辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科).docx
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x4．（5分）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）设函数，则f（﹣2）+f（ln6）＝（）A．3B．6C．9D．126．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}为等比数列，a1•a5＝16，a3+a4＝12，则a7＝（）A．16B．32C．64D．2567．（5分）已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（e x+e﹣x）B．y＝sin（e x﹣e﹣x）C．y＝cos（e x﹣e﹣x）D．y＝cos（e x+e﹣x）8．（5分）已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（）A．7B．8C．9D．109．（5分）已知点P在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点，若直线AB的斜率为﹣1，则点P坐标为（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣）10．（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④11．（5分）已知函数，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若对，不等式恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．C．D．12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，面P AB⊥面ABC，P A＝PB＝4，AB＝4，∠ACB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（）A．20πB．32πC．64πD．80π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝．14．（5分）已知的展开式中含x3的项的系数为30，则a的值为．15．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝n，则{a n}的前8项和为．16．（5分）已知函数，则f（x）+f（2﹣x）值为；若f（）＝19（a+b），则a2+b2的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知平面四边形ABCP中，D为P A的中点，P A⊥AB，CD∥AB，且P A ＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接P A、PB、BD．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2515020025022510050（Ⅰ）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；（ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为赠送的随机话费（单位：元）2040。
2020 年大连市高三第二次模拟考试数学(理)(含答案)
距离为 ，若对 x ( , ) ，不等式 f (x) 1 恒成立，则 的取值范围是(
)
24 3
2
（A）[ ， ] （B）（ ， ）
12 6
12 3
（C）[ ， ] 63
（D）（ ， ） 62
（12）已知三棱锥 P − ABC ,面 PAB ⊥ 面 ABC ， PA = PB = 4 ， AB = 4 3 ，
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第 22 题～ 第 23 题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答 题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
( ) （A） y = sin ex + e−x
( ) （B） y = sin ex − e−x
( ) （C） y = cos ex − e−x
( ) （D） y = cos ex + e−x
（8）已知关于某设备的使用年限 x （单位：年）和所支出的维修费用 y （单位：万元）
有如下的统计资料：
由上表可得线性回归方程 y = bx + 0.08 ，若规定当维修费用 y 12 时该设备必须报
废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ）
（A）7
（B）8
（C）9
（D）10
（9）已知点 P 在抛物线 C : y2 = 4x 上，过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线 C
于 A 、 B 两点，若直线 AB 的斜率为 −1，则点 P 坐标为（
）
（A）（1,2）
辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科
辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020·海南模拟) 已知集合A，则集合（）A.B.C.D.2. （2 分） (2017·菏泽模拟) “m＞2”是不等式|x﹣3m|+|x﹣ |＞2 对∀ x∈R 恒成立”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） (2020·包头模拟) 设等差数列 的前 项和为 ，若 A . 23 B . 25 C . 28 D . 29 4. （2 分） 下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ），则（）A . 直线，若，则.类比推出:向量 ， ， ，若 ∥ ， ∥ ，第 1 页 共 13 页则∥.B . 三角形的面积为 类比推出，可得出四面体的体积为 面积， 为四面体内切球的半径），其中 ， ， 为三角形的边长， 为三角形内切圆的半径， ，（ ， ， ， 分别为四面体的四个面的C . 同一平面内，直线，若，则.类比推出:空间中，直线，若，则.D . 实数 ，若方程有实数根，则.类比推出:复数，若方程有实数根，则.5. （2 分） 箱中有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中重新取球，若取出 白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） (2019 高一上·安康月考) 函数的部分图像如图所示，则（ ）A.B.第 2 页 共 13 页C. D. 7. （2 分） 如果 a,b,c 满足 c<b<a，且 ac<0，那么下列选项不恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 8.（2 分）(2019 高一上·太原月考) 如果下边程序执行后输出的结果是 990，那么在程序中 UNTIL 后面的“条 件”应为（ ）A . i>10 B . i<8 C . i<=9 D . i<99. （2 分） (2017 高一下·简阳期末) 若 x，y 满足 A.0，则 2x+y 的最大值为（ ）B.3第 3 页 共 13 页C.4 D.5 10. （2 分） (2012·湖北) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B . 3π C. D . 6π11. （2 分） 设 两直线斜率分别为双曲线的左，右顶点，若双曲线上存在点，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）使得A.B.C. D.12. （2 分） (2018 高二下·普宁月考) 已知是定义在且满足，则下列结论中正确的是（ ）上的函数，为的导函数，A.恒成立第 4 页 共 13 页B.恒成立C.D.当时，；当时，二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2012·江苏理) 如图，在矩形 ABCD 中，AB= ，BC=2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若= ，则的值是________14. （1 分） (2017 高一下·河北期末) 已知数列{an}满足 a1=1，an+1=（n∈N*），若 bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣ λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数 λ 的取值范围是________15. （1 分） 已知，则 4a+2a+b 的最小值是________．16.（1 分）(2017 高三上·苏州开学考) 设点 P 是△ABC 内一点（不包括边界），且，则（m﹣2）2+（n﹣2）2 的取值范围是________．三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17. （10 分） (2015 高三上·廊坊期末) 设{an}是公差大于零的等差数列，已知 a1=3，a3=a22﹣27．（1） 求{an}的通项公式；（2） 设{bn}是以函数 y=4sin2πx 的最小正周期为首项，以 2 为公比的等比数列，求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn ．18. （10 分） (2017·武汉模拟) 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥平面 BB1C1C，∠BCC1=第 5 页 共 13 页，AB=BB1=2，BC=1，D 为 CC1 中点．（1） 求证：DB1⊥平面 ABD； （2） 求二面角 A﹣B1D﹣A1 的平面角的余弦值．19. （15 分） (2018·河北模拟) 某校高三年级有 1000 人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.参考数据：.（1） 求全班平均成绩； （2） 计算得分超过 141 的人数；（精确到整数）（3） 甲同学每次考试进入年级前 100 名的概率是 写出 的分布列，并求期望与方差.，若本学期有 4 次考试，表示进入前 100 名的次数，20. （10 分） (2016 高一下·大丰期中) 回答下列问题（1） 已知圆 C 的方程为 x2+y2=4，直线 l 过点 P（1，2），且与圆 C 交于 A、B 两点．若|AB|=2 l 的方程；，求直线（2） 设直线 l 的方程为（a+1）x+y﹣2﹣a=0（a∈R）．若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程．21. （10 分） (2019 高三上·凉州期中) 已知函数（1） 求的单调区间和极值；（2） 若对于任意的，都存在，使得第 6 页 共 13 页，求 的取值范围22. （10 分） (2017 高三下·银川模拟) 选修 4—4：坐标系与参数方程。
【数学】辽宁省大连市高三第二次模拟考试试题(理)(扫描版) (2)
辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学试题（理）【参考答案】一．选择题1.C2.A3.B4.D5.C6.D7.A8.B9.B 10.B 11.D 12.A 二．填空题13.3π14. ()(),11,-∞-+∞ 15.21n -16.⎡⎢⎣⎦三．解答题 17. 解：（Ⅰ）()cos cos cos cos f x x x x x x x x =ωω-ω++ω=ω-+=ω-ω2121212221222sin x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭26……………………………………4分又因为x x -21的最小值为π2，所以22T π=,即22T ππω==， 所以1ω=，即()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭……………………………6分 （Ⅱ）123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………7分 ()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以5sin 13β=，…………………8分 又因为,(,)παβ∈02 所以412sin ,cos 513αβ==，…………………10分所以()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.…………………12分 18.解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)XN 25005。
由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“σ3原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.……………6分(Ⅱ)检测员的判断是合理的.……………8分因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的 概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.……………12分 19.（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC=BC ，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面，……………2分 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1，所以DE AB ⊥1,……………4分 连接AB 1,设A BAB O =11，因为ABB A 11为正方形，所以A B AB ⊥11,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以//DE A B 1,又因为D 为BB 1的中点， 所以E 为OB 1的中点,所以EB AB =1114.……………6分 （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设AB a =2,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45，所以AB =1，所以DM CM ==,……………7分所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a D a a E a a ---11130020020022, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022，…8分 设平面ABC 11的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,AB B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1100n n 即,x y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩2200 则n 的一组解为n ＝(,,)-221． ……………10分所以cos 〈DE ，n 〉＝DE n DE n⋅==……………11分所以直线DE 与平面11AB C成角的正弦值为5.……………12分 20.解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即2p =.