高三数学二轮复习 第一部分 基础送分题 专题检测(二函数的图象与性质 理
高三二轮复习专题2.函数的图像与性质docx
专题2：函数的图象与性质一、前测训练1．求下列函数的值域：（1）y ＝sin(2x ＋π3) x ∈[0，π6] （2）y ＝1－x 21＋x 2 （3）y ＝x ＋1－x(4)f (x )＝(12)x －x ，x ∈[－1，2] （5）f (x )＝x 2＋2x 2＋1 （6）f (x )＝x ln x（7）y ＝x2．（1）f (x )＝x (12x －1＋12)的奇偶性为．（2）若f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 的值为．3．（1）函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的增区间为； (2)f (x )＝log 12(x 2－2x )的增区间为；(3)f (x )＝ln x －2x 2的减区间为．4．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2) 0，则f (x )＜0的x 的取值范围是．5．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝．6．（1）已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，①将函数y ＝f (x )图象向右平移2个单位后的解析式为． ②与函数y ＝f (x )图象关于y 轴对称的函数解析式为． （2）方程1－x 2＝x ＋m 有一个实数解，则m 的取值范围为．7．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )=．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝．二、例题讲解专题一、函数单调性例1：已知函数x a x x x f 3)(+-=在R 上为增函数，则实数a 的范围为又例：已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R)．若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为．再例：已知函数)(x f 的定义域是0≠x 的一切实数，对定义域内的任意21,x x 都有)()(121x f x x f =⋅),(2x f +且当1>x 时.1)2(,0)(=>f x f 则不等式.2)12(2<-x f的解集为围是___________．又例：已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-.0,12,0,2)(x ax x e x f x (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜.2)()(21x f x f +其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．例3：若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．又例：若函数()(1)xf x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是.专题二：奇偶性与周期性 例 1.已知f (x )=|x +1|+|x +2|+|x +3|++|x +2017|+|x -1|+|x -2|+|x -3|++|x -2017|（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的取值范围是.又例：已知函数0)1()1(),1lg()(22<++-++=m f m f x x x f 如果，则实数m 的取值范围是___________.再例.f(x)为偶函数，且在[)+∞,0上是增函数，若)1(2)1(ln )(ln f tf t f ≤+，则t 的范围是再例：已知函数(),如果(),那么的值是______.则实数a 的取值范围是.例2：f(x)为偶函数，)2()()4(f x f x f +=+，若2)1(=f ，则)2018()2017(f f +=又例：f(x)满足)()()()(3,31)3(y x f y x f y f x f f -++==，则=)1812(f再例：设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．再例：设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意x R ∈,都有()(4)f x f x =+,且当[2,0]x ∈-时,1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根,则a 的取值范围为______________.例3．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b aab b ≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++= ，则1a =．又例．对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22， 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为m x f =)(（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123x x x 、、，则123x x x ++的取值范围是_____________．再例：函数()f x 的定义域为D ,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有()f x k=-是对称函数, 那么k 的取值范围是_____________.例4：若满足2x+=5, 满足2x+2(x －1)=5, +＝又例：若R a y x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈,4,4,ππ，且满足方程：0cos sin 402sin 33=++=-+a y y y a x x 和，则=+)2cos(y x 。
高三数学二轮复习(理科数学) 函数的图象与性质 专题卷(全国通用) (4)
5.坐标系与参数方程1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455. 2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||PA ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ， 即x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2＝－7，又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得||PA ＋||PB ＝||t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27， 所以||PA ＋||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求1||PA ＋1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上. (2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为x 22＋y 24＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝4，∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1，t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－45＜0， 故t 1与t 2异号， ∴||PA ＋||PB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4145， ∴||PA ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝45，∴1||PA ＋1||PB ＝||PA ＋||PB ||PA ||PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z)，又 0＜α＜π， ∴α＝3π4. 5.已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ，y ＝233＋t 2(t 为参数).(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；(2)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ，C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求||OC ||OD 的最大值.解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，将C 2的参数方程代入，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋t 22＝1，化简得，t 2＋533t ＋43＝0， 所以||AB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－33x ＋233， 过点()2，0，C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°，∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×32＝ 3.(2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α， 则||OD ＝ρ1＝2sin α，||OC ＝ρ2＝2cos α， ||OC ||OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤12，当α＝π4时取得最大值12.6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.(1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6可变形为ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝0.因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知，l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2，θ＝π3时，ρcos ()θ－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6， 所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6上.设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知，d 的最大值为||OA 2＝1.于是||OP ·||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·||AP 的最大值为2.。
高三数学二轮精品专题卷：专题二函数图象与性质
届高三数学二轮精品专题卷：专题二-函数图象与性质————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题二 函数图象与性质考试范围：函数图象与性质一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数)2ln()2ln()(++-=x x x f 的定义域为 （ ） A ．),0(+∞ B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．),2()2,(+∞--∞2．2010年8月15日，为悼念甘肃舟曲特大山洪泥石流遇难同胞，某校升旗仪式中,先把国旗匀速升至旗杆顶部,停顿3秒钟后再把国旗匀速下落到离杆顶约占全杆三分之一处.能正确反映这一过程中,国旗高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是（ ）A B C D 3．幂函数()x f 的图像过点（3，91），则它的单调递增区间是（ ）A ．(0，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，0)D ．(-∞，＋∞)4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≥=2)2(22)(＜，，x x f x x f x ，则)81(log 2f =（ ）A ．3B ．8C ．9D ．125．已知函数)(x f 是R 上的单调增函数且为奇函数，则)2012(f 的值 （ ） A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．若3.0)21(=a ，23.0-=b ，3log 31=c ，则a ，b ，c 大小关系为 （ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c7．已知()⎪⎩⎪⎨⎧++-≤+=)1(,32)1(,32x x x x x x f ，则函数()x x f x g 3)(-=的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（理）函数32)32(21x a y --=π的部分图象大致是下列四个图像中的一个，试根据你的判断选出合适的图像，① ② ③ ④根据图像可知，a 可能的取值是 （ ） A ．21 B ．23C ．2D ．4（文）若函数()()()1221log1x xf x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()y f x=-的图像是（）9．定义在R上的偶函数)(x f在](0,∞-上递减，031=⎪⎭⎫⎝⎛-f，则满足()xf8log＞0的x的取值范围是（）A．),0(+∞B．()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,221,0C．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛2,2181,0D．⎪⎭⎫⎝⎛21,010．已知定义在R上的偶函数()x f，满足()()x fxf-=-4，且在区间[]4,0上是增函数，则（）A．()15f＜()0f＜()5-f B．()0f＜()15f＜()5-fC．()5-f＜()15f＜()0f D．()5-f＜()0f＜()15f11．（理）如图所示，ABCD是边长为260的正方形，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A,B,C,D四点重合，正好形成一个正四棱柱，则当正四棱柱的外接球的体积最小时，正四棱柱的高等于（）A．30B．230C．40D．240（文）将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，则x的值为（）A．1 B．2 C．310D．2712．已知函数3,0,()ln(1),>0.x xf xx x⎧≤=⎨+⎩若()()243f x f x-≥，则实数x的取值范围是（）A．()()+∞-∞-,41, B．(][)∞+-∞-,14, C．[]4,1-D．[]1,4-13．根据表格中的数据，可以判定函数2ln)(+-=xxxf有一个零点所在的区间为)1,(+kk k∈N*），则k的值为（）x 1 2 3 4 5ABCDA ．2B ．3C ．4D ． 614．对于函数()x f ，使()n x f ≤成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数()x f 的上确界．则函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≥=-0),21(log 0,221＜x x x x f x 的上确界是 （ ）A ．0B ．21C ．1D ．215．已知0＞a ,设函数()[]),(12012201020121a a x x f x x -∈++=+的最大值为M ,最小值为N ,那么N M +（ ）A ．2008B ．2009C ．4018D ．4022二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.将答案填在题中的横线上） 16．己知()()4log 3+=x x f ，当点()y x ,在函数()x f y =的图象上时，点⎪⎭⎫⎝⎛+2,31y x 在函数()x g y =的图象上，则()x g =．17．已知函数3log ,0,()1,0,3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭⎩，则满足方程()3=a f 的所有的a 的值为18．将函数xx a a y 3333-⋅+=的图像向左平移一个单位后，得到()x f y =的图像1C ，若曲线1C 关于原点对称，那么实数a 的值为 ． 19．已知函数()12+=x f y 定义域是[]3,3-，则()1-=x f y 的定义域是 ．20．若函数()222+-=x x x f 的定义域和值域均为[]b ,1，则b =．21．已知函数())1(log 233x x x x f +++=，则对于任意实数()0≠+b a b a 、，则()()ba b f a f ++ 0（填“大于”或“小于”）．22．设b ＞0,二次函数222-++=a bx axy 的图像为下列之一：① ② ③ ④ 则a 的值为 ．x ln0 0．69 1．10 1．39 1．6123．若函数23()log()(0,1)2af x x x a a=+>≠在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21内恒有()0f x>，则()x f的单调增区间为．