最新电磁学课后习题答案电子教案
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
电磁学(赵凯华,陈熙谋第三版)第三章 习题解答
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新概念物理教程・电磁学$ 第三章 电磁感应 电磁场的相对论变换$ 习题解答
$ $ ! ! "# " 如本题图，一金属棒长为 % " &% ! 水平放置，以长度的 " # & 处为轴， 在水平面内 旋转， 每秒转两转。 已知该处地磁场在竖直方 向上的分量 $ " % % " &% "#， 求 &、 ’ 两端的电势 差。 解：在图中棒上轴的右边取一点 &(，使 它到轴的距离等于 & 点到轴的距离。 这两段导 相互抵消， 因此 ) & ’ %! ! &(’ %! （ ! * "） ・$# %! " " ! $ ( +,’ # ! +,&($# ) # # " !& !’ # %! * # ! * # * % " &% * "% * ( % " ’% ! % " "% # ) % %!’ " ( * "% % " #
电磁学答案
Q 2pR
Rrd
dEr=
r
3
o
4pe 0(R2 + r 2 ) 2
ò 积分得距圆心 r 处中轴线上
强
Er =
Qr
3
8p 2e 0 (R2 + r 2 ) 2
2p d
0
=
Qr
3
4pe 0 (R2 + r 2 ) 2
场
由于线和圆环之间的库伦力是一对相互作用力，故只需考虑线受力，积分得：
ò ò F =
0
= 2. 25 ×10 s
1-9 (PB13203219 张子越) 不可能。取方形回路，其中一组对边平行于电场线，一组对边垂直于电场线。在 此回路中，当试探电荷沿着垂直于电场线的路径运动时电场对试探电荷不做工； 当沿着平行于电场线的对边运动时要做工，但是根据题意这两条边上的场强大小 不相等，但是做工路径相等，故沿回路做工不为零，与“静电场是保守场”矛盾。
1-16(PB13203219 张子越)
U= ∗ ( 1 +2
+( )
.
+ 1 −2
+( )
另 y=(1 +2
+ ) . + (1 −2
+
在 x=0 附近展开，前两项为 0，保留第三项
y≈(3cos2θ-1)x2
) . −2
.
−2)
令 x=l/r 得 U= ∗
⃗ = −∇⃗
3 =
1 ∗ ∗ ((3
4
òp 2k d
0 rp
sin
=
4k rp
1-14(PB13000808 刘通) 解：
设 OD=r,则BD = R +r −2Rr c os θ,
电磁学第三章课后习题答案
电磁学第三章课后习题答案电磁学第三章课后习题答案电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流之间相互作用的规律。
在电磁学的学习过程中，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供电磁学第三章的课后习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个导线的长度为l，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × (ρl/A)。
2. 一个导线的电阻为R，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，导线两端的电势差为V = I × R。
3. 一个导线的电阻为R，电流为I，导线的长度为l，电阻率为ρ，横截面积为A。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × R = I × (ρl/A)。
4. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电流为I。
求两个电阻器上的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，第一个电阻器上的电势差为V1 = I × R1，第二个电阻器上的电势差为V2 = I × R2。
5. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电阻器之间的电势差为V。
求电流的大小。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，V = I × (R1 + R2)。
解方程可得电流的大小为I = V / (R1 + R2)。
6. 一个电路中有两个电阻器，电阻分别为R1和R2，电流为I。
求电路中的总电阻。
答案：电路中的总电阻可以通过电阻器的并联和串联来计算。
如果电阻器是串联的，总电阻等于各个电阻器的电阻之和，即R = R1 + R2。
大学电磁学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解电磁学的基本概念和基本定律。
2. 掌握电磁场的基本性质和电磁波的传播规律。
