3支路电流法1-2
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电工基础 第3章 电路分析的网络方程法
第3章 电路分析的网络方程法
1 R2 i2 2
is1
i1
i3
R1
R3
0
i4
R4
＋
us4
－
图3.5 节点分析法
第3章 电路分析的网络方程法
以图3.5为例， 电路中有3个节点， 分别为0、 1、 2。 设节点0为参考节点， 节点1和节点2到参考节点的 电压分别为u1和u2。 根据KCL， 可以列两个独立的电 流方程
2
3A 3 1
＋
2
4i 1
－
i2
0
图3.7 例3.6图
第3章 电路分析的网络方程法
解 设节点0为参考节点， 那么， 节点电压为u1和 u2。 节点1的节点电压方程为
3
1
1
1 4
u1
u2 4
3 0.5i2
由图3.7可得
u2
4i1, i1
u1
u2 4
, i2
u2 2
联立上述各式， 解之得
i1=1.5 A, i2=3 A
G11u1+G12u2+… +G1(n-1)u(n-1)=is11 G21u1+G22u2+… +G2(n-1)u(n-1)=is22
…
G(n-1)1u1+G(n-1)2u2+… +G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
（3-8）
方程组（3-8）可写成通式， 对于第k个节点， 其
电路分析的网络方程法图38电路分析的网络方程法33回路分析法331回路电流法及其一般形式在电路中以假想的回路电流为电路变量通过kvl列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方解方程求出回路电流再利用回路电流求各支路电流及电压的分析方法称之为回路分析法或回路电电路分析的网络方程法图39回路分析法电路分析的网络方程法下面我们来看一下回路电流法的方程形式
3电路
R1
E1 KCL a: b:
R2
E2 b -I1-I2+I3= 0 I1+I2-I3= 0
R3
变量：I1 , I2 , I3
规 一个独立方程
律
KCL: n - 1 二个独立方程 KVL: b - (n - 1)
I1R1-I2R2=E1-E2 KVL I2R2+I3R3= E2 I1R1+I3R3= E1
U 0
U R US
电阻压降 电源压升
回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方程分析电 路的方法。 a i1 i2 i3 回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 R1 R2 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 R3 + il1 + 得 il2 uS1 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 uS2 – – - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 b 支路电流 i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 i3= i l 2 令 R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻） R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻） R12=-R2
i2 R2 0
i4 R4
un2 2 i5 R5
un1 uS1 un2 un1 un2 un1 un2 iS2 iS3 R1 R2 R3 R4 un1 un2 un1 un2 un2 iS3 R3 R4 R5
整理，并记Gk=1/Rk，得 (G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3 -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
第2章 电路分析基础(张永瑞)(第三版)
为 i1, i2, i3, 其参考方向标示在图上。就本例而言，问题是如
何找到包含未知量 i1, i2, i3 的 3个相互独立的方程组。
第二章 电路的基本分析方法
图 2.1-2 支路电流法分析用图
第二章 电路的基本分析方法
根据KCL，对节点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出
节点的电流取正号，则有
第二章 电路的基本分析方法
解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电 压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如， 若再要求解图 2.1-2 电路中的 c 点与 d 点之间电压ucd 及 电压源 us1所产生的功率 Ps1，可由解出的电流i1、i2、i3 方 便地求得为
ucd R1i1 R2i2 ps1 us1i1
i1 i2 i3 0
(2.1-7)
(2.1-7)式即是图2.1-2 所示电路以支路电流为未知量的足够的 相互独立的方程组之一，它完整地描述了该电路中各支路电 流和支路电压之间的相互约束关系。应用克莱姆法则求解 (2.1-7)式。系数行列式Δ和各未知量所对应的行列式Δj(j=1, 2,
个节点列KCL方程时，规定流出节点的电流取正号，流入节