24．直角梯形ABCD中，B、C为直角顶点，且AB<CD，动点P从B出发，沿梯形的边按B→C→D→A的方向运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为()x f，若函数()x fy=的图像如下图所示，则△ABD的面积为．25．已知函数3lg2()3lg(3)2x xf xx x⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若函数()kxfy-=无零点，则实数k的取值范围是．26．已知函数()x f与()x g满足()()xfxf-=+22，()()11-=+xgxg，且()x f在区间)[∞+,2上为减函数，令()()()x gxfxh⋅=，则下列不等式正确的有．①()()42hh≥-②()()42hh≤-③()0h＞()4h④()()40hh=27．已知函数()xxxf22-=，()()02＞aaxxg+=，对任意的[]2,11-∈x，总存在[]2,1-∈x，使()()01xfxg=，则实数a 的取值范围是．28．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()x f的图象恰好通过()*∈Nkk个格点，则称函数()x f为k阶格点函数.下列4个函数中是一阶格点函数的有．①()1)21(-=xxf②())4(2sinπ-=xxf③()xxf3log-=④()()7522++=xxf29．设()x f与()x g是定义在同一区间[]b a,上的两个函数，若对任意[]b ax,∈，都有()()1≤-xgxf成立，则称()x f和()x g在[]b a,上是“亲密函数”，区间[]b a,称为“亲密区间”．若()432+-=xxxf与()12-=xxg在[]b a,上是“亲密函数”，则b的最大值是．30．如果存在正实数a,使得()axf-为奇函数,()axf+为偶函数,我们称函数()x f为“和谐函数”．则下列函数是“和谐函数”有．(把所有正确的序号都填上)①()()512+-=xxf②()⎪⎭⎫⎝⎛-=42cosπxxf③()xxxf cossin=④()1ln +=x x f2012届同心圆梦专题卷数学专题二答案与解析 1．【命题立意】本题给出具体函数解析式，考查考生如何求函数的定义域． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 对数函数的定义域是什么？（2）多个函数式如何求定义域？【答案】B 【解析】函数的定义域就是让解析式有意义，因此应满足2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得2x >．2．【命题立意】本题考查在具体情境下选择函数的图象．【思路点拨】通过了解具体情境下函数的相关性质来选择相应的函数图象．【答案】B 【解析】国旗的运动规律是:匀速升至旗杆顶部→停顿3秒→国旗匀速下落至旗杆中部.对应的图象为B ． 3．【命题立意】本题考查幂函数的定义及其单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 幂函数的定义． 幂函数的单调性．【答案】Ｃ【解析】设()αx x f =，则()2,2,913-=-=∴-=x x f αα，故()x f 的单调递增区间是()0,-∞．4．【命题立意】本题考查分段函数的求值． 【思路点拨】解答本题首先要判断81log 2的值，然后代入相应的解析式求解．【答案】B 【解析】()()823381log 32===-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ，故选B ．5．【命题立意】本题考查函数的奇偶性、单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 若()x f 是R 上的为奇函数则()00=f ． 单调递增函数的含义是什么？【答案】A 【解析】()00=f ，)(x f 在R 上递增，()2012f ∴＞()00=f ，故选A ． 6．【命题立意】本题考查对数运算、指数运算、指数函数单调性．【思路点拨】先利用对数运算、指数运算、指数函数单调性判断c b a ,,取值范围，再比较其大小．【答案】D 【解析】0＜3.021⎪⎭⎫⎝⎛＜021⎪⎭⎫ ⎝⎛=1，即0＜a ＜1，同理b ＞1，而1-=c ，因此b ＞a ＞c ．7．【命题立意】本题考查利用数学结合的思想求函数零点的个数． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 如何画分段函数的图像？如何求函数（形如()()()x g x f x F -=）的零点的个数？（提示：转化为()x f y =与()x g y =两函数图像交点的个数．）【答案】B 【解析】()()x x f x g 3-=零点的个数⇔()()03=-=xx f x g 解的个数()x f y =的图像与x y 3=的图像交点的个数．所以由数形结合易得()x f y =的图像与xy 3=的图像有2个交点，故选B ．8．（理）【命题立意】本题考查判断陌生函数图象并求参数的可能取值． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 如何判断函数的奇偶性？ 如何判断复合函数的单调性？【答案】D 【解析】函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像，先增后减的特征可知32-a ＞1，即a ＞2，符合条件的只有D 选项，故选D ． （文）【命题立意】本题考查分段函数图像的变换． 【思路点拨】先画出分段函数()x f 的图像，再根据()x f 的图像与()x f -图像间的关系得到()x f -的图像．【答案】D 【解析】先画出函数()()()1221log 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像，然后将图像关于y 轴做一次对称可得()y f x =-的图象，可得为D ． 9．【命题立意】本题考查依据给出抽象函数的性质，解不等式．【思路点拨】结合给出的抽象函数的性质，画出()x f 的草图，利用函数的单调性解不等式． 【答案】B 【解析】由()()|)(|x f x f x f =-=，得|)log (|8x f ＞⎪⎭⎫ ⎝⎛31f =0，于是 x8log ＞31，0∴＜x ＜21或x ＞2，故选B ．10．【命题立意】本题考查偶函数图像的对称性、单调性、周期性． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 偶函数的图像是关于y 轴对称的． 函数的周期是如何规定的？如何利用函数的单调性比较函数值的大小？【答案】B 【解析】)()4()8()()4(x f x f x f x f x f =--=-∴-=- ，∴8是函数)(x f 的一个周期， 又)3()5(),1()1()15(f f f f f =-=-=∴又)(x f 在区间[0，4]上是增函数，)5()15()0()3()1()0(-∴∴f f f f f f ＜＜＜＜，故选B ．11．（理）【命题立意】本题考查函数中的最值问题．【思路点拨】解决函数应用问题关键是建立函数模型，然后根据模型进行求解．【答案】C 【解析】设纸盒的底边边长为a ，正四棱柱体对角线为l ，由已知可得阴影部分等腰直接三角形的直角边长为()060h h <<，则hha -=-=60222602.要使正四棱柱的外接球的体积最小，只需正四棱柱的体对角线最短，()()()24004036022222222+-=+-=+=h h h ha l .所以当40=h 时，体积最小．（文）【命题立意】本题考查函数中的最值问题．【思路点拨】解决函数应用问题关键是建立函数模型，然后根据模型进行求解． 【答案】C 【解析】设对角线为l ，则()()()113609282722222+-=+-+-==x x x x x x f l，根据二次函数单调性可知当310=x 时有最小值，且310＜27，是符合实际情况的．12．【命题立意】本题考查分段函数的单调性及不等式的计算．【思路点拨】判断分段函数()x f 在R 上是单调递增的，并由此建立不等式求解． 【答案】D 【解析】()x f 在R 上单调递增，()()x f xf 342≥-∴x x342≥-∴14≤≤-x ，故选D ．13．【命题立意】本题考查函数零点存在性定理．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 函数零点存在性定理的内容是什么？如何用函数零点存在性定理判断函数零点所在的区间？【答案】B 【解析】分别将x 的值代入可得()1f ＞0，()2f ＞0，()3f ＞0，，()4f ＜0，()5f ＜0，因此零点在区间（3，4）内，所以3=k ． 14．【命题立意】本题考查新定义的理解及函数的单调性． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 正确理解函数上确界的定义．思考函数上确界与函数的最大值之间的关系．【答案】C 【解析】()x f 在()0,-∞是单调递增的，()x f 在[)∞+,0是单调递减的，所以()x f 在R 上的最大值是()10=f ，1,1=∴≥∴G n 故选C ．15．【命题立意】本题考查陌生函数的单调性及最值．【思路点拨】首先化简函数，判断其单调性，再确定最值求解． 【答案】D 【解析】()120122201212012201020121+-=++=+x x x x f 12012+=xy 在[]a a ,-上是单调递增的，()1201222012+-=∴x x f 在[]a a ,-上是单调递增的，()a f M =∴，()a f N -=，()()40221201221201224024=+-+-=-+=+∴-a aa f a f N M16．【命题立意】本题考查用换元法求函数的解析式．【思路点拨】先求出⎪⎭⎫ ⎝⎛+31x g ，再换元：令31+=x t ，可求得()x f 的解析． 【答案】())1(,211log 213-++＞x x 【解析】依题意，()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==312)4(log 3x g y x x f y ，则)4(log 21313+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x g令31+=x t 则13-=t x （t＞1-），()()()211log 2133log 2133++=+=∴t t t g 所以=)(x g ())1(,211log 213-++＞x x17．【命题立意】本题考查用分类讨论的思想解方程．【思路点拨】对a 分情况，分别代入相应的解析式进行求解．【答案】1-或27【解析】⎩⎨⎧=3log 03x a 或⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤3310xa 解得=x 1-或27．18．【命题立意】本题考查函数图像的平移变换．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 如何实现函数图像的平移？若函数图像关于原点对称，则函数具备什么性质？ 【答案】1±【解析】由题意知，函数y 平移后的表达式()xx a a x f 331-⋅+=，()x f y =，它关于原点对称，所以为奇函数，故()()0=-=x f x f ．而()())3)(3()33)(1(3313312x x x x xx xx a a a a a a a x f x f ------+-=-⋅++-⋅+=-+，所以012=-a，1±=∴a 注意本题出现以下常见错解：直接利用()00=f 得011=-+a a，解得1-=a ．这是典型的不等价转化的结果，因为“()00=f ”是“函数)(x f y =为奇函数”的必要不充分条件．19．【命题立意】本题考查抽象函数的定义域．【思路点拨】解决抽函数的定义域关键要搞清楚谁是自变量．【答案】[]5,2【解析】33≤≤-x ，302≤≤x ，4112≤+≤∴x ，∴对函数()1-=x f y 有411≤-≤x ，52≤≤∴x ，∴()1-=x f y 的定义域是[]5,2．20．【命题立意】本题考查二次函数的性质．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 二次函数的对称轴是怎样的？ 如何确定二次函数的单调区间？【答案】2=b 【解析】()x f 的对称轴是1=x ，则()x f 在[]b ,1上单调递增，所以()b b f =即b b b =+-222，解得b =2或1，又因b ＞1，故2=b ． 21．【命题立意】本题考查函数的奇偶性和单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： 如何判断函数的奇偶性？ 如何判断复合函数的单调性？ 【答案】大于【解析】())1(log 233x x x x f +++=，可知函数是奇函数和增函数，于是当b a +＞0，即a ＞b-⇔()a f ＞()b f -=()b f -⇔()a f +()b f ＞0∴()()ba b f a f ++＞0同理可得b a +＜0时()()ba b f a f ++＞0． 22．【命题立意】本题考查二次函数的图像．【思路点拨】重视排除法的应用．先有b > 0排除①②，再结合抛物线的开口方向对a 进行讨论求解． 【答案】2-【解析】因为b ＞0，所以对称轴不与y 轴重合，排除图像①②;对图像③，开口向下，则a ＜0，对称轴，ab x 2-=＞0符合条件，图像④显然不符合．根据图像可知，函数过原点，故()00=f ，即022=-a，又a ＜0，故a =2-．23．【命题立意】本题考查对数函数的图像和性质．【思路点拨】借助图像认识对数函数的性质，在讨论性质的时候不要忘记定义域的制约作用．【答案】()+∞,0【解析】 令x x u 232+=，当),21(+∞∈x 时，()+∞∈,1u ，而此时()x f ＞0，所以a ＞1，所以函数()u x f a log =为增函数，又169432-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x u ，因此u 的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,43．又x x 232+＞0，所以x ＞0或x ＜23-，所以函数()x f 的单调增区间为()+∞,0．24．【命题立意】本题考查根据函数图像求函数值．【思路点拨】本题关键是根据函数()x f y =的图像得到直角梯形的各边长，进而求三角形的面积．【答案】4【解析】 根据()x f y =的图像可得4=BC ，5=CD ， 2,5==AB AD ，44221=⨯⨯=∴∆ABD S 25．【命题立意】本题考查用数形结合法求参数的取值范围．【思路点拨】将函数()k x f y -=无零点问题，转化成函数()x f y =的图像与k y =的图像无交点问题求解．【答案】k ＜23lg 【解析】在同一坐标系内作出函数()x f y =与k y =的图象，如右图，∴若两函数图象无交点，则k ＜23lg ． 26．【命题立意】综合考查函数的单调性、奇偶性、周期性．【思路点拨】挖掘函数具备的性质进行解题．【答案】②④【解析】由()()x f x f -=+22，得()x f 关于2=x 对称，()x f 在区间)[∞+,2上为减函数，得()x f 在区间(]2,-∞上为增函数，∴()2-f ＜()0f =()4f ，由()()11-=+x g x g ，得()()x g x g =+2，即()x g 是以2为周期的周期函数，于是()()()402g g g ==-，得()()()0402≥==-g g g ，()()()()()()440022g f g f g f ⋅=⋅≤-⋅-∴，即()()()402h h h =≤-．27．【命题立意】本题考查函数的值域．【思路点拨】解决本题的关键在于弄清()x f ，()x g 在[]2,1-上值域间的关系．【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0【解析】设()x f 与()x g 在[]2,1-上的值域分别为A 、B ，由题知B A ⊇，易得[]3,1-=A ，而a ＞0，于是[]22,2++-=a a B ，∴⎩⎨⎧≤+-≥+-32212a a ，解得21≤a ，∴0＜21≤a ．28．【命题立意】本题依据新定义的函数，判断命题．【思路点拨】对于新定义问题关键是要抓住什么样的函数是一阶格点函数，理解了才能顺利解题．【答案】②④【解析】①有无数个格点如()12,--k k （k 为正整数）；②只有一个格点()1,0-；③有无数个格点如()k k -,3（k 为整数）；④只有一个格点()7,5-．29．【命题立意】本题依据新定义的函数，考查不等式的解法．【思路点拨】根据“亲密函数”的定义得到不等式，解不等式．【答案】4【解析】依题意得()1551243)(22≤+-=+-+-=-x x x x x x g x f 15512≤+-≤-∴x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤+-∴15515522x x x x ，⎩⎨⎧≥≤≤≤∴3241x x x 或∴21≤≤x 或43≤≤x 所以b 的最大值为4．30．【命题立意】本题依据新定义的函数，考查函数的性质．【思路点拨】理解什么是“和谐函数”，关键是能否找到正实数a ．【答案】②③【解析】①④由数形结合的思想显然不是“和谐函数”；②()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos πx x f 可取4π=a 验证可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos πx x f 是“和谐函数”;③()x x x x f 2sin 21cos sin ==可取4π=a 验证可知()x x x f cos sin =是“和谐函数”．。
高三数学二轮复习 必考问题专项突破1 函数、基本初等函数的图象和性质 理
