第一章第四节 基本不等式
第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
举例说明不等式的形式，如a > b、a ≤b 等。
1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。
性质2：如果a > b 且c > d，a + c > b + d。
性质3：如果a > b 且c < d，a + c < b + d。
性质4：如果a > b，a c > b c（其中c 是任意实数）。
第二章：不等式的运算2.1 加减法不等式介绍加减法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，a + c > b + c；a > b 且c < 0，a + c < b + c。
举例说明如何解决涉及加减法的不等式问题。
2.2 乘除法不等式介绍乘除法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，ac > bc；a > b 且c < 0，ac < bc。
举例说明如何解决涉及乘除法的不等式问题。
第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如解a > b 的问题，可将b 移至不等式右边，得到a b > 0。
举例说明如何解简单不等式。
3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如解a > b 且c > 0 的问题，可将不等式两边乘以c，得到ac > bc。
举例说明如何解复合不等式。
第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的应用举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，如判断身高、体重等是否符合要求。
引导学生运用不等式解决实际问题。
4.2 线性不等式组的解法介绍线性不等式组的解法，如解a > b 且c > d 的问题，可先解a > b，再解c > d，求交集。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
基本不等式课件
均值不等式的证明
均值不等式的证明可以通过数学归纳法、柯西不等式等方法 进行。
其中，利用柯西不等式进行证明的方法较为简洁明了，可以 通过构造向量并应用柯西不等式得出结论。
均值不等式的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明不等式 、求最值、解决方程等问题中都可以发挥作用。
在实际应用中，均值不等式也可以用于解决一些实际问题 ，例如在经济学中的收入分配、物理学中的能量均分等问 题中都可以应用均值不等式进行分析和求解。
一元二次不等式的解集
满足不等式的 $x$ 的取值范围。
3
一元二次不等式的图像
一元二次函数的图像在 $x$ 轴上方的部分或下方 的部分。
一元二次不等式的解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 4ac$，判断一元二次方程的根的 情况，从而确定不等式的解集。
配方法
通过配方将一元二次不等式转化为 完全平方的形式，然后利用平方根 的性质求解。
THANKS
感谢观看
05
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式的定义
对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有
$left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right) geq left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2$
基本不等式的重要性
01
02
03
数学基础
基本不等式是数学中的重 要内容，是后续学习不等 式解法、函数性质等的基 础。
实际应用
在实际问题中，经常需要 比较大小、求解最值等问 题，基本不等式是解决这 些问题的有效工具。
第一章不等式与基本不等式 (4)
§5不等式的应用[对应学生用书P24]利用不等式解决实际问题中的大小问题[例1]m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力．[精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0，即t1<t2，从而知甲比乙先到达指定地点．对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；(3)设f(x)＝，现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解：(1)f(0)＝1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是f(0)＝1，f(1)＝，在[0，＋∞)上f(x)单调递减，且0<f(x)≤1.(3)设仅清洗一次，残留的农药量为f1(a)＝，清洗两次后，残留的农药量为f2(a)＝2＝，则f1(a)－f2(a)＝－＝.于是，当a>2时，f1(a)>f2(a)；当a＝2时，f1(a)＝f2(a)；当0<a<2时，f1(a)<f2(a)．因此，当a>2时，清洗两次后残留的农药量较少；当a＝2时，两种清洗方法具有相同的效果；当0<a<2时，清洗一次后残留的农药量较少．2．设甲、乙两地距离为s，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v1(v1＞0)，已知船在静水中的速度为v2(v2＞0)，试比较v1和v2的大小．解：设水流速度为v(v＞0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t＝＋＝∴平均速度v1＝＝.∵v1＞0，v2＞0，∴＝＝＝1－()2＜1.∴v1＜v2.利用平均值不等式解决实际问题中的最值问题形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．[思路点拨] 本题考查平均值不等式在解决实际问题中的最值方面的应用，同时考查应用意识，转化求解能力．解答此题需要通过具体问题列出目标函数，再利用平均值不等式求出函数的最值即可．[精解详析] 如图所示，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0<x<1)，则OB1＝B1B2＝x.由A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1＝A1A2＝1，所以A1B1＝OA1－OB1＝1－x.作B1C1⊥A1A2于C1.在Rt△A1B1C1中，∠B1A1C1＝60°，则容器的高B1C1＝A1B1sin 60°＝(1－x)．于是容器的容积为V＝f(x)＝Sh＝(6·x2)·(1－x)＝x2(1－x)(0<x<1)．则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x·(2－2x)≤·3＝.当且仅当x＝2－2x，即x＝时，V max＝.故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x取值范围的制约．3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(千米/时)的函数，指出定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bx2·＝S.故函数及其定义域为y＝S，x∈(0，c]；(2)由题知S，a，b，x都为正数，故有S≥2S，当且仅当＝bx，即x＝时上式等号成立；若≤c，则当x＝时，全程运输成本y最小；若＞c，当x∈(10，c]时，有S－S＝S＝(c－x)(a－bcx)，∵c－x≥0，a＞bc2，∴a－bcx≥a－bc2＞0，∴S≥S，当且仅当x＝c时上式等号成立，即当x＝c时，全程运输成本y最小，综上，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为x＝；当＞c时，行驶速度应为x＝c.