2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点八导数及其应用文
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十五直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线课件理
3．(2019·湖南师大附中月考七)已知动圆 C 经过点 A(2,0)，且截 y 轴所
得的弦长为 4，则圆心 C 的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 答案 D
D．抛物线
解析 设圆心 C(x，y)，弦为 BD，过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E，则|BE|
＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2＋|BE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为 y2＝4x，故
r2－A2B2＝ 52－32
10．(2019·河南鹤壁模拟)与双曲线x92－1y62 ＝1 具有相同的渐近线，且经
过点 A(3，－2 3)的双曲线方程是________．
答案 解析
49x2－y42＝1 设与双曲线x92－1y62 ＝1 具有相同的渐近线的双曲线的方程为x92－
1y62 ＝m(m≠0)，代入点 A(3，－2 3)，解得 m＝41，则所求双曲线的方程为x92－
(2)证明：①当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l 与椭圆x42＋y32＝1 相切，与题意不符．
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)．
y＋1＝kx－2，
由x42＋y32＝1，
消去 y 整理得
(4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0.
二、填空题 9．(2019·湖南株洲第二次教学质量检测)设直线 l：3x＋4y＋a＝0，与圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝25 交于 A，B，且|AB|＝6，则 a 的值是________．
答案 10 或－30
解析 因为|AB|＝6，所以圆心到直线的距离为 d＝ ＝4，所以|6＋324＋＋4a2|＝4，即 a＝10 或 a＝－30.
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷 解答题 共八套 文
解答题(一)17．(2019·安徽皖南八校第三次联考)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：品，①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品有3件，合格品有2件．②记3件优等品分别为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P(M)＝610＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T1元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T2元，可得T1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T1＜T2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，故该扶贫单位应选择乙种生产方式来帮助该扶贫村脱贫．18．已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，且S5＝20，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为S 5＝5a 1＋a 52＝20，所以a 1＋a 5＝8，所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4， ①因为a 3，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 3a 8， 所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简，得a 1＝2d ， ②联立①和②，得a 1＝2，d ＝1， 所以a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝1a n ·a n ＋1＋n ＝1n ＋1n ＋2＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n ，所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＋n n ＋12＝n 2n ＋2＋n n ＋12＝n 3＋3n 2＋3n2n ＋2. 19．(2019·广东梅州总复习质检)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′－EC －B 是直二面角．(1)证明：BE ⊥CD ′；(2)求点E 到平面BCD ′的距离．解 (1)证明：∵AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC .又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，平面D ′EC ∩平面BEC ＝EC ，BE ⊂平面BEC ，∴BE ⊥平面D ′EC ，∵CD ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′. (2)由已知及(1)得，BE ⊥平面D ′EC ，BE ＝2， ∴V B －D ′EC ＝13BE ·S △D ′EC ＝13×2×12×1×1＝26.ED ′⊂平面D ′EC ，∴BE ⊥ED ′，ED ′＝1，∴BD ′＝ 3.在△BD ′C 中，BD ′＝3，CD ′＝1，BC ＝2.∴BC 2＝(BD ′)2＋(CD ′)2，∠BD ′C ＝90°. ∴S △BD ′C ＝12BD ′·CD ′＝32.设点E 到平面BCD ′的距离为d . 则V B －D ′EC ＝V E －BCD ′＝13d ·S △BCD ′，∴13×32d ＝26，得d ＝63. 所以点E 到平面BCD ′的距离为63. 20．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知函数f (x )＝x －11＋x ，g (x )＝(ln x )2－2a ln x＋13a . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若存在x 1∈[0,1]，使得对任意的x 2∈[1，e 2]，f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1＋11＋x2>0，又x ≠－1，故f (x )在(－∞，－1)为增函数，在()－1，＋∞也为增函数．(2)由(1)可知，当x ∈[0,1]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1)＝12，由题意可知g (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋13a ≤12对任意的x ∈[0,2]恒成立．令t ＝ln x ，则当x ∈[1，e 2]时，t ∈[0,2]，令h (t )＝t 2－2at ＋13a －12，问题转化为h (t )≤0对任意的t ∈[0,2]恒成立，由抛物线h (t )的开口向上，知⎩⎪⎨⎪⎧h0≤0，h2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧13a －12≤0，4－4a ＋13a －12≤0，解得2122≤a ≤32.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，32.21．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点E (－2,0)，F (2,0)，P (x ，y )是平面内一动点，P 可以与点E ，F 重合．当P 不与E ，F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围． 解 (1)当P 与点E ，F 不重合时，k PE ·k PF ＝－14，得y x ＋2·yx －2＝－14，即x 24＋y 2＝1(y ≠0)， 当P 与点E ，F 重合时，P (－2,0)或P (2,0)． 综上，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S ＝8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，则其对边方程为y ＝kx －m ，另一边所在直线方程为y ＝－1k x ＋n ，则其对边方程为y ＝－1kx －n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝0， 即4k 2＋1＝m 2. 矩形的一边长为d 1＝|2m |k 2＋1，同理，4k 2＋1＝n 2， 矩形的另一边长为d 2＝|2n |1k2＋1， S ＝d 1·d 2＝|2m |k 2＋1·|2n |1k2＋1＝|4mnk |k 2＋1 ＝44k 2＋1k 2＋4k 2＋12＝44k 4＋17k 2＋4k 2＋12＝44＋9k 2k 2＋12＝44＋9k 2＋1k2＋2∈(8,10]． 综上，S ∈(8,10]．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ(t 为参数)，θ∈[0，π)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；(2)设点P (1，3)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：|PA |·|PB |为定值，并求出该定值．解 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝43sin θ＋4cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 则圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0， 圆心坐标为C (2，23)．(2)证明：将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝3＋t sin θ代入圆C ：x 2＋y 2－4x －43y ＝0，得t 2－(23sin θ＋2cos θ)t －12＝0，设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－12， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12.23．(2019·四川广安、眉山毕业班第一次诊断性考试)已知不等式|2x ＋1|＋|x －1|<3的解集为M .(1)求M ；(2)若m ，n ∈M ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1.解 (1)当x <－12时，不等式即为－2x －1－x ＋1<3，解得－1<x <－12；当－12≤x ≤1时，不等式即为2x ＋1－x ＋1<3，解得－12≤x <1；当x >1时，不等式即为2x ＋1＋x －1<3，此时无解． 综上可知，不等式的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：m ，n ∈(－1,1)，欲证⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1，需证|m －n |<|mn －1|，即证(m －n )2<(mn －1)2， 即m 2＋n 2－2mn <m 2n 2－2mn ＋1， 即证(m 2－1)(n 2－1)>0， 因为m ，n ∈(－1,1)，所以(m 2－1)(n 2－1)>0显然成立． 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n mn －1<1成立．解答题(二)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解 (1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .由余弦定理可得a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14(B ∈(0，π))，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14. ∴b ＝4.18．(2019·河北唐山一模)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把△AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB ＝BE .(1)证明：BC ⊥平面PBE ； (2)求点F 到平面PEC 的距离．解 (1)证明：因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ，因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ，又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE .(2)如图，取BE 的中点O ，连接PO ，由(1)知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE, 在Rt △POC 中，PC ＝PO 2＋OC 2＝25，在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝25， 在△PEC 中，PC ＝EC ＝25，PE ＝2，所以S △PEC ＝19，又S △ECF ＝2，设点F 到平面PEC 的距离为d ，由V F －PEC ＝V P －ECF 得S △PEC ·d ＝S △ECF ·PO ，即19×d ＝2×3，所以d ＝25719.即点F 到平面PEC 的距离为25719.19．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表： 消费金额(单位：元) [0,200] (200,400](400,600](600,800](800,1000]购物单张数252530？？的频率分布直方图所估计出的每单消费金额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：(1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费金额超过800元的概率； (2)为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为121.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，预测商场今年国庆期间采购奖品的开销．解 (1)因消费金额在区间[0,400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400.设所求概率为p ，而消费金额在(0,600]的概率为0.8，故消费金额在区间(600,800]内的概率为0.2－p .因此消费金额的平均数可估计为100×0.25＋300×0.25＋500×0.3＋700×(0.2－p )＋900×p .令其与中位数400相等，解得p ＝0.05.(2)设等比数列公比为q (q ＞0)，根据题意121＋q 21＋q 221＝1，即q 2＋q －20＝0，解得q ＝4.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121，421，1621.今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000.其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15＋0.05)＝4200， 故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200,800,3200.于是，采购奖品的开销可估计为200×500＋800×200＋3200×100＝580000(元)． 20．在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a >2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM 面积的比．解 (1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离，∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线，∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y >0时，y ＝2x ， ∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0>0)为切点的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)， 点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小． 此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)·a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 面积之比为1∶4. 解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在， 设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0，y 2＝4x ，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝0，得k ＝2y 0，∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0. 以下解答同解法一．21．(2019·河北中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝e x－x －a (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求证：f (x )＞x ； (2)讨论函数f (x )零点的个数．解 (1)证明：当a ＝0时，f (x )＝e x－x ，令g (x )＝f (x )－x ＝e x－x －x ＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2，当g ′(x )＝0时，x ＝ln 2；当x ＜ln 2时，g ′(x )＜0，x ＞ln 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以x ＝ln 2是g (x )的极小值点，也是最小值点，即g (x )min ＝g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln e2＞0，故当a ＝0时，f (x )＞x 成立．(2)f ′(x )＝e x－1，由f ′(x )＝0得x ＝0，当x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以x ＝0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，即f (x )min ＝f (0)＝1－a .当1－a ＞0，即a ＜1时，f (x )没有零点，当1－a ＝0，即a ＝1时，f (x )只有一个零点，当1－a ＜0，即a ＞1时，因为f (－a )＝e －a－(－a )－a ＝e －a＞0，所以f (x )在(－a,0)上只有一个零点．由(1)，得e x＞2x ，令x ＝a ，则得e a＞2a ，所以f (a )＝ea－a －a ＝e a－2a ＞0，于是f (x )在(0，a )上有一个零点．因此，当a ＞1时，f (x )有两个零点．综上，当a ＜1时，f (x )没有零点；当a ＝1时，f (x )只有一个零点； 当a ＞1时，f (x )有两个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．直线l 与x 轴交于点A .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线l ′：θ＝π6(ρ≥0)，直线l 与射线l ′交于点B . (1)求B 点的极坐标；(2)若点P 是椭圆C ：x 2＋y 23＝1上的一个动点，求△PAB 面积的最大值及面积最大时点P的直角坐标．解 (1)l ：y ＝3(x －3)＝3x －3， 则l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ－3. 令θ＝π6得ρ＝3，∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6.(2)∵|AB |＝|OA |＝3，∴S ＝3d2. 设P 点坐标为(cos α，3sin α)，l ：3x －y －3＝0.∴d ＝|3cos α－3sin α－3|2＝32|(cos α－sin α)－3|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3. 当α＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )时，d max ＝3＋62，∴S max ＝33＋324.此时cos α＝cos 3π4＝－22，sin α＝sin 3π4＝22，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，62.23．设函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|. (1)求函数f (x )的最小值；(2)若直线y ＝a 与曲线y ＝f (x )围成的封闭区域的面积为9，求a 的值． 解 (1)①当x ≥2时，f (x )＝3x －3≥3； ②当－1<x <2时，f (x )＝5－x ∈(3,6)； ③当x ≤－1时，f (x )＝3－3x ≥6， ∴f (x )min ＝3.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ≥2，5－x ，－1<x <2，3－3x ，x ≤－1，f (x )的图象如图所示：y ＝6与y ＝f (x )围成的三角形面积为S ＝12×[3－(－1)](6－3)＝6<9，∴a >6.故y ＝f (x )，y ＝6，y ＝a 围成的梯形面积为3. 令f (x )＝3x －3＝a ⇒x 1＝a ＋33；令f (x )＝3－3x ＝a ⇒x 2＝3－a3，故梯形面积为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋33－3－a 3(a －6)＝3，∴a ＝3 5.解答题(三)17．已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n . (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面ABC 是等边三角形，侧面AA ′C ′C ⊥底面ABC ，D 是棱BB ′的中点．(1)求证：平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′；(2)求平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比．解 (1)证明：如图，取AC ，A ′C ′的中点O ，F ，连接OF 与A ′C 交于点E ，连接DE ，OB ，B ′F ，则E 为OF 的中点，OF ∥AA ′∥BB ′，且OF ＝AA ′＝BB ′，所以BB ′FO 是平行四边形．又D 是棱BB ′的中点，所以DE ∥OB .侧面AA ′C ′C ⊥平面ABC ，且OB ⊥AC ，所以OB ⊥平面ACC ′A ′，则DE ⊥平面ACC ′A ′，又DE ⊂平面DA ′C ，所以平面DA ′C ⊥平面ACC ′A ′.(2)连接A ′B ，设三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积为V .故四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积V A ′－BCC ′B ′＝V －13V ＝23V ，又D 是棱BB ′的中点，△BCD 的面积是BCC ′B ′面积的14，故四棱锥A ′－B ′C ′CD 的体积V A ′－B ′C ′CD ＝34V A ′－BCC ′B ′＝34×23V ＝12V ，故平面DA ′C 将该三棱柱分成上、下两部分的体积比为1∶1.19．(2019·江西南昌第一次模拟)市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．(1)根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支．若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由． 解 (1)由图可知，各组中值依次为3100,3300,3500,3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B 型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440小时．(2)由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B 型节能灯需更换的支数为5×0.8＝4.(3)若选择A 型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元； 若选择B 型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元． 因为967.5＞870，所以该商家应选择A 型节能灯．20．(2019·河北石家庄模拟一)已知函数f (x )＝ln x －4ax ，g (x )＝xf (x )． (1)若a ＝18，求g (x )的单调区间；(2)若a ＞0，求证：f (x )≤14a－2.解 (1)由a ＝18，g (x )＝x ln x －12x 2(x ＞0)，g ′(x )＝ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，h ′(x )＝1－xx，故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，从而当x ＞0时，g ′(x )≤0恒成立，故g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：f ′(x )＝1x －4a ＝1－4ax x ，由a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝14a ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，＋∞上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＝ln 14a －1，只需证明ln 14a －1≤14a －2，令t ＝14a＞0，即证ln t －t ＋1≤0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立．21．(2019·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy 中，离心率为63的椭圆C ：x2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3b 2，又1a 2＋23b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得G (±3，±1)．