3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1. 电磁学的基本概念和基本定律。
2. 电磁场的基本性质和电磁波的传播规律。
教学难点：1. 电磁学基本概念的理解。
2. 电磁场的基本性质和电磁波的传播规律的应用。
教学过程：第一课时：一、导入1. 介绍电磁学的基本概念和研究对象。
2. 引导学生思考电磁学在科技发展中的应用。
二、讲授新课1. 电磁学基本概念：- 电荷、电场、电势- 磁场、磁感应强度、磁通量- 电磁感应、电磁波2. 电磁学基本定律：- 库仑定律- 高斯定律- 法拉第电磁感应定律- 安培环路定理三、课堂练习1. 计算电场强度和电势差。
2. 计算磁场强度和磁通量。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容。
2. 强调电磁学基本概念和基本定律的重要性。
第二课时：一、复习导入1. 回顾电磁学基本概念和基本定律。
2. 引导学生思考电磁场的基本性质和电磁波的传播规律。
二、讲授新课1. 电磁场的基本性质：- 电场线的性质- 磁场线的性质- 电磁场的叠加原理2. 电磁波的传播规律：- 电磁波的产生- 电磁波的传播速度- 电磁波的折射、反射、衍射三、课堂练习1. 分析电磁场的性质。
2. 计算电磁波的传播速度。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容。
2. 强调电磁场的基本性质和电磁波的传播规律在实际应用中的重要性。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生课堂表现，了解学生对电磁学知识的掌握程度。
2. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对电磁学基本概念和基本定律的理解程度。
3. 课后作业：布置课后作业，巩固学生对电磁学知识的掌握。
电磁学第4版习题答案详解
电磁学第4版习题答案详解电磁学作为物理学的一个重要分支，研究电荷和电流之间的相互作用以及电磁波的传播规律。
对于学习电磁学的学生来说，习题是巩固知识、理解概念以及提高解题能力的重要途径。
然而，电磁学的习题往往涉及复杂的计算和推导，对于初学者来说可能会感到困惑。
因此，本文将对《电磁学第4版》的习题进行详细的答案解析，帮助读者更好地理解和掌握电磁学的知识。
第一章：电场和电势第一章主要介绍了电场和电势的基本概念和计算方法。
在习题中，常见的问题包括计算电场强度、电势差以及电势能等。
对于这些问题，我们可以通过库仑定律和电势公式进行求解。
例如，在计算电势能的问题中，我们可以利用电势能公式U=qV进行计算，其中q为电荷量，V为电势。
第二章：静电场第二章主要介绍了静电场的性质和计算方法。
在习题中，常见的问题包括计算电场强度、电场线和电势分布等。
对于这些问题，我们可以利用高斯定律和电势公式进行求解。
例如，在计算电场强度的问题中，我们可以利用高斯定律Φ=E·A进行计算，其中Φ为电场通量，E为电场强度，A为闭合曲面的面积。
第三章：恒定电流第三章主要介绍了恒定电流的基本概念和计算方法。
在习题中，常见的问题包括计算电流密度、电阻和电功等。
对于这些问题，我们可以利用欧姆定律和功率公式进行求解。
例如，在计算电功的问题中，我们可以利用功率公式P=IV进行计算，其中P为功率，I为电流，V为电压。
第四章：磁场第四章主要介绍了磁场的性质和计算方法。
在习题中，常见的问题包括计算磁场强度、磁感应强度和磁通量等。
对于这些问题，我们可以利用安培定律和磁场公式进行求解。
例如，在计算磁感应强度的问题中，我们可以利用安培定律B=μ0I/2πr进行计算，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，I为电流，r为距离。
第五章：电磁感应和电磁波第五章主要介绍了电磁感应和电磁波的基本概念和计算方法。
在习题中，常见的问题包括计算感应电动势、电磁波的传播速度和功率等。
电磁学第二版习题答案
电磁学第二版习题答案
《电磁学第二版习题答案：深入探讨电磁学的基本原理和应用》
电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流所产生的电场和磁场以及它们之间的相互作用。
《电磁学第二版》是一本经典的电磁学教材，其中包含了大量的习题，用以帮助学生加深对电磁学原理的理解。
本文将深入探讨这些习题的答案，以及它们背后的物理原理和应用。
在电磁学第二版的习题答案中，我们可以看到许多基本的电磁学原理得到了巧妙的应用。
例如，通过求解电荷在电场中的受力情况，我们可以推导出库仑定律，并进一步了解电荷之间的相互作用。
另外，通过对电磁感应现象的分析，我们可以理解电磁感应定律，并应用它们来解决各种实际问题，如感应电动势和法拉第电磁感应定律等。
除了基本原理的应用，电磁学第二版习题答案还涉及了一些高级的电磁学概念和技术。
例如，通过求解麦克斯韦方程组，我们可以探讨电磁波的传播特性和极化现象，从而深入了解电磁波的性质和应用。
