2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题2 不等式与线性规划第3练

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2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题7 解析几何第28练 Word版含解析

第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.2．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1答案 A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.3．(2016·课标全国丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点．P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析设M (－c ，m )，则E⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.4．(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将线段AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 5．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．(1)解由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．解设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0，当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．变式训练1 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若△AF 1B 的面积为403，求椭圆C 的方程．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形， a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c ，由1AF B S＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝53，所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.方法二设|AB |＝t ，因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a ，由1AF B S ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝53，所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.题型二直线与椭圆相交问题例2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决．求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式．变式训练2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 的一个动点，直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 交于A，B 两点，求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，∴e ＝c a ＝32，∴2c ＝3a ，即4c 2＝3a 2，又∵过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2，∴c 2a 2＋1b 2＝1，∴34a 2a 2＋1b 2＝1，即b 2＝4，又a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋34a 2，即a 2＝16，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)联立直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 的方程，得⎩⎨⎧y ＝34x ＋32，x 216＋y 24＝1消去y ，整理可得7x 2＋12x －52＝0，即(7x ＋26)(x －2)＝0，解得x ＝2或x ＝－267，∴不妨设A (2，3)，B (－267，－337)，则|AB |＝(2＋267)2＋(3＋337)2＝10719，设过P 点且与直线l 平行的直线L 的方程为y ＝34x ＋C ，L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离，即△P AB 的边AB 上的高，只要L 与椭圆相切，就有L 与边AB 的最大距离，即得最大面积．将y ＝34x ＋C 代入x 216＋y 24＝1，消元整理可得：7x 2＋83Cx ＋16C 2－64＝0，令判别式Δ＝(83C )2－4×7×(16C 2－64) ＝－256C 2＋28×64＝0，解得C ＝±28×64256＝± 7. ∴L 与AB 的最大距离为|－7－32|(34)2＋1＝219(27＋3)19，∴△P AB 面积的最大值为12×10719×219(27＋3)19＝107(27＋3)．题型三利用“点差法，设而不求思想”解题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2) 如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.点评当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解．变式训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上，且离心率为12.(1)求椭圆方程；(2)过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解 (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上， ∴令y ＝0，得焦点(2,0)，∴c ＝2， ∵离心率e ＝c a ＝12，∴2a ＝12，解得a ＝4，∴b 2＝16－4＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点， P 为线段AB 的中点，∴由题意，x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，⎩⎨⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y2212＝1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0，∴k l ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－94，∴l 的方程为y －1＝－94(x －3)，即9x ＋4y －31＝0.高考题型精练1．(2016·课标全国乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 B解析如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ， OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，代入解得a 2＝4c 2，故椭圆离心率e＝c a ＝12，故选B.2．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，则|P A |＋|PF 1|的最大值是( ) A ．6 B ．6＋2 2 C ．6－ 2 D ．6＋ 2答案 D解析 |P A |＋|PF 1|＝|P A |＋2a －|PF 2|≤2a ＋|AF 2|＝6＋2，当P ，A ，F 2共线时取最大值，故选D.3．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，直线AP 的方程为( ) A ．y ＝－33x ＋2 3 B ．y ＝33x ＋2 3 C ．y ＝－3x ＋2 3 D ．y ＝3x ＋2 3答案 D解析椭圆x 29＋y 25＝1中a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，由题意，设F ′是左焦点，则△APF 周长＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF ′| ＝4＋6＋|P A |－|PF ′|≤10＋|AF ′|(A ，P ，F ′三点共线，且P 在AF ′的延长线上时，取等号)，直线AP 的方程为x －2＋y23＝1，即y ＝3x ＋23，故选D.4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －14＝0D ．x ＋2y －8＝0答案 D解析设这条弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎨⎧ x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236＋k y 1＋y 29＝0，又弦中点坐标为(4,2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12(x －4)，整理得x ＋2y －8＝0，故选D.5．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______，∠F 1PF 2的大小为________.答案 2 2π3解析根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2c ＝27，在△F 1PF 2中，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝2π3. 6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，过右焦点F 2的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 是弦AB 的中点，直线OM (O 为原点)的斜率为14，则△ABF 1的周长等于__________，斜率k ＝________.答案 8 －3解析依题意得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝8，即|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝8，△ABF 1的周长为8.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0. 又y 1＋y 2x 1＋x 2＝2y 02x 0＝y 0x 0＝14，因此y 1－y 23＋(x 1－x 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－3，k ＝－3. 7．(2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为 B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0， ①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [3,15]解析圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．9．设椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，上顶点为A (0,2)，离心率为255. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设B 1(－2,0)，B 2(2,0)，过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵c a ＝255，∴1－b 2a 2＝45，即b 2a 2＝15，又∵b 2＝4，∴a 2＝20， ∴椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2，∴直线l 的方程为x ＝±2y －2，即x ±2y ＋2＝0.10．(2016·课标全国乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过点B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．11．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . (1)解由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，b 3，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)证明由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6，又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .。

考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题二第一讲

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语１．集合的概念、运算（１）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．（２）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（３）集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．（４）重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.２．命题两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．３．充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件（p⇒q，q⇒p）A Bp是q的必要不充分条件（q⇒p，p⇒q）B Ap是q的充要条件（p⇔q）A＝Bp是q的既不充分也不必要条件（p⇒q，q⇒p）A与B互不包含１．（２0１３·辽宁）已知集合A＝{x|0＜log４x＜１}，B＝{x|x≤２}，则A∩B等于（）Ａ．（0,１）Ｂ．（0,２] Ｃ．（１,２）Ｄ．（１,２]答案D解析A＝{x|１＜x＜４}，B＝{x|x≤２}，∴A∩B＝{x|１＜x≤２}．２．（２0１３·北京）“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过坐标原点”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析当φ＝π时，y＝sin（２x＋φ）＝—sin ２x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过原点”的充分不必要条件．３．（２0１２·山东）已知全集U＝{0,１,２,３,４}，集合A＝{１,２,３}，B＝{２,４}，则（∁U A）∪B为（）Ａ．{１,２,４} Ｂ．{２,３,４}Ｃ．{0,２,４} Ｄ．{0,２,３,４}答案C解析∵∁U A＝{0,４}，B＝{２,４}，∴（∁U A）∪B＝{0,２,４}．１若一个球的半径缩小到原来的错误!，则其体积缩小到原来的错误!；２若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；３直线x＋y＋１＝0与圆x２＋y２＝错误!相切．其中真命题的序号是（）Ａ．１２３Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．２３答案C解析对于命题１，设球的半径为R，则错误!π错误!３＝错误!·错误!πR３，故体积缩小到原来的错误!，命题正确；对于命题２，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据１,３,５和３,３,３的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题３，圆x２＋y２＝错误!的圆心（0,0）到直线x＋y＋１＝0的距离d＝错误!＝错误!，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．１若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；２直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；３若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；４梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）答案１４解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故１是真命题．如图（１），在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|PA|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故２是假命题．如图（２），A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及１可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P有无数个，故３是假命题．如图（３），由１可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故４是真命题．题型一集合的概念与运算问题例１（１）（２0１２·湖北）已知集合A＝{x|x２—３x＋２＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<５，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）定义A—B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{１,２,３,４,５}，N＝{２,３,6}，则N—M等于（）Ａ．MＢ．NＣ．{１,４,５} Ｄ．{6}审题破题（１）先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．（２）透彻理解A—B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案（１）D （２）D解析（１）由x２—３x＋２＝0得x＝１或x＝２，∴A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４}，∴满足条件的C可为{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}，{１,２,３,４}．（２）N—M＝{x|x∈N且x∉M}．∵２∈N且２∈M，∴２∉N—M；３∈N且３∈M，∴３∉N—M；6∈N且6∉M，∴6∈N—M.∴故N—M＝{6}．反思归纳（１）解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．（２）两点提醒：１要注意集合中元素的互异性；２当B⊆A时，应注意讨论B是否为∅.变式训练１（２0１３·玉溪毕业班复习检测）若集合S＝{x|log２（x＋１）>0}，T＝错误!，则S∩T等于（）Ａ．（—１,２）Ｂ．（0,２）Ｃ．（—１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）答案D解析S＝{x|x＋１>１}＝{x|x>0}，T＝{x|x>２或x<—２}．∴S∩T＝{x|x>２}．题型二命题的真假与否定问题例２下列叙述正确的个数是（）１l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；２在△ABC中，“∠A＝60°”是“cos A＝错误!”的充要条件；３若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．0审题破题判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定．答案A解析对于１，直线l不一定在平面α外，错误；２注意到△ABC中条件，正确；３a·b<0可能〈a，b〉＝π，错误．故叙述正确的个数为１．反思归纳（１）命题真假的判定方法：１一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；２四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；３形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．１对任意x∈R，不等式x２＋２x>４x—３均成立；２若log２x＋log x２≥２，则x>１；３“若a>b>0且c<0，则错误!>错误!”的逆否命题．其中真命题只有（）Ａ．１２３Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．２３答案A解析１中不等式可表示为（x—１）２＋２>0，恒成立；２中不等式可变为log２x＋错误!≥２，得x>１；３中由a>b>0，得错误!<错误!，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真．题型三充要条件的判断问题例３（１）甲：x≠２或y≠３；乙：x＋y≠５，则（）Ａ．甲是乙的充分不必要条件Ｂ．甲是乙的必要不充分条件Ｃ．甲是乙的充要条件Ｄ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（２）设命题p：|４x—３|≤１；命题q：x２—（２a＋１）x＋a（a＋１）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，0）∪错误!Ｄ．（—∞，0）∪错误!审题破题（１）利用逆否命题判别甲、乙的关系；（２）转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案（１）B （２）A解析（１）“甲⇒乙”，即“x≠２或y≠３”⇒“x＋y≠５”，其逆否命题为：“x＋y＝５”⇒“x＝２且y＝３”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．（２）綈p：|４x—３|>１；綈q：x２—（２a＋１）x＋a（a＋１）>0，解得綈p：x>１或x<错误!；綈q：x>a＋１或x<a.若綈p⇐綈q，则错误!或错误!，即0≤a≤错误!.反思归纳（１）充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；（２）判断充分、必要条件时应注意的问题：１要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A；２要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练３（１）（２0１２·山东）设a>0且a≠１，则“函数f（x）＝a x在R上是减函数”是“函数g （x）＝（２—a）x３在R上是增函数”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析由题意知函数f（x）＝a x在R上是减函数等价于0<a<１，函数g（x）＝（２—a）x３在R 上是增函数等价于0<a<１或１<a<２，∴“函数f（x）＝a x在R上是减函数”是“函数g（x）＝（２—a）x３在R上是增函数”的充分不必要条件．（２）设A＝{x|错误!<0}，B＝{x|0<x<m}，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是（）Ａ．m<１Ｂ．m≤１Ｃ．m≥１Ｄ．m>１答案D解析错误!<0⇔0<x<１．由已知得，0<x<m⇒0<x<１，但0<x<１⇒0<x<m成立．∴m>１．１若m＝１，则S＝{１}；２若m＝—错误!，则错误!≤l≤１；３若l＝错误!，则—错误!≤m≤0．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析１m＝１时，l≥m＝１且x２≥１，∴l＝１，故１正确．２m＝—错误!时，m２＝错误!，故l≥错误!.又l≤１，∴２正确．３l＝错误!时，m２≤错误!且m≤0，则—错误!≤m≤0，∴３正确．答案D得分技巧创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．１．已知集合A＝{x|x２＋x—２＝0}，B＝{x|ax＝１}，若A∩B＝B，则a等于（）Ａ．—错误!或１Ｂ．２或—１Ｃ．—２或１或0 Ｄ．—错误!或１或0答案D解析依题意可得A∩B＝B⇔B⊆A.因为集合A＝{x|x２＋x—２＝0}＝{—２,１}，当x＝—２时，—２a＝１，解得a＝—错误!；当x＝１时，a＝１；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选Ｄ．２．（２0１３·浙江）已知函数f（x）＝A cos（ωx＋φ）（A>0，ω>0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案B解析φ＝错误!⇒f（x）＝A cos错误!＝—A sin ωx为奇函数，∴“f（x）是奇函数”是“φ＝错误!”的必要条件．又f（x）＝A cos（ωx＋φ）是奇函数⇒f（0）＝0⇒φ＝错误!＋kπ（k∈Z）⇒φ＝错误!.∴“f（x）是奇函数”不是“φ＝错误!”的充分条件．３．已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且x２＋y２＝１}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B 的元素个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案C解析集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为２．４．已知集合P＝{x|x２≤１}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，—１] Ｂ．[１，＋∞）Ｃ．[—１,１] Ｄ．（—∞，—１]∪[１，＋∞）答案C解析由P＝{x|x２≤１}得P＝{x|—１≤x≤１}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴—１≤a≤１．５．下列命题中错误的是（）Ａ．命题“若x２—５x＋6＝0，则x＝２”的逆否命题是“若x≠２，则x２—５x＋6≠0”Ｂ．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤错误!２中等号成立”的充要条件Ｃ．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假Ｄ．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题答案C解析易知选项A，B，D都正确；选项C中，若p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故C错．专题限时规范训练一、选择题１．（２0１３·陕西）设全集为R，函数f（x）＝错误!的定义域为M，则∁R M为（）Ａ．[—１,１]Ｂ．（—１,１）Ｃ．（—∞，—１]∪[１，＋∞）Ｄ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）答案D解析由题意得M＝[—１,１]，则∁R M＝（—∞，—１）∪（１，＋∞）．２．（２0１３·山东）给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析由题意知：綈p⇐q⇔（逆否命题）p⇒綈q.３．（２0１２·湖南）命题“若α＝错误!，则tan α＝１”的逆否命题是（）Ａ．若α≠错误!，则tan α≠１Ｂ．若α＝错误!，则tan α≠１Ｃ．若tan α≠１，则α≠错误!Ｄ．若tan α≠１，则α＝错误!答案C解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠１，则α≠错误!.４．设集合A＝{１,２,３,４,５,6}，B＝{４,５,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（）Ａ．５7 Ｂ．５6 Ｃ．４9 Ｄ．8答案B解析由S⊆A知S是A的子集，又∵A＝{１,２,３,４,５,6}，∴满足条件S⊆A的S共有２6＝6４（种）可能．又∵S∩B≠∅，B＝{４,５,6,7,8}，∴S中必含４,５,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含４,５,6的子集共有２３＝8（种），∴满足题意的集合S的可能个数为6４—8＝５6．５．设集合A＝{x∈R|x—２>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x—２）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案C解析A＝{x|x—２>0}＝{x|x>２}＝（２，＋∞），B＝{x|x<0}＝（—∞，0），∴A∪B＝（—∞，0）∪（２，＋∞），C＝{x|x（x—２）>0}＝{x|x<0或x>２}＝（—∞，0）∪（２，＋∞）．A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．6．设有两个命题，p：不等式错误!＋错误!>a的解集为R；q：函数f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（）Ａ．１≤a<２Ｂ．２<a≤错误!Ｃ．２≤a<错误!Ｄ．１<a≤２答案A解析记A＝{a|不等式错误!＋错误!>a的解集为R}；B＝{a|f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数}．由于函数y＝错误!＋错误!的最小值为１，故A＝{a|a<１}．又因为函数f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数，故7—３a>１，即a<２，所以B＝{a|a<２}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[（∁R A）∩B]∪[（∁R B）∩A]，而（∁R A）∩B＝[１，＋∞）∩（—∞，２）＝[１,２），（∁R B）∩A＝[２，＋∞）∩（—∞，１）＝∅，因此[（∁R A）∩B]∪[（∁R B）∩A]＝[１,２），故选Ａ．7．已知p：错误!<１，q：（x—a）（x—３）>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—∞，１）Ｂ．[１,３]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．[３，＋∞）答案C解析错误!—１<0⇒错误!<0⇒（x—１）（x＋１）<0⇒p：—１<x<１．当a≥３时，q：x<３或x>a；当a<３时，q：x<a或x>３．綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且q⇒p，从而可推出a的取值范围是a≥１．8．下列命题中是假命题的是（）Ａ．存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan βＢ．对任意x>0，有lg２x＋lg x＋１>0Ｃ．△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin BＤ．对任意φ∈R，函数y＝sin（２x＋φ）都不是偶函数答案D解析对于A，当α＝β＝0时，tan（α＋β）＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg２x＋lg x＋１＝错误!２＋错误!≥错误!>0，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔２R sin A>２R sin B⇔sin A>sin B（其中R是△ABC的外接圆半径），因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝错误!时，y＝sin（２x＋φ）＝cos ２x是偶函数，因此选项D是假命题．综上所述，选Ｄ．二、填空题9．已知集合A＝{x∈R||x—１|<２}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．答案３解析A＝{x∈R||x—１|<２}＝{x∈R|—１<x<３}，集合A中包含的整数有0,１,２，故A∩Z＝{0,１,２}．故A∩Z中所有元素之和为0＋１＋２＝３．１0．设集合M＝{y|y—m≤0}，N＝{y|y＝２x—１，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是________．答案（—１，＋∞）解析M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>—１}，结合数轴易知m>—１．１１．已知命题p：“对任意x∈[１,２]，错误!x２—ln x—a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案错误!解析命题p：a≤错误!x２—ln x在[１,２]上恒成立，令f（x）＝错误!x２—ln x，f′（x）＝x—错误!＝错误!，当１<x<２时，f′（x）>0，∴f（x）min＝f（１）＝错误!，∴a≤错误!.１“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋１}为等比数列”的充分不必要条件；２“a＝２”是“函数f（x）＝|x—a|在区间[２，＋∞）上为增函数”的充要条件；３“m＝３”是“直线（m＋３）x＋my—２＝0与直线mx—6y＋５＝0互相垂直”的充要条件；４设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝１，b＝错误!，则“A＝３0°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）答案１４解析对于１，当数列{a n}是等比数列时，易知数列{a n a n＋１}是等比数列；但当数列{a n a n＋１}是等比数列时，数列{a n}未必是等比数列，如数列１,３,２,6,４,１２,8显然不是等比数列，而相应的数列３,6,１２,２４,４8,96是等比数列，因此１正确．对于２，当a≤２时，函数f（x）＝|x—a|在区间[２，＋∞）上是增函数，因此２不正确．对于３，当m＝３时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝３，也可能得出m＝0，因此３不正确．对于４，由题意，得错误!＝错误!＝错误!，当B＝60°时，有sin A＝错误!，注意到b>a，故A＝３0°；但当A＝３0°时，有sin B＝错误!，B＝60°或B＝１２0°，因此４正确．三、解答题１３．已知函数f（x）＝错误!的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（—x２＋２x＋m）的定义域为集合B.（１）当m＝３时，求A∩（∁R B）；（２）若A∩B＝{x|—１<x<４}，求实数m的值．解A＝{x|—１<x≤５}，（１）当m＝３时，B＝{x|—１<x<３}，则∁R B＝{x|x≤—１或x≥３}，∴A∩（∁R B）＝{x|３≤x≤５}．（２）∵A＝{x|—１<x≤５}，A∩B＝{x|—１<x<４}，故４是方程—x２＋２x＋m＝0的一个根，∴有—４２＋２×４＋m＝0，解得m＝8．此时B＝{x|—２<x<４}，符合题意．因此实数m的值为8．１４．设集合A＝{x|—２—a<x<a，a>0}，命题p：１∈A，命题q：２∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．解由命题p：１∈A，得错误!解得a>１．由命题q：２∈A，得错误!解得a>２．又∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假或p假q真，当p真q假时，错误!即１<a≤２，当p假q真时，错误!无解．故所求a的取值范围为（１,２]．。

