 1：x-y-1=0上，与直线l 2：4x+3y+14=0相切，截直线l 3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.由圆的方程得：圆心坐标()1,0C ，半径1r =(),1Q m m -- Q ∴点轨迹为：1y x =--，即10x y ++= ∴圆心到直线距离：10122d ++==min 21PQ d r ∴=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.2．C解析：C 【解析】【分析】设M （x ，y ），P （a ，b ），由于M 是AP 的中点，点B （6，0），故可由中点坐标公式得到a ＝2x ﹣6，b ＝2y ，又P （a ，b ）为圆x 2+y 2＝1上一点动点，将a ＝2x ﹣6，b ＝2y 代入x 2+y 2＝1得到M （x ，y ）点的坐标所满足的方程，整理得点M 的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论分别为的情况即可.【详解】设M （x ，y ），P （a ，b ）由B （6，0），M 是AP 的中点故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点， ∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1． △（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若=，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若=，这样的M 点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，注意△直角三角形分类要全面.3．D解析：D 【解析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为y-1=3x 即310x y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3，圆心到直线l ：310x y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l =22231-=42．故选：D ．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式222l r d =-，主要用到了点到直线的距离公式．4．D解析：D 【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.5．A解析：A【解析】试题分析：由题意知直线与圆相离，则有，解得，故选A ．考点：直线与圆的距离关系6．C解析：C 【解析】试题分析：由已知知：圆()41)2(22=-+-y x 的圆心为()2,1，半径为2r =，直线1+=kx y 过点()0,1P ，且()0,1P 在圆上；因为22PQ ≥，所以圆心到直线的距离221121k d k -+=≤+21k ≤，解得11k -≤≤.故选C.考点：直线与圆的位置关系；圆的弦长；点到直线的距离.7．B解析：B试题分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切线的长|AB|===6．故选：B ．考点：直线与圆的位置关系．8．A解析：A 【解析】试题分析：()03:=--y x k l ，所以直线恒过定点()0,3，代入圆03-12-9<=，所以定点恒在圆内，所以直线恒与圆相交，故选A. 考点：直线与圆的位置关系9．A解析：A 【解析】考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．分析：作切线PE ，由切割线定理推出 PA PC = PAPB，说明△PAD ∽△PBC ，求出PB=80，然后求出PE ．解：作切线PE ，由切割线定理知，PE 2=PD•PC=PA•PB ，所以PA PC = PAPB，又△PAD 与△PBC 有公共角P ，∠PDA=∠PBC ，所以△PAD ∽△PBC ．故PD PB = AD BC =12，即40PB =12所以PB=80，又AB=35，PE 2=PA•PB=（PB-AB ）•PB=（80-35）×80=602， PE=60．故选A ．10．B【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．【详解】圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝4是一个以（5，﹣1）为圆心，以2为半径的圆．圆心到4x+3y﹣2＝0的距离为|2032|d35--==，所以圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝4上有1个点到直线4x+3y﹣2＝0的距离为1.故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．D解析：D【解析】【分析】圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径r=2，圆心C（1，2）到直线x﹣ky﹣1=0的距离AB的长为k的值．【详解】圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径r=2，圆心C（1，2）到直线x﹣ky﹣1=0的距离∵弦AB的长为∴==解得k= ±故选：D．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （）A ．2B ．42C ．210D ．62．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（） A ．22B ．21-C ．21+D ．23．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦5．已知双曲线的离心率为，则圆上的动点到双曲线的渐近线的最短距离为（） A ．23 B ．24 C ．D ．6．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ). A ．3- B ．1- C ．1 D ．37．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含8．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=9．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 10．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（）A ．B ．C ．D ．11．以下各点在圆22(4)4x y -+= 内的是（）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(3,1)D ．(1,3)12．已知P 是直线01143:=+-y x l 上的动点,PA 、PB 是圆1)1()1(:22=-+-y x C 的两条切线, 圆心为C ,那么四边形PACB 面积的最小值是（） A ．2 B ．22 C ．3 D ．32二、填空题13．若圆22(1)4x y +-=上恰有2个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______14．已知圆C 经过坐标原点O 和点()4,2A ，圆心C 在直线210x y +-=上，则圆心到弦OA 的距离为__________．15．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.16．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．17．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为__________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆()222(0)x a y a -+=>上运动，若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是__________．19．设直线:340l x y a ++=，圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 20．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、．则的最小值为______．三、解答题21．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为OA 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++=2．（2004•天津）若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．x ﹣y ﹣3=0B ．2x+y ﹣3=0C ．x+y ﹣1=0D ．2x ﹣y ﹣5=0 3．（2014•石景山区一模）直线l ：x+y ﹣4=0与圆C ：x 2+y 2=4的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含 5．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[] B ．[] C ．[D ．6．已知圆C ：的圆心为抛物线的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．