不等式的应用是高考的一个重要考向，常以解答题的形式出现，近几年高考中多次出现应用平均值不等式求最值的应用题，这符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向．[考题印证](湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[命题立意]本题主要考查建立函数模型利用平均值不等式解决实际问题的能力，考查学生的应用意识．[自主尝试](1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值，综上所述，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．[对应学生用书P26]一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t ＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为( ) A．18 B．27C．20 D．16解析：平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18.当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )A．V≥À B．V≤ÀC．V≥ÀD．V≤À解析：设圆柱的底面半径为r，则高h＝＝3－2r.∴V＝Àr2(3－2r)＝Àr·r(3－2r)≤À3＝À.答案：B3．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值( )A．大B．小C．相等D．不能确定解析：设单程为s，则上坡时间t1＝，下坡时间t2＝，平均速度为v＝＝＝＜.答案：B4．(山东高考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )A．0 B．1C. D．3解析：由题意＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B二、填空题5．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3，∵三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6.∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6.∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3.∴h1h2h3≤＝.答案：6．(陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.解析：如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20m.答案：207．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析：设底面边长为x，高为h，则x2·h＝V，∴h＝.又S表＝2·x2＋3xh＝x2＋3x·＝x2＋＝＝≥·3＝3·.当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．答案：8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为________元．解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m，b m，则ab＝4，水池表面的总造价为y，则y＝ab×120＋2(2a＋2b)×80＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2＝480＋320×4＝1 760，当且仅当a＝b＝2时取“＝”．答案：1 760三、解答题9.某住宅小区，为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式．(2)计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQ＝y，则x2＋4xy＝200，y＝.S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．(2)S＝38 000＋4 000x2＋≥38 000＋2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000,118 000元＝11.8万元．即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．10．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200米2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，再设总造价为y元，则有y＝2x×400＋×800＋248×2×＋80×200＝800x＋＋16 000≥2 ＋16 000＝44 800，当且仅当800x＝，即x＝18米时，y取得最小值．∴当污水池的长为18米，宽为米时总造价最低，为44 800元．(2)∵0＜x≤16,0＜≤16，∴12.5≤x≤16.由(1)知，y＝Æ(x)＝800＋16 000(12.5≤x≤16)．对任意x1，x2∈[12.5,16]，设x1＜x2，则Æ(x1)－Æ(x2)＝800＝＞0∴Æ(x1)＞Æ(x2)，故y＝Æ(x)在[12.5,16]上为减函数，从而有Æ(x)≥Æ(16)＝45 000.∴当污水池的长度为16米，宽为12.5米时有最低总造价，最低总造价为45 000元．11．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417.当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．∵y2′＝－＋3，∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数．∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390＜417，∴该厂可以接受此优惠条件．。
基本不等式ppt课件
资源分配问题
总结词
基本不等式可以帮助我们找到在资源分配中达到最大效益的方法。
详细描述
在现实生活中，我们经常需要分配有限的资源以达到最大的效益。基本不等式可以为我们提供一种在资源分配中 达到最大效益的方法。例如，假设我们有一定数量的资金和时间，我们需要分配这些资源来最大化效益。通过使 用基本不等式，我们可以找到最佳的资源分配方式。
基本不等式ppt课件
目录
• 基本不等式概述 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展 • 基本不等式的实际应用 • 基本不等式的进一步学习建议
01
基本不等式概述
基本不等式的定义
基本不等式定义
对于任意实数a和b，总有$(ab)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
微积分应用
不定积分
利用基本不等式可以求解不定积分，以及求解原函数等微积 分问题。
定积分
基本不等式可以用于求解定积分，以及求解曲线下面积等微 积分问题。
03
基本不等式的扩展
柯西不等式
柯西不等式的表述
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$是实数，那么有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
柯西不等式的证明
根据平方和的性质，我们有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq [a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2][b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2]$，这就得到了柯西不等式。