②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设G (x 0，y 0)，x 0≠±3，切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入椭圆方程得(3k 2＋1)x 2－6k (kx 0－y 0)x ＋3(kx 0－y 0)2－3＝0，Δ＝[6k (kx 0－y 0)]2－4(3k 2＋1)·[3(kx 0－y 0)2－3]＝0，化简得(kx 0－y 0)2－(3k 2＋1)＝0，则(x 20－3)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－1x 20－3. 因为两条切线相互垂直，所以y 20－1x 20－3＝－1，即x 20＋y 20＝4(x 0≠±3)，由①②知点G 在圆x 20＋y 20＝4上，又点G 在直线x ＋y ＋m ＝0上， 所以直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，所以|m |1＋1≤2，所以－22≤m ≤2 2.综上所述，m 的取值范围为[－22，22]．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. (1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA →·PB →的取值范围．解 (1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)．直线l 的直角坐标方程为x＋y －2＝0.(2)由直线l 的方程x ＋y －2＝0可得点A (2,0)， 点B (0,2)．设点P (x ，y )，则PA →·PB →＝(2－x ，－y )·(－x,2－y )＝x 2＋y 2－2x －2y .由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，则PA →·PB →＝4sin θ＋2cos θ＋4＝25sin(θ＋φ)＋4，其中tan φ＝12.因为θ∈R ，所以4－25≤PA →·PB →≤4＋2 5. 23．已知函数f (x )＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a .(1)当a ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈[1,2]时，求证：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤5.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|， 所以|x －1|－|x ＋1|≥0， 得(x －1)2≥(x ＋1)2，解得x ≤0. 所以定义域为(－∞，0]．(2)证明：f 2(x )＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x ＋1a ≤2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤5(a ∈[1,2])，当且仅当a ＝2时等号成立．解答题(四)17．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4. 因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.18．(2019·北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜．店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收．(1)若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：斤，n ∈N )的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数1422141615136元)的平均数；②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率．解 (1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝17×10＝170；当日需求量n ≤16时，利润y ＝10n －8(17－n )＝18n －136.所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧18n －136，n ≤16，n ∈N *，170，n ≥17，n ∈N *.(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为 y －＝1100×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)，解得y －＝152(元)．②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤．以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p ＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64.19．(2019·江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图所示，分别取BC 和BD 的中点H ，G ，作直线HG ，则HG 为所求直线．证明如下：因为点H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，分别取CD ，BC 的中点O ，H ，连接EO ，AH ，则EO ⊥CD ，AH ⊥BC ，因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，∴EO ⊥平面BCD ，又平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，则AH ⊥平面BCD ，所以EO ∥AH ，又AH ⊄平面CDE ，EO ⊂平面CDE ，所以AH ∥平面CDE .因为GH ∥CD ，GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以GH ∥平面CDE ，因为AH ，GH ⊂平面AGH ，AH ∩GH ＝H ，则平面AHG ∥平面CDE ，所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行．(2)由(1)可得EO ∥AH ，即EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，则DH ⊥平面ABC .记点E 到平面ABC 的距离为d ，则d ＝12DH ＝32，又△ABC 的面积S ＝12×2×13－1＝23，△ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，因为V E －ABC ＝V B －ACE ，设点B 到平面AEC 的距离为h ，所以13×23×32＝13×394×h ， 解得h ＝43913.即点B 到平面AEC 的距离为43913.20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 上的点M (2，y 0)到F 的距离为3. (1)求抛物线C 的方程；(2)斜率存在的直线l 与抛物线相交于相异两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，若AB 的垂直平分线交x 轴于点G ，且GA →·GB →＝5，求直线l 的方程．解 (1)由抛物线定义知|MF |＝2＋p2，所以2＋p2＝3，p ＝2，所以，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：设AB 中点坐标(2，m )，直线l 的斜率存在，所以m ≠0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2m，所以直线AB 的方程为y －m ＝2m(x －2)．即2x －my ＋m 2－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝my －m 2＋4，y 2＝4x ，得y 2－2my ＋2m 2－8＝0，其中Δ>0得到m2<8，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ， ①y 1y 2＝2m 2－8， ②AB 的垂直平分线方程为y －m ＝－m2(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，所以G (4,0)，GA →＝(x 1－4，y 1)，GB →＝(x 2－4，y 2)， 因为GA →·GB →＝5，所以(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝5，x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝5，y 21y 2216－4×4＋16＋y 1y 2＝5. ③把②代入③得(m 2－4)2＋8(m 2－4)－20＝0， (m 2＋6)·(m 2－6)＝0，m 2＝6<8，m ＝± 6.所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0. 解法二：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 消y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0或消x 得ky 2－4y ＋4m ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk ＋4k 2＝4，x 1x 2＝m 2k 2，y 1y 2＝4m k，Δ＝16－16km >0，即2k 2＋mk ＝2. ①AB 中点坐标为(2,2k ＋m )，AB 的垂直平分线方程为y －(2k ＋m )＝－1k(x －2)．令y ＝0，x G ＝2k 2＋mk ＋2＝4，所以GA →·GB →＝(x 1－4，y 1)·(x 2－4，y 2)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝m 2k2－16＋16＋4m k＝5，m 2k 2＋4mk－5＝0. 解得m ＝k 或m ＝－5k ，分别代入①得3k 2＝2(符合Δ>0)或3k 2＝－2(舍去)． 所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0.21．(2019·安徽皖南八校联考三)已知函数f (x )＝a ln x －(a 2＋1)x ＋12ax 2，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )＋x ＞0对x ＞1恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a x－a 2－1＋ax ＝ax －1x －ax(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，没有单调递增区间． 当0＜a ＜1时，当a ＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜a 或x ＞1a时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为(0，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a .当a ＝1时，f ′(x )≥0对x ＞0成立，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．当a ＞1时，当1a＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1a或x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，a .(2)f (x )＋x ＞0，即a ln x －a 2x ＋12ax 2＞0，当a ＞0时，ln x －ax ＋12x 2＞0，a ＜ln x x ＋12x ，令g (x )＝ln x x ＋12x ，x ≥1，则g ′(x )＝1－ln x x 2＋12＝2－2ln x ＋x22x 2，令h (x )＝2－2ln x ＋x 2，则h ′(x )＝2x －2x，当x ≥1时，h ′(x )≥0，h (x )是增函数，h (x )≥h (1)＝3＞0，∴g ′(x )＞0.∴当x ≥1时，g (x )是增函数，g (x )的最小值为g (1)＝12，∴0＜a ≤12.当a ＝0时，显然f (x )＋x ＞0不成立，当a ＜0时，由g (x )的最小值为12，且g (x )没有最大值，得a ＞g (x )不成立，综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 22．在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为(ρcos φ＋k )2＋(ρsin φ－2)2＝k 2＋25(φ为参数，k ∈R )．(1)写出C 1，C 2的直角坐标方程；(2)是否存在曲线C 2包围曲线C 1？请说明理由． 解 (1)C 1：x 236＋y 29＝1，C 2：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0.(2)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0可知点(6,0)在曲线C 2外； 若k <0，(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0可知点()－6，0在曲线C 2外．综上，无论k 取何值，曲线C 2都不能包围曲线C 1. 23．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x ＋1|.(1)在图中画出f (x )和g (x )的图象，并写出不等式f (x )>g (x )的解集； (2)若|f (x )－2g (x )|≤a (a ∈R )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )，g (x )的图象如图，不等式f (x )>g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >0或x <－23.(2)|f (x )－2g (x )|＝||2x ＋1|－2|x ＋1||＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >－12或x <－1，|4x ＋3|，－1≤x ≤－12，所以|f (x )－2g (x )|≤1，所以a ≥1.解答题(五)17．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．某共享单车公司为了更好地服务用户，在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对该公司的车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中较为详细的评价信息里随机选出200条进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系？(2)为了回馈用户，该公司通过APP 向用户随机派送骑行券．用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友．某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券．现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的2张中至少有1张是一元券的概率．参考数据：P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由2×2列联表的数据，得K 2的观测值 k ＝200×100×30－40×302130×70×140×60＝200×18213×7×14×6＝5400637≈8.48<10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为对优惠活动好评与对车辆状况好评有关系．(2)把2张一元券分别记作A ，B ，其余3张券分别记作a ，b ，c ，则从5张骑行券中随机选取2张的所有情况有：{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{A ，B }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，共10种．记“选取的2张中至少有1张是一元券”为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数为7， 所以P (M )＝710，所以该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，选取的2张中至少有1张是一元券的概率为710.18．已知△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝42，点D 在线段AC 上，∠DBC ＝π4.(1)若△BCD 的面积为24，求CD 的长；(2)若C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且c ＝122，tan A ＝13，求CD 的长．解 (1)由S △BCD ＝12·BD ·BC ·22＝24，解得BD ＝12.在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos45°， 即CD 2＝32＋144－8×12，解得CD ＝4 5.(2)因为tan A ＝13，且A ∈(0，π)，可以求得sin A ＝1010，cos A ＝31010.由正弦定理，得asin A ＝c sin C ，即421010＝122sin C， 解得sin C ＝31010.因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos C ＝1010，故sin ∠BDC ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝255.在△BCD 中，由正弦定理可得CDsin ∠DBC＝BCsin ∠BDC，解得CD ＝2 5.19．(2019·广东天河区毕业综合测试二)如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，∠FBD ＝60°，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2.(1)若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求六面体ABCEF 的体积．解 (1)证明：如图，连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且∠FBD ＝60°，∴△DBF 为等边三角形． ∵M 为BF 的中点， ∴DM ⊥BF ，∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，又D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC .∵平面BDEF ∩平面ABC ＝BD ，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF . 又BF ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥BF ，由DM ⊥BF ，AC ⊥BF ，DM ∩AC ＝D ，∴BF ⊥平面AMC .(2)∵S 菱形BDEF ＝2·12·BD ·BF ·sin60°＝32，又AC ⊥平面BDEF ，D 是AC 的中点，∴V 六面体ABCEF ＝2V 四棱锥C －BDEF ＝2×13S 菱形BDEF ·CD＝2×13×32×1＝33.∴六面体ABCEF 的体积为33. 20．(2019·湖南株洲二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得的线段的长度为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA →＋OB →＝OD →，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－1或x ＝1，此时四边形OADB 的面积为 6.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1 ⇒(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，Δ＝8(4k 2＋2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－41＋2k2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·2 2 4k 2＋2－m21＋2k 2， 又点O 到直线AB 的距离是d ＝|m |1＋k2，由OA →＋OB →＝OD →，得x D ＝－4km 1＋2k 2，y D ＝2m 1＋2k 2. 因为点D 在曲线C 上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1＋2k 222＝1，整理得1＋2k 2＝2m 2，由题意知四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为 S OADB ＝|AB |d ＝1＋k 22 2 4k 2＋2－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝22|m |4k 2＋2－m21＋2k2. 由1＋2k 2＝2m 2得S OADB ＝6， 故四边形OADB 的面积是定值，其定值为 6. 21．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＞0，函数f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12x 2－a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a ，f ′(x )＜0得0＜x ＜a . 即f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)当a ＞0时，由(1)知f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， ①若a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )在(1，e)上单调递增，f (1)＝12，f (x )在区间(1，e)上无零点．②若1＜a ＜e ，即1＜a ＜e 2时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝12a (1－ln a )．∵f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝12＞0，f a ＝12a 1－ln a ＜0，fe ＝12e 2－a ＞0，∴e ＜a ＜12e 2.③若a ≥e，即a ≥e 2时，f (x )在(1，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝12e 2－a ＜0，则f (x )在区间(1，e)上有一个零点．综上，f (x )在区间(1，e)上恰有两个零点时a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，12e 2. 22．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)解法一：由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.解法二：因为C 2：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 2是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆． 又因为C 1：y ＝k |x |＋2是关于y 轴对称的曲线，且C 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0，显然，若k ＝0时，C 1与C 2相切，此时只有一个交点； 若k >0时，C 1与C 2无交点． 若C 1与C 2有且仅有三个公共点，则必须满足k <0且y ＝kx ＋2(x >0)与C 2相切，所以圆心到射线的距离为d ，则d ＝|2－k |1＋k2＝2，所以k ＝0或k ＝－43，因为k <0，所以k ＝－43，所以C 1：y ＝－43|x |＋2.23．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.解答题(六)17．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＋2a cos B ＝c . (1)求证：B ＝2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求a 的取值范围． 解 (1)证明：因为a ＋2a cos B ＝c ，由正弦定理知sin A ＋2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A ＝cos A sin B －sin A cos B ＝sin(B －A )．因为A ，B ∈(0，π)，所以B －A ∈(－π，π)， 且A ＋(B －A )＝B ∈(0，π)，所以A ＋(B －A )≠π， 所以A ＝B －A ，B ＝2A .(2)由(1)知A ＝B 2，C ＝π－A －B ＝π－3B2.由△ABC 为锐角三角形得⎩⎪⎨⎪⎧0<B 2<π2，0<B <π2，0<π－3B 2<π2，得π3<B <π2. 由a ＋2a cos B ＝2，得a ＝21＋2cos B∈(1,2)．18．(2019·安徽江淮十校第三次联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱CC 1上，DE ∥平面AB 1C 1.。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点二十概率、随机变量及其分布课件理
P＝mn ＝165＝25，故选 B.
4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合
后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次
闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A．110
B．15
C．25
D．12
答案 C
解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“开关第二次闭合 后出现红灯”为事件 B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件 AB，“开 关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A， 由题意得 P(B|A)＝PPAAB＝25，故选 C.
B卷
一、选择题
1．已知实数 m∈[0,1]，向量 a＝(2，－2)，b＝(1,1)，则|ma|>|b|的概率
是( )
A．14
B．13
C．12
D．23
答案 C
解析 ma＝(2m，－2m)，若|ma|>|b|，则 2m2＋－2m2> 12＋12，得 m<－12(舍去)或 m>12.所以|ma|>|b|的概率是
3．(2019·山东临沂二模)某人连续投篮 6 次，其中 4 次命中，2 次未命
中，则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是( )
A．12
B．25
C．14
D．15
答案 B 解析 基本事件总数 n＝C46C22＝15，他第 1 次和第 5 次两次均命中包含
的基本事件个数 m＝C22C24C22＝6，则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是
A．34 B．58 C．176 D．196 答案 B 解析 第 2 球投进的概率为 P＝34×34＋1－34×14＝58.故选 B.
(完整word版)2020高考二轮复习导数.doc
则函数f(x)的大致图象是()
2．(2019·北省九校第二次联考河
3＋2ln x的单调递减区间是()
)函数y＝x＋x
A．(－3，1)
B.(0，1)
C．(－1，3)
D.(0，3)
3．(2019
南·昌市第一次模拟测试
)已知f(x)在R上连续可导，f′( x)为其导函数，且f( x)
成的三角形的面积为
(
)
3
1
1
A.2
B.
2
C.2
D.