7．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（） A ．B ．C ．D ．8．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（）个. A ．1B ．2C ．3D ．09．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且3AB =k 的值等于（）A 3．1 C 33-．1或-110．（2015春•咸阳校级期中）若图中，PA 切⊙O 于点A ，PCB 交⊙O 于C 、B 两点，且PCB 过点O ，AE ⊥BP 交⊙O 于E ，则图中与∠CAP 相等的角的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-12．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为（）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．14．直线220x y +-=被圆224210x y x y +-++=截得的弦长等于_______________ 15．如果直线l ：x+y ﹣b=0与曲线21C y x =-：有两个公共点, 那么的取值范围是_______________16．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，AD CE ⊥于点，若圆的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．17．如图，圆O 的直径CD=10cm ，D 为AB 的中点，CD 交弦AB 于P ，AB=8cm ，则tan D ∠=______．18．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径r ＝________.19．如图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，且4CD =，8BD =，则⊙O 的半径等于____．20．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．三、解答题21．A ．选修4—1 几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:22．已知动点M 到点(4,0)A 的距离是它到点(2,0)B -的距离的两倍．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 与轨迹E 交于两点，若这两点间的距离为43，求直线l 的方程．23．已知直线:l 022=++y x 及圆y y x C 2:22=+．（1）求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线'l 的方程；（2）过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求PT 的最小值． 24．（本小题满分14分）如图，已知过点的光线，经轴上一点反射后的射线过点.（1）求点的坐标；（2）若圆过点且与轴相切于点，求圆的方程.25．已知圆22:450C x y x ++-=.（1）若直线m 过原点且不与y 轴重合，与圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，试求直线1211:()2l y x x x =+-在x 轴上的截距；（2）若斜率为-1的直线n 与圆C （C 为圆心）交于D 、E 两点，求CDE ∆面积的最大值及此时直线n 的方程.26．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】2222460{3060x y x y x y x y x +-+=⇒+=+-= ，故选A.2．A解析：A 【解析】试题分析：由圆心为O （1，0），由点P 为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB 求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解：已知圆心为O （1，0）根据题意：K op =k AB k OP =﹣1k AB =1，又直线AB 过点P （2，﹣1）， ∴直线AB 的方程是x ﹣y ﹣3=0 故选A考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．3．B解析：B 【解析】试题分析：根据圆心C 到直线l 的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．解：由于圆心C （0，0）到直线l ：x+y ﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B ．考点：直线与圆的位置关系．4．C解析：C 【解析】试题分析：将圆A 的方程标准化可得()()22214x y +++=，可得()2,1,2A R --=，圆B 的方程标准化()()22139x y -+-=可得()1,3,3B r =，所以()()2212315AB =+++=，所以AB R r =+，所以圆,A B 外切。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （）A ．2B ．42C ．210D ．62．已知O 为坐标原点，直线()22:3234l y kx C x y =++-=，圆：．若直线l 与圆C交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（） A ．4B ．23C ．2D ．33．四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．球的一部分D ．抛物线的一部分4．已知双曲线的离心率为，则圆上的动点到双曲线的渐近线的最短距离为（） A ．23 B ．24 C ．D ．5．已知 ,AC BD 是圆224x y +=的互相垂直的两条弦,垂足为()1,2M ,则四边形ABCD 面积的最大值为M ,最小值为N ,则M N -的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ).A ．3-B ．1-C ．1D ．3 7．与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有A ．6条B ．5条C ．4条D ．3条 8．若直线与曲线有公共点,则b 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．过点A （11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条10．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（）个. A ．1B ．2C ．3D ．011．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20x y +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（）A ．1520x y +-＝B ．1520x y ＝+-C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝12．已知点P （t ，t ），t ∈R ，点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（）B ．2C ．3D ．二、填空题13．已知圆C 经过坐标原点O 和点()4,2A ，圆心C 在直线210x y +-=上，则圆心到弦OA 的距离为__________．14．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，是圆的割线，若，，，则圆的半径___.15．过直线:10l x y ++=上一点P 为作圆22:4240C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PACB 的面积为3，则点P 的横坐标为__________． 16．已知圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4的圆心为C ，点P ，Q 在圆上，若△CPQ 的面积是3，则C 到直线PQ 的距离为_____．17．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．18．过点()2,0A与圆221x y +=相切的直线方程为__________________.19．设直线:340l x y a ++=，圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 20．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则圆O 的半径为，CD =____________．三、解答题21．已知圆()()22:344C x y -+-=，直线l 过点()1,0A .（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心D 在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程.22．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若＝，＝，求的值；（Ⅱ）若EF 2＝FA·FB ，证明：EF ∥CD ． 