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
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当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
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可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
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思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
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|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
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THANKS。
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次不等式组来解决。
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一元二次不等式解法
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一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
第四节 基本不等式
又因为m>0，n>0，所以
m1 ＋n2
(m＋n)＝3＋
n m
＋
2m n
≥3＋2
2 2，
当且仅当n＝ 2m时，取等号．
mn ·2nm ＝3＋
(2)因为3a＋b＝2ab，所以
3 2b
＋
1 2a
(2)依题意得21a＋21b＋a＋8 b＝a2＋abb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，
当且仅当a＋2 b＝a＋8 b，即a＋b＝4时取等号．因此，21a＋21b＋a＋8 b的最小值为4. [答案] (1)D (2)4
[方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和 为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
(2)由(1)知y＝－m1＋6 1＋m＋1＋29(m≥0)． ∵当m≥0时，m1＋6 1＋(m＋1)≥2 m1＋6 1·m＋1＝8， 当且仅当m1＋6 1＝m＋1，即m＝3时取等号． ∴y≤－8＋29＝21， 即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万 元．
(m≥0)满足x＝3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售
量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
基本不等式2024新版
系数化为1
02
03
求解未知数
将不等式两边同时除以未知数的 系数，使系数化为1。
根据不等式的性质，求解未知数 的取值范围。
一元一次不等式组解法
分别求解
分别求出每个不等式的解集。
求交集
找出所有不等式解集的交集，即为不等式组的解集。
判断无解情况
若不等式组中的某个不等式的解集为空集，则整个不 等式组无解。
AM-GM不等式在解决最值问题、 证明不等式等方面有广泛应用。
加权平均值不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和正实数 $w_1, w_2, ldots, w_n$，有
$frac{w_1a_1 + w_2a_2 + cdots + w_na_n}{w_1 + w_2 + cdots + w_n} geq sqrt[n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}cdots a_n^{w_n}}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
03
一元二次不等式
一元二次不等式解法
配方法
将一元二次不等式化为完全平方的形式，再利 用平方根的性质进行求解。
公式法
利用一元二次方程的求根公式，将不等式转化 为关于根的不等式进行求解。
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
一元二次不等式组解法
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
典型例题分析
例题1
解不等式 $2x - 1 > 3$。
分析
首先移项，得到 $2x > 4$，然后系数化为1，得到 $x > 2$。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
《基本不等式》课件
欢迎来到《基本不等式》PPT课件！在本次课程中，我们将深入探讨基本不等 式的概述、定义、性质以及证明方法。通过应用实例，我们将进一步理解如 何求最小值和进行定理证明。让我们一起展望本课件带来的新知识和启示！
基本不等式的概述
基本不等式是数学中的重要概念，用于比较两个数或者两个代数式的大小关 系。它是我们学习不等式的基石，掌握基本不等式对于解决更复杂的不等式 问题至关重要。
乘法性
将不等式的两边同时乘以 （或除以）相实数时， 不等式的符号反向。
基本不等式的证明方法
数学归纳法
通过归纳假设和递推关系，逐 步证明基本不等式的成立。
代数证明
将基本不等式转化为代数表达 式，通过代数运算和推导来证 明。
几何证明
借助几何图形和几何关系，通 过几何推理来证明基本不等式。
应用实例1：求最小值
基本不等式在求解数学问题时扮演着重要角色。通过对一些实际问题的分析，我们可以利用基本不等式的性质 来找到函数的最小值，有效地解决各种优化问题。
应用实例2：定理证明
基本不等式被广泛运用于数学定理的证明中。通过灵活应用基本不等式的定 义和性质，我们可以推导出一系列重要的数学结论和定理，拓展数学领域的 边界。
基本不等式的定义
基本不等式指的是一类具有特定形式的不等式，其中常见的包括平均数不等 式、均方根不等式和柯西-施瓦茨不等式。这些定义为我们解决各种数学问题 提供了强大的工具。
基本不等式的性质
单调性
基本不等式满足严格单调性， 即当其中的变量递增（或递 减）时，不等式的符号也相 应地改变。
加法性
将不等式的两边同时加上 （或减去）相同的实数时， 不等式的符号保持不变。
总结和展望
第四节 基本不等式
第四节基本不等式一、基础知识批注——理解深一点12．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.二、常用结论汇总——规律多一点(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab≥2(a ，b ∈R ，且a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )答案：(1)√ (2)× (3)×(二)选一选1．设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 因为a >0，所以9a ＋1a ≥2 9a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，9a ＋1a 取得最小值6.故选C.2．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36D ．81解析：选A 由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．“x >0”是“x ＋1x ≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2( 当且仅当⎭⎫x ＝1x 时，等号成立.