……………3分 （Ⅱ）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=……………4分 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x xl y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-……………6分 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =……………7分即:1l y kx =+ 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得21x ky =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k -……………8分M 点到直线l的距离d ==……………9分()241AB k ==+……………10分所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥……………11分 当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4. ……………12分 21.解：（Ⅰ）因为x ax x f ln 212)('--=，且1=x 是极值点，所以0212)1('=-=a f ，所以41=a .……………1分 此时x x x f ln 212)('--=，设)(')(x f x g =，则xx x x g 22121)('-=-=. 则当20<<x 时，0)('<x g ，则)(x g 为减函数. 又()g =10，02ln 21)2(<-=g ， 所以在10<<x 时，0)(>x g ，)(x f 为增函数；21<<x 时，0)(<x g ，)(x f 为减函数. 所以x =1为)(x f 的极大值点，符合题意. ……………4分 （Ⅱ）当2>x 时，0)('>x g ，)(x g 为增函数，且02ln 223)4(>-=g ，()g <20 所以存在(),x x ∈=（）,00240g ，当02x x <<时，0)(<x g ，)(x f 为减函数；x x >0时，0)(>x g ，)(x f 为增函数，所以函数)(x f 存在唯一的极小值点0x .……………6分又27ln 45)27(-=g ，已知45716<e ，可得27ln 45)27(45<⇒<e ， 所以0)27(<g ，所以4270<<x ，……………8分 且满足0ln 21200=--x x . 所以)1670(4ln 24)(020000200，∈+-=-+=x x x x x x x f .……………12分 (其中0)(0>x f 也可以用如下方式证明：)ln 214(ln 241)(2x x x x x x x x f -+=-+=，设x x x h ln 214)(-+=， 则xx x x h 44141)('-=-=. 则当40<<x 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数；当4>x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数. 所以02ln 223)4()(>-=≥h x h 所以在0)(>x f ，所以0)(0>x f )22. 解：（Ⅰ）法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线C 2上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以x y y x =⎧⎨=⎩00……………2分 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线C 2的极坐标方程为：2sin ρθ=……………5分法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ=()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以ρ=ρ⎧⎪⎨θ+θπ=⎪⎩0024……………2分 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线C 2的极坐标方程为：2sin ρθ=……………5分（Ⅱ）直线l 1的极坐标方程为：θα=，直线l 2的极坐标方程为：3πθα=+, 设(),A ρθ11，(),B ρθ22，所以cos θ=α⎧⎨ρ=θ⎩2解得12cos ρα=，sin π⎧θ=α+⎪⎨⎪ρ=θ⎩32解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………7分 所以，sin AOB S ∆π=ρ⋅ρ12123sin π⎛⎫=α⋅α+ ⎪⎝⎭3sin ⎛⎫=α⋅α+α ⎪ ⎪⎝⎭122=α+α+222π⎛⎫=α++ ⎪⎝⎭23因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin π⎛⎫α+= ⎪⎝⎭213，AOB S ∆+34……10分 23.解：（Ⅰ）1a =-时，2,1()2,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->即0x <所以1x <-；当11x -≤≤时22x >即1x <所以11x -≤<；当1x >时，22x x >无解综上，()f x x >2的解集为(,1)-∞………………………………5分（Ⅱ）解法一(1) 当1a -<-，即1a >时，21,()1,121,1x a x a f x a a x x a x ---<-⎧⎪=--≤≤-⎨⎪++>-⎩，由函数单调性可知11a ->，解得2a >；当1a -=-，即1a =时，()21f x x =+最小值为0，所以()1f x >的解集不为全体实数，所以1a =不符合题意 当1a ->-即1a <时，21,1()1,121,x a x f x a x a x a x a ---<-⎧⎪=--≤≤-⎨⎪++>-⎩由函数单调性可知11a ->，解得0a <；综上，0a <或2a >…………………………………………10分 解法二：因为11x x a a +++≥-，（当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立）所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->，所以0a <或2a >.……………………………10分。
辽宁省大连市高三数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±23．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．49．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1D．当n≥3时，2M≥2n+212．对∀x∈（0，），下列四个命题：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx ＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确命题的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是__________．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为__________．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为__________．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为__________．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中方程变形得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或x=3，即B={1，3}，∵A={2，3}，∴A∩B={3}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z•的答案可求．解答：解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z•=（a+bi）•（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．3．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点：散点图．专题：数形结合法．分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．解答：解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步分析，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先从4名男医生中选2人，有C42种选法，再从3名女医生中选出1人，有C31种选法，则不同的选法共有C42C31种；故选：B点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( ) A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义和向量的坐标运算计算即可解答：解：=﹣=﹣=（1，4）﹣（2，0）=（1，4）﹣（1，0）=（0，4），故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．解答：解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）故选：D点评：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2n＞n2，n=3不满足条件2n＞n2，n=4不满足条件2n＞n2，n=5满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n的值是解题的关键，属于基础题．8．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y1=﹣p，y2=p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论．解答：解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），准线为x=﹣，设直线AB：y=（x﹣），联立抛物线方程，消去x，可得y2﹣2py﹣p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣p，y2=p，由M（﹣，y1），则|OM|===p，|OB|====p，即有|OB|=3|OM|．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，同时考查直线和抛物线联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．9．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．解答：解：∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；D点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1D．当n≥3时，2M≥2n+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：分析：首先理解所表示的含义，然后把]2（进行化简，得到M=n＞0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决．解答：解：∵则n是正整数，∴2=2=（n+1）2等式成立，∴M=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，对于选项A：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项B：2M=2n≥4n﹣2，当n=3时，不成立对于选项C：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项D：2M=2n≥2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，由图象可知，当n≥3时，2M≥2n+2恒成立，故选：D点评：本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把]2进化简成（n+1）2，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了．12．对∀x∈（0，），下列四个命题：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx ＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确命题的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，求得导数，再令g（x）=sinx+﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；③令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断；④令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断．解答：解：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求导f′（x）=cosx+sec2x﹣2=，∵x∈（0，），∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，即函数单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，∴sinx+tanx﹣2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正确；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，f′（x）=cosxtanx+sinxsec2x﹣2x=sinx+﹣2x，g（x）=sinx+﹣2x，g′（x）=cosx+﹣2=cosx+﹣2+，由0＜x＜，则cosx∈（0，1），cosx+＞2，则g′（x）＞0，g（x）在（0，）递增，即有g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，）递增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正确；③令x=，则sinx+tanx=sin+tan=，x=，由＞，故③错误；④令x=，则sinxtanx=，2x2=，＜，故④错误．故选A．点评：此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是．考点：几何概型；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：首先分别求出区域M和△AOB的面积，利用几何概型公式解答．解答：解：由已知区域M的面积为=，△AOB的面积为=，由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是；故答案为：．点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为﹣1．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，，则答案可求．