点的电流取负号，每一个支路电流在n个方程中一定出现两 次， 一次为正号(+ij), 一次为负号(-ij), 若把这n个方程相加，
它一定是等于零的恒等式，即
第二章 电路的基本分析方法
( i ) [( i ) ( i )] 0
第二章 电路的基本分析方法
2.1.2 独立方程的列写
一个有n个节点、b条支路的电路，若以支路电流作未知
变量， 可按如下方法列写出所需独立方程。
(1) 从 n 个节点中任意择其n-1个节点，依KCL列节点电
第2章 第3节 支路电流法
第6节
戴维南定理和诺顿定理
二、戴维南定理 -----就是把含源二端网络等效为电压源
a
含源二 端网络 RL
a
R0
E +
RL
b
-
b
目标：如何把一个含源二端网络变成一个电压源 （即如何求出电压源的E和R0) 1、求E：把含源二端网络的输出端开路（断开负 载），求出开路电压Uabo，此电压就是E。
第6节
第5节 叠加原理
三、注意事项 1、求某一电源单独作用时，把其他电源给除源。即： 是电压源的，把电动势两端短路，保留内阻。是 电流源的，把其两端开路，保留内阻。 2、在求电压、电流的代数和时要注意极性。 四、例题 例1、图示，已知理想电压源E=24V，理想电流源 Is=1.5A，R1=100Ω ,R2=200Ω 。用叠加原理求电流 I和R2消耗的功率。
第4节 节点电压法
公式推导： 以b为参考点，设节点a相对 于b点而言，电压为U。 则各支路的电压为 U=E1-I1R1 I1=（E1-U）/R1 U=E2-I2R2 I2=（E2-U）/R2 U=-E3+I3R3 I3=（E1+U）/R3 U=I4R4 I4=U/R4 对于a点有 I1+I2=I3+I4 …………（1）
第6节
三、诺顿定理
戴维南定理和诺顿定理
-------- 把一个含源二端网络等效为一个电流源
a
R0 Is RL
a
含源二 端网络 RL
b
b
第6节
戴维南定理和诺顿定理
方法：1）如何求Is 把含源二端网络短路，求出其 短路电流Iabo即就是Is。
a
含源二 端网络 Is
b
2）如何求Ro 把含源二端网络的输出端开路，把 网络内的电源除源，两输出端之间的等效电阻 Rabo就是Ro。
3基尔霍夫定律及支路电流法
i 0
u 0
2. 在分析电路的过程中，应先标明电路中电 压、电流和电动势正方向
例1：求B图所示电路的I1、 I2和I3 。 I1 解：1)对右侧的回路，有： ＋
6V
a
I3
5kΩ
＋
5I 2 (0.5) 6
I 2 1.3mA
2)对左侧回路列出：
2kΩ
＋
I2
b
U=-0.5V
在计算电位时必须首先选定参考点。 参考点在电路中用符号“”表示。
例1：
求：A、B、C各点的电位。
A I ＝0 ，则：
6 I 1mA 42
U BC 2 I 2V
U AB 4I 4V
VB U BC VC 2V
VA 6V
I3
I2 I4
B
I1
解
由节点A:
I1 I 2 I 3
由广义KCL：
I 2 I 3 I1 2 4 6A （ ）
I3 I 4 0 I 4 I 3 2A
负号表示实际方向与正方向(参考方向)相反
三、基尔霍夫电压定律(KVL)
在任一瞬时，对电路中的任一回路，沿任意 循行方向绕行一周，其电位降之和等于电位升 之和；或各部分电压的代数和恒为零。 ∑U降＝∑U升 或：∑U＝0
对某节点 ∑I＝0
对右图节点a：
I1 I 2 I 3 0
流出为“＋” 流入为“－”
I2
I1
I1 I 2 I 3 I 4 0
I3
或 I1 I 3 I 2 I 4
I4
KCL可推广应用于包围几个节点的封闭面
广义结点
1
电工电子技术国开自测题
单选题1、（）是利用电磁感应原理进行变换交流电压的一种器件。
B、变压器2、D触发器功能：（）。
C．只具有置位、复位两种功能3、JK触发器功能：（）。
A．具有置位、复位、保持和翻转四种功能4、PN结加正向偏置是指（）。
B．P区接电源正极，N区接电源负极5、RLC串联电路发生谐振时，回路的（）。
B．电流达到最大值6、按各触发器的状态转换与时钟输入CP的关系分类，计数器可分（）。
A．同步和异步7、比较下列数值，最大数是（）。
A．（369）10A．（369）10 B．（107）16 C．（100100011）2 D．（1101011001）8、比较下列数值，最大数是（）。
D．（316）8 A．（379）10B．（157）16 C．（100110011）2 D．（316）89、变压器初级绕组的输入功率会（）次级绕组的输出功率。
C、大于10、单相桥式整流电路输出的脉动电压平均值UO(AV)与输入交流电压的有效值U2之比近似为（）A．0.911、地球磁场的北极（N极）位于地球的（）极附近。
B、南极12、放大电路中的直流通路为三极管提供了（）。
A、静态工作点13、函数Y=A（B+C）的对偶式Y’ 是（）。
C．Y’=A+BC14、逻辑函数Y=ABC+AC+B+C化简成最简与或表达式，正确结果是（）。
B．Y=A+B+C15、能用于脉冲整形的电路是（）。
C．施密特触发器16、任何一个有源二端网络，都可以等效简化为一个电压源和一个内阻（）的形式，该等效电压源的电压等于外电路开路时二端网络的（）电压；C、串联，开路17、使用3个触发器构成的计数器最多有8个有效状态。
（）D．818、为使三极管工作在放大状态，必须（）。
C．发射结加正向偏置，集电结加反向偏置19、下列Y形三相负载连接的电压电流关系中，（）正确。
A．UP= UL，IP=IL20、下列叙述正确的是（）。
D．计数器属于时序逻辑电路21、一台异步电动机接在恒压恒频的电源上运行，处于空载状态。
电工学第六版课后答案
