【配套K12】2018高中数学苏教版课本回归：4 必修4课本题精选(教师版)
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(十一) 函数y=Asin(
课下能力提升(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一、填空题1．电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是I ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是________，频率是________，振幅是________，初相是________．2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，然后将图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到的函数图象所对应的函数解析式是________________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值是________．4.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ ≤π2的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．5．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标变为原来的2倍，再把纵坐标变为原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式为________．二、解答题6．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式； (2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．答 案1.150 50 50 π32．解析：由题意知，y ＝sin x 12−−−−−−−→坐原的倍横标变为来y ＝sin 2x ――→向上平移2 个单位长度y ＝sin 2x ＋26π−−−−−−−→向右平移位度个单长y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2 3．解析：由已知得，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ωx ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＝cos ωx ，则ωx －ω3π＝ωx ＋2k π，k ∈Z ， ∴ω＝－6k ，又ω＞0，∴ω的最小值是6. 答案：64．解析：由图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π＝2πω，即得ω＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0， 令3π4＋φ＝π，得φ＝π4，∴(ω，φ)的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 5．解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π332−−−−−−−→坐原的倍纵标变为来y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π312−−−−−−−→坐原的倍横标变为来 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π36π−−−−−−→向左平移位个单 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x . 答案：f (x )＝3cos x 6．解：(1)列表：描点连线；将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象； ②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4. (4)令12x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π，k ∈Z.令12x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，0，k ∈Z.令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z.解得－π2＋4k π≤x ≤3π2＋4k π，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋4k π，3π2＋4k π，k ∈Z.7．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝2cos2x ， 因为g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝g (x )，故g (x )为偶函数． 8．解：∵f (x )在R 上是偶函数， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值， 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图象关于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，∴3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝43k －23，k ∈Z. 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23，当k ＝2时，ω＝2.。
2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四全册模块综合检测题及答案解析-精品试卷
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a|＝|b|≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．平行B ．相等C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a|＝|b|，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB⊥OC，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b)⊥(a－b)． 答案：D2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P(4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP|＝5. 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数．答案：D6．已知函数f(x)＝(sin x －cos x)sin x ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f(x)＝sin 2x －sin xcos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f(x)是奇函数B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意得y ＝f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x.显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22，得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B9．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋kπ，5π12＋kπ(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2kπ≤2x －π3≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 得5π12＋kπ≤x ≤11π12＋kπ，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)． 答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a|＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b|＝1，a·b＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．解析：因为a∥b，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF→＝16DC →，则AE →·AF →的值为________． 解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF→＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2kπ，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2， 所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311.所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos (β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213.所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1， 又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC＝60°.所以∠AOB＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x.(1)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f(x)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin xcos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos π3＋cos xsin π3－3·sin 2x ＋sin xcos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．法二：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n＝|m|·|n|cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x∈R，求f(x)的递增区间；(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最大值为4，求a 的值．解：由f(x)＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f(x)的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f(x)max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。
(苏教版)数学高中必修4配套练习+章节检测卷 (全书完整版)
（苏教版）高中数学必修4配套练习+章节检测卷汇总第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角A级基础巩固1．下列命题中正确的是()A．终边与始边都相同的角一定相等B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是锐角D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角答案：B2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；④1 711°.其中在第一象限的角是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：C3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．即是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是()A．四B．三C．二D．一解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α是第二象限角．答案：C5．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．答案：－960°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；(2)因为660°＝300°＋360°，所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.解得：α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.B级能力提升11．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β< 180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．α＝－5 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－5＝－2π＋(2π－5)，因为0<2π－5<π2， 所以α＝－5在第一象限．答案：A2．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A ．1 B.π6 C.π3D ．π 解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC 为正三角形，所以弦所对的圆心角为π3.答案：C4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203πC.2003πD.4003π 解析：240°＝240180π＝43π， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π·10＝403π. 答案：A5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)， 则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)， 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A6．若有一角和π3rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·2π＋π3，k ∈Z 7.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°，－300°＝－300×π180＝－5π3. 答案：15 －5π3 8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3rad ， 则扇形的面积S ＝12×π3·32＝32π. 答案：32π 9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1， 所以r ＝l |α|＝1π180＝180π. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l |α|＝1. 答案：(1)180π(2)1 10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．(1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积． 解：(1)如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以AD ＝12AB ＝1， ∠AOD ＝12∠AOB ＝1 rad ， 所以扇形的半径OA ＝1sin 1. 由弧长公式l ＝|α|r ，得l ＝2×1sin 1＝2sin 1. (2)由扇形面积公式S ＝12lr ，得 S ＝12×2sin 1·1sin 1＝1sin 21. B 级 能力提升11．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，则有( ) A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅解析：因为集合M 是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N 是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以MN . 答案：C12．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．解析：P到圆心O的距离OP＝52－32＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)．答案：100 cm13．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋10 9π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋109π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.14．已知扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40.所以l＝40－2r.所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad.15．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3·10＝10π3.所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3·10＝50π3.而S △AOB ＝12×AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0.答案：D2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32. 答案：B3．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是( ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan αD ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α＝MP ，tan α＝AT ，又|MP |<|AT |，故sin α>tan α. 答案：A4．若sin θ·cos θ>0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．第二或第四象限角 解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ与cos θ同号， 由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角． 答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A6．若α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－327．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－a4＝ 3.