2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课后作业理
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第4讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
2.定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝_____a_______ (k 为常数).
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝_____a________a___________.
a
c
f(x)dx
(3)bf(x)dx＝_____a__________＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b).
解析 (1)∵3f(x)dx＝3(1＋x2)dx＝232＜430，∴当 k≥2 时，
2
2
3f(x)dx＜430，∴k＜2，∴3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(x2＋1)dx＝430，
k
k
k
2
化简得 k2＋k＝0，解得 k＝0 或 k＝－1.
(2)因为 f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以 f′(x)＝3x2＋2xf′(1).所以 f′(1)
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt( √ )
a
a
(2)若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx( √ )
－a
0
(3)若 f(x)是奇函数，则a f(x)dx＝0( √ ) －a
(4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成的面积是1(x2－x)dx.( × ) 0
(2)由定积分的几何意义知，3 9－x2dx 是由曲线 y＝ 9－x2， 0
直线 x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积.故3 9－x2dx＝ 0
π·4 32＝9π 4 .
答案
(1)C
9π (2) 4
规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下 几点 ①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间 的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号 再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 定积分与微积分基本定理课件 理
(6)若 f(x)是连续的奇函数，则∫a－a f(x) dx＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2.∫10 1－x2dx＝________. 答案：π4 3．计算：
答案：(1)38π2＋1 (2)e2－e－2ln 2
[典题 1] 求下列定积分：
[探究 1] 若将本例(1)中的“－x2＋2x”换为“|2x－1|”， 如何求解？
设阴影部分面积为 S.
－bf(x)dx
(1)S＝bf(x)dx； (2)S＝
a
；
acΒιβλιοθήκη f(x)dx－bf(x)dx
(3)S＝
a
c
；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
5．微积分基本定理
如果
F′(x) ＝ f(x) ， 且
f(x)
在
[a
，
b]
上
可
积
，
则
b
f(x)dx
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
() A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下
沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则
得交点 B(3，－1)．
故所求面积 S＝∫10 x＋13xdx＋∫312－x＋13xdx ＝23x32＋16x2|10＋2x－13x2|31 ＝23＋16＋43＝163.
答案：163
[典题 3] (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理 理(2021年最新整理)
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第三章导数及其应用 3。
3 定积分与微积分基本定理理1．定积分的概念在ʃ错误!f(x）d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃ错误!kf（x)d x＝kʃ错误!f（x）d x(k为常数）；（2）ʃb，a[f1（x)±f2（x)］d x＝ʃ错误!f1（x）d x±ʃ错误!f2(x)d x;(3)ʃb，a f（x）d x＝ʃ错误!f（x）d x＋ʃ错误!f(x)d x（其中a<c<b）．3．微积分基本定理一般地,如果f（x)是区间[a，b］上的连续函数,且F′（x）＝f(x)，那么ʃb，a f(x)d x＝F（b)－F（a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b）－F（a)记作F(x)|错误!,即ʃ错误!f（x）d x＝F(x）｜错误!＝F(b）－F （a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x）在闭区间[－a，a]上连续，则有（1）若f(x）为偶函数,则ʃ错误!f（x）d x＝2ʃ错误!f（x)d x。
北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理
一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件 理
D．不存在
解：如图，2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝13x3|10＋2x－12x2|21
＝13＋4－2－2＋12＝56.
故选 C.
【点拨】对分段函数 f(x)求定积分，关键是找到分段点 c 后利用定积分
性质bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx 求解．
a
a
c
12/11/2021
12/11/2021
解：由 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)＝0，得 t＝1 或 3(舍
去)．所以路程 s＝01(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|10＝43(m)．故
填43.
【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对 速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
12/11/2021
(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围 成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
12/11/2021
(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图 形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微 积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理 意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
12/11/2021
a
(3)abf(x)dx＝____________________ (其中 a＜c＜b)．
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐 的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求 定积分方法．
[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1； 解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
点评：利用定积分求平面图形的面积时，关 键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差，还要注意待求面积的平 面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的 正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
高三一轮 第三章3.3 定积分与微积分基本定理
思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积 的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二 定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx； 解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二 教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析 令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续
2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理理
2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理理一、选择题1．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603m B.803 m C.403m D.203m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A2．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛2－1f (x )d x 等于( )．A ．3B ．4C.72 D.92解析 f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－xx ≥0，2＋x x <0，∴⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示， 则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )． A.13B.43C ．2D.83解析 由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ×－1＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－2(－x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43.答案 B4．已知a ＝∑i ＝1n 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 5．下列积分中①⎠⎛1e1xd x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛24－x2πd x ； ④∫π20cos 2x2cos x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e1xd x ＝ln xe 1＝1，②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0， ③⎠⎛24－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1， ④∫π20cos 2x 2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D 二、填空题7．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J8．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案 32－ln 29．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若⎠⎛k3f (x )d x ＝403(k <2)．则k ＝________. 解析 ⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1.答案 0或－110．设f (x )＝x n＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且⎠⎛12f (－x )d x ＝m ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析 因为f (x )＝x n＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以⎠⎛12f (－x )d x＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪13x 3－⎭⎪⎫12x 221＝56＝m 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1. 答案 1 三、解答题11．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f xx d x 的值． 解 ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪10＝12a ＋b . ∴12a ＋b ＝5.① 又⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪10＝13a ＋12b . ∴13a ＋12b ＝176.② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， ∴⎠⎛12f x x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21＝4＋3ln 2.12．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.13．在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.14. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)． (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx 得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋10[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ＋12x 2－x 3t ＋10＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－3t ＋12x 22t ＋1＝(t ＋1)3－6t ＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ， 则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6.因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上． 过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)， 则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋13－6x 0＋2－m x 0－1，化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根． 设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6. 由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1； 由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减， 所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值； 当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值．因此，关于x 0的方程2x 3－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧g－1>0，g 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．。
高考数学一轮复习第3章导数及其应用4定积分与微积分基本定理课件新人教A版
确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即
得所求.