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回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案 C解析由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1). 9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________.答案 8解析由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8. 当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1解析由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1. 13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案－2解析令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 答案 [－1，92]解析作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法篇专题3 函数与导数第10练含答案精品

第10练重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望] 函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析由已知得，当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，P A ＋PB ＝4＋tan 2x ＋tan x ；当点P 在CD 边上运动时，即π4≤x ≤3π4时， P A ＋PB ＝(1－1tan x)2＋1＋ (1＋1tan x)2＋1，当x ＝π2时，P A ＋PB ＝22；当点P 在AD 边上运动时，即3π4≤x ≤π时，P A ＋PB ＝tan 2x ＋4－tan x .从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x ＝π2对称，且f (π4)＞f (π2)，且轨迹非线型，故选B.2.(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 答案 24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝18×192＝24. 3.(2015·上海)如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5千米，AC ＝3千米，BC ＝4千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设t ＝t 1时乙到达C 地.(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由. 解 (1)t 1＝38.记乙到C 时甲所在地为D ，则AD ＝158千米.在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A ，所以f (t 1)＝CD ＝3841(千米).(2)甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时.当t 1＝38≤t ≤78时，f (t )＝(7－8t )2＋(5－5t )2－2(7－8t )(5－5t )·45＝25t 2－42t ＋18；当78≤t ≤1时，f (t )＝5－5t ，所以f (t )＝⎩⎨⎧25t 2－42t ＋18，38≤t ≤78，5－5t ，78＜t ≤1.因为f (t )在⎣⎡⎦⎤38，78上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫38＝3418， f (t )在⎣⎡⎦⎤78，1上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫78＝58，所以f (t )在⎣⎡⎦⎤38，1上的最大值是3418，不超过3. 4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 分别交x ，y 轴于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数. 从而当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米.高考必会题型题型一基本函数模型的应用例1 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比.又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比， ∴设y ＝k x －0.4(k ≠0).把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.变式训练1 (1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a 扣去20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________. 答案 (1)B (2)y ＝a3x (x ∈N *)解析 (1)由表知，汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b ，则售价b (1－25%)，让利b ×25%，由于原价为a ，则进价为a (1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b ×(1－25%)×20%＝b ×(1－25%)－a (1－20%)，化简得b ＝43a .∴y ＝b ×25%·x ＝43a ×25%×x ＝a3x (x ∈N *)，即y ＝a3x (x ∈N *).题型二分段函数模型的应用例2 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W 有最大值5 760.因为6 104＞5 760，所以当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元. 点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.高考题型精练1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 B解析设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.954 3)( )A.2015年B.2011年C.2016年D.2008年答案 B解析设1995年生产总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x ＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )答案 A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元答案 C解析设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32 ＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.5.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米答案 D解析 s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.6.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2. 答案 600解析设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y60，解得y＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝－32(x －20)2＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. 答案 5 8解析由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元.8.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车.(精确到1小时) 答案 5解析设至少经过x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3＝lg 0.3lg 0.75≈4.2， ∴至少经过5个小时才能开车.9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析依题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 10.某公司生产的商品A 每件售价为5元时，年销售10万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用.试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解 (1)设商品的销售价格提高a 元，则(10－a )(5＋a )≥50，即0≤a ≤5，所以商品的价格最多可以提高5元.(2)由题意知改革后的销售收入为mx 万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x ＞5)，即m ＝12x ＋34＋50x≥212x ·50x ＋34＝434，当且仅当x ＝10时等号成立.故销售量至少应达到434万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.11.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x(0＜x ＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211. 综上，当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.12.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－200P 2＋7 800P －75 600(14≤P ≤20)，－150P 2＋61 00P －61 600(20＜P ≤26). (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫.。

2017版考前三个月浙江专版文理通用习题高考知识方法篇专题1 集合与命题第2练含答案精品

第2练理清四种命题，突破充要条件[题型分析·高考展望]充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2015·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件，故选A.3．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析由|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，故是既不充分也不必要条件，故选D.5．(2015·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数．例1(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是()A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m∥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m答案 D解析若l∥m，m⊂α，当l⊂α时，则l∥α不成立，故A错误；若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一条线，可得l⊥m，故D 正确．题型二充分条件与必要条件例2(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B 的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练2(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)·(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n－4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q 成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.题型三与命题有关的综合问题例3以下关于命题的说法正确的是________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题．答案 ②解析对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确．综上可知正确的说法有②.点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°30°＝150°，∴②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，∴③正确； ④显然正确．高考题型精练1．已知复数z ＝a ＋3i i (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 z ＝a ＋3ii ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．3．(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 A解析两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 4．(2016·天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1(q2n－2＋q2n－1)＜0⇔q2(n－1)(q＋1)＜0⇔q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．6．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，φ＝0不一定成立．故选A.7．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.8．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q p ⇒ 故p 是q 的充分不必要条件9．下列4个命题中正确命题的个数是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．答案 2解析 ①正确；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；④正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确．10．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即命题p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即命题q ：1＜m＜32. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题2不等式与线性规划第5练