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2”成立的充要条件，故选C.(三)填一填4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 25．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：25考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等.[典例] (1)已知a >2，则a ＋3a －2的最小值是( ) A ．6 B ．2 C ．23＋2D ．4(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(3)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．(4)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． [解析] (1)拼凑法因为a >2，所以a －2>0，所以a ＋3a －2＝(a －2)＋3a －2＋2≥2 (a －2)·3a －2＋2＝23＋2，当且仅当a －2＝3a －2，即a ＝2＋3时取等号．故选C. (2)拼凑法y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)常数代换法∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2yy ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋2 2y x ·xy＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号．∴1x ＋1y 的最小值为3＋2 2. (4)拼凑法 因为x >0，y >0，所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22， 令x ＋2y ＝t ，则8≤t ＋t 24，即t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8，即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． [答案] (1)C (2)92(3)3＋22 (4)4[解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法[题组训练]1.(常数代换法)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选B 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)． 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12.故选B.2.(两次基本不等式)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：选D 因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) 所以4xy ≤40.所以xy ≤100. 所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 所以lg x ＋lg y 的最大值为2. 3.(拼凑法)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab＋ab ≥2(a 2－ab )·1(a 2－ab )＋21ab ×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 4.(常数代换法)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2. 当且仅当x ＝2y 时取等号． 答案：3＋2 2考点二 基本不等式的实际应用[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [题组训练]1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．答案：15 [课时跟踪检测]1．(2019·长春调研)“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当a ＝b 时，ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的充分条件．当ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22时，a ，b 可以异号，故a >0，b >0不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的既不充分也不必要条件，故选D.2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0， 由ab ＝1a ＋2b≥21a ·2b＝2 2ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.5．(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A.43 B.53 C.54D ．2解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立． 故xy 的最大值为2.7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12C ．1D.32解析：选A y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.8．已知x >1，y >1，且log 2x ，14，log 2y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值 2B ．最小值2C ．最大值 2D ．最大值2解析：选A ∵x >1，y >1，∴log 2x >0，log 2y >0.又∵log 2x ，14，log 2y 成等比数列，∴116＝log 2x ·log 2y ，∴由基本不等式，得log 2x ＋log 2y ≥2log 2x ·log 2y ＝12，当且仅当log 2x ＝log 2y时取等号，故log 2(xy )≥12，即xy ≥ 2.选A.9．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________．解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x＋15＝3， 当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3.答案：310．(2018·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2 (x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：1412．(2018·聊城一模)已知a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________． 解析：由a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 313．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。
2025版新教材高考数学全程一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式学生用书