工学第六版课后答案第一章习题1－1 指出图1－1所示电路中A 、B 、C 三点的电位。
图1－1 题 1－1 的电路解：图（a ）中，电流 mA I 51226.=+=, 各点电位 V C = 0 V B = 2×1.5 = 3V V A = (2+2)×1.5 = 6V图（b ）中，电流mA I 1246=+=， 各点电位 V B = 0 V A = 4×1 = 4VV C =－ 2×1 = －2V图（c ）中，因S 断开，电流I = 0， 各点电位 V A = 6V V B = 6VV C = 0图（d ）中，电流mA I 24212=+=， 各点电位 V A = 2×(4+2) =12V V B = 2×2 = 4V V C = 0图（e ）的电路按一般电路画法如图，电流mA I 12466=++=， 各点电位 V A = E 1 = 6VV B = (－1×4)+6 = 2V V C = －6V1－2 图1－2所示电路元件P 产生功率为10W ，则电流I 应为多少? 解：由图1－2可知电压U 和电流I 参考方向不一致，P = －10W ＝UI 因为U ＝10V , 所以电流I ＝－1A图 1－2 题 1－2 的电路1－3 额定值为1W 、10Ω的电阻器，使用时通过电流的限额是多少？ 解：根据功率P = I 2 R A R P I 3160101.===1－4 在图1－3所示三个电路中，已知电珠EL 的额定值都是6V 、50mA ，试问哪个电珠能正常发光？图 1－3 题 1－4 的电路解：图（a ）电路，恒压源输出的12V 电压加在电珠EL 两端，其值超过电珠额定值，不能正常发光。
图（b ）电路电珠的电阻Ω=Ω==120120506K R .，其值与120Ω电阻相同，因此电珠EL 的电压为6V ，可以正常工作。
图（c ）电路，电珠与120Ω电阻并联后，电阻为60Ω，再与120Ω电阻串联，电珠两端的电压为V 4126012060＝＋⨯小于额定值，电珠不能正常发光。
第4章 支路电流法
支路电流法说明：这是电工学课程直流电路章节中的一小节，故所用例题均为直流电路。
但支路电路法其实适用于任何电路的分析，是电路分析的基本方法。
一、引言（问题的引出）图1所示为一简单电路，它有三条支路，如果要求求出这三条支路的电流I 1、I 2、I 3，应该怎么办？(请学生思考并回答。
)图1 图2这个电路可通过欧姆定律及电阻串并联等效化简的方法方便地求解，如果电路变成图2，则又如何求解呢？是否可用同样方法求解呢？答案是否定的。
象这类仅仅用欧姆定律及电阻串并联等效化简的方法不能求解的电路称为复杂电路。
而支路电流法是求解复杂电路的最基本方法之一。
在支路电流法中，除了欧姆定律外，还要用到电路分析中的另一个重要定律：克希荷夫定律（或基尔霍夫定律）。
此时适当复习一下该定律。
二、支路电流法支路电流法：以电路中的支路电流作为待求量，应用基尔霍夫电流定律（KCL ）和基尔霍夫电压定律（KVL ）分别对节点和回路列出所需要的方程电流。
支路电流求出后，其它电量就很容易得到。
下面用支路电流法计算图2电路的电流I 1、I 2、I 3。
1、 为了求解图2电路的3个支路电流I 1、I2、I 3，首先标出各个电流的正方 向，并明确应该列出3个互相独立的方程才能求解。
问题是这三个方程怎么列？2、 用克希荷夫定律列方程(1)先用 KCL 对节点列出方程（称节点电流方程）。
该电路有2个节点，设为A 、B 。
对节点A 有： I 1+I 2-I 3=0 (1) 对节点B 有： -I 1-I 2+I 3=0 (2)显然两式不独立，所以用KVL 可列出1个独立方程，现选（1）式。
一般地，对于有n 个节点的电路，只能列出n-1个独立电流方程。
RR 2 I 2U R2 U(2)然后用KVL 列出所需要的另二个方程（注意是独立方程），称回路电压方程。
选择二个回路，并设定其绕行方向如图所示。
（该电路共有三个回路） 对回路1应用KVL ，得：I 1R 1+I 3R 3-U S 1=0 (3) 对回路2应用KVL ，得：-I 2R 2-I 3R 3+U S 2=0 (4) 若再对回路3列方程：U S 1-I 1R 1+I 2R 2-U S 2=0 (5)很显然，该式是前二式的线性组合，不是独立方程，这样，用KVL 列出了2个相互独立的方程（3）和（4），当然也可以是（4）、（5）或（3）、（5）。
最新高校课堂电子电力电气工程第三章《支路电流法》
独立回路的选取：
每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。因这样所建 立的方程不可能由原来方程导出，所以，肯定是独立的(充分条件)。
可以证明: 用KVL只能列出b–(n–1)个独立回路电压方程。 对平面电路，b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。
支路法的特点：
支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情 况下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和KVL方程， 所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的方法)， 手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。
i ik参考方向与回路方向一致时 Rkik取“＋”，电压源usk 在方
程方右向侧与，绕即行与方回向路一方致R向时ki一，sk 致时前，面前取面“取＋“”－”；电流sk源