第5练线性规划与绝||对值不等式[题型分析· (高|考 )展望] "线性规划〞是 (高|考 )每年必考的内容 ,主要以选择题、填空题的形式考查 ,题目难度大多数为低、中档 ,在填空题中出现时难度稍高．绝||对值不等式在 (高|考 )中也是比较主要的一局部．二轮复习中 ,要注重常考题型的反复训练 ,注意研究新题型的变化点 ,争取在该题目上做到不误时 ,不丢分．体验 (高|考 )1．(2021·天津)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0 那么目标函数z ＝x ＋6y 的最||大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40 答案 C解析画出约束条件的可行域如图中阴影局部 ,作直线l ：x ＋6y ＝0 ,平移直线l 可知 ,直线l 过点A 时 ,目标函数z ＝x ＋6y 取得最||大值 ,易得A (0,3) ,所以z max ＝0＋6×3＝18 ,选C.2．(2021·山东)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞ ,4) B ．(－∞ ,1) C ．(1,4) D ．(1,5)答案 A解析 ①当x ≤1时 ,原不等式可化为1－x －(5－x )<2 , ∴－4<2 ,不等式恒成立 ,∴x ≤1.②当1<x <5时 ,原不等式可化为x －1－(5－x )<2 , ∴x <4 ,∴1<x <4 ,③当x ≥5时 ,原不等式可化为x －1－(x －5)<2 ,该不等式不成立．综上 ,原不等式的解集为(－∞ ,4) ,应选A.3．(2021·山东)假设变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 2x －3y ≤9x ≥0 那么x 2＋y 2的最||大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x －3y ≤9x ≥0的可行域如图中阴影局部(包括边界) ,x 2＋y 2是可行域上动点(x ,y )到原点(0,0)距离的平方 ,显然 ,当x ＝3 ,y ＝－1时 ,x 2＋y 2取最||大值 ,最||大值为10.应选 C.4．(2021·浙江)假设平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间 ,那么这两条平行直线间的距离的最||小值是( ) A.355B. 2C.322D. 5答案 B解析不等式组所表示的平面区域如以下图的阴影局部 ,由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0 x ＋y －3＝0解得A (1,2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0 2x －y －3＝0解得B (2,1)．由题意可知 ,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时 ,两直线的距离最||小 , 即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.5．(2021·课标全国Ⅱ)假设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x －2y ≤0x ＋2y －2≤0 那么z ＝x ＋y 的最||大值为____________．答案 32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影局部(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0 ,平移l 0到过点A 的直线l 时 ,可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最||大 ,即z 最||大 ,解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0 x ＋2y －2＝0得⎩⎨⎧x ＝1 y ＝12即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 12 ,故z 最||大＝1＋12＝32.(高|考 )必会题型题型一约束条件 ,求目标函数的最||值例1 (2021·北京)假设x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0 x ＋y ≤3x ≥0 那么2x ＋y 的最||大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示．令z ＝2x ＋y ,那么y ＝－2x ＋z ,作直线2x ＋y ＝0并平移 ,当直线过点A 时 ,截距最||大 ,即z 取得最||大值 ,由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0 x ＋y ＝3 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 所以A 点坐标为(1,2) ,可得2x ＋y 的最||大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法： "直线定界 ,特殊点定域〞．(2)线性目标函数在线性可行域中的最||值 ,一般在可行域的顶点处取得 ,故可先求出可行域的顶点 ,然后代入比较目标函数的取值即可确定最||值．变式训练1 实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x ＜2x ＋y －1≥0 那么z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是( )A ．[53 ,15)B ．[53 ,15]C ．[53 ,5)D ．(5,15)答案 A解析根据题意画出不等式所表示的可行域 ,如以下图 ,z ＝|4x －4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ,y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍 ,结合图象易知点A (2 ,－1) ,B (13 ,23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最||大和最||小 ,此时z 分别取得最||大值15与最||小值53 ,故z ∈[53,15) ,应选A.题型二解决参数问题例2 变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥a 假设x ＋2y ≥－5恒成立 ,那么实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞ ,－1] B ．[－1 ,＋∞) C ．[－1,1] D ．[－1,1)答案 C解析由题意作出不等式组所表示的平面区域 ,如图中阴影局部所示 ,那么x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影局部在直线x ＋2y ＝－5的上方 ,由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1 x ＋2y ＝－5 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1 x ＋y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 y ＝0那么实数a 的取值范围为[－1,1]．点评所求参数一般为对应直线的系数 ,最||优解的取得可能在某点 ,也可能是可行域边界上的所有点 ,要根据情况利用数形结合进行确定 ,有时还需分类讨论．变式训练2 (2021·山东)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0 x ＋y ≤2y ≥0 假设z ＝ax ＋y 的最||大值为4 ,那么a等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 B解析不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示 ,易知A (2,0) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y ＝2得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ,得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时 ,z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最||大值 ,最||大值为z max ＝0 ,不满足题意 ,排除C ,D 选项；当a ＝2或3时 ,z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最||大值 , ∴2a ＝4 ,∴a ＝2 ,排除A ,应选B. 题型三绝||对值不等式例3 (1)(2021·浙江)在平面上 ,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0x ＋y ≥0x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ,那么|AB |等于( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6 (2)不等式|x ＋1|－|x －3|>a .假设不等式有解 ,那么实数a 的取值范围为__________．假设不等式的解集为R ,那么实数a 的取值范围为________________________．假设不等式的解集为∅ ,那么实数a 的取值范围为_______________________________．答案 (1)C (2)a <4 a <－4 a ≥4解析 (1)不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ,那么|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0 x ＋y ＝0 解得P (－1,1) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 x ＋y ＝0.解得Q (2 ,－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4. |x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4. 可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4. ①假设不等式有解 ,那么a <4； ②假设不等式的解集为R ,那么a <－4； ③假设不等式解集为∅ ,那么a ≥4.点评绝||对值不等式解法的根本思路是：去掉绝||对值符号 ,把它转化为一般的不等式求解 ,转化的方法一般有：(1)绝||对值定义法；(2)平方法；(3)零点区域法．变式训练3 解不等式： (1)|3x －5|≥1； (2)|x ＋1|>|2x －1|； (3)|x ＋1|＋|x －3|>5.解 (1)由绝||对值的定义得： 3x －5≥1或3x －5≤－1. 解得x ≥2或x ≤43.(2)两边同时平方得：(x ＋1)2>(2x －1)2 , 解得0<x <2.(3)令x ＋1＝0 ,x －3＝0. 得x ＝－1和x ＝3.所以－1和3把实数分为三个区间 , 即：x <－1 ,－1≤x ≤3 ,x >3.当x <－1时 ,不等式为－(x ＋1)－(x －3)>5 , 解得x <－32；当－1≤x ≤3时 ,不等式为(x ＋1)－(x －3)>5 ,无解；当x >3时 ,不等式为x ＋1＋x －3>5 ,解得x >72.综上可知 ,x <－32或x >72.(高|考 )题型精练1．(2021·安徽)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －4≤0y ≥1 那么z ＝－2x ＋y 的最||大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1 答案 A解析约束条件下的可行域如以下图 ,由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ,当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时 ,截距最||大 ,此时z 最||大为－1 ,应选A.2．(2021·四川)设p ：实数x ,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2 ,q ：实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1y ≥1－xy ≤1那么p是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析如图 ,(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1) ,半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1 y ≥1－x y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界)．实数x ,y 满足②那么必然满足① ,反之不成立．那么p 是q 的必要不充分条件．应选A.3．在平面直角坐标系中 ,点P 是由不等式组⎩⎨⎧x ≥0 y ≥0x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点 ,Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点 ,O 为坐标原点 ,那么|OP →＋OQ →|的最||小值为( ) A.55 B.23 C.22D ．1 答案 A解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′ ,使得Q ′O →＝OQ → ,那么|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →| ,其中P ′ ,B 分别为点P ,A 在直线2x ＋y ＝0上的投影 ,如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55,因此|OP →＋OQ →|min ＝55,应选A.4．圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1 ,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.假设圆心C ∈Ω ,且圆C 与x 轴相切 ,那么a 2＋b 2的最||大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37 D ．49答案 C解析由得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切 ,∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时 ,a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最||大值为62＋12＝37.应选C.5．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0y ≥0假设目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)的最||大值为4 ,那么ab 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．(0,4] C ．[4 ,＋∞) D ．(4 ,＋∞)答案 B解析作出不等式组表示的区域如图中阴影局部所示 ,由图可知 ,z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)过点A (1,1)时取最||大值 ,∴a ＋b ＝4 ,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4 , ∵a ＞0 ,b ＞0 ,∴ab ∈(0,4] ,应选B. 6．变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≥1 x －y ≤1 y －1≤0假设z ＝x －2y 的最||大值与最||小值分别为a ,b ,且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ,a )上有两个不同实数解 ,那么实数k 的取值范围是( ) A ．(－6 ,－2)B ．(－3,2)C ．(－103,－2) D ．(－103,－3) 答案 C解析作出可行域 ,如以下图 ,那么目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最||大值1 ,在点(－1,1)处取得最||小值－3 , ∴a ＝1 ,b ＝－3 ,从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3 ,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0 f (1)＞0－3＜k 2＜1 Δ＝k 2－4＞0 ⇒－103＜k ＜－2 ,应选C. 7．实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ≥0 x ＋y －4≤0 y ≥m 假设目标函数z ＝2x ＋y 的最||大值与最||小值的差为2 ,那么实数m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ≥0 x ＋y －4≤0 y ≥m 表示的可行域如图中阴影局部所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至||过点A ,B 时 ,z ＝2x ＋y 分别取得最||小值与最||大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ＝0 y ＝m得A (m －1 ,m ) , 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m得B (4－m ,m ) , 所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2 ,z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ,所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2 ,解得m ＝2.8．对任意实数x ,假设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立 ,那么k 的取值范围为________．答案 (－∞ ,－3)解析方法一根据绝||对值的几何意义 ,设数x ,－1,2在数轴上对应的点分别为P ,A ,B ,那么原不等式即求|P A |－|PB |>k 成立．∵|AB |＝3 ,即|x ＋1|－|x －2|≥－3 ,故当k <－3时 ,原不等式恒成立．方法二令y ＝|x ＋1|－|x －2| ,那么y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －3 x ≤－1 2x －1 －1<x <2 3 x ≥2.要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立 ,从图象中可以看出 ,只要k <－3即可．故k <－3满足题意．9．(2021·江苏)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0 2x ＋y －2≥0 3x －y －3≤0那么x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 13 解析不等式组所表示的平面区域如以下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0x －2y ＋4＝0 得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－2|22＋122＝45 , (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10．不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________．答案 (－∞ ,－25)∪(2 ,＋∞) 解析 |x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x (x ≥12) 3x ＋2(－3<x <12) x －4(x ≤－3)∴当x ≥12时4－x <x 2＋1 ,∴x >2. 当－3<x <12时3x ＋2<x 2＋1 ,∴－3<x <－25. 当x ≤－3时x －4<x 2＋1 ,∴x ≤－3. 综上 ,x <－25或x >2. 11．(2021·浙江)假设实数x ,y 满足x 2＋y 2≤1 ,那么|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最||小值是________．答案 3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ,y 表示的点(x ,y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ,y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x －2y y ≥－2x ＋2 8－3x －4y y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ,B 两点 ,如以下图 ,易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3545.设z 1＝4＋x －2y ,z 2＝8－3x －4y ,分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移 ,那么z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35 45取得最||小值为3 ,z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35 45取得最||小值为3 ,所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最||小值是3.12．求不等式1331log log 3＋≥1x x-的解集．解因为对数必须有意义 ,即解不等式组⎩⎨⎧ x >0 13－x >0 解得0<x <3.又原不等式可化为||log 3x ＋||log 3()3－x ≥1.(1)当0<x ≤1时 ,不等式化为－log 3x ＋log 3()3－x ≥1 ,即log 3()3－x ≥log 33x .∴ 3－x ≥3x ,∴x ≤34. 综合前提得：0<x ≤34. (2)当1<x ≤2时 ,即log 3x ＋log 3()3－x ≥log 33. ∴x 2－3x ＋3≤0 ,∴x ∈∅.(3)当2<x <3时 ,即log 3x －log 3()3－x ≥log 33.∴x ≥3()3－x ,∴x ≥94 , 结合前提得：94≤x <3. 综上得原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫94 3.。

高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练常考

（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练常考的递推公式问题的破解方略文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练常考的递推公式问题的破解方略文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第22练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望］利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型,掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键．一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型",然后采用相应的计算方法即可解决．体验高考1．(2015·湖南）设S n为等比数列{a n｝的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列,则a n＝________.答案3n－1解析由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3,可得a3＝3a2,∴公比q＝3,故等比数列通项a n＝a1q n－1＝3n－1.2．（2015·课标全国Ⅱ)设S n是数列{a n｝的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝____________.答案－错误!解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由a n＋1＝S n S n＋1,得S n＋1－S n＝S n S n＋1，因为S n≠0，所以错误!＝1，即错误!－错误!＝－1,故数列错误!是以错误!＝－1为首项，－1为公差的等差数列,得错误!＝－1－（n－1)＝－n，所以S n＝－1 n .3．(2015·江苏）设数列｛a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝n＋1(n∈N＊），则数列错误!前10项的和为________．答案错误!解析∵a1＝1，a n＋1－a n＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，将以上n－1个式子相加得a n－a1＝2＋3＋…＋n＝错误!，即a n＝错误!.令b n＝错误!，故b n＝错误!＝2错误!，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2错误!＝错误!。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题3函数与导数第6练版含答案