所以a ＝－4 3.答案：－438．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是_________________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z) 10．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解：在射线y ＝2x (x ≥0)上任取一点P (a ，2a )(a >0)． 则r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ， 所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55.B 级 能力提升11．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A12．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0.所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：3513．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是______．解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π14．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1. 又易知y <0，所以y ＝－1.所以r ＝ 5.所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.15．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系A 级 基础巩固一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B2．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案： D3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.答案：B4．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α， 所以sin α≥0，且cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8. 答案：C6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α. 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC的形状为________三角形．解析：因为sin A ＋cos A ＝23，则(sin A ＋cos A )2＝49.所以sin A cos A ＝－518<0，则A 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案：钝角9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.所以tan α＝sin αcos α＝2.答案：210．化简下列各式： (1)1＋sin θ1－sin θ＋1－sin θ1＋sin θ；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x1＋sin x－1＋sin x 1－sin x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－cos x1＋cos x－1＋cos x 1－cos x .解：(1)原式＝ （1＋sin θ）21－sin 2θ＋（1－sin θ）21－sin 2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|. (2)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－sin 2x（1＋sin x ）2－1－sin 2x （1－sin x ）2·⎣⎢⎢⎡1－cos 2x（1＋cos x ）2－⎦⎥⎥⎤1－cos 2x （1－cos x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|cos x |1＋sin x －|cos x |1－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫|sin x |1＋cos x －|sin x |1－cos x ＝－2sin x ·|cos x |cos 2x ·－2cos x ·|sin x |sin 2x ＝4|sin x ·cos x |sin x ·cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠n π2，n ∈Z ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π，n π＋π2时，原式＝4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2，（n ＋1）π时，原式＝－4. B 级 能力提升11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D12．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋169sin 2α＝1.所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， 所以sin α<0.故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}14．化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. 解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．解：由3sin α－2cos α＝0，得tan α＝23.1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15. 答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( )A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920. B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0.所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时正弦、余弦函数的图象与性质A 级 基础巩固一、选择题1．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，函数的值域为[－2，0]．答案：D2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．答案：C3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，C 符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的，排除D.答案：C4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，所以－π6≤x ≤0.答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，排除B ，D ；令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0. 答案：A 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________________．解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23π.所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]． 答案：[0，2]7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)．所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π.答案：32π8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______．解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 150°<cos 760°<sin 470°. 答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°9．用五点法作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋31353110．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3， 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π，k ∈Z ，得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．B 级 能力提升11．方程lg x ＝sin x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如下图所示，由图知有三个交点，所以方程有三个解．答案：D12．函数y ＝|sin x |（1－sin x ）1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．即是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析：由题意知，1－sin x ≠0，即sin x ≠1，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ， 由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数． 答案：D13．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．解析：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，所以sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z.又0<ω<2，所以ω＝32.答案：3214．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3<0恒成立，求实数m 的取值范围．解：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，因为－1≤sin θ≤1，所以－2≤sin θ－1≤0. 所以0≤(sin θ－1)2≤4.所以1≤(sin θ－1)2＋1≤5. 所以m 2<1.所以－1<m <1. 所以m 的取值范围是(－1，1)．15．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，若f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 当a >0时，由f (x )的值域为[1，3]，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1.当a <0时，依题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.综上知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正切函数的图象与性质A 级 基础巩固1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.答案：D2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z.所以函数f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z.答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( )A ．y ＝sin x2B ． y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数，D 中在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且周期为π.答案：D 4．若直线x ＝kx2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. 则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.答案：C5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )A ．(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)．所以y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z.答案：D6．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为____________________． 解析：因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2<x <k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z 7．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝______．解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23.所以a ＝±23.答案：±238．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的最大值是________．解析：因为函数y 1＝sin x 与y 2＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上都是递增函数，所以y ＝sin x ＋tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上是单调递增函数，y max ＝sin π3＋tan π3＝332.答案：3329．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为R.最小正周期T ＝π2.对应图象如图所示：10．求函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z.函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z. 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z.函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ，由5x ＋π4＝k π2，得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z. B 级 能力提升11．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.π4B ．0C ．1D ．2 解析：因为y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，所以y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象相邻两交点间的距离为πω.故πω＝π4，ω＝4，所以f (x )＝tan 4x . 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.答案：B12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：由题意可知ω<0，又⎝⎛⎭⎪⎫π2 ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0. 答案：B13．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， 所以a sin 5＋b tan 5＝6.所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－5.答案：－514．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a的取值范围．解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以0≤2x －π3≤π3.又因为y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，所以0≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ 3.所以0≤2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2 3.由题意知a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>0恒成立，即a >2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． 所以a >2 3.所以实数a 的取值范围是(23，＋∞)．15．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π.因为k ∈N *，所以k ＝3.则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)，得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A ．3，4 B ．3，π2 C.π2，4 D.π2，3解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T＝2ππ2＝4.答案：A2．(2015·山东卷)要得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度解析：由y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3＝sin 4⎝⎛⎭⎪⎫x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位长度．答案：B3．函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是()答案：A4．函数y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3图象的一条对称轴方程为() A．x＝－π6B．x＝－512πC．x＝π2D．x＝π6答案：B5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6B.π3C.2π3D.π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象， 于是2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ的最小值为π6.答案：A6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的频率是________，图象最高点的坐标是________．解析：由于T ＝8π，则频率f ＝1T ＝18π，当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝8k π＋8π3 (k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：18π⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z)7．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象的解析式为________________．解析：由题意y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变y ＝sin2x 的图象y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象， 则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x . 答案：y ＝cos 2x8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ， 又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π.所以φ＝910π.答案：910π 9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：12x －π4 0 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度．得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． (2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．B 级 能力提升11．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)． 将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：D12．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确． 答案：D13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝__________．。