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 如有受控源，则要将控制量用支路电流表示，然后将其 暂时看作独立源列入方程。
注：在步骤（3）中若消去支路电流，保留支路电压，得到关于支路电压的方程， 就是支路电压法。
i1 i2 i6 0
0
i2 i3 i4 0
i4 i5 i6 0
支路法的一般步骤： (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路（习惯选取网孔）， 列写其KVL
方程；(元件特性代入)
对此例，可不选回路3，即去掉方程(5)，
(3)
而只列(1)~(4)及(6)。
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4)
- R4 i4+u = 0
(5)
i5 = iS
(6)
即： R1 i1-R2i2 = uS
第3章 电路分析的一般方法
(3 − 12)
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
第三章第二节：支路电流法
电工基础
——支路电流法
支路电流法
学习目的：
1、进一步掌握电路相关概念 2、进一步理解和掌握KCL、KVL应用 3、掌握支路分析法解题方法及在复杂
电路中的应用
• 一、复习： 1、支路、节点、回路及网孔的概念 2、基尔霍夫电流定律 3、基尔霍夫电压定律
1、在下图中找出支路、节点、回路、网孔的数目
a
1、如下图所示，写出用支路电流法求 解各支路电流的方程
2、某电路由3个节点和7条支路，采用支路电流法
求解个支路电流时应列出电流方程和电压方程的个
数分别为( C ) A、3、4 B、3、7
C、2、5 D、2、6
3、在分析和计算电路时，常任意选定某一方向作为 电压或电流的_参__考__方_向__,当选定电压或电流方向与 实际方向一致时，则为_正__值，反之则为__负__值。
I1 E1
R1
解：这个电路有3条支路，需要
I2
I3 E3
列3个方程式。电路有两个节点，
R2
可用节点电流定律列出一个电流
R3 方程式，用回路电压定律列出两
E2
个回路电压方程式。
设各支路的电流为I1、I2和I3，方向如图所示，回路 绕行方向取顺时针方向如图所示。按上面的分析步骤 ，可得方程组
I1=I2+I3 I2R2+E2+I1R1-E1=0 -E3+I3R3-E2-I2R2=0
•
凡路。对于复杂电路我们可以用
KCL和KVL推导出各种分析方法，支路电流法是
其中之一。
•
支路电流法:以电路中各支路电流为未知量，
然后应用基尔霍夫电流定律和电压定律分别对节
点和回路列出所需要的方程组，而后解出各未知
——支路电流法
支路电流法
学习目的：
1、进一步掌握电路相关概念 2、进一步理解和掌握KCL、KVL应用 3、掌握支路分析法解题方法及在复杂
电路中的应用
• 一、复习： 1、支路、节点、回路及网孔的概念 2、基尔霍夫电流定律 3、基尔霍夫电压定律
1、在下图中找出支路、节点、回路、网孔的数目
a
1、如下图所示，写出用支路电流法求 解各支路电流的方程
2、某电路由3个节点和7条支路，采用支路电流法
求解个支路电流时应列出电流方程和电压方程的个
数分别为( C ) A、3、4 B、3、7
C、2、5 D、2、6
3、在分析和计算电路时，常任意选定某一方向作为 电压或电流的_参__考__方_向__,当选定电压或电流方向与 实际方向一致时，则为_正__值，反之则为__负__值。
I1 E1
R1
解：这个电路有3条支路，需要
I2
I3 E3
列3个方程式。电路有两个节点，
R2
可用节点电流定律列出一个电流
R3 方程式，用回路电压定律列出两
E2
个回路电压方程式。
设各支路的电流为I1、I2和I3，方向如图所示，回路 绕行方向取顺时针方向如图所示。按上面的分析步骤 ，可得方程组
I1=I2+I3 I2R2+E2+I1R1-E1=0 -E3+I3R3-E2-I2R2=0
•
凡路。对于复杂电路我们可以用
KCL和KVL推导出各种分析方法，支路电流法是
其中之一。
•
支路电流法:以电路中各支路电流为未知量，
然后应用基尔霍夫电流定律和电压定律分别对节
点和回路列出所需要的方程组，而后解出各未知
第三章 支路电流法 节点电压法资料讲解
那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电 路中各条支路的电流是未知的被求量，那么以支路电流为 未知数列出的KCL方程和KVL方程数正好等于支路数，而 这些方程又都是关于支路电流的方程，所以联立求解就可 求出各支路电流。
对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独立的 节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而这两组方程的 数目正好等于电路的支路数。
下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的电 路，它的回路是很多的，因为只要若干支路组成的 闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径 称为回路。那是不是我们必须把所有的回路中电压 方程都列出来，才能求出电路中所要求的参量呢？ 下面我们就来研究这个问题。对应于图中标出的三 个回路，应用KVL，可以列出回路电压方程如下：