此外，还可以通过电磁学习题来理解电磁场的能量和动量传递，以及电磁场与物质的相互作用，这对于电磁学在工程技术和现代物理学中的应用具有重要意义。
总的来说，电磁学第二版习题答案不仅帮助学生巩固了电磁学的基本原理，还深入探讨了一些高级的电磁学概念和技术。
通过学习这些习题答案，读者可以更加全面地理解电磁学的理论和应用，为今后的学习和研究奠定坚实的基础。
同时，这些习题答案也为电磁学教学和科研提供了宝贵的参考资料，促进了电磁学领域的发展和应用。
电磁学课后部分习题答案解析
电磁学课后部分习题答案解析1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q.在两者距离一定的前提下，他们带电荷量各为多少时相互作用力最大？解答：设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为()2q Q q =-,两者距离为r,则由库仑定律求得两个电电荷之间的作用力为()204q Q q F rπε-=令力F 对电荷量q 的一阶导数为零，即 ()2004Q q qdF dqrπε--==得122Q q q ==即取 122Q q q ==时力F 为极值，而222202204Q q d F dqrπε==-<故当 122Q q q ==时，F 取最大值1.2.6 两个电荷量相等的同性点电荷相距为2a ，在两者连线的中垂面上置一试探点电荷0q , 求0q 受力最大的点的轨迹.解答:如图(a)所示,设有两个电荷量为q 的点电荷 ,坐标分别为(-a ,0,0)和(a ,0,0),试探点电荷0q 置于二者连线的中垂面Oyz 上坐标为(0,y,z).r y j z k=+ 为原点O 至试探点电荷0q 的失径,距离为r =,如图(b)所示.根据对称性, 所受合力的方向与失径r 平行或反平行.其大小为 ()003222222sin 2q q q qrF kkr araα==++求上式的级值,去F 对r 的一阶导数并令其为零,的方程 ()22230r r a-++=求得2r =求二阶导数并带入2r =,得()272222022120r d Fa kqq r a rdr -=-+<说明此时F 取极大值因此,0q 受力最大的点的轨迹是在中垂面上的圆心坐标为(0,0,0)半径为2的圆.1.3.6 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷量为q(1)求数轴线上离环心O 为x处的场强E(2) 轴线上何处场强最大?其值是多少? (3)大致画出E-x 曲线.解答:设圆环的带电线密度为 2q Rηπ=如图(a)所示,圆环一小段d l 到轴上一点P 的距离为r ,即有dq dl η=,cos x rα=,该小段对P 点产生的场强大小为22dq dldE k krrη==根据对称性,P 点场强仅有x 分量, d E在x 轴的分量大小为()3222cos x xdldE dE kRxηα==+()()()33322222222200224xxRxqxE dEkR RxR xR xηηπεπε====+++⎰P点场强为()322204qxE iR xπε=+（2）应求dE dx并令其值为0，求得当2x =，E取极值，而2220x d Edx<，根据对称性，位于轴上2x =±点的场强取最大值，其值为qE =±（3）如图（b ）所示。
电磁学第二版课后习题答案
电磁学第二版课后习题答案电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流的相互作用以及电磁场的产生和传播。
对于学习电磁学的学生来说，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将对《电磁学第二版》课后习题进行一些解答和讨论，帮助读者更好地理解电磁学的概念和应用。
第一章：电荷和电场1. 问题：两个等量的正电荷之间的相互作用力是多少？答案：根据库仑定律，两个等量的正电荷之间的相互作用力等于它们之间的电荷量的平方乘以一个常数k，即F = kq1q2/r^2。
2. 问题：电场是什么？如何计算电场强度？答案：电场是指电荷周围的一种物理量，它描述了电荷对其他电荷的作用力。
电场强度E可以通过电场力F除以测试电荷q得到，即E = F/q。
第二章：静电场1. 问题：什么是电势能？如何计算电势能？答案：电势能是指电荷在电场中由于位置变化而具有的能量。
电势能可以通过电荷q乘以电势差V得到，即U = qV。
2. 问题：什么是电势差？如何计算电势差？答案：电势差是指单位正电荷从一个点移动到另一个点时所做的功。
电势差可以通过电场力F乘以移动距离d得到，即V = Fd。
第三章：电流和电阻1. 问题：什么是电流？如何计算电流？答案：电流是指单位时间内通过导体横截面的电荷量。
电流可以通过电荷量Q除以时间t得到，即I = Q/t。
2. 问题：什么是电阻？如何计算电阻？答案：电阻是指导体中电流流动受到的阻碍程度。
电阻可以通过电压V除以电流I得到，即R = V/I。