课本回归4 必修4课本题精选(一)(教师版)
课本回归4 必修4课本题精选（一）江苏省太仓高级中学 陆丽一、填空题1．（必修4，P23习题18）若角θ的终边经过点(4,3)(0)sin P a a a θ-≠=，则 ． 【解析】35,sin 5OP a θ==±．2．若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．【解析】由215T πωπ==，得10ω=．所以1191()sin()362f π==-． 3．（必修4，P40练习4改编）要得到函数3sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数3cos 2y x =的图象向 平移 个单位长度．【解析】因为3sin(2)3cos(2)3cos[2()]3612y x x x πππ=+=-=-，所以只需将函数3cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度.4．（必修4，P50第12题改编）若函数f (x )=sin(x+θ)π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x=π6对称，则θ= .【解析】f (x )=sin(x+θ)的图象关于直线x=π6对称，则f π6⎛⎫⎪⎝⎭=sin π+6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1或-1，而0<θ<π2，所以θ=π3. 5．（必修4，P51第15题改编）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0A ωϕπ>><<）的部分图象如图所示.则该函数的解析式为()f x = .【解析】由图像，得A =,最小正周期473126T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22T πω∴==，())f x x ϕ∴=+，由712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得722122k ππϕπ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，523k πϕπ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=.所以())3f x x π+.6．（必修4，P40练习3改编）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 .【解析】由题意得*22()3kT k k N ππω==⋅∈，所以3k ω=，因此ω的最小值等于3.7．（必修4，P44练习1改编）函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a >0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为 .【解析】函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a >0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离为：L =a =.所以min L =8．（必修4，P102引言改编）如图：在平面直角坐标系中，点Q 绕着点P 在半径为1的圆P 上运动的同时，点P 又绕点O 在另一个半径为2的圆O 上运动，PQ 两点的初始位置如图所示，其中QP OP ⊥，且PQ 两点以相同的角速度逆时针方向运动. （1）OQ OP ⋅= ；（2）Q 到直线2-=y 的距离最大值为 . 【解析】（1）设(2cos ,2sin )OP x x =， 则cos ,sin 22PQ x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由()2cos sin ,2sin cos OQ OP PQ x x x x =+=-+，所以cos (2cos sin )sin (2sin cos )OP OQ x x x x x x ⋅=-++=2. （2）Q 到直线2-=y的距离为2sin cos 2)2h x x x ϕ=++=++，（其中1tan 2ϕ=）所以max 2h . 二.解答题9．（必修4，P14例1改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB． （1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标． 【解析】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB ABAOB OA OB+-∠=⋅22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=．（2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β===．因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α==． 所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-， ()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=．所以点3356()6565B -，． 10．（必修4，P40练习3改编）已知函数2()2cos()sin (sin cos )2f x x x x x π=-++．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 【解析】（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到())212g x x π=++的图象，即())212g x x π=++，所以()36g π=．11．（必修4，P51第15题改编）函数2()6cos 3(0)2x f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （1）求ω的值及函数()f x 的值域和对称中心； （2）若0()f x =0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 【解析】（1）()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由24BC ==，得28T πω==，所以4πω=.所以()sin 43f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为[-，对称中心为44,0,3k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，单调增区间为102[8,8],33k k k Z -+∈，单调减区间为214[8,8],33k k k Z ++∈.（2）由00()43f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，得04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102(,)33x ∈-，得0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以03cos 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()000(1)143434f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00sin cos 4343x x ππππ⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=. 12．（必修4，P42例2改编）如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处．（1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m? 【解析】（1）设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ． 由题设可知A ＝50，b ＝60．又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60．再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π2．因此，y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0) ．（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－12．于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π3，即1＜t ＜2．所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟．。
苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.3(1)课时作业(含答案)
1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin 585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________. 3．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是________． 4．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______.5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________. 6．tan(5π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________． 7．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______． 9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________． 二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 能力提升13．化简：sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ]sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ)(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一)知识梳理 1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α(2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α(4)－sin α －cos α tan α作业设计1．－22 2.－333.tan α 4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角)． 6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k. 8．－1解析 原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 9．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53 解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2-＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－1－49＝－53. 11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
2018年苏教版数学必修4 第1章 1.2 1.2.1
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值.(重点、易错点)2.会判断给定角的三角函数值的符号.(重点)3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围.(难点)[基础·初探]教材整理1 任意角三角函数的定义阅读教材P 11～P 12第一自然段的有关内容，完成下列问题.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么函数.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.【解析】 由题意可知 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22； cos α＝221＝22； tan α＝－2222＝－1.【答案】－2222 －1 教材整理2 三角函数值的符号阅读教材P 12第二自然段的有关内容，完成下列问题. 三角函数在各象限符号：图1-2-1(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”，“＜”) (2)若α在第二象限，则sin αtan α________0.(填“＞”“＜”) 【解析】 (1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵α在第二象限，∴sin α＞0，tan α＜0. ∴sin αtan α＜0. 【答案】 (1)＞ (2)＜ 教材整理3 三角函数线阅读教材P12第三自然段～P14例1以上部分的内容，完成下列问题.1.有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.2.三角函数线图1-2-2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定.()(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等.()(3)α与α＋π有相同的正切线.()【解析】结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误.【答案】(1)√(2)×(3)√[小组合作型]，cos α，tan α的值.【精彩点拨】以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值.【自主解答】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1.已知角α的终边在直线上的问题，常分两类情况分别计算sin α，cos α，tan α的值.2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[再练一题]1.已知角α的终边上有一点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 【导学号：48582011】【解】∵x＝－3a，y＝4a，∴r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，角α为第二象限角，∴sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a＜0时，r＝－5a，角α为第四象限角，∴sin α＝yr＝4a－5a＝－45，cos α＝xr＝－3a－5a＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.(1)α是第四象限角，sin α·tan α； (2)sin 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.【精彩点拨】 先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号.【自主解答】 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0， ∴sin α·tan α>0. (2) ∵π2<3<π，π<4<3π2， ∴sin 3>0，cos 4<0. 又∵－23π4＝－6π＋π4， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.[再练一题]2.确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan 11π6sin 2π3；(3)tan 120°·sin 269°.【解】 (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan 11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0.[探究共研型]探究1 在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确.图1-2-2【提示】 两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.探究2满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确. 【提示】 如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域.【精彩点拨】 借助单位圆解不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可.【自主解答】 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.[再练一题]3.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【解】 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z.1.若角α的终边经过点P (－2，2)，则sin θ＝________. 【解析】 由题意可知，OP ＝(－2)2＋22＝8， ∴sin θ＝28＝22. 【答案】 222.若sin α＜0，tan α＞0，则α为第________象限角.【解析】 由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上. 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内. 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角. 【答案】 三3.角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，则b 的值为________. 【导学号：48582012】【解析】 由三角函数的定义可知 －b b 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.【答案】 34.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“＞”或“＜”连接)： (1)sin 2π3________sin 4π5； (2)cos 2π3________cos 4π5； (3)tan 2π3________tan 4π5.【解析】 借助单位圆中的三角函数线易得sin 2π3＞sin 4π5；cos 2π3＞cos 4π5；tan 2π3＜tan 4π5.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜5.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 【解】 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3.3 几个三角恒等式-含答案