-23考点1
考点2
考点3
对点训练3(1)某物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物
体在
1
2
49
~6 s间的运动路程为
4
m.
1
(2)某物体受到与它运动方向相反的力F(x)= 10 ex+x的作用,则它
= ,故选 C.
3
解析
答案
-20考点1
考点2
考点3
(2)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D
关闭
三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是 (
)
由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则 D(2,1),设抛物线方程为
1
y2=2px(p>0),将 D(2,1)代入,可得 p= ,
4
∴y=±
1
2
.
∴所求阴影部分面积 S=2
A.
2
3
B.
4
3
2
0
1
2
2
dx=√2 ·3
C.
5
2
3
2
|20
8
3
8
= 3,故选 D.
D.
关闭
D
解析
答案
-21考点1
考点2
考点3
考点 3
定积分在物理中的应用
例3(1)从空中自由下落的一个物体,在第一秒末恰好经过电视塔
顶,在第二秒末物体落地.已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常
=1
i=1
f(ξi),
高考数学一轮复习 第3章 导数及应用 第4课时 定积分与微积分基本定理课件 理
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4．(2013·湖南)若Tx2dx＝9，则常数 T 的值为________． 0 答案 3
解析 ∵Tx2dx＝13T3＝9，T>0，∴T＝3. 0
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5．若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝________．
S＝S△OBD－S2，
其中 S2 是由线段 BD，AD 及抛物线段 AB 所 围成的区域的面积．由于 D 的横坐标也是 2，又(x22) ′＝x，(x33－x22)′＝x2－x.故
S＝2(2x－x)dx－2(x2－x)dx＝x22|20－(x33－x22)|21＝2－(83－2)
0
1
＋(13－12)＝76.
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第八的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝bv(t)dt．
a
(3)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着 与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做 的功 W＝bF(x)dx．
a
基本定理．
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定积分的几何和物理应用 (1)①如图所示，由曲线 y1＝f1(x)，y2＝f2(x)(不妨设 f1(x)≥ f2(x)≥0)及直线 x＝a，x＝b(a<b)围成图形的面积为：
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②如图所示，在区间[a，b]上，若 f(x)≤0，则曲边梯形的面 积为：
1
1
＝(13x3＋x)|101＝342.
∴力对质点 M 所作的功为 342 J.
2021版高考数学一轮总复习第三章导数及应用题组训练18定积分与微积分基本定理理
2021版高考数学一轮总复习第三章导数及应用题组训练18定积分与微积分基本定理理1．若a>2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0，2)上恰好有( )A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点答案 B解析 ∵f′(x)＝x 2－2ax ，且a>2， ∴当x∈(0，2)时，f ′(x)<0， 即f(x)在(0，2)上是单调减函数． 又∵f(0)＝1>0，f(2)＝113－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．故选B. 2．函数y ＝x 2e x的图像大致为( )答案 A解析 因为y ′＝2xe x＋x 2e x＝x(x ＋2)e x，因此当x<－2或x>0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x为增函数；当－2<x<0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x>0，因此排除D ，故选A.3．函数f(x)＝12e x (sinx ＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[12，12e π2]B ．(12，12e π2)C ．[1，e π2] D ．(1，e π2)答案 A解析 f ′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e xcosx ，当0≤x≤π2时，f ′(x)≥0.∴f(x)是[0，π2]上的增函数．∴f(x)的最大值为f(π2)＝12e π2，f(x)的最小值为f(0)＝12.4．(2020·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x 2e x，当x∈[－1，1]时，不等式f(x)<m 恒成立，则实数m 的取值范畴为( ) A ．[1e ，＋∞)B ．(1e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 D解析 由f ′(x)＝e x(2x ＋x 2)＝x(x ＋2)e x，得当－1<x<0时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max ＝f(1)＝e ，则m>e.故选D.5．(2020·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯独的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范畴是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)答案 C解析 当a ＝0时，明显f(x)有两个零点，不符合题意．当a≠0时，f ′(x)＝3ax 2－6x ，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a>0时，2a >0，因此函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与(2a ，＋∞)上为增函数，在(0，2a)上为减函数，因为f(x)存在唯独零点x 0，且x 0>0，则f(0)<0，即1<0，不成立． 当a<0时，2a <0，因此函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，2a )和(0，＋∞)上为减函数，在(2a ，0)上为增函数，因为f(x)存在唯独零点x 0，且x 0>0，则f(2a )>0，即a·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a>2或a<－2，又因为a<0，故a 的取值范畴为(－∞，－2)．选C.6．f(x)是定义在R 上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf ′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A ．(－4，0)∪(4，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(0，4)答案 D解析 设g(x)＝xf(x)，则当x<0时，g ′(x)＝[xf(x)]′＝x ′f(x)＋xf ′(x)＝xf ′(x)＋f(x)<0，因此函数g(x)在区间(－∞，0)上是减函数．因为f(x)是定义在R 上的偶函数．因此g(x)＝xf(x)是R 上的奇函数，因此函数g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．