第四节基本不等式【课标标准】 1.驾驭基本不等式≤ (a>0，b>0).2.结合详细实例，能用基本不等式解决简洁的最大值或最小值问题．必备学问·夯实双基学问梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．2．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤________(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).(2)a＋b≥________(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)假如积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值__________．(简记：积定和最小).(2)假如和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).[常用结论]1.＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．2．应用基本不等式求最值要留意“一正、二定、三相等”，忽视某个条件，就会出错．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．( )(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.( )(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( )2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )A．B．C．D．3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋B．1＋C．3 D．45．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为________.关键实力·题型突破题型一利用基本不等式求最值角度一拼凑法求最值例 1(1)(多选)下列说法正确的是( )A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是2D．2－3x－的最大值是2－4(2)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．题后师说拼凑法求最值的策略巩固训练1[2024·辽宁沈阳三十一中月考]下列函数中，最小值为4的是( )A．y＝x＋B．y＝x＋＋4(x>－2)C．y＝cos2x＋D．y＝x2＋2x＋4角度二常值代换法求最值例 2 [2024·河南信阳模拟]设a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最大值为( )A．B．C．D．题后师说常数代换法求最值的一般步骤巩固训练2(1)[2024·辽宁鞍山模拟]已知正实数a、b满意a＋b＝2，则的最小值是( )A． B． C．5 D．9(2)a>0，b>0，a＋b＝4ab，则a＋b的最小值为________.角度三消元法求最值例 3[2024·安徽合肥八中模拟]已知x>0，y>0，满意x2＋2xy－1＝0，则3x＋2y的最小值是( )A． B． C．2 D．2题后师说当已知条件是含有两个变量的等式时，可以采纳把其中一个量用另一个量表示，代入所求代数式中再结合基本不等式求解．巩固训练3已知正实数a，b满意ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．题型二利用基本不等式证明不等式例 4[2024·安徽寿县一中模拟]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2.(1)求a2＋b＋c的取值范围；(2)求证：≥18.题后师说利用基本不等式证明不等式，先视察题中是否有符合基本不等式的条件．若有，则可以干脆利用基本不等式证明；若没有，则对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到运用基本不等式的条件．巩固训练4[2024·江西金溪一中模拟]已知正实数m，n满意m2＋n2＝4m2n2.证明：(1)mn≥；(2)≥8.题型三基本不等式的实际应用例 5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度肯定，池的四周墙壁建立单价为每米400元，中间一条隔壁建立单价为每米100元，池底建立单价每平方米60元(池壁厚忽视不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)假如受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．题后师说利用基本不等式解实际应用问题的技巧巩固训练5[2024·江西吉安模拟]春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车平安，在某高速马路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满意的函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时，车流量为1万辆/小时．(1)求该车型的平均车长l；(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？1.[2024·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是( )A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sin x|＋C．y＝2x＋22－xD．y＝ln x＋2．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则( )A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥13．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )A．a2＋b2≥B．2a－b>C．log2a＋log2b≥－2D．第四节基本不等式必备学问·夯实双基学问梳理1．(2)a＝b(3)2．(1)(2)23．(1)x＝y2(2)x＝y S2夯实双基1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.答案：B3．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max＝25.答案：254．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.答案：C5．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋＝2－，又－x－≥2 ＝2，∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2，当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．答案：2－2关键实力·题型突破例1 解析：(1)对于A，由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x ＝1时取等号，故A正确；对于B，＝，当x＝0时取得等号，故B正确；对于C，＝＝，令＝t，则t≥2，因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；对于D，2－在x<0时，没有最大值，故D错误．故选AB.(2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝”时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.答案：(1)AB (2)巩固训练1 解析：对于A：当x<0时y＝x＋<0，明显最小值不为4，解除；对于B：由x＋2>0，则y＝(x＋2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝－1时等号成立，满意；对于C：由题意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋在(0，1]上递减，故t＝1时函数最小值为5，不满意；对于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时最小值为3，不满意．