第6练夯根底 - -熟练掌握根本初等函数[题型分析· (高|考 )展望] 根本初等函数的性质、图象及其应用是 (高|考 )每年必考内容 ,一般为二至||三个选择题、填空题 ,难度为中档．在二轮复习中 ,应该对根本函数的性质、图象再复习 ,到达熟练掌握 ,灵活应用．对常考题型进行题组强化训练 ,图象问题难度稍高 ,应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略．体验 (高|考 )1．(2021·浙江)a ,b ＞0且a ≠1 ,b ≠1 ,假设log a b ＞1 ,那么( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0 D ．(b －1)(b －a )＞0答案 D解析由a ,b ＞0且a ≠1 ,b ≠1 , 及log a b ＞1＝log a a 可得：当a ＞1时 ,b ＞a ＞1 ,当0＜a ＜1时 ,0＜b ＜a ＜1 , 代入验证只有D 满足题意．2．(2021·山东)函数f (x )的定义域为R ,当x <0时 ,f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时 ,f (－x )＝－f (x )；当x >12时 ,f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12 ,那么f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 D解析当x >12时 ,f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12 , 即f (x )＝f (x ＋1) ,∴T ＝1 ,∴f (6)＝f (1)． ∵当x <0时 ,f (x )＝x 3－1 ,当－1≤x ≤1时 ,f (－x )＝－f (x ) , ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2 ,应选D.3．(2021·浙江)假设a ＝log 43 ,那么2a ＋2－a ＝________. 答案 433解析 ∵a ＝log 43 ,∴4a ＝3⇒2a ＝ 3 , ∴2a ＋2－a ＝3＋13＝433. 4．(2021·上海)a ∈R ,函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a . (1)当a ＝5时 ,解不等式f (x )＞0；(2)假设关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素 ,求a 的取值范围；(3)设a ＞0 ,假设对任意t ∈[12 ,1] ,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上的最||大值与最||小值的差不超过1 ,求a 的取值范围．解 (1)log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋5＞0⇔1x ＋5＞1⇔4x ＋1x ＞0 ⇔x (4x ＋1)＞0 ,∴不等式的解为{x |x ＞0或x ＜－14}．(2)依题意 ,log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＝log 2[(a －4)x ＋2a －5] , ∴1x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0 , ①可得(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0 , 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0.② 当a ＝4时 ,方程②的解为x ＝－1 ,代入①式 ,成立；当a ＝3时 ,方程②的解为x ＝－1 ,代入①式 ,成立；当a ≠3且a ≠4时 ,方程②的解为x ＝－1或1a －4.假设x ＝－1为方程①的解 ,那么1x＋a ＝a －1＞0 ,即a ＞1 ,假设x ＝1a －4为方程①的解 ,那么1x ＋a ＝2a －4＞0 ,即a ＞2.要使得方程①有且仅有一个解 ,那么1＜a ≤2.综上 ,假设原方程的解集有且只有一个元素 ,那么a 的取值范围为1＜a ≤2或a ＝3或a ＝4. (3)f (x )在区间[t ,t ＋1]上单调递减 , 依题意 ,f (t )－f (t ＋1)≤1 , 即log 2⎝⎛⎭⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1 ,∴1t ＋a ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ,即a ≥1t －2t ＋1＝1－t t (t ＋1). 设1－t ＝r ,那么r ∈[0 ,12] ,1－tt (t ＋1)＝r (1－r )(2－r )＝rr 2－3r ＋2. 当r ＝0时 ,rr 2－3r ＋2＝0；当0＜r ≤12时 ,rr 2－3r ＋2＝1r ＋2r－3. ∵函数y ＝x ＋2x 在(0 ,2)上递减 ,∴r ＋2r ≥12＋4＝92 ,∴1r ＋2r －3≤192－3＝23 , ∴a 的取值范围为a ≥23.(高|考 )必会题型题型一指数函数的图象与性质指数函数性质：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)为单调函数；当a ＞1时 ,在(－∞ ,＋∞)上为增函数 ,当0＜a ＜1时 ,在(－∞ ,＋∞)上为减函数；指数函数y ＝a x 为非奇非偶函数 ,值域为(0 ,＋∞)．例1 (1)设a ＝2 ,b ＝3 ,c ＝7 ,那么a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a(2)假设关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根 ,那么a 的取值范围是__________．答案 (1)A (2)(0 ,12)解析 (1)由得a ＝8 ,b ＝9 ,c ＝7 ,构建幂函数y ＝x ,根据幂函数在区间(0 ,＋∞)上为增函数 , 得c ＜a ＜b .(2)方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0＜a ＜1时 ,如图(1) , ∴0＜2a ＜1 ,即0＜a ＜12；②当a ＞1时 ,如图(2) ,而y ＝2a ＞1 ,不符合要求．综上 ,0＜a ＜12.点评 (1)指数函数值比较大小 ,除考虑指数函数单调性、值域外 ,还需考虑将其转化为幂函数 ,利用幂函数的单调性比较大小．(2)数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段 ,将问题转化为根本函数的图象关系 ,比较图象得出相关变量的方程或不等关系 ,从而使问题解决．变式训练1 (1)函数y ＝2x －12x ＋1的奇偶性为_____________ ,函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中|心为____________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0 ,a ≠1)在区间[－1,1]上的最||大值是14 ,那么a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 答案 (1)奇函数 (0,2) (2)D解析 (1)令g (x )＝2x －12x ＋1,那么g (－x )＝2－x －12－x ＋1＝－2x －12x ＋1＝－g (x )．∴函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数；函数f (x )＝22x ＋1＋1＝－2x －12x ＋1＋2 ,∵函数y ＝－2x －12x ＋1是奇函数 ,关于原点对称 ,∴函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中|心为(0,2)．(2)令a x ＝t ,那么y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当a ＞1时 ,因为x ∈[－1,1] ,所以t ∈[1a ,a ] ,又函数y ＝(t ＋1)2－2在[1a ,a ]上单调递增 ,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14 ,解得a ＝3(负值舍去)；当0＜a ＜1时 ,因为x ∈[－1,1] ,所以t ∈[a ,1a ] ,又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ,1a ]上单调递增 ,所以y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14 ,解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.题型二对数函数的图象与性质y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)根本性质：过定点(1,0)；a ＞1时在(0 ,＋∞)上单调递增 ,0＜a ＜1时在(0 ,＋∞)上单调递减； 0＜a ＜1时 ,x ∈(1 ,＋∞) ,y ＜0 ,x ∈(0,1) ,y ＞0； a ＞1时 ,x ∈(1 ,＋∞) ,y ＞0 ,x ∈(0,1) ,y ＜0； y ＝log a x ,x ∈(0 ,＋∞) ,y ∈R ,是非奇非偶函数．例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0＜x ≤12时 ,4x ＜log a x ,那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 22B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫2 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞ ,1) ,排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减 ,排除D.选C.(2)方法一构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ,当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时 ,画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 12上的图象 ,如下列图．可知f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12 , 即2＜log a 12,那么a ＞22 ,所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22 1.方法二 ∵0＜x ≤12,∴1＜4x ≤2 ,∴log a x ＞4x ＞1 ,∴0＜a ＜1 ,排除选项C ,D ；取a ＝12 ,x ＝12 ,那么有1212142log 12＝，＝，显然4x ＜log a x 不成立 ,排除选项A.点评对于含参数的指数、对数函数问题 ,在应用单调性时 ,要注意对底数进行讨论．解决对数函数问题时 ,首||先要考虑其定义域 ,其次再利用性质求解．变式训练2 (1)设a ,b ,c 均为正数 ,且11222112log log log 22＝，＝，＝，b ca abc ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ＞012log ()0.－，＜x x 假设f (a )＞f (－a ) ,那么实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞ ,－1)∪(1 ,＋∞)C ．(－1,0)∪(1 ,＋∞)D ．(－∞ ,－1)∪(0,1) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)如图 ,在同一坐标系中 ,作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x,y ＝2x,y ＝log 2x 和12log ＝y x 的图象．由图象可知a ＜b ＜c .(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0 log 2a ＞－log 2a或⎩⎨⎧a ＜0 122log ()log ()－＞－，a a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 题型三幂函数的图象与性质例3 (1)幂函数()223(22)()－＝＋－nnf x n n xn Z ∈的图象关于y 轴对称 ,且在(0 ,＋∞)上是减函数 ,那么n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2(2)定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|x ≠11 x ＝1假设关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1 ,x 2 ,x 3 ,那么x 21＋x 22＋x 23等于( )A ．13 B.2b 2＋2b 2C ．5 D.3c 2＋2c2答案 (1)B (2)C解析 (1)由于f (x )为幂函数 ,所以n 2＋2n －2＝1 ,解得n ＝1或n ＝－3 ,当n ＝1时 ,函数f (x )＝x －2为偶函数 ,其图象关于y 轴对称 ,且f (x )在(0 ,＋∞)上是减函数 ,所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时 ,函数f (x )＝x 18为偶函数 ,其图象关于y 轴对称 ,而f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数 ,所以n ＝－3不满足题意 ,舍去．应选B.(2)作出f (x )的图象 ,由图知 ,只有当f (x )＝1时有3个不同的实根．∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1 ,x 2 ,x 3 ,∴必有f (x )＝1 ,从而x 1＝1 ,x 2＝2 ,x 3＝0 ,故可得x 21＋x 22＋x 23＝5 ,应选C.点评在幂函数中 ,y ＝x －1非常重要 ,在 (高|考 )中经常考查 ,要会画其函数作平移变换后的图象 ,并对其对称中|心、单调性作深入研究．变式训练3 幂函数()273225(1)＋－＝－＋t t f x t t x(t ∈N )是偶函数 ,那么实数t 的值为( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．0或1答案 C解析因为函数为幂函数 ,所以t 2－t ＋1＝1 ,即t 2－t ＝0 ,所以t ＝0或t ＝1.当t ＝0时 ,()75＝f x x 为奇函数 ,不满足条件；当t ＝1时 ,()85＝f x x 为偶函数 ,所以t ＝1.(高|考 )题型精练1．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最||大值和最||小值之和为a ,那么a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析当a ＞1时 ,a ＋log a 2＋1＝a ,log a 2＝－1 ,所以a ＝12 ,与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时 ,1＋a ＋log a 2＝a ,log a 2＝－1 ,所以a ＝12.2．假设函数f (x )＝a x (a ＞0 ,a ≠1)在[－1,2]上的最||大值为4 ,最||小值为m ,且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0 ,＋∞)上是增函数 ,那么a 等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 A解析假设a ＞1 ,有a 2＝4 ,a －1＝m ,此时a ＝2 ,m ＝12 ,此时g (x )＝－x 为减函数 ,不符合题意；假设0＜a ＜1 ,有a －1＝4 ,a 2＝m ,故a ＝14 ,m ＝116,检验知符合题意．3．以下函数中 ,与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ≥0 ⎝⎛⎭⎫1e xx ＜0的奇偶性相同 ,且在(－∞ ,0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x 2＋2C ．y ＝x 3－3D ．1elog ＝y x答案 B解析y ＝⎩⎨⎧e xx ≥0 e －xx ＜0＝e |x |为偶函数 ,且在(－∞ ,0)上为减函数．而y ＝－1x为奇函数 ,y ＝x 3－3为非奇非偶函数 ,故排除A ,C.y ＝x 2＋2为偶函数 ,且在(－∞ ,0)上为减函数．1elog ＝y x为偶函数 ,但其在(－∞ ,0)上为增函数．综上知 ,选B. 4．(2021·课标全国Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称 ,且f (－2)＋f (－4)＝1 ,那么a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析设f (x )上任意一点为(x ,y ) ,关于y ＝－x 的对称点为(－y ,－x )．将(－y ,－x )代入y ＝2x ＋a ,得y ＝a －log 2(－x ) ,由f (－2)＋f (－4)＝1 ,得a －1＋a －2＝1 ,2a ＝4 ,a ＝2.5．设函数f (x )的零点为x 1 ,g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2 ,假设|x 1－x 2|≤ ,那么f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝2x －4 C ．f (x )＝ln(x ＋1) D ．f (x )＝8x －2答案 D解析 g (x )＝4x ＋2x －2在R 上单调递增 , 且g ⎝⎛⎭⎫14·g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫2－32×1＜0 ,即x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1412. f (x )＝x 2－1的零点为x 1＝±1 ,f (x )＝2x －4的零点为x 1＝2 ,f (x )＝ln(x ＋1)的零点为x 1＝0 ,f (x )＝8x －2的零点为x 1＝14, 只有选项D 满足|x 1－x 2|≤0.25.应选D.6．0＜a ＜1 ,那么函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________．答案 2解析分别画出函数y ＝a x (0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象 ,如下列图 ,图象有两个交点．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x x ＞03x x ≤0 且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根 ,那么实数a 的取值范围是________．答案 (1 ,＋∞)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象 ,如下列图 ,所以a ＞1.8．(2021·浙江)a ＞b ＞1.假设log a b ＋log b a ＝52,a b ＝b a ,那么a ＝________ ,b ＝________. 答案 4 2解析设log b a ＝t ,那么t ＞1 ,所以t ＋1t ＝52,解得t ＝2 ,所以a ＝b 2 ,①所以a b ＝b a ⇒b 2b ＝2b b ,②解得b ＝2 ,a ＝4.9．(2021·浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1 ,a ≠0 ,且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ,x ∈R ,那么实数a ＝________ ,b ＝________.答案－2 1解析由可得：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2 , 而(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ,那么⎩⎨⎧－2a －b ＝3 a 2＋2ab ＝0a 3＋3a 2－a 2b ＝0结合a ≠0 ,解得a ＝－2 ,b ＝1.10．假设函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点 ,那么实数m 的取值范围是________．答案 [－1,0)解析由题意得 ,函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m x ＞1首||先作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1 x ＞1的图象 ,如下列图．由图象可知 ,要使函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m x ＞1的图象与x 轴有公共点 ,那么m ∈[－1,0)．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x x >0 0 x ＝0 x 2＋mx x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)假设函数f (x )在区间[－1 ,a －2]上单调递增 ,求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )是奇函数 ,∴f (－x )＝－f (x )．当x >0时 ,－x <0 ,有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x ) ,即x 2－mx ＝x 2－2x .∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x x >0 0x ＝0x 2＋2x x <0 如图．当x >0时 ,f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1 ,∴当x ∈[1 ,＋∞)时 ,f (x )单调递减；当x ∈(0,1]时 ,f (x )单调递增．当x <0时 ,f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1 ,∴当x ∈(－∞ ,－1]时 ,f (x )单调递减；当x ∈[－1,0)时 ,f (x )单调递增．综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增．又函数f (x )在区间[－1 ,a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1 解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)假设f (1)＞0 ,试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)假设f (1)＝32,且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x ) ,求g (x )在[1 ,＋∞)上的最||小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数 ,所以f (0)＝0 ,所以k －1＝0 ,即k ＝1 ,f (x )＝a x －a －x .(1)因为f (1)＞0 ,所以a －1a＞0 , 又a ＞0且a ≠1 ,所以a ＞1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0 ,所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x ) ,所以x 2＋2x ＞4－x ,即x 2＋3x －4＞0 ,所以x ＞1或x ＜－4.所以不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．(2)因为f (1)＝32 ,所以a －1a ＝32, 即2a 2－3a －2＝0 ,所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1) ,那么t(x)在(1 ,＋∞)上为增函数(由(1)可知) ,即t(x)≥t(1)＝32, 所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2 ,所以当t＝2时,ω(t)min＝－2 ,此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)处取得最||小值－2.。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题3 函数与导数第7练 Word版含答案

第7练抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．体验高考1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 当52－b ≥1，即b ≤32时，5224－＝，b 解得b ＝12. 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.3．(2016·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b24，当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0.所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，故选A.4．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )的最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时的图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.5．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝124＝2，故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 高考必会题型题型一函数单调性、奇偶性的应用1．常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减．2．若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断．3．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数．4．奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例1 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得，－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是[32，2)．点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．变式训练1 (1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1] 答案(1)B(2)D解析(1)∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.(2)由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数可得a＞0，故0＜a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：(1)若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a对称．(2)若对于任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2 015)＋f(2 016)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x ＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________.答案(1)1(2)336解析(1)由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x＝1对称，知f(x)的周期为4，∴f(2 015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2 016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2 015)＋f(2 016)＝1＋0＝1.(2)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．变式训练2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案 ①②③解析令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．所以正确命题的序号为①②③. 题型三分段函数例3 (1)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． (2)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(－1，32)B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)C ．(－1，14)∪(14，＋∞)D ．(－1，－34)∪(14，＋∞)答案 (1)－25(2)B解析 (1)由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)＞1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32.f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确．点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )的解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．变式训练3 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)答案 D解析由x ＜g (x )得x ＜x 2－2， ∴x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x ＜－1或x ＞2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8. ∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)；当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．高考题型精练1．设函数f (x )为偶函数，对于任意的x ＞0，都有f (2＋x )＝－2f (2－x )，已知f (－1)＝4，那么f (－3)等于( )A ．2B ．－2C ．8D ．－8 答案 D解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝4，f (－3)＝f (3)，当x ＝1时，f (2＋1)＝－2·f (2－1)， ∴f (3)＝－2×4＝－8，∴f (－3)＝－8.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2) D ．f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13答案 C解析由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53＜f (2)，即f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)． 4．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 答案 A解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x－1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，112211(log )(log )44＝，c f 则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B 解析因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称．所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，121log 24＝，从而0.21210ln 22log 4，<<< 所以b >a >c .7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.故选C. 8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．答案 f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4.所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，所以f (2 016)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析根据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z .当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图．直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案①②④解析1＋2x＋1－2x2＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于－x＋x＋22＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.12．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，即x ＋a x－2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立．令h (x )＝3x －x 2，3 22＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a＞2.而h(x)＝3x－x2＝－⎝⎛⎭⎫x－。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题2不等式与线性规划第