因为f(－4)＝0，因此f(4)＝0，即g(4)＝0，g(－4)＝0，因此xf(x)>0化为g(x)>0.设x>0，不等式为g(x)>g(4)，即0<x<4；设x<0，不等式为g(x)>g(－4)，即x<－4，所求的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．故选D.7．(2020·衡水调研卷)已知函数f(x)＝alnx －bx 2，a ，b ∈R .若不等式f(x)≥x 对所有的b∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则实数a 的取值范畴是( ) A ．[e ，＋∞) B ．[e22，＋∞)C ．[e 22，e 2)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 由题意可得bx 2≤alnx －x ，因此b≤alnx －x x 2.由b∈(－∞，0]，故对任意的x∈(e ，e 2]，都有alnx －x x 2≥0，即alnx ≥x 对一切x∈(e ，e 2]恒成立，即a≥x lnx 对一切x∈(e ，e 2]恒成立．令h(x)＝x lnx ，则h ′(x)＝lnx －1（lnx ）2>0在x∈(e ，e 2]上恒成立，故h(x)max ＝e 22，因此a≥e22.故选B.8．(2020·湖南衡阳期末)设函数f(x)＝e x (x 3＋32x 2－6x ＋2)－2ae x－x ，若不等式f(x)≤0在[－2，＋∞)上有解，则实数a 的最小值为( ) A ．－32－1eB ．－32－2eC ．－34－12eD ．－1－1e答案 C解析 由f(x)＝e x (x 3＋32x 2－6x ＋2)－2ae x－x≤0，得a≥12x 3＋34x 2－3x ＋1－x 2e x .令g(x)＝12x 3＋34x 2－3x ＋1－x2ex ，则g ′(x)＝32x 2＋32x －3＋x －12e x ＝(x －1)(32x ＋3＋12ex )．当x∈[－2，1)时，g ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，故g(x)在[－2，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故g(x)min ＝g(1)＝12＋34－3＋1－12e ＝－34－12e ，则实数a 的最小值为－34－12e.故选C. 9．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为________． 答案 2 3解析 设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，正六棱柱的体积V ＝(6×34a 2)×h＝332×(9－h 24)×h＝332×(－h 34＋9h)．令y ＝－h 34＋9h ，则y ′＝－3h24＋9，令y ′＝0，得h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大． 10．已知函数f(x)＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范畴是________． 答案 (－∞，2ln2－2]解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x有解．令函数g(x)＝2x －e x ，则g ′(x)＝2－e x，令g ′(x)＝0，得x ＝ln2，因此g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，因此g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a 的取值范畴确实是函数g(x)的值域，因此，a ∈(－∞，2ln2－2]． 11．设l 为曲线C ：y ＝lnxx 在点(1，0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 答案 (1)y ＝x －1 (2)略解析 (1)设f(x)＝lnx x ，则f ′(x)＝1－lnxx 2. 因此f ′(1)＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x ≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g ′(x)＝1－f ′(x)＝x 2－1＋lnxx 2. 当0<x<1时，x 2－1<0，lnx<0， 因此g ′(x)<0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，lnx>0，因此g ′(x)>0，故g(x)单调递增． 因此g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x ≠1)． 因此除切点之外，曲线C 在直线l 的下方． 12．已知函数f(x)＝x 2－8lnx ，g(x)＝－x 2＋14x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范畴； (3)若方程f(x)＝g(x)＋m 有唯独解，试求实数m 的值． 答案 (1)y ＝－6x ＋7 (2)[2，6] (3)m ＝－16ln2－24解析 (1)因为f ′(x)＝2x －8x ，因此切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f(1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x)＝2（x ＋2）（x －2）x，又x>0，因此当x>2时，f ′(x)>0；当0<x<2时，f ′(x)<0. 即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减．又g(x)＝－(x －7)2＋49，因此g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f(x)与g(x)在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥2，a ＋1≤7，解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x 2－8lnx －14x ＝m ，令h(x)＝2x 2－8lnx －14x ，则原方程即为h(x)＝m.因为当x>0时原方程有唯独解，因此函数y ＝h(x)与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯独的交点． 又h ′(x)＝4x －8x －14＝2（x －4）（2x ＋1）x ，且x>0，因此当x>4时，h ′(x)>0；当0<x<4时，h ′(x)<0.即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0，4)上单调递减，故h(x)在x ＝4处取得最小值， 从而当x>0时原方程有唯独解的充要条件是 m ＝h(4)＝－16ln2－24.13．(2020·湖北四校联考)已知函数f(x)＝lnx －a(x －1)，g(x)＝e x. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)＝f(x ＋1)＋g(x)，当x>0时，h(x)>1恒成立，求实数a 的取值范畴． 答案 (1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a ，＋∞)．(2)(－∞，2]解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －a ＝1－axx(x>0)①若a≤0，对任意的x>0，均有f ′(x)>0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；②若a>0，当x∈(0，1a )时，f ′(x)>0，当x∈(1a ，＋∞)时，f ′(x)<0，因此f(x)的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a，＋∞)．综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a ，＋∞)．(2)因为h(x)＝f(x ＋1)＋g(x)＝ln(x ＋1)－ax ＋e x， 因此h ′(x)＝e x＋1x ＋1－a.