问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S (α＋β)＋S (α－β)，S (α＋β)－S (α－β)，C (α＋β)＋C (α－β)，C (α＋β)－C (α－β)会得到怎样的结论？提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β) ＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cos αsin β)＝2cos αsin β；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sin αsin β)＝2cos αcos β；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sin αsin β)＝－2sin αsin β.问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ 提示：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.问题：如何用tan α2表示sin α、cos α、tan α？提示：sin α＝2sinα2cos α2＝2sinα2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tan α21＋tan2α2；cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2.万能公式(1)sin α＝2tanα21＋tan2α2.(2)cos α＝1－tan2α21＋tan2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan2α2.1．公式的推导积化和差公式的推导运用方程的思想把S (α＋β)与S (α－β)(或C (α＋β)与C (α－β))看作二元一次方程组解方程推得．和差化积公式的推导主要是角的变换．要认真体会这种思想方法．2．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．可这样记忆公式： 积化和差由一项变两项应加系数12；和差化积由两项变一项加系数2；系数2则角半．“正加得正余弦，正减得余正弦，余加得余弦积，余减得正弦积”．“正余得正弦和，余正得正弦差，余积得余弦和，正积得正弦差”，角的规律是先和后差． 两角α、β的正弦、余弦的积都可化为12[f (α－β)±f (α＋β)]的形式．如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f ”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f ”表示正弦．[例1] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [精解详析] (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12 ＝2＋14. (2)sin 20°cos70 °＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. [一点通] 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．1．函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为________． 解析：cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3 ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14， ∴最小正周期为π. 答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos (－2θ)] ＝－2sin θ(－12－cos 2θ)＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.[例2] 求函数f (x )＝sin 52x 2sinx 2－12的值域．[思路点拨] (1)先通分，将sin 5x 2－sin x2和差化积． (2)再积化和差得函数． (3)在定义域内求值域．[精解详析] f (x )＝sin5x 2－sin x 22sinx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2sinx 2＝2cos 3x2sin x 2sinx2＝2cos3x 2cos x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝cos2 x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.∵sin x 2≠0，∴x2≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z)． ∴－1≤cos x <1.当cos x ＝－14时，f (x )min ＝－98，当cos x 趋于1时，f (x )趋于2.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，2.[一点通] 通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12(sin 70°－sin 30°)＝34－sin 70°·sin 30°＋12sin 70° ＝34. 法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34.4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解：∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sin α－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.② ∵sinα－β2≠0， ∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例3] 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[思路点拨] 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ即可．[精解详析] 由sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t 1＋t2，故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[一点通] 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值．5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．解：令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 6．已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值．解：∵sin α＋sin β＝2sinα＋β2cos α－β2＝14，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝13.∴tan α＋β2＝34.∴sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×341＋916＝2425，cos(α＋β)＝1－tan2α＋β21＋tan2α＋β2＝1－9161＋916＝725.1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑；(1)运用公式之后，能否出现特殊角；(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．2．积化和差、和差化积公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．课下能力提升(二十七)一、填空题1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是________． 解析：只有⑤正确． 答案：12．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2 α－sin 2β＝13.答案：133．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________.解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 答案：2m4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 解析：∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.答案：125．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－34二、解答题 6．求值：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7. 解：cos2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin2π7⎝⎛2sin 2π7·cos 2π7＋2sin 2π7·cos 4π7＋2sin 2π7·⎭⎪⎫cos6π7 ＝12sin2π7⎣⎢⎡sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin2π7·⎝⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12. 7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 23x 的最大值和最小值．小学+初中+高中小学+初中+高中 解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2x .∵0≤sin 2 x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．求值：cos 2 71°＋cos 71°cos 49°＋cos 2 49°.解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°) ＋1＋cos 98°2 ＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。
凤凰新学案·高中数学 必修4(教师用书) 苏教版
第1课时任意角教学过程一、问题情境情境1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少?[3]情境2:在体操、跳水运动中,有“转体720°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角?[4]二、数学建构(一) 生成概念问题1 在初中,角的概念是如何定义的?(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)问题2 体操运动中的“转体720°”是如何形成的?(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)问题3 你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.问题4 既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢?(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角,进而得到正角、负角、零角的概念)通过讨论,结合下图(图1),给出正角、负角、零角的定义.(图1)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.(二) 理解概念1. 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩充了.① 角有正负之分(结合图2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动);② 角可以任意大;③ 还有零角.(图2)2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样.问题5 角的概念推广后,角的范围也就扩大了,那么,我们又该如何来研究角?为了便于研究,我们要将角放在直角坐标系中.建立直角坐标系的方法:角的顶点与原点重合,角的始边为x轴的正半轴.问题6 将角放入直角坐标系中研究后,角的终边会出现在哪些位置?我们该如何称呼它们?(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.(三) 巩固概念(1) 分别举几个第一、二、三、四象限角的例子.(2) 30°, 390°, -330°角分别是第几象限角?观察这些角,你有什么发现?(3) 终边相同的角有何特点?试写出与30°角终边相同的角的集合.[5]问题7 与α角终边相同的角的集合如何表示?S={β|β=k·360°+α, k∈Z}.注意以下问题:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.[6]三、数学运用【例1】写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在0°~360°的角写出来,并分别判断它们是第几象限角.(1) 460°; (2) -21°; (3) 963°14'[7].(见学生用书P1)[处理建议] 选例1的第一小题板书来示范解题的步骤,其他例题请几个学生板演,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳.[规范板书] 解(1) S={β|β=460°+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是(-1)×360°+460°=100°,它是第二象限角.(2) S={β|β=-21°+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是1×360°-21°=339°,它是第四象限角.(3) S={β|β=963°14'+k·360°, k∈Z}. S中在0°~360°范围内的角是(-2)×360°+963°14'=243°14',它是第三象限角.[题后反思] 只需将这些角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后根据角α选择一个适当的整数k值,使得k·360°+α在0°~360°的范围内则可.变式写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360°到720°间的角写出来:(1) -120°; (2) 640°.[处理建议] 先由学生讨论,然后让学生回答,互相更正,对出现的错误进行纠正讲解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.[答案] (1) S={β|β=k·360°-120°, k∈Z},分别令k=0, 1, 2得S中在-360°到720°间的角为-120°, 240°, 600°.(2) S={β|β=k·360°+640°, k∈Z},分别令k=-2, -1, 0得S中在-360°到720°间的角为-80°, 280°, 640°.是第几象限角.[8](见学生用书P2) 【例2】(教材第6页例2)已知α与240°角的终边相同,判断α2的表达式,然后将表达式中的k值具体化,取几个具体的值来发现结论.[处理建议] 引导学生先写出α2=k·180°+120° (k∈Z).[规范板书] 由α=k·360°+240° (k∈Z),可得α2若k 为偶数,设k=2n (n∈Z),则α2=n ·360°+120° (n∈Z), α2与120°角的终边相同,是第二象限角; 若k 为奇数,设k=2n+1 (n∈Z),则α2=n ·360°+300° (n∈Z), α2与300°角的终边相同,是第四象限角. 所以α2是第二或第四象限角.[题后反思] (1) 解题的关键在于将α2表示出来;(2) 在判断α2所在象限的过程中,蕴含着分类讨论的思想,要让学生充分领悟此方法;(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角β可以表示为β=k·180°+α (k∈Z),则β的终边与α的终边所在的直线重合.变式 若角β的终边落在x 轴上,则β的集合为 ;若角β的终边落在第一、三象限的角平分线上,则β的集合为 .(根据上述题后反思的结论可得到结果)[答案] {β|β=k·180°, k∈Z}; {β|β=k·180°+45°, k∈Z}(或{β|β=k·180°+225°, k∈Z})*【例3】 (教材第10页习题1.1第11题)如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).[9](例3)[处理建议] 此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点.[规范板书] 解 (1) 方法1:根据例2的变式可得{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}. 方法2:{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°, k∈Z}∪{α|k ·360°+225°≤α≤k ·360°+270°, k ∈Z } ={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°, k∈Z}. (2) {α|k·360°-150°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}.