自主创新实验方案设计

自主创新实验方案设计
动力工程学院热能与动力工程专业
二○○○级六班马卫东
指导教师张新铭
2003年7月
“热水比冷水结冰快”的经典“问题”实验
（Erasto Mpemba问题）
一、 实验目的
1. 证明或者推翻“热水比冷水先结冰”的说法
2. 探寻实验模型的非稳态导热机理
二、 实验原理
非稳态导热可分为两个阶段：
（1）非正规状况阶段这一阶段温度分布呈现出主要受初始温度分布控制的特性。

（2）正规状况阶段当过程进行到一定深度时，初温分布的影响逐渐消失，物体中不同时刻的温度分布主要取决于边界条件及物性。

首先通过测定水温随时间的变化，从而验证热水是否比冷水先结冰。

进而利用所测得的数据，运用导热、对流传热、辐射、表面蒸发等原理来分析传热的内在机理。

图1 实验台模型
图2 测点布置
三、 实验器材
两个圆柱状玻璃杯、ADC模块、热敏电阻、游标卡尺、温度计、量杯（或量筒）
四、实验过程
方案如下：利用两个开口的玻璃杯，测温点布置在水面中心
（1）测量杯子的直径、壁厚和高，计算出杯子的体积
（2）测出冰箱冷冻室的温度t f
（3）查出水的密度ρ1，比热容c1，导热系数λ1；玻璃杯的密度ρ2，比热容c2，导热系数λ2。

（4）将不同初温的两杯水放入冰箱，每隔一分钟分别记录下两杯水的温度，直到两杯水的温度都达到0℃。

（5）画出水温随时间变化曲线图。

（6）改变水的初温，重复上述步骤
（7）将测温点布置在杯子的中心处，重复上述步骤
（8）将测温点布置在杯子的杯壁处，重复步骤（1）-（5）
（9）将杯子盖住，重复步骤（1）-（7）
（10）变动杯子的尺寸，重复步骤（1）-（8）
（11）利用两个塑料杯，重复步骤（1）-（9）
五、实验记录
1. 实验验证原始记录
冰箱温度：三星级：-18℃四星级：-24℃
①日期：2003.8.10.
现象：水面覆盖一层薄冰
结论：杯2先结冰
②日期：2003.8.10.
现象：水面覆盖一层薄冰
结论：杯2先结冰
③日期：2003.8.11.
现象：水面覆盖一层薄冰
结论：杯2先结冰
④日期：2003.8.11.
现象：水面覆盖一层薄冰
结论：杯2先结冰
分析：初温较高，但结冰用时较短，原因是冰箱制冷时间较长，冷冻室温度较低⑤日期：2003.8.13.
现象：杯2中的冰稍厚，且杯1中的蒸发量稍大于杯2
结论：杯2先结冰
分析：此次结冰时间较长，主要是因为频繁打开冷冻室的门，使得冷冻室温度不恒定且较高，还与杯子加盖有很大关系。

六、实验结果及分析
1. 从实验中可以看到，首先在水的表面结冰，接着紧贴杯壁处开始结冰，最后向杯子的中心扩展。

在这个过程中，冰箱冷冻室的温度高低与稳定与否对传热有明显的影响，当杯子加盖后，结冰时间也明显延长，说明表面蒸发也是影响传热的重要因素。

通过上面的初步验证可以得出，以下因素对传热有很大影响：
①冰箱冷冻室的温度t f
②水的表面是否存在蒸发
③水的初温
④导热热阻（杯子的材料、厚度、大小）
2. 由于观察的不准确性和实验器材的误差，使得实验很不精确，也可能存在较大误差，在接下来的实验中，利用比较精密的仪器（如热电偶），通过对水结冰过程的实时监测，相信一定能得到令人满意的结果。

3. 热电偶的冷端置于冰水混合物中，另一端为测温端可与待测物体相接触，此时用电位差计测出其温差电动势，便可确定待测点的温度t（t =ε/α+t0）铜-康铜(60%Cu+40%Ni) : α公认=
4.25 ×10-2 mv/℃
七、进一步的探索（数值求解）
结冰过程是一个复杂的相变过程，由于其几何条件、初始条件和边界条件的复杂性，给问题的直接求解带来了一定的难度，所以拟采用有限差分的数值方法对圆桶内结冰的传热问题进行数值求解。