4
(2)(2019全·国卷Ⅲ)已知曲线
y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B. a＝e，b＝1
－
－
C．a＝e1，b＝1
D. a＝e1，b＝－1
(3)(2019成·都市第二次诊断性检测
)已知直线l既是曲线
D.(－3，3)或(4，－11)
5．(2019洛·阳市统考)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax
与曲线g(x)＝2a2ln x－b有公共点，
且在公共点处的切线相同，则实数
b的最小值为(
)
A．0
B.－12
e
2
4
C．－e2
D.－e2
6．若函数f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为
x
－x
x
－x
)，则f′(2)＋f′(－2)
－f′(0)f′(1)＝()
＝e
＋e
－f′(1)x·(e
－e
2
－2
B.4e
2020高考数学刷题首选卷第二章函数、导数及其应用考点测试5函数的定义域和值域(文)(含解析)
考点测试5 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3] 答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞．12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1)解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．三、模拟小题19．(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．(2018·河南联考)已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．(2018·江西南昌三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0)D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．(2018·邵阳石齐中学月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．(2019·汕头模拟)函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________． 答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．一、高考大题1．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．(2018·山东青岛月考)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．(2019·山西太原一中月考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1．4．(2018·陕西渭南尚德中学一模)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3． (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点八 导数及其应用 Word版含解析
导数及其应用考点八一、选择题2) x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是(．求曲线y＝x与直线y＝12211－xxB．S＝)dA．S＝((x)d－xx x????00211 )dy－D．＝C．SS(y)d－yy ＝y(y????00B答案2注，的图象依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x与直线y＝x(图略)解析相应意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，21B.x，选的图形的面积可用定积分表示为(x－x)d??0在区)xy(y(．已知函数2y＝fx)的导函数＝f′x) 的图象如图所示，则函数＝f()(间a，b()内的极小值点的个数为A．1 B．2D．4C．3A答案解析如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.132图象上一个动点作图象的切线，－xx＝xf)(2019·3．天津南开区模拟过函数()3)(则切线倾斜角的范围是3ππ3π??????0，，0，π?????? B．∪A．424??????π3π3π????，，π????．D．C424????B答案22－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1)f′(x＝x，解得－2x＝(x－1)解析因为π3π????0，，π????. 倾斜角α∪∈24????32＋2在区间[－1,1]x上的最大值是() 4．函数f(x)＝x3－A．－2 B．042 ．DC．C答案2，＝－2(－1)＝0或x＝2(舍去)．因为fx解析f′(x)＝3x－6x.令f′(x)＝0，得C.故选(0)＝2.f(1)＝0，所以f(x)＝ff(0)＝2，maxx－，则曲ex)＝ln (－3x＋1)＋，且当5．已知偶函数f(x)的定义域为R x<0时，f()处的切线斜率为(x)在点(1，f(1))(线y＝f11e ＋A．＋e ．B2433e D．＋C．e ＋24C答案，当1)(－f的图象关于y轴对称，∴′(1)＝－f′由题意得，偶函数解析f(x)3－33x－C.e，故选′(1)＝＋＝x<0时，f′(x)－ef(，∴f′－1)＝－－e，则44x1－31232－1．(2019·辽宁丹东质量测试二)若x＝是函数f(x)＝＋(a＋1)x－(aax＋63)3)x的极值点，则a的值为(3 B．－2 ．A2 或3．－D3 C．－2或B答案222a(1)3)x＝′解析∵f(x)x2(＋a＋1)－(a＋a－，又f′＝0，∴(＋2(a1)－1＋2显x＋x9)(－1)，(9xx)(f3a，＝－或＝，即＝－＋a3)0a3a2当＝时，′x＝＋8－＝22，∴函0≥1)－x(＝1＋x2－x＝)x(′f时，2＝－a的极值点；当)x(f是函数1＝x然．B.R上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选数是3) (a的取值范围是在(－1,1)上单调递减，7．已知函数f(x)＝x则实数－ax) [3，＋∞B．A．(1，＋∞)3](－∞，1] D．C．(－∞，B答案232－上单调递减，∴3xx)在(－(x)＝x(－ax，∴f′x)＝3x1,1)－a.又f(解析∵fB. ≥3，故选a在(－1,1)上恒成立，∴a≤0牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)8．))(xP(x，fk似解的另一种方法，若定义x(∈N)是函数零点近似解的初始值，过点kkkk，即为函数零点近x，切线与x轴交点的横坐标f的切线为y＝f′(x)(x－x)＋(x)1kkkk＋似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设2)(f函数(x)＝x＝－2，满足x＝2应用上述方法，则x30173 ．BA122577141 ．C．D408100D答案x2＝4(＝，切线斜率k4，切线方程y－2)解析因为f′(x＝2x，x＝，y＝200031133??－x??，，＝，得x；x＝y＝，切线斜率k＝－33，切线方程为y＝0，－2)令y＝111124422??1717171171＝y－＝＝＝x，y＝＝令y0，得x，切线斜率k，切线方程为；222261441441212617577??－x??D. ，故选x0，得＝，令y＝312408??二、填空题12．的单调递增区间为________5xln x)＝x－－x＋(．函数9f2??15－??答案0，2??．1可解得x－1>0－，再由f′(x)＝解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)x1－5. 0<x<2x相切，xy＝－ln ax的图象在点(0，f(0))10．已知函数f(x)＝e处的切线与曲线＋________.＝则a2－答案x y＝1，所以切线方程为＋＝1a，又f(x)＝e(0)＋a，所以f′(0)f解析因为′11＝)，则－t，－ln t令切点坐标为又y＝－ln x的导函数y′＝－，(x＝(1＋a)＋1，tx1ln t－－2. ，a＝－1＋a＝，解得t＝1t23________.x＝)，x>0，则(x)dx＝3f(11．设函数f(x)＝axx＋b(a≠0)，若f?000?03答案a??33 |222bx＋x??，由xx>0)＝3(＝依题意得9a(a≠0)，＝3(ax＋b)，即3ax解析 000003??此解得x ＝3.04??32m ＋??x ＋6＋在R 上有极值，则实数m12．若函数f(x)＝x ＋mx 的取值范围 3??是________．答案 m>4或m<－142＋2mx ＋mx ＋＝0有不等 由题意可知，f ′(x)＝0有不等根，即方程3解析 34??2m ＋??>0，解得m>44m 或－12m<－1.Δ根，所以>0，即 3??三、解答题322在x ＝1处有极值＋ax4. ＋bx ＋)13．已知函数f(x ＝xa(1)求实数a ，b 的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．322， a ＋xx)＝bx ＋ax ＋( 解(1)∵f 2＋2ax ＋＝3xb.x ∴f ′()2 ，0＝b ＋a2＋3＝(1)′f ，4＝a ＋b ＋a ＋1＝(1)f ∵．，＝－a2a ＝3，???? 或∴1.b ＝b ＝－9?? 经检验都符合题意．23 ，9x ＋时，由(1)得f(x)＝x ＋3x9－(2)当a>029. －＋6x ∴f ′(x)＝3x9.＝－(－2)，f(－2)＝31f ′ ，x ＋2)∴所求的切线方程为y －31＝－9(0. ＝y －13即9x ＋a3 为实常数)．＝ln x ，g(x)＝－(a14．已知函数f(x) x2 )上的最小值；)－g(x)在x ∈[4，＋∞x(1)当a ＝1时，求函数φ()＝f(x1??)(x2f 1，??的取a 上有解，求实数＝(2)若方程e2.71828…)在区间＝g(x)(其中e 2?? 值范围．1－x1113. ＝＝－′(x)，f)＝(x)－g(x)＝ln x －＋∴φ1解 (1)当a ＝时，函数φ(x 22x2xxx)>0.(x)，∴φ′∵x ∈[4，＋∞ 上单调递增，，＋∞)x ＝f(x)－g(x)在∈[4∴函数φ(x)5. ＝2ln 2－φ∴当x ＝4时，(x) min 4a32x)2f(. ＝＝g(x)可化为e(2)方程x － x233. ∴a ＝x －x 23323. 3－x ，则y ′x 设y ＝x －＝ 221??1，?? ∈，∵x 2??3????2123???? 上单调递减．x 在上单调递增，在x ∴函数y ＝－1，， 2222????12215 时，＝1y ＝，；x ＝∵x 时，y ＝；时，＝y ＝x22228????2112????.，∴∈∈ay ∴，， 2222????一、选择题x ，则下列结论正确的是( 2 ) (x)＝x ·1．已知函数f1A ．当x ＝时，f(x)取最大值ln 21B ．当x ＝时，f(x)取最小值 ln 21C ．当x ＝－时，f(x)取最大值ln 21D ．当x ＝－时，f(x)取最小值 ln 2答案 D1xx ln 2，令f ′(x)＝0＋x ·2，得x ＝－，又当xf 解析 由题意知，′(x)＝2<ln2111－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0.∴当x＝－时，f(x)取最小值．ln 2ln 2ln 232＋m(m为常数)在[6x－2,2]上有最大值为3，2．已知f(x)＝2x那么此函数在－[－2,2]上的最小值为()A．0 B．－537．－10 ．－DCD答案2或x＝2，当x<0fx，由′(x)＝0得x＝0＝解析由题意知，f′(x)6x或－12上[上单调递增，在0,2])<0，∴f(x)在[－2,0]f(x>2时，f′x)>0，当0<x<2时，′(x37.37，∴最小值为－，f(2)＝－5f(－2)＝－m单调递减，由条件知f(0)＝＝3，∴23，－3ax(0＋1在区间(3．(2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)若函数fx)＝2x))内有两个零点，则实数a的取值范围为(＋∞) －∞，1) B，＋∞(1．A．((1,2) (0,1) C．．DB答案2，，若a①当≤0时，x∈(0＋∞))>0(则f′x，．axx＝66)(f解析′x＝x－ax6(－)时，函数∞，＋)>0上单调递增，不可能有两个零点；②当a(0)(此时函数fx在区间，若函1>0＝(0)f上单调递增，因为)∞，＋a(上单调递减，在区间)a，(0在区间)x(f333，故<0，得－aa)＝2aa－3a>1＋1＝1数f(x)在区间(0，＋∞)内有两个零点，有f(B.选3) 相切的直线的条数为(x4．(2019·江西吉安一模)过点P(1,1)且与曲线y＝1 A．0 ．B32 D．C．C答案31－－1xy002，x＋＋k＝＝＝x1，解析若直线与曲线切于点(xy)(x≠0)，则0000011xx－－001222，(1，∴过点1或x＝－＝3xP，∴k＝3x，∴2x－x－1＝0，解得x＝又∵y′0000023C.1＝0，故选xy＝y相切的直线方程为3x－y－2＝0或3x－4＋1)与曲线C：2，1][0x，，x∈??e?)x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx＝(5．设f(1??e]∈，x?1，?x?024 ．－BA．－3342 DC．．33D答案4111e1 | |32ee1.＝＋dxx＋1ln ＋x＝＝x解析依题意得，f()dx＝xdx???103x33???100) (＝0的最短距离是8x－y6．曲线＝ln (2x1)上的点到直线2－y＋2 5 2B．A．3 DC．23 ．A 答案2的距离是曲＝08y到直线，则点＝＝y解析当′＝2时，x1(1,0)2x－＋12x－8＋2即最短距离为的最短距离，＋8＝0－，2＝51)＝线yln (2x－上的点到直线2xy5A.故选) 以下四个数中，最大的是．7(2019·广东揭阳二模)(13B．lnA．3eln π15ln 15 C．D．π30B答案x－ln 1xln )xf′(x)<0，∴f(，则由题意，令f(x)＝f′(x)＝，∴x>e时，解析2 xx1e>lnln f(π)>ef(15)，则在(e，＋∞)上单调递减，又由e<3<π<15，∴f(e)>f(3)>11 π31 15)3，>ln (>ln π15ln π1513>ln 15，故选>ln 3>∴B.π30e8．(2019·江西景德镇二检)定义在R上的函数f(x)满足对任意x∈(0，＋∞)，都有f′(x)<f′(－x)，非零实数a，b满足f(a)－f(b)>f(－b)－f(－a)，则下列关系式中正确的是()A．a>b B．a<b2222 aC．a>bb <D．D答案)∞(0，＋x)g′(x＝f′(x)－f′(－x)，因为当∈xf解析记g(x)＝(x)＋f(－)，则－g(，＋x)，即g′(x)<0，所以g(x)在(0∞)上单调递减，又因为－f时，′(x)<f′(－－f((a)＋f(－a)?fb因为)ff(－x)＋(x)＝g(x，所以g(x)为偶函数，f(a)－f()>f(－b))x＝22D.|b，即a，故选<b(bfa)>(b)＋f(－)?g(a)>gb)，所以|a|<| 二、填空题的极大值为，则f()x′已知函数9．(2019·天津和平区模拟)f(x)＝2f(1)ln x－x ．________2 2ln 2答案－?1?2f′1?2f′?2ln＝(x)(1)，f(解析∵f′x)＝′＝1，因此f1＝，∴－1f′(1)－1x2x －x.令f′(x)＝－1＝0，得x＝2，∴当x＝2时，f(x)取得极大值2ln 2－2.x3＋2x＋1对＝－x)xx∈R恒成立，(3)(若江西新八校第二次联考．10(2019·)fx ＋f ．________处的切线方程为(1))f，(1在点)x(f＝y则曲线5＝10x＋4y－答案3①＋2x＋1(x)＋3f(－x)＝x，解析∵f3②2x＋1，x)＋3f(x)＝－x－(∴f－113＝－x，则－x＋联立①②，得f(x)425332－(1)＝－1＝－x)＝－x，－1，∴f′′f(222511 －1＋＝－，又f(1)＝－442550. y－5＝(x－1)，即10x＋4＝－∴切线方程为y＋24________ 其母线长为20 cm.要使体积最大，则高为11．要做一个圆锥形的漏斗，cm.320 答案3ππ22(400rhh－h＝(cm)，所以体积V解析设高为h cm，则底面半径＝r＝40033ππ320203222即当高为＝.)＝0，解得3h3)．令V′＝(400－hh(400－h)，则V′＝－3333cm时，圆锥的体积最大．13－3x－2ln x在[t，x)＝xt＋1]上不单调，则实数t的取值范围是(12．若函数f 3________．答案1<t<232x－3x－2?x－2??x＋1?222x＝＝＝，可以验证x)＝x－3－′解析依题意，f(xxx为极小值点，故t<2<t＋1，解得1<t<2.三、解答题ln x13．(2019·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝ax－. x(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若y＝f(x)的图象与y＝a相切，求实数a的值．ln xln xln x解(1)由f(x)≥0得ax－≥0，从而ax≥，即a≥.2xxxx2ln 1－xln >0), (x＝，则g′(x)＝设g(x)32xx (x)单调递增；g′(x)>0，所以当0<xg<e时，单调递减，(x)g′(x)<0，g当xe>时，1(e)＝g，e 时，g(x)所以当x取得最大值，＝2e1故a的取值范围是a≥.2e，＝a?t?f?? a)，依题意可得相切于点y＝a(t，(2)设y＝f(x)的图象与0.＝?t?f′?tln ?，－＝aat?tx1－ln ?－，所以(x)＝a因为f′2xt－ln 1?，＝a－0?2t ，－1)ln t＝0－消去a可得t1－(2t ，则(2t－1)ln t令h(t)＝t－1－11 ，2ln t－1(2t－1)·－2ln t＝－h′(t)＝1－tt (1)＝0，在)(0，＋∞)上单调递减，且h′显然h′(t (t)单调递增；h′(t)>0，h<1所以0<t时，t)单调递减，′(t)<0，h(时，t>1h1.，故a＝h(t)＝01所以当且仅当t＝时，x 1)．－k(x－)(2019·山西考前适应性考试已知函数f(x)＝(kx－1)e14．；k＝x处的切线斜率与无关，求x(1)若f(x)在x00的最大值．＜0成立，求整数k)(2)若?x∈R，使得f(x x－k，(x)＝kx＋k－1)e解(1)f′(xx e＋1)e，－1]－)即f′(x＝k[(x x0.1(x＋1)e＝－由已知得00xx，＋2)e＝1，则φ′(x)(xxx令φ()＝(＋1)e－单调递减，)x)<0，φ(x′－∞，－当x∈(2)时，φ(x，x－1<1，∴(＋1)e<0＋，∴－x ∵<2x x；)<0x(φ，因此1<0－1)e＋x(∴．当x∈(－2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)只有唯一零点，故x＝0. 0xx. ＋1)<e－x)<0，即k(xe(2)f(x 当x≥0时，xxx－1)＋1>0；≥0，∴xe(e－1≥0，∴x(e －1)∵当x<0时，xxx－1)(e＋1>0. －1)>0，∴x∵e－1<0，∴x(e x－1)(e＋1>0.∴x x e xx.k<－ex＋1)<e可等价转化为∴k(x x1＋xe－x x e设g(x)＝，由题意k<g(x).xmax1＋－xxe xx－xe??2－e x又g′(x)＝，令h(x)＝2－e－x，2x?＋1xe－x?x－1<0，)＝－e 则h′(x∵h′(x)<0，∴h(x)在R上单调递减，又∵h(0)>0，h(1)<0，x＝2－x.x)＝0，即eh∴?x∈(0,1)，使得(0000当x∈(－∞，x)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；0当x∈(x，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．0x e0 x)＝(∴g(x)＝g x0max1xx e＋－0002－x10＝＝.11x＋?2－x－x?00032＋＋x－02－x0令t＝x－2[t∈(－2，－1)]，011??，1??，∈＋则y＝t＋32t??∴g(x)∈(1,2)，故整数k的最大值为1. max。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点十二 数列综合问题