令φ(x)＝h ′(x)， 因为x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝e x－1（x ＋1）2＝（x ＋1）2e x－1（x ＋1）2>0， 因此h ′(x)在(0，＋∞)上单调递增， h ′(x)>h ′(0)＝2－a ，①当a≤2时， h ′(x)>0，因此h(x)在(0，＋∞)上单调递增， h(x)>h(0)＝1恒成立， 符合题意；②当a>2时，h ′(0)＝2－a<0，h ′(x)>h ′(0)， 因此存在x 0∈(0，＋∞)，使得h ′(x 0)＝0， 因此h(x)在(x 0，＋∞)上单调递增， 在(0，x 0)上单调递减， 又h(x 0)<h(0)＝1，因此h(x)>1不恒成立，不符合题意． 综上，实数a 的取值范畴是(－∞，2]．(第二次作业)1．(2020·皖南十校联考)设函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋x －a －1(a∈R )． (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥0时，不等式f(x)≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 答案 (1)增区间为(0，1＋52]，减区间为[1＋52，＋∞)(2)略解析 (1)当a ＝－12时，f(x)＝lnx －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x)＝1x －x ＋1＝－（x －1－52）（x －1＋52）x，当x∈(0，1＋52)时，f ′(x)>0；当x∈(1＋52，＋∞)时，f ′(x)<0，因此f(x)在(0，1＋52]上是增函数；在[1＋52，＋∞)上是减函数．(2)令g(x)＝f(x)－x ＋1＝lnx ＋ax 2－a ，则g ′(x)＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x，因此当a≥0时，g ′(x)>0在[1，＋∞)上恒成立， 因此g(x)在[1，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0， 因此g(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即当a≥0时，不等式f(x)≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 2．(2020·福建连城期中)已知函数f(x)＝(a －12)x 2＋lnx (a∈R )．(1)当a ＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 的下方，求实数a 的取值范畴． 答案 (1)f(x)max ＝f(e)＝1＋e 22，f(x)min ＝f(1)＝12(2)当a∈[－12，12]时，在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 的下方解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝12x 2＋lnx ，f ′(x)＝x ＋1x ＝x 2＋1x.当x∈[1，e]时，f ′(x)>0，因此f(x)在区间[1，e]上为增函数，因此f(x)max ＝f(e)＝1＋e 22，f(x)min ＝f(1)＝12.(2)令g(x)＝f(x)－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋lnx ，则g(x)的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 的下方等价于g(x)<0在区间(1，＋∞)上恒成立．g ′(x)＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝（2a －1）x 2－2ax ＋1x ＝（x －1）[（2a －1）x －1]x .①若a>12，令g ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2>x 1＝1，即12<a<1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x)>0，现在g(x)在区间(x 2，＋∞)上是增函数，同时在该区间上有g(x)∈(g(x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，不合题意． ②若a≤12，则有2a －1≤0，现在在区间(1，＋∞)恒有g ′(x)<0， 从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数， 要使g(x)<0在此区间上恒成立， 只需满足g(1)＝－a －12≤0，即a≥－12，由此求得实数a 的取值范畴是[－12，12]．综合①②可知，当a∈[－12，12]时，在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax的下方．3．(2020·西城区期末)已知函数f(x)＝(x ＋a)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x －a)－x 2的零点个数，并说明理由． 答案 (1)单调递减区间为(－∞，－a －1)，单调递增区间为(－a －1，＋∞) (2)仅有一个零点解析 (1)因为f(x)＝(x ＋a)e x，x ∈R ， 因此f ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x. 令f ′(x)＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f(x)和f ′(x)的变化情形如下：故(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点． 理由如下：由g(x)＝f(x －a)－x 2＝0，得方程xe x －a＝x 2，明显x ＝0为此方程的一个实数解， 因此x ＝0是函数g(x)的一个零点． 当x≠0时，方程可化简为e x －a＝x.设函数F(x)＝ex －a－x ，则F ′(x)＝e x －a－1，令F ′(x)＝0，得x ＝a.当x 变化时，F(x)与F ′(x)的变化情形如下：即F(x)min ＝F(a)＝1－a.因为a<1，因此F(x)min ＝F(a)＝1－a>0， 因此关于任意x∈R ，F(x)>0， 因此方程ex －a＝x 无实数解．因此当x≠0时，函数g(x)不存在零点． 综上，函数g(x)有且仅有一个零点．4．(2020·重庆调研)已知曲线f(x)＝ln 2x ＋alnx ＋a x 在点(e ，f(e))处的切线与直线2x ＋e 2y＝0平行，a ∈R . (1)求a 的值； (2)求证：f （x ）x >ae x .答案 (1)a ＝3 (2)略解析 (1)f ′(x)＝－ln 2x ＋（2－a ）lnxx2，由题f ′(e)＝－1＋2－a e 2＝－2e2⇒a ＝3.(2)f(x)＝ln 2x ＋3lnx ＋3x ，f ′(x)＝－lnx （lnx ＋1）x 2， f ′(x)>0⇒1e<x<1，故f(x)在(0，1e )和(1，＋∞)上递减，在(1e，1)上递增．①当x∈(0，1)时，f(x)≥f(1e )＝e ，而(3x e x )′＝3（1－x ）e x，故y ＝3xe x 在(0，1)上递增， ∴3x e x <3e <e ，∴f(x)>3x e x 即f （x ）x >3ex ； ②当x∈[1，＋∞)时，ln 2x ＋3lnx ＋3≥0＋0＋3＝3， 令g(x)＝3x 2e x ，则g ′(x)＝3（2x －x 2）e x. 故g(x)在[1，2)上递增，(2，＋∞)上递减， ∴g (x)≤g(2)＝12e2<3，∴ln 2x ＋3lnx ＋3>3x 2e x 即f （x ）x >3ex ；综上，对任意x>0，均有f （x ）x >3ex .5．(2021·课标全国Ⅰ，理)已知函数f(x)＝ae 2x＋(a －2)e x－x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范畴．答案 (1)当a≤0时，在(－∞，＋∞)单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna ，＋∞)上单调递增 (2)(0，1)解析 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝2ae 2x＋(a －2)e x－1＝(ae x－1)(2e x＋1)． ①若a≤0，则f ′(x)<0，因此f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． ②若a>0，则由f ′(x)＝0得x ＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f ′(x)<0；当x∈(－lna ，＋∞)时，f ′(x)>0.