[题后反思] (1)一个角按顺、逆时针旋转k ·360° (k∈Z)角后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺、逆时针旋转k ·360° (k∈Z)角后,所得“区间”仍与原区间重叠,因此,解决此类问题,我们可以首先在0°到360°范围内找出满足条件的角,然后在加上k ·360° (k∈Z)即可.(2) 此类问题要注意角的终边的大小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的.如第二小题表示为{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+120°, k∈Z}或{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+210°, k∈Z}都是错误的解答.变式 若α是第四象限角,判断α2是第几象限角.[10][处理建议] 根据象限角的定义结合不等式的知识求解,最后来确定α2所在的象限. [规范板书] 因为α是第四象限角,所以k ·360°+270°<α<k·360°+360° (k∈Z), 故k ·180°+135°<α2<k ·180°+180° (k∈Z), 从而α2在第二或第四象限.[题后反思] 在学生领悟了分类讨论的思想后,在此基础之上可增讲八卦图的巧解法.四、 课堂练习1. 已知角α为-30°,将角α的终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为1050°.2. 钟表经过4小时,时针转了-120度.提示 钟表每12个小时,时针顺时针转一圈,即转了-360°,故4小时转过的角度为-360°12×4=-120°. 3. 设A={α|α=k·360°+45°, k∈Z}, B={α|α=k·360°+225°, k∈Z}, C={α|α=k·180°+45°, k∈Z},D={α|α=k·360°-135°, k∈Z}, E={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°, k∈Z},则相等的角集合为B=D, C=E. 提示 可通过分类讨论的方法或在直角坐标系中作出角用数形结合的方法来解决. 4. (教材第7页练习第7题)试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角: (1) -55°; (2) 1680°; (3) -1290°.解 (1) 与-55°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°-55°, k∈Z}, 当k=1时,取得最小正角305°;当k=0时,取得最大负角-55°. (2) 与1680°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°+1680°, k∈Z}, 当k=-4时,取得最小正角240°;当k=-5时,取得最大负角-120°. (3) 与-1290°角终边相同的角的集合S={α|α=k·360°-1290°, k∈Z}, 当k=4时,取得最小正角150°;当k=3时,取得最大负角-210°.五、 课堂小结1. 任意角、终边相同的角的概念.2. 与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α, k∈Z},这一结果表示角周而复始的变化规律,同时,它也是研究角之间关系的最为基础的知识.3. 本节课主要涉及了数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法.第2课时 弧 度 制教学过程一、 问题情境在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l 与α之间具有怎样的关系呢?二、 数学建构(一) 生成概念问题1 在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的? (回到学生的已有的知识体系中来解决此问题)问题2 在弧长公式中,角α是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫做什么制?(进一步引导学生复习旧的知识,达到温故而知新的目的)问题3 除了上面用“度”作为单位来度量角的角度制外,我们有没有其他的方式来度量角呢? (引入课题)通过学生自学,老师引导,得到1弧度角的定义、角的弧度与角的关系.长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.(二) 理解概念1. 用弧度表示角的大小时,只要不引起误解,可以省略单位.2. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.3. 1rad 与圆的半径的大小没有关系. (三) 巩固概念练习:(1) 圆的半径为r,圆弧长为2r, 3r, r 2的弧所对的圆心角分别是2、 3、 12. (2) 若圆的半径为r,圆心角α所对的圆弧长为2πr,则α的弧度数就是2π. 问题4 角度制与弧度制如何换算?(引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式)问题5 半径为r,圆心角为α的圆弧长是多少?此扇形的面积又是多少?(与角度制下的弧长及扇形面积公式相比较)说明:1. 在应用公式|α|=lr求圆心角时,要注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值.2. 应用弧度制后,弧长公式及扇形面积公式要比角度制中的公式要简单.问题6 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合是什么?它与实数集之间有怎样的对应关系?(进一步巩固弧度定义,从不同角度加深对弧度制的理解)三、数学运用【例1】(教材第8页例1)把下列各角从弧度化为度:(1) 3π5; (2) 3.5.[2](见学生用书P3)[处理建议] 让学生独立思考,给出解答,老师给出规范解答.[规范板书] 解(1) 3π5rad=3π5×180°π=108°;(2) 3.5rad=3.5×180°π≈200.54°.[题后反思] 若化为角度时不是整数,则要注意近似计算的准确性,此时有两种表达形式,一是表示为度的形式,一是表示为度分的形式,要注意度与分之间的转换关系:1°=60'.问题知道了将弧度化为角度,那么,又该如何将角度化为弧度?变式1 把下列各角从度化为弧度:(1) 75°; (2) 22°30'.[处理建议] 让学生进行板演,同时规范解题的格式.[规范板书] 解(1) 75°=75×π180=5π12;(2) 22°30'=22.5°=22.5×π180=π8 .[题后反思] (1) 将带“分”的角度化为弧度,首先要将“分”化为“度”,然后再用换算公式转化;(2) 用“弧度”为单位度量角,当弧度数用π来表示时,如无特殊要求,不必将π写成小数;(3) 一些特殊角的弧度数应该加强记忆.[3][处理建议] 要求学生一边填表,一边进行记忆.【例2】(教材第9页例3)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.[4](见学生用书P3) [处理建议] 扇形的周长包含2条半径和1条弧长,引导学生利用条件列出关于半径和弧长的二元一次方程组.[规范板书] 解设扇形的半径为r,弧长为l,则有{2r +l =8,l =2r,解得{r =2,l =4.故扇形的面积为S=12rl=4(cm 2).[题后反思] 熟练地掌握弧长公式及扇形的面积公式,同时,重视方程思想的应用.变式 一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求此扇形的最大面积.[5][处理建议] 根据弧长及扇形的面积公式,用r 表示出扇形面积S,转化为求有关函数的最值问题.求扇形面积的最值问题,常常将其转化成求函数特别是二次函数的最值问题,利用求函数最值的有关方法来求解,若含有参数,还应注意分类讨论.[规范板书] 解 设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r. 又S=12lr=12(20-2r)·r=-r 2+10r=-(r-5)2+25,当r=5时,S 有最大值25,此时l=20-2×5=10, α=l r=2(rad). 答:当r=5时扇形的面积取最大值,最大值为25cm 2. [题后反思] 注意消元思想的应用及二次函数最值的求解.*【例3】 将下列各角化为2k π+α(0≤α<2π, k∈Z)的形式,并判断其所在象限.(1) 193π; (2) -1485°.[处理建议] 师生共同分析,寻找解决问题的方法. [规范板书] 解 (1) 193π=613π=3×2π+π3,它是第一象限角. (2) 方法1:-1485°=-5×360°+315°=-5×2π+7π4,它是第四象限角; 方法2:-1485°=-1485×π180=-33π4=-5×2π+7π4,它是第四象限角. [题后反思] 将角度制表示为2k π+α (0≤α<2π k∈Z)的形式,有两种方法:一是先将角表示为k ·360°+α (0°≤α<360°, k∈Z)的形式,然后再转化为弧度的表达形式;二是先将角度化为弧度,然后再转化为2k π+α (0≤α<2π, k∈Z)的形式.四、 课堂练习1. π12rad=15°, -4π3rad=-240°, 735°=49π12rad, -1080°=-6πrad. 2. 若α=-3,则角α的终边在第三象限.3. (教材第10页练习第8题)已知半径为240mm 的圆上,有一段弧的长是500mm,求此弧所对的圆心角的弧度数.解 由|α|=l r得弧所对的圆心角的弧度数为500240=2512. 4. 用弧度制表示:(1) 终边在x 轴的正半轴上的角的集合; (2) 终边在y 轴上的角的集合; (3) 终边在直线y=x 上的角的集合; (4) 终边在坐标轴上的角的集合.解 (1) 终边在x 轴的正半轴上的角的集合S 1={β|β=2k π, k∈Z}; (2) 终边在y 轴上的角的集合 S 2=ββ=kπ+π2, k∈Z;(3) 终边在直线y=x 上的角的集合S 3=ββ=k π+π4, k∈Z;(4) 终边在坐标轴上的角的集合S 4=ββ=kπ2, k∈Z.五、 课堂小结1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.第3课时 任意角的三角函数(1)教学过程一、 问题情境引入教材的引言:用(r, α)与用坐标(x, y)均可表示圆周上点P,那么,这两种表示有什么内在联系?确切地说,用怎样的数学模型刻画(x, y)与(r, α)之间的关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题1 在前面的学习中,我们如何来研究角?(引导学生应用建立坐标系的方法来研究角,也是对前面的内容的复习) 问题2 在初中我们是如何研究锐角三角函数的?(复习锐角三角函数的定义,以便为研究任意角的三角函数定义打下基础) 问题3 我们能用建立坐标系的方法来研究锐角三角函数吗?(引导学生来沟通初中、高中两种研究方法的联系,为下面任意角的三角函数埋下伏笔)通过讨论,结合图1,在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P 的坐标是(x, y),它与原点的距离是r(r=√x 2+y 2>0).(图1)当α为锐角时,过P 作PM⊥x 轴,垂足为M.在Rt △OPM 中,sin α=y r , cos α=x r , tan α=y x. 问题4 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?(由特殊推广到一般,通过对比,让学生对知识进行类比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心) 通过讨论,结合图2,给出任意角的三角函数的定义.(图2)一般地,对任意角α,我们规定:(1) 比值y r叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y r; (2) 比值x r叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x r; (3) 比值y x叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x. (二) 理解概念1. 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上的角α的三角函数值不受终边上的点P 的位置的影响.2. 对于确定的角α,比值y r和x r都唯一确定,故正弦和余弦都是角α的函数.3. 当α=kπ+π2(k∈Z)时,角α的终边在y 轴上,故有x=0,这时tan α无意义,除此之外,对于确定的角α(α≠kπ+π2(k ∈Z)),比值yx也是唯一确定的,故正切也是角α的函数.4. sin α, cos α, tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为三角函数.问题5 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,那么,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢?(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)通过讨论,借助于三角函数的定义,抓住分母等于0时比值无意义这一关键,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为R, R,{α|α≠kπ+π2, k ∈Z}.问题6 根据三角函数的定义,我们得到了三个三角函数的定义域.通过前面的学习,我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在四个象限中,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响?这种影响表现在什么地方?(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)通过讨论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图3所示:(图3)进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法,如图4:(图4)三、 数学运用【例1】 (教材第14页例1)已知角α的终边经过点P(2, -3),求α的正弦、余弦、正切值.[3](见学生用书P5)[处理建议] 紧扣三角函数的定义.[规范板书] 解因为x=2, y=-3,所以r=√22+(-3)2=√13,所以sinα=yr =-3√13=-3√1313, cosα=xr=2√13=2√1313, tanα=yx=-32.[题后反思] 学会用定义来处理问题.变式已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα, cosα, tanα的值.[4][处理建议] 启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来.解在直线3x+4y=0上任取点P(4a, -3a) (a≠0),则r=√(4a)2+(-3a)2=5|a|.当a>0时,sinα=-3a5a =-35, cosα=4a5a=45, tanα=-3a4a=-34;当a<0时,sinα=-3a-5a =35, cosα=4a-5a=-45, tanα=-3a4a=-34.[题后反思] 运用任意角的三角函数的定义来求三角函数值时,先要判断终边的可能位置,然后在终边上任意取一点,也可取一特殊点,求出该点到原点的距离,再由定义来进一步求解.若有参数,还要注意对参数进行分类讨论.【例2】求下列各角的三角函数值:(1) 0; (2) π2; (3) 2π3.[5](见学生用书P6)[处理建议] 利用三角函数的定义求解,其中第(3)小题要引导学生在角的终边上找到适当的点,可以通过一些特殊的已知的三角函数值来找点的坐标,进而求出它的三角函数值.[规范板书] 解(1)∵ 当α=0时,x=r, y=0, ∴ sin0=0, cos0=1, tan0=0;(2) ∵ 当α=π2时,x=0, y=r, ∴ sinπ2=1, cosπ2=0, tanπ2不存在;(3) 在角2π3的终边上取点P(-1, √3),则r=√(-1)2+(√3)2=2,∴ sin2π3=√32, cos2π3=-12, tan2π3=-√3.[题后反思] 求已知角的三角函数值,关键在于在角的终边上找到一个点,在找点的坐标时,要根据初中所学的一些特殊的锐角的三角函数值来确定,然后再根据定义求三角函数值.[6]【例3】(教材第14页例2)确定下列三角函数值的符号:(1) cos7π12; (2) sin(-465°); (3) tan11π3.[7](见学生用书P6)[处理建议] 先确定角所在的象限,然后根据不同象限角的三角函数值的正、负进行判断.[规范板书] 解(1) ∵ 7π12是第二象限角,∴ cos7π12<0;(2) ∵ -465°=-2×360°+255°,即-465°是第三象限角,∴ sin(-465°)<0;(3) ∵ 11π3=2π+5π3,即11π3是第四象限角,∴ tan11π3<0.[题后反思] 正确地确定角所在的象限,是处理这类问题的关键.*【例4】若sinα<0且tanα>0,确定α是第几象限角.[8][处理建议] 让学生先回忆三角函数值在四个象限(包括在坐标轴上)的符号规律.[规范板书] ∵ sinα<0, ∴ α是第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上;又tanα>0, ∴ α是第一、三象限角.综上可得α是第三象限角.[题后反思] 本题的易错点在于由sinα<0得出α是第三、四象限角,而忽略掉它的终边还有可能在y轴的负半轴上,从而导致解题不完善.四、课堂练习1. 已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=1713.2. 若sinθcosθ<0,则角θ的终边在第二、四象限.3. (教材第15页练习第4题)设α是三角形的一个内角,在sinα,cosα, tanα, tanα2中可能取负值的是cosα, tanα.4. 已知角α的终边过点(3x-9, x+2),且cosα≤0, sinα>0,则x的取值范围是(-2, 3].提示由cosα≤0, sinα>0得{3x-9≤0,x+2>0,故-2<x≤3.五、课堂小结1. 任意角的三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号规律.2. 重视数形结合思想、类比思想在分析问题和解决问题中的作用.第4课时任意角的三角函数(2)教学过程一、问题情境在前面的学习中,我们知道,角α的三角函数值与角的终边上的点P(x, y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.二、数学建构(一) 生成概念问题1 在角α的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢?(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.问题2 在单位圆中,角α的正弦值、余弦值分别是多少?(引导学生得到sinα=y,cosα=x)问题3 x, y分别是角α的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)问题4 我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角α的余弦值、正弦值呢?(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)(图1)结合图1,进行如下思考:当角α的终边不在坐标轴上时,若x>0,则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.问题5 在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).(二) 理解概念1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的.2. 当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.问题6 引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应?