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
观察以上四个表达式，可看出其中的任 一个方程都可由其它三个方程得出。说 明这四个方程中只有三个方程是独立的。 对于更多节点的电路，情况也一样。一 般来讲，具有n个节点的电路，只能列出 （n-1）个独立的KCL方程。
回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10
- i1 + L1
i2 i3
L2
i6
i4 L3 i5
回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8
回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从 另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方 程。
电路第3章支路电流法
无并联电阻的电流源 称为无伴电流源
（因为此支路电压无法用支路电流表示）
例
电路
求各支路电流及各元件上的电压 解： (1) 选支路电流为变量(I1,I2,I3) (2)列独立的节点KCL方程
I1 I 2 I 3 0节点 a
(3)列独立的网孔KVL方程 (4)解支路电流
5I1 20 I 3 20网孔 1 10 I 2 20 I 3 10网孔 2
电路 2、支路电流法步骤
（1）确定变量 ik (b个)，确定 ik 参考方向；
（2）列独立的结点KCL方程(n-1个)； （3）列独立的回路KVL方程(b-n+1个)； （4）求解方程，求出支路电流； （5）依据支路约束关系，求解支路电压； （6）求解其他变量。
3、支路电流法的局限性
不能解决无伴电流源的情况
1I1 0.5I 3 0.1I 2 1 网孔 1 0.5I 3 1I 5 2 网孔 2 0.1I 1I U 网孔 3 2 5 ad
电路
讨论
(a)对电流源，因其电流为 常数，与电压无关，在 列网孔3的KVL方程时， 无法用I4 表示Uad (b)对含无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量： 该电流源上的电压。 (c)因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 I支路=Is， 使变量数与方程数一致。 (d)在实际例子中，由于I4已知，支路电流的实际变量少一个，所 以也可不列网孔3的KVL方程。这样就不会出现变量Uad，仍 可保证变量数与方程数一致。
电路 例
求：各支路电流及电压？ 1
要点：电流源的处理
解： 3
2
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中I4=3A已知) (2)列独立的节点KCL方程 (3)列独立的网孔KVL方程
第3章 线性电阻电路的一般分析方法
设回路电流Ia、 Ib和 IC，参考方向如图所示。
（1) 将VCVS看作独立源建立方程；
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
①
-Ib+3Ic=3U2
（2) 找出控制量和回路电流关系。
U2=3(Ib-Ia)
②
将②代入①，得
4Ia -3Ib = 2 -12Ia+15Ib-Ic = 0 9Ia -10Ib+3Ic= 0
回路法的一般步骤：
(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向； (2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写
其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)；
网孔电流法（mesh-current method） 对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回 路，
iS3
un1 1 i3
R3
un2 2
iS1
i1
i2
i5
R1 iS2
R2 i4 R4
R5
0 G11=G1+G2+G3+G4 —节点1的自电导，等于接在节点1上所
有支路的电导之和。
G22=G3+G4+G5 — 节点2的自电导，等于接在节点2上所有 支路的电导之和。
G12= G21 =-(G3+G4) — 节点1与节点2之间的互电导，等于 接在节点1与节点2之间的所有支路的 电导之和，并冠以负号。
整理得
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
（3）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路 电压、电流。
§1-4基尔霍夫定律(3-支路电流法)
由计算结果可知，实际电流的方向与所设的参考方向相反，电源 E2 不是输 出电流，而是 E1 对 E2 充电，I2 是充电电流。
●分组讨论。
【课堂练习】 课堂练习】
方程和 b − (n − 1)个独立的电压方程。 【例 3-2】 如图 3-7 所示电路，已知 E1 = 42 】 V，E2 = 21 V，R1 = 12 Ω，R2 = 3 Ω，R3 = 6 Ω，试求： 各支路电流 I1、I2、I3 。 ●启发思考并解 答。
将已知数代入（1）（2）（3）式得方程组 、 、
I1 + I 2 − I 3 = 0 − 0.6 I 2 + 117 − 130 + I1 = 0 24 I − 117 + 0.6 I = 0 2 3
●联立求解。
●由结果分析性 质。