故选B.答案：B例2 解析：∵a＋b＝1，＝，＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴.故选B.答案：B巩固训练2 解析：(1)＝(a＋b)＝(4＋5)＝，当且仅当＝时等号成立．故选B.(2)∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除以ab得＝4，∴a＋b＝(a＋b)·＝≥×2＝＝1.当且仅当＝即a＝b＝时取等号．答案：(1)B (2)1例3 解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝，而x>0，y>0，则有0<x<1，因此3x＋2y＝3x＋＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”，所以3x＋2y的最小值为2.故选D.答案：D巩固训练3 解析：∵正实数a，b满意ab－b＋1＝0，∴a＝>0，即b>1，∴＋4b＝＋4b＝＋4b＝1＋＋4(b－1)＋4＝5＋＋4(b－1)≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝，a＝时取等号，故＋4b的最小值是9.答案：9例4 解析：(1)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝2，则b＋c＝2－a，a2＋b＋c＝a2＋2－a ＝＋，又0<a<2，故≤a2＋b＋c<＋＝4，故a2＋b＋c的取值范围为.(2)证明：∵a>0，b>0，c>0，＝(a＋b＋c)＝≥＝×(14＋4＋6＋12)＝18，当且仅当，即a＝，b＝，c＝1时等号成立．故≥18.巩固训练4 证明：(1)由m2＋n2＝4m2n2，得＝4，又，所以mn≥，当且仅当m＝n＝时等号成立．(2)＝－＝16－≥16－＝8，当且仅当m＝n＝时等号成立．故≥8.例5 解析：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价为f(x)元，则f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g(x)＝x＋(0<x≤14.5)，明显g(x)是减函数，所以当x＝14.5时，g(x)有最小值，相应总造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．巩固训练5 解析：(1)由题意：当v＝100时，y＝1，∴1＝，∴l＝5.∴该车型的平均车长为5米．(2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0<v≤120)．∵v>0，∴y＝＝＝.当且仅当v＝，即v＝80时取等号．故当汽车的平均速度为80千米/小时时车流量y达到最大值．真题展台——知道高考考什么？1．解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x＝－1，y＝－5，D不符合题意．故选C.答案：C2．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1.令则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC3．解析：对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2(a－)2＋，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.答案：ABD。
第四节 基本不等式
第四节基本不等式1．了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．考点一：基本不等式1．基本不等式如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做a,b的算术平均数，叫做a,b的几何平均数。
1、基本不等式的变形（1)当且仅当a=b时取等号。
（2)时取等号。
（3)，当且仅当a=b时取等号。
（4)，当且仅当a=1时取等号；，当且仅当a=-1时取等号（5)（a,b同号），当且仅当a=b时取等号。
规律方法1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b 为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题．2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足．考点二：利用基本不等式求最值已知x,y都是正数，（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值利用基本不等式求最值的注意点利用基本不等式求最值时要注意：(1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立．即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件．考向一：利用基本不等式求最值规律方法：不等式求最值常用的变形方法：（1）变符号：（2）拆项：（3）添项：（4）凑系数：（5）同除构造型。
考向二：条件最值问题反思总结利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解；(2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．考向三：基本不等式的实际应用反思总结在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．——利用基本不等式求解三元函数的最值策略近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用：一：消元化三元为二元后使用基本不等式；二、变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值。
1.4+基本不等式及其应用+课件——2025届高三数学一轮复习
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
－1＝3，当且仅当
x＝2
时，取等号；当
x<0
时，－x＋
－4 x
≥2
－x×
－4 x
＝4，当且
仅当
x＝－2
时，取等号，所以 f(x)＝－
－x＋
－4 x
－1≤－4－1＝－5.综上，函数
f(x)＝
x2－x＋4的值域是(－∞，－5]∪[3，＋∞)． x
6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
(2)由题意得 Sm＝ma＋12m(m－1)×(－4)＝36，即 a＝3m6＋2m－2≥12 2－2，当且仅当 m2＝18 时，等号成立．因为 m∈N*，所以 a>12 2－2.当 m＝5 时，a＝756；当 m＝4 时，a ＝15<756，所以实数 a 的最小值为 15.
x＝y 时，x＋y 有最 小 值 2 p(简记：
积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当
2021高中数学一轮复习课件第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第四节 基本不等式
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3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知 x>0，y>0，
且1x＋2y＝1，则 xy＋x＋y 的最小值为________． 解析：因为1x＋2y＝1，所以 xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝
(3x
＋
2y)· 1x＋2y
＝
7
＋
2y x
＋
6x y
≥7
＋
4
3
当且仅当y＝ 3x，即x＝1＋233，y＝2＋ 3时取等号， 所以 xy＋x＋y 的最小值为 7＋4 3.