因此f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna ，＋∞)单调递增． (2)①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．②若a>0，由(1)知，当x ＝－lna 时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1a ＋lna.a ．当a ＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；b ．当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋lna>0，即f(－lna)>0，故f(x)没有零点；c ．当a∈(0，1)时，1－1a＋lna<0，即f(－lna)<0.又f(－2)＝ae －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln(3a －1)，则f(n 0)＝en 0(aen 0＋a －2)－n 0>en 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln(3a －1)>－lna ，因此f(x)在(－lna ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范畴为(0，1)．6．(2020·深圳调研二)已知函数f(x)＝(x －2)e x－a 2x 2，其中a∈R ，e 为自然对数的底数．(1)函数f(x)的图像能否与x 轴相切？若能与x 轴相切，求实数a 的值；否则，请说明理由； (2)若函数y ＝f(x)＋2x 在R 上单调递增，求实数a 能取到的最大整数值． 解析 (1)f ′(x)＝(x －1)e x－ax.假设函数f(x)的图像与x 轴相切于点(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝0，f ′（t ）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧（t －2）e t－a2t 2＝0. ①（t －1）e t－at ＝0. ②由②可知at ＝(t －1)e t，代入①中可得(t －2)e t－t （t －1）2e t ＝0.∵e t>0，∴(t －2)－t （t －1）2＝0，即t 2－3t ＋4＝0.∵Δ＝9－4×4＝－7<0. ∴方程t 2－3t ＋4＝0无解．∴不管a 取何值，函数f(x)的图像都不与x 轴相切． (2)方法1：记g(x)＝(x －2)e x－a 2x 2＋2x.由题意知，g ′(x)＝(x －1)e x－ax ＋2≥0在R 上恒成立． 由g ′(1)＝－a ＋2≥0，可得g ′(x)≥0的必要条件是a≤2.若a ＝2，则g ′(x)＝(x －1)e x－2x ＋2＝(x －1)(e x－2)． 当ln2<x<1时，g ′(x)<0，与已知矛盾，∴a<2.下面证明：当a ＝1时，不等式(x －1)e x－x ＋2≥0在R 上恒成立． 令h(x)＝(x －1)e x－x ＋2，则h ′(x)＝xe x －1.记H(x)＝xe x －1，则H ′(x)＝(x ＋1)e x. 当x>－1时，H ′(x)>0，H(x)单调递增， 且H(x)>H(－1)＝－1e－1；当x<－1时，H ′(x)<0，H(x)单调递减， 且－1e －1＝H(－1)<H(x)<0.∵H(12)＝e2－1<0，H(1)＝e －1>0.∴存在唯独的x 0∈(12，1)使得H(x 0)＝0，且当x∈(－∞，x 0)时，H(x)＝h ′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(x 0，＋∞)时，H(x)＝h ′(x)>0，h(x)单调递增． ∵h(x)min ＝h(x 0)＝(x 0－1)ex 0－x 0＋2， ∵H(x 0)＝0，∴ex 0＝1x 0，∴h(x 0)＝(x 0－1)1x 0－x 0＋2＝3－(1x 0＋x 0)．∵12<x 0<1，∴2<1x 0＋x 0<32. 从而(x －1)e x－x ＋2>0在R 上恒成立， ∴a 能取得的最大整数为1.方法2：记g(x)＝(x －2)e x－a 2x 2＋2x ，由题意知g ′(x)＝(x －1)e x－ax ＋2≥0在R 上恒成立． ∵g ′(1)＝－a ＋2≥0， ∴g ′(x)≥0的必要条件是a≤2.若a ＝2，则g ′(x)＝(x －1)e x－2x ＋2＝(x －1)(e x－2)． 当ln2<x<1时，g ′(x)<0，与已知矛盾，∴a<2.下面证明：当a ＝1时，不等式(x －1)e x－x ＋2≥0在R 上恒成立，即(x －1)e x≥x －2. 先证∀x ∈R ，e x≥x ＋1.令k(x)＝e x－x －1，则k ′(x)＝e x－1. 当x>0时，k ′(x)>0，k(x)单调递增； 当x<0时，k ′(x)<0，k(x)单调递减． ∴k(x)min ＝k(0)＝0，∴e x≥x ＋1恒成立．当x≥1时，(x －1)e x≥(x －1)(x ＋1)＝x 2－1>x －2；当x<1时，由e x ≥x ＋1得e －x≥－x ＋1>0， 即e x≤11－x.∴(x －1)e x≥(x －1)×11－x＝－1>x －2.综上所述，(x －1)e x－x ＋2≥0在R 上恒成立，故a 能取得的最大整数为1.1．(2020·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝3sin πx m.若存在f(x)的极值点x 0满足x 02＋[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范畴是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 正难则反思想，将特称命题与全称命题相互转化，即转化为不等式恒成立问题． ∵f(x)＝3sinπxm的极值点即为函数图像中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的性质可知T ＝2ππm ＝2m ，∴x 0＝m 2＋km(k∈Z )．假设不存在如此的x 0，即对任意的x 0都有x 02＋[f(x 0)]2≥m 2，则(m 2＋km)2＋3≥m 2，整理得m 2(k 2＋k －34)＋3≥0，即k 2＋k －34≥－3m 2恒成立，因为y ＝k 2＋k －34的最小值为－34(当k ＝－1或0时取得)，故－2≤m≤2，因此原特称命题成立的条件是m>2或m<－2.2．某商场销售某种商品的体会说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 答案 (1)2 (2)4解析 (1)因为x ＝5时，y ＝11，因此a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.因此商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6.从而，f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 因此，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情形如下表：由上表可得，x 因此，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．3．(2020·广东珠海期末)已知函数f(x)＝x －ln(x ＋a)的最小值为0，其中a>0，设g(x)＝lnx ＋mx .(1)求a 的值；(2)对任意x 1>x 2>0，g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2<1恒成立，求实数m 的取值范畴；(3)讨论方程g(x)＝f(x)＋ln(x ＋1)在[1，＋∞)上根的个数． 答案 (1)a ＝1 (2)[14，＋∞) (3)略解析 (1)f(x)的定义域为(－a ，＋∞)， f ′(x)＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x)＝0，解得x ＝1－a>－a.