二轮专题复习·数学理(新课标)第一部分 22个必考问题专项突破必考问题1 函数、基本初等函数的图象和性质1．(2012·江西)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )．A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x答案：D [函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．]2．(2012·安徽)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )．A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案：C [对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x x ＜，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.]3．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x答案：A [结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论．选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．]4．(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系， 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.答案 －34高考对本内容的考查主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；③求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等．本部分的试题多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等，所以复习时一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例题、习题弄明白，把基础夯扎实，才能真正掌握、灵活应用，达到事半功倍的效果.必备知识函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．函数的性质(1)函数单调性的判定方法①定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． ②导数法．③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．(3)求函数最值(值域)常用的方法①单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； ②图象法：适合于已知或易作出图象的函数； ③基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； ④导数法：适合于可求导数的函数． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．必备方法1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.函数性质及其应用的考查常考查：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题．【例1】► 设定义域在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )．则实数m 的取值范围是________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用已知条件，可将问题转化为|1－m |＞|m |. 解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)， 又∵当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12(1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性．(2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法． 【突破训练1】 (2012·济南2月月考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1≤x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则下列结论正确的是( )．A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)答案：A [由①知，f (x )的周期为4， 由②知，f (x )在[0,2]上单调递增． 由③知，f (x )的对称轴为x ＝2.∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)．f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)．∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．] 函数图象及其应用的考查常考查：①由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象；②在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的范围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档．【例2】► 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解．C [由f (－x )＝－f (x )知，函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在y 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos 2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.]函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用．(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系．(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．(3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的基础．【突破训练2】 (2012·新课标全国)已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )．答案：B [g (x )＝ln(x ＋1)－x ⇒g ′(x )＝－x1＋x ，当g ′(x )＞0时，－1＜x ＜0.当g ′(x )＜0时，x ＞0.故g (x )＜g (0)＝0，即x ＞0或－1＜x ＜0时均有f (x )＜0，排除A 、C 、D.] 二次函数综合问题的考查高考很少单独考查二次函数，往往与导数结合来命题，可涉及到二次函数的许多基础知识的考查，如含参函数根的分布问题，根与系数的关系问题，要求考生熟练应用有关的基础知识．【例3】► 设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)借助根与系数的关系，曲线过原点等条件进行求解；(2)问题可转化为f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0.解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0， 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)． 解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a －a －得，a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比较方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考查学生分析、解决问题的能力．【突破训练3】 已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x .(1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)． 当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，f (x )在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，在x ＝－2时，f (x )有极小值． 所以f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1,1)上，f (x )单调递增，当且仅当f ′(x )＝4(x －1)·(3ax 2＋3ax －1)≥0，即3ax 2＋3ax －1≤0，①(i)当a ＝0时，①恒成立；(ii)当a ＞0时，①成立，当且仅当3a ·12＋3a ·1－1≤0. 解得a ≤16.∴0＜a ≤16.(iii)当a ＜0时，①成立，即3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－3a4－1≤0成立，当且仅当－3a 4－1≤0.解得a ≥－43.∴－43≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，16.函数基础知识在综合问题中的应用函数是高考永远不变的主题，二次函数更是热点．对二次函数的考查主要以二次函数的图象为载体，利用数形结合思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此相关的参数范围的问题．下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用．【示例】► (高考改编题)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值；(3)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，x 1，x 2，且x 1＜x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＞f (1)恒成立，求m 的取值范围．[满分解答] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(3分)(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.(7分)(3)由题设，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2＋x ＋m 2－1＝－13x (x －x 1)(x －x 2)，所以方程－13x 2＋x ＋m 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2，故x 1＋x 2＝3，且Δ＝1＋43(m 2－1)＞0，解得m ＜－12(舍去)或m＞12.因为x 1＜x 2，所以2x 2＞x 1＋x 2＝3，故x 2＞32＞x 1.(9分) 若x 1≤1＜x 2，则f (1)＝－13(1－x 1)(1－x 2)≥0，而f (x 1)＝0，不合题意．若1＜x 1＜x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x ＞0，x －x 1≥0，x －x 2≤0，则f (x )＝－13x (x －x 1)(x －x 2)≥0.又f (x 1)＝0，所以f (x )在[x 1，x 2]上的最小值为0.于是对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＞f (1)恒成立的充要条件是f (1)＝m 2－13＜0，解得－33＜m ＜33.综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，33.(12分) 老师叮咛：该题综合考查了导数知识与函数的基础知识，是一道不错的试题问较易得分，第问因找不到问题的突破口而得分率很低，原因是二次函数的相关基础知识掌握不牢固，不会利用数形结合的思想.【试一试】 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.(2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)＞0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．。
福建省2020届高考数学理二轮专题总复习 专题1第2课时 函数的图像与性质(一)课件 精品
义域为R，所以mx2 6mx m 8 0恒成立，
m 0
所以6m 0 或 m 8 0
m 0 6m2
4mm
8
， 0
解得m 0或0 m 1，解得0 m 1.答案：0,1
1. 求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元 法或配凑法、消参法．在解题的过程中经常用到分 类讨论、等价转化等数学思想方法．
2. 求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、 单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用 什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义 域．
3. 判断函数的奇偶性方法：若为具体函数，按照定 义判断；若为抽象函数，用赋值法判断．若f(-x)=f(x) 或 f(-x)-f(x)=0 ， 则 f(x) 是 偶 函 数 ； 若 f(-x)=-f(x) 或 f(x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数．奇函数在其对称区间上 的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相 反．
落在直线y 12上？若存在，求出a的值；若不 存在，请说明理由．
【分析】首先应该根据已知条件求出函数f(x)的解 析式，再根据(1)f(x)在(0,1]上为增函数，求出a的取 值范围；(2)f(x)的最大值为12，求出a的值或说明不 存在．
【解析】因为当x 1,0时，f x 2ax 4x3，
因为f x 1 - f x 2x，
所以2ax a b 2x，
所以2aab
2
0，所以ba
1 -1
所以f x x2 - x 1
2由题意：x2 - x 1＞2x m
在-1,1 上恒成立， 即x2 - 3x 1＞m在-1,1 上恒成立，
设g x x2 - 3x 1，x -1,1， 因为g x在-1,1上递减，
求实数m的取值范围．
高考数学(理)二轮专题练习【专题2】(1)函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为_________．答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是( )(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)C (2)D解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．可排除A ，D.又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以，B 不正确，选C.(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .选D.思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )(2)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 答案 (1)C (2)D解析 (1)f (x )＝1＋log 2x 的图象过定点(1,1)，g (x )＝21－x 的图象过定点(0,2)．f (x )＝1＋log 2x 的图象由y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，且f (x )＝1＋log 2x 为单调增函数，g (x )＝21－x ＝2×(12)x 的图象由y ＝(12)x 的图象伸缩变换得到，且g (x )＝21－x 为单调减函数．A中，f (x )的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B 中，g (x )的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D 中，两个函数都是单调增函数，也不满足．选C.(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性． 答案 (1)C (2)D解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C. 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故选C.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a b <a a <b aC ．a a <b a <a bD ．a b <b a <a a(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)B (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a ， 答案选B.(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B. 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )答案 A解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e －ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1，无最大值．