通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sinα=MP, cosα=OM.我们把有向线段MP,OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.问题7 类似地,我们能引进正切线的概念吗?(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)由于tanα=yx ,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让yx=?1=?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).(图2)当角α终边在y轴的右侧时,在角α终边上取点T(1, y'),则tanα=y'1=y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角α终边在y轴的左侧时,在角α终边的反向延长线上取点T(1, y'),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角α的终边上,故有tanα=-y'-1=y'=AT.因此把有向线段AT叫做角α的正切线.[3]当角α终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.(图3)特殊情况:① 当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1;② 当角α的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.三、数学运用【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1) π3; (2) 5π6; (3) -2π3; (4) -13π6.[4](见学生用书P7)[处理建议] 可让学生参见教材P13图128的作法.[规范板书] 解(例1)图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.[题后反思] 作三角函数线分三步:①先画出单位圆,柱注点A(1, 0);②准确作出角α的终边,找到角α的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角α的终边(或角α的终边的反向延长线)于点T;③写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.【例2】比较下列各组三角函数值的大小:(1) sin35°, sin55°; (2) cos 3π5, cos 4π5; (3) tan1, tan2.[5](见学生用书P8) [处理建议] 引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小. 解 (1)sin35°<sin55°; (2) cos 3π5>cos 4π5; (3) tan1>tan2.[题后反思] 三角函数线是有方向的,与x 轴、y 轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.问题1 从例2中,我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间[0, 2π]上的单调性吗?问题2 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间(-π2,π2)上的单调性吗? 问题3 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗?(让学生自主探究,一方面是对例题的加深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)【例3】 利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合: (1) sin α=12; (2) cos α=√22; (3) tan α=√3.[6](见学生用书P8)[处理建议] 由学生作出相应的三角函数线,互相之间进行讨论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.(例3)[规范板书] 解 (1) 作出如图所示的图形,则根据图形可得α|α=2k π+π6或α=2k π+5π6, k∈Z;(2)α|α=2k π±π4, k∈Z(图略);(3) {α|α=kπ+π3, k ∈Z}(图略).[题后反思] 要提醒学生注意正弦线平行于y 轴或在y 轴上,而余弦线在x 轴上,这是此题的易错点. 变式 利用单位圆写出符合不等式cos α≥-12的角α的集合.[7] [处理建议] 引导学生正确作图.[规范板书] 解 作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角α的集合为α|2k π-2π3≤α≤2k π+2π3,k∈Z.(变式)。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第8课时 1.2.3
第八课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（2）【教学目标】一、知识与技能：(1) 理解并掌握诱导公式五、六；(2) 能熟练掌握诱导公式，并能进行简单的三角函数式的求值、化简及论证二、过程与方法通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
三、情感态度价值观：通过诱导公式的应用，使学生认识到事物之间的相互联系关系。
教学重点难点： 理解并掌握诱导公式。
【教学过程】一、复习引入1、回顾四组诱导公式2、课前练习：（1）已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
（2）已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值 （3）化简,其中角α在第二象限二、新课讲解：1、问题：角22ππαααα+-与，与的终边有怎样的位置关系？ 由三角函数的定义可以得到公式五 公式六说明：（1）公式的记忆原则是__________________________________(2)你能猜想角32παα±与的诱导公式吗？归纳诱导公式总口诀：________________________步骤：三或四三、例题分析：例1、已知： 00001cos(75),18090,cos(15)3ααα+=-<<--且求的值。
例2、的值。
求)4(cos )4(cos 22απαπ++-例3、)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证：例4、化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-例5、已知函数()()Z n n n f ∈=,6sin π,求值： （1）()()()()102321f f f f ++++ ；（2） ()()()()101531f f f f ⋅⋅⋅⋅三、课堂小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用-含答案
[例1] 如图所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[精解详析] 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA |＝|OC |cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB |＝|OC |sin 30°＝12×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. [一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27. 答案：272．在水流速度为4 3 km/h 的河中，一艘船以12 km/h 的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向．解：如图，设AB 表示水流速度，AC 表示船行驶的实际速度，以AB 为一边，AC 为一对角线作平行四边形ABCD ，则AD 就是船在静水中的航行速度．∵|AB |＝4 3.|AC |＝12，∴|AD |＝|BC |＝83，tan ∠ACB ＝4312＝33， ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∠BAD ＝120°.故船在静水中的航行速度大小为8 3 km/h ，与水流方向夹角为120°.[例2] 如图，在等腰直角△ABC 中，角C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .[思路点拨] 欲证AD ⊥CE ，即证AD ·CE ＝0.由于已有CA ·CB ＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[精解详析] 法一：记CA ＝a ，CB ＝b ， 则AB ＝b －a ，且a ·b ＝0，|a |＝|b |. 因为AD ＝CD －CA ＝12b －a ，CE ＝AE －AC ＝23(b －a )＋a ＝23b ＋13a ，所以AD ·CE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋13a ＝13b 2－13a 2＝0.可得AD ⊥CE .法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，则C (0,0)，A (2,0)，B (0,2)， 因为D 是CB 的中点，则D (0,1)． 所以AD ＝(－2,1)，AB ＝(－2,2)又CE ＝CA ＋AE ＝CA ＋23AB ＝(2,0)＋23(－2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43， 所以AD ·CE ＝(－2,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43＝(－2)×23＋43＝0，因此AD ⊥CE .[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算； (2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的三条________的交点．解析：由OA ·OB ＝OB ·OC 得OB ·(OA －OC )＝0， 即OB ·AC ＝0，所以OB ⊥AC .同理，OC ⊥AB ，OA ⊥BC .所以O 为三条高的交点． 答案：高4.已知：如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高，且相交于点O ，若DG ⊥BE 于G ，DH ⊥CF 于H ，求证：GH ∥EF .证明：设OA ＝λOD (λ≠0)，∵DG ⊥BE ，AE ⊥BE ，∴DG ∥AE ，同理DH ∥AF ， 则AE ＝λDG ，AF ＝λDH ，∴EF ＝AF －AE ＝λ(DH －DG )＝λGH . ∴GH ∥EF ，又∵GH ，EF 没有公共点，∴GH ∥EF .[例3] 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴上的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA ·AM ＝0，AM ＝－32MQ ，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] 先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM ，MQ ，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．[精解详析] 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点， 设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )， ∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，0，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∵PA ·AM ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫3，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y ＝0.∴3x －34y 2＝0， ∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．5．过点M (2,3)且平行于向量a ＝(2,3)的直线方程为________．解析：设P (x ，y )是所求直线上的任意一点(M 除外)，则MP ＝(x －2，y －3)． ∵该直线平行于向量a ＝(2,3)， ∴2(y －3)＝3(x －2)即3x －2y ＝0. 又点M (2,3)在直线3x －2y ＝0上， 故所求直线方程为3x －2y ＝0. 答案：3x －2y ＝06．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA ＝2AN 得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.1．向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．2．利用向量研究平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．向量在解析几何中的应用利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝(1，k)或c＝(－B，A)为直线l的方向向量．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋c2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，则n1·n2＝0⇔n1⊥n2⇔l1⊥l2.课下能力提升(二十二)一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________.解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F 1＋F 2＋F 3＝0，设F 3＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋x ＝0，1＋3＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－4，故F 3＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)4．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力都为|F |，夹角为θ，若|F |＝|G |，则θ的值为________．解析：作OA ＝F 1，OB ＝F 2，OC ＝－G ，则OC ＝OA ＋OB ，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°. 答案：120°5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点， ∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3.∴OA ·OB ＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ， 由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4， 则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12.所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6.故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝90°，CD 是直角三角形ABC 的角平分线，求CD 的长．解：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则CA ＝(0，－3)，CB ＝(4，－3)，|CA |＝3，|CB |＝42＋－2＝5.设D (x,0)，则CD ＝(x ，－3)， 又∵CD 是直角三角形ABC 的角平分线，∴CD ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫CA |CA |＋CB |CB |＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤，－3＋，－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ5，－8λ5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ5＝x ，－8λ5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，λ＝158，CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，故CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＝352，∴CD 的长为352.8．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a 公里/小时时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a . 设实际风速为v ，那么此人感到的风速为v －a ，如图所示，设OA ＝－a ，OB ＝－2a ，∵PO ＋OA ＝PA ，∴PA ＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．∵PO ＋OB ＝PB ，∴PB ＝v －2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB .由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ， 从而△POB 为等腰直角三角形， ∴PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ， ∴实际为风速是2a 的西北风．。
精选推荐2018高中数学苏教版课本回归：2 必修2课本题精选(教师版)