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情形如下表：因此，故由题意f(1－a)＝1－a ＝0，因此a ＝1. (2)由g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2<1知g(x 1)－x 1<g(x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立，即h(x)＝g(x)－x ＝lnx －x ＋mx在(0，＋∞)上为减函数．h ′(x)＝1x －1－m x2≤0在(0，＋∞)上恒成立，因此m≥x－x 2在(0，＋∞)上恒成立，(x －x 2)max＝14，即m≥14，即实数m 的取值范畴为[14，＋∞)． (3)由题意知方程可化为lnx ＋mx ＝x ，即m ＝x 2－xlnx (x≥1)．设m(x)＝x 2－xlnx ，则m ′(x)＝2x －lnx －1(x≥1)． 设h(x)＝2x －lnx －1(x≥1)， 则h ′(x)＝2－1x>0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)min ＝h(1)＝1. 因此m(x)＝x 2－xlnx 在[1，＋∞)上单调递增． 因此当x≥1时，m (x)≥m(1)＝1.因此当m≥1时方程有一个根，当m<1时方程无根．4．(2021·东北四市一模)已知函数f(x)＝(x －1)e x＋ax 2有两个零点． (1)当a ＝1时，求f(x)的最小值； (2)求a 的取值范畴；(3)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1＋x 2<0. 解析 (1)当a ＝1时，由题知f ′(x)＝x(e x＋2)， 令f ′(x)>0，得x>0，∴y ＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 令f ′(x)<0，得x<0，∴y ＝f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)min ＝f(0)＝－1.(2)由题可知，f ′(x)＝e x＋(x －1)e x＋2ax ＝x(e x＋2a)，①当a ＝0时，f(x)＝(x －1)e x，现在函数f(x)只有一个零点，不符合题意，舍去． ②当a>0时，由f ′(x)>0，得x>0； 由f ′(x)<0，得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min ＝f(0)＝－1<0， 又f(2)＝e 2＋4a>0， 取b 满足b<－1且b<ln a2，则f(b)>a 2(b －1)＋ab 2＝a 2(b ＋1)(2b －1)>0，故f(x)存在两个零点．③当a<0时，由f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝ln(－2a)．若－12≤a<0，则ln(－2a)≤0，故当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又∵x≤0时，f(x)<0，∴f(x)不存在两个零点． 若a<－12，则ln(－2a)>0，故当x∈(0，ln(－2a))时，f ′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，因此f(x)在(0，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，又当x≤0时，f(x)<0，∴f(x)不存在两个零点． 综上可知a∈(0，＋∞)．(3)证明：由(2)，若x 1，x 2是f(x)的两个零点，则a>0，不妨令x 1<x 2，则x 1<0<x 2，当a>0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，要证x 1＋x 2<0，即证x 1<－x 2<0，即证f(x 1)>f(－x 2)，又∵f(x 1)＝0，∴只需证f(－x 2)<0，由于f(－x 2)＝(－x 2－1)e －x 2＋ax 22，而f(x 2)＝(x 2－1)ex 2＋ax 22＝0，∴f(－x 2)＝－(x 2＋1)e －x 2－(x 2－1)ex 2， 令g(x)＝－(x ＋1)e －x－(x －1)e x(x>0)， ∴g ′(x)＝x(1－e2x e x )，∵x>0，∴e 2x>1，∴g ′(x)<0，∴g(x)＝－(x ＋1)e －x－(x －1)e x在(0，＋∞)上单调递减，而g(0)＝0，故当x>0时，g(x)<0， 从而g(x 2)＝f(－x 2)<0成立，∴x 1＋x 2<0成立．5．(2021·湖北4月调研)已知函数f(x)＝xlnx ，g(x)＝x e x .(1)证明：方程f(x)＝g(x)在(1，2)内有且仅有唯独实根；(2)记max{a ，b}表示a ，b 两个数中的较大者，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内的实根为x 0，m(x)＝max{f(x)，b(x)}．若m(x)＝n(n∈R )在(1，＋∞)内有两个不等的实根x 1，x 2(x 1<x 2)，判定x 1＋x 2与2x 0的大小，并说明理由． 解析 (1)证明：记F(x)＝xlnx －x e x ，则F ′(x)＝1＋lnx ＋x －1e x ，x ∈(1，2)，明显F ′(x)>0，即F(x)在(1，2)上单调递增．因为F(1)＝－1e <0，F(2)＝2ln2－2e 2>0，而F(x)在(1，2)上连续，由零点存在性定理可知，F(x)在(1，2)内有且仅有唯独零点．因此方程f(x)＝g(x)在(1，2)内有且仅有唯独实根． (2)x 1＋x 2<2x 0. 证明过程如下：明显，m(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，1<x<x 0，xlnx ，x>x 0.当1<x<x 0时，m(x)＝x e x ，m ′(x)＝1－xe x <0，因此m(x)单调递减；当x>x 0时，m(x)＝xlnx ，m ′(x)＝1＋lnx>0，因此m(x)单调递增． 要证x 1＋x 2<2x 0，即证x 2<2x 0－x 1， 由(1)知x 1<x 0<x 2，g(x 1)＝f(x 2)＝n ， 因此即证f(x 2)<f(2x 0－x 1)， 即证g(x 1)<f(2x 0－x 1)，即证x 1ex 1<(2x 0－x 1)ln(2x 0－x 1)(1<x 1<x 0<2)，(*)设H(x)＝xe x ＝(2x 0－x)ln(2x 0－x)(1<x<x 0<2)，H ′(x)＝1－xex ＋ln(2x 0－x)＋1，因为1<x<x 0<2，因此1－xe x ＋1>0，ln(2x 0－x)>0，因此H ′(x)>0，因此H(x)在(1，x 0)上单调递增，即H(x)<H(x 0)＝0， 故(*)成立，即以上各步均可逆推， 因此x 1＋x 2<2x 0.6．(2021·云南统一检测二)已知e 是自然对数的底数，f(x)＝me x，g(x)＝x ＋3，φ(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)＝f(x)－g(x －2)－2 017. (1)设m ＝1，求h(x)的极值；(2)设m<－e 2，求证：函数φ(x)没有零点； (3)若m≠0，x>0，设F(x)＝m f （x ）＋4x ＋4g （x ）－1，求证：F(x)>3. 解析 (1)∵f(x)＝me x，g(x)＝x ＋3，m ＝1， ∴f(x)＝e x，g(x －2)＝x ＋1.∴h(x)＝f(x)－g(x －2)－2 017＝e x－x －2 018. ∴h ′(x)＝e x－1.由h ′(x)＝0，得x ＝0.∵e 是自然对数的底数，∴h ′(x)＝e x－1是增函数．∴当x<0时，h ′(x)<0，即h(x)是减函数； 当x>0时，h ′(x)>0，即h(x)是增函数．∴函数h(x)没有极大值，只有极小值，且当x ＝0时，h(x)取得极小值． ∴h(x)的极小值为h(0)＝－2 017. (2)证明：∵f(x)＝me x，g(x)＝x ＋3， ∴φ(x)＝f(x)＋g(x)＝me x＋x ＋3. ∴φ′(x)＝me x＋1.由φ′(x)＝me x ＋1＝0，m<－e 2，解得x ＝ln(－1m)．∴当x∈(－∞，ln(－1m ))时，φ′(x)＝me x＋1>0，函数φ(x)是增函数；当x∈(ln(－1m )，＋∞)时，φ′(x)＝me x＋1<0，函数φ(x)是减函数．∴当x ＝ln(－1m )时，函数φ(x)取得最大值，最大值为φ[ln(－1m)]＝2－ln(－m)．∵m<－e 2，∴2－ln(－m)<0.∴φ(x)<0. ∴当m<－e 2时，函数φ(x)没有零点． (3)证明：∵f(x)＝me x，g(x)＝x ＋3， F(x)＝m f （x ）＋4x ＋4g （x ）－1，∴F(x)＝1e x ＋4x ＋4x ＋2. ∵x>0，∴F(x)>3⇔(x －2)e x＋x ＋2>0.设u(x)＝(x －2)e x＋x ＋2，则u ′(x)＝(x －1)e x＋1. 设v(x)＝(x －1)e x＋1，则v ′(x)＝xe x. ∵x>0，∴v ′(x)>0. 又当x ＝0时，v ′(x)＝0，∴函数v(x)在[0，＋∞)上是增函数． ∴v(x)>v(0)，即v(x)>0.∴当x>0时，u ′(x)>0；当x ＝0时，u ′(x)＝0. ∴函数u(x)在[0，＋∞)上是增函数． ∴当x>0时，u(x)>u(0)＝0， 即(x －2)e x＋x ＋2>0. ∴当x>0时，F(x)>3.。