解答：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为．考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．解答：解：由y=x2+1，得：x2=y﹣1，x=．所以，y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数．它们的图象关于y=x对称．P在曲线y=x2+1上，点Q在曲线y=上，设P（x，1+x2），Q（x，）要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+1（x≥0）上，又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离d===．所以当=，即x=时，d取得最小值，则|PQ|的最小值等于2×=．故答案为：．点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程．解答：解：设点P是双曲线右支上一点，∴按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A=（c+x）﹣（c﹣x）=2x=2a，即x=a所以内切圆的圆心横坐标为a．由题意可得a=1，顶点A1（﹣1，0），A2（1，0），设P（m，n），则m2﹣=1，即n2=b2（m2﹣1），k1k2=1，可得•=1，即有=b2=1，即有双曲线的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a3=可得公比q，进而可得a n的表达式，计算可得结论；（Ⅱ）通过计算可得S n=+，对n分奇、偶数讨论即可．解答：（Ⅰ）解：∵a3==，∴q=﹣，∴a n=a2•q n﹣2=•=，∴b n=；（Ⅱ）证明：S n=b1+b2+…+b n=﹣=﹣•=+，当n为奇数时，S n=+（1+）＞+；当n为偶数时，S n=+（1﹣）≥+×=+；综上：S n≥+．点评：本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴，∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键．20．如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c•AB•sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c•AB•sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，（e=2.71828…是自然对数的底数，a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x•f′（x）在区间；（Ⅲ）假设函数f（x）在区间（0，1）上有零点；即存在x∈（0，1），使得e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1=0；即，记；①若h（x）＜1，∴，即：；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1，x∈（0，1）；H′（x）=e x﹣2x+2﹣e，H″=e x﹣2；当x∈（0，ln2），H″（x）＜0，当x∈（ln2，1），H″（x）＞0；∴当x∈（0，ln2），H′（x）单调递减，x∈（ln2，1），H′（x）单调递增；而H′（0）=1﹣0+2﹣e＞0，H′（1）=e﹣2+2﹣e=0，H′（ln2）=e ln2﹣2ln2+2﹣e=4﹣e﹣2ln2＜0；故在（0，ln2）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递增，在（x0，1）上H（x）单调递减；而H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＞0在（0，1）成立；即成立；②若h（x）＞e﹣2；∴，即；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x+（e﹣2）x2﹣x﹣1＜0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣（e﹣2）x2﹣x﹣1，H′（x）=e x﹣2（e﹣2）x﹣1，H″（x）=e x﹣2（e﹣2）；当x∈（0，ln2（e﹣2）），H″（x）＜0，H′（x）单调递减；当x∈（ln2（e﹣2），1），H″（x）＞0，H′（x）单调递增；而H′（0）=0，H′（1）=3﹣e＞0；∴在（ln2（e﹣2），1）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递减，在（x0，1）上H（x）单调递增；又H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＜0在（0，1）成立，即成立．由①②可得，a∈（e﹣2，1）时，h（x）存在零点．点评：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用，会正确求导，会求二阶导数并能运用二阶导数，函数零点的概念，以及掌握本题在证明函数存在零点时用到的方法．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．解答：证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）先将参数方程转化为普通方程，然后利用极坐标方程和普通方程之间的关系进行转化即可；（2）设极坐标方程，结合三角函数的最值性质进行求解即可．解答：解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，所以C1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=4，所以C2极坐标方程为ρ=4sinθ（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα，点Q极坐标为（ρ2，4sin（α+）），即ρ2=4sin（α+），则|OP||OQ|=ρ1ρ1=4cosα•4sin（α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin（2α+）+4∵α∈（0，），∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，此时P极点坐标（2，）．点评：本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，将参数方程和极坐标方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．选修4-5：不等式选讲24．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，某某数x的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得的最小值．（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2﹣x|≤4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2﹣x|≥4，从而得到|2+x|+|2﹣x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的X围．解答：解：（1）∵=||+||=|2+|+|2﹣|≥|（2+）+（2﹣）|=4，所以的最小值为4．（2）∵|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|，不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2﹣x|），即|2+x|+|2﹣x|≤4．而|2+x|+|2﹣x|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，word故|2+x|+|2﹣x|=4，∴﹣2≤x≤2，即实数x的取值X围为：．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。
2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学二模试卷+答案解析
2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知m，，集合，集合，若，则()A.1B.2C.或1D.2.设，则“”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是()A.，B.33，7C.33，10D.，44.若，则()A.1B.2C.3D.45.过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，若为直角三角形，O为坐标原点，则的取值范围为()A. B.C. D.6.已知函数若关于x的方程在上有解，则实数m 的取值范围是()A. B. C. D.7.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.8.设，，，，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点，，则下列说法正确的是()A.B.存在C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆D.当的面积为时，直线l的倾斜角为或10.在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点含边界，若平面BMD，则下列结论正确的是()A. B.三棱锥的体积为C.点N的轨迹长度为D.的取值范围为11.已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意x，，，则()A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．13.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______.14.在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．集合，则集合的子集个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 92．复数，则（）A. 1B.C. 2D. 43．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 724．设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.5．某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：）服从正态分布.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在内的零件估计有（）（附：若随机变量服从正态分布，则，A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.7．双曲线的左焦点为，虚轴的一个端点为，为双曲线右支上的一点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.8．下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的是（）A. B. C. D.9．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.11．已知，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A. 恒成立B. 恒成立C. D. 当时，；当时，二、填空题13．某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．14．执行如图所示的程序框图，输出的值为 __________．15．已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．16．已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).三、解答题17．在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.18．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.19．如图，在三棱柱中，和均是边长为2的等边三角形，点为中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．已知抛物线的焦点为，点的坐标为，点在抛物线上，且满足，（为坐标原点）.（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线，且与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，线段的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.21．已知函数/.（1）当时，解不等式；（2）)若在内有两个不同的两点，求的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点，斜率为，直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的普通方程和直线的参数方程；（2）求的值.23．选修4-5：不等式选讲关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若，且，求证：.数学（理）试题答案一、单选题1．集合，则集合的子集个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A的子集有：所以共8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n个元素，则集合的子集个数为，真子集的个数为.2．复数，则（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.详解：几何体如图，为一个三棱柱，高为6，底面为直角三角形，直角边长分别为3，4；因此体积为，选C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．4．设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列性质，成等比数列列式，解得结果.详解：由等比数列性质得，成等比数列，即,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.5．某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：）服从正态分布.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在内的零件估计有（）（附：若随机变量服从正态分布，则，A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个【答案】A【解析】分析：根据定义求，再根据频数等于频率与总数的乘积得结果.详解：由，得，因此尺寸在内的零件估计有，选A.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据偶函数定义判断ABC为偶函数，根据在上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.详解：是偶函数，在上单调递减；是偶函数，在上单调递减；既是偶函数，又在上单调递增；不是偶函数，在上不单调；综上选C.