考点十二 数列综合问题一、选择题1．若数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为( ) A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．110答案 A解析 由a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19，∴{a n }的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎨⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下4个环所需的最少移动次数为( ) A ．7 B ．10 C ．12 D ．22 答案 A解析 依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7，故选A. 3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1 答案 A解析 由a n ＋1＝3S n 得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，即a 6＝3×44，故选A.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝125，a 2＋a 5＝4，设b n ＝[a n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{b n }的前8项和S 8＝( )A ．24B ．20C ．16D ．12答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝125，2a 1＋5d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25⇒a n ＝1＋(n －1)×25＝25n ＋35⇒b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝2，b 6＝b 7＝b 8＝3⇒S 8＝16.5．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n ，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1＋a n 的前n 项和为5，则n ＝( )A ．35B ．36C ．120D ．121答案 C解析 用裂项相消法求数列的前n 项和．因为a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n，所以a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4n ，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ，所以1a n ＋1＋a n ＝12×1n ＋1＋n＝12×(n ＋1－n )，所以S n ＝12×[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )]＝12×(n ＋1－1)＝5，解得n ＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为( ) A ．2 2 B ．83 C ．3 D ．3 2答案 C解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 9＝a 8＋2a 7，∴a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21，∴a 21qm －1＋n －1＝2a 21，2m ＋n －2＝2，m ＋n －2＝1，m ＋n ＝3，∴1m＋4n＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ＋5≥13×9＝3，当且仅当m ＝1，n ＝2时等号成立．故选C. 7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{a n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝－a 2n ＋ta n (n ∈N *)，若存在实数t ，使{a n }单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 A解析 由{a n }单调递增，得a n ＋1＝－a 2n ＋ta n >a n ，又a 1＝a >0，则a n >0，所以t >a n ＋1(n ∈N *)．n ＝1时，t >a ＋1.①n ＝2时，t >－a 2＋ta ＋1，即(a －1)t <(a ＋1)(a －1)．② 若a ＝1，②式不成立，不符合题意；若a >1，②式等价于t ＜a ＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B ，C ，D ，故选A.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.二、填空题9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *)，则a 5·a 2019＝________.答案 27解析 由a n ·a n ＋2＝3a n ＋1知n ≥2，a n －1·a n ＋1＝3a n ，两式相乘得a n －1·a n ＋2＝9，又a n ＋2·a n ＋5＝9，得a n －1＝a n ＋5，则数列周期为6，又a 1a 4＝9，则a 4＝9，故a 5·a 2019＝a 5·a 6×336＋3＝a 5·a 3＝3a 4＝27.10．已知a n ＝n －7n －52(n ∈N *)，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.答案 8解析 因为函数y ＝x －7x －52在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象可得a 8>a 9>…>1>a 1>a 2>…>a 7，即a 8为数列{a n }的最大项，故m ＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4,4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1(n ≥1)，则a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2) 解析 当n ≥2时，由4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，得4S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴4S n －4S n －1＝a n ＋1，即4a n ＝a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝4(n ≥2)，又4S 1＝4a 1＝a 1＋a 2，a 1＝4，∴a 2＝12，∴当n ≥2时，a n ＝12×4n －2＝3×4n －1.又a 1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2).12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为N n ，如图三阶幻方的N 3＝15，那么N 9的值为________．答案369解析根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3＝13×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝15，N4＝14×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N5＝15×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴N n＝1n×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n2)＝1n×n2(1＋n2)2＝n(n2＋1)2，故N9＝9×(92＋1)2＝9×41＝369.三、解答题13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝14a n－1，求数列{b n}的前n项和．解(1)因为a n＋1＝a n＋2n＋1，所以当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 由于a1＝1满足a n＝n2，所以所求{a n}的通项公式为a n＝n2.(2)因为b n＝14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以数列{b n}的前n项和为T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－2(n∈N *)，{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2，当n ＝1时，得a 1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n .设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1,16＝5d ＋b 1， 所以d ＝3，b 1＝1，所以b n ＝3n －2.(2)T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n )， 又因为b n ＝3n －2，则T 2n ＝3×2n (b 1＋b 2n )2＝3n [1＋3×(2n )－2]＝18n 2－3n .一、选择题1．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4194B ．4195C ．2046D ．2047答案 A解析 由题意，得当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，数列为以2为公比的等比数列，当n 为偶数时，b n ＋2＝b n ＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S 23＝(b 1＋b 3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝1－2121－2＋11×4＋11×(11－1)2×1＝212－1＋44＋55＝4194.2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{a n}，等比数列{b n}，满足a1＝b1＝1，a5＝b3，则a9能取到的最小整数是()A．－1 B．0C．2 D．3答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a5＝b3，可得1＋4d＝q2，则a9＝1＋8d＝1＋2(q2－1)＝2q2－1>－1，可得a9能取到的最小整数是0，故选B.3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案 C解析设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a13＝14.8，则130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6，∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋2(n >8)，a n －7(n ≤8)，若对于任意的n ∈N *都有a n >a n＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 D解析 ∵对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，∴数列{a n }单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－a <0，0<a <1，即13<a <1.又由题意知a 9<a 8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ×9＋2<a 8－7，解得a >12，故12<a <1.5．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足10011000<S 2n S n<1110的n 的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 A解析 由2a n ＋1＋S n ＝2得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫10011000，1110，即11000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，4≤n ≤9，所以n 的最大值为9，故选A.6．(2019·陕西西安4月联考)已知函数f (x )＝21＋x 2，若等比数列{a n }满足a 1a 2019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝( )A ．2019B ．20192C ．2D ．12答案 A 解析 ∵f (x )＝21＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝2.∵a 1a 2019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2019)＝2，∵{a n }为等比数列，则a 1a 2019＝a 2a 2018＝…＝a 1009a 1011＝a 21010＝1.∴f (a 2)＋f (a 2018)＝…＝f (a 1009)＋f (a 1011)＝2，f (a 1010)＝1，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝2×1009＋1＝2019.7．(2019·江西新八校联考二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000，(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038，则S 4036＝( )A ．2020B ．2038C ．4034D ．4036答案 D解析 由(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000得 (a 2017－1)2019＋2019(a 2017－1)＋(a 2017－1)2021＝－19，① 由(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038得 (a 2020－1)2019＋2019(a 2020－1)＋(a 2020－1)2021＝19，② 令f (x )＝x 2019＋2019x ＋x 2021， 则①式即为f (a 2017－1)＝－19， ②式即为f (a 2020－1)＝19，又f (－x )＋f (x )＝0，即f (x )是奇函数，则(a 2017－1)＋(a 2020－1)＝0，即a 2017＋a 2020＝2，∴S 4036＝2018(a 1＋a 4036)＝2018(a 2017＋a 2020)＝4036.故选D.8．(2019·广东韶关模拟)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞答案 D解析 因为a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，则1n a n ＝2n ，故a n ＝2n 2(a 1＝2满足此式)，所以b n ＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2，由于T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，故14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1在n ∈N *上单调递减，故当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14n ＋4max ＝38，所以λ>38，故选D.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳质量监测三)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．答案 －6解析 由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －1.则b n ＝a 2n －7a n ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254，∴当a n ＝4时，(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.10．(2019·辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r ，t ∈N *，都有S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，则a n ＝________.答案 2n －1解析 若r ＝n ，t ＝n ＋1，n ∈N *，则S n S n ＋1＝n 2(n ＋1)2，令S n ＝n 2k ，S n ＋1＝(n ＋1)2k ，则a 1＝S 1＝k ＝1，∴S n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1＝2(n ＋1)－1，∴a n ＝2n －1，经验证，n ＝1时，满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.答案 78解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.12．(2019·河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019的值为________．答案 3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…}，可得数列{b n }构成一周期为6的数列，由题意得数列{c n }为{1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，…}，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2018)＋c 2019＝1＋1＋1＝3.三、解答题13．(2019·河北廊坊期中联合调研)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n ，∴当n ＝1时，a 1＝2－32＝12；当n ≥2，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝2－n ＋12n －1， ∴na n ＝2－n ＋22n －⎝⎛⎭⎪⎫2－n ＋12n －1＝n 2n ，可得a n ＝12n ， 又∵当n ＝1时也成立，∴a n ＝12n .(2)∵b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1， ∴b n ＝2n (1＋2n )(1＋2n ＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1. 14．(2019·河北石家庄二中二模)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1，a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又数列{a n }单调递增，则⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n .(2)∵b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0， 对任意正整数n 恒成立，m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立，∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数课件：第一部分 考点十四 空间中的平行与垂直关系
解析 因为在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠ BAD＝90°，所以 BD⊥CD，又平面 ABD⊥平面 BCD，且平面 ABD∩平面 BCD ＝BD，所以 CD⊥平面 ABD，则 CD⊥AB，又 AD⊥AB，所以 AB⊥平面 ADC， 则平面 ABC⊥平面 ADC，故选 D.
解 (1)证明：如图 1，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，连接 BM， 因为 BCC1B1 是矩形，所以 BC⊥BB1， 因为 AA1∥BB1，所以 AA1⊥BC， 又因为 AA1⊥MC，BC∩MC＝C， 所以 AA1⊥平面 BCM，所以 AA1⊥MB， 又因为 AB＝A1B，所以 M 是 AA1 的中点，
取 BC 的中点 P，连接 NP，AP， 因为 N 是 B1C 的中点，则 NP∥BB1 且 NP＝12BB1， 所以 NP∥MA 且 NP＝MA， 所以四边形 AMNP 是平行四边形，所以 MN∥AP， 又因为 MN⊄平面 ABC，AP⊂平面 ABC， 所以 MN∥平面 ABC.
(2)因为 AB⊥A1B，所以△ABA1 是等腰直角三角形， 设 AB＝ 2a，则 AA1＝2a，BM＝AM＝a. 在 Rt△ACM 中，AC＝ 2a，所以 MC＝a. 在△BCM 中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2， 所以 MC⊥BM， 由(1)知，则 MC⊥AA1，BM⊥AA1， 如图 2，以 M 为坐标原点，M→A1，M→B，M→C的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
解析 命题①是线面平行的判定定理，正确；命题②因为垂直同一平面 的两条直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故 正确；命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直， 故不正确；命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，从而交线垂直于 第三个平面，故正确．故答案为①②④.