第3练 "三个二次〞的转化与应用[题型分析· (高|考 )展望] "二次函数、二次方程、二次不等式〞是高中数学知识的根底 ,在 (高|考 )中虽然一般不直接考查 ,但它是解决很多数学问题的工具．如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等． "三个二次〞经常相互转化 ,相辅相成 ,是一个有机的整体．如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法 ,会有利于解决上述有关问题 ,提升运算能力．体验 (高|考 )1．(2021·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数) ,四位同学分别给出以下结论 ,其中有且只有一个结论是错误的 ,那么错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0 , ① B 正确等价于b ＝－2a , ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3 ,③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8. ④下面分情况验证 ,假设A 错 ,由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－10c ＝8.符合题意；假设B 错 ,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；假设C 错 ,由①、②、④组成方程组 ,经验证a 无整数解；假设D 错 ,由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数．综上 ,应选A.2．(2021·天津)函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |x ≤2(x －2)2x ＞2函数g (x )＝b －f (2－x ) ,其中b ∈R ,假设函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点 ,那么b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74 ＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ 74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74 2 答案 D解析方法一当x >2时 , g (x )＝x ＋b －4 ,f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时 ,g (x )＝b －x ,f (x )＝2－x ；当x <0时 ,g (x )＝b －x 2 ,f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点 , 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根．当b ＝0时 ,当x >2时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0 ,无解；当0≤x ≤2时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0 ,无解；当x <0时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0 ,无解．所以b ≠0 ,排除答案B.当b ＝2时 ,当x >2时 ,方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2 ,得x ＝2(舍去)或x ＝3 ,有1解；当0≤x ≤2时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ,有无数个解；当x <0时 ,方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2 ,得x ＝0(舍去)或x ＝－1 ,有1解．所以b ≠2 ,排除答案A.当b ＝1时 ,当x >2时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0 ,无解；当0≤x ≤2时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ,无解；当x <0时 ,方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0 ,无解．所以b ≠1 ,排除答案C.因此答案选D.方法二记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图 ,直线AB ：y ＝x －4 ,当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时 ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′y ＝(x －2)2解得b ′＝－94 ,－94－(－4)＝74,所以曲线h (x )向上平移74个单位后 ,所得图象与f (x )的图象有四个公共点 ,平移2个单位后 ,两图象有无数个公共点 ,因此 ,当74＜b ＜2时 ,f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点 ,即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.3．(2021·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案 [－3,1]解析要使原函数有意义 ,需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3,1]．4．(2021·山东)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |x ≤mx 2－2mx ＋4mx >m其中m >0 ,假设存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根 ,那么m 的取值范围是________．答案 (3 ,＋∞)解析如图 ,当x ≤m 时 ,f (x )＝|x |；当x >m 时 ,f (x )＝x 2－2mx ＋4m ,在(m ,＋∞)为增函数 ,假设存在实数b ,使方程f (x )＝b 有三个不同的根 ,那么m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0 ,∴m 2－3m >0 ,解得m >3.5．(2021·浙江)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ,b ∈R ) ,记M (a ,b )是|f (x )|在区间[－1,1]上的最||大值． (1)证明：当|a |≥2时 ,M (a ,b )≥2；(2)当a ,b 满足M (a ,b )≤2时 ,求|a |＋|b |的最||大值． (1)证明由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24, 得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2 ,得|－a2|≥1 ,故f (x )在[－1,1]上单调 ,所以M (a ,b )＝max{|f (1)| ,|f (－1)|}．当a ≥2时 ,由f (1)－f (－1)＝2a ≥4 , 得max{f (1) ,－f (－1)}≥2 , 即M (a ,b )≥2.当a ≤－2时 ,由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4 , 得max{f (－1) ,－f (1)}≥2 ,即M (a ,b )≥2. 综上 ,当|a |≥2时 ,M (a ,b )≥2.(2)解由M (a ,b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2 ,|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2 , 故|a ＋b |≤3 ,|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |ab ≥0|a －b |ab ＜0得|a |＋|b |≤3.当a ＝2 ,b ＝－1时 ,|a |＋|b |＝3 ,且|x 2＋2x －1|在[－1,1]上的最||大值为2. 即M (2 ,－1)＝2.所以|a |＋|b |的最||大值为3.(高|考 )必会题型题型一函数与方程的转化例1 f (x )是定义在R 上且周期为3的函数 ,当x ∈[0,3)时 ,f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.假设函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同) ,那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12解析作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12 ,x ∈[0,3)的图象(如图) ,f (0)＝12 ,当x ＝1时f (x )极大值＝12 ,f (3)＝72 ,方程f (x )－a ＝0在[－3,4]上有10个根 ,即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点．由于函数f (x )的周期为3 ,那么直线y ＝a 与f (x )的图象在[0,3)上应有4个交点 ,因此有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题 ,一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决 ,解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组) ,或用数形结合的方法解决．变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |x ＞0－x 2－2xx ≤0那么关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1 ,如图画出f (x )的图象 ,由f (x )＝12知有4个根 ,由f (x )＝1知有3个根 ,故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点．题型二函数与不等式的转化例2 函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数 ,函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称．假设对任意的x ,y ∈R ,不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立 ,那么当x ＞3时 ,x 2＋y 2的取值范围是________．答案 (13,49)解析由函数f (x －1)的图象关于点(1,0)对称可知 ,函数f (x )为奇函数．所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0 ,可化为f (x 2－6x ＋21)＜－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y )．又因为函数f (x )在R 上为增函数 , 故必有x 2－6x ＋21＜－y 2＋8y , 即x 2－6x ＋21＋y 2－8y ＜0 , 配方 ,得(x －3)2＋(y －4)2＜4.因为x ＞3 ,故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＜4 x ＞3它表示的区域为如下列图的半圆的内部．而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方．由图可知 ,x 2＋y 2的最||小值在点A 处取得 ,但因为该点在边界的分界线上 ,不属于可行域 ,故x 2＋y 2＞32＋22＝13 ,而最||大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方 ,但因为该点在圆的边界上 ,不属于可行域 ,故x 2＋y 2＜(5＋2)2＝49 ,故13＜x 2＋y 2＜49.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具 ,将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路．而二次不等式的解确实定又要借助二次函数图象 ,所以二者关系密切．函数单调性确实定是抽象函数转化为不等式的关键．变式训练2 f (x )＝x 2－2ax ＋2 ,当x ∈[－1 ,＋∞)时 ,f (x )≥a 恒成立 ,求a 的取值范围．解设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ,那么问题的条件变为当x ∈[－1 ,＋∞)时 ,F (x )≥0恒成立． ∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a ) ＝4(a ＋2)·(a －1)≤0 ,即－2≤a ≤1时 ,F (x )≥0恒成立．又当Δ＞0时 ,F (x )≥0在[－1 ,＋∞)上恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0F (－1)≥0 －－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2a ≥－3 a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3,1]．题型三方程与不等式的转化例3 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解 ,求实数m 的取值范围．解方法一设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1 ,x ∈[0,2] ,①假设f (x )＝0在区间[0,2]上有一解 , ∵f (0)＝1＞0 ,那么应有f (2)＜0 , 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1 ,∴m ＜－32.②假设f (x )＝0在区间[0,2]上有两解 ,那么⎩⎨⎧Δ≥00＜－m －12＜2f (2)≥0∴⎩⎨⎧(m －1)2－4≥0－3＜m ＜14＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1 －3＜m ＜1 m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞ ,－1]．方法二显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解 , 0＜x ≤2时 ,方程可变形为1－m ＝x ＋1x,又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减 ,在[1,2]上单调递增 ,∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2 ,＋∞) ,∴1－m ≥2 ,∴m ≤－1 , 故m 的取值范围是(－∞ ,－1]．点评 "三个二次〞是一个整体 ,不可分割．有关 "三个二次〞问题的解决方法通常是利用转化与化归思想来将其转化 ,其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想 ,其最||根本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理．变式训练3 假设关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2,4]上有实数根 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．(－3 ,＋∞)B ．[－3,0]C ．(0 ,＋∞)D ．[0,3]答案 B解析如果方程有实数根 ,注意到两个根之积为－4＜0 ,可知两根必定一正一负 ,因此在[2,4]上有且只有一个实数根 ,设f (x )＝x 2＋ax －4 ,那么必有f (2)f (4)≤0 ,所以2a (12＋4a )≤0 ,即a ∈[－3,0]．应选B.(高|考 )题型精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a ＞0 ,∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图 ,∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3) ,假设x 1＜x 2 ,x 1＋x 2＝1－a ,那么( ) A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 A解析 f (x )的对称轴为直线x ＝－1 ,又∵x 1＋x 2＝1－a ,∴x 1＋x 22＝1－a2 ,0＜a ＜3.∴1－a2＞－1.∵x 1＜x 2 , ∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离．又∵a ＞0 ,∴f (x 1)＜f (x 2)．3．假设函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x ) ,且x ∈[－1,1]时 ,f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎨⎧lg x (x ＞0)－1x(x ＜0) 那么函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x ) ,可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x ) ,所以函数f (x )的周期为2 ,求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点 ,即求f (x )＝g (x )在区间[－5,4]上图象交点的个数 ,画出函数f (x )与g (x )的图象 ,如图 ,由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点 ,所以所求函数有7个零点 ,选A.4．假设关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1 ,x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2 ,那么k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34 0B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－34 0C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 34 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0 34 答案 B解析构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1 ,∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1 ,x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2 ,∴⎩⎨⎧ f (－1)≥0f (0)＜0 f (2)＞0即⎩⎨⎧－2k ≥0－1＜0 4k ＋3＞0∴－34＜k ≤0.5.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一局部 ,图象过点A (－3,0) ,对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的选项是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③答案 B解析因为图象与x 轴交于两点 ,所以b 2－4ac ＞0 ,即b 2＞4ac ,①正确；对称轴为x ＝－1 ,即－b 2a＝－1,2a －b ＝0 ,②错误；结合图象 ,当x ＝－1时 ,y ＞0 ,即a －b ＋c ＞0 ,③错误；由对称轴为x ＝－1知 ,b ＝2a .又函数图象开口向下 ,所以a ＜0 ,所以5a ＜2a ,即5a ＜b ,④正确．6．函数f (x )＝x 2－2 ,对任意x 1∈[1,2] ,存在x 2∈[3,4] ,假设f (x 2)＋a ≥|f (x 1)|恒成立 ,那么实数a 的取值范围是__________．答案 [－12 ,＋∞)解析由f (x )＝x 2－2在[3,4]递增 ,可得f (4)取得最||大值14 ,y ＝|f (x )|在[1,2]的最||大值为22－2＝2 ,由对任意x 1∈[1,2] ,存在x 2∈[3,4] ,假设f (x 2)＋a ≥|f (x 1)|恒成立 ,可得14＋a ≥2 ,解得a ≥－12.7．假设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和 3 ,那么不等式af (－2x )＞0的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜1 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根 ,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6 ∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0 ,即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇒－32＜x ＜1. ∴解集为{x |－32＜x ＜1}． 8．奇函数f (x )在定义域[－2,2]上单调递减 ,那么满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________．答案 [－1,1)解析由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0 ,得f (1－m )＜－f (1－m 2)．又f (x )为奇函数 ,∴f (1－m )＜f (m 2－1)．又∵f (x )在[－2,2]上单调递减 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2 －2≤1－m 2≤2 解得－1≤m ＜1.1－m ＞m 2－1.∴实数m 的取值范围为[－1,1)．9．函数y ＝f (x )的周期为2 ,当x ∈[－1,1]时 ,f (x )＝x 2 ,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为________．答案 10解析在同一直角坐标系中 ,分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象 ,如图 ,结合图象知 ,共有10个交点．10．假设关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中整数恰好有3个 ,那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2594916 解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1＜0 ,其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a ＞0 ,且有4－a ＞0 ,故0＜a ＜4 , 不等式的解集为12＋a ＜x ＜12－a ,14＜12＋a ＜12, 那么一定有{1,2,3}为所求的整数解集 ,所以3＜12－a ≤4 , 解得a 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2594916. 11．命题α：如果x <3 ,那么x <5；命题β：如果x ≥3 ,那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5 ,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系．以下三种说法正确的选项是________．①命题α是命题β的否命题 ,且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题 ,且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题 ,且命题γ是命题α的逆否命题．答案 ①③解析此题考查命题的四种形式 ,逆命题是把原命题中的条件和结论互换 ,否命题是把原命题的条件和结论都加以否认 ,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否认然后互换所得 ,故①正确 ,②错误 ,③正确．12．假设命题 "ax 2－2ax －3＞0不成立〞是真命题 ,那么实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立 ,当a ＝0时 ,－3≤0成立；当a ≠0时 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ a <0 Δ＝4a 2＋12a ≤0解得－3≤a ＜0 , 故－3≤a ≤0.。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题10数学方法第43练

第43练关于计算过程的再优化[题型分析· (高|考 )展望] 中学数学的运算包括数的计算 ,式的恒等变形 ,方程和不等式同解变形 ,初等函数的运算和求值 ,各种几何量的测量与计算 ,求数列和函数、概率计算等．?高中数学新课程标准?所要求的数学能力中运算求解能力更为根本 ,运算求解能力指的是要求学生会根据法那么、公式进行正确运算、变形和数据处理 ,能根据问题的条件 ,寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算 ,对式子的组合变形与分解变形 ,对几何图形各几何量的计算求解等．数学运算 ,都是依据相应的概念、法那么、性质、公式等根底知识进行的 ,尤其是概念 ,它是思维的形式 ,只有概念明确、理解透彻 ,才能作出正确的判断及符合逻辑的推理．计算法那么是计算方法的程序化和规那么化 ,对法那么的理解是计算技能形成的前提． (高|考 )命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中数学中 ,对于运算求解能力的培养至||关重要．提高数学解题能力 ,首||先是提高数学的运算求解能力 ,可以从以下几个方面入手：1．培养良好的审题习惯．2．培养认真计算的习惯．3．培养一些常用结论的记忆的能力 ,记住一些常用的结论 ,比方数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1) ,三角函数中的辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)等等． 4．加强运算练习是提高根本运算技能的有效途径 ,任何能力都是有方案、有目的地训练出来的 ,提高根本运算技能也必须加强练习、严格训练．5．提高运算根本技能 ,必须要提高学生在运算中的推理能力 ,这就首||先要清楚运算的定理及相关理论．6．增强自信是解题的关键 ,自信才能自强 ,在数学解题中 ,自信心是相当重要的．(高|考 )必会题型题型一化繁为简 ,优化计算过程例1 过点( 2 ,0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ,B 两点 ,O 为坐标原点 ,当△AOB 的面积取最||大值时 ,直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 答案 B解析由y ＝1－x 2得 ,x 2＋y 2＝1(y ≥0) ,设直线方程为x ＝my ＋ 2 ,m <0(m ≥0不合题意) ,代入x 2＋y 2＝1(y ≥0) ,整理得 ,(1＋m 2)y 2＋22my ＋1＝0 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－22m 1＋m 2 ,y 1y 2＝11＋m 2, 那么△AOB 的面积为12×2|y 1－y 2|＝22|y 1－y 2| , 因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝ (－22m 1＋m 2)2－41＋m 2＝2m 2－11＋m 2＝2m 2－12＋m 2－1 ＝22m 2－1＋m 2－1 ≤22 2m 2－1×m 2－1＝22 , 当且仅当2m 2－1＝m 2－1 ,即m 2－1＝2 ,m ＝－3时取等号．此时直线方程为x ＝－3y ＋ 2 ,即y ＝－33x ＋63 , 所以直线的斜率为－33. 点评此题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式 ,先设出直线方程x ＝my ＋ 2 ,表示出△AOB 的面积 ,然后探讨面积最||大时m 的取值 ,得到直线的斜率．题型二运用概念、性质等优化计算过程例2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点 ,连接AF ,BF .假设|AB |＝10 ,|AF |＝6 ,cos ∠ABF ＝45,那么C 的离心率e ＝________. 答案 57解析如图 ,设|BF |＝m ,由题意知 ,m 2＋100－2×10m cos ∠ABF ＝36 ,解得m ＝8 ,所以△ABF 为直角三角形 ,所以|OF |＝5 ,即c ＝5 ,由椭圆的对称性知|AF ′|＝|BF |＝8(F ′为右焦点) ,所以a ＝7 ,所以离心率e ＝57. 点评熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键．题型三代数运算中加强 "形〞的应用 ,优化计算过程例3 设b >0 ,数列{a n }满足a 1＝b ,a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ,a n ≤b n ＋12n ＋1＋1. (1)解由a 1＝b >0 ,知a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2>0 , n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ,A 1＝1b, 当n ≥2时 ,A n ＝1b ＋2bA n －1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n －1A 1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n .①当b ≠2时 ,A n ＝1b [1－(2b )n ]1－2b＝b n －2n b n (b －2)； ②当b ＝2时 ,A n ＝n 2. 综上 ,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ nb n (b －2)b n －2n b ≠22 b ＝2.(2)证明当b ≠2时 ,(2n ＋1＋b n ＋1)b n －2nb －2＝(2n ＋1＋b n ＋1)(b n －1＋2b n －2＋…＋2n －1)＝2n ＋1b n －1＋2n ＋2b n －2＋…＋22n ＋b 2n ＋2b 2n －1＋…＋2n －1b n ＋1＝2n b n(2b ＋22b 2＋…＋2n b n ＋b n 2n ＋b n －12n －1＋…＋b 2) >2n b n (2＋2＋…＋2) ,＝2n ·2n b n ＝n ·2n ＋1b n ,∴a n ＝nb n (b －2)b n －2n <b n ＋12n ＋1＋1. 当b ＝2时 ,a n ＝2＝b n ＋12n ＋1＋1. 综上所述 ,对于一切正整数n ,a n ≤b n ＋12n ＋1＋1. 点评结合题目中a n 的表达式可知 ,需要构造a n 新的形式n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1,得到新的数列 ,根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成．(高|考 )题型精练1．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是一切实数 ,那么m 的取值范围是( )A ．0<m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥4D ．0≤m ≤4答案 D 解析根据题意mx 2＋mx ＋1≥0(x ∈R )恒成立 ,当m ＝0时 ,满足不等式；当m ≠0时 ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0 Δ＝m 2－4m ≤0 解得0<m ≤4 ,综上0≤m ≤4.2．函数f (x －1x )＝x 2＋1x 2 ,那么f (3)的值为( ) A ．8B ．9C ．11D ．10 答案 C解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2 ,∴f (3)＝9＋2＝11. 3．一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12} ,那么f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析由题意知 ,一元二次不等式f (x )>0的解集为(－1 ,12) ,即－1<10x <12⇒x <－lg 2. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1x )6 x <0 －x x ≥0.那么当x >0时 ,f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( ) A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15答案 A 解析当x >0时 ,f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1x －x )6的展开式中 ,常数项为C 36(1x )3(－x )3＝－20. 5．在△ABC 中 ,假设AC AB ＝cos B cos C,那么( )A ．A ＝CB ．A ＝BC ．B ＝CD ．以上都不正确答案 C解析 ∵AC AB ＝sin B sin C ＝cos B cos C, ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0.∴sin(B －C )＝0.又∵－π<B －C <π ,∴B －C ＝0 ,即B ＝C . 6．直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点 ,假设P (2,2)为AB 的中点 ,那么直线AB 的方程为________．答案 x －y ＝0解析 ∵点A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)在抛物线y 2＝4x 上 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1y 22＝4x 2 ∴y 22－y 21＝4x 2－4x 1, 即y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1. ∵P (2,2)为AB 的中点 ,所以y 2＋y 1＝4 ,∴直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝44＝1 , ∴直线AB 的方程为x －y ＝0.7．抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．假设点P (x ,y )是区域D 内的任意一点 ,那么x ＋2y 的取值范围是________．答案 [－2 ,12] 解析易知切线方程为：y ＝2x －1 ,所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A (0,0) ,B (12 ,0) ,C (0 ,－1)．易知过C 点时有最||小值－2 ,过B 点时有最||大值12. 8．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .A ＝π4 ,b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)假设a ＝ 2 ,求△ABC 的面积． (1)证明由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a , 应用正弦定理 ,得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A , sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22, 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1 ,即sin(B －C )＝1.由于0<B ,C <34π ,从而B －C ＝π2. (2)解由(1)知 ,B －C ＝π2 ,又B ＋C ＝π－A ＝3π4, 因此B ＝5π8 ,C ＝π8. 由a ＝ 2 ,A ＝π4,得 b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8 ,c ＝a sin C sin A ＝2sin π8, 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. 9. 在如下列图的多面体ABCDE 中 ,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2 ,AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置 ,使得恰有直线BF ∥平面ACD ,并证明；(2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角θ的大小．解以D 为原点建立如下列图的空间直角坐标系 ,使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ,那么各点的坐标为D (0,0,0) ,A (2,0,0) ,E (0,0,2) ,B (2,0,1) ,C (1 , 3 ,0)．(1)点F 应是线段CE 的中点 ,证明如下：设F 是线段CE 的中点 ,那么点F 的坐标为(12 ,32,1) , DE →＝(0,0,2) ,BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232 0 , ∴BF →·DE →＝0 ,∴BF →⊥DE →.而DE →是平面ACD 的一个法向量．此即证得BF ∥平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ) ,那么n ⊥CB → ,且n ⊥CE → ,由CB →＝(1 ,－ 3 ,1) ,CE →＝(－1 ,－ 3 ,2) , 得⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋z ＝0－x －3y ＋2z ＝0 不妨设y ＝ 3 , 那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝2 即n ＝(1 , 3 ,2) , ∴所求角θ满足cos θ＝n ·DE →|n |·|DE →|＝422×2＝22 , ∴θ＝π4.10. 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0) ,O 为坐标原点 ,离心率e ＝2 ,点M ( 5 ,3)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)假设直线l 与双曲线交于P 、Q 两点 ,且OP →·OQ →＝0 ,求1|OP |2＋1|OQ |2的值．解 (1)∵e ＝2 ,∴c ＝2a ,b 2＝c 2－a 2＝3a 2 ,∴双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1 , 即3x 2－y 2＝3a 2 , ∵点M ( 5 ,3)在双曲线上 ,∴15－3＝3a 2 ,∴a 2＝4 ,∴所求双曲线方程为x 24－y 212＝1. (2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0) ,联立x 24－y 212＝1得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2 y 2＝12k 23－k 2∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2. ∵OP →·OQ →＝0 ,∴直线OQ 的方程为y ＝－1kx , 同理可得|OQ |2＝12(k 2＋1)3k 2－1, ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.11．数列{a n }中 ,a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N * ,a ∈R 且a ≠0)． (1)假设a ＝－7 ,求数列{a n }中的最||大项和最||小项的值；(2)假设对任意的n ∈N * ,都有a n ≤a 6成立 ,求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N * ,a ∈R ,且a ≠0) , 又a ＝－7 ,∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性 ,可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4 ,a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最||大项为a 5＝2 ,最||小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2, 对任意的n ∈N * ,都有a n ≤a 6成立 ,结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性 , 可知5＜2－a 2＜6 ,即－10＜a ＜－8. 12．假设正数x ,y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ,且不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立 ,求实数a 的取值范围．解 ∵正实数x ,y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ,即x ＋2y ＝4xy －4.不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立 ,即(4xy －4)a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立 ,变形得2xy (2a 2＋1)≥4a 2－2a ＋34恒成立 ,即xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立．又∵x >0 ,y >0 ,∴x ＋2y ≥22xy ,公众号：惟微小筑∴4xy ＝x ＋2y ＋4≥4＋22xy ,即2(xy )2－2xy －2≥0 ,∴xy ≥2或xy ≤－22(舍去) ,可得xy ≥2. 要使xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立 ,只需2≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立 ,化简得2a 2＋a －15≥0 , 解得a ≤－3或a ≥52. 故a 的取值范围是(－∞ ,－3]∪[52 ,＋∞)．。