(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x答案 C解析 函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”等价于x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的值的符号相同，即可化为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，表示函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由此可得只有函数f (x )＝2x 符合．故选C.2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( )A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 答案 D解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3b C ．1122a b > D.3a >3b答案 D解析 因为a >b ，而对数的真数为正数，所以ln a >ln b 不一定成立； 因为y ＝0.3x 是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b ，故B 错；因为y ＝12x 在(0，＋∞)是增函数，又a >b ，则1122a b >不一定成立，故C 错； y ＝13x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则1133a b >，即3a >3b 成立，选D. 5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0， 即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}，故选B. 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x ＋1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x答案 B解析 因为函数f (x )＝2x －1－12x ＋1＝12(2x －12x )，可知函数f (x )在定义域上是奇函数，且单调递增，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝x 2为偶函数，y ＝tan x 在定义域上是奇函数，但不单调递增，只有y ＝ln(x ＋x 2＋1)在定义域上是奇函数，且单调递增，故选B.8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]答案 C解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C. 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________.答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a －x (x －a )，x <a，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________． 答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)， f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x②f (x )＝ln5－x5＋x③f (x )＝tan x2④f (x )＝4x 3＋x答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
2021年高考数学二轮复习 函数的图象与性质专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x，x ≥02－x，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．2解析 f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1，∴a ＝14.答案 A2．(xx·辽宁卷)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，∴c >a >b .答案 C3．(xx·湖南卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，因f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，可化简上式得：f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1.故选C.答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]解析 因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1，故选C.答案 C5．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为( )A．f(x)＝e x ln x B．f(x)＝e－x ln(|x|)C．f(x)＝e x ln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|)解析由定义域是{x|x∈R，且x≠0}，排除A；由函数图象知不是偶函数，排除D；当x→＋∞时，f(x)＝ln|x|e x→0，排除B，选C.答案 C6．已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4，则( )A．f(2a)<f(3)<f(log2a)B．f(3)<f(log2a)<f(2a)C．f(log2a)<f(3)<f(2a)D．f(log2a)<f(2a)<f(3)解析由f(x)＝f(4－x)，可知函数关于x＝2对称．由xf′(x)>2f′(x)，得(x－2)f′(x)>0，所以当x>2时，f′(x)>0，函数递增，同理当x<2时，函数递减．当2<a<4,1<log2a<2,22<2a<24，即4<2a<16.所以f(log2a)＝f(4－log2a)，所以2<4－log2a<3，即2<4－log2a<3<2a，所以f(4－log2a)<f(3)<f(2a)，即f(log2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案 C二、填空题7．函数y ＝log 2x －2的定义域是________．解析 log 2(x －2)≥0，∴x －2≥1，即x ≥3. 答案 [3，＋∞)8．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x ，则满足f (2x )<f (x )的x 的取值范围是________．解析 f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，2－x ，x <1，f (2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥12，2－2x ，x <12，如图可知不等式f (2x )<f (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，239．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：(1)f (5)＝0；(2)f (x )在[1,2]上是减函数； (3)函数y ＝f (x )没有最小值； (4)函数f (x )在x ＝0处取得最大值； (5)f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析 因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图形，结合图形可知(1)(2)(4)正确．故答案为(1)(2)(4)．答案 (1)(2)(4) 三、解答题10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x . (1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值． 解 (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )的图象上任一点P (x ，y )．则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x 2， ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3.故a 的取值范围是[3，＋∞)．B 级——能力提高组1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 014)＋f (2 015)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 014)＋f (2 015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 014)＋f (2 015)＝1＋2＝3.答案 A2．(xx·山东卷)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析 在正确理解新定义的基础上，根据函数的性质求解． 由已知得h x ＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b－4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．答案 (210，＋∞)3．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110. (2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b＋b 2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，∴φ(b 1)<φ(b 2)，∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.23728 5CB0 岰p30510 772E 眮31849 7C69 籩23004 59DC 姜38100 94D4 铔)}27831 6CB7 沷 40164 9CE4 鳤28277 6E75 湵q /。
高考数学二轮复习专题检测二函数的图象与性质理
高考数学二轮复习专题检测二函数的图象与性质理一、选择题1．函数f(x)＝＋的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1) 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≠0，x≥0，∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝B ．y ＝|x|－1C ．y ＝lg xD ．y ＝|x|解析：选B A 中函数y ＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex ＋1)－bx 是偶函数，则logab ＝( )A ．1B ．－1C ．－D ．14解析：选B 由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ＋b ，∴b ＝，∴log2＝－1.4．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )A ．－B ．－54C ．－1D ．－2 解析：选C 由图象可得a(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b ＝5，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5，x<－1，＋，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若f(x ＋2 017)＝则f·f(－7 983)＝( )A ．2 016 B.14C ．4 D.12 016解析：选C 由题意得，f ＝sin ＝1， f(－7 983)＝f(2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，∴f ·f(－7 983)＝4.6．函数y ＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( ) 解析：选A 函数y ＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝趋近于0，故选A.7．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x ＞时，f ＝f ，则f(6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知，当x＞时，f＝fx－，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.8．如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )A．－1 B．1C．6 D．12解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.10．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0解析：选C ∵f(x)＝的图象与x轴，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，c<0，故选C.11．定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有<1，且函数y ＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是( )A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：选C (转化法)由<1，可得<0.令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或0<x<2.12．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．二、填空题13．函数f(x)＝ln的值域是________．解析：因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.所以0＜≤1.所以ln≤0，即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________.解析：因为log49＝log23>0，又f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.答案：－1315．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1<a≤2.答案：(1,2]16．(2017·惠州三调)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为____________．解析：f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确；函数f是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点对称，②正确；因为f(x)的图象关于点对称，－＝，所以f(－x)＝－f，又f＝－f＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正确；f(x)是周期函数在R上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③.答案：①②③。
高三数学二轮复习第一部分基础送分题专题检测二函数的图象与性质理