2020年高考数学真题模拟好题专题练习：导数及其应用(附答案与详解)
高考数学真题模拟好题专题练习：导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容 .函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：① 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；②化简和尝试消参；③双变量化为单变量.④证明函数恒成立（求导、求极值……）（经典题型2018年全国一卷理21题） 【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）1．（2019·全国高考真题（理））已知曲线ln x y ae x x =+在点），（ae 1处的切线方程 为b x y +=2，则（ ）A ．a =e,b =−1B ．a =e,b =1C ．a =e −1,b =1D ．a =e −1,b =−12．（2019·安徽高三期中（理））已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x +≤⎧=⎨⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ． C ． D ．1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()x f x m π=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．()(),66,-∞-⋃∞ B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞4（2019·四川高考模拟（文））已知函数32(x)(5)(4)f x a x b x =+-++，若函数()f x 是奇函数，且曲线()y f x =在点(3,(3))f 的切线与直线y 36x =+垂直，则a b +=( )A ．−32B ．−20C ．25D ．425．（2019·广东高考模拟（理））若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()+∞B ．(1,)+∞C ．)+∞D ．[1,)+∞ 6（2018·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =， 且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则不等式23(2cos )2sin 22x f x +> 的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题7．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．8（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()x f x m π=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．()(),66,-∞-⋃∞ B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞9．（2019·天津高考模拟（理））已知函数()12cos 2x x f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.10．（2019·安徽高考模拟）设函数21(),()x x x f x g x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点四平面向量文
考点四 平面向量一、选择题1．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案 C解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.2．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案 A解析 因为AB →＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选A.3．设向量e 1，e 2为平面内所有向量的一组基底，且向量a ＝3e 1－4e 2与b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则实数k 的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4 答案 B解析 由a 与b 不能作为一组基底，则a 与b 必共线，故36＝－4k ，即k ＝－8.故选B.4．(2019·湖南长沙一中一模)若非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( )A ．4B ．8 C.14 D.18答案 A解析 由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.5．(2019·福建龙岩模拟)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 A解析 由△CEF ∽△ABF ，且E 是CD 的中点，得CE AB ＝EF BF ＝12，则BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝－13a ＋23b ，故选C. 6．(2019·辽宁朝阳四模)已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足BP →＝λBC →(λ∈R )，若|AB →|＝2，则AP →·(AB →＋AC →)＝( )A ．2 3B ．3C ．6D ．与λ有关的数值 答案 C解析 设BC 的中点为O ，则|AO →|＝3，因为BP →＝λBC →(λ∈R )，所以点P 在直线BC 上，即AP →在AO →方向上的投影为|AO →|，所以AP →·(AB →＋AC →)＝2AO →·AP →＝2|AO →|2＝6，故选C.7．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12答案 A解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0且a ，b 不共线，即－2λ－1<0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．8．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 (OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A. 二、填空题9．(2019·山东栖霞模拟)若向量a ＝(2，x )，b ＝(－2,1)不共线，且(a ＋b )⊥(a －b )，则a ·b ＝________.答案 －3解析 因为a ＋b ＝(0，x ＋1)，a －b ＝(4，x －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，所以0×4＋(x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝1或x ＝－1，因为向量a ＝(2，x )，b ＝(－2,1)不共线，所以x ＝－1不成立，即x ＝1，所以a ·b ＝2×(－2)＋1×1＝－3.10．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，若a －b ＝x e 1＋y e 2，则y ＝________.答案 －3解析 由题图易得a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，则a －b ＝(－e 1－4e 2)－(－2e 1－e 2)＝e 1－3e 2，所以x ＝1，y ＝－3.11．(2019·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，若点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，则OP →＝________.答案 2 2解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝0，所以P 为△ABC 的重心，故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋33，1＋2＋33，即(2,2)，故|OP →|＝2 2.12．(2019·山东德州二模)已知△ABC 中，|BC →|＝2，BA →·BC →＝－2.点P 为BC 边上的动点，则PC →·(PA →＋PB →＋PC →)的最小值为________．答案 －2512解析 以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B (－1,0)，C (1,0)，设P (a,0)，A (x ，y )，由BA →·BC →＝－2，可得(x ＋1，y )·(2,0)＝2x ＋2＝－2，即x ＝－2，y ≠0，则PC →·(PA →＋PB →＋PC →)＝(1－a ，0)·(x －a －1－a ＋1－a ，y ＋0＋0)＝(1－a )(x －3a )＝(1－a )(－2－3a )＝3a 2－a －2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －162－2512，当a ＝16时，PC →·(PA →＋PB →＋PC →)的最小值为－2512.三、解答题13．已知OA →＝a ，OB →＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N . (1)用a ，b 表示向量MN →；(2)设|a |＝1，|b |＝2，MN →⊥OA →，求a 与b 的夹角． 解 (1)由题意可得，AB 是△SMN 的中位线， 故有MN →＝2AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a )． (2)记a 与b 的夹角为θ，因为MN →⊥OA →，所以MN →·OA →＝0，即2(b －a )·a ＝0，则b ·a －a 2＝0， 所以|b |·|a |·cos θ－|a |2＝0，又|a |＝1，|b |＝2，则2cos θ－1＝0，即cos θ＝12，而θ∈[0，π]，所以θ＝π3.14．(2019·四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．解 (1)证明：∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0. 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0， ∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．一、选择题1．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b答案 C解析 “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，则答案为C.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，∴12＋t －32＝1，∴t ＝3，∴BC →＝(1,0)，∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·山东聊城三模)在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵AE →＝12AD →＋12AC →＝12BC →＋12AC →＝12AC →－12AB →＋12AC →＝－12AB →＋AC →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12.故选B.4．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34 答案 C解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.5．(2019·福建模拟)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，且|a |＝3，|b |＝1，则向量b 与a －b 的夹角为( )A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6答案 B解析 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以a ⊥b .如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量b 与a －b 的夹角为∠BDE ，因为tan ∠BDA ＝3，所以∠BDA ＝π3，∠BDE ＝2π3.故选B.6．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911B.211 C.311 D.111答案 D解析 ∵AN →＝14NC →，∴AC →＝5AN →，∵AP →＝mAB →＋211AC →，∴AP →＝mAB →＋1011AN →，∵P 是BN 上的一点， ∴B ，P ，N 三点共线，∴m ＋1011＝1，∴m ＝111，故选D. 7．O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案 B解析 OP →－OA →＝AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，因为AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在直线与∠A 的角平分线重合，则点P 的轨迹是∠A 的角平分线，一定经过△ABC 的内心，故选B.8．(2019·广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，AP →＝13AB →，AQ →＝12AD →，若CP →·CQ →＝12，则∠ADC ＝( ) A.5π6 B.3π4 C.2π3 D.π2答案 C解析 如图所示，平行四边形ABCD 中，CP →＝CB →＋BP →＝－AD →－23AB →，CQ →＝CD →＋DQ →＝－AB →－12AD →，因为CP →·CQ →＝12，所以CP →·CQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－AD →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →－12AD →＝23AB →2＋12AD →2＋43AB →·AD →＝23×32＋12×22＋43×3×2×cos∠BAD ＝12， 则cos ∠BAD ＝12，即∠BAD ＝π3，所以∠ADC ＝π－π3＝2π3，故选C.二、填空题9．(2019·湖北四地七校联考)正三角形ABC 的边长为1，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________.答案 －32解析 ∵正三角形ABC 的边长为1，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－(BA →·BC →＋CB →·CA →＋AC →·AB →)＝－(1×1×cos60°×3)＝－32.10．(2019·安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD 中，AD →＝BC →，AB →＝(2,4)，BD →＝(－3，－5)，则AC →在AB →上的投影为________．答案755解析 由AD →＝BC →得四边形ABCD 是平行四边形， 且AD →＝AB →＋BD →＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)， 则AC →＝AB →＋AD →＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，∴AC →在AB →上的投影为|AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|＝1425＝755.11．已知|a |＝2，|b |＝3，向量a 与b 的夹角为2π3，且a ＋b ＋c ＝0，则|c |＝________.答案7解析 由a ＋b ＋c ＝0，所以－c ＝a ＋b ，所以|－c |＝|a ＋b |，即c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2＋2|a |·|b |cos 2π3＝4＋9＋2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以|c |＝7.12．(2019·天津九校联考)在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，若AO →＝14AC →，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最小值是________．答案7－1解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意可得，A (2,0)，B (0,0)，C (0,23)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D (cos θ，23＋sin θ)， 即OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－32，332＋sin θ，则OA →＋OB →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－52，sin θ＋32，|OA →＋OB →＋OD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322 ＝ 8＋3sin θ－5cos θ＝ 8＋27sin θ＋φ，当sin(θ＋φ)＝－1时，|OA →＋OB →＋OD →|取到最小值8－27＝7－1. 三、解答题13．(2019·安徽涡阳一中第二次质检)如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，假设OP →＝3e 1＋2e 2.(1)计算|OP →|的大小；(2)设向量a ＝(m ，－1)，若a 与OP →共线，求实数m 的值；(3)是否存在实数n ，使得向量OP →与b ＝(1，n )垂直？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解 (1)e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12，所以|OP →|＝|3e 1＋2e 2|＝3e 12＋12e 1·e 2＋2e 22＝9|e 1|2＋12e 1·e 2＋4|e 2|2＝19.(2)因为a ＝(m ，－1)＝m e 1－e 2，又a 与OP →＝3e 1＋2e 2共线，所以存在实数λ使得a ＝λOP →，即m e 1－e 2＝λ(3e 1＋2e 2)＝3λe 1＋2λe 2，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，－1＝2λ，解得m ＝－32.(3)假设存在实数n ，使得OP →与向量b ＝(1，n )垂直， 则OP →·b ＝0，即 (3e 1＋2e 2)·(e 1＋n e 2) ＝3e 21＋(3n ＋2)e 1·e 2＋2n e 22＝3|e 1|2＋(3n ＋2)e 1·e 2＋2n |e 2|2＝3＋(3n ＋2)×12＋2n ＝0，得n ＝－87，所以存在实数n ＝－87，使得向量OP →与b ＝(1，n )垂直．14．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝2.(1)若△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ，E 是CD 的中点，求AE →·BD →； (2)若AC ＝AB ，cos ∠CAB ＝35，AC →·BD →＝45，求|DC →|.解 (1)因为△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ， 所以∠DAB ＝120°，又AD ＝2AB ，所以AD ＝2BC ，因为E 是CD 的中点，所以AE →＝12(AD →＋AC →)＝12(AD →＋AB →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝34AD →＋12AB →.又BD →＝AD →－AB →，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝34AD →2－12AB →2－14AD →·AB →＝34×16－12×4－14×4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝11. (2)因为AB ＝AC ，AB ＝2，所以AC ＝2， 因为AC →·BD →＝45，所以AC →·(AD →－AB →)＝45，所以AC →·AD →－AC →·AB →＝45.又AC →·AB →＝|AC →||AB →|cos ∠CAB ＝4×35＝125，所以AC →·AD →＝45＋AC →·AB →＝165.所以|DC →|2＝|AC →－AD →|2＝AC →2＋AD →2－2AC →·AD →＝4＋16－2×165＝685.所以|DC →|＝2855.。
2020届高考数学大二轮复习刷题首秧第一部分刷考点考点二十坐标系与参数方程文2
考点二十 坐标系与参数方程解答题1．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：Error!(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解 (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R )，π4圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，π4得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－，222|MN |＝|ρ1－ρ2|＝，2∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为××1×sin ＝.122π4122．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程并说明各曲线名称；(2)判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系？若相交，求出弦长．解 (1)由Error!消去t 得x －2y －3＝0，所以曲线C 1的普通方程为x －2y －3＝0，是斜率为的直线．12由ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，配方得(x －2)2＋y 2＝4，即曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．(2)由(1)知，曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝＝<2，|2－0－3|555所以曲线C 1与曲线C 2相交，弦长为2＝.22－(55)229553．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是Error!(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－＝0.3(1)求曲线C 的普通方程，及直线l 的参数方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解 (1)曲线C 的参数方程化成普通方程为＋＝1，x 24y 23因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的直角坐标方程为x －y －＝0，其倾斜角为，3π4过点(，0)，3所以直线方程化成参数方程为Error!(t 为参数，且t ∈R )．(2)将Error!代入＋＝1，x 24y 23得7t 2＋6t －6＝0，6Δ＝(6)2－4×7×(－6)＝384>0，6设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－，t 1t 2＝－，66767所以AB ＝|t 1－t 2|＝ ＝＝.t 1＋t 2 2－4t 1t 23847867故直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为.8674．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B，C ，D (2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，(2，π4)(2，3π4)AB ︵ BC ︵ CD︵(1，π2)曲线M 1是弧，曲线M 2是弧，曲线M 3是弧.AB ︵ BC ︵ CD ︵(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝，求P 的极坐标．3解 (1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为AB ︵ BC ︵ CD︵ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，(0≤θ≤π4)M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，(π4≤θ≤3π4)M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.(3π4≤θ≤π)(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；π43π6若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；π43π43π32π3若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.3π435π6综上，P 的极坐标为或或或.(3，π6)(3，π3)(3，2π3)(3，5π6)5．(2019·河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线C ：ρ＝2sin θ上任一点，点P 满足＝3.设点P 的轨迹为曲线Q .OP → OM→(1)求曲线Q 的平面直角坐标方程；(2)已知曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线l ：Error!(t 为参数)相交于A ，B 两点，求|OA |＋|OB |的值．解 (1)设P (ρ，θ)，∵＝3，∴点M 的极坐标为，代入曲线C ，得OP → OM→ (ρ3，θ)＝2sin θ，ρ3即曲线Q 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，∵ρ2＝6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝6y ，∴x 2＋(y －3)2＝9，∴曲线Q 的平面直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N 的方程为x 2＋(y －4)2＝9.l 的参数方程化为Error!两方程联立得t 2－4t ＋7＝0，2∴t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝7，2∴|OA |＋|OB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝4.26．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.3(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．解 (1)因为－1<≤1，1－t 21＋t 2且x 2＋2＝2＋＝1，(y2)(1－t 21＋t 2)4t 21＋t 2 2所以C 的直角坐标方程为x 2＋＝1(x ≠－1)，y 24l 的直角坐标方程为2x ＋y ＋11＝0.3(2)由(1)可设C 的参数方程为Error!(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为＝.|2cos α＋23sin α＋11|74cos (α－π3)＋117当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，2π3(α－π3)故C 上的点到l 距离的最小值为.7解答题1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝时，求ρ0及l 的极坐标方程；π3(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.