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.5定积分与微积分基本定理练习理北师大版
3.5 定积分与微积分基本定理核心考点·精准研析考点一定积分的计算1.|x2-2x|dx= ( )A.5B.6C.7D.82.(sin x+)dx等于( )A. B.π+2cos 2C.2π+2cos 2D.2π3.若S1=x2dx,S2=dx,S3=e x dx,则S1,S2,S3的大小关系为( )A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S14.若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是____________.【解析】1.选D.|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+==+4+4-=8.2.选D.因为(sin x+)dx=sin xdx+,因为y=sin x为奇函数,所以.又dx表示半圆x2+y2=4(y≥0)的面积.所以dx=×π×22=2π,所以(sin x+)dx=2π.3.选B.S1=x2dx=x3=,S2=dx=ln x=ln 2<ln e=1,S3=e x dx=e x=e2-e=(e-1)e>e>,所以S2<S1<S3.4.dx=2xdx+dx=x2+ln x=a2-1+ln a=3+ln 2,所以解得a=2.答案:2题3中,若将“S1=x2dx,S2=dx,S3=e x dx,”改为“S1=x2dx,S2= x 3dx,S3=”,试判断S1,S2,S3的大小关系.【解析】由微积分基本定理得S1=x2dx==,S2=x3dx==4, S3=sin xdx=(-cos x)=1-cos 2<2,则S3< S1< S2.1.运用微积分基本定理求定积分时的注意点(1)被积函数要先化简,再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分.(4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分.3.函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有(1)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.【秒杀绝招】图像法解T3,如图,根据定积分的几何意义知,S1,S2,S3分别是函数y=x2,y=,y=e x与x=1,x=2及x轴所围成的面积,显然S2<S1<S3.考点二应用定积分求平面图形的面积【典例】1.(2019·厦门模拟)二次函数f(x)=x2-nx+m(n,m∈R)的图像如图所示,则定积分f(x)dx=( )A. B. C.2 D.32.(2019·武汉模拟)过坐标原点O作曲线C:y=e x的切线l,则曲线C,直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为( )A.-1B.e-1C.e-2D.3.由曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________________.【解题导思】序号联想解题1 由函数图像想到求n,m,进而求定积分2 由曲线C的切线想到导数的几何意义,借助图形形状设置被积函数3 由曲线y=,y=2-x,y=-x想到画图求解【解析】1.选B.由图像可知,n=3,m=2.f(x)dx=(x2-3x+2)dx==-0=.2.选A.根据题意,过坐标原点O作曲线C:y=e x的切线l,设切点为(m,e m),y=e x,其导数y=e x,则切线的斜率k=e m,则直线l的方程为:y-e m=e m(x-m),又由直线l经过原点,则有-e m=e m(-m),所以e m(1-m)=0,所以m=1,则直线l的方程为y-e=e(x-1),即y=ex,切点为(1,e);曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积S===-(1-0)=-1.3.方法一:画出草图,如图所示.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),所以所求图形的面积S=dx+dx=dx+dx=+=+6-×9-2+=.答案:方法二:如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴,y=,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即S=×2×3-(2-x-)dx=3-=3-=.答案:利用定积分求平面图形面积的四个步骤曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为( )A. B.C.-4l n 2D.-8ln 2【解析】选D.作出曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形如图:由,解得x=1或x=4,所以曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为S=dx==(20-8-4ln 4)-=-8ln 2.考点三定积分在物理中的应用【典例】1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 22.设变力 F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到 x=10,已知 F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为________________J(x 的单位:m;力的单位:N).【解题导思】序号联想解题1 由汽车继续行驶的距离想到积分变量为时间,被积函数为速度2 由变力F(x)对质点 M 所做的功想到积分变量为位移,被积函数为力【解析】1.选C.令v(t)=0得,3t2-4t-32=0,解得t=4.汽车的刹车距离是dt==4+25ln 5.2.变力F(x)=x2+1 使质点M沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为:W=F(x)dx=(x2+1)dx==342(J).答案:342定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt.(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.某人吃完饭后散步,在0到3小时内速度与时间的关系为v=t3-3t2+2t(km/h),这3小时内他走过的路程为( )A.kmB.kmC.kmD.km【解析】选C.v=t3-3t2+2t的原函数可为F(t)=t4-t3+t2=t2(t-2)2,路程为v(t)dt-v(t)dt+v(t)dt=F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=2F(1)+F(3)=(km).。
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2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积
分基本定理课后作业理
一、选择题
1．∫π20sin 2x
2
d x ＝( )
A ．0 B.π4－12
C.π4－14
D.π2
－1
2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
，x∈[0，1]，1