23．如图⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于P . （1）求证：; （2）若⊙O 的半径为，OA=OM,求MN 的长.24．已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆Ｏ相切与点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB=10，AC=12．MG BAO CD（1）求证： BA ⋅DC=GC ⋅AD ；（2）求BM ．25．（本小题满分为10分）已知点P （－2，－3）和以点Q 为圆心的圆9)2()422=-+-y x （。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知,x y 满足2240x x y -+=，则2x y -的最大值为( )A ．25B ．252+C ．352+D ．452．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5B ．52C ．254D ．13．已知圆C ：[x ﹣（a ﹣2）]2+（y ﹣3a ）2＝16，定直线l 经过点A （2，0），若对任意的实数a ，定直线l 被圆C 截得的弦长始终为定值d ，则圆心C 到直线l 的距离等于（） A ．8B ．43C ．4D ．234．已知双曲线的离心率为，则圆上的动点到双曲线的渐近线的最短距离为（） A ．23 B ．24 C ．D ．5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含 7．与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有A ．6条B ．5条C ．4条D ．3条8．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[] B ．[] C ．[D ．9．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（） A ．562cm B ．B ．46cm C ．56cmD ．532cm 10．以下各点在圆22(4)4x y -+= 内的是（） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(3,1)D ．(1,3)11．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切12．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．322=+y x B ．2)1(22=+-y x C ．3)1()1(22=-+-y x D ．222=+y x二、填空题13．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为255，则实数a 的值为__________． 14．抛物线的准线与圆相切，则=__________．15．若点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________．16．已知圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4的圆心为C ，点P ，Q 在圆上，若△CPQ 的面积是3，则C 到直线PQ 的距离为_____．17．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，那么弦AB 的长等于________.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆()222(0)x a y a -+=>上运动，若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是__________．19．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则圆O 的半径为，CD =____________．20．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的内接的的平分线延长后交圆于点，连接，已知，，，则线段.三、解答题21．已知以点C （t ∈R ，t≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△AOB 的面积为定值；（2）设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若，求圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求的最小值及此时点P 的坐标． 22．已知圆和圆外一点.（1）过作圆的切线，切点为，圆心为，求切线长及所在的直线方程；（2）过作圆的割线交圆于两点，若，求直线的方程. 23．已知圆M 的方程为x 2+（y ﹣2）2=1，直线l 的方程为x ﹣2y=0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）若点P 的横坐标为1，求切线PA ，PB 的方程；（2）若点P 的纵坐标为a ，且在圆M 上存在点Q 到点P 的距离为1，求实数a 的取值范围．24．已知ABC △的顶点A B ，在圆224x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（2）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．25．（12分）已知圆C 过点A （13+，0）、B （31-，0），半径为2,且圆心在X 轴上方。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（）A B ．C ．D ．2．已知半圆()()()22x-1+y-2=4y 2≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．353,,222⎡⎛⎤- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦ 3．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++= 4．圆4)2()1(22=+++y x 与圆9)2()2(22=-+-y x 的公切线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．（2004•天津）若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．x ﹣y ﹣3=0B ．2x+y ﹣3=0C ．x+y ﹣1=0D ．2x ﹣y ﹣5=06．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=7．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（）A ．45B ．25C D 8．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（） A ．-2B ．2C ．-4D ．49．以下各点在圆22(4)4x y -+= 内的是（） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(3,1)D ．(1,3)10．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（）A ．20x -＝B 20y ＝+-C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝11．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（） A ．82 B ．8 C ．42 D ．412．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且3AB =，则实数k 的值等于（）A ．3B ．1C ．3或3-D ．1或-1二、填空题13．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 14．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．15．如图，已知AB 是AC 的直径，CAD ∠，AD 和是AC 的两条弦，,，则的弧度数为_____________.16．如果直线将圆平分，那么坐标原点到直线的最大距离为__________.17．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．18．设直线:340l x y a ++=，圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 19．（几何证明选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则点与圆上的点的最短距离为_______．20．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、．则的最小值为______．三、解答题21．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为OA上一点，BM的延长线交圆O于N，过N 点的切线交CA的延长线于P。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)