π3π33由已知得|OP |＝|OA |cos ＝2.π3设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点．连接OQ ，在Rt△OPQ 中，ρcos ＝|OP |＝2.(θ－π3)经检验，点P在曲线ρcos ＝2上，(2，π3)(θ－π3)所以，l 的极坐标方程为ρcos＝2.(θ－π3)(2)设P (ρ，θ)，在Rt△OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是.[π4，π2]所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.[π4，π2]2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos∠AOB 的值．解 (1)由直线l 的参数方程Error!得，其普通方程为y ＝x ＋2，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2.又∵圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，将Error!代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)将直线l ：ρsin θ＝ρcos θ＋2，与圆C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ联立，得(4cos θ＋2sin θ)(sin θ－cos θ)＝2，整理得sin θcos θ＝3cos 2θ，∴θ＝或tan θ＝3.π2不妨记点A 对应的极角为，点B 对应的极角为θ，且tan θ＝3.π2于是，cos∠AOB ＝cos ＝sin θ＝.(π2－θ)310103．(2019·湖北4月调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α是参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线θ＝β与曲线C 1交于O ，A 两点，与曲线C 2交于O ，B 两点，(0<β<π2)求|OA |＋|OB |取最大值时tan β的值．解 (1)由Error!得x 2－2x ＋y 2＝0，2将Error!代入得ρ＝2cos θ，2故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，将Error!代入得x 2＋y 2＝4y ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)设点A ，B 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ2，θ)，将θ＝β分别代(0<β<π2)入曲线C 1，C 2的极坐标方程得ρ1＝2cos β，ρ2＝4sin β，2则|OA |＋|OB |＝2cos β＋4sin β＝2＝2sin(β＋φ)，26(sin β·63＋cos β·33)6其中φ为锐角，且满足sin φ＝，cos φ＝，3363当β＋φ＝时，|OA |＋|OB |取最大值，π2此时β＝－φ，tan β＝tan ＝＝＝＝.π2(π2－φ)sin (π2－φ)cos (π2－φ)cos φsin φ633324．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，l 与C 交于不同的两点P 1，P 2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P 1P 2中点M 的轨迹的参数方程．解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将Error!代入x 2＋y 2＝1，得t 2－4t sin φ＋3＝0. (*)由Δ＝16sin 2φ－12>0得|sin φ|>.32又0≤φ<π，所以φ的取值范围是.(π3，2π3)(2)由(1)中的(*)可知＝2sin φ，t 1＋t 22代入Error!得Error!整理得P 1P 2中点M 的轨迹的参数方程为Error!.(φ为参数，π3<φ<2π3)5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0≤α<π)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝.21＋sin2θ(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的坐标为(1,0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求＋的值．1|MA |1|MB |解 (1)曲线ρ2＝，即ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，21＋sin2θ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2，即＋y 2＝1.x 22(2)将Error!代入x 2＋2y 2＝2并整理得(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0，∴t 1＋t 2＝－，t 1·t 2＝，2cos α1＋sin2α－11＋sin2α∴＋＝＝＝，1|MA |1|MB ||MA |＋|MB ||MA |·|MB ||AB ||MA |·|MB ||t 1－t 2|－t 1·t 2∵|t 1－t 2|＝＝ ＝，t 1＋t 2 2－4t 1t 24cos2α 1＋sin2α 2＋41＋sin2α221＋sin2α∴＋＝＝2.1|MA |1|MB |221＋sin2α11＋sin2α26．(2019·江西省名校5月联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为Error!(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解 (1)C 1的参数方程为Error!消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，得y 2＝4x ，所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)曲线C 1的参数方程可转化为Error!(t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得t 2－t ＋1－4a ＝0，由Δ＝(－)2－4××(1－4a )>0，得a >0，122212设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA |＝2|PB |得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，Error!解得a ＝；136当t 1＝－2t 2时，Error!解得a ＝，94综上，a ＝或.13694。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十一等差数列与等比数列(理)
考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5＝( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．±4 2答案 A解析 由a 7a 3＝q 4得q 4＝4，则q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2答案 C解析 由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1,4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.3．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{a n }不是等比数列；若{a n }是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，….故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －12×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·湖南六校联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30，故选C.6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项和为( )A ．－144B ．80C ．144D ．304答案 D解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n >5，所以前12项和为5×32＋02＋7×8＋562＝80＋224＝304.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63答案 B解析 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7a 2＋a 62＝7×142＝49.选B. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，选A.二、填空题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 3＝2，则S 6S 3＝________. 答案 72解析 设等差数列{a n }的公差为d ，a 6a 3＝2，即a 3＋3d ＝2a 3，a 3＝3d ，S 6S 3＝3a 3＋a 43a 2＝a 3＋a 3＋d a 3－d ＝3d ＋3d ＋d 3d －d ＝72.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＝3，即1＋qq 2＝2，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则m ＝________.答案 191解析 等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则a m ＝d ＋2d ＋…＋19d ＝19×1＋192d ＝190d ＝a 191，m ＝191.12．(2019·河南新乡第一次模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴n ＋1S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.(2)由(1)知a 5＝0，即a 5＝a 1＋4d ＝0，即a 1＝－4d ， 又a 1>0，所以d <0， 由S n ≥a n 得na 1＋n n －12d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ， 因为d <0，所以n 2－9n ≤2n －10， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是1≤n ≤10(n ∈N *)．14．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]＝－2n－13.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 解法一：a 2＝S 2－S 1＝23－22＝4，a 3＝S 3－S 2＝24－23＝8，所以a 1＝a 22a 3＝2，所以S 1＝22＋λ＝2，故λ＝－2.解法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n 项和公式的结构知λ＝－2.2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.3．若等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4，S 5≥S 4≥S 6，则公差d 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－89 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－45C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，－45D ．[]－1，0答案 A解析 因为S 5≥S 4≥S 6，所以S 4＋a 5≥S 4≥S 4＋a 5＋a 6，所以a 5≥0≥a 5＋a 6，又a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4d ≥0，8＋9d ≤0，解得－1≤d ≤－89.5．数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1 D ．13(4n－1) 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，n ＝1时也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以a 2n ＝4n －1(n ∈N *)也是等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，r ，s ，t 为正整数，则“r ＋t ＝2s ”是“a r ＋a t ＝2a s ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由a r ＋a t ＝2a s 得(r ＋t －2)d ＝(2s －2)d ，即r ＋t ＝2s 或d ＝0，则“r ＋t ＝2s ”是“r ＋t ＝2s 或d ＝0”的充分不必要条件．故选C.7．已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )A ．12×37－16 B ．310C ．318D ．320答案 D解析 由题意，得a 23＝9，设等比数列的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3·a 3q＋a 3q ＝4·a 3，由公比不为1，解得q ＝3，所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝a 81q 16·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝(a 23)4q 12＝94×312＝320.8．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．nB ．n n －12C ．n n ＋12D ．n ＋1n ＋22答案 C解析 因为a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )·(2a n －a n ＋1)＝0，又因为a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，a n ＋1a 1＝a 1q n a 1＝2n ，所以b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n＝n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.二、填空题9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝30，则S 20＝________.答案 20解析 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，因为S 10＝10，S 30＝30，所以(S 20－10)2＝10×(30－S 20)，解得S 20＝20或S 20＝－10，因为S 20－S 10＝q 10S 10>0，所以S 20>0，则S 20＝20.10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，数列{a n }的前20项和S 20＝________.答案 200或330解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，又a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.12．(2019·山东德州第一次考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ≠0,3S n ＝a n a n＋1＋1，则a 2019＝________. 答案 3028解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1,3S n ＝a n a n ＋1＋1 ①，当n ＝1时，整理得3S 1＝3a 1＝a 1·a 2＋1，解得a 2＝2，当n ≥2时，3S n －1＝a n －1·a n ＋1 ②，①－②得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，由于a n ≠0，故a n ＋1－a n －1＝3(常数)，故数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则a n ＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1.数列{a n }的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，a n＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1，所以a 2019＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫2019＋12－1＝3028. 三、解答题13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数课件：第一部分 考点七 函数的图象、性质及应用
4．(2019·山东威海二模)已知函数 f(x)＝ln x＋ln (a－x)的图象关于直线 x
＝1 对称，则函数 f(x)的值域为( )
A．(0,2)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，0]
答案 D
解析 ∵函数 f(x)＝ln x＋ln (a－x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴f(1＋x) ＝f(1－x)，即 ln (1－x)＋ln (a－1＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－1－x)，∴(1－x)(a－1 ＋x)＝(1＋x)(a－1－x)，整理得(a－2)x＝0 恒成立，∴a＝2，∴f(x)＝ln x＋ln (2 －x)，定义域为(0,2)．又 f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln (2x－x2)，∵0<x<2 时，0<2x －x2≤1，∴ln (2x－x2)≤0，∴函数 f(x)的值域为(－∞，0]，故选 D.
8．(2019·天津十二重点中学高三联考)已知定义在 R 上的函数 f(x－1)
的图象关于 x＝1 对称，且当 x>0 时，f(x)单调递减，若 a＝f(log0.53)，b＝f(0.5 －1.3)，c＝f(0.76)，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．c>a>b
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
答案 (0,3] 解析 ∵函数 f(x)＝m2xx＋＋1m，－x≥1，0，x<0 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴ m>0， m－1≤20＋1＝2， 解得 0<m≤3，∴实数 m 的取值范围是(0,3]．
三、解答题 13．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0， 且 a≠1)． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若－1<f(1)<1，求实数 a 的取值范围．
2020届高考数学二轮复习刷题型解答题八文数1
解答题(八)17 . (2019 •江西南昌一模)如图，四棱台 ABCD- ABCD 中，底面ABCD 是菱形, 面 ABCD 且/ BAD= 60°, CD= CG = 2GD = 4, E 是棱 BB 的中点.解 (1) v f (x ) = 3(2sin x cos x ) + (2cos2x — 1) = 3sin2 x + cos2x = 2sin 2x +又x €n 6(2) •/ f (x o ) = 2sin 2x o +6 = 5,面. (1) 求证：AA 丄BD求三棱锥B i -AQE 的体积.(1)证明：因为CC 丄底面ABCD 所以CC 丄BD 因为底面 ABCD!菱形，所以 又ACn CC = C,所以BDL 平面 ACC 又由四棱台 ABC - ABCD ，知A 1, A, C,BDL AC C 四点共所以AA 丄BD⑵因为V B -ACE1 1 11 1=V E — A B C = — A1B C = — V — ABC ,2 1 1 21又 乂-A B C = ~ S\ ABC1 1 1 3 111• CC =1X22X si n 23L X 4=響，所以 V B 1—A 1C 1E =芈.所以三棱锥 B — AGE 的体积为卑^318 .已知函数 f (x ) = 2 3sin x cos x + 2cos 2x — 1(x * R).n(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间0,三 上的最大值和最小值;n n,,亠4,—，求 COS2X 0 的值.•••函数f (x )的最小正周期为 CC 丄底• sinn2x +6 *•函数 nf (x )在区间o , 上的最大值为2,最小值为—1.5'n 2 n 7 n•-2X0+ 6* T，T，n / 2n 4• cos 2x o+ —= —；-、•、1 — sin 2x o+ =—5,n n二cos2x o = cos 2x o + ——6 6n n n n=cos 2x o+ cos + sin 2x o + sin6 6 6 6=3—4 护=10-.19 . （ 2019 •江西南昌师大附中三模）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2019年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资（单位：百元），得到这100名农民工月工资的中位数为39（假设这100名农民工的月工资均在［25,55］内）且月工资收入在［45,50）内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m n的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系”？参考公式及数据：K= 1 b, d. b. d，其中n= a+ b + c+ d.a+ b c + d a+ c b+ dP（K2》k。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第二部分+选填题(八)+Word版含解析
选填题(八)一、选择题 1．设全集U ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3x ≥13，集合A ＝{x |x －1>0}，则∁U A ＝( )A ．{－1,1}B ．[－1,1)C ．[－1,1]D ．(－1,1] 答案 C解析 因为U ＝{x |3x ≥3－1}＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |x >1}，所以∁U A ＝[－1,1]． 2．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．33答案 A解析 由题图可知，OA→＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)， ∴z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.故选A.3．执行右面的程序框图，若输入a ＝5，b ＝2，则输出的i ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 执行程序框图如下： a ＝5，b ＝2，i ＝1， a ＝5＋0.5×5＝7.5， b ＝2×2＝4，a ≤b 否，i ＝2. a ＝7.5＋0.5×7.5＝11.25， b ＝2×4＝8，a ≤b 否，i ＝3. a ＝11.25＋0.5×11.25＝16.875， b ＝2×8＝16，a ≤b 否，i ＝4. a ＝16.875＋0.5×16.875＝25.3125， b ＝2×16＝32，a ≤b 是，输出i ＝4.4．已知等差数列{a n }的前7项和为21，且a 8＝7，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12－a n 的前10项和为( )A ．1024B ．1023C ．512D ．511 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋7d ＝7，解得a 1＝0，d ＝1，所以a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，12－a n＝2a n ＝2n －1.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12－a n 即{2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以S 10＝1×(1－210)1－2＝1023.5．(2019·浙江嘉兴期中)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0C ．ac ＞bc D.b a ＜b ＋c a ＋c答案 B解析 当c ＜0时，a ＋c ≥b －c 不一定成立；因为c 2≥0，a －b ＞0，所以(a －b )c 2≥0；当c ＜0时，ac ＞bc 不成立；当c ＝0时，b a <b ＋ca ＋c不成立．故选B.6．若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )答案 D解析 因为f (x )＝a x －a －x ＝a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 在R 上为减函数，所以0<a <1.函数y ＝log a (x －1)的图象如图所示．因为y ＝log a (|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x －1)，x >1，log a (－x －1)，x <－1为偶函数，所以其图象为D 项．7．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 答案 D解析 ∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 8．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2 答案 B解析 根据题意，圆柱的侧面展开图是长为16，宽为2的矩形DEFG ，如图．由其三视图可知，点A 对应矩形DEFG 中的D 点，B 点为EF 上靠近E 点的四等分点，则所求的最短路径长为|AB |＝22＋42＝2 5.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c2，则椭圆的离心率为()A.32 B.22 C.12 D.33答案A解析经过两点(c,0)，(0，b)的直线方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy－bc＝0，由题意得|－bc|b2＋c2＝c2，又b2＋c2＝a2，所以ba＝12，离心率e＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2＝32.10．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6 2 C．8 2 D．83答案C解析如图所示，∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°，又因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，在Rt△ABC1中，BC1＝ABtan30°＝23，在Rt△BC1B1中，BB1＝BC21－B1C21＝(23)2－22＝22，所以该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.11．