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2. 变设问 保持本例条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为 ________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12 时，取等号．
答案：9
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[解题技法] 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
x＋12y＋1 xy
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的最小值为________．
解析：∵ x>0，y>0，∴ xy>0.
∵
x＋2y＝5，∴
x＋12y＋1＝2xy＋x＋2y＋1
xy
xy
＝2xyx＋y 6＝2 xy＋ 6xy≥2 12＝4 3.
当且仅当2
xy＝
6 时取等号． xy
∴ x＋1x2yy＋1的最小值为4 3.
答案：4 3
解析：因为x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9
时，等号成立．
答案：A
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2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式【课件】
聚焦知识
1．两个实数比较大小的方法
(1) 作差法：aa－ －bb＞ ＝00⇔ ⇔aa＞ ＝bb， ， a－b＜0⇔a＜b.
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第4讲 不等式的性质、基本不等式
激活思维
1．下列命题为真命题的是
(B )
A．若 a＞b＞0，则 ac2＞bc2
B．若 a＞b＞0，则 a2＞b2
C．若 a＜b＜0，则 a2＜ab＜b2 【解析】对于A，c2＝0时不成立；
D．若 a＜b＜0，则1a＜1b
对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B成立；
4．已知 x＞0，则 2－3x－4x的最大值是__2_－__4___3__．
【解析】因为 x＞0，所以 2－3x－4x＝2－3x＋4x≤2－2 ＝4x，即 x＝233时等号成立．
3x·4x＝2－4 3，当且仅当 3x
5．用一段长为 30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长
18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为__15__m时，菜园面积最大， 最大面积是2_22_5___ m2.
ab＞1⇔a＞b(a∈R，b＞0)， (2) 作商法：ab＝1⇔a＝b(a∈R，b≠0)，
ab＜1⇔a＜b(a∈R，b＞0).
2．不等式性质
a＞b⇔b＜a；a＞b，b＞c⇒a＞c；a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋
不 d；a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 等 |x－a|＋|x－b|≥|b－a|
《基本不等式》ppt课件-2024鲜版
柯西不等式在实数域、复数域以及更 一般的内积空间中都有广泛的应用。
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它描述了两个向量内积的平方与这两 个向量各自模的平方的乘积之间的关 系。
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柯西不等式的证明与应用
证明方法
柯西不等式可以通过多种方法进 行证明，如向量法、排序原理、
数学归纳法等。
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应用领域
柯西不等式在不等式证明、函数极 值、概率论与数理统计等领域都有 广泛的应用。
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均值不等式与最值问题的联系
均值不等式是解决最值问题的重要工具之一，通过运用均值不等式可以方便地找到函数的 最大值或最小值。
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2023 PART 05
柯西不等式
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REPORTING 19
柯西不等式的概念
柯西不等式是数学分析中的一个重要 不等式，由法国数学家柯西提出。
综合应用
柯西不等式还可以与其他数学知识综合运用，如与线性代 数、微积分等结合，解决一些复杂的问题。
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2023
PART 06
不等式的证明方法
REPORTING
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23
综合法证明不等式
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综合法的基本思路
从已知条件出发，通过逐步推导，最终得到所要证明的不等式。
综合法的关键步骤
放缩法的注意事项
在放缩过程中，要确保放缩是合理的，且要注意 放缩的度，避免过度放缩导致不等式不成立。
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其他证明方法简介
01
数学归纳法
通过证明当n=1时命题成立，以及假设当n=k时命题成立能推出当
n=k+1时命题也成立，从而证明对任意正整数n命题都成立的方法。
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数学科第一轮复习教案第四节 基本不等式一、教学目标：（一）必备知识：1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.（二） 关键能力：读写能力、运算能力、信息通信技术能力、批判性与创造性思维、个人与社会能力、道德理解、跨文化理解（三） 学科品格及学科素养：数学运算、数学建模（四）核心价值：提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值，应用价值和文化价值。
形成批判性的思维习惯，了崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义。
树立辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。
二、生情分析： 1.学生对基础知识的掌握不扎实一些易得分的题也出现失分现象，对所学知识不能熟练运用，对知识的掌握也不是很灵活，造成容易的失分难的攻不下的两难状况。
2.一些学生的学习方法有待改进一些同学平时学习也挺认真，日常练习也不错，但一遇上综合性的考试就不行，像这样的状况主要是因为学生的复习方法不对，作为一名高三的学生应该学会自己归纳总结，可以把相似和有关联的一些题总结在一起，也可以把知识点相同或做题方法相同的题总结在一块，这样便于复习，也省时。
3.同学们的应试技巧也有待提高，翻看这次学生们的试卷会发现有些学生的题还没做完，前面难的没拿下后面容易的没时间做。
拿不到高分认为是自己时间不够，这就是考试技巧的问题。