x ，x∈1，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0
e f(x)d x 的值
为( )
A.43 B ．2 C ．1 D.2
3
3．曲线y ＝2
x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A ．2ln 2
B ．2－ln 2
C ．4－ln 2
D ．4－2ln 2
4．若S 1＝⎠⎛1
21
x d x ，S 2＝⎠⎛1
2(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠
⎛1
2x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 1<S 3<S 2
D ．S 3<S 1<S 2
5．曲线y＝x2＋2与直线5x－y－4＝0所围成的图形的面积为( )
A.1
2
B.
1
3
C.
1
6
D.
1
9
二、填空题
6．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若
⎠⎛1－1f(x)
d x＝2f(a)(a>0)成立，则a＝________.
8．设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
三、解答题
9．求下列定积分．
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
[冲击名校]
1.如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0<t<1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )
A.14
B.12 C ．1 D ．2
2．若函数f(x)，g(x)满足⎠
⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]
上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；
②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．曲线y ＝1
x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．
4.
如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成的图形的面积为________．
5.已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t(其中
0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．
(1)求a，b，c的值；
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．
答案
[全盘巩固]
一、选择题
1．
2．
3．
解析：选D 由曲线y ＝2
x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x ＝2，如图所示，故
所求图形的面积为S ＝⎠
⎛2
4（x －1－2
x ）d x ＝＝4－2ln 2.
4．解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A .
5．
二、填空题
6．解析：∵⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠
⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x) ＝4，∴2(3a 2＋2a
＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝13或a ＝－1(舍去)，所以a ＝1
3
.
答案：1
3
7.
答案：π
2
8．解析：由题意知⎠⎛0
a x d x ＝a 2，又
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23x 32′＝x ，则23x 32a
0＝a 2，
即23a 32＝a 2
，所以a ＝49. 答案：49
三、解答题 9．
10．
解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x 3－x 2
＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f′(1)＝ (3x 2－2x ＋1)| x ＝1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x.
y ＝2x 与函数g(x)＝x 2
围成的图形如图：
由⎩⎨
⎧
y ＝x 2
，y ＝2x
可得交点A(2,4)．
∴y＝2x 与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积 S ＝∫20(2x －x 2
)d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.
[冲击名校]
1.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)dx ＋∫1t (x 2
－
t 2)dx ＝43t 3－t 2＋13.由S′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝1
2
为S(t)在区间(0,1)上的最小值
点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
4
.
2．
3．解析：由题意得，所求面积为∫e 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋2x ＋2e 2x dx ＝
∫e 11x dx ＋∫e 12xdx ＋∫e 12e 2x dx ＝ln x |e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2
)＝e 2e .
答案：e 2e
4.解析：由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.
设两切线相交于点M ，由⎩⎨
⎧
y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，
消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为3
2
.
在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上，直线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2
＋4x －3的上方；在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3上，
直线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方．
因此，所求的图形的面积是
答案：94
5.解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝0，a·82
＋b·8＋c ＝0，4ac －b 2
4a ＝16，
解得⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝8，
c ＝0，
即a 的值为－1，b 的值为8，c 的
值为0.
(2)由(1)知，f(x)的解析式为f(x)＝－x 2＋8x.
由⎩⎨
⎧
y ＝－t 2
＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，
得x 2－8x －t(t －8)＝0，
∴x 1＝t ，x 2＝8－t.
∵0≤t≤2，∴直线l 2与f(x)的图象的位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2
＋8t)，由定积分的几何意义知：
S(t)＝∫t 0[(－t 2＋8t)－(－x 2＋8x)]d x ＋∫2t [(－x 2＋8x)－(－t 2＋8t)]d x ＝(－t 2
＋
8t)x －－x 33＋4x 2t
0＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x 3
3＋4x 2－
－t 2＋8t
x 2t ＝－43t 3＋10t 2
－16t ＋
403.。