简易逻辑与充要条件
数学高考复习名师精品教案：第06课时：第一章 集合与简易逻辑-充要条件
数学高考复习名师精品教案第06课时：第一章集合与简易逻辑——充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B == ，p 不能推导出q ；取30,120A B == ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++ ，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件． 解： ∵11111111((02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>> ，欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立， 只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>， 即101(2)t t t t <<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >且2t ≠．例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？ 解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的， 故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。
简易逻辑及充要条
•逻辑基础•充分必要条件•简易逻辑的应用•逻辑推理•逻辑谬误011 2 3命题逻辑联结词举例命题与逻辑联结词命题的真假真值表举例复合命题的真假010203复合命题判断方法举例02如果条件A存在，则结果B一定存在，那么我们就说条件A是结果B的充分条件。
例如如果天下雨（条件A），那么地面会湿（结果B）。
在这里，下雨是地面湿润的充分条件。
充分条件的定义VS必要条件的定义例如充分必要条件的定义那么我们就说条件A是结果B的充分必要条件。
例如充分必要条件的定义03通过逻辑推理，证明数学中的定理和命题。
解题思路利用逻辑分析，寻找数学问题的解决方案。
数学结构在数学中的应用决策制定在讨论和争辩中，运用逻辑推理来支持自己的观点。
论证观点解决问题利用逻辑方法，分析问题并找到有效的解决方案。
实验设计科学论证科学方法通过逻辑分析，评估科学假设和理论的合理性。
科学研究中的观察、实验和推理都离不开逻辑思维的指导。
03020104间接推理是通过引入额外的假设或信息来推导出结论的推理方式。
间接推理通常用于处理复杂的问题或需要引入额外的信息来解决问题的情况。
常见的间接推理方法包括反证法、排除法、归纳法等。
二难推理是一种特殊的间接推理，它涉及到两个或多个相互矛盾的命题，并试图通过引入额外的假设或信息来解决这些矛盾。
二难推理通常用于处理道德、伦理或哲学问题，其中涉及到的命题通常是价值判断而非事实陈述。
常见的二难推理方法包括道德悖论、逻辑悖论等。
05偷换概念在同一思维过程中，论证者故意将两个不同的概念当做一个概念使用，或者用一个概念偷换另一个概念。
转移论题在同一思维过程中，论证者从一个论题转移到另一个论题，这种转移论题的错误也被称作“跑题”。
自相矛盾在同一思维过程中，论证者所持的论题和论据是相互矛盾的，即肯定和否定同一对象。
形式逻辑谬误以人废言以言废人诉诸同情非形式逻辑谬误避免逻辑谬误的方法检查论据和结论是否矛盾确保论题明确保持概念的一致性考虑反例注意逻辑推理的合理性。
成人高考数学题型解析
成人高考数学题型解析一、代数部分1、集合与简易逻辑：这部分试题一般不难，主要是考查考生对简易逻辑的基础知识的掌握程度。
在复习时，应注重对简易逻辑的基础知识的理解和应用，尤其是对“四种命题”及“充要条件”的理解和应用。
2、函数与导数：这部分试题难度一般，主要考查考生对函数的理解和掌握，特别是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
在复习时，应注重对函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对导数的基础知识和应用的理解和掌握。
3、数列：这部分试题难度一般，主要考查考生对数列的基础知识的理解和应用，特别是等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等。
在复习时，应注重对数列的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对数列的通项公式和前n项和公式的理解和应用。
4、不等式与不等式组：这部分试题难度一般，主要考查考生对不等式的基础知识的理解和应用，特别是不等式的解法、均值不等式等。
在复习时，应注重对不等式的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对不等式的解法和均值不等式的理解和应用。
5、复数：这部分试题难度一般，主要考查考生对复数的基础知识的理解和应用，特别是复数的代数形式、几何意义及复数的运算等。
在复习时，应注重对复数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对复数的几何意义和复数的运算的理解和应用。
二、三角函数部分这部分知识包括正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、图像及性质以及简单的三角函数运算。
成人高考对于三角函数的考查主要是以基础知识的考查为主，对于一些复杂的三角函数问题，会以实际应用问题的形式出现。
在复习时，应注重对三角函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对三角函数的图像和性质的熟悉和掌握。
三、平面解析几何部分这部分知识包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像及性质以及一些简单的平面解析几何问题。
在复习时，应注重对平面解析几何的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对平面解析几何的图像和性质的熟悉和掌握。
02简易逻辑--命题及其关系、充分条件与必要条件
a b c a b c 的倾斜度为 l = max , , , min , , ，则 b c a b c a
“l = 1” 是“△ABC为等边三角形”的（ 为等边三角形” B 为等边三角形
）
例8: 设0 < x <
π
2 A.充分不必要条件 充分不必要条件
, 则“ x sin x < 1”是“ x sin x < 1”的 B ） （
(
)(
)
重难点突破： 重难点突破：
1.反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题 例1:已知 a, b, c ∈ R, 若a + b + c < 1 已知