2017版高考数学(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣3 含解析

回扣3 三角函数、平面向量1．准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0)．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5．三种三角函数的性质6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换： y ＝sin x――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)错误!y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．7．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 8．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 11．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 12．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 15．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1． 2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于________．答案32解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32. 2．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)向________平移________个单位长度．答案右π12解析由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________．答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是________．答案 2解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形．答案直角解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形．6．(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 18解析如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.7．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3a·b ＝0⇒a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b |＝－1，〈a ，b 〉＝π. 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 有下列命题： ①若A >B >C ，则sin A >sin B >sin C ；②若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 为等边三角形；③若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ④若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则△ABC 为钝角三角形； ⑤存在A ，B ，C 使得tan A tan B tan C <tan A ＋tan B ＋tan C 成立．其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ①②④解析若A >B >C ，则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ；若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则cos A sin A ＝cos B sin B ⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒a ＝b ，同理可得a ＝c ，所以△ABC 为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，因此△ABC 为等腰或直角三角形；若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因此tan(A ＋B )＝1⇒C ＝3π4，△ABC 为钝角三角形；在△ABC 中，tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C 恒成立，因此正确的命题为①②④.9．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 答案817解析由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋(1－sin A 4)2＝1，sin A ＝817(0舍去)．10．若tan θ＝3，则cos 2θ＋sin θcos θ＝________. 答案 25解析 ∵tan θ＝3， ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝1＋332＋1＝25. 11．已知单位向量a ，b ，c ，且a ⊥b ，若c ＝t a ＋(1－t )b ，则实数t 的值为________．答案 1或0解析 c ＝t a ＋(1－t )b ⇒c 2＝t 2＋(1－t )2＝|c |2＝1⇒t ＝0或t ＝1.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C )． (1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －B )(x ∈R )的最大值．解 (1)由已知，b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，即sin B cos A ＝－(2sin C ＋sin A )cos B ，即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ，则sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3.13．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值．解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1，sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角，∴2A －π4＝π4，∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5，∴a ＝ 5.。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题1集合与命题第1练版含答案

第1练小集合,大功能[题型分析·(高|考)展望]集合是(高|考)每年必考内容,题型根本都是选择题、填空题,题目难度大多数为低档,有时候在填空题中以创新题型出现,难度稍高,在二轮复习中,本局部应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题,研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．体验(高|考)1．(2021·重庆)集合A＝{1,2,3} ,B＝{2,3} ,那么()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案 D解析由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B ,故A ,B ,C均错,D是正确的,选D. 2．(2021·福建)假设集合A＝{i ,i2 ,i3 ,i4}(i是虚数单位) ,B＝{1 ,－1} ,那么A∩B等于() A．{－1} B．{1} C．{1 ,－1} D．∅答案 C解析集合A＝{i ,－1,1 ,－i} ,B＝{1 ,－1} ,A∩B＝{1 ,－1} ,应选C.3．(2021·山东)设集合A＝{y|y＝2x ,x∈R} ,B＝{x|x2－1＜0} ,那么A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1 ,＋∞) D．(0 ,＋∞)答案 C解析A＝{y|y＞0} ,B＝{x|－1＜x＜1} ,那么A∪B＝(－1 ,＋∞) ,应选C.4．(2021·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0} ,集合B＝{x|1＜x＜3} ,那么A∪B等于() A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}答案 A解析∵A＝{x|－1＜x＜2} ,B＝{x|1＜x＜3} ,∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．5．(2021·北京)集合A＝{x||x|<2} ,B＝{－1 ,0,1,2,3} ,那么A∩B等于()A．{0,1} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}答案 C解析由A＝{x|－2＜x＜2} ,得A∩B＝{－1,0,1}．(高|考)必会题型题型一单独命题独立考查常用的运算性质及重要结论：(1)A∪A＝A ,A∪∅＝A ,A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A ,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅,A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.例1(1)(2021·广东)假设集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0} ,N＝{x|(x－4)(x－1)＝0} ,那么M∩N等于()A．∅B．{－1 ,－4}C．{0} D．{1,4}(2)集合A＝{x|log2x≤2} ,B＝(－∞,a) ,假设A⊆B ,那么实数a的取值范围是(c,＋∞) ,其中c ＝________.答案(1)A(2)4解析(1)因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4 ,－1} ,N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4} ,所以M∩N＝∅,应选A.(2)由log2x≤2 ,得0＜x≤4 ,即A＝{x|0＜x≤4} ,而B＝(－∞ ,a) ,由A⊆B ,如下列图,那么a＞4 ,即c＝4.点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键,这主要看代表元素,即 "|〞前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时,可借助V enn图或列举实例．变式训练1 (1)(2021·浙江)集合P ＝{x |x 2－2x ≥0} ,Q ＝{x |1＜x ≤2} ,那么(∁R P )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0} ,∁R P ＝{x |0＜x ＜2} ,∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2} ,应选C.(2)集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0} ,B ＝{x |0≤ax ＋1≤3} ,假设A ∪B ＝B ,求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} ,又∵B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}＝{x |－1≤ax ≤2} ,∵A ∪B ＝B ,∴A ⊆B .①当a ＝0时 ,B ＝R ,满足题意．②当a ＞0时 ,B ＝{x |－1a ≤x ≤2a} , ∵A ⊆B ,∴2a≥2 ,解得0＜a ≤1. ③当a ＜0时 ,B ＝{x |2a ≤x ≤－1a} , ∵A ⊆B ,∴－1a ≥2 ,解得－12≤a ＜0. 综上 ,实数a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1. 题型二集合与其他知识的综合考查集合常与不等式、向量、数列、解析几何等知识综合考查．集合运算的常用方法：(1)假设集合是不等式的解集 ,用数轴求解；(2)假设集合是点集 ,用数形结合法求解；(3)假设集合是抽象集合 ,用Venn 图求解．例2 在平面直角坐标系xOy 中 ,向量a ,b ,|a |＝|b |＝1 ,a ·b ＝0 ,点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ ,0≤θ<2π} ,区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ,r <R }．假设C ∩Ω为两段别离的曲线 ,那么( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R答案 A 解析 ∵|a |＝|b |＝1 ,a ·b ＝0 ,又∵OQ →＝2(a ＋b ) ,∴|OQ →|2＝2(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2＋2a ·b )＝4 ,∴点Q 在以原点为圆心 ,半径为2的圆上．又OP →＝a cos θ＋b sin θ ,∴|OP →|2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.∴曲线C 为单位圆．又∵Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ,r <R } ,要使C ∩Ω为两段别离的曲线 ,如图 ,可知1<r <R <3 ,其中图中两段别离的曲线是指AB 与CD .应选A.点评以集合为载体的问题 ,一定要弄清集合中的元素是什么 ,范围如何．对于点集 ,一般利用数形结合 ,画出图形 ,更便于直观形象地展示集合之间的关系 ,使复杂问题简单化．变式训练2 函数f (x )＝x 2＋2x ,集合A ＝{(x ,y )|f (x )＋f (y )≤2} ,B ＝{(x ,y )|f (x )≤f (y )} ,那么由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________．答案 2π解析集合A ＝{(x ,y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2} ,可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4 ,集合B ＝{(x ,y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y } ,可得(x －y )·(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ,B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π.题型三与集合有关的创新题与集合有关的创新题目 ,主要以新定义的形式呈现 ,考查对集合含义的深层次理解 ,在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等．例3 设S 为复数集C 的非空子集 ,假设对任意x ,y ∈S ,都有x ＋y ,x －y ,xy ∈S ,那么称S 为封闭集．以下命题：①集合S＝{a＋b i|a ,b为整数,i为虚数单位}为封闭集；②假设S为封闭集,那么一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④假设S为封闭集,那么满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①②解析①正确,当a ,b为整数时,对任意x ,y∈S ,x＋y ,x－y ,xy的实部与虚部均为整数；②正确,当x＝y时,0∈S；③错误,当S＝{0}时,是封闭集,但不是无限集；④错,设S＝{0}⊆T ,T ＝{0,1} ,显然T不是封闭集,因此,真命题为①②.点评解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：(1)紧扣新定义,首||先分析新定义的特点,把新定义所表达的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．变式训练3在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个 "类〞,记为[k] ,即[k]＝{5n＋k|n∈Z ,k＝0,1,2,3,4}．给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④"整数a ,b属于同一类〞的充要条件是"a－b∈[0]〞．其中,正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析对于①：2 016＝5×403＋1 ,∴2 016∈[1] ,故①正确；对于②：－3＝5×(－1)＋2 ,∴－3∈[2] ,故②不正确；对于③：∵整数集Z被5除,所得余数共分为五类．∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ,故③正确；对于④：假设整数a ,b属于同一类,那么a＝5n1＋k ,b＝5n2＋k ,∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n ,∴a－b∈[0] ,假设a－b＝[0] ,那么a－b＝5n ,即a＝b＋5n ,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,∴ "整数a ,b属于同一类〞的充要条件是 "a－b∈[0]〞,故④正确,∴正确结论的个数是3.(高|考)题型精练1．(2021·天津)全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合A＝{2,3,5,6} ,集合B＝{1,3,4,6,7} ,那么集合A∩(∁U B)等于()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A解析由题意知,∁U B＝{2,5,8} ,那么A∩(∁U B)＝{2,5} ,选A.2．(2021·陕西)设集合M＝{x|x2＝x} ,N＝{x|lg x≤0} ,那么M∪N等于()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞ ,1]答案 A解析由题意得M＝{0,1} ,N＝(0,1] ,故M∪N＝[0,1] ,应选A.3．(2021·四川)集合A＝{x|－2≤x≤2} ,Z为整数集,那么A∩Z中元素的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意,A∩Z＝{－2 ,－1,0,1,2} ,故其中的元素个数为5 ,选C.4．设全集U＝R ,A＝{x|x2－2x≤0} ,B＝{y|y＝cos x ,x∈R} ,那么图中阴影局部表示的区间是()A．[0,1]B．[－1,2]C．(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)D ．(－∞ ,－1]∪[2 ,＋∞)答案 C解析因为A ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2] ,B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1] ,所以A ∪B ＝[－1,2] ,所以∁R (A ∪B )＝(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)．5．集合U ＝{x |x ≤－1或x ≥0} ,A ＝{x |0≤x ≤2} ,B ＝{x |x 2＞1} ,那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |x ＞0或x ＜－1}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}答案 C解析 ∵U ＝{x |x ≤－1或x ≥0} ,B ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＜－1或x ＞1} ,∴∁U B ＝{x |x ＝－1或0≤x ≤1} ,又∵A ＝{x |0≤x ≤2} ,∴A ∩(∁U B )＝{x |0≤x ≤1}．6．假设x ∈A ,那么1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合 ,集合M ＝{－1,0 ,12,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31 答案 B解析具有伙伴关系的元素组是－1；12,2 ,所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1} ,{12 ,2} ,{－1 ,12,2}． 7．设集合A ＝{x |x 2－2x ≤0} ,B ＝{y |y ＝x 2－2x } ,那么A ∩B 等于( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[－1 ,＋∞)D ．[0 ,＋∞) 答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2] ,B ＝{y |y ＝x 2－2x }＝{y |y ≥－1} ,那么A ∩B ＝[0,2]．8．集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016＜0} ,B ＝{x |log 2x ＜m } ,假设A ⊆B ,那么整数m 的最||小值是( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 C解析由x 2－2 017x ＋2 016＜0 ,解得1＜x ＜2 016 ,故A ＝{x |1＜x ＜2 016}．由log 2x ＜m ,解得0＜x ＜2m ,故B ＝{x |0＜x ＜2m }．由A ⊆B ,可得2m ≥2 016 ,因为210＝1 024 ,211＝2 048 ,所以整数m 的最||小值为11.9．数集A ＝{a 1 ,a 2 ,… ,a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ,n ≥2)具有性质P ：对任意的i ,j (1≤i ≤j ≤n ) ,a i a j 与a j a i两数中至||少有一个属于A ,那么称集合A 为 "权集〞 ,那么( ) A ．{1,3,4}为 "权集〞B ．{1,2,3,6}为 "权集〞C ． "权集〞中元素可以有0D ． "权集〞中一定有元素1答案 B解析由于3×4与43均不属于数集{1,3,4} ,故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3 ,62 ,63 ,11 ,22 ,33 ,66都属于数集{1,2,3,6} ,故B 正确；由 "权集〞的定义可知a j a i需有意义 ,故不能有0 ,同时不一定有1 ,故C ,D 错误． 10．a ,b 均为实数 ,设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋45} ,B ＝{x |b －13≤x ≤b } ,且A ,B 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x |m ≤x ≤n }的 "长度〞 ,那么集合A ∩B 的 "长度〞的最||小值是________．答案 215解析 ∵⎩⎨⎧ a ≥0 a ＋45≤1 ∴0≤a ≤15 ,∵⎩⎨⎧ b －13≥0 b ≤1∴13≤b ≤1 ,利用数轴分类讨论可得集合A ∩B 的 "长度〞的最||小值为13－15＝215. 11．设集合S n ＝{1,2,3 ,… ,n } ,假设X ⊆S n ,把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(假设X 中只有一个元素 ,那么该元素的数值即为它的容量 ,规定空集的容量为0)．假设X 的容量为奇(偶)数 ,那么称X 为S n 的奇(偶)子集 ,那么S 4的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析 ∵S 4＝{1,2,3,4} ,∴X ＝∅ ,{1} ,{2} ,{3} ,{4} ,{1,2} ,{1,3} ,{1,4} ,{2,3} ,{2,4} ,{3,4} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,3,4} ,{2,3,4} ,{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1} ,{3} ,{1,3} ,其容量分别为1,3,3 ,∴S 4的所有奇子集的容量之和为7.12．集合A ＝{x |1＜x ＜3} ,集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时 ,求A ∪B ；(2)假设A ⊆B ,求实数m 的取值范围；(3)假设A ∩B ＝∅ ,求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝－1时 ,B ＝{x |－2＜x ＜2} , 那么A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m 2m ≤11－m ≥3 解得m ≤－2 ,即实数m 的取值范围为(－∞ ,－2]．(3)由A ∩B ＝∅ ,得①假设2m ≥1－m ,即m ≥13时 ,B ＝∅ ,符合题意； ②假设2m ＜1－m ,即m ＜13时 , 需⎩⎨⎧ m ＜13 1－m ≤1或⎩⎨⎧ m ＜13 2m ≥3 得0≤m ＜13或∅ , 即0≤m ＜13. 综上知m ≥0 ,即实数m 的取值范围为[0 ,＋∞)．。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识课件方法篇专题2 不等式与线性规划第4练精品