解联立方程得
I 1 = 10 A；I 2 = −5 A；I = 5 A
【课堂小结】 课堂小结】
图 3-7
例题 3-2
●课堂小结。
支路电流法是基尔霍夫定律在复杂电路中的应用。其求解步骤如下： （1）确定电路的支路数 m，选定各支路电流的正方向； （2）若电路共有 n 个节点，利用基尔霍夫电流定律列出列（n − 1）个独立 的节点电流方程。 （3）利用基尔霍夫电压定律列写出独立回路的电压方程式，一般按网孔选 择的回路，列写的方程都是独立的； （4）解独立方程数目等于 m 个联立方程式，即可求出各支路电流的； （5）利用欧姆定律和基尔霍夫电压定律求出各支路电压。
I1 − I 2 − I 3 = 0 合并以上方程得以下 3 个方程： R1 I1 + R2 I 2 + E3 − E1 = 0 R I − R I − E = 0 2 2 2 3 3
电路-高等教育出版社-第五版-电路第三章
R3 2
3
2 i2 i3 i4 0
R1 i1 34
R5 i5
3 i4 i5 i6 0
取网孔为独立回路，沿顺时
i6 针方向绕行列KVL写方程:
R6
+
uS
– 回路1
u2 u3 u1 0
回路2 u4 u5 u3 0
回路3 u1 u5 u6 0
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这一步可
回路1 u2 u3 u1 0
1 1 1 Δ 7 11 0 203
0 11 7
0 1 1 Δ1 64 11 0 1218
6 11 7 1 0 1 Δ2 7 64 0 406 0 67
P6 2 6 12W
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例2 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
解1 (1) n–1=1个KCL方程：
结点a： –I1–I2+I3=0
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（2）支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程
列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不
多的情况下使用。
例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
a
解 ① n–1=1个KCL方程：
I1 +
70V –
7 I2 11 +
61V
2
–
b
I3 结点a： –I1–I2+I3=0
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程， 消去中间变量。
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3.4 网孔电流法
1.网孔电流法
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 基本思想
电工学(少学时)1-3 支路电流法
2、根据KCL定律列出独立的节点电流方程；
3、根据KVL定律列出独立的回路电压方程；
4、解方程组求出各支路电流。
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练习题： １．已知Us1=10V， Us2=6V ，Us3=30V， R1=20kΩ ，R2=60 kΩ， R3=30 kΩ，求 I1、 I2 和I3。
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解：（１）假定各电流的参考方向，列出电流方程 I1＋I2＋I3=0 （2）选定单孔回路Ⅰ和Ⅱ为顺时针方向，得出回路电压方程 Us1－R1· I1＋R2· I2－Us2=0 Us2－R2· I2＋R3· I3－Us3=0 （３）带入已知数据，整理后解方程 I1＋I2＋I3=0 10－20KI1+60KI2－6=0 6－60K· I2＋30K· I3－30=0 解方程得： I1=－0.3mA， I2=－0.17 mA， I3=0.47 mA，
支路电流法的解题步骤: 1. 在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路 标出回路循行方向。 2. 应用 KCL 对结点列出 ( n－1 )个独立的结点电流 方程。 3. 应用 KVL 对回路列出 b－( n－1 ) 个独立的回路 电压方程（通常可取网孔列出） 。
4. 联立求解 b 个方程，求出各支路电流。 I2 对结点 a： 例1 ： I1 a I1+I2–I3=0 +
－
图 例题的电路
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解：1、在图中设各支路电流
孔1、2的绕行方向； 2、根据KCL、KVL定律
列出独立方程；即： I１＋I２－I３＝０
R1 E1
I１、I２、I３以及网
电路第3章支路电流法
(5)求解元件上电压
8 I 1 7 1.14( A) 3 I 2 0.43( A) 7 I 5 0.71( A) 3 7
8 U R1 R1 I 1 5 5.7(V ) 7 3 U R 2 R2 I 2 10 4.29(V ) 7 5 U R 3 R3 I 3 20 7 14.3(V )
例
要点：独立源的处理 解：(1)选网孔电流I1,I2,I3为变量。
(2)列网孔方程
电路