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．7．双曲线的左焦点为，虚轴的一个端点为，为双曲线右支上的一点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,化简即得双曲线C的离心率.详解：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,所以,所以所以e=.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线的通径公式：.8．下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.详解：对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；对于:等价于m-n=0即m=n,所以向量，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果.详解：根据椭圆对称性得周长等于,(为右焦点),由得，即周长的取值范围是，选C.点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1且，x+y＞1，面积为1﹣，由此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足且，即x2+y2＞1，且，面积为1﹣，因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，所以=1﹣，所以π=．故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是转化“卡片上的能与1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，所以，化简得x2+y2＞1.11．已知，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化成的形式，再利用三角函数的图像性质求x的取值范围.详解：由题得，因为，所以因为，所以所以或，所以x的取值范围为.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想.(2)解答本题的关键是三角函数的图像分析，先求出函数的再根据值域得到或，从而求出x的取值范围.12．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A. 恒成立B. 恒成立C. D. 当时，；当时，【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立. 详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.二、填空题13．某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.详解：由于系统抽样得到的编号组成等差数列，因为，所以公差为9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：21点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对系统抽样的掌握能力.（2）系统抽样时，如果有n个个体，需要抽出m个个体，所以要分成个小组，最后抽出来的编号成等差数列，公差为.14．执行如图所示的程序框图，输出的值为 __________．【答案】【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，s=,n=3;3≤2018，s=,n=4；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出s=.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是s=.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15．已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件求轴截面顶角，再根据顶角大于，确定当顶角为时截面面积取最大值.详解：由底面直径为，母线长为1，根据余弦定理得轴截面顶角为，因此截面面积的最大值为.点睛：圆锥轴截面顶角为所有过圆锥的顶点的截面中顶角最大的，根据三角形面积公式，面积最大值决定于顶角正弦值的最大值.16．已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).【答案】264【解析】分析：先根据条件确定，求得中间57项的和，再利用条件求，即得结果.详解：因为，，所以，因此因为，，所以，因此综上点睛：找寻规律常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.三、解答题17．在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先化简得到cos∠DAC＝再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，，所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,所以cos∠DAC＝.由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD＝.（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外。
辽宁省大连市2022届高三第二次模拟考试数学试题(含答案解析)
辽宁省大连市2022届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合{A x y ==，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．已知复数z 满足z i =2+i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．1B ．-2iC ．2iD ．-23．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>平分圆222:40C x y x y +--=的周长，则ab 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,8⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布2(120,)N σ，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为( ) A ．700B ．800C ．900D ．9505．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1AA 上的一个动点(不包括顶点)，平面1BFD 交棱1CC 于点E ，则下列命题中正确的是( )A ．存在点F ，使得1D FB ∠为直角B ．对于任意点F ，都有直线11AC ∥平面1BED F C ．对于任意点F ，都有平面11AC D ⊥平面1BED FD ．当点F 由1A 向A 移动过程中，三棱锥11F BB D -的体积逐渐变大6．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且0.8y x a =+，现有一对测量数据为(33,25.2)，则该数据的残差为( )A ．0.6 B ．0.4C ．-0.4D ．-0.67．下列不等式正确的是( ) A ．ln 2ln 424> B ．2ln 3ln 23> C ．eln1010>D ．6>8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数()f x 满足(8)()f x f x -=，且当[]0,4x ∈时的解析式为()2122log 2,0222log ,242x x f x x x ⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，则函数()y f x =在[]0,8x ∈的图像与直线y =2所围成封闭图形的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32二、多选题9．为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg ）互不相等，且从小到大分别为1210,,,x x x ⋅⋅⋅，则下列说法正确的有（ ） A ．1210,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 B ．1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 C ．101x x -可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 D ．1210,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数为5x10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的球的总数为n S ，则（ ）A ．11(2)n n a a n n --=+≥B ．784S =C ．9898992a ⨯=D ．1232022111140442023a a a a +++⋅⋅⋅+= 11．已知在平面直角坐标系中，(1,0)A -，(1,0)B ，(1,1)C ，(2,0)D -，(2,0)E ，P 为该平面上一动点，记直线PD ，PE 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k ⋅=-，设点P 运动形成曲线F ，点M ，N 是曲线F 上位于x 轴上方的点，且MA NB ∥，则下列说法正确的有（ ）A ．动点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．∥P ABC ．PA PC +的最大值为5D ．MA NB ⋅的最小值为9412．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面∥ABC .已知R 为地球半径，N 为北极点，P ，Q 是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（ ）A ．若P ，Q在赤道上，且PQ =，则三棱锥O -NPQ 的体积为316RB ．若P ，Q 在赤道上，且PQ R =，则球面∥NPQ 的面积为213R πC．若NP PQ QN ==，则球面∥NPQ 的面积为2R π D．若NP PQ QN ===，则由球面∥NPQ ，平面OPN ，平面OQN 及平面OPQ 所围成的几何体的体积为349R π三、填空题13．已知直线230x y -=为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，则C 的离心率为___________.14．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.15．已知(4,0)A ，(0,6)B -，点P在曲线1y =上，则PA PB ⋅的最小值为___________. 16．若1ln 2e 0x x kk x++--≥对任意0x >恒成立，则实数k 的取值范围是___________. 四、解答题17．已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差d =2的等差数列，且满足322b a =，341a b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若n c =___________，求{}n c 的前n 项和n S . 请在∥3(1)n n n c a b =+-；∥13n n nb c a -=.这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.18．在∥ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin sin sin sin sin sin A B CA C AB -=-+，且∥ABC 的平分线交AC 于点M .(1)求∥ABC 的大小；(2)若BM =2，且CM =2MA ，求∥BMC 的面积.19．2022年2月4日至2月20日，北京冬奥会在我国盛大举行.在冬奥会如火如荼地进行过程中，不少外国运动员纷纷化身“干饭人”，在社交媒体上发布沉浸式“吃播”，直呼“好吃到舍不得回家”.其中麻辣烫､豆沙包､宫保鸡丁､饺子……不少传统中国美食也借此机会频频亮相.2月16日美联社称麻辣烫成为欧洲部分运动员眼中最好吃的冬奥会美食.荷兰速滑运动员尤塔·里尔达姆（juttaleerdam ）就对麻辣烫赞不绝口，在社交媒体上发布的视频获得20多万点赞.西班牙冰舞选手奥利维亚·斯马特（oliviasmart ）和搭档阿德里安·迪亚斯（adriandiaz ）也告诉美联社，他们每天都在食堂吃麻辣烫.针对于此，欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣烫.该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方（分别称为A 配方和B 配方），并按这两种配方制作售卖.由于不熟悉当地居民是否能吃辣，故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣），得到下面第一天的售卖结果：A配方的售卖频数分布表B配方的售卖频数分布表定义本餐厅麻辣烫的“麻辣度指数”如下表：(1)试分别估计第一天A配方，B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方麻辣烫的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价A配方的“麻辣度指数”比B配方的“麻辣度指数”高的概率.20．在三棱台DEF−ABC中，CF∥平面ABC，AB∥BC，AB=BC=CF=2EF，M，P分别是AC，CF的中点.(1)求证：平面BCD∥平面PBM；(2)求二面角E −BD −P 的余弦值.21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF ==. (1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t ≤≤分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k +-=.（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数λ，使得OAB ABCD S S λ=梯形△，试求实数λ的取值范围.22．已知函数()2e =+x f x ax ，()312cos 3g x x x =+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设()()()h x f x g x =+，若函数()h x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （ii ）求证：12()()8h x h x >+.参考答案：1．D 【解析】 【分析】先化简集合A ，利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合{{}1A x y x x ===≤，{}1,0,1,2B =-， 所以A B ={}1,0,1-， 故选：D 2．D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得12z i =-，结合复数虚部的定义即可得出结果. 【详解】 由i 2i z =+， 得22i (2i)i12i i i z ++===-， 所以复数z 的的虚部为-2. 