设函数f(x)＝－x2＋62＋|x|，则不等式f(2x－3)<f(1)成立的x的取值范围是()A．(1,2) B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)答案 C解析 因为f (x )＝－x 2＋62＋|x |是偶函数． 当x >0时，f (x )＝－x 2＋62＋x，y ＝－x 2在(0，＋∞)上为减函数， y ＝62＋x在(－2，＋∞)上为减函数， 所以f (x )＝－x 2＋62＋|x |在(0，＋∞)上为减函数， 所以f (2x －3)<f (1)⇔f (|2x －3|)<f (1)⇔|2x －3|>1，解得x <1或x >2.12．函数y ＝2cos x (0<x <π)和函数y ＝3tan x 的图象相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.3π2B.3π3C.2π2D.2π3 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2cos x ，y ＝3tan x ，得2cos x ＝3sin xcos x ，所以2cos 2x ＝3sin x ，即2－2sin 2x ＝3sin x ， 解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)． 又0<x <π，所以x ＝π6或5π6， 不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－3.记C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，易知A ，B ，C 三点共线，S △OAB ＝S △OAC ＋S △OBC＝12×|OC |×|y A |＋12×|OC |×|y B | ＝12×π2×3＋12×π2×3 ＝3π2. 二、填空题13．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x－y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.14．(2019·山东四市4月联考)若双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是________．答案 10解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意得|PF 2|＝4，当点P 在双曲线的左支上时，则有|PF2|－|PF1|＝6，不符合题意．当点P在双曲线的右支上时，则有|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝|PF2|＋6＝10，符合题意．故答案为10.15．已知AB→与AC→的夹角为90°，|AB→|＝2，|AC→|＝1，AM→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，且AM→·BC→＝0，则λμ的值为________．答案14解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，2)，C(1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC→＝(1,0)，BC→＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM→＝(x，y)，所以AM→·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM→＝λAB→＋μAC→，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以λμ＝12yx＝14.16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有a p＋q ＝a p·a q，则f(n)＝S n－1·(S n－1＋2)＋256a n(n∈N*)的最小值为________．答案30解析当q＝1时，a p＋1＝a p·a1＝2a p，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n，S n＝2(2n－1)2－1＝2n＋1－2，∴S n－1＝2n－2，S n－1·(S n－1＋2)＝(2n－2)·2n，∴f(n)＝(2n－2)2n＋2562n＝2n－2＋2562n≥2256－2＝30，当且仅当2n＝16，即n＝4时，等号成立，f(n)min＝30.。
2020届高考数学二轮复习刷题型选填题八文数9
、选择题 1. 设全集 U ^ =x 3x >1 ■，集合 A ={x |x — 1>0}，则？u A =()A. { — 1,1} B . [ — 1,1) C. [ —1,1] D . ( — 1,1] 答案 C解析 因为 U ={x |3 x >3— 1} = {x | x >— 1} , A = {x | x >1}，所以？U A = [ — 1,1]2. 如图，在复平面内，复数 Z 1, Z 2对应的向量分别是 OA OB 则|乙+ Z 2| =()A. 2 C. 2 2 答案 A解析 由题图可知，OA= ( — 2,— 1), 0B= (0,1),Z 1 =— 2— i , Z 2= i , Z 1 + Z 2 =— 2,「. | Z 1 + Z 2| = 2.故选 A.3. 执行右面的程序框图，若输入 a = 5 , b = 2,则输出的i =()A. 3B. 4选填题(八)D. 3 3/输Z fC. 5D. 6 答案 B解析执行程序框图如下：a = 5,b = 2, i = 1, a = 5 + 0.5 X 5= 7.5 , b =2X 2= 4, a w b 否，i = 2. a = 7.5 + 0.5 X 7.5 = 11.25 , b =2X 4= 8, a w b 否，i = 3. a = 11.25 + 0.5 X 11.25 = 16.875 , b =2X 8= 16, a w b 否，i = 4. a = 16.875 + 0.5 X 16.875 = 25.3125 , b =2X 16= 32, a w b 是，输出 i = 4.4.已知等差数列｛a n ｝的前7项和为21，且a s = 7,则数列｛夫啲前10项和为（）A . 1024B . 1023C . 512D . 511 答案 B解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 「 7X67a 1 +飞一d = 21,由已知得 2解得a 1= 0, d = 1,a+ 7d = 7,所以 a n = 0+ （n — 1） X 1 = n — 1, ?-a n = 2 n = 2 .5. （2019 •浙江嘉兴期中）若a , b , c € R,且a >b ,则下列不等式一定成立的是 （ ）2A . a + O b - cB . （a - b ）c >0 b b + c C. ac >bc D. va a + c答案 B解析 当c v 0时，a + c > b — c 不一定成立；因为 c >0, a — b >0，所以（a — b ） c >0； b b +c当c v 0时，ac >bc 不成立；当c = 0时， < 不成立.故选 B.a a + c6.若函数f （x ）= a x -a -x （a >0且a z 1）在R 上为减函数，则函数 y = log a （| x | — 1）的图象n 「1｝是首项为1，公比为2的等比数列，所以S 10 =IX 1-210 1-2=1023.数列可以是（）答案 D解析 因为f （x ） = a x - a _x = a x —° ；在R 上为减函数，所以 0<a <1.函数y = log a （x — 1）的图象如图所示.lOg a X - 1, X >1,因为 y = |oga(|x | —1)「og a — x — , x <— 1 为偶函数，所以其图象为D 项.7. （2019 •全国卷川）已知曲线xy = a e + x in x 在点（1 , a e ）处的切线方程为y = 2x + b ,A . a = e , b =— 1B . a = e , b = 1―1 — 1C. a = e , b = 1 D . a = e , b =— 1 答案 D解析 T y '= a e x + ln x + 1，二 k = y'l x = 1= a e + 1,二切线方程为 y — a e = (a e + 1)( x—1)，即y = (a e + 1)x — 1.又已知切线方程为 y = 2x + b ,a e + 1 = 2,b =— 1,厂 —1a = e , 解得*b =— 1.故选D.8. （2018 •全国卷I ）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面上的 点M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 217 B . 2 5 C . 3 D . 2答案 B解析 根据题意，圆柱的侧面展开图是长为 16,宽为2的矩形DEFG 如图.答案 Axv| — bc |解析 经过两点(c, 0) , (0 , b )的直线方程为- + = 1,即bx + cy — bc = 0,由题意得——22c b\b + cc2 2 2b 1=2又b + c = a ，所以b =2，离心率10 • (201 8 •全国卷I )在长方体 ABC —A 1B1CD 中，AB= BC = 2, AC 与平面BBCC 所成的 角为30°,则该长方体的体积为（）A . 8B • 6 2C • 8 2D • 8 3 答案 C解析 如图所示，/ ACB 为AC 与平面BBCC 所成的角，所以/ ACB = 30°,又因为 AB丄平面BBCC,所以AB 丄BC ,在 Rt △ ABC 中，BC = . AB ° = 2 3,tan30 u在 Rt △ BCB 中，由其三视图可知，点 A 对应矩形DEF3的D 点，B 点为EF 上靠近E 点的四等分点，则 所求的最短路径长为| AB =+ 4 = 2 , 5.2 29 •已知椭圆 C ：含+蒼=1（a >b >0）的半焦距为 c ,原点0到经过两点（c, 0） , （0, b ）的直 线的距离为|，则椭圆的离心率为（）B.C. 2D.4 HBB=Q B C- B1C = ^ 2^3 2—22= 2頁,所以该长方体的体积V= 2X 2X2.2= 8 ,2.11.设函数f(x) =—x2+ 6 |，则不等式f(2x—3)< f (1)成立的x的取值范围是()2十丨x|B. (— f 2)C. ( —g, 1) U (2 ,+s )D. (2 ,+s)答案 C26 解析因为f (x ) = — x 2+ 是偶函数. 2 + | x |2 6当 x >0 时，f (x ) = — x + 不，y = — x 在(0，+g )上为减函数，6y = 2^x 在(—2 ,+g )上为减函数，2 6所以 f (x ) =— x + 2+ | x |在(0，+g )上为减函数，所以 f (2x — 3)<f (1) ? f (|2 x — 3|)< f (1) ? |2x — 3|>1，解得 x <1 或 x >2.12 .函数y = 2cos x (0<x <n )和函数y = 3ta n x 的图象相交于 A , B 两点，O 为坐标原点, 则△ OAB 勺面积为()A.手B.辛23C亚 nDV 2nC.2 D. 3答案 A&丄l , y = 2cos x ，/口 3sin x解析 由/得2cos x= -------- , |y = 3ta n x ,cos x22所以 2cos x = 3sin x , 即卩 2— 2sin x = 3sin x , 1解得 sin x = §或 sin x =— 2(舍去). 又0<X <n ，所以x =夕或, 6 6记C 扌,0 ,易知A , B, C 三点共线,S' OAB= S OA (+ S X OBC=2x| O(p X| y A | + 尹| OC X| y B | =2X 专 X ； 3 +1X 2 X 3A . (1,2)不妨取A、填空题「2x + 3y — 6> 0,13. (2019 •全国卷n )若变量x , y 满足约束条件』x + y — 3< 0,J — 2< 0,最大值是 ________答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域 (图中阴影部分)，由图易知，当直线y = 3x — z 过 点C 时，一z 最小，即z 最大.,x + y — 3 = 0, 由t2x + 3y — 6= 0,即 C 点坐标为(3,0)，故 Z max = 3X 3— 0= 9.2 24月联考)若双曲线侖—鲁=1上一点P 到右焦点的距离为P 到左焦点的距离是 _________ .答案 10解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1, F 2，由题意得|PF 2| = 4，当点P 在双曲线的左支上时，则有|PB| —|PF |= 6，不符合题意.当点 P 在双曲线的右支上时，则有|PF | — |PF | = 6,所以|PF | = |PF | + 6= 10,符合题意•故答案为10.15 .已知 A B 与 A C 的夹角为 90°, |AB = 2 , AC = 1, AMI=入 AB+ 卩 A C 入，卩 € R ，且B C=0,贝U “的值为 _________ .□答案1解得=3,y = 0,14 . (2019 •山东四市4,则点4解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0) , B(0 , 2) , C(1,0)，所以AB= (0,2) ,AC= (1,0) , BC= (1 , —2).设Mx, y)，则AM= (x, y)，所以AM- BC= (x, y) • (1 ,-11 --12 -—2) = x — 2y = 0,所以 x = 2y ,又AM=入 AB ^ 卩 AC 即(x, y )=入(0,2) + (1,0) = (, 2 入),1、 、入 2y 1所以 x =, y = 2入，所以 一=一=-.[i x 416.设$为数列｛a n ｝的前n 项和，已知a i = 2，对任意p , q € N *,都有a p + q = a p • a q ,则 Si —1 ｝ Si —1+：丿，+ 256 * .f (n )= ----- - ------- = ------ (n € N)的最小值为a n答案 30解析 当 q = 1 时，a p +1 = a p • a ’= 2a p ,•••数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列,j S 2 ”-1 小 1 .--an = 2 , S= 2■— = 2 — 2,n n n• S —1= 2 — 2, S —1 •( S -1+ 2) = (2 — 2) .2 ,当且仅当2n = 16,即n = 4时，等号成立，f (n )min = 30. • f ( n )= =2n256 — 2= 30, 2n + 256。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第一部分 考点十九 统计与统计案例
考点十九统计与统计案例一、选择题1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析易知题中图(1)和图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.3．(2019·南阳市一中第九次目标考试)为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A ，B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A ，B 对该疾病均没有预防效果 答案 B解析 由题图可得服用药物A 的患病人数少于服用药物B 的患病人数，而服用药物A 的未患病人数多于服用药物B 的未患病人数，所以药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选B.4．(2019·沈阳市东北育才学校高三一模)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲、x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A.x －甲<x －乙，σ甲<σ乙B.x －甲<x －乙，σ甲>σ乙C.x －甲>x －乙，σ甲<σ乙D.x －甲>x －乙，σ甲>σ乙 答案 C解析 甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，由折线图得x －甲>x －乙，σ甲<σ乙．故选C.5．(2019·湖南张家界三模)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是( )A ．变量x ，yB ．可以预测，当x ＝20时，y ＝－3.7C ．m ＝4D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 答案 C解析 由题意得，由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关，故A 正确；当x ＝20时，则y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由数据表格可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14×(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错误；由数据表易知，数据中心为(9,4)，故D 正确．故选C.6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 A解析 由K 2≈7.8>6.635可知，我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．7．(2019·湖南师大附中月考七)下列说法错误的是( ) A ．在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定B ．若变量x ，y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．以模型y ＝c e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，将其变换后得到线性方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝e 4，k ＝0.3答案 B解析 对于A ，y 除了受自变量x 的影响之外还受其他因素的影响，故A 正确；对于B ，变量x ，y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，则变量x 与y 负相关，又变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关，故B 错误；对于C ，由残差图的意义可知正确；对于D ，∵y ＝c e kx ，∴两边取对数，可得ln y ＝ln (c e kx )＝ln c ＋ln e kx ＝ln c ＋kx ，令z ＝ln y ，可得z ＝ln c ＋kx ，∵z ＝0.3x ＋4，∴ln c ＝4，k ＝0.3，∴c ＝e 4.即D 正确，故选B.8．(2019·福建泉州第二次质检)已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x －，方差为s 2，则( )A.x －＝70，s 2<75B.x －＝70，s 2>75C.x －>70，s 2<75D.x －<70，s 2>75 答案 A解析 x －＝70×50＋80－60＋70－9050＝70，设收集的48个准确数据分别记为x 1，x 2，…，x 48，则75＝150[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(x 48－70)2＋(60－70)2＋(90－70)2]＝150[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(x 48－70)2＋500]，s 2＝150[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(x 48－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2] ＝150[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(x 48－70)2＋100]<75，故选A. 二、填空题9．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是________．答案 83解析 根据茎叶图可知，中位数是82与84的平均数，所以答案为83. 10．总体由编号为01,02，…，19,20的个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数，则选出的第7个个体的编号为________．答案 解析 由随机数表可看出所选的数字依次为16,08,02,14,07,02,01,04，去掉重复数字02，则第7个个体的编号为04，故答案为04.11．(2019·河南新乡三模)某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10的样本，若样本中男生比女生多12人，则n ＝________.答案 1320解析 依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫611－511×n10＝12，解得n ＝1320.12．(2019·河南安阳十一模)通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率(实数a 的取整等于不超过a 的最大整数)，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为________．答案 0.82解析 先考虑不进行换算前36分以上(含36分)的学生的频率，该频率为1－0.015×12＝0.82，换算后，原来36分以上(含36分)的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82.三、解答题13．(2019·内蒙古一模)在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中，参与大赛的女生与男生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．附表及公式：其中K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)a ＝110×[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]＝0.025， x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. (2)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160， 2×2列联表如下：因为K 2＝200×(540×160×50×150≈4.167>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生、男生有关．”14．(2019·聊城市高三一模)某小学为了了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示．(1)估算这批学生的作业平均用时情况；(2)作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系，如果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其他评价为良好．现从优异和良好的学生里面用分层抽样的方法抽取300人，其中女生有90人(优异20人)．请完成列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系？附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)t＝10×(35×0.01＋45×0.02＋55×0.03＋65×0.025＋75×0.01＋85×0.005)＝57.所以批学生作业用时的平均数为57.(2)优异学生数与良好学生数之比为0.01∶(0.02＋0.03)＝1∶5，按照分层抽样得300人中优异50人，良好250人；女生90人，男生210人；女生优异20，良好70人，男生优异30人，良好180人，列联表如下：K 2＝300×(180×20210×90×250×50≈2.857<3.841，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系．一、选择题1．在一次数学测试中，数学老师对班上7名同学在20题(12分)，21题(12分)的得分情况进行统计，得到的得分率如图所示，其中20题的得分率为图中虚线部分、21题的得分率为图中实线部分，记第20题、21题的平均得分分别为x －1，x －2，第20题、21题得分的标准差分别为s 1，s 2，则( )A.x －1>x －2，s 1>s 2B.x －1<x －2，s 1>s 2C.x －1>x －2，s 1<s 2D.x －1<x －2，s 1<s 2 答案 C解析 由于20题、21题的分值相同，且20题的得分率高于21题的得分率，则20题的得分高于21题的得分；又由图可知，21题的得分率离散程度相对较大，则21题得分的标准差大于20题得分的标准差，故x －1>x －2，s 1<s 2，故选C.2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入[1,450]的人做问卷A ，编号落入[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．8B ．10C ．12D ．14答案 B解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为96032＝30，又因为第一组内抽取的号码为9，则由451≤9＋30k ≤750(k ∈N *)得14.7≤k ≤24.7，所以做问卷B 的人数为10.3．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )A ．19B ．17C ．16D ．15 答案 D解析 由题意得样本数据在[20,60)内的频数为30×0.8＝24，则样本在[40,50)和[50,60)内的数据个数之和为24－4－5＝15，故选D.4．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10,50]，其中支出金额在[30,50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n ＝( )A ．180B ．160C ．150D ．200 答案 A解析 [30,50]对应的概率为1－(0.01＋0.025)×10＝0.65，所以n ＝1170.65＝180. 5．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)，求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 描出散点图，易观察出b ^<b ′，a ^>a ′，故选C.6．(2019·四川乐山第三次调研)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 答案 D解析 对于选项A ，互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以正确；对于选项B ，互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%＝22.176%，超过总人数的20%，所以正确；对于选项C ，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%，比80前多，所以正确；对于选项D ，互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%,80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多，所以不一定正确，故选D.7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有( )A ．11人B ．12人C ．18人D ．24人附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .