2017-2018年浙江省湖州市吴兴区九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年浙江省湖州市吴兴区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为4，若点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．以上都不对2．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A．任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播B．三角形任意两边之和大于第三边C．a是实数，|a|≥0D．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球3．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+34．（3分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上．若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（）A．52°B．40°C．26°D．45°5．（3分）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（）A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①6．（3分）现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）A．9 B．12 C．15 D．188．（3分）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣9．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．35°B．55°C．65°D．70°10．（3分）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当函数y=cx2﹣bx+a的图象在x轴上方时，x的取值范围为（）A．﹣ B．C．x或x D．x或x二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标为．12．（4分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为80m，圆周角∠C=45°．则这个人工湖的直径为．13．（4分）已知（﹣1，y1），（3，y2）是抛物线y=x2+4x+m图象上的点，请将y1，y2用“＜”号连接．14．（4分）如图，在4×4的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，以点A、点B为顶点，再从C、D、E、F四点中任取一点作为第三个顶点画三角形，则所画三角形为等腰三角形的概率是．15．（4分）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若+=+，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为．16．（4分）如图抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点C在y轴负半轴上，也在正方形ADEB的边上，已知正方形ADEB的边长为2，若正方形FGMN的顶点F、G落在x轴上，顶点M、N落在图中的抛物线上，则正方形FGMN的边长为．三、解答题：（本题有8个小题，共66分）17．（6分）已知二次函数y=ax2+bx+c，当x取1时，函数有最大值为3，且函数的图象经过点（﹣2，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出函数值y大于零时x的取值范围．18．（6分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm19．（6分）株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系（如图1），小明暑假旅游时，来到五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，发现可以将余下的8根支柱的高度都算出来了，请你求出中柱左边第二根支柱CD的高度．20．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是；（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．21．（8分）已知二次函数y=x2﹣6x+5的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧中点．（1）求证：OP∥BC．（2）连接PC交直径AB于点D，当OC=DC时，求∠A的度数．23．（10分）为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？24．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0），与y 轴交于C（0，3），顶点是G．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标G．（2）如图1，点D（x，y）是线段BG上的动点（不与B，G重合），DE⊥x轴于E，设四边形OEDC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值．（3）如图2，将抛物线y=ax2+bx+c向下平移k个单位，平移后的顶点式G′，与x轴的交点是A′，B′．若△A′B′G′是锐角三角形，求k的取值范围．2017-2018学年浙江省湖州市吴兴区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为4，若点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．以上都不对【解答】解：根据点到圆心的距离5，大于圆的半径4，则该点在圆外．故选：C．2．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A．任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播B．三角形任意两边之和大于第三边C．a是实数，|a|≥0D．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故B不符合题意；C、a是实数，|a|≥0是必然事件，故C不符合题意；D、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，故D不符合题意；故选：A．3．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．4．（3分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上．若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（）A．52°B．40°C．26°D．45°【解答】解：∵OD⊥AB，∴=，∴∠DEB=∠AOD=26°，即∠DEB的度数为26°；故选：C．5．（3分）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（）A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①【解答】解：1图中指针落在阴影区域内的概率=，2图中指针落在阴影区域内的概率==，3图中指针落在阴影区域内的概率=，4图中指针落在阴影区域内的概率=，所以指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为①②④③．故选：A．6．（3分）现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：同圆中等弧对等弦，所以①正确；在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧长也相等，所以②错误；不共线的三点确定一个圆，所以③错误；平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，所以④正确．故选：B．7．（3分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）A．9 B．12 C．15 D．18【解答】解：由题意可得，×100%=20%，解得，a=12．故选：B．8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c 中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．35°B．55°C．65°D．70°【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，∴∠ABC=55°，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55°，∠B′CA′=∠ACB=90°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠B′=55°，∴∠α=70°，故选：D．10．（3分）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当函数y=cx2﹣bx+a的图象在x轴上方时，x的取值范围为（）A．﹣ B．C．x或x D．x或x【解答】解：由图象得：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点为：（﹣3，0），（4，0），设解析式为：y=a（x+3）（x﹣4），则y=ax2﹣ax﹣12a，即b=﹣a，c=﹣12a，∴函数y=cx2﹣bx+a可变形为：y=﹣12ax2+ax+a，当y=0时，﹣12ax2+ax+a=0，x1=，x2=﹣，∵a＜0，∴﹣12a＞0，∴当函数y=cx2﹣bx+a的图象在x轴上方时，x的取值范围为：x＜﹣或x＞；故选：C．二、填空题：（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标为（3，﹣1）．