故选：D. 3．B 【解析】 【分析】直线过圆心，得21a b +=，再由基本不等式，即可求解. 【详解】解：由题意得，直线10ax by 过圆心()1,2，所以21a b +=，所以2112122228a b ab ab +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，（当且仅当2a b =，即11,24a b ==，取“=”）， 又0,0a b >>，所以10,8ab ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选：B4．C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】由题可知，x =140和x =100关于x =120对称， 故此次考试数学成绩低于100分的人数为100，故此次考试数学成绩高于100分的人数约为1000-100=900． 故选：C ． 5．C 【解析】 【分析】A ：验证1D F FB ⋅是否为零即可；B ：根据线面平行的性质即可判断；C ：证明1BD ∥平面11AC D 即可；D ：证明1AA∥平面11BB D 即可． 【详解】对于A ，易知()()1111110D F FB D A A F FA AB A F FA A F FA ⋅=+⋅+=⋅=-⋅≠，故1D F 与FB 不垂直，故A 错误；对于B ，连接11A C 、AC 、EF ，则平面11ACC A 平面1BED F =EF ，若11A C ∥平面1BED F ，则11A C ∥EF ，显然仅当F 和E 为所在棱中点时11A C 与EF 才平行，故B 错误；对于C ，连接1A D 、11A C 、1C D 、1BD 、1AD 、1BC ，由AB ∥平面11ADD A 得AB ∥1A D ，易知1AD ∥1A D ，∥AB ∩1AD =A ，AB 、1AD ⊂平面11ABC D ，∥1A D ∥平面11ABC D ， ∥1A D ∥1BD ，同理可证11A C ∥1BD ，∥1A D ∩11A C =1A ，1A D 、11A C ⊂平面11AC D ，∥1BD ∥平面11AC D ，∥1BD ⊂平面1BED F ，∥平面11AC D ∥平面1BED F ，故C 正确； 对于D ，连接1BD 、1FB 、11B D ，∥1AA ∥1BB ，1AA ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ， ∥1AA ∥平面11BB D ，则F 到平面11BB D 的距离为定值，又∥11BB D 面积为定值，故三棱锥F -11BB D 体积为定值，故D 错误． 故选：C ． 6．A 【解析】 【分析】根据线性回归直线过样本中心点求出a ，从而根据残差的概念即可计算．【详解】由表中数据可得()1212325272931266x =+++++=， ()1151619202123196y =+++++=， 将()26,19代入线性回归方程得到 1.8a =-， ∥0.8 1.8y x =-．将33x =代入，可得0.833 1.824.6y =⨯-=， 因此其残差为25.224.60.6-=． 故选：A ． 7．B 【解析】 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数研究其单调性，通过单调性即可比较各个选项的数的大小． 【详解】 令()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，则当0<x <e 时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；则()()max 1e ef x f ==，对于A ，ln22ln2ln4244==，故A 错误； 对于B ，ln 3ln4ln22ln 3(3)(4)ln 23234f f >⇒>=⇒>，故B 正确； 对于C ，()()ln e 1ln10e 1010eln10e e 10f f >⇒=>⇒>，故C 错误；对于D ，e <，故根据f (x )的单调性可知()ln 222ln ln662f f<⇒<<<⇒<，故D 错误．8．C 【解析】 【分析】根据题设“出入相补原理”，结合函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线2y =围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积. 【详解】由题意知：()f x 关于4x =对称，而当[0,4]x ∈时，2122log (2),022()2log ,242x x f x xx ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，且(0)(8)2f f ==，(4)2f =-，∥在[]0,8x ∈上，()f x 、(8)f x -及2y =的图象如下，∥将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域， 可得到图示：由x 轴、y 轴、2y =、8x =所围成的矩形的面积， ∥函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线2y =围成封闭图形的面积为16. 故选：C 9．BC 【解析】根据平均数、标准差、极差、中位数的定义即可求解. 【详解】解：标准差和极差都可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度，故BC 正确. 故A 错误，中位数为562x x +，故D 错. 故选：BC. 10．BCD 【解析】 【分析】根据题意求得123a a a 、、，进而可得1n n a a n --=，利用累加法求出n a 即可判断选项A 、C ；计算前7项的和即可判断B ；利用裂项相消求和法即可判断D. 【详解】 由题意得，121321=1=2=3n n a a a a a a a n ----=，，，，，以上n 个式子累加可得 (1)=12(2)2n n n a n n ++++=≥， 又11a =满足上式，所以(1)=2n n n a +，故A 错误； 则2345673610152128a a a a a a ======，，，，，， 得7127==1+3+6+10+15+21+28=84S a a a +++，故B 正确；有9898992a ⨯=，故C 正确； 由1211=2()(1)1n a n n n n =-++， 得12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023a a a +++=-+-++-=-=， 故D 正确. 故选：BCD. 11．BCD 【解析】设00(,)P x y 0(0)y ≠，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点P 的轨迹方程，即可判断A ；结合焦点三角形的面积计算即可判断B ；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断C ；结合椭圆的焦半径公式可得4222cos b MA NB a c α⋅=-()MAE α=∠，当90α︒=时MA NB ⋅取得最小值，即可判断D.【详解】 由题意得，设点00(,)P x y 0(0)y ≠，则00120022y y k k x x ==+-，， 由1234k k =-，得00003224y y x x ⨯=-+-，整理，得2200143x y +=0(0)y ≠， 即动点P 的轨迹方程为22143x y +=(0)y ≠，故A 错误； 当点P 运动到椭圆的上顶点时，APB △的面积最大，此时122APBS=⨯B 正确； 由椭圆的定义，得24PA a PB PB =-=-， 而1PC PB BC -≤=，当且仅当P B C 、、三点共线且点P 位于第四象限时等号成立， 所以()()max max 45PA PC PC PB +=+-=，故C 正确； 由椭圆的焦半径公式，得22cos cos b b MA NB a c a c αα==-+，，(其中MAE NBE α=∠=∠)，有4222cos b MA NB a c α⋅=-，当cos 0α=即90α︒=时，MA NB ⋅取得最小值， 此时33(1,)(1,)22M N -，，得3322MA NB ==，， 所以94MA NB ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 12．ABC【分析】根据题意画出图形，证明OP OQ ON 、、两两垂直，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式计算即可判断A 、B ；由NP PQ QN ===构造正四面体，利用等体积法和余弦公式求出PN ，结合对称性即可判断C ；根据选项C 的分析，结合球和三棱锥的体积公式，利用间接法即可求出几何体的体积，进而判断D. 【详解】如图1，因为OP OQ R PQ ===，，所以222OP OQ PQ +=， 则OP OQ ⊥，又ON ⊥赤道所在平面，所以OP OQ ON 、、两两垂直， 则三棱锥的体积O NPQ V -=2311113326oPQS ON R R R ⋅=⨯⋅=，故A 正确； 当OP OQ PQ R ===时，60POQ ︒∠=，则球面NPQ △的面积为226011143602123S R R ππ︒︒⨯=⨯=球，故B 正确；如图2，当NP PQ QN ===时，NPQ △为正三角形， 构造球内接正四面体N PQS -，其中心为O ，连接NO 交SPQ 于H ， 则NO =R ，OH 为正四面体N PQS -内切球的半径，由等体积法可得， 14OH NH =，则1cos cos 33R OH OH NOP HOP OP =∠=-∠=-=-，， 在NOP 中，由余弦定理可得2221cos 23ON OP NP NOP ON OP +-∠==-⋅，即2222123R R NP R +-=-，得PN ，由对称性可得， 球面NPQ △的面积为2211444S R R ππ=⨯=球，故C 正确；如图3，结合选项C 的分析可知3R OH =，则223NH R =，PH R =，PHQ 所在的截面将球分为大半球、小半球两部分，其中大半球的体积为332248=3339V R R ππ⨯=球，在PHQ 中，由余弦定理得，2221cos 22PH QH PQ PHQ PH QH +-∠==-⋅，得120PHQ ︒∠=，则21sin1202PHQS PH QH ︒=⋅=，有313O PHQ PHQV OH S-=⋅=，所以题意中构成几何体的体积为333312088360927R R R ππ︒︒⨯=，故D 错误.故选：ABC.13 【解析】 【分析】根据直线230x y -=是双曲线的一条渐近线，得到23b a =求解. 【详解】解：因为直线230x y -=是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，所以23b a =，所以C 的离心率为=c e a14．3 【解析】 【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差π的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解． 【详解】将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后， 得到sin[()]sin(6)666y x x ππωππωω=+-=+-， sin[()]2sin(6666)y x x ππωππωω=--=--，因为两个函数图象的对称轴重合， 所以()66663()k ωππωππωππ----==，k ∈Z ， 所以3k ω=，k ∈Z ，因为0>ω，所以当1k =时，ω取得最小值为3． 故答案为：3．15．8-8- 【解析】 【分析】由题意得，点P 在以()0,1为圆心，半径为1的下半圆上，计算并化简得((213PA PB ⋅=-，将2表示为点(2,3)-到点(,)P x y 的距离的平方，求解点(2,3)-到圆上任意点的最小距离，即可得答案. 【详解】设(,)P x y ，由题意，点P 在()()221011x y y =≤-≤+， 即点P 在以()0,1为圆心，半径为1的下半圆上，()()224,,646PA PB x y x y x x y y ⋅=--⋅---=-++()()222231313x y =-++-=-，其中2表示为点(2,3)-到点(,)P x y 的距离的平方，当点(2,3)-到点(,)P x y 的距离最小时，PA PB ⋅取最小值，点(2,3)-到点(,)P x y 11=，所以PA PB ⋅的最小值为()21138-=-故答案为：8-【点睛】求解本题的关键是将((213PA PB ⋅=-转化为点(2,3)-到点(,)P x y 的距离的平方减去13-，通过求解点(2,3)-到圆上任意点的最小距离，从而求解出PA PB ⋅的最小值. 16．(],1-∞ 【解析】 【分析】先证明结论e 1x x ≥+，然后将1ln 2e0x x kk x++--≥对任意0x >恒成立变形为1e ln ,(0)2x x x k x x +-≤>+恒成立 ，构造函数1e ln (),(0)2x x x g x x x +-=>+，利用结论求得()1g x ≥，即可求得答案.【详解】先证明一个结论：e 1x x ≥+ ， 设()e 1,()e 1x x f x x f x '=--=- ，当0x < 时，()0,()f x f x '<递减，当0x > 时，()0,()f x f x '>递增， 故min (0)0()()f f x f x ≥== ，即e 10,e 1x x x x --≥≥+； 对于1ln 2e0x x k k x ++--≥对任意0x >恒成立，分离参数得1e ln ,(0)2x x x k x x +-≤>+恒成立 ，令1e ln (),(0)2x x x g x x x +-=>+，则ln 1e ln ln 2ln ()122x x x x x xg x x x ++-++-=≥=++， 当且仅当ln 10x x ++=时取等号，而()ln 1t x x x =++是增函数，且()2211120,10e e t t ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00t x =，故等号能够成立，故1k ≤ ， 故答案为：(],1-∞ 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,其中关键的地方是巧妙变形，利用结论e 1x x ≥+求得函数的最值.17．(1)13-=n n a ，2n b n = (2)答案见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意和等比数列与等差数列的通项公式列出关于q 和1b 的方程组，解之即可； (2)若选∥：由(1)可得321n n c n =+-，利用等差数列与等比数列的前n 项和公式计算即可； 若选∥：由（1）可得213n nn c -=，利用错位相减求和法计算即可得出结果. (1)设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 根据题意，由322b a =，341a b =+，可得112112231b d a q a q b d +=⎧⎨=++⎩，即121427b q q b +=⎧⎨=+⎩，解得123b q =⎧⎨=⎩或161b q =-⎧⎨=-⎩（舍）所以1113n n n a a q --==，1(1)2n b b n d n =+-=.(2)选∥解析：由（1）可得321nn c n =+-，所以23123(3333)(13521)nn n S c c c c n =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-所以()()123133312113222n n n n S n n +-=++-=+-- 选∥解析：由（1）可得213n nn c -=， 所以12323135333213n n n c c c n S c =+++⋅⋅⋅+=++++-⋅⋅⋅∥则231411353333213n n n S +=+++⋅⋅⋅+-∥ ∥-∥得12234112113321222221121133333333313n n n n n n n S -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++⋅⋅⋅+-=+--()111212123111133333n n n n n ++-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-=-=-， 所以113n nn S +=-. 