专题检测〔二〕 函数图象与性质〔“12+4〞提速练〕一、选择题1．函数f (x )＝1x －1＋x 定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[0，1)2．(2021·石家庄质量检测)以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x| 3．(2021·沈阳质量检测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，那么f (f (4))值为( )A ．－19B ．－9 C.19D ．9 4．(2021·赣中南五校联考)y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，那么a 值为( )A ．5B ．1C ．－1D ．－35．函数f (x )定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥0，lg 〔－x 〕，x <0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4 D.12 0166．(2021·湖北七市联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≥T ，T ，f 〔x 〕<T ，假设f (x )＝x －ln x ，那么f 3[f 2(e)]值为( ) A ．e －1 B ．e C ．3 D ．e ＋17．(2021·江西两市联考)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 图象大致是( )8．(2021·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，那么a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1 9．(2021·湖北枣阳模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，那么函数( )A ．f (x －a )一定为奇函数B ．f (x －a )一定为偶函数C ．f (x ＋a )一定为奇函数D ．f (x ＋a )一定为偶函数10．函数y ＝f (x )是R 上偶函数，设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，当任意x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，那么( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )11．函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017x ＋1＋2 017sin x 在x ∈[－t ，t ]上最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N 值为( )A ．0B ．4 036C ．4 032D ．4 03812．g (x )是定义在R 上奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g 〔x 〕，x ＞0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2，1)D ．(1，2)二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1值域是________． 14．(2021·南昌一模)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0，1)内单调递减函数序号是________．15．(2021·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92，那么f (5a )值是________． 16．如果y ＝f (x )定义域为R ，对于定义域内任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，那么称此函数具有“P (a )性质〞．给出以下命题：①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质〞；②假设奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质〞，且f (1)＝1，那么f (2 015)＝1；③假设函数y ＝f (x )具有“P (4)性质〞，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，那么y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④假设不恒为零函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质〞与“P (3)性质〞，那么函数y ＝f (x )是周期函数．其中正确是________(写出所有正确命题编号)．答 案1. 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．2. 解析：选B A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，应选B.3. 解析：选C因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19. 4. 解析：选A ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6，∴f (－3)＝－6，∴9－3aa A.5. 解析：选C 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，应选C .6. 解析：选C 由题意得，f (e)＝e －1<2，∴f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，∴f 3[f 2(e )]＝3，应选C.7. 解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.8. 解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C. 9. 解析：选D 由条件可知f (a )＝1，那么x ＝a 是f (x )一条对称轴．又y ＝f (x ＋a )图象是由y ＝f (x )图象向左平移a 个单位得到，所以y ＝f (x ＋a )关于x ＝0对称，即y ＝f (x ＋a )为偶函数，应选D.10. 解析：选D 依题意，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，那么f (a )＝f (－a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－ln 1π＝f (ln π)，f (c )＝f (ln π)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln π，而0<12ln π<ln π<(ln π)2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]，即f (c )>f (a )>f (b )，应选D.11. 解析：选B 记g (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017x ＋1， 那么g (x )＝2 017〔2 017x ＋1〕＋22 017x ＋1＝2 017＋22 017x ＋1， 记p (x )＝22 017x ＋1，那么p (－x )＝22 017－x ＋1＝2×2 017x2 017x ＋1. 因为函数y ＝2 017sin x 是奇函数，它在[－t ，t ]上最大值与最小值互为相反数，所以最大值与最小值与为0.又因为y ＝2 017x ＋1是[－t ，t ]上增函数，所以M ＋N ＝2 017＋2×2 017t 2 017t ＋1＋2 017＋22 017t ＋1＝4 036，应选B.12. 解析：选C 因为g (x )是定义在R 上奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g 〔x 〕，x ＞0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 〔1＋x 〕，x ＞0，作出函数f (x )图象：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 〔1＋x 〕，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.13. 解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1.所以0<1|x |＋1ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln 1|x |＋1值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14. 解析：分析题意易知①③中函数在(0，1)内单调递增，不满足题意，②④中函数在(0，1)内单调递减，满足题意．答案：②④15. 解析：因为函数f (x )周期为2，结合在[－1，1)上f (x )解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2516. 解析：①因为sin(x ＋π)＝－sin x ＝sin(－x )，所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质〞，所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质〞，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1，所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质〞，所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )图象关于x ＝2对称，即f (2－x )＝f (2＋x )，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )，所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减，根据偶函数对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确；④因为y＝f(x)同时具有“P(0)性质〞与“P(3)性质〞，所以f(x)＝f(－x)，f(x＋3)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，且周期为3，故④正确．答案：①③④。
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专题二函数的图象与性质(见学生用书P7)(见学生用书P7)1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a，0)中心对称；若f(x ＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，恒有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±1f（x），则函数y＝f(x)的周期为2|a|.5．函数的图象重点结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数的图象关于点(a，b)成中心对称．(见学生用书P 8)考点一 函数及其表示考点精析1．构成函数概念的三要素(1)三要素是指定义域、对应法则、值域．(2)三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函数．(3)三要素都相同的两个函数是一个函数．2．当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．也就是：(1)分式的分母不得为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)三角函数中的正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .例 1－1(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6]考点：函数定义域的求法．分析：可以根据选项，用排除法，也可以直接列出使函数解析式有意义的x 的不等式组，解不等式组即可．解析：(方法1)当x ＝3和当x ＝5时，函数均没有意义，故可排除选项B 、D ；当x ＝4时，函数有意义，可排除选项A.故选C.(方法2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，x ≠3， 解得2<x ≤4且x ≠3，所以定义域为(2，3)∪(3，4]．答案：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据题目及选项特点，可用直接法，也可用排除法，属基础题．例 1－2已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数f (2x －1)的定义域为________．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题目给出的函数f (x )的定义域，由2x －1在函数f (x )的定义域内求解x 的范围得函数f (2x －1)的定义域．解析：函数f (x )的定义域为(－3，0)，则由－3<2x －1<0，解得－1<x <12.∴函数f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 点评：本题考查了复合函数的定义域及其求法，给出函数f (x )的定义域[a ，b ]，求解函数f [g (x )]的定义域，只需由a ≤g (x )≤b 求解x 的取值集合即可，是基础题．规律总结函数的概念及其表示是研究函数的基础，因而也是高考重点考查对象．考查时，一般较少直接考查，主要在考查其他知识的同时间接考查；若直接考查，函数的定义域问题则是其热点问题，应重点突破．偶尔也会涉及到函数的概念，甚至映射的概念．因此我们在二轮复习中对本考点内容复习的策略是：重点突破函数的定义域问题，兼顾函数概念乃至映射概念，不要留下知识的盲点，造成不必要的丢分．变式训练【1－1】 已知函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数y ＝f (x ＋3)＋f (x 2)的定义域为( )A ．[－2，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，2]解析：∵函数f (x )的定义域为[0，4]，要求函数y ＝f (x ＋3)＋f (x 2)的定义域，∴x ＋3∈[0，4]且x 2∈[0，4]，∴－3≤x ≤1且－2≤x ≤2，∴抽象函数的定义域是[－2，1]．答案：A【1－2】 若函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上有意义，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，6)C ．[1，2]D ．(－∞，3]解析：令对数的真数t ＝x ＋2x －m ，则它的导数为t ′＝1＋2x ln 2，再由x ∈[1，2]，可得t ′>0，故函数t ＝x ＋2x －m 在区间[1，2]上为增函数，故函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上是增函数．再由函数f (x )＝lg(x ＋2x －m )在区间[1，2]上有意义，可得当x ＝1时，t >0，即1＋2－m >0，解得m <3.答案：A考点二 函数的图象及其应用考点精析1．作图：常用描点法或变换作图法．2．识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面，找准解析式与图象的对应关系．3．用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数的性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例 2－1(2014·长郡二模)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin 2x ＋1；③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4； ④f (x )＝sin x ＋3cos x .其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点：函数的图象与图象变化．分析：由于f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再根据函数图象的平移变换规律，可得它与f (x )＝2sin x ＋π4的图象间的关系．而其余的两个函数的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标(或纵坐标)的伸缩变换，故不是“同簇函数”．解析：由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与②f (x )＝2sin 2x ＋1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f (x )＝2sin 2x ＋1与③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 故把③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向左平移π12， 可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象， 故③和④是“同簇函数”．答案：D点评：本题主要考查新定义，函数图象的平移变换规律，属于基础题．例 2－2(2014·武汉调研)如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的大致图象是( )考点：函数图象的识别与应用问题．分析：认真阅读、理解题目意思，找出面积S 与时间t 的变化关系．解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.答案：C点评：本题考查阅读理解能力和函数图象的识别，根据题意，明确S 与t 的变化关系，找出其对应的图象，属中档题．规律总结函数的图象是函数的一个重要组成部分，是数形结合的桥梁．因而本考点内容是高考重点考查对象，考查的热点问题是“用图”．这类问题一般处在高考试卷的选择、填空题的压轴位置．因此需要我们在二轮复习中重点关注和重点突破．变式训练【2－1】 (2015·山西四校联考)函数y ＝2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1的图象大致为( )解析：y ＝2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x 2x －2－x，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D.答案：D【2－2】 (2014·太原一模)已知方程|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是( )A ．sin α＝αcos βB ．sin α＝－αcos βC ．cos α＝βsin βD ．