第四章：电路和电源1. 问题：什么是电路？如何计算电路中的电流和电压？答案：电路是指由电源、导线和电器元件组成的路径，用于电流的传输和电能的转换。
电路中的电流可以通过欧姆定律计算，即I = V/R，其中V为电压，R 为电阻。
2. 问题：什么是直流电源？什么是交流电源？答案：直流电源是指电流方向保持不变的电源，如电池。
交流电源是指电流方向周期性变化的电源，如交流发电机。
通过以上的解答和讨论，我们对电磁学的基本概念和计算方法有了更深入的了解。
电磁学第三版答案
3
)2
qR
O
P
x
x
⑧ 均匀带电圆平面轴线上一点
x
E (1
)
2 0
x2 R2
第一章 静电学的基本规律
6
电磁学
习题课
例1 无限长均匀带电平面 已知: b a d
求: P、Q 两点的场强
y
解 P 点(与平面共面)
dq
沿 y 方向放置的无限长直线
dq dxd y dq dx
dy
d q 在P点产生的
0
rR
rR
2 π0r
r
2π0R2 r R
rR
2 π0r
第一章 静电学的基本规律
4
电磁学
⑤ 均匀带电球面
q RO
⑥ 均匀带电球体
习题课
0
rR
E
q
rR
4 π0r2
qr
E
4
π
q
0
R
3
rR
4 π0r2 r R
第一章 静电学的基本规律
5
电磁学
习题课
⑦ 均匀带电圆环轴线上一点
E
4
π0
qx (x2
R2
4
q
π
0l
（3）把单位负电荷从D点沿 DCO 移到O点，电场力作的功。
WDCO
q0 (D
O )
q
6 π0l
第一章 静电学的基本规律
15
电磁学
习题课
C
（4）把单位正电荷从D点 沿任意路径移到无穷远，
q •
q •
电场力作的功。
AO B D
x
2l
l
(4)
q0 1
电磁学习题答案1-3章
第一章 习题一1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。
2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。
3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。
解法一：22020214141aR qπεr q πεE E +=== 21E E E+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=2222042a R R a R q πε++=()2/32202a R R πεq +=E 有极值的条件是：()0222/522220=+-=a R R a πεq dR dE 即 0222=-R a ，解得极值点的位置为：a R 22=∵ ()2/722220223223a R a R πεqR dR E d +-=，而 0398402/222<-==aπεqdR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 22= 且 ()202/3220m a x 332/2/2aπεq a a a πεq E =+=解法二：θaq πεr q πεE E 2202021sin 4141===，21E E E +=+qθE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθaq πεcos sin 21220=)cos (cos 21320θθaq πε-=E 有极值的条件是：0)sin 3sin 2(2320=-=θθaπεq θd dE E 有极值时的θ满足：31cos 32sin 1cos 0sin 2211====θ，θ；θ，θ )cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(232022022θθaπεq θθθa πεq θd E d -=-= 0)cos 7cos 9(22011320221>=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 032)cos 7cos 9(22022320222<-=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 可见 θ = θ2时，E 有极大值。
电磁学课后答案
【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514xy z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题 1.3解】 已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++（1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380AB b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。
和向量错误！未找到引用源。
垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯=所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=- 可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】 已知129x y z A e e e =++，x yB ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙=即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221a b +=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0 即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2【习题1.9解】 已知 222(2)(2)(22)x yz A y x z e x yz e x z y z e=++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzy yx x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
电磁学习题答案
04
电磁波部分习题答案
平面波在均匀介质中的传播
总结词
波动特性、传播速度、波长、频率、偏振。
详细描述
电磁波在均匀介质中传播时，具有恒定的波速，与频率无关；波长、频率和速度之间存在反比关系；电磁波是横波时，具 有偏振现象。
公式
$v = \lambda f$
电磁辐射与天线
总结词
基本原理、偶极子天线、单极子天线、天线增益。
详细描述
电磁辐射是指电磁场在空间中传播并向外辐射能量的现象；天线是用于发射和接收电磁波的设备，根据不同需求有多种类 型，如偶极子天线和单极子天线，其中偶极子天线又分为对称和非对称两种类型。
公式
$G = \frac{4\pi^2}{\lambda^2}r^2$
电磁波的散射与吸收
总结词
散射现象、散射截面、吸收现象 、介质损耗。
雷电与避雷针
01
02
总结词：雷电的形成、危害与 避雷针的作用
详细描述
03
04
雷电是云层与地面之间产生的 放电现象，具有极大的破坏性 ，可导致建筑物、设备损坏和 人员伤亡。
避雷针是一种接闪装置，通过 金属杆将雷电引向自身，再通 过引下线和接地装置将电流引 入地下，以保护建筑物和人员 安全。
THANK YOU.
详细描述
电磁波遇到微观粒子时，会产生 散射现象，散射截面表示散射强 度与入射角度之间的关系；当电 磁波穿过介质时，会发生吸收现 象，介质损耗表示电磁波在介质 中传播时的能量损耗。
公式
$\alpha = \frac{4\pi k}{\lambda}$
05
电磁场应用部分习题答案
变压器与电动机总结词：变压器的原理、源自用与电动机的关系电容器与电阻器
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πk r 4 ε0
kR2 E r 4ε0 er
解 2 将带电球分割成球壳，球壳带电
dq
由上述分析，球体内 ( 0≤ r≤ R)
ρdV
kr 4πr 2dr
Er
r 1 kr 0 4πε0
4πr 2dr r2
er
kr 2 4ε0 er
球体外 ( r ＞R)
Er
R 1 kr 0 4πε0
4πr 2dr r2
分析 通常有两种处理方法： ( 1) 利用高斯定理求球内外的电场分布 . 由题意知电荷呈球对 称分布， 因而电场分布也是球对称， 选择与带电球体同心的球面为高斯面， 在球面上电场强
学而不思则惘，思而不学则殆
度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有
E dS E 4πr 2
S
根据高斯定理
E dS 1 ρdV ，可解得电场强度的分布 . ε0
dS R2sinθdθd er
Φ E dS
ER2sin 2θsin dθd
S
S
πER2 sin 2 θdθ
π
sin
d
0
0
πR2 E
5 － 17 设在半径为 R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
ρ kr ρ0
0r R rR
k为一常量 . 试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度
E与 r的函数关系 .
.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度 . 此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电
荷处理 . 但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上
. 如图所示， 在长直线上任意
取一线元 dx，其电荷为 dq ＝ Qdx/ L，它在点 P 的电场强度为
1 dq dE 4πε0 r 2 er
整个带电体在点 P 的电场强度
沿x 轴.