(1 0.5 1) I 1 0.1I 2 0.5I 3 1 I2 3 0.5I I (0.5 1) I 2 1 2 3
讨论： (3)解网孔电流
(a)网孔2包括一个电流源，且等于网孔电流I2， I 相当于I2已知，可不列该网孔的KVL方程。 1 如非要列，必须注意如何在该网孔方程中 I2 考虑该电流源上的电压。 (b)应尽可能使电流源为网孔电流。
电路
控制量是否为支路电流
是 不是 多出一个变量： 增加一个控制量与 支路电流的关系方程 (保持变量数与方程数一致)
变量数与方程数一致
重要结论
电路
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程 ——方程的独立性。 (2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用 相互独立的变量——变量的独立性。 (3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流 ——变量的完备性。
0.26( A) 3( A)
I 0.58( A) 3
例
要点：独立源的处理 电流源上设电压 解：网孔方程
电路
(1 5) I1 5I 2 5 U I 2 2 电流源上设电压 2 I 2 5I 3 U增加电流源与 I 3 I1 2 网孔电流的关系方程
8 I 1 7 1.14( A) 3 I 2 0.43( A) 7 I 5 0.71( A) 3 7
8 U R1 R1 I 1 5 5.7(V ) 7 3 U R 2 R2 I 2 10 4.29(V ) 7 5 U R 3 R3 I 3 20 7 14.3(V )
例
要点：独立源的处理 解：(1)选网孔电流I1,I2,I3为变量。
(2)列网孔方程
电路
(1 0.5 1) I 1 0.1I 2 0.5I 3 1 I2 3 0.5I I (0.5 1) I 2 1 2 3
讨论： (3)解网孔电流
(a)网孔2包括一个电流源，且等于网孔电流I2， I 相当于I2已知，可不列该网孔的KVL方程。 1 如非要列，必须注意如何在该网孔方程中 I2 考虑该电流源上的电压。 (b)应尽可能使电流源为网孔电流。
电路
控制量是否为支路电流
是 不是 多出一个变量： 增加一个控制量与 支路电流的关系方程 (保持变量数与方程数一致)
变量数与方程数一致
重要结论
电路
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程 ——方程的独立性。 (2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用 相互独立的变量——变量的独立性。 (3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流 ——变量的完备性。
0.26( A) 3( A)
I 0.58( A) 3
例
要点：独立源的处理 电流源上设电压 解：网孔方程
电路
(1 5) I1 5I 2 5 U I 2 2 电流源上设电压 2 I 2 5I 3 U增加电流源与 I 3 I1 2 网孔电流的关系方程
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§3-1 支路电流法
一. 支路法的基本步骤 例如右图，支路数b=3； 结点数n=2；回路数l=3。 原则：以支路的电流为 变量，列写方程，求解 电路参数。
I1 + US1 R1 a I2 + US2 R2 b I3
R3
KCL：结点a： -I1 -I2 +I3 =0 结点b： I1 + I2 - I3 =0
I1 0.12A, I 2 0.08A, I 0.14A. 3
I1 0.12A, 10I 20I 4 I 0.08A, 1 2 3 可得 U 20I 3 0 I 3 0.14A, U 2.8V. U 10I 2 2
连通图
* M
*
非连通图
二. 树、树支、连支 1. 树：不包含回路，关联所有结点的支路集合。
1
同一网络的线图， 树的结构很多 。
4
2
3
共有16个树
2. 树支：构成某个树的支路。恒有：树支数 t=n-1 。 3. 连支：某个树树支之外的支路。 连支数 l=b–(n–1)=b–n+1
三. 割集的概念(用 Qf 表示) 割集Q ：是连通图的某最少的支路集合，它满足： ①将该集合除去，连通图就成为两个分离的部分； ②若少移去其中任何一条支路，图形仍然连通。
⑴ (2)
显然， 含n个结点的电路中能列出(n-1) 个KCL 独立方程
KVL：设回路的绕行方向如图 R1I1–R2I2 =US1 -US2 (3) R3I3 +R2I2 =US2 R1I1 +R3I3 =US1 (4) (5)
I1 + US1 R1
a I2 + US2 R2
b
I3
R3
易见，3式中的任一式可由另二式导出，可以证明， 对于b条支路、n个结点的电路，独立KVL方程的 个数为(b-n+1)个，对平面电路，即等于网孔数m 。 ∴ 独立方程总数=(n-1)+(b-n+1)=b
例：右图中，U S1 130V，
US2 117V， R1 1Ω， R2 0.6Ω，R3＝24Ω
求： I1，I 2，PUS1，PUS2
I1 + US1 R1
a I2 + US2 R2
b
I3
R3
பைடு நூலகம்
解：b＝3，n＝2
I1 10A I 1 I 2 I 3 0 1 I1 0.6 I 2 130 117 I 2 5A I 5A 0.6 I 24I 117 3 2 3
+ 20 0.1V b
I 3 IS I K 0.14A.