课本回归2 必修2课本题精选一、填空题1．（必修2 P69复习题2）三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定______个平面．解析 三条直线不共面时，共可确定3个不同的平面．2．（必修2 P55练习5）如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于 ．解析 设圆锥底面半径为x ，则12π2π2x r =⨯，即12x r =3．（必修2 P96习题2.1(2)1）过点(3,0)A 与直线250x y +-=垂直的直线l 的方程为 ．解析 设直线l 的方程为20x y m -+=，把点(3,0)A 代入得3m =-，故所求直线方程为230x y --=.4．（必修2 P128复习题7）若直线22x ay a +=+与直线1ax y a +=+平行，则实数a 的值为 ．解析 由两直线平行有21a =，即1a =±，经检验当1a =-时两直线重合，则所求实数1a =.5．（必修2 P111习题2.2(1)7）过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程为 ．解析 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意，得41604652022022E F D E F D E⎧⎪++=⎪+++=⎨⎪⎪-+-=⎩,解得828D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故所求圆的一般方程为228280x y x y +---=，即圆的标准方程为22(4)(1)25x y -+-=6．（必修2 P112A 拓展12）已知点 (,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12,那么点M 的坐标满足什么关系 ． 解析12=,解得22(1)4x y ++=.7．（必修2 P129复习题22改编）设集合{}22(,)|4M x y x y =+≤，{}222(,)|(3)(4)(0)N x y x y r r =-+-≤>，当MN φ≠时，则实数r 的取值范围是 ． 解析 MN φ≠即圆224x y +=与圆22(3)(4)x y r-+-=有公共点或在22(3)(4)x y r -+-=内部，则有3r ≥.8．（必修2 P117思考运用11）已知圆的方程是222x y r +=，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程 ． 解析 200x x y y r += 二、解答题9．（必修2 P70复习题17）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点． 求证：（1）1BD ∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面1AB C ．证明：（1）连结BD ，BD 与AC 交于点O ，连结OE∵ O ，E 分别是BD 和DD 1的中点， ∴ EO ∥BD 1．又BD 1⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， ∴1BD ∥平面EAC （2）∵ 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1， ∴DD 1⊥平面ABCD ， ∴ DD 1⊥AC ． ∵AC ⊥BD ．又1DD BD D =I ，∴AC ⊥平面DD 1B ，∴ BD 1⊥AC ∵EO ∥BD 1∴ EO ⊥AC ．同理可证EO ⊥AB 1．又1AC AB A =I ，∴EO ⊥平面1AB C ∵ OE ⊂平面EAC ∴平面EAC ⊥平面1AB C ． 10．（必修 2 P129复习题27）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，30(0)OB y x +=≥,过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点,A B .(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；(2)当AB 的中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程.解：(1)设(,)A a a ，则(2,)B a a --，有)3()0a a -+-=，解得1a ，故1A 111)A ，则直线AB=，即21)20x y +-=；(2) 设(,)A a a，,)B b -,则13,2201a b a baa ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）或 3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故所求直线AB =，即3(330x y --= 11．（必修2 P70复习题18）三棱柱ABC C B A-111中，侧棱1AA ⊥底面ABC .CB AC ⊥，D 为AB 中点，1=CB ，3=AC ，1A A =（1）求证：//1BC 平面CD A 1；（2）求三棱锥11C A DC -的体积. 解（1）证明：连接1AC ，设E C A AC =11 ，连接DE∵ABC C B A -111是三棱柱，侧棱1AA ⊥底面ABC .且31==AA AC∴C C AA 11是正方形，E 是1AC 中点， 又D 为AB 中点 ∴ED ∥1BC 又⊂ED 平面CD A 1，⊄1BC 平面CD A 1 ∴//1BC 平面CD A 1（2）在平面ABC 中过点D 作AC 的垂线，交AC于H .由于底面ABC ⊥面11ACC A ，且AC 为两平面交线，∴DH ⊥面11ACC A .△ABC 中，2AB ==，所以30BAC ∠=o，且1AD =.在△ADC 中，1sin 302HD AD ==o由于132AC C S =V ，所以111113133224D AC C AC C V DH S -=⋅⋅=⋅⋅=V ∴由等积法可得11114C A DCD AC C V V --==. 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝t (1＜t ＜2)上一点． （1）已知t ＝43． 错误！未找到引用源。
2019高中数学苏教版课本回归：4必修4课本题精选(教师版)
课本回归 4必修 4 课此题优选一、填空题1．（必修 4 P23 习题 18）若角的终边经过点 P(4a, 3a)(a0)，则 sin_____ .分析 OP5 a ,sin3.51, 则 sin(52．（必修 4， P23 习题 17）已知 sin( x6)x) sin 2 (x) =_______.463分析sin(5x) sin 2 (x) sinxsin 2x66362sin x6cos 2 x61 15 19． .4 16163．（必修 4， P40 练习 3）把函数 ysin(2x ) 的图像向右平移个单位长度，再将所36得图像上的全部点的横坐标变成本来的1倍（纵坐标不变） ，则所得的图像的函数分析式为2___________.分析ysin( 2x) 的图像向右平移6 个单位长度得ysin 2 x6，再将33所得图像上的全部点的横坐标变成本来的1倍（纵坐标不变） ysin 4x .24．（必修 4， P89 习题 15）设 a=(x,3),b= 2,1 ,若 a, b 夹角为钝角，则x 的取值范围为____________.分析 由 ab<0 及 ab0 得 x3且 x6.25． (必修 4， P98 习题 20) 设 a,b,c 都是单位向量，且ab=0，则（ c-a ）（ c-b ）的最小值为______________.分析 利用坐标法得： 12 .（改编）2 cos10oo____________ .6． 必修 4 ，P110 例题 5 cos 20otan 20分析2 cos10o tan 20o2 cos10osin 20o2 cos10o sin 20 ocos 20ocos20ocos20 ocos 20o2cos(30o20o ) sin 20 ocos 20o37． (必修 4， P87， 例 4)在ABC 中，设 AB (2,3), AC (1,k ) ，且 ABC 是直角三角形，则 k 的值为 _____________________ .分析 若∠ A=90°，则 ABAC ，于是 2 13 k 0 ，解得 k2 ;3若 ∠ B=90 ° ， 则ABBC ，又BC AC AB1,k3 , 故 得2(1)3( k 3) 0解得 k11; 若∠ C=90°，则 ACBC ，故1 ( 1) k (k 3)3解得 k313 ；所求 k 的值为2; 或 11;或313 .23328．（ 必修 4 ， P72 习题 10）如图，设点 P,Q 是线段 AB 的三平分点，若 OA a, OB b ，试用 a, b 表示向量 OP__________,OQ___________. .BQPAO分析OP OA AP OA1AB OA1(OB OA)2OA1OB3333OQ OA AQ OA2AB OA2(OB OA) 1OA 2OB33 3 3二、解答题9． 必修4 ，P93习题 7 ）已知向量OA,OB, OC 知足条件 OA OB OC0 ，且（|OA| |OB| |OC|1 ，求证：⊿ ABC 是正三角形 .1，则 (OAOB)221证明：设 OA ，OB ，OC 的长为OC 所以 OA OB，2| OA OB |2 3即| AB|3，同理， |AC| |BC|3 ,所以⊿ ABC 是正三角形 .7 210．（ 必修 4 ， P117 ，习题 2 改编 ） 已知 α，β∈ (0， π)，且 tan α＝ 2， cos β＝－ 10 .2 α的值； (2) 求 2α－ β的值． (1) 求 cos分析 (1) 由于 tan α＝ 2，所以sin α＝ 2，即 sin α＝ 2cos α.cos α2224 21223又 sin α＋ cos α＝ 1，解得 sin α＝ 5， cos α＝ 5.所以 cos2α＝ cos α－ sin α＝－ 5.π 3 π(2)由于 α∈ (0，π)，且 tan α＝2，所以 α∈ 0， 2 .又 cos2α＝－ 5<0，故 2α∈ ， π ，2得 sin β＝ 2，β∈ π 4× － 7 2 － －3 ， π.所以 sin(2α－ β)＝ sin2αcos β－ cos2αsin β＝10 25 10 5× 2＝－ 2.又 2α－ β∈ π π π－ ， ，所以 2α－ β＝－ .1022 24（8）求值： sin10 oocos40 o . 11． 必修 4， P124 习题 cos20分析 sin10o cos20o cos40ocos20o cos40o cos80o sin20o cos20o cos40o cos80osin 20o1sin 40ocos 40ocos80o1sin80 o cos80o1sin160o1 248sin 20osin 20osin 20 o812. （ P42 例2 改编）如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的开端地点在最低点处.（ 1）试确立在时辰 t （ min ）时点 P 距离地面的高度；（ 2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超出85 m?分析（ 1）解：设点 P 离地面的距离为 y ，则可令 y ＝ Asin(ωt ＋ φ)＋ b.由题设可知 A ＝ 50， b ＝ 60.2π2π2π 又 T ＝ ω＝ 3，所以 ω＝3 ，进而 y ＝ 50sin( 3 t ＋ φ)＋ 60.2ππ再由题设知 t ＝ 0 时 y ＝ 10，代入 y ＝ 50sin( 3 t ＋ φ)＋ 60，得 sin φ＝－ 1，进而 φ＝－ 2 .2π (t ≥ 0).所以， y ＝ 60－ 50cos t3（ 2）要使点 P 距离地面超出2π 2π 1 . 85 m ，则有 y ＝ 60－ 50cos t ＞ 85，即 cos 3t ＜－23于是由三角函数基天性质推得 2π 2π 4π＜ ，即 1＜ t ＜ 2.3 3 t ＜ 3所以，在摩天轮转动的一圈内，点 P 距离地面超出 85 m 的时间有 1分钟.。
苏教版2018-2019学年高中数学必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质 -含答案
第1课时 三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋k ·2π)＝sin x (k ∈Z )． (2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋k ·2π)＝cos x (k ∈Z )． 上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？ 提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y ＝tan x 也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y ＝sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝sin 3x ，y ＝sin x 2，y ＝sin x3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3；(4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解．[精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π.(2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3.(3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π.(4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |.[一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1. [一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2.答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈Z (k ∈Z )．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立．所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z )．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ， 即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z }． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z } 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z .借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3；(2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R )和y ＝cos x (x ∈R )的单调区间．[精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z . ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z . 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数， 所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小．解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小．解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π12＋k π(k ∈Z )，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 有最小值－9，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2，在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2.答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6；(2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]．即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z .问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大．问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？ 提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1.[思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集． [精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z }．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z )相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z )．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________．解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )[例2] 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间．[思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R .令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x 的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z )．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z )．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， ta n 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4 ＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5. 又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数，且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1. 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0.又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝ sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tanx (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4；(2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z )，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z )，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z )．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3，∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3.由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立，即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(十) 正切函数的图象和性质