1 a 证明： 证明： , b, c中至少有一个小于 3 2.充要条件的证明： 充要条件的证明： 充要条件的证明
注意找出题中的条件与结论
4.常用的正面词语和它的否定词语 常用的正面词语和它的否定词语
正面词语 等于 小于 大于 是 都是 否定 不等于 不小于（大于 或等于） 不大于（小于 或等于） 不是 不都是（至少 有一个不是） 正面词语 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定 某个 某些 至少有两个 一个也没有 至少有n+1 个
“对任何x ∈ R, x − 2 + x − 4 > 3” 例3:命题 命题 的否定是？ 的否定是？
∃x ∈ R, x − 2 + x + 4 ≤ 3例4:命题“若x 命题2 Nhomakorabea2
< 1, 则 − 1 < x < 1”的逆否命题是
D
.若 A. x ≥ 1, 则x ≥ 1或x ≤ −1 若 − 1 < x < 1, 则x 2 < 1 B.
简单逻辑
简单逻辑与充要条件第一节 简易逻辑【知识必备】1．逻辑联结词与四种命题（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且q ，p 或q ，非p ；（3）复合命题的真假：①对p 且q 而言，当q 、p 为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假。
②对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真。
③对非P 而言，当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。
(命题的否定)（4）四种命题：记“若p 则q ”为原命题，则：否命题为: ，逆命题为: ，逆否命题为: 。
其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。
因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
2.全称量词与特称量词（1）全称量词与存在量词①全称量词：用符号“”表示。
②存在量词：用符号“”表示。
（2）全称命题与特称命题①全称命题：含有全称量词的命题。
“对任意x ∈M ，有p （x ）成立”简记成 。
②特称命题：含有存在量词的命题。
“存在x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成 。
【题型分析】题型一: 复合命题中以非P 考察最多1.如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ” 是真命题，那么 （ ）A.命题p 一定是真命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 一定是假命题D.命题q 可以是真命题也可以是假命题2.已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是真命题； ④命题“”是假命题其中正确的是 （ ）A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④3.（1）p ：有些质数是奇数，写出“非p”： 。
（2）p ：方程x2-5x+6=0有两个相等的实根，写出“非p”： 。
（3）p ：四条边相等的四边形是正方形。
写出“非p”： 。
4.写出下列命题的否定，并判断其真假(1)不论m 取什么实数，20x x m +-=必有实根。
∀∃tan 1p x R x ∃∈=：，使2320q x x -+<：{|12}x x <<p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∨p q ⌝∨⌝(2)存在一个实数x ，使得210x x ++≤。
成人高考数学考点分析(文科)-副本
第一章 集合和简易逻辑一、考点：交集、并集、补集 概念：1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素）A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素）A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作A C u ,读作“A 补”A C u ={ x|x ∈U ，且x A }解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现二、考点：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。
1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。
2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。
3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。
解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判 2001年(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M T)N 是（ ）(A) }6,5,4,2{ (B) }6,5,4{ (C) }6,5,4,3,2,1{ (D) }6,4,2{(2) 命题甲：A=B ，命题乙：sinA=sinB . 则（ ）(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。
2002年（1） 设集合}2,1{=A ，集合}5,3,2{=B ，则B A 等于（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,3,5} （C ）{1,3} （D ）{2,5}（2） 设甲：3>x ，乙：5>x ，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C ）甲是乙的充分必要条件； （D ）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年（1）设集合{}22(,)1M x y x y =+≤，集合{}22(,)2N x y x y =+≤，则集合M 与N 的关系是（A ）M N=M （B ）M N=∅ （C ）N M （D ）MN（9）设甲：1k =，且 1b =；乙：直线y kx b =+与y x =平行。
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31006简易逻辑与充要条件(1).