5y 2x 当且仅当 x ＝ y 时等号成立.
2x＋5y＝20，由5y 2x ＝， y x x＝10 10－20， 3 解得 20－4 10 . y＝ 3
7＋2 10 1 1 ∴x ＋y 的最小值为 . 20
解析答案
√
解析
(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
log2a＋1＋log2b2 log2ab＋12 log28＋12 ＝＝＝4， ≤ 2 2 2
当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，
此时a＝4，b＝2.
解析答案
1
2
3
4
5
4.(2016· 江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C 8 的最小值是_____.
①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

解析答案
②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 1 2 当 0＜x＜80 时，L(x)＝－3x ＋40x－250.
对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元).
专题2 不等式与线性规划
第 4 练用好基本不等式
题型分析高考展望
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效
工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇课件专题7解析几何第27练

＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公 4
共点，则k的最大值是__3___.
解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0).
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即
|4k－2| k2＋1≤2.整理，得
3k2－4k≤0.解得
0≤k≤43.
故 k 的最大值是43.
解析答案
②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为－___2_－__1__.
解析
答案
(2)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切. ①求圆C的方程；
解设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2－a2＋－1－b2＝r2，
则b＝－2a，
2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇课件专题7解析几何第27练
题型分析高考展望
直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.
解析答案
②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O 为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
点评
解析答案
变式训练 3 已知以点 C(t，2t )(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，
与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点.
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题3函数与导数第10练版含答案