一、选择题1．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦2．已知圆C ：[x ﹣（a ﹣2）]2+（y ﹣3a ）2＝16，定直线l 经过点A （2，0），若对任意的实数a ，定直线l 被圆C 截得的弦长始终为定值d ，则圆心C 到直线l 的距离等于（） A ．8B ．43C ．4D ．233．已知圆2129:x C y ＋＝,圆2226811:0x y x C y ＋＋－－＝,则圆1C 、圆2C 的公切线有 A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条 4．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（）A ．B ．C ．或D ．或5．点为圆上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（） A ． B ．C ．D ．8．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或3 9．已知点，点P 在圆，则使的点P 的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，则MQ MP +的最小值为（）A ．3B ．5C ．152－D ．1+5211．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-= 12．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．若曲线22ρ=上有m 个点到曲线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为2，则m 的值为____.15．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________. 16．已知90o ABC ，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为_______．17．如图，已知是⊙的切线，为切点.是⊙的一条割线，交⊙于两点，点是弦的中点.若圆心在内部，则的度数为___.18．已知两点()()2,0,2,0-M N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是______.19．设直线:340l x y a ++=，圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是__________．20．如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝______．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：（1）∠=∠DEA DFA ；（2）2AB AE BD AE AC =⋅-⋅22．如图，已知圆22:4O x y +=与y 轴交于,A B 两点（A 在B 的上方），直线:4l y kx =-．（1）当2k =时，求直线l 被圆O 截得的弦长；（2）若0k =，点C 为直线l 上一动点（不在y 轴上），直线,CA CB 的斜率分别为12,k k ，直线,CA CB 与圆的另一交点分别,P Q ．①问是否存在实数m ，使得12k mk =成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；②证明：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标．23．已知动直线l ：（m ＋3）x －（m ＋2）y ＋m ＝0与圆C ：（x －3）2＋（y －4）2＝9．（1）求证：无论m 为何值，直线l 总过定点A ，并说明直线l 与圆C 总相交．（2）m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值． 24．（本小题8分）已知点P （-4，0）及圆C ：226440x y x y（1）当直线 l 过点P 且与圆心C 的距离为l 时，求直线 l 的方程：（2）设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当 AB 取得最小值时，求以线段AB 为直径的圆的方程，25．已知圆22:450C x y x ++-=.（1）若直线m 过原点且不与y 轴重合，与圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，试求直线1211:()2l y x x x =+-在x 轴上的截距；（2）若斜率为-1的直线n 与圆C （C 为圆心）交于D 、E 两点，求CDE ∆面积的最大值及此时直线n 的方程.26．已知圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0。