18．(1)π3；【解析】 【分析】(1)已知等式结合正弦定理角化边和余弦定理即可求得cos B ，从而求出B ；(2)根据角平分线性质求出AB 和BC 比值，利用13ABM ABC S AM S AC ==△△即可求出AB 和BC ，从而可求∥BMC 的面积． (1)在∥ABC 中，由sin sin sin sin sin sin sin A B CA C A B-=-+，得到222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+． 由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==．∥(0,π)B ∈，∥π3B =． (2)∥π3B =，BM 为∥ABC 的平分线，∥6πMBC ABM ∠∠==． 由三角形角平分线性质得AB AM BC MC=，∥12AB BC =， 设AB =m ，BC =2m ，13ABM ABC S AM S AC ==△△， 即12sin 12613s πn 2π2i 3m m m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，得到m，BC =∥1π2sin 26BMC S =⋅⋅△19．(1)89.92，88.96，A 配方的麻辣烫的麻辣值的平均数大于B 配方的麻辣烫的麻辣值的平均数 (2)0.33 【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求解，再比较大小即可； （2）根据全概率公式结合概率的乘法公式求解即可 (1)A 配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为()18210862090429418981089.92100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， B 配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为()18218862290389412981088.96100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为89.9288.96>，所以A 配方的麻辣烫的麻辣值的平均数大于B 配方的麻辣烫的麻辣值的平均数. (2)设“其评价A 配方麻辣度指数比B 配方麻辣度指数高”为事件C .记“其评价A 配方的麻辣度指数为4”为事件1A ，“其评价A 配方的麻辣度指数为5”为事件2A ，“其评价B 配方的麻辣度指数为3”为事件0B ，“其评价B 配方的麻辣度指数为4”为事件1B ，则()142180.6100P A +==，()2100.1100P A ==， ()018220.4100P B +==，()138120.5100P B +==. 因为事件i A 与j B 相互独立，其中1,2i =，0,1j =，所以102021()()P C P A B A B A B =++102021()()()P A B P A B P A B =++102021()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.60.40.10.40.10.5=⨯+⨯+⨯0.33=. 所以其评价A 配方的麻辣度指数比B 配方麻辣度指数高的概率为0.33. 20．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）先证明BM ∥平面ACFD ，得BM ∥CD ，由相似三角形证明PM ∥CD ，然后得线面垂直，从而得面面垂直；（2）以M 为原点，分别以MB ，MC ，MD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设1EF =，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角得二面角． (1)证明：在∥ABC 中，因为AB =BC ，且M 为AC 中点，故可得BM ∥AC ， 由CF ∥平面ABC ，且BM ⊂面ABC ，可得CF ∥BM ， 又AC CF C ⋂=，AC ，CF ⊂面ACFD ，故BM ∥平面ACFD ， 又CD ⊂面ACFD ，故BM ∥CD .AB ∥BC ，AB BC =，所以AC ，同理DF =，M ，P 分别是AC ，CF 的中点.所以CF CM DF CP ==，又∥CFD =∥MCP =90°， 故CFD MCP ∽△△，可得∥FCD =∥CMP ，又∥FCD +∥DCM =90°， 故∥CMP +∥DCM =90°，故可得PM ∥CD ，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂面PBM ，故可得CD ∥平面PBM ， 又CD ⊂平面BCD ，故平面BCD ∥平面PBM .(2)设AB =BC =CF =2EF =2则CP =1，可得BM CM DF ===，连接DM ，由（1）所知，BM ，MC ，DM 两两垂直，故以M 为原点，分别以MB ，MC ，MD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.易知)B，()C ，(0,0,2)D，()P由BC =2EF，可得2E ⎫⎪⎪⎝⎭，22DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BD =-， 设平面EBD 的法向量为111(,,)m x y z=，则1111202220m DE x y m BD z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩令11z =，得()2,m =，设平面BDP 的法向量为222(,,)n x y z =，则222220220nDP y z n BD z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =(2,1,2n =，所以22cos ,m n m n mn⋅=== 又因为二面角E −BD −P 为锐二面角，所以二面角E −BD −P . 21．(1)24y x =(2)（i ）2；（ii ）1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)设点00(,)P x y ，根据题意和抛物线的定义求出p 的值即可；(2)设点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 、44(,)D x y ，根据两点求直线斜率公式可得12k k k 、、的表达式，结合题意列出关于k 的方程，求出k ，进而得出直线AB 的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出AB CD 、，由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，求出梯形ABCD 的面积，得到λ与t 的关系式，结合t 的范围计算即可. (1)设点00(,)P x y ，∥32OP PF ==，∥04p x =，∥3422p p PF =+=，∥2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24y x =. (2)(i)设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则212122212112444y y y y k y y x x y y --===-+-，同理：1144k y y =+，2234k y y =+，344k y y =+. 又因为12120k k k k +-=，所以12111k k +=，即2314144y y y y +++=， 所以12344y y y y +++=，即444k k+=，∥2k =.（ii ）由（i ）得：:2()AB y x t =-代入24y x =可得：2240y y t --=，所以12AB y =-== 点O 到直线AB 的距离为d =. ∥1122OAB S AB d =⋅⋅==△同理可求得：CD = ∥()1122ABCD S AB CD d t =+⋅==梯形，∥λ=⋅11λ===∥26t ≤≤，∥1215λ≤≤.综上，实数λ的取值范围为1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．(1)答案见解析(2)（i ）2a <-；（ii ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导()2e x f x a '=+，分0a ≥和0a <讨论求解；（2）由题意得到2()2e 2sin 0x h x a x x '=+-+=在R 上有两个不等实数根1x ，2x ，（i ）设2()2e 2sin x F x x x a =-++，用导数法求解；（ii ）由12x x <，结合（i ）得到120x x <<，设()()()(0)H x h x h x x ->=+，用导数法得到()H x 在(0,)+∞单调递增证明.(1)解：∥()2e x f x a '=+，∥当0a ≥时，()0f x '>恒成立，∥()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无单调递减区间；当0a <时，令()0f x '>，即e 2xa >-，∥ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ，∥()f x 在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)因为函数()()()312e 2cos 3xh x f x g x ax x x =+=+++有两个极值点1x ，2x ，所以2()2e 2sin 0x h x a x x '=+-+=在R 上有两个不等实数根1x ，2x（i ）设2()2e 2sin x F x x x a =-++，则()2e 2cos 2x F x x x '=-+，设()()x F x ϕ'=，()2e 2sin 22e 0x x x x ϕ'=+≥>+ ∥()F x '在(,)-∞+∞上单调递增，又0(0)2e 2cos 000F '=-+=，∥,()0x ∈+∞时，()(0)0F x F ''>= ∥()F x 在(0,)+∞上单调递增，同理()F x 在(,0)-∞上单调递减， ∥min ()(0)2F x F a ==+，∥20a +<即2a <-，又当2a <-时，若0x <，222()2e 2sin 2e 22x x F x x x a x a x a >=-++≥-+++-， ((22224220F a a a --+-=-++=+>-，∥()F x 在()2-上存在一个变号零点1x ，若0x >，222()2e 2sin 22x F x x x a x a x a =-++-++=+>，0Fa a ->+=，所以()F x 在(0上有一个变号零点2x ，又函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞上为增函数， 所以当2a <-函数()F x 有两个不相等的变号零点1x 和2x ， 即()h x 有两个极值点1x 和2x . ∥若有两个极值点，则2a <-.（ii ）∥12x x <，所以由（i ）知，120x x <<，且()h x 在1(,)x -∞单调递增，12(,)x x 单调递减，2(,)x +∞单调递增. 设()()()(0)H x h x h x x ->=+， ∥()()()'''=--H x h x h x ，222e 2sin (2e 2sin )-=+-+-+++x x a x x a x x ， 2e 2e 4sin -=--x x x ，设()2e 2e 4sin ,(0)x x u x x x -=->-，()2e 2e 4cos 24cos 4(1cos )0x x u x x x x -'=+-⋅=-≥>， ∥()u x 在(0,)+∞上单调递增，即()(0)2200H x H ''=--=>. ∥()H x 在(0,)+∞单调递增， ∥()(0)2(0)8H x H h ==>，∥22()()8h x h x +>-，又20x >，∥20x -<，∥21()()h x h x -≤，∥1222()()()()8h x h x h x h x +≥-+>， ∥原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是结合（i ）的结论，构造函数()()()(0)H x h x h x x ->=+，用导数法证明其单调性，再根据其单调性而得证.。
2020届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学理科试题含答案
2020年辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学(理科)第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2⑴已知集合A {x|x 4x 3 0}, B {x|2 x 4}则AUB ()A 1,3B 1,4C 2,3D 2,4(2)已知a,b R,i为虚数单位，若a-i与2+bi互为共轲复数，则代+")2为( )(A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i2(3)双曲线—y21的渐近线方程是( )41 1 一(A)y x (B)y x (C)y 2x (D)y 4x 4 2(4)瑞士数学家欧拉发明了著名的欧拉公式e ix cosx i sin x(i为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1 log2 2 x ,x 1(5)设函数f x 则f 2 f ln6 ( )e x, xT(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(6)已知各项均为正数的数列{a n}为等比数列a1 a5 16® a412,则a?()(A)16 (B)32 (C)64 (D)256(7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是()(A)y sin e x e x(B)y sin e x e xx x x(C)y cos e e (D)y cos e e(8)已知关于某设备的使用年限单位：年和所支出的维修费用(单位：万元有如下的统计资料:由上表可得线性回归方程若规定当维修费用时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为()(A)7 (B)8 (C)9 (D)10(9)已知点P 在抛物线C: y 2 4x 上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1,则点P 坐标为()(A)(1,2) (B) 1,-2 (C)2,2 ,2) (D)(2, 2.2)(10)下列四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB //平面MNP 的图形的序号是()0,| | —,其图象与直线 y 1相邻两个交点的距离为 T t,若对21.......x ——，一,不等式f x1恒成立，则。
辽宁省大连市数学高三理数二模考试试卷