sin β＝－βsin α解析：∵|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个根，∴函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，＋∞)上有两个交点，由题可知x >0且k >0，画出两个函数的图象，如图所示．函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，π)上有一个交点A (α，sin α)，在(π，2π)上有一个切点B (β，sin β)时满足题意，α，β是方程的根．当x ∈(π，2π)时，f (x )＝|sin x |＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴在B 处的切线为y －sin β＝f ′(β)(x －β)，将x ＝0，y ＝0代入方程，得sin β＝－βcos β，∴sin ββ＝－cos β. ∵O ，A ，B 三点共线，∴－sin αα＝－sin ββ， ∴sin αα＝－cos β，∴sin α＝－αcos β. 答案：B考点三 分段函数考点精析对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同．在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，且分别注明各部分的自变量的取值情况．例 3－1(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54C ．－34D ．－14考点：分段函数的正向求值与逆向求值问题．分析：分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，再代入函数解析式计算f (6－a )．解析：当a ≤1时，则2a －1－2＝－3，2a －1＝－1，a 无解．当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＋1＝8，a ＝7.从而f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，故选A.答案：A点评：分段函数的求值问题应根据自变量的值所属区间选定相应的解析式代入求解，即对号入座．例 3－2设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．考点：函数的周期性，分段函数的解析式求法及其图象的作法． 分析：由于f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，由f (x )的表达式可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43；再由f (－1)＝f (1)得2a ＋b ＝0，解关于a ，b 的方程组可得到a ，b 的值，从而得到答案．解析：∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴1－12a ＝b ＋43.① 又f (－1)＝f (1)，f (1)＝b ＋22，f (－1)＝1－a ，∴b ＋22＝1－a ，即2a ＋b ＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.∴a ＋3b ＝－10.答案：－10点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到关于a ，b 的方程组并求得a ，b 的值是关键，属于中档题．规律总结新《课程标准》和《考试大纲》对分段函数提出了明确的具体要求(原来的《考试大纲》未明确提出要求)：了解简单的分段函数，并能简单的应用．因此分段函数问题是近几年高考命题的热点之一．变式训练【3－1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x －5，x >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4，x ≤6，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且数列{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是__________．解析：由题意知：数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧a n －5，n >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2n ＋4，1≤n ≤6，由于数列是递增数列，∴4－a 2>0，即a <8.又∵a 7>a 6，∴a 2>28－3a ，解得a >4或a <－7.故a 的取值范围是4<a <8或a <－7.答案：(4，8)或(－∞，－7)【3－2】 (2014·南充一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12(a <0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是__________________．解析：∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f (x )＝2x 3x ＋1， ∴f ′(x )＝6x 2（x ＋1）－2x 3（x ＋1）2＝4x 3＋6x 2（x ＋1）2， 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f ′(x )>0， 函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数， ∴f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，函数f (x )为减函数， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16. ∴在[0，1]上f (x )∈[0，1]．又g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12，当x ∈[0，1]时，cos πx 2∈[0，1]，∴g (x )∈－2a ＋12，－a ＋12.若存在x 1、x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，说明函数g (x )的最大值与最小值中至少有一个在[0，1]中，∴0≤－2a ＋12≤1或0≤－a ＋12≤1，解得－14≤a ≤14，或－12≤a ≤12，又a <0，∴实数a 的取值范围是a |－12≤a <0.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |－12≤a <0 考点四 函数性质的综合运用考点精析1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2．函数奇偶性的应用应用函数的奇偶性可先求参数的值，画关于原点对称区间上函数的图象，再求解析式、函数值、判断单调性．3．函数周期性若T 为f (x )的一个周期，则f (x ＋nT )＝f (x )(n ∈Z )．4．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或二元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．注意：(1)对于同增(减)的不连续的单调区间不能写成并集，只能分开写．(2)对于解析式较复杂的函数，可通过换元法转化为熟悉的函数，再求最值(值域)．例 4－1(2014·湖北卷)如图所示，函数y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)，则正实数a 的取值范围是________．考点：考查函数图象的读图及函数求值问题，考查恒成立问题等知识．分析：通过分析题意，把问题转化为x 轴上区间的长度问题，寻找满足条件的临界值．解析：(方法1)由题中图象知f (x )为奇函数，当x ≤－2a 或x ≥2a 时，f (x )为增函数，要使∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)成立，因为f (4a )＝f (－2a )＝a ，故只需4a －(－2a )<1，即a <16.又a 为正实数，故a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，16. (方法2)“∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝f (x －1)的图象的上方”，函数y ＝f (x －1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16 点评：熟练掌握函数图象的作图、识图、用图，灵活运用数形结合、等价转化的思想方法及正确理解题意是解题的关键．规律总结函数性质的综合是高考重点考查对象，主要考查函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及给出新定义性质等．其中函数单调性往往结合导数在一起以解答题形式来考查．变式训练【4－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：易判断f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2. ∵f ′(x )＝11＋x ＋2x （1＋x 2）2>0，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数，∴不等式可化为f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，即3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.答案：A(见学生用书P 11)例 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32 考场错解：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期．设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋2，即f (x )在[0，1]上也是增函数．又∵sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12. 故选A 项．专家把脉：上面解答错在由f (x )＝f (－x )得f (x )＝x ＋2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图象不熟悉．对症下药：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2.∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[0，1]上是减函数．A ：sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12； B ：sin π3>cos π3⇒f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3； C ：sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)；D ：sin 32>cos 32⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32. 故正确答案为C.(见学生用书P 151)一、选择题1．(2013·广东卷)函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0， 解得x >－1且x ≠1.∴函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是(－1，1)∪(1，＋∞)． 答案：C2．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：由已知可知x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D.答案：D3．(2014·雅礼二模)已知f (x )＝a （x －1）（x －3）(a <0)，定义域为D ，任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：要使函数有意义，则a (x －1)(x －3)≥0.∵a <0，∴(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3，∴定义域D ＝[1，3]．∵任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2.∵f (1)＝f (3)＝0，∴函数的最大值为2，即a (x －1)(x －3)的最大值为4.设g (x )＝a (x －1)(x －3)＝ax 2－4ax ＋3a ，∴当x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝－a ＝4，即a ＝－4.答案：D4．(2015·河北唐山上学期期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴ ⎩⎨⎧a <12，a ≥－1，∴ －1≤a <12.故选C.答案：C5．(2014·福建卷)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，则按照图象顺序对函数序号排序正确的一组是( )A ．①④③②B ．④①②③C ．①④②③D ．③④②①解析：分析函数的解析式，可得：①y ＝x ·sin x 为偶函数；②y ＝x ·cos x 为奇函数；③y ＝x ·|cos x |为奇函数；④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数．且当x <0时，③y ＝x ·|cos x |≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③.答案：C6．(2015·湖北武汉模拟)若不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[－2，2]C ．(－∞，－2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞ 解析：不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立等价于|x |2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |. 令t ＝|x |，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (t )＝t ＋1t . ∵g (t )在⎝⎛⎦⎥⎤0，12单调递减． ∴g (t )≥12＋2＝52，故－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－52， 所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞. 答案：D7．(2014·兰州、张掖联考)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A ．－1<k ≤－12B ．k <1C.12≤k <1D ．k >－1 解析：函数f (x )的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增．依题可知在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.答案：A8．(2014·岳阳二模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)解析：∵y ＝f (x ＋a )是偶函数，∴f (－x ＋a )＝f (x ＋a )，∴f (x )关于x ＝a 对称．∵偶函数在(－∞，a )上是增函数，∴在(a ，＋∞)上是减函数．∵x 1<a ，x 2>a ，|x 1－a |<|x 2－a |，∴去掉绝对值得a －x 1<x 2－a ，即2a －x 1<x 2，且2a －x 1>a ，x 2>a .由(a ，＋∞)上是减函数知f (2a －x 1)>f (x 2)．∵f (x )关于x ＝a 对称，∴f (2a －x 1)＝f (x 1)，∴f (x 1)>f (x 2)．答案：A二、填空题9．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以f (x )max ＋f (x )min ＝2.故M ＋m ＝2.答案：210．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的整数解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于______．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，其图象如图所示．由图易得函数的值域为(0，＋∞)．令t ＝f (x )，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0，可化为t 2＋bt ＋c ＝0.若此方程无正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0无根；若此方程有一个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有两根；若此方程有一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有三根；此时t ＝f (x )＝1，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2，∴x 21＋x 22＋x 23＝5；若此方程有两个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有四根；若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有五根．综上x 21＋x 22＋x 23＝5.答案：511．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝__________．解析：由于f (1)＝e 1－1＝1，再根据f (1)＋f (a )＝2⇒f (a )＝1.当a >0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1⇒a 2＝12⇒a ＝±22，由于－1<a <0，得出a ＝－22.故a ＝1或－22.答案：1或－2212．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，∴当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0等价为f （x 1）－f （－x 2）x 1－（－x 2）>0， ∴函数f (x )在[－1，1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )的最小值为f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立， 即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1，1]恒成立，∴m 2－2am －3≤0.设g (a )＝m 2－2am －3，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝m 2＋2m －3≤0，g （1）＝m 2－2m －3≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3， ∴－1≤m ≤1.即实数m 的取值范围是[－1，1]． 答案：[－1，1]——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。