第10练研创新 - -以函数为背景的创新题型[题型分析· (高|考 )展望] 在近几年的 (高|考 )命题中 ,以函数为背景的创新题型时有出现．主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题 ,通过判断、运算解决新问题．这种题难度一般为中档 ,多出现在选择题、填空题中 ,考查频率虽然不是很高 ,但失分率较高．通过研究命题特点及应对策略 ,可以做到有备无患．体验 (高|考 )1．(2021·湖北)符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x >0x ＝0－1 x <0.f (x )是R 上的增函数 ,g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1) ,那么( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]C ．sgn[g (x )]＝－sgn xD ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 C解析因为f (x )是R 上的增函数 ,令f (x )＝x , 所以g (x )＝(1－a )x ,因为a ＞1 ,所以g (x )是在R 上的减函数．由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＞0 0x ＝0－1 x ＜0知 ,sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ＞0 0x ＝01 x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .2．(2021·山东)假设函数y ＝f (x )的图象上存在两点 ,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 ,那么称y ＝f (x )具有T 性质．以下函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3答案 A解析对函数y ＝sin x 求导 ,得y ′＝cos x ,当x ＝0时 ,该点处切线l 1的斜率k 1＝1 ,当x ＝π时 ,该点处切线l 2的斜率k 2＝－1 ,∴k 1·k 2＝－1 ,∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导 ,得y ′＝1x 恒大于0 ,斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导 ,得y ′＝e x 恒大于0 ,斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3求导 ,得y ′＝2x 2恒大于等于0 ,斜率之积不可能为－1.应选A.3．(2021·四川)函数f (x )＝2x ,g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1 ,x 2 ,设 m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 ,n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2 ,现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1 ,x 2 ,都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1 ,x 2 ,都有n ＞0； ③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1 ,x 2 ,使得m ＝n ； ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1 ,x 2 ,使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析设A (x 1 ,f (x 1)) ,B (x 2 ,f (x 2)) ,C (x 1 ,g (x 1)) ,D (x 2 ,g (x 2))．对于① ,从y ＝2x 的图象可看出 ,m ＝k AB ＞0恒成立 ,故①正确；对于② ,直线CD 的斜率可为负 ,即n ＜0 ,故②不正确；对于③ ,由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2) ,即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2) ,令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax ,那么h′(x)＝2x·ln 2－2x－a.由h′(x)＝0 ,得2x·ln 2＝2x＋a ,(*)结合图象知,当a很小时,方程(*)无解,∴函数h(x)不一定有极值点,就不一定存在x1 ,x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2) ,不一定存在x1 ,x2使得m＝n ,故③不正确；对于④ ,由m＝－n ,得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1) ,即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2) ,令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax ,那么F′(x)＝2x ln 2＋2x＋a.由F′(x)＝0 ,得2x ln 2＝－2x－a ,结合如下列图图象可知,该方程有解,即F(x)必有极值点,∴存在x1 ,x2 ,使F(x1)＝F(x2) ,使m＝－n ,故④正确．故①④正确．4．(2021·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*) ,其中x k(k＝1,2 ,… ,n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1 ,或者由1变为0)．某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4x 5x 6x 7＝0 x 2x 3x 6x 7＝0 x1x 3x 5x 7＝0其中运算定义为00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101 ,那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5 解析 (1)x 4x 5x 6x 7＝111＝1 ,(2)x 2x 3x 6x 7＝11＝0；(3)x 1x 3x 5x 7＝111＝1.由(1)(3)知x 5 ,x 7有一个错误 ,(2)中没有错误 ,∴x 5错误 ,故k 等于5.(高|考 )必会题型题型一与新定义有关的创新题型例1 函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ,定义g (x )关于f (x )的 "对称函数〞为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ,y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )) ,(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称．假设h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的 "对称函数〞 ,且h (x )>g (x )恒成立 ,那么实数b 的取值范围是________．答案 (210 ,＋∞) 解析由得 h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ,所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立 ,即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2 ,3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内 ,画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如下列图) ,可得b10>2 ,即b >210 , 故答案为(210 ,＋∞)．点评解答这类题目关键在于解读新定义 ,利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法．变式训练1 假设函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ,b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b ) ,满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a,那么称函数y ＝f (x )是[a ,b ]上的 "平均值函数〞 ,x 0是它的一个均值点．例如y ＝|x |是[－2 ,2]上的 "平均值函数〞 ,0就是它的均值点．假设函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的 "平均值函数〞 ,那么实数m 的取值范围是________．答案 (0,2)解析因为函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的 "平均值函数〞 ,所以关于x 的方程x 2－mx －1＝f (1)－f (－1)2在区间(－1,1)内有实数根 ,即x 2－mx －1＝－m 在区间(－1,1)内有实数根 ,即x 2－mx ＋m －1＝0 ,解得x ＝m －1或x ＝1.又1不属于(－1,1) ,所以x ＝m －1必为均值点 ,即－1＜m －1＜1 ,即0＜m ＜2 ,所以实数m 的取值范围是(0,2)．题型二综合型函数创新题例2 以A 表示值域为R 的函数组成的集合 ,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x ) ,存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ,M ]．例如 ,当φ1(x )＝x 3 ,φ2(x )＝sin x 时 ,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ,那么 "f (x )∈A 〞的充要条件是 "任意b ∈R ,存在a ∈D ,f (a )＝b 〞； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最||大值和最||小值；③假设函数f (x ) ,g (x )的定义域相同 ,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,那么f (x )＋g (x )∉B ； ④假设函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2 ,a ∈R )有最||大值 ,那么f (x )∈B . 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④解析因为f (x )∈A ,所以函数f (x )的值域是R ,所以满足任意b ∈R ,存在a ∈D ,f (a )＝b ,同时假设任意b ∈R ,存在a ∈D ,f (a )＝b ,那么说明函数f (x )的值域是R ,那么f (x )∈A ,所以①正确；令f (x )＝1x ,x ∈(1,2] ,取M ＝1 ,那么f (x )⊆[－1,1] ,但是f (x )没有最||大值 ,所以②错误；因为f (x )∈A ,g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ,n ]) ,所以存在区间[a ,b ]⊆[m ,n ] ,使得f (x )在区间[a ,b ]上的值域与g (x )的值域相同 ,所以存在x 0∉[a ,b ] ,使得f (x 0)的值接近无穷 ,所以f (x )＋g (x )∉B ,所以③正确；因为当x >－2时 ,函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ,所以函数f (x )假设有最||大值 ,那么a ＝0 ,此时f (x )＝x x 2＋1. 因为对任意x ∈R ,x 2＋1≥2|x | ,所以－12≤x x 2＋1≤12.即－12≤f (x )≤12,故f (x )∈B ,所以④正确．点评此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对根本问题的处理方法．解答这类题目 ,一是要细心 ,读题看清要求；二是要熟练掌握函数的根本性质及其判断应用的方法 ,掌握根本函数的图象与性质等．变式训练2 如果y ＝f (x )的定义域为R ,对于定义域内的任意x ,存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立 ,那么称此函数具有 "P (a )性质〞．给出以下命题： ①函数y ＝sin x 具有 "P (a )性质〞；②假设奇函数y ＝f (x )具有 "P (2)性质〞 ,且f (1)＝1 ,那么f (2 015)＝1；③假设函数y ＝f (x )具有 "P (4)性质〞 ,图象关于点(1,0)成中|心对称 ,且在(－1,0)上单调递减 ,那么y ＝f (x )在(－2 ,－1)上单调递减 ,在(1,2)上单调递增；④假设不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有 "P (0)性质〞和 "P (3)性质〞 ,那么函数y ＝f (x )是周期函数．其中正确的选项是________(写出所有正确命题的编号)．答案 ①③④解析 ①因为sin (x ＋π)＝－sin x ＝sin (－x ) , 所以函数y ＝sin x 具有 "P (a )性质〞 , 所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有 "P (2)性质〞 , 所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x ) , 所以f (x ＋4)＝f (x ) ,周期为4 ,因为f (1)＝1 ,所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1.所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有 "P (4)性质〞 , 所以f (x ＋4)＝f (－x ) ,所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称 , 即f (2－x )＝f (2＋x ) ,因为图象关于点(1,0)成中|心对称 , 所以f (2－x )＝－f (x ) ,即f (2＋x )＝－f (－x ) , 所以得出f (x )＝f (－x ) ,f (x )为偶函数 ,因为图象关于点(1,0)成中|心对称 ,且在(－1,0)上单调递减 , 所以图象也关于点(－1,0)成中|心对称 ,且在(－2 ,－1)上单调递减；根据偶函数的对称性得出在(1,2)上单调递增 ,故③正确； ④因为具有 "P (0)性质〞和 "P (3)性质〞 , 所以f (x )＝f (－x ) ,f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x ) , 所以f (x )为偶函数 ,且周期为3 ,故④正确．(高|考 )题型精练1．对于函数f (x ) ,假设存在常数a ≠0 ,使得x 取定义域内的每一个值 ,都有f (x )＝f (2a －x ) ,那么称f (x )为准偶函数 ,以下函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝cos(x ＋1) B ．f (x )＝x C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝x 3答案 A解析由题意知 ,假设f (x )是准偶函数 ,那么函数的对称轴是直线x ＝a ,a ≠0 ,选项B ,C ,D 中 ,函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1) ,有对称轴 ,且x ＝0不是对称轴 ,选项A 正确．应选A.2．对于函数f (x ) ,假设存在x 0∈Z ,满足|f (x 0)|≤14 ,那么称x 0为函数f (x )的一根 "近零点〞．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有四个不同的 "近零点〞 ,那么a 的最||大值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14 答案 D解析方法一取极端情况 ,离原点最||近的四个整数：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f (0)＝－14f (1)＝－14 f (－1)＝14f (2)＝14.f (x )＝14x 2－14x －14.方法二任取四个连续整数 ,那么4a ＝f (m ＋3)＋f (m )－f (m ＋2)－f (m ＋1)≤|f (m ＋3)|＋|f (m )|＋|f (m ＋2)|＋|f (m ＋1)|≤4×14＝1.3．设f (x )的定义域为D ,假设f (x )满足条件：存在[a ,b ]⊆D ,使f (x )在[a ,b ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2 ,那么称f (x )为 "倍缩函数〞．假设函数f (x )＝ln(e x ＋t )为 "倍缩函数〞 ,那么t 的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14 ＋∞ B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 14 答案 D解析因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为 "倍缩函数〞 ,所以存在[a ,b ]⊆D ,使f (x )在[a ,b ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2 b 2 , 因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为增函数 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ln (e a ＋t )＝a2ln (e b ＋t )＝b2 即⎩⎨⎧2e e ＋＝，a a t 2e e ＋＝，b bt即方程2e e 0－＋＝xxt 有两个不等的正根 ,即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－4t ＞0t ＞0 解得t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 14.4．设函数y ＝f (x )的定义域为D ,假设对于任意x 1 ,x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ,恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ,那么称点(a ,b )为函数y ＝f (x )图象的对称中|心．研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sin πx 的对称中|心 ,可得f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016)等于( )A ．－16 124B ．16 124C ．－8 062D ．8 062答案 C解析如果x 1＋x 2＝2 ,那么f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sin πx 1＋x 32－3x 22－sin πx 2＝x 31－3x 21－sin πx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sin π(2－x 1)＝－4. 令S ＝f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016) ,又S ＝f (4 0312 016)＋f (4 0302 016)＋…＋f (12 016) ,两式相加得2S ＝－4×4 031 ,所以S ＝－8 062.应选C.5．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 为有理数x 为无理数那么以下结论错误的选项是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数答案 C解析 A 中 ,函数值只有两个：0和1 ,正确；B 中 ,假设x 是无理数 ,那么－x 也是无理数 ,那么D (－x )＝D (x )；假设x 是有理数 ,那么－x 也是有理数 ,那么D (－x )＝D (x ) ,所以D (x )是偶函数 ,正确；C 中 ,对于任意有理数T ,f (x ＋T )＝f (x )(假设x 是无理数 ,那么x ＋T 也是无理数；假设x 是有理数 ,那么x ＋T 也是有理数) ,不正确；D 中 ,取任意两个数值x 1 ,x 2 ,D (x 1)与D (x 2)的大小不确定 ,故不存在单调性 ,正确．6．设[x ]表示不大于x 的最||大整数 ,那么对任意实数x ,y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]答案 D解析特殊值法．令x ＝ ,∵[－1.5]＝－2 ,－[1.5]＝－1 ,故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2 ,故B 错；令x ＝ ,y ＝ ,[x ＋y ]＝2 ,[x ]＋[y ]＝1＋0＝1 ,故C 错．7．如果定义在R 上的函数f (x ) ,对任意两个不相等的实数x 1 ,x 2 ,都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1) ,那么称函数f (x )为 "H 函数〞．给出以下函数：①y ＝x 2；②y ＝e x＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |x ≠0 0 x ＝0.以上函数是 "H 函数〞的所有序号为________．答案 ②③解析由x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0 ,所以函数f (x )在R 上是增函数．对于① ,y ＝x 2在(－∞ ,0)上为减函数 ,在(0 ,＋∞)上为增函数 ,其不是 "H 函数〞；对于② ,y ＝e x ＋1在R 上为增函数 ,所以其为 "H 函数〞；对于③ ,由于y ′＝2－cos x ＞0恒成立 ,所以y ＝2x －sin x 是增函数 ,所以其为 "H 函数〞；对于④ ,由于其为偶函数 ,所以其不可能在R 上是增函数 ,所以不是 "H 函数〞．综上知 ,是 "H 函数〞的序号为②③.8．对于实数a 和b ,定义运算 "*〞：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－aba ≤bb 2－ab a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1) ,且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1 ,x 2 ,x 3 ,那么x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－316解析由新定义可知 ,f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)xx ≤0－(x －1)x x >0.作出函数f (x )的图象 ,如下列图．由图可知 ,当0<m <14时 , f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1 ,x 2 ,x 3.不妨设x 1<x 2<x 3 ,易知x 2>0 ,且x 2＋x 3＝2×12＝1 ,∴x 2x 3<14. 令⎩⎪⎨⎪⎧ (2x －1)x ＝14 x <0解得x ＝1－34. ∴1－34<x 1<0 ,∴1－316<x 1x 2x 3<0. 9．设f (x )是定义在(0 ,＋∞)上的函数 ,且f (x )＞0 ,对任意a ＞0 ,b ＞0 ,假设经过点(a ,f (a )) ,(b ,－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0) ,那么称c 为a ,b 关于函数f (x )的平均数 ,记为M f (a ,b )．例如 ,当f (x )＝1(x ＞0)时 ,可得M f (a ,b )＝c ＝a ＋b 2,即M f (a ,b )为a ,b 的算术平均数． (1)当f (x )＝________(x ＞0)时 ,M f (a ,b )为a ,b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x ＞0)时 ,M f (a ,b )为a ,b 的调和平均数2ab a ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1)x (2)x解析设A (a ,f (a )) ,B (b ,－f (b )) ,C (c,0) ,那么三点共线． (1)依题意 ,c ＝ab ,那么求得f (a )a ＝f (b )b, 故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．(2)依题意 ,c ＝2ab a ＋b ,求得f (a )a ＝f (b )b , 故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．10．对于函数f (x ) ,假设存在区间M ＝[a ,b ](其中a <b ) ,使得{y |y ＝f (x ) ,x ∈M }＝M ,那么称区间M 为函数f (x )的一个 "稳定区间〞．给出以下4个函数：①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x . 其中存在 "稳定区间〞的函数是________．(填出所有满足条件的函数序号)答案 ①②③解析据定义 ,所谓的 "稳定区间〞即函数在区间[a ,b ]内的定义域与值域相等．问题可转化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交 ,假设相交那么两交点所在区间即为函数的 "稳定区间〞．数形结合依次判断 ,①②③均符合条件 ,而④不符合条件．综上可知 ,①②③均为存在 "稳定区间〞的函数．11．假设函数f (x )在定义域D 内的某个区间I 上是增函数 ,且F (x )＝f (x )x在I 上是减函数 ,那么称y ＝f (x )在I 上是 "非完美增函数〞．f (x )＝ln x ,g (x )＝2x ＋2x＋a ln x (a ∈R )． (1)判断f (x )在(0,1]上是否为 "非完美增函数〞；(2)假设g (x )在[1 ,＋∞)上是 "非完美增函数〞 ,求实数a 的取值范围．解 (1)易知f ′(x )＝1x ＞0在(0,1]上恒成立 ,所以f (x )＝ln x 在(0,1]上是增函数．F (x )＝f (x )x＝ln x x ,求导得F ′(x )＝1－ln x x 2,因为x ∈(0,1] ,所以ln x ≤0 ,即F ′(x )＞0在(0,1]上恒成立 ,所以F (x )＝ln x x在(0,1]上是增函数．由题意知 ,f (x )在(0,1]上不是 "非完美增函数〞． (2)假设g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R )在[1 ,＋∞)上是 "非完美增函数〞 ,那么g (x )＝2x ＋2x＋a ln x 在[1 ,＋∞)上单调递增 ,G (x )＝g (x )x ＝2＋2x 2＋a ln x x在[1 ,＋∞)上单调递减． ①假设g (x )在[1 ,＋∞)上单调递增 ,那么g ′(x )＝2－2x 2＋a x ≥0在[1 ,＋∞)上恒成立 ,即a ≥2x－2x 在[1 ,＋∞)上恒成立．令h (x )＝2x －2x ,x ∈[1 ,＋∞) ,因为h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立 ,所以h (x )在[1 ,＋∞)上单调递减 ,h (x )max ＝h (1)＝0 ,所以a ≥0.②假设G (x )在[1 ,＋∞)上单调递减 ,那么G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1 ,＋∞)上恒成立 ,即－4＋ax －ax ln x ≤0在[1 ,＋∞)上恒成立．令t (x )＝－4＋ax －ax ln x ,x ∈[1 ,＋∞) ,因为t ′(x )＝－a ln x ,由①知a ≥0 ,所以t ′(x )≤0恒成立 ,所以t (x )＝－4＋ax －ax ln x 在[1 ,＋∞)上单调递减 ,那么t (x )max ＝t (1)＝a －4.要使t (x )＝－4＋ax －ax ln x ≤0在[1 ,＋∞)上恒成立 ,那么a －4≤0 ,即a ≤4 ,此时G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1 ,＋∞)上恒成立．综合①②知 ,实数a 的取值范围为[0,4]．12．函数f (x )＝ax ＋ln x ,g (x )＝e x .(1)当a ≤0时 ,求f (x )的单调区间；(2)假设不等式g (x )＜x －m x有解 ,求实数m 的取值范围； (3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0 ,称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值．证明：当a ＝0时 ,函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0 ,＋∞) ,f ′(x )＝a ＋1x(x ＞0)． ①当a ＝0时 ,f ′(x )＞0 ,∴f (x )在(0 ,＋∞)上单调递增；②当a ＜0时 ,由f ′(x )＝0 ,解得x ＝－1a, 那么当x ∈(0 ,－1a)时 ,f ′(x )＞0 , ∴f (x )单调递增 , 当x ∈(－1a,＋∞)时 ,f ′(x )＜0 , ∴f (x )单调递减．综上 ,当a ＝0时 ,f (x )在(0 ,＋∞)上单调递增；当a ＜0时 ,f (x )在(0 ,－1a )上单调递增 ,在(－1a,＋∞)上单调递减．(2)解由题意：e x ＜x －m x 有解 ,即e x x ＜x －m 有解 ,因此只需m ＜x －e x x ,x ∈(0 ,＋∞)有解即可．设h (x )＝x －e x x ,h ′(x )＝1－e xx －e x 2x ＝1－e x (x ＋12x )．∵x＋12x ≥212＝2＞1 ,且x∈(0 ,＋∞)时e x＞1 ,∴1－e x(x＋12x)＜0 ,即h′(x)＜0 ,故h(x)在(0 ,＋∞)上单调递减．∴h(x)＜h(0)＝0 ,故m＜0.(3)证明当a＝0时,f(x)＝ln x ,f(x)与g(x)的公共定义域为(0 ,＋∞) , |f(x)－g(x)|＝|ln x－e x|＝e x－ln x＝e x－x－(ln x－x)．设m(x)＝e x－x＞0 ,那么m′(x)＝e x－1＞0 ,x∈(0 ,＋∞) ,m(x)在(0 ,＋∞)上单调递增,m(x)＞m(0)＝1.又设n(x)＝ln x－x ,x∈(0 ,＋∞) ,n′(x)＝1x－1 ,当x∈(0,1)时,n′(x)＞0 ,n(x)单调递增,当x∈(1 ,＋∞)时,n′(x)＜0 ,n(x)单调递减,所以x＝1为n(x)的极大值点,即n(x)≤n(1)＝－1 ,故|f(x)－g(x)|＝m(x)－n(x)＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.。

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专题2 不等式与线性规划
第3练
“三个二次”的转化与应用
题型分析高考展望
“二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高
考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具 .如函数
图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题
等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果
√
√
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题. 解析本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确.
解析答案
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|x|，x≤m， 4.(2016· 山东)已知函数 f(x)＝ 2 其中 m>0，若存在 x －2mx＋4m，x>m，
实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是
(3，＋∞) __________. 解析如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m· m＋4m<|m|. ∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问
题，提升运算能力.
栏目索引
体验高考
高考必会题型高考题型精练
体验高考
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1.(2015· 陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
解析答案
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10. 若关于 x 的不等式 (2x － 1)2 ＜ ax2 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的
25 49 ， 9 16 取值范围是________.
解析
答案
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11.已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题 γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系 .下列三种说法正确的是_____.
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8.已知奇函数f(x)在定义域[－2,2]上单调递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2) [－1,1) ＜0的实数m的取值范围是________. 解析由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，得f(1－m)＜－f(1－m2). 又f(x)为奇函数，∴f(1－m)＜f(m2－1). 又∵f(x)在[－2,2]上单调递减，
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6. 已知函数 f(x) ＝ x2 － 2 ，对任意 x1∈[1,2] ，存在 x2∈[3,4] ，若 f(x2) ＋ [－12，＋∞) a≥|f(x1)|恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
解析
由f(x)＝x2－2在[3,4]递增，可得f(4)取得最大值14，y＝|f(x)|在[1,2]
1 2 x － 2 x ＋ .若函数 2
y＝f(x)－a 在区间[ －3,4] 上有 10 个零点(互不相同)， 1 0 ， 2 则实数 a 的取值范围是________.
点评
解析
答案
变式训练 1
|lg x|，x＞0，设定义域为 R 的函数 f(x)＝ 2 －x －2x，x≤0，
√
A.－1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上
解析
1
2
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5
2－|x|，x≤2， 2.(2015· 天津)已知函数 f(x)＝函数 g(x)＝b－f(2－x)，其 2 x－2 ，x＞2，
中 b∈R，若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是(
√
A.7
解析
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4.若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k 的取值范围是(
3 A.－4，0 3 0 ， C. 4
)
√
3 B.－4，0 3 0 ， D. 4
解析
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5.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正确的是( A.②④ C.②③ )
√
B.①④ D.①③
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B.f(x1)＝f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析，0＜a＜3. ∴ ＞－1. 2 2 2
∵x1＜x2，∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离.
又∵a＞0，∴f(x1)＜f(x2).
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的最大值为22－2＝2，
由对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[3,4]，
若f(x2)＋a≥|f(x1)|恒成立，可得14＋a≥2，
解得a≥－12.
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7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解 3 x|－＜x＜1 2 集是________________. 解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
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3.若函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋1)＝－f(x)，且 x∈[ －1,1] 时，f(x)＝1－x2.
lg xx＞0，函数 g(x)＝ 1 － x＜0， x
则函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[ －5,4] 内的零点的
个数为(
) B.8 C.9 D.10
解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，
可知两根必定一正一负，
因此在[2,4]上有且只有一个实数根，
设f(x)＝x2＋ax－4，则必有f(2)f(4)≤0，
所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].故选B.
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高考题型精练
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1.方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( A.1 B.2 √ C.3
则关于 x 的函
数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点的个数为___. 7
1 由 f(x)＝2知有 4 个根，由 f(x)＝1 知有 3 个根，
故函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7个零点.
解析答案
题型二例2
函数与不等式的转化
已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于
求a的取值范围.
解析答案
题型三方程与不等式的转化
例3
关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的
取值范围.
点评
解析答案
变式训练 3
若关于x的方程x2 ＋ax－4＝0在区间 [2,4]上有实数根，则实 )
数a的取值范围是( A.(－3，＋∞) C.(0，＋∞)
√
B.[－3,0] D.[0,3]
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本课结束
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12. 若命题 “ax2 － 2ax － 3 ＞ 0 不成立 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 [－3,0] ________. 解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立； a<0，当a≠0时，得解得－3≤a＜0， 2 Δ＝4a ＋12a≤0，故－3≤a≤0.
|a＋b|，ab≥0，由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3. |a－b|，ab＜0，
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值为2. 即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.
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高考必会题型
题型一函数与方程的转化例1 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0,3)时，f(x)＝
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5.(2015· 浙江)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值. (1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
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(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值. 解由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.

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