( 2) 根据以上分析，中垂线上一点 P 的电场强度 E 的方向沿 y 轴，大小为
sin αdq E L 4 πε0r 2 dE
利用几何关系 sin α＝r / r ′， r
r 2 x2 统一积分变量，则
L/ 2 1
rQ dx
Q
1
E
-L/ 2 4πε0 L x2 r 2 2 / 3
2πε0r 4r 2 L2
sin αdEj
L
学而不思则惘，思而不学则殆
证 ( 1) 延长线上一点 P 的电场强度 E
L
dq 2πε0 r
2
，利用几何关系
r′＝ r － x统一积分变
量，则
L/ 2 1
Qdx
Q
1
1
1Q
EP
-L/ 2 4πε0 L r x 2 4πε0 L r L / 2 r L / 2
πε0 4r 2 L2 电场强 度的方向
0
解 1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
1
E dS
ρdV 得球体内 ( 0≤ r ≤ R)
ε0
E r 4πr 2
1 r kr 4πr 2dr ε0 0
πk r 4 ε0
球体外 ( r ＞R)
kr 2 E r 4ε0 er
E r 4πr 2
1 R kr 4πr 2dr ε0 0
学而不思则惘，思而不学则殆
第五章 静 电 场
5 － 9 若电荷 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上 . 求证： ( 1) 在棒的延长线，且离棒中心为 r 处的
( 2) 在棒的垂直平分线上，离棒为 r 处的电场强度为
E1
Q
2πε0 r 4r 2 L2
若棒为无限长 ( 即 L→∞ ) ，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较
S 的电场强度通量 . 因而
Φ E dS S
E dS
S
解 1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
Φ E dS S
E dS
S
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元 dS 的方向，
Φ E πR2 cosπ πR2E
解 2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
E E cos e sin cosθeθ sin θsin er
当棒长 L→∞时，若棒单位长度所带电荷 λ为常量，则 P 点电场强度
1
Q/L
E
lim l
2πε0r
1 4r 2 / L2
λ
2πε0r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同
［图 ( B) ］. 这说明只要满足 r2/ L 2 ＜＜ 1，
带电长直细棒可视为无限长带电直线 .
5 － 14 设匀强电场的电场强度 E 与半径为 R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球
E dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分 . ( 1) 若点 P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点
P 的电场强度方向相同，
E dEi L
( 2) 若点 P 在棒的垂直平分线上， 如图 ( A ) 所示， 则电场强度 E 沿x 轴方向的分量因对称性 叠加为零，因此，点 P 的电场强度就是
E
dE y j
( 2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布
. 将带电球分割成无数个同心带电球
壳，球壳带电荷为 dq ρ 4πr 2dr ，每个带电球壳在壳内激发的电场 dE 0，而在球壳
外激发的电场
dE
dq 4 πε0r
2
er
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
r
E r dE 0 r R 0
R
Er
dE r R
对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等
. 因而
E dS E 4πr 2 . 在确定高斯面内的电荷
q 后，利用高斯定理 E dS
q / ε0 即可
求出电场强度的分布 .
解 取半径为 r 的同心球面为高斯面，由上述分析
E 4πr 2
r ＜R1 ，该高斯面内无电荷，
q 0 ，故 E1
q / ε0 0
R1 ＜ r ＜ R2 ，高斯面内电荷
q
Q1 r 3 R13 R23 R13
面的电场强度通量 .
分析 方法 1：由电场强度通量的定义，对半球面
S 求积分，即 Φs
E dS
S
方法 2：作半径为 R 的平面 S′与半球面 S 一起可构成闭合曲面， 由于闭合面内无电荷， 由高斯定理
学而不思则惘，思而不学则殆
1
E dS
q0
S
ε0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面 S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面
er
kR2 4ε0r 2 er
学而不思则惘，思而不学则殆
5 － 20 一个内外半径分别为 R1 和 R2 的均匀带电球壳，总电荷为 Q1 ，球壳外同心罩一个 半径为 R3 的均匀带电球面，球面带电荷为 Q2 . 求电场分布 . 电场强度是否为离球心距离 r 的 连续函数？ 试分析 .
分析 以球心 O 为原点，球心至场点的距离 r 为半径，作同心球面为高斯面 . 由于电荷呈球