高中数学综合测评北师大版选修4-1

综合测评(时间:120分钟总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求)1.球截面是( ).答案:A2.如图,△ABC内接于☉O,∠ACB=45°,那么∠AOB=( )..5° B.45° C.90°D.135°解析:根据圆心角等于圆周角2倍,得∠AOB=2∠ACB=90°.答案:C3.如图,PA,PB是☉O切线,切点分别为A,B,点C在☉O上.如果∠P=50°,那么∠ACB=( ).A.40°B.50°C.65°D.130°解析:∵PA,PB是☉O切线,∴PA=PB,∠PAB=∠ACB,∠PAB=∠PBA.又∠P=50°,∴∠PAB==65°,∴∠ACB=65°.答案:C4.如下图左图经过一次变换得到右图,那么这种变换可能是( ).答案:D5.平面内,到定点F距离与到定直线l距离之比为点轨迹是( ).解析:由题意知,所求轨迹离心率e=>1,所以点轨迹是双曲线.答案:C6.如下图,DE是△ABC中位线,F是BC上任意一点,AF交DE于点G,那么有( ).A.AG>GFB.AG=GFC.AG<GFD.AG与GF大小关系不确定解析:∵DE是△ABC中位线,∴在△ABF中,DG∥BF.又∵AD=DB,∴点G平分AF,即AG=GF.答案:B7.椭圆左、右焦点分别是F1,F2,且长轴长2a=5,P是椭圆上一点,且PF1=2,那么PF2=( ).解析:∵PF1+PF2=2a,∴PF2=2a-PF1=5-2=3.答案:C8.如图,AB∥CD,AC,BD相交于O点,BO=7,DO=3,AC=25,那么AO=( ).A.10B.12.5C.15D.17.5解析:∵AB∥CD,∴,∴,∴AO=AC=×25==17.5.答案:D9.如图,一个圆柱被一个平面所截,截口椭圆长轴长为5,短轴长为4,被截后几何体最短母线长为2,那么这个几何体体积为( ).解析:椭圆短轴长即为圆柱底面直径,从而可知几何体最长母线长为2+=5.用一个同样几何体补在上面,可得底面半径为2,高为7圆柱,其体积一半为所求几何体体积.答案:C10.F1,F2是双曲线左、右焦点,实轴长2a=2,虚轴长2b=2,点P在双曲线上,且∠F1PF2=60°,那么PF1·PF2=( ).B.4解析:∵点P在双曲线上,∴(PF1-PF2)2=(2a)2=4,∴P+P=(PF1-PF2)2+2PF1·PF2=4+2PF1·PF2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==cos60°=,又F1F2=2=2,∴F1=8,∴,解得PF1·PF2=4.答案:B11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC延长线上,BD=3CE,DE交BC于点F,那么DF∶FE=( ).∶2∶1∶1∶1解析:如图,过点D作DG∥AC,交BC于点G,那么DG=DB=3CE,即CE∶DG=1∶3.又DF∶FE=DG∶CE,所以DF∶FE=3∶1.答案:C12.小华同学自制了一个简易幻灯机,其工作情况如下图,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片距离是30cm,幻灯片到屏幕距离是1.5m,幻灯片上小树高度是10cm,那么屏幕上小树高度是( ).A.50cmB.500cmC.60cmD.600cm解析:如下图,把光源看成点O,幻灯片中小树看成线段AB,屏幕中小树看成线段A'B',过点O作OC'⊥A'B'于点C',交AB于点C,那么AB=10cm,OC=30cm,CC'=1.5m=150cm,OC'=OC+CC'=180cm,∵AB∥A'B',∴,∴A'B'==60(cm).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.如图,E,F分别为正方体面ADD1A1,面BCC1B1中心,那么四边形BFD1E在该正方体面上正射影可能是(要求:把可能图序号都填上).答案:(2)(3)14.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=3,BC=5,那么=.解析:∵BC=BD+DC,∴DC=BC-BD=5-3=2.又AD平分∠BAC,∴.答案:15.如图,PB,PD为☉O两条割线,假设PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,那么BD=.解析:由题意得PA·PB=PC·PD,∴PA(PA+AB)=(PD-CD)PD,∴5(5+7)=(PD-11)PD,解得PD=-4(舍去)或PD=15.又△PAC∽△PDB,∴,即,解得BD=6.答案:616.椭圆焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,那么椭圆离心率为.解析:设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.由(2b)2=2c·2a,得b2=ac.