【解答】解：∵二次函数y=2（x﹣3）2﹣1是顶点式，∴顶点坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．12．（4分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为80m，圆周角∠C=45°．则这个人工湖的直径为80m．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∵∠D=∠ACB=45°，∴AD==80（m）．即这个人工湖的直径为80m．故答案为：80m．13．（4分）已知（﹣1，y1），（3，y2）是抛物线y=x2+4x+m图象上的点，请将y1，y2用“＜”号连接y1＜y2．【解答】解：抛物线y=x2+4x+m的开口向上，对称轴为x=﹣=﹣2，∵（﹣1，y1），（3，y2）两点中，点（﹣1，y1）离对称轴最近，点（3，y2）离对称轴最远，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．14．（4分）如图，在4×4的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，以点A、点B为顶点，再从C、D、E、F四点中任取一点作为第三个顶点画三角形，则所画三角形为等腰三角形的概率是．【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取C、D、F点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；故答案为．15．（4分）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若+=+，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为2．【解答】解：∵+=+，∴弧AB，CD就是一个半圆弧，则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径，∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，∴AD′=CD=4，在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′==4，∴OB=2，故答案是：2．16．（4分）如图抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点C在y轴负半轴上，也在正方形ADEB的边上，已知正方形ADEB的边长为2，若正方形FGMN的顶点F、G落在x轴上，顶点M、N落在图中的抛物线上，则正方形FGMN的边长为﹣1+．【解答】解：∵正方形ABCD边长为2，∴顶点坐标为：（0，﹣2），B（1，0），设抛物线解析式为：y=ax2﹣2，将B点代入得，0=a﹣2，解得a=2，∴抛物线解析式为：y=2x2﹣2设N点坐标为：（m，2m2﹣2），则2m=﹣2m2+2，解得：m1=，m2=（不合题意舍去），∴正方形EFGH的边长FG=2m=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：（本题有8个小题，共66分）17．（6分）已知二次函数y=ax2+bx+c，当x取1时，函数有最大值为3，且函数的图象经过点（﹣2，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出函数值y大于零时x的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设y=a（x﹣1）2+3，把（﹣2，0）代入解析式，得9a+3=0，解得：a=﹣，∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+3；（2）当y=0时，﹣（x﹣1）2+3=0，解得：x=﹣2或x=4，∵抛物线开口向下，∴当y＞0时，x的取值范围是：﹣2＜x＜4．18．（6分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，∵OF过圆心，∵DE=8cm，∴EF=DE=4cm，∵OC=5cm，∴OE=5cm，∴OF===3cm．故选：C．19．（6分）株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系（如图1），小明暑假旅游时，来到五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，发现可以将余下的8根支柱的高度都算出来了，请你求出中柱左边第二根支柱CD的高度．【解答】解：根据题目条件B的坐标是（10，﹣10），设抛物线的解析式为y=ax2，将B的坐标代入y=ax2，得﹣10=100a解得：a=﹣0.1．所以抛物线的表达式y=﹣0.1x2．可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y），于是y=﹣0.1×42=﹣1.6，∴中柱右边第二根支柱的高度是：10﹣1.6=8.4（米）．答：中柱左边第二根支柱CD的高度为8.4米．20．（8分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是；（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．【解答】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：=；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，所以他们恰好选择同一岗位的概率：=．21．（8分）已知二次函数y=x2﹣6x+5的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，可得x2﹣6x+5=0，解得x=1或x=5，∴点A（1，0），B（5，0），令x=0，得y=5，∴点C（0，5），∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴点D（3，﹣4），=S△ABC+S△ABD=×4×5+×4×4=18；∴S四边形ACBD（2）∵△ABP的面积是△ABC的面积的2倍，且两个三角形底边相同，∴|y P|=|y C|=10，∵y=﹣4，最小∴y P=10，在y=x2﹣6x+5中，令y=10，整理可得x2﹣6x﹣5=0，解得x=3+或x=3﹣，∴P点坐标为（3+，10）或（3﹣，10）．22．（8分）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧中点．（1）求证：OP∥BC．（2）连接PC交直径AB于点D，当OC=DC时，求∠A的度数．【解答】（1）证明：连接AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是优弧的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：连接AC，延长PO交AC于H，如图2，∵P是优弧的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当CO=CD时，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x．在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=，即∠PAO=，∠A的度数为．23．（10分）为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【解答】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）由题意得，W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元，（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，3000≤x≤4000．又∵x≤28，∴当20≤x≤28时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=28时，p有最小值440元．即销售单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价最少为440元．24．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0），与y 轴交于C（0，3），顶点是G．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标G．（2）如图1，点D（x，y）是线段BG上的动点（不与B，G重合），DE⊥x轴于E，设四边形OEDC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值．（3）如图2，将抛物线y=ax2+bx+c向下平移k个单位，平移后的顶点式G′，与x轴的交点是A′，B′．若△A′B′G′是锐角三角形，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0）∴设二次函数为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入y=a（x+1）（x﹣3），∴a=﹣1，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣（x+1）2+4，∴G（﹣1，4）．（2）设直线BG解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0），G（﹣1，4）代入得解得，∴y=2x+6设D（x，2x+6）∴S=•（DE+OC）•OE=﹣x2﹣x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时S最大值=．（3）设平移后的抛物线为y=﹣（x+1）2+k，且此时△A’B’G’为直角三角形∵G′（1，k），又∵△A’B’G’为直角三角形∴B′（﹣1﹣k，0），A′（﹣1+k，0），将点A′或B′的坐标代入得：k2﹣k=0，∴k=1或0（舍弃），∴y=﹣（x+1）2+1，由y=﹣（x+1）2+4得到y=﹣（x+1）2+1，需要向下平移3个单位∴0≤k＜3．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。