高考数学二轮复习专题检测(二十二) 函数的图象与性质
专题检测(二十二) 函数的图象与性质[A 组——考点落实练]1．(2020·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log3x ，x ＞0，x2，x≤0，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D f (－3)＝3，则f (f (－3))＝f (3)＝log 33＝1，故选D.2．(2020·开封市模拟考试)已知定义在[m －5，1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x ＞0时，f (x )＝2x－1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．15解析：选A 由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x ＞0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.3．已知函数f (x )＝1ex ＋1－12，则f (x )是( )A ．奇函数，且在R 上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数，且在R 上是减函数D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C 由函数解析式可知函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝1e －x ＋1－12＝ex ex ＋1－12＝ex ＋1－1ex ＋1－12＝12－1ex ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．又函数y ＝e x ＋1是增函数，可知函数f (x )＝1ex ＋1－12是减函数．故选C.4．(2020·南充模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选C ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4.又f (x )是 R 上的偶函数，且x ∈[－2，0]时，f (x )＝－2x ，∴f (1)＝f (－1)＝－2－1＝－12，f (4)＝f (0)＝－20＝－1，∴f (1)＋f (4)＝－32.故选C.5．(2020·广州市阶段训练)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－3或x >0}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <－2或x >0}D ．{x |x <2或x >4}解析：选C 由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)＝1，所以由f (x ＋2)>1得x ＋2>2或x ＋2<0，解得x >0或x <－2，故选C.6．(2020·合肥教学检测)函数y ＝2x －2－x|x|－cos x的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝2x －2－x|x|－cos x ，则f (－x )＝2－x －2x|－x|－cos （－x ）＝－2x －2－x|x|－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除D.当x ∈(－1，1)时，必存在x 0，使得|x 0|＝cos x 0，此时分母没有意义，故排除B.若x 0＞0，则当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜0，排除C.故选A.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x3－12x2，x ＜0，ex ，x≥0，则f (3－x 2)＞f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3，1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析：选B 当x ＜0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x ＜0，∴f ′(x )＞0，f (x )单调递增，且x ―→0时，f (x )―→0， ∴f (x )＜0，当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1，因此可得f (x )单调递增，∴f (3－x 2)＞f (2x )可转化为3－x 2＞2x ， 解得－3＜x ＜1，故选B.8．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，作出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 9．(多选)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2（x －1），x>1，⎝⎛⎭⎫12x ，x≤1，则下列结论正确的是( )A ．f (f (1))＝22B ．f (f (－1))＝12C ．f (f (0))＝12D ．f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫2 0202 019＝2 019 解析：选ACD f (f (1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，选项A 正确；f (f (－1))＝f (2)＝0≠12，选项B 不正确；f (f (0))＝f (1)＝12，选项C 正确；f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫2 0202 019＝f ⎝⎛⎭⎫log212 019＝⎝⎛⎭⎫12log212 019＝2log22 019＝2 019，选项D 正确．10．(多选)下列各函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充要条件的是( ) A ．f (x )＝tan x B ．f (x )＝3x －3－x C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝log 3|x |解析：选BC 因为f (x )＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f (x 1)＋f (x 2)＝0，但是f ⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，此时π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f (x )＝3x －3－x 和f (x )＝x 3均为单调递增的奇函数，所以“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f (x )＝log 3|x |的图象易知不符合题意，故选B 、C.11．(多选)如果定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13xC ．f (x )＝x 3－3xD ．f (x )＝x |x |解析：选BD 根据题意，对于任意的不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数．对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由指数函数性质可得f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≥0，－x2，x ＜0，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意，故选B 、D.12．(多选)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则下列说法正确的是( )A ．函数y ＝f (x )是偶函数B ．对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)C ．函数y ＝f (x )在区间[2，3]上单调递减D ．函数y ＝f (x )的值域是[0，1]解析：选AB 当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A (即(－1，0))为圆心，1为半径的14圆；当－1<x ≤1时，P 的轨迹是以B (即(0，0))为圆心，2为半径的14圆；当1<x ≤2时，P 的轨迹是以C (即(1，0))为圆心，1为半径的14圆；当2<x ≤3时，P 的轨迹是以A (即(3，0))为圆心，1为半径的14圆．所以函数f (x )的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以A 正确；因为f (x )的周期为4，所以B 正确；函数f (x )在[2，3]上单调递增，所以C 不正确；函数f (x )的值域为[0，2]，所以D 不正确，故选A 、B.13．若函数f (x )＝x2（ex ＋m ）ex －1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．解析：由函数f (x )＝x2（ex ＋m ）ex －1是奇函数，可知f (－1)＝－f (1)，即1e＋m 1e －1＝－e ＋m e －1，解得m ＝1.答案：114．已知函数f (x )在(－1，1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是________．解析：由已知得f (3x －2)<f (x －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<3x －2<1，－1<x －1<1，解得12<x<13x －2>x －1，. 答案：⎝⎛⎭⎫12，115．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x>1，ex －2，x≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x>1，ex －2，x≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)16．(2020·南充市第一次适应性考试)已知函数f (x )＝xex ＋x ＋2ex ＋1＋sin x ，则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．解析：f (x )＝xex ＋x ＋2ex ＋1＋sin x ＝x （ex ＋1）＋2ex ＋1＋sin x ＝2ex ＋1＋x ＋sin x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2ex ex ＋1－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2ex ＋1＋2ex ex ＋1＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11.答案：11[B 组——小题提速练]1．(2020·江西五校联考)已知函数f (x )＝ln|x |＋x 2，将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象大致为( )解析：选D 因为f (x )＝ln|x |＋x 2，所以f (－x )＝ln|－x |＋(－x )2＝ln|x |＋x 2＝f (x )，故f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，故g (x )的图象关于直线x ＝－1对称，排除B 、C.当x >0时，f (x )＝ln x ＋x 2，f ′(x )＝1x ＋2x >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故g (x )在(－1，＋∞)上单调递增，排除A.故选D.2．(2020·湖北百校联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且f (x )的图象关于点(3，0)对称，当1≤x ≤2时，f (x )＝2x ＋log 3(4x ＋3)，则f ⎝⎛⎭⎫1 6092＝( )A ．－4B ．4C ．－5D ．5解析：选C 因为f (x )的图象关于点(3，0)对称，所以f (x )＋f (6－x )＝0.又f (x )＝f (2－x )，所以f (2－x )＋f (6－x )＝0，则f (x )＝－f (x ＋4)，即f (x )＝f (x ＋8)． 所以f ⎝⎛⎭⎫1 6092＝f ⎝⎛⎭⎫92＋100×8＝f ⎝⎛⎭⎫92. 因为f ⎝⎛⎭⎫92＋f ⎝⎛⎭⎫6－92＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫92＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－(3＋log 39)＝－5， 所以f ⎝⎛⎭⎫1 6092＝－5.故选C.3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④解析：选C 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数； 对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数； 对于函数φ(x )＝ln x 的图象只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，故选C.4．(多选)(2020·河南浉河区模拟)将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g (x )的图象，则下列函数f (x )不能满足条件的是( )A ．f (x )＝1x ＋1B ．f (x )＝e x －1－e 1－x C ．f (x )＝x ＋2xD ．f (x )＝log 2(x ＋1)＋1解析：选ACD 由题意知f (x )必须满足两个条件：①f (1)＝0，②f (1＋x )＝－f (1－x )．对于选项A 、C 、D ，f (1)均不为0，不满足条件；对于选项B ，f (1)＝e 0－e 0＝0，f (1＋x )＝e x －e －x ，f (1－x )＝e －x －e x ＝－f (1＋x )，满足条件．故选A 、C 、D.5.如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点A 的坐标为(0，1)，一动点M 从A 开始逆时针绕圆匀速运动一周，记AM ︵的长为x ，直线AM 与x 轴交于点N (t ，0)，则函数t ＝f (x )的图象大致是( )解析：选D 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，t ∈(－∞，0)，且函数t ＝f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，t ∈(0，＋∞)，且函数t ＝f (x )单调递增，所以排除选项A 、C.已知圆C 的周长为1，则半径为12π，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，连接CM (图略)，设∠ACM ＝θ(0<θ<π)，则x ＝θ·12π⎝⎛⎭⎫0<x<12，又∠CAM ＝∠CMA ＝π－θ2，所以tan ∠CAM ＝|ON||OA|＝－t 1，则t ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝－1tanθ2＝－1tan （πx ）⎝⎛⎭⎫0<x<12，当x ―→0时，t ―→－∞，排除选项B ，故选D.6．(2020·吉林调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x≥1，1－x ，x<1，则f (f (0))＝________，若f (m )>1，则实数m 的取值范围是________．