三、过程方法：讲练结合四、重点难点： 1.利用基本不等式求最值.2.利用基本不等式解决实际问题 3.基本不等式的综合应用 五、教学用具：PPT 六、教学课时：2课时七、设计思路：夯实基础→考点分类突破→课堂活动→解题技巧→教学生成 八、教学过程：（[知识梳理]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .2．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.[常用结论]1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (2)b a ＋ab ≥2(ab >0)． (3)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． [基础自测]一、走进教材1．(必修5P 99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36D ．81解析：选A 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．(必修5P 100练习T 1改编)设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 因为a >0，所以9a ＋1a ≥29a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，9a ＋1a取得最小值6.故选C.二、走出误区常见误区：①忽视不等式成立的条件a >0且b >0致误；②忽视定值存在致误；③忽视等号成立的条件致误．3．(多选)下列选项错误的是( )A ．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的B ．函数y ＝x ＋1x 的最小值是2C ．函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4D ．x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件解析：选ABCD 对于选项A ，不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0；对于选项B ，函数y ＝x ＋1x的值域是(]－∞，－2∪[)2，＋∞，没有最小值；对于选项C ，函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值；对于选项D ，x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．4．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号． 答案：15152考点一[定向精析突破]考向(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．[解析] (1)x (4－3x )＝13×(3x )·(4－3x )≤13×⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．故所求x 的值为23.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，取等号．[答案] (1)23(2)1 (3)23＋2[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．考向(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．[答案] 4[对点变式]1.(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋2 a 3b ·2b 3a＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时，取等号．答案：1＋2232.(变设问)保持本例条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．考向(三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． [解析] 法一：(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二：(代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. [答案] 6[解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考向(四) 利用两次基本不等式求最值[例4] 已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．[解析] 由a >b >0，得a －b >0， ∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4.[答案] 4[解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[跟踪训练]1．若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：选A 由x >0，得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12 x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.2．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．解析：∵ x >0，y >0，∴ xy >0. ∵ x ＋2y ＝5，∴ (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy ≥212＝4 3. 当且仅当2xy ＝6xy时取等号． ∴(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3. 答案：433．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以xy ＝y ＋2x ，xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝7＋2y x ＋6x y ≥7＋43⎝⎛⎭⎫当且仅当y ＝3x ，即x ＝1＋233，y ＝2＋3时取等号， 所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋43为C (x ) (万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．[解题技法]有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[跟踪训练]1．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8 900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600 x ·225x＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低． 答案：15则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．[解析] (1)把圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b >0，c >0， 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5≥2 4c b ·bc＋5＝9. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2 n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.[答案] (1)A (2)92[解题技法]利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[跟踪训练]1．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4－n,2)，m >0，n >0，若a ∥b ，则1m ＋8n 的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴4－n －2m ＝0，即2m ＋n ＝4.∵m >0，n >0，∴1m ＋8n ＝14(n ＋2m )·⎝⎛⎭⎫1m ＋8n＝14×⎝⎛⎭⎫10＋n m ＋16m n ≥14×⎝⎛⎭⎫10＋2 n m ·16m n ＝92，当且仅当4m ＝n ＝83时取等号．∴1m ＋8n 的最小值是92. 答案：92 2．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4. 答案：4九、教学后记或反思。