特例2：含受控电源的处理方法 ①先将控制量用独立变量(支路电流)表示;
②将受控源看成独立电源，按上述方法列写 支路法方程； ③将①的表示式代入②的方程，移项整理后 即得独立变量(支路电流)的方程组。
例：P. 45 例3－2
作业：P. 62 3－1(1)
支路法的基本步骤：
1. 选定各支路电流的参考方向； 2. 列出(n-1)个独立结点的KCL方程； 3. 选取(b-n+1)个独立回路及其绕行方向， 列写KVL方程； 4. 联立求解这b个独立方程,得各支路电流， 进而解出其它待求量； 5. 对所得的结果进行验算。 (可选一个未用过的回路，代入数据校验KVL， 或用功率平衡进行验算)。
法三：将20Ω电阻看成IS的 有伴电阻，并等效成有伴电 压源 。 (注意IK=I3 – IS )
10Ω
I1 + 4V 10Ω I1 + 4V -
a 10Ω 20Ω 0.1A
I3 + 2V I2 10Ω 20Ω + 2V I2
b
a IK
I 1 I 2 I K 0 10I1 20I K 4 2 10I 20I 2 2 2 K I1 0.12A, 可得 I 2 0.08A, I 0.04A. K
§3-2 电路方程的独立电流变量和独立电压变量
一. 电路的图(线图)
将：电路元件(支路) 电路结点 1. (线)图：是(结)点 和线(支路)的集合， 每条线的两端都接 到相应的结点上 。 线(支路)， 则：网络 点(结点)， 网络的线图
1
2
3
4
2. 连通图：任意两节点间至少存在一条通路(路径) 。
a
Q11
b
3
c e
4
Q2
2
Q3
d
f
四. 独立电压变量 只要选定一树，就可确定一组基本回路(单连支 回路)，从而得到一组独立的回路， 即可选树支电压为变量，n－1个。 五. 独立电流变量 全部的连支电流为一组电路变量 b－n＋1个。 练习：P. 64 3－14
P W US1吸＝ U S1 I 1 1300
P W US2吸＝ U S2 I 2 585
二. 支路法的特例情况 特例1：含电流源 IS 法一： ①含IS的支路电流不再作变量(是已知量)； ②选取独立回路时让IS远离回路或将IS包含在回路 内，而不要出现在回路上。 法二： ①增设IS上电压UIS作变量，代入相应回路的 KVL方程； ②该支路电流变量写为已知量IS 。 法三：(有伴电流源 ) 先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按基本 步骤列写支路法方程。
例：求各支路电流，并校 验功率平衡。
10Ω
I1 + 4V -
a 10Ω 20Ω 0.1A +
I3 + 2V I2
解：法一：
b
U -
I1 I 2 I 3 0.1 可得 : 10I1 20I 3 4 10I 20I 2 2 3
法二： I1 I 2 I 3 0.1
第三章 电路的一般分析法
一般的 复杂电路 步骤 ： 选择一组完备的独立变量（电压或电流）； 系统化──便于编制计算机程序； 普遍性──适用于任何线性电路。
由KCL、KVL及VAR建立独立变量的方程 (必为线性方程组)；
由方程解出独立变量，进而解出其它待求量 。
第三章 电路的一般分析法
包括支路(电流)法、回路(电流)法、网孔(电流)法、 结点(电压)法 独立性──各变量不能相互表示 ； 完备性──其它电压、电流可由它们所表示。