实际上，水在冰箱中的传热受到对流和辐射等因素的影响，因此，其传热过程实际上是一个很复杂的三维问题。

为了简化问题，在这里忽略水和冰的温度随轴向坐标和方位角的变化，并且认为：冰箱内的初始温度均匀一致，为一常数T0＜0；T ph为水的相变温度：还假定在极短的时间内壁面温度达到T w＝C(常数)＜T ph，壁面开始结冰，并与水进行热交换；管内换热系数为一常数a0；冷却时，水的显热忽略不计；水在相变过程中密度的变化亦忽略不计；此外，忽略管壁热阻，且认为各相中介质的物理参数分别为常数，这样简化后，就成为一个轴对称的一维相变问题。

根据上面对实际问题的简化，可以选择一维柱坐标系进行描述。

(1)导热及相界面的热平衡
①导热方程：
在一维轴对称的圆柱坐标中非稳态导热问题的控制为：
固相区：
2
2
1
(
s
Ts Ts Ts
a
t R R
∂∂∂
=+)
R
∂∂∂
（1a）
液相区：
2
2
1
(
L L
L
T T
a
t R R
∂∂∂
=+)L
T
R
∂∂∂
（1b）
②相界面的热平衡：
控制容积内的相界面的热平衡方程为：
ph s L s
ph L ph ph i dR T T
R R Q R R d λλρ∂∂=+∂∂t
（2）
这里R ph 为冰层厚度，下标S ，L 分别表示固相和液相，Q ph 为相变潜热，d R ph /d t 表示界面移动速度。

③焓法数学模型的建立
根据Shamsundar 和Sparrow(1975)提出的热焓模型，将热焓作为待求参数，就能将式(1)和(2)合并写成如下统一的表达式：
221(h T t R R ρλ∂∂∂=+∂∂∂)T R
（3）
式中：
**,(,),s b
s L L
L h h h h ρλρλρλ⎡⎤
<=⎢
⎥<⎣⎦
以及
**
***()/0
()/s s
s ph s L
L L
L
h h C h h T T h h h h h C h h *⎡⎤−<⎢
⎥−=≤≤⎢⎥⎢⎥−>⎣⎦
（4）
式中的T ph 为相变温度，ρ，λ，C 分别为密度，导热系数、比热容，角标*表示相变时的饱和参数。

由于直接以焓作为待求变量，而不是以温度来建立能量守恒方程，因此式(3)对包括固相、液相以及相界面在内的整个求解区域都是适用的。

而且，不必直接去求解式(2)表示的相界面能量方程和由它来确定的界面位置。

因为当发生相变时，热焓将固相值变到液相值，或由液相值变为固相值，所以界面的位置就可根据焓值的大小由式(4)来确定，从而使数值求解较为简便。

（2）控制组的无量纲化：
定义无量纲量如下： 无量纲焓：*
()s L w h h C Tph T φ−=−；
无量纲温度：ph w
T T u T T −=
−
无量纲半径：0
R r R = 无量纲时间：2D o
at
F R τ=
= 无量纲潜热：1()
ph L ph w te
Q C T T S ε=
=− 式中T ph 和T w 分别为相变温度和管壁温度，S te 为斯蒂芬数，F D 为傅里叶数：则方程(3)可化成：
22
11()u u r r r r r r r φτ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂i u
+
（5）
和 00
0u φ
φφεφε
φε<⎡⎤
⎢⎥=≤⎢⎥⎢⎥−>⎣⎦
≤ （6）
相应的初始条件和边界条件分别为：
τ＝0时，o p ph w
T T u T T −=
h − ， u φε=+
τ＝1时，u ＝-1 ph o
R r R =
时，U ＝0 （7）
(3)控制方程的离散化及求解
采用有限差分法对控制进行离散化，空间变量采用中心差分，时间变量采用前差，则式(5)、(6)、(7)可化成：
1
10.50.512111n n
n n
n j
j
j L j j r b u u j r j r φ
φ++⎡⎤⎛⎞⎛⎞∆=++−+−⎢⎥⎜⎟⎜⎟+∆+∆⎝⎠⎝⎠⎣⎦
r u −∆n j
（8）
和
,
000n n j j n j n n j j u φφφεφεφε⎡⎤
<⎢=≤⎢
⎢⎥−>⎣⎦
⎥
≤⎥ （9）
j ＝1，2，3……m ；n ＝1，2，3……； 及
o p o j ph o
T T u T T h −=
−
o o j j u φε=+
1n o u =−
（10）
对上面推导出的离散方程和边值条件，直接采用有限差分的显式格式，计算时不需作多次迭代，但由于显式格式存在稳定性问题，所以选择步长时必须满足稳定性条件当
2
0.5t
R α∆<∆，这里取∆t =0.4s ，∆R ＝0.1mm,计算总时间为2h ，计算区
域R ∞＝80mm 。

由于时间有限，剩下的求解问题就留待后面的同学继续做进一步的研究。