又b2=a2-c2,∴a2-c2=ac.∴a2-c2-ac=0.两边同除以a2,得1-=0.∴e2+e-1=0.解得e=或e=(舍去).答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如下图,O是△ABC内一点,且AB∥A'B',BC∥B'C'.求证:AC∥A'C'.证明:∵AB∥A'B',∴.又∵BC∥B'C',∴.∴.∴AC∥A'C'.18.(12分)(2021江苏高考)如图,AB是圆O直径,C,D是圆O上位于AB异侧两点,证明:∠OCB=∠D.分析:要证明∠OCB=∠D,因∠OCB=∠B,只需证∠B=∠D,而同弧所对圆周角相等,即∠B=∠D成立,因此得证.证明:因为B,C是圆O上两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧两点,故∠B,∠D为同弧所对两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.19.(12分)如下图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,以AD为直径☉O交AB于点E,☉O切线EF交BC于点F,求证:EF⊥BC.证明:∵AD是直径,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°.∵EF切☉O于点E,DE是弦,∴∠DEF=∠DAE.∴∠DAE+∠BEF=90°.∵AD=BC,AB∥DC,∴∠B=∠DAE.∴∠B+∠BEF=90°.∴∠BFE=90°,即EF⊥BC.20.(12分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC上点,且不与△ABC顶点重合.AE长为m,AC长为n,AD,AB长是关于x方程x2-14x+mn=0两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)假设∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆半径.(1)证明:如图,连接DE,根据题意,在△ADE与△ACB中,AD·AB=mn=AE·AC,即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE=∠ACB.所以C,B,D,E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0两根为x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12.如(1)中图所示,取CE中点G,DB中点F,分别过G,F作AC,AB垂线,两垂线相交于点H,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆圆心为H,半径为DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5,DF=(12-2)=5.那么DH==5.故C,B,D,E四点所在圆半径为5.21.(12分)(2021课标全国Ⅱ高考)如图,P是☉O外一点,PA是切线,A 为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC中点,AD延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.分析:(1)欲证BE=EC,由于在圆O中,可证,利用相等圆周角所对弧相等,那么可证∠DAC=∠BAD,故应由条件转化为角关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现AD·DE,而D是AE与BC两弦之交点,联想到相交弦定理可得AD·DE=BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2=BD·DC,而P,B,D,C在一条直线上,且D又是PC中点,而PA=PD,PA是切线,又联想到切割线定理得PA2=PB·PC,充分利用关系转化可得答案.解:(1)连接AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.22.(14分)圆锥母线与轴线夹角为α,圆锥嵌入半径为R“焦球〞,平面π与圆锥面交线为抛物线,求抛物线焦点到准线距离.分析:转化到相应平面中求解,注意切线长定理使用.解:如图,设F为抛物线焦点,A为顶点,FA延长线交准线m于点B,AF 延长线与PO交于点C.连接OF,OA.∵平面π与圆锥轴线与圆锥母线与轴线夹角相等,∴∠APC=∠ACP=α.由切线长定理知,OA平分∠PAC,∴OA⊥PC.∴∠OCA+∠OAC=90°,∠AOF+∠OAC=90°.∴∠OCA=∠AOF=α.在Rt△OAF中,AF=OF·tan∠AOF=R tanα.又由抛物线构造特点,∴AF=AB.∴FB=2R tanα,即抛物线焦点到准线距离为2R tanα.。