解析：f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x≥1，1－x ，x<1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1)．若f (m )>1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞)．答案：0 (－∞，0)∪(e ，＋∞)7．(2020·四省八校第二次质量检测)对任意实数x ，以[x ]表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如[4.2]＝4，[－7.6]＝－8等．定义{x }＝x －[x ]，称它为x 的小数部分，如{3.1}＝0.1，{－7.6}＝0.4等．若直线kx ＋y －k ＝0与y ＝{x }的图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．解析：根据题意，作出函数y ＝{x }的图象如图所示，直线kx ＋y －k ＝0过定点(1，0)，当直线kx ＋y －k ＝0过点(6，1)时，－k ＝15⇒k ＝－15，当直线kx ＋y －k ＝0过点(5，1)时，－k ＝14⇒k ＝－14，结合图象知k ∈⎝⎛⎦⎤－14，－15，同理可得k ∈⎣⎡⎭⎫13，12时也满足题意，所以k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－14，－15∪⎣⎡⎭⎫13，12.答案：⎝⎛⎦⎤－14，－15∪⎣⎡⎭⎫13，12 8．若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P (x 1，f (x 1))，总存在点P ′(x 2，f (x 2))也在y ＝f (x )图象上，使得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”．给出下列四个函数：①y ＝x －1；②y ＝e x －2；③y ＝ln x ；④y ＝1－x2(其中e 为自然对数底数)．其中是“特殊对点函数”的序号是________(写出所有正确的序号)．解析：由P (x 1，f (x 1))，P ′(x 2，f (x 2))满足x 1x 2＋f (x 1)·f (x 2)＝0，知OP ―→·OP′―→＝0，即OP ―→⊥OP′―→.①y ＝x －1.当P (1，1)时，由图象知满足OP ―→⊥OP′―→的点P ′(x 2，f (x 2))不在y ＝x－1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”；②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x －2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”；③y ＝ln x ．当P (1，0)时，满足OP ―→⊥OP′―→的点不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”；④y ＝1－x2.作出函数y ＝1－x2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”．答案：②④。
高三数学 高考板块命题点专练二函数的图象和性质 试题
卜人入州八九几市潮王学校函数的图象和性质1．(2021·高考)函数f(x)＝的定义域为()A. B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)2．(2021·高考)函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，假设f[g(1)]＝1，那么a＝()A．1 B．2C．3 D．－13．(2021·高考)以下函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x4．(2021·高考)设函数f(x)＝假设f(f(a))≤2，那么实数a的取值范围是________.1．(2021·高考)以下函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x2．(2021·高考)f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．33．(2021·高考)以下函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)〞的单调递增函数是()A．f(x)＝x B．f(x)＝x3C．f(x)＝x D．f(x)＝3x4．(2021·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数5．(2021·高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝那么f＝________.6．(2021·全国卷Ⅱ)偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，ff(x－1)>0，那么x的取值范围是________.1．(2021·高考)函数f(x)＝那么以下结论正确的选项是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)2．(2021·高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，那么f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1 D.e－x－13．(2021·高考)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A．3 B．2C．1 D．04．(2021·高考)函数y＝的图象大致是()5．(2021·高考)函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，那么实数k的取值范围是________________．答案1．选C由题意可知x满足(log2x)2－1>0，即log2x>1或者log2x<－1，解得x>2或者0<x<，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．2．选A因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.3．选C对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝，当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.4．f(x)的图象如图，由图象知．满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，a≤.答案：(－∞，]1．选A因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝在(－∞，0)上是单调递增的，又y＝为偶函数，故A对；y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；y＝x3为奇函数，故C错；y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．选A.2．选C用“－x〞代替“x〞，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，应选C.3．选D根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．4．选C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，应选C.5．解析：f＝f＝f＝－4×2＋2＝1.答案：16．解析：由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0，f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，假设f(x－1)>0，那么－1<x<3.答案：(－1,3)1.选D函数f(x)＝的图象如下列图，由图象知只有D正确．2．选D与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.3．选B在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如下列图．∵f(2)＝2ln2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，应选B.4．选C因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，应选C.5．解析：因为函数y＝＝又函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<k<1或者1<k<4.答案：(0,1)∪(1,4)。
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专题检测（二） 函数的图象与性质（“12+4”提速练）一、选择题 1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[0，1)2．(2016·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|3．(2016·沈阳质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9 C.19D ．94．(2016·赣中南五校联考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( )A ．5B ．1C ．－1D ．－35．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4 D.12 0166．(2016·湖北七市联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥T ，T ，f （x ）<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋17．(2016·江西两市联考)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )8．(2016·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．19．(2016·湖北枣阳模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( )A ．f (x －a )一定为奇函数B ．f (x －a )一定为偶函数C ．f (x ＋a )一定为奇函数D ．f (x ＋a )一定为偶函数10．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，当任意x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )11．已知函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017＋1＋2 017sin x 在x ∈[－t ，t ]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为( )A ．0B ．4 036C ．4 032D ．4 03812．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－2，1) D ．(1，2) 二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．14．(2016·南昌一模)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |. 其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．15．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．16．如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．给出下列命题：①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2 015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数．其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．答 案1. 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．2. 解析：选B A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3. 解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.4. 解析：选A ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6，∴f (－3)＝－6，∴9－3a ＝－6.解得a ＝5.故选A.5. 解析：选C 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C .6. 解析：选C 由题意得，f (e)＝e －1<2，∴f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，∴f 3[f 2(e )]＝3，故选C.7. 解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋向于－∞时，e x趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.8. 解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.9. 解析：选D 由条件可知f (a )＝1，则x ＝a 是f (x )的一条对称轴．又y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到的，所以y ＝f (x ＋a )关于x ＝0对称，即y ＝f (x ＋a )为偶函数，故选D.10. 解析：选D 依题意，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，则f (a )＝f (－a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1π＝f (ln π)，f (c )＝f (ln π)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln π，而0<12ln π<ln π<(ln π)2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]，即f (c )>f (a )>f (b )，故选D.11. 解析：选B 记g (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017x＋1， 则g (x )＝2 017（2 017x＋1）＋22 017x ＋1＝2 017＋22 017x＋1， 记p (x )＝22 017x＋1， 则p (－x )＝22 017－x ＋1＝2×2 017x2 017x＋1. 因为函数y ＝2 017sin x 是奇函数，它在[－t ，t ]上的最大值与最小值互为相反数，所以最大值与最小值的和为0.又因为y ＝2 017x＋1是[－t ，t ]上的增函数，所以M ＋N ＝2 017＋2×2 017t2 017t ＋1＋2 017＋22 017t＋1＝4 036，故选B. 12. 解析：选C 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x ＞0，作出函数f (x )的图象：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )， 所以2－x 2>x ， 解得－2<x <1，故选C.13. 解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0<1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln 1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14. 解析：分析题意易知①③中的函数在(0，1)内单调递增，不满足题意，②④中的函数在(0，1)内单调递减，满足题意．答案：②④15. 解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1，1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－2516. 解析：①因为sin(x ＋π)＝－sin x ＝sin(－x )，所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”，所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1，所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，即f (2－x )＝f (2＋x )，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )，所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减，根据偶函数的对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确；④因为y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确．答案：①③④。