答案 B解析 设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：K 2>3.841，由K 2＝3x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 236－5x 2182x 2·x ·x ·x 2＝3x 8>3.841，解得x >10.24，∵x 2，x6为整数，∴若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人，故选B.8．(2019·江西南昌一模)已知具有线性相关的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线方程l 1：y ＝bx ＋a ，过点A 1，A 2的直线方程l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列四个命题中：①m >b ，a >n ；②直线l 1过点A 3；③∑5i ＝1 (y i －bx i －a )2≥∑5i ＝1 (y i －mx i －n )2；④∑5i ＝1|y i －bx i －a |≥∑5i ＝1|y i－mx i －n |.⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝∑n i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1 (x i －x －)2，a ＝y －－b x －正确命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 B解析 由所给的数据计算可得x －＝3，y －＝2，回归方程为y ＝0.6x ＋0.2，过点A 1，A 2的直线方程为y ＝x ，逐一考查所给的结论：①m >b ，a >n ，该说法正确；②直线l 1过点A 3即回归方程过样本中心点，该说法正确；③∑5i ＝1 (y i －bx i －a )2＝0.8，∑5i ＝1 (y i －mx i －n )2＝9，说法错误；④∑5i ＝1|y i －bx i －a |＝1.6，∑5i ＝1|y i －mx i －n |＝5，说法错误，综上可得正确命题的个数有2个，故选B.二、填空题9．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数为________．(该年为365天)答案 146解析 该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.10．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ^＝∑i ＝1n(x i－x －)(y i－y －)∑i ＝1n(x i－x －)2，a ^＝y －－b ^x － 答案 185解析 设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x －＝173，y －＝176，b ^＝02＋9＋9＝1，a ^＝y －－b ^ x －＝176－1×173＝3，所以y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^＝185.11．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案 乙解析 甲的平均数x －1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x －2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x －1＝x －2；甲的方差s 21＝110×[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s 22＝110×[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s 21>s 22，即参加比赛的最佳人选为乙．12．某学校开展一次“五·四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第1、2题满分都是15分，第3题满分是20分．每个问题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有6名选手只答对其中一道题，有12名选手只答对其中两道题．答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26，答对第1题的人数与答对第3题的人数之和为24，答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22.则参赛选手中三道题全答对的人数是________；所有参赛选手得分的平均数是________．答案 2 29.5解析 设x 1，x 2，x 3分别表示答对第1题、第2题、第3题的人数，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝26，x 1＋x 3＝24，x 2＋x 3＝22，解得x 1＝14，x 2＝12，x 3＝10，又只答对一道题的人数为6，只答对两道题的人数为12，设答对三道题的人数为x ，则全班人数为6＋12＋x ，∴6×1＋12×2＋3x ＝36，解得x ＝2，∴三道题全答对的人数是2，所有参赛选手得分的平均数是x －＝120×(14×15＋12×15＋10×20)＝29.5.三、解答题13．(2019·长沙一模)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程； (ⅱ)广告投入量x ＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1 (x i －x －)2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得 x －＝15×(7×6－6)＝7.2， y －＝15×(30×6－31.8)＝29.64. ∑5i ＝1x i y i＝1464.24－6×31.8＝1273.44， ∑5i ＝1x 2i ＝364－62＝328. b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝1273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3，a ^＝y －－b ^ x －＝29.64－3×7.2＝8.04. 所以y 关于x 的回归方程为y ^＝3x ＋8.04.(ⅱ)把x ＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝62.04， 故预报值为62.04万元．14．(2019·云南省第二次高三统一检测)在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的五所学校A ，B ，C ，D ，E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y 关于x 的回归方程y ＝b x ＋a ；(2)现从A ，B ，C ，D ，E 这五所学校中随机选两所派代表参加座谈，求A ，B 两所学校至少有一所被选到的概率P .附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)依据题意计算得 x －＝90＋92＋93＋94＋965＝93，y －＝87＋89＋89＋92＋935＝90，∑5i ＝1(x i －x －)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20， ∑5i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)＝(－3)×(－3)＋(－1)×(－1)＋0×(－1)＋1×2＋3×3＝21，b ^＝∑i ＝15 (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝2120，a ^＝y －－b ^ x －＝90－2120×93＝－15320. ∴所求回归方程为y ^＝2120x －15320.(2)从A ，B ，C ，D ，E 这5所学校中随机选2所，具体情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共有10种等可能的结果．A ，B 两所学校至少有一所被选到的为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共有7种．所以A ，B 两所学校至少有一所被选到的概率P ＝710.。
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考点八 导数及其应用一、选择题1．(2019·银川模拟)函数y ＝x cos x －sin x 的导函数为( ) A ．y ′＝x sin x B ．y ′＝－x sin x C ．y ′＝x cos x D ．y ′＝－x cos x 答案 B解析 y ′＝(x cos x －sin x )′＝cos x ＋x (－sin x )－cos x ＝－x sin x .故选B.2．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 如图，在区间(a ，b )内，f ′(c )＝0，且在点x ＝c 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.3．(2019·天津南开区模拟)过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 B解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0 C．2 D．4答案 C解析f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因为f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故选C.5．(2019·湖南师大附中考前演练(五))已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≤0时，f(x)＝x3－2x－m，则曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线斜率为( )A．10 B．－10C．4 D．与m的取值有关答案 A解析由题意知，f(0)＝0，则m＝0，即f(x)＝x3－2x，当x≤0时，函数f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，所以f′(2)＝f′(－2)＝3×(－2)2－2＝10，即曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线斜率为10，故选A.6．(2019·辽宁丹东质量测试(二))若x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)e x的极值点，则a的值为( )A．－2 B．3C．－2或3 D．－3或2答案 B解析∵f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)e x，∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或－2，当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)e x≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去；当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)e x，满足x＝1为函数f(x)的极值点，∴a＝3，故选B.7．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，3]答案 B解析∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.8．(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义x k(k∈N)是函数零点近似解的初始值，过点P k(x k，f(x k))的切线为y＝f′(x k)(x－x k)＋f(x k)，切线与x轴交点的横坐标x k＋1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f(x)＝x2－2，满足x0＝2应用上述方法，则x3＝( )A.32B.1712C.141100D.577408 答案 D解析 因为f ′(x )＝2x ，x 0＝2，y 0＝2，切线斜率k 0＝4，切线方程y －2＝4(x －2)，令y ＝0，得x 1＝32；x 1＝32，y 1＝14，切线斜率k 1＝3，切线方程为y －14＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32，令y ＝0，得x 2＝1712；x 2＝1712，y 2＝1144，切线斜率k 2＝176，切线方程为y －1144＝176⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1712，令y ＝0，得x 3＝577408，故选D. 二、填空题9．(2019·河南焦作四模)已知f (x )＝x ln x ＋fx，则f ′(1)＝________.答案 12解析 因为f ′(x )＝1＋ln x －fx2，所以f ′(1)＝1－f ′(1)，解得f ′(1)＝12.10．函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.11．已知函数f (x )＝e x＋ax 的图象在点(0，f (0))处的切线与曲线y ＝－ln x 相切，则a ＝________.答案 －2解析 因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝1＋a ，又f (0)＝1，所以切线方程为y ＝(1＋a )x ＋1，又y ＝－ln x 的导函数y ′＝－1x ，令切点坐标为(t ，－ln t )，则－1t＝1＋a ＝－ln t －1t，解得t ＝1，a ＝－2.12．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43x ＋6在R 上有极值，则实数m 的取值范围是________．答案 m >4或m <－1解析 由题意可知，f ′(x )＝0有不等根，即方程3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0有不等根，所以Δ>0，即4m 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43>0，解得m >4或m <－1.三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a >0时，求曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程． 解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意．(2)当a >0时，由(1)得f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f ′(x )＝3x 2＋6x －9.f (－2)＝31，f ′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)， 即9x ＋y －13＝0.14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝32－ax(a 为实常数)．(1)当a ＝1时，求函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上的最小值； (2)若方程e2f (x )＝g (x )(其中e ＝2.71828…)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有解，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，函数φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln x －32＋1x ，∴φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.∵x ∈[4，＋∞)，∴φ′(x )>0.∴函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝4时，φ(x )min ＝2ln 2－54.(2)方程e2f (x )＝g (x )可化为x 2＝32－a x.∴a ＝32x －x 3.设y ＝32x －x 3，则y ′＝32－3x 2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴函数y ＝32x －x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递减． ∵x ＝12时，y ＝58；x ＝22时，y ＝22；x ＝1时，y ＝12，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.一、选择题1．已知函数f (x )＝x ·2x，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝2x ＋x ·2xln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2，又当x <－1ln 2时，f ′(x )<0；当x >－1ln 2时，f ′(x )>0.∴当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值．2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．0B ．－5C ．－10D ．－37 答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37，∴最小值为－37.3．(2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)若函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋1在区间(0，＋∞)内有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 f ′(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．①当a ≤0时，若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；②当a >0时，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝1>0，若函数f (x )在区间(0，＋∞)内有两个零点，有f (a )＝2a 3－3a 3＋1＝1－a 3<0，得a >1，故选B.4．(2019·江西吉安一模)过点P (1,1)且与曲线y ＝x 3相切的直线的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 若直线与曲线切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，则k ＝y 0－1x 0－1＝x 30－1x 0－1＝x 20＋x 0＋1，又∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20，∴2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，∴过点P (1，1)与曲线C ：y ＝x 3相切的直线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C.5．(2019·四省联考第二次诊断)设点P 在曲线y ＝ln x －1x＋1上，点Q 在直线y ＝2x 上，则线段PQ 长度的最小值为( )A ．2B ．1 C.65 D.255答案 D解析 令y ′＝1x ＋1x 2＝2，解得x ＝1，代入y ＝ln x －1x＋1得y ＝0，故切点为(1,0)，斜率为2的切线方程为y ＝2(x －1)，线段PQ 长度的最小值为两条平行直线2x －y ＝0和2x －y －2＝0的距离，即|0－－5＝255，故选D.6．(2019·辽宁朝阳重点高中第四次模拟)已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x－e －x－2的零点为x 0，则g [f (x 0)]＝( )A.1e －e －2 B ．－2 C ．e －1e－2D ．e 2－1e2－2答案 B解析 因为g ′(x )＝e x ＋e －x >0，所以g (x )＝e x －e －x －2在R 上单调递增，又g (0)＝e－e 0－2＝－2<0，g (1)＝e 1－e －1－2>0，所以g (x )在(0,1)上必存在零点，即x 0∈(0,1)，因此f (x 0)＝[x 0]＝0，所以g [f (x 0)]＝g (0)＝－2，故选B.7．(2019·广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是( ) A ．ln 33 B.1e C.ln ππ D.15ln 1530答案 B解析 由题意，令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，又由e<3<π<15，∴f (e)>f (3)>f (π)>f (15)，则ln e 1e >ln 313 >ln π1π >ln (15)115，∴1e >ln 33>ln ππ>1530ln 15，故选B. 8．(2019·江西景德镇第二次质检)函数f (x )的定义域为R ，且函数g (x )＝f (x )＋f (－x )满足：对任意x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≤0，非零实数a ，b 满足f (a )－f (b )>f (－b )－f (－a )，则下列关系式中正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a 2>b 2D ．a 2<b 2答案 D解析 因为f (a )－f (b )>f (－b )－f (－a )，整理得f (a )＋f (－a )>f (b )＋f (－b )，即g (a )>g (b )，又对任意x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≤0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (－x )＝f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，结合g (a )>g (b )，可得|a |<|b |，所以a 2<b 2，故选D.二、填空题9．(2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．答案 2ln 2－2 解析 ∵f ′(x )＝2f x－1，∴f ′(1)＝2f1－1，f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln x －x .令f ′(x )＝2x－1＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，f (x )取得极大值2ln 2－2.10．(2019·江西新八校第二次联考)若f (x )＋3f (－x )＝x 3＋2x ＋1对x ∈R 恒成立，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．答案 10x ＋4y －5＝0解析 ∵f (x )＋3f (－x )＝x 3＋2x ＋1， ① ∴f (－x )＋3f (x )＝－x 3－2x ＋1， ② 联立①②，得f (x )＝－12x 3－x ＋14，则f ′(x )＝－32x 2－1，∴f ′(1)＝－32－1＝－52，又f (1)＝－12－1＋14＝－54，∴切线方程为y ＋54＝－52(x －1)，即10x ＋4y －5＝0.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使体积最大，则高为________ cm. 答案2033解析 设高为h cm ，则底面半径r ＝400－h 2(cm)，所以体积V ＝π3r 2h ＝π3h (400－h 2)，则V ′＝π3(400－3h 2)．令V ′＝π3(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033，即当高为2033 cm 时，圆锥的体积最大．12．若函数f (x )＝13x 3－3x －2ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．答案 1<t <2解析 依题意，f ′(x )＝x 2－3－2x ＝x 3－3x －2x＝x －x ＋2x，可以验证x ＝2为极小值点，故t <2<t ＋1，解得1<t <2.三、解答题13．(2019·山东枣庄八中考前测试)已知函数f (x )＝e x－x －1(e 是自然对数的底数)． (1)求证：e x≥x ＋1；(2)若不等式f (x )>ax －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)证明：∵f ′(x )＝e x－1， ∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝e x－1>0， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＝e x－1<0，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，在x ∈(－∞，0)上是减函数，∴f (x )在x ＝0时取最小值f (0)＝0， ∴f (x )≥f (0)＝0，即e x－x －1≥0， ∴e x≥x ＋1.(2)不等式f (x )>ax －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立， 即e x－x －1>ax －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，即a <e x－x x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立， 令g (x )＝e x－x x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则g ′(x )＝ex x －x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g ′(x )≤0， 当x ∈[1,2]时，g ′(x )≥0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (x )单调递减，当x ∈[1,2]时，g (x )单调递增， ∴g (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为g (1)＝e －1， ∴正数a 的取值范围是(0，e －1)．14．(2019·河北邯郸一模)已知函数f (x )＝ax －ln xx.(1)若f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若y ＝f (x )的图象与y ＝a 相切，求实数a 的值． 解 (1)由f (x )≥0得ax －ln x x≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln x x2.设g (x )＝ln x x 2，则g ′(x )＝1－2ln x x3(x >0), 所以当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值，g (e)＝12e ，故a 的取值范围是a ≥12e.(2)设y ＝f (x )的图象与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ft ＝a ，f t ＝0.因为f ′(x )＝a －1－ln x x2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧at －ln tt ＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0， 令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h ′(t )＝1－(2t －1)·1t－2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0， 所以0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增；t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，故a ＝1.。