课下能力提升(十) 正切函数的图象和性质一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．3．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1.4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为________个． 5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan 2x ＋1.7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．答 案1．解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 答案：03．解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0.又b tan θ＞b 0，∴b ＞1， 又atan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.答案：①4.解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sinx ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点． 答案：35．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 6．解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z)， 解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z)，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z)，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z)． 7．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3，∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立， 即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
2018版高中数学必修四学案34份苏教版27精汇教案
学习目标 .理解积化和差、和差化积、全能公式的推导过程 .掌握积化和差、和差化积、全能公式的结构特色 .能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一积化和差与和差化积公式思虑如何用 (α＋β)， (α－β)表示αβ和αβ？思虑若α＋β＝θ、α－β＝φ，则如何用θ、φ表示α、β？梳理 ()积化和差公式αβ＝ .αβ＝ .αβ＝ .αβ＝ .()和差化积公式α＋β＝ .α－β＝ .α＋β＝ .α－β＝ .知识点二全能代换公式思虑联合前方所学倍角公式，能否用表示α？梳理全能公式()α＝ .()α＝ .()α＝ .知识点三半角公式思虑我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用×替代α，结果如何？思虑依据上述结果，试用α，α表示，，.思虑利用α＝和倍角公式又能获得与α，α如何的关系？梳理半角公式()＝ .()＝ .()＝ .特别提示： ()半角公式中，根号前方的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确立．()半角与倍角相同，也是相对的，即是α的半角，而α是α的半角．种类一积化和差与和差化积公式例求以下各式的值．() °；() ·°·°°；() °＋°°.反思与感悟在运用积化和差公式时，假如形式为异名函数积时，化得的结果应用 (α＋β)与 (α－β)的和或差；假如形式为同名函数积时，化得的结果应用 (α＋β)与 (α－β)的和或差．追踪训练化简：( °－θ)·θ·(°＋θ)．例已知α－β＝，α－β＝－，求 ( α＋β)的值．反思与感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有侧重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，假如是一正弦与一余弦的和或差，可先用引诱公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．追踪训练求°＋°＋°°的值．种类二利用全能公式化简求值例 ()已知θ＝－，而且°＜θ＜°，求的值；()已知＝－，求θ＋θ的值．反思与感悟 () 全能公式是三角函数中的重要变形公式，“ 倍角” 的正弦、余弦、正切都可以表示为“ 单角”的正切的有理式的形式．()全能公式左右两边的角的取值范围不一样，在解三角函数方程时，要防备漏解．追踪训练已知＝，求θ－θ的值．种类三三角恒等式的证明例求证：＝ .反思与感悟证明三角恒等式的本质是除掉等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或更改论证．对恒等式的证明，应依据化繁为简的原则，从左侧推到右侧或从右侧推到左侧，也可以用左右归一，更改论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“” 的代换法、公式变形法，要娴熟掌握基本公式，擅长从中选择奇妙简捷的方法．追踪训练证明：＝＋ .．若α＝，α∈ ( ，π)，则的值为．．已知α－β＝，且α＋β＝，则 (α＋β)＝ .．已知－＝－，°＜α＜°，则＝.．化简： (＜α＜π)．．本节要点学习了积化和差公式、和差化积公式及全能公式等，必定要清楚这些公式的形式特色．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．．三角恒等式的证明种类() 绝对恒等式：证明绝对恒等式要依据等式两边的特色，化繁为简，左右归一，经过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．() 条件恒等式：条件恒等式的证明要仔细观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择合适的门路，常用代入法、消元法、两头凑法．答案精析问题导学知识点一思虑∵∴(α＋β)＋ (α－β)＝αβ，即αβ＝ [( α＋β)＋ (α－β)] ．同理得αβ＝ [( α＋β)－(α－β)] ．思虑α＝，β＝ .梳理()[( α＋β)＋ (α－β)][( α＋β)－(α－β)][( α＋β)＋(α－β)]－[( α＋β)－ (α－β)]()－知识点二思虑α＝＝＝，即α＝.知识点三思虑结果是α＝－＝－＝－.思虑∵＝，∴＝±，同理＝±，∴＝＝±.思虑＝＝＝，＝＝＝.梳理 () ±() ±() ±＝＝题型研究例解() °＝[( °＋°)＋( °－°)]＝( °＋°)＝.() ·°·°°＝－ [ °－ (－°)] ·°＝－°＋°°＝－°＋×( °＋°)＝－°＋°＋＝ .() °＋°°＝ [ °＋ (－°)] －[ °－ (－°)]＝－°－＋°＝.追踪训练解原式＝－θ·[°－ (－θ)]＝－θ＝θ＋θθ＝θ＋θ－θ＝θ.例解由于α－β＝，因此－＝ .①又由于α－β＝－，因此＝－ .②由于≠，因此由①② 得－＝－，即＝ .因此 (α＋β)＝＝＝＝ .追踪训练解原式＝( °＋°)－°·°＝( °·°)－ ( °－°)＝°－°＋＝－°＋＝ .例解 ()∵ °＜θ＜°，∴°＜＜°，∴＜.∵ θ＝＝－，∴＝，∴＝－.()∵＝－，∴ ＝－，∴ θ＝.又θ＝＝－，θ＝＝，∴ θ＋θ＝－＋＝ .追踪训练解∵ ＝，∴＝，∴ θ＝ .θ－θ＝θ－θ－＝－－＝－－＝－.例证明要证原式，可以证明＝.∵左侧＝＝＝＝θ，右侧＝＝θ，∴ 左侧＝右侧，∴ 原等式成立．追踪训练证明∵左侧＝＝＝＝＝＋＝右侧，∴ 原等式成立．当堂训练.－ .－生活不是等候风暴过去，而是学会在雨中载歌载舞,不要去考虑自己可以走多快，只要知道自己在不停努力向前就行，路对了，成功就不远了。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四 阶段质量检测(二) 平面向量-含答案
阶段质量检测(二) 平面向量 [考试时间：90分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________．2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________． 3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________． 5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN MN ―→＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.6．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________． 7．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．8．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.10．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．11．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .其中正确的是________．12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→的值为__________；DE ·DC 的最大值为________．14．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)中，AB＝(6,1)，CD＝(－2，－3)，若有BC∥DA，又有AC⊥BD，求BC的坐标．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，若OC＝m OA＋n OB (m，n∈R)，求mn的值．17.(本小题满分14分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)．(1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC .答 案1．解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)， 则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB |OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4. 答案：π48．解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC＝b＋12 a，因此OC＝13b＋16a.答案：13b＋16a9．解析：设AC与BD的交点为O，则AP·AC＝AP·2AO＝2AP2＋2AP·PO＝2×32＋0＝18.答案：1810．解析：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)e1·e2－2e22＝k＋(1－2k)cos 2π3－2＝2k－52.又a·b＝0，∴2k－52＝0，∴k＝54.答案：5 411．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．解析：cos θ＝a·b|a||b|＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12 .∴|a×b|＝2×2×12＝2.答案：213．解析：法一：以AB，AD为基向量，设AE＝λAB(0≤λ≤1)，则DE＝AE－AD＝λAB－AD，CB＝－AD，所以DE·CB＝λAB－AD·－AD)＝－λAB·AD＋AD2,＝－λ×0＋1＝1.又DC＝AB，所以DE·DC＝λAB－AD·AB＝λAB2－AD·AB,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE·DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，t 可得DE ·CB＝t ，－，－＝1，, DE ·DC ＝t ，－，＝t ≤1，,∴DE ·CB＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－515．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )， BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°， 又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n＝|OB ||OC |·cos∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3.17解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25， ∴x 2＋y 2＝25， 即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， 2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ， 则[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，整理得－ka 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)， 由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.①∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73. 20．解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k2＋32k， 当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。
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课本回归4 必修4课本题精选
一、填空题
1．（必修4 P23习题18）若角θ的终边经过点_____sin )0)(3,4(=≠-θ，则a a a P . 解析 3
5,sin 5
OP a θ==±. 2．（必修4，P23习题17）已知,4
1
)6
sin(=
+
π
x 则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ=_______.
2225sin()sin ()sin sin 6362611519sin cos 6641616x x x x x x ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-+-=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭解析 ．. 3．（必修4，P40练习3）把函数)3
2sin(π
+=x y 的图像向右平移
6
π
个单位长度，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2
1
倍（纵坐标不变），则所得的图像的函数解析式为___________.
解析 )3
2sin(π
+=x y 的图像向右平移6π个单位长度得sin 263y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的
2
1
倍（纵坐标不变）x y 4sin = . 4．（必修4，P89习题15）设a =(x ,3),b =()2,1-,若a , b 夹角为钝角，则x 的取值范围为____________.
解析 由ab <0及a λ≠b ()0λ<得62
3
-≠<
x x 且 . 5．(必修4，P98习题20) 设a ,b ,c 都是单位向量，且ab =0，则（c -a ）（c -b ）的最小值为______________.
解析
利用坐标法得：1 .
6．（必修4 ，P110 例题5 改编）.____________20tan 20cos 10cos 2=-o o
o
解析 o
o o o o o o o
o o 20cos 20sin 10cos 220cos 20sin 20cos 10cos 220tan 20cos 10cos 2-=
-=- 320cos 20sin )2030cos(2=--=o
o
o o
7．(必修4， P87， 例4)在ABC ∆中，设(2,3),(1,)AB AC k ==，且ABC ∆是直角三角
形，则k 的值为_____________________ .
解析 若∠A =90°，则AB AC ⊥，于是0312=⨯+⨯k ，解得;3
2-=k 若∠B =90°，则
AB BC ⊥，又()13BC AC AB ,k ,=-=--故得
0)3(3)1(2=-⨯+-⨯k
解得;3
11
=
k 若∠C =90°，则AC BC ⊥，故 0)3()1(1=-+-⨯k k 解得2133±=
k ；所求k 的值为;32-或;311或2
13
3±.
8．（必修4 ，P 72 习题10）如图，设点P,Q 是线段AB 的三等分点，若b OB a OA ==,，试用b a ,表示向量._____________,__________==OQ OP .
解析
OB OA OA OB OA AB OA AP OA OP 31
32)(3131+=-+=+=+=
3
231)(3232+=-+=+=+= 二、解答题
9．（必修 4 ，P 93习题7）已知向量OC OB OA ,,满足条件0=++OC OB OA ，且
1||||||===OC OB OA ，求证：⊿ABC 是正三角形.
证明：设O A ，O B ，O C 的长为1，则2
2
)(=+所以2
1-
=⋅，3||2=-即3||=，同理，3|||==AC ,所以⊿ABC 是正三角形.
10．（必修4 ，P117 ，习题2改编）已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－
72
10
. (1) 求cos 2α的值；(2) 求2α－β的值．
解析 (1) 因为tan α＝2，所以sin α
cos α
＝2，即sin α＝2cos α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15.所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－3
5
.
(2) 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.又cos2α＝－3
5<0，故2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 得sin β＝210，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭
⎫
－35×
210＝－22.又2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4
. 11．（必修4，P 124 习题8）求值： .40cos 20cos 10sin o o o
解析o
o
o o o o
o
o
o
o
o
20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 80cos 40cos 20cos 40cos 20cos 10sin ==
o
o o o o o o 20sin 80cos 80sin 4120sin 80cos 40cos 40sin 21==8120sin 160sin 81==o
o
12.（P42例2改编）如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处. （1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m?
解析（1）解：设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b . 由题设可知A ＝50，b ＝60.
又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π
3t ＋φ)＋60.
再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π
2. 因此，y ＝60－50cos 2π
3t (t ≥0).
（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－1
2. 于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π
3，即1＜t ＜2. 所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过
85 m 的时间有1分钟.。