辽宁省大连市数学高三理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的定义域为A . RB .C .D .2. （2分）已知函数，则（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）已知函数的定义域为M，g(x)=2+ln(1+x)的定义域为N，则（）A . {x|x>1}B . {x|-1<x<1}C . {x|x<1}D .4. （2分）(2020·抚顺模拟) 已知，，，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·抚顺模拟) 已知角的终边上有一点，则（）．A .B .C .D .6. （2分）(2020·抚顺模拟) 下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误的是（）A . 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B . 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C . 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D . 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差7. （2分）(2020·抚顺模拟) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·抚顺模拟) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值是（）．A . 4B .C . 8D .9. （2分）(2020·抚顺模拟) 如图，P，Q是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·抚顺模拟) 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“ ”精确到小数点后第七位，即，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字，，则事件“ ”的概率为（）．A .B .C .D .11. （2分）(2020·抚顺模拟) 在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（）．A .B .C .D .12. （2分）(2020·抚顺模拟) 已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为，，点P为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线C的离心率为（）．A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·静安期末) 若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为________.14. （1分） (2020高二下·北京期中) 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________15. （1分）(2020·抚顺模拟) 已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是________．16. （1分）(2020·抚顺模拟) 若对任意实数，恒成立，则 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高一下·南通期末) 已知函数 .（1）若f(－1）＝f(1)，求a ，并直接写出函数的单调增区间；（2）当a≥ 时，是否存在实数x ，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2019高二下·上海期末) 把编号为1、2、3、4、5的小球，放入编号为1、2、3、4、5的盒子中.（1）恰有两球与盒子号码相同；（2）球、盒号码都不相同，问各有多少种不同的方法19. （10分）(2020·抚顺模拟) 在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边，若把沿边折叠到的位置，使平面平面．（1）证明：．（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值．20. （10分）(2020·抚顺模拟) 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数．21. （10分）(2020·抚顺模拟) 已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆C交于A，B两点，M为的中点，直线与椭圆交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形的面积的最小值．22. （10分）(2020·抚顺模拟) 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .（1）求C与l的直角坐标方程；（2）若直线与曲线C交于M，N两点，点，求的值.23. （10分）(2020·抚顺模拟) 已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|2<x <4}，则A ∪B =( ) A.(1, 4) B.(1, 3) C.(2, 3) D.(2, 4)2. 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a −i 与2+bi 互为共轭复数，则(a +bi)2＝（ ） A.5+4i B.5−4i C.3+4i D.3−4i3. 双曲线x 24−y 2＝1的渐近线方程为（ ）A.y ＝±xB.y ＝±x2C.y ＝±4xD.y ＝±2x4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x （i 为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 3i 表示的复数在复平面中位于（ ） A.第二象限 B.第一象限C.第四象限D.第三象限5. 设函数f(x)={1+log 2(2−x),x <1e x ,x ≥1 ，则f(−2)+f(ln 6)＝（ ）A.6B.3C.9D.126. 已知各项均为正数的数列{a n }为等比数列，a 1⋅a 5＝16，a 3+a 4＝12，则a 7＝（ ） A.32 B.16C.64D.2567. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A.y =sin (e x −e −x ) B .y =sin (e x +e −x ) C.y =cos (e x +e −x ) D.y =tan (e x −e −x )8. 已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如表的统计资料：由上表可得线性回归方程y =b x +0.08，若规定当维修费用y >12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过（ ） A.8 B.7C.9D.109. 已知点P 在抛物线C:y 2＝4x 上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为−1，则点P 坐标为（ ） A.(1, −2) B.(1, 2)C.(2, 2√2)D.(2, −2√2)10. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB // 平面MNP 的图形的序号是（ ）A.②③B.①③C.②④D.①④11. 已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为π，若对∀x ∈(π24,π3)，不等式f(x)>12恒成立，则φ的取值范围是（ ） A.(π12,π3) B.[π12, π6]C.[π6,π3]D.(π6,π2)12. 已知三棱锥P −ABC ，面PAB ⊥面ABC ，PA ＝PB ＝4，AB ＝4√3，∠ACB ＝120∘，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ） A.32π B.20πC.64πD.80π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）设向量a →=(2, 4)与向量b →=(x, 6)共线，则实数x ＝________．已知(x −ax )5的展开式中含x 3的项的系数为30，则a 的值为________．数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n ＝n ，则{a n }的前8项和为________．已知函数f(x)=ln ex2−x ，则f(x)+f(2−x)值为________；若∑ 19k=1f(k10)＝19(a +b)，则a 2+b 2的最小值为________12 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a −c)(a 2−b 2+c 2)＝2abc cos C ． 求角B 的大小；(Ⅱ)若a ＝1，b =√3，求△ABC 的面积．如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA ⊥AB ，CD // AB ，且PA ＝CD ＝2AB ＝4．将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P −DC −B ，连接PA 、PB 、BD ． (Ⅰ)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：10数据，统计结果如下表所示．人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5)； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： (i)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； (ii)每次赠送的随机话费和对应的概率为现市民小王要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．附：√210≈14.5，若X ∼N(μ, σ2)，则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)＝0.6827； ②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)＝0.9544；③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)＝0.9973．已知函数f(x)＝x ln x −(a −1)x +a +1． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x >1，不等式f(x)>1恒成立，求整数a 的最大值．已知离心率为e =√22的椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A(0, 1)、B(0, −1)，直线l:x ＝ty +m(m ≠0)与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M ． (Ⅰ)求椭圆Q 的标准方程；(Ⅱ)若OC ⊥OD ，求△OCD 面积的最大值； (Ⅲ)设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM →⋅ON →的值．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=3√2，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =√3sin θ （θ为参数）．(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −a|+|x +2b|，a ，b ∈R ． (Ⅰ)若a =1,b =−12，求f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若ab >0，且f(x)的最小值为2，求|2a+1b|的最小值．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】欧拉因式的京用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】三角表数抛图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积球内较多面绕棱锥于结构虫征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学理试题
辽宁省大连市20XX 年高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．用最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆ,.ni ii ni x ynx y ba y bx xnx==-==--∑∑第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U=Z ，集合A={x ∈U|(2)(1)0x x -+≥），则C u A= A ．{1,0} B ．{0,1}C ．{一1,0,1）D ．{一1,0,1,2}2．复数z 满足1(z i ii ⋅=+是虚数单位），则|z|=A ．lBC ．2D ．43．若sin cos (0,),tan αααπα+=∈则=A ．-1B ．2-C ．2D ．14．x ，y 的取值如右表，从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为 3.5 1.3y x =-，则m= A ．15 B ．16C ．16．2D ．175．已知直线l 、m 平面α、β，且,l m αβ⊥⊂，给出下列四个命题，其中正确的命题是①若//,l m αβ⊥则②若,//l m αβ⊥则③若,//l m αβ⊥则 ④若//,l m αβ⊥则A ．②③B ．①②C ．①④D ．③④6．已知圆222:(2)(2)(0)C x y r r -+-=>过抛物线22y =的焦点，则抛物线22y =的准线与圆C 的位置关系是A ．相切B ．相交 c ．相离 D ．无法确定7．已知实数z 、y 满足不等式组2303270,210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则x —y 的最小值为A ．-3B ．-2C ．-1D ．48．函数()f x 定义域为（a ，b ），则“()0f x '>在（a ，b ）上恒成立”是“()f x 在（a ，b ）上为增函数”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9．已知程序框图如右图所示，则输出的s 为 A ．22013—2 B ．22013—1 C ．22014 -2 D ．22014—110．已知函数f （x ）定义域为R ，对于定义域内任意x 、y ， 都有()()().0f x f y f x y x +=+>且时，f （x ）>0，则 A ．()f x 是偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B ．()f x 是偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C ．()f x 是奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增D ．()f x 是奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减11．已知△ABC中，312sin ,cos ,513A B AB ===则△ABC 的面积为A ．154B ．1514C ．1515414或D ．1515714或12．已知点P 、A 、B 在双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率乘积为13，则双曲线的离心率为 ABC ．2 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．已知向量a ，b 满足+|a+b|一|a-b|，则<a ， b>= .14．若函数141log (1)(0)1(),()22(0)x x x f x f x x -+≥⎧⎪=≤-⎨⎪<⎩则的 解集为 .15．某几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸（单位：m ），可得该几何体的体积为____m 3． 16．已知数列{n a ）满足1111,(2)2(1)n n n n a a a a a n n n --=-=≥-， 则该数列的通项公式n a = 。