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综合学习与测试(一)
1. 在△ABC 中，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，连接DE ，则=BC
DE
（） A. 21 B. 31 C. 32 D. 2
1
2. 四边形ABCD 中，AB//CD ，DBC DAB ∠=∠，AB=4，BD=5，则=∆A B C D ABD S S :（）
A. 2516
B. 54
C. 41
16 D. 4125
3. 下列说法：（1）与圆有公共点的直线是圆的切线；（2）垂直于圆半径的直线是切线；（3）与圆心的距离等于半径的直线是切线；（4）过直径的端点，垂直于此直径的直线是切线。

其中正确的是（）
A. （1）（2）
B. （2）（3）
C. （3）（4）
D. （1）（4）
4. ABCD 是圆O 的内接四边形，圆心在四边形内部，点P 、Q 、R 、S 分别在弧AB 、弧BC 、弧CD 和弧DA 上，则=∠+∠+∠+∠DSA CRD BQC APV （）
A. 180
B. 540
C. 360
D. 450
5. 圆O 的内接四边形ABCD 的对角线AB OE BD AC ⊥⊥, 于E ，则（）
A. DC=OE
B. DC=2OE
C. 2DC=OE
D. DC=3OE
6. 圆的内接平行四边形是（）
A. 菱形
B. 正方形
C. 长方形
D. 梯形
7. AB=AC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠、的平分线，且相交于F ，则四边形AEFD 是（）
A. 圆内接四边形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形
8. 在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，
CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（）
A. CF=FM
B. OF=FB
C. BM ⌒的度数是22.5°
D. BC ∥
9. 圆内接四边形ABCD 中，3:2:1::=∠∠∠D C B ，则
______,___,___,=∠=
∠=∠=∠D C B A 。

10. 平行四边形的面积为S ，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则_______=∆AEF S 。

11. 若三角形三内角之比为1：2：3，则它的三边长之比是______。

12. 从圆外一点引圆的切线和最长的割线，若切线长是20，割线长是50，则圆半径是____，切点到割线的距离是_____。

13. 求证：圆外切平行四边形是菱形。

E
D
A
14. 已知：AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点D ，EM ⊥AB 于M ，交AD 于C ，交⊙O 于F ，
求证：EC=ED 。

15. 在⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，做DE ⊥AC 于E ，
求证：DE 是⊙O 的切线。

参考答案：
1. A ；
2. C ；
3. C ；
4. B ；
5. B ；
6. C ；
7. D ；
8. C ；
9. 135,90,45,90； 10. S 8
3
；
11. 2:3:1； 12. 29
14
14,21 ；
13. 提示：⊿AOE～⊿COF，⊿BOE～⊿BOF，可推得AE=CF=CG=AH，BE=BF=DG=DH，继而推得AB=BC=CD=DA。

B C
A
14. 提示：如图所示，连OD，证∠ODA=∠A，∠EDC=∠ECD，
可得EC=ED。

（法2 ：连接BD）
15. 提示：如图所示，连AD、OD，证明ED⊥OD。