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cosC=2√55．(1) 求sinA．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cosθOA→+sinθOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+lnx，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。
辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)
辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知复数(a、b)，是的共轭复数，且则a、b的值分别为（）A . 7，1B . 6，-1C . 7，-1D . 6，12. （2分）若的定义域为A，g（x）＝f（x−1）－f（x）的定义域为B，那么（）A . A∪B＝BB . A BC . A⊆BD . A∩B＝3. （2分）已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α//β是“l//β”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）在5月4日的数学考试中，考试时间为120分钟，为了严肃考风考纪，学校安排3名巡视人员．姜远才助理、李志强主任、王春娇主任在A考场巡视的累计时间分别为30分钟、40分钟、60分钟，何时巡视彼此相互独立．则A考场的某同学在某时刻作弊恰好被巡视人员发现的概率为（）A .B .C .D . 15. （2分）(2013·辽宁理) 在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·桂林期中) 设，则f（g（π））的值为（）A . 1B . πC . ﹣πD . 没有正确答案7. （2分）将函数的图像向右平移，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则所得图像的解析式为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·清城期末) 若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A . 114B . 10C . 150D . 509. （2分）(2017·成都模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A . 13B . 14C . 15D . 1710. （2分）(2016·运城模拟) 如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . πB . πC . πD . π11. （2分）(2020·焦作模拟) 记双曲线：的右焦点为F，以F为圆心，r为半径作圆，以为圆心，为半径作圆．若圆与圆仅有3条公切线，且其中2条恰为双曲线C的渐近线，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·河南月考) 已知，若对任意，当时恒有，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·宝坻期中) 已知，且，求的最小值________.14. （1分）如图，⊥ ，且| |=| |，C点在以O为圆心| |为半径的圆弧AB上，若=x +y ，则x+y的范围是：________．15. （1分）半径为的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为________16. （1分）在数列中， = 若= ，则的值为________.三、解答题：． (共7题；共60分)17. （10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且面积为S，满足S= bccosA（1）求cosA的值；（2）若a+c=10，C=2A，求b的值．18. （5分）某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则该人的幸福度为“很幸福”，按分层抽样的方法从16人中抽取8人，并从8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人“很幸福”的概率．19. （10分）(2018·如皋模拟) 如图，在四棱锥中，已知底面为平行四边形，，三角形为锐角三角形，面面，设为的中点.求证：（1）面；（2）面 .20. （10分）(2018·陕西模拟) 已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为 .（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以为直径的圆与直线恒相切.21. （5分）已知函数在处取得极值，且其图象在点处的切线恰好与直线垂直.（I）求实数a，b的值及f（x）的极大值；（II）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围.22. （5分）(2017·延边模拟) 在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求的值．23. （15分）已知函数的图象过点．（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程在有实根，求实数的取值范围；（3）若函数，则是否存在实数，对任意，存在使成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：． (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡上的相应位置上13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有______种（用数字作答）14．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为______．15．已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是______．=（n+1）a n﹣n十1（n∈N*，n≥2），数16．若数列{a n}满足：a1=0，a2=3且（n﹣1）a n+1列{b n}满足b n=••（）n﹣1，则数列{b n}的最大项为第______项．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016•大连二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC．（I）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•大连二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求∠BAC的大小．20．（12分）（2016•大连二模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明．21．（12分）（2016•大连二模）已知函数f（x）=lnx+kx（k∈R）．（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，试求e a﹣1﹣b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当e a﹣1﹣b+1取最大值时，设F（b）=﹣m（m∈R），并设函数F（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）（2016•大连二模）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．（1）求证：CD为∠ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1．（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且||=，求α的值．[选修4-5：不等式证明选讲]24．（2016•大连二模）已知a，b，c均为正实数，且++=1．（1）证明： ++≤；（2）求证： ++≥1．2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】先确定集合B，再求出B的子集的个数．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，∴B={（2，1）}，∴B的子集共有2个．故选：A．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，确定集合B是关键．2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，可得a＞0，=1﹣ai．由||=，可得=，解得a．【解答】解：复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，∴a＞0，=1﹣ai．∵||=，∴=，解得a=2．则z的虚部为2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的x，t的值，当x=121时满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得x=1，t=0执行循环体，x=4，t=2不满足条件x＞120，执行循环体，x=13，t=4不满足条件x＞120，执行循环体，x=40，t=6不满足条件x＞120，执行循环体，x=121，t=8满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力，属于基础题．5．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．81【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9，由此能求出{a n}的前9项和．【解答】解：∵{a n}为等差数列，3a4+a8=36，∴3（a1+3d）+a1+7d=4a1+8d=36，解得a1+4d=a5=9，∴S9=×（a1+a9）=9a5=9×9=81．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用已知条件求出函数f（﹣x），然后利用二次函数的性质，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）=﹣x2+x+2．函数的图象开口向下，经过（﹣1，0）与（2，0），函数的图象为：．故选：D．【点评】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，考查计算能力．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC、为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD⊥平面ABC，△ABC的面积S==4，所以该多面体的体积V==，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，可得：0＜λ＜1，0＜μ＜1；反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．即可判断出结论．【解答】解：若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．∴0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥【考点】特称命题．【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，即∀x ∈[0，]，sin2x +cos2x ≤a 是真命题，由sin2x +cos2x=sin （2x +）≤a ，得：sin （2x +）≤，由x ∈[0，]得：2x +∈[，]，故sin （2x +）的最大值是1，故只需≥1，解得：a ≥，故选：D ．【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．11．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M （﹣1，2），若•=0，则直线l 的斜率k=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1D ．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y ，根据韦达定理表示出x 1+x 2=2+，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4，由•=0，求得k 值．【解答】解：∵抛物线的方程为y 2=4x ，∴F （1，0），设焦点弦方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2=0由韦达定理：x 1+x 2=2+，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4，y 1+y 2=∵M （﹣1，2），•=0，∴（x 1+1，y 1﹣2）•（x 2+1，y 2﹣2）=0， ∴1﹣2k +k 2=0， ∴k=1． 故选：C ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．12．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥【考点】函数零点的判定定理．【分析】先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值，再利用换元法，即可得出结论．【解答】解：先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值．两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，可求出A（e，e），此时a=e．若a＞e时，则f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）无公共点；若1＜a＜e时，则f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）有两个公共点．对f（x）=e ax﹣lnx（a＞0），换元令t=e a，即得t x=log t x，由上知1＜e a=t≤e，得0＜a≤．故选：A．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。