原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一、 g3.1006简易逻辑与充要条件（1） 知识回顾1、2、逻辑联结词、简单 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的 构成复合3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合 （2）“p 且q ”形式复合 （3）“p 或q ”形式复合4、常用正面词语的否定如下表：5、四种 原 否 (1)交换原(2)同时否定原 (3)交换原 6、四种 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否 ①、原 ②、原 ③、原7、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.8、反证法：从二、基本训练 1．（05天津卷）给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bb aa +≥+11②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切 其中假 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.（05湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.三、例题分析例1.下列说法：①2x+5>0；②02<；③如果x>2，那么π就是有理数；④如果x ≠0，那么x1就有意义.一定是(A) ①② (B) ①③④ (C) ②③④ (D) ①②③. 例2.设有两个（1）关于x 的不等式x 2+(a －1)x+a 2>0的解集是R ；（2）f(x)=x a a )12(2log ++是减函数.且（1）和（2）至少有一个为真例3. 已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.四、课堂练习1.（04年广州综合测试）设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。
1.2 简易逻辑及充要条件
基础自测
1.下列语句是命题的是 ①求证 3 是无理数； ②x2+4x+4≥0； ③你是高一的学生吗？ （ ）
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2+4x+7>0. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤
解析
①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句.而 1 ②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数 既不是 2 素数也不是合数，②⑤是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0
(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.
否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零,真命题.
逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题. 探究提高 (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆 否命题时，首先要看这个命题是否有大前提.若有大 前提，必须保留其大前提，大前提不能动.
（2）四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性; 相同
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假
性___________. 没有关系
3.充分条件与必要条件 (1)如果p q,则p是q的________,q是p的________; 充分条件 必要条件 (2)如果pq,qp,则p是q的__________. 充要条件
p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题.
（3）∵0，∴p为假命题，
3 29 3 29 又 x 3x 5 0, x , 2 2 3 29 3 29 2 {x | x 3x 5 0} x | x R成立. 2 2
一个为真命题，故选C.
[精]高三第一轮复习全套课件1集合与简易逻辑第4课时 充要条件
![[精]高三第一轮复习全套课件1集合与简易逻辑第4课时 充要条件](https://img.taocdn.com/s3/m/f8fd42c28bd63186bcebbc45.png)
4.对于集合M，N和P，“PM且PN”是“PM∩N” 的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，则┐p 是┐q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案： (4) C
第4课时 充要条件
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件 2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件 3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件 4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
2．求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的 充要条件是a-b分两步：证充分 性即证A =>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与 证明中的叙述一致
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延伸·拓展
3．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根 的充要条件.
【解题回顾】本题解答时，一是容易漏掉讨论方程 二次项系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证 充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
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1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的 ___ 2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D 是C的充分而不必要条件，那么D是A的________ 3.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的解集为R的 充要条件是( ) (A)m＜0 (D)m≤1 答案： (1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)C (B)m≤0 (C)m＜1
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
04简易逻辑--充要条件
1.命题 可以判断真假的语句 命题 可以判断真假的语句. 2.逻辑联结词 "或","且", 逻辑联结词 或 " 非" . 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 简单命题 不含逻辑联结词的命题 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题 复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表 复合命题真值表 真 真 真 真 假 "非 p" 假 非 假 形式的复合 假 命题与 p 的 "p 或 q"形式的复合命题当 p 与 q 同时为假 形式的复合命题当 真假相反; 时为假 其它情形为真 真假相反 时为假, 其它情形为真; 非p 真 假 假 真 p p q p或q 真 真 假 真 真 真 假 假 p q p且q 真 真 假 假 真 假 假 假 "p 且 q"形 形 式的复合命题 当p 与q同时为 同时为 真时为真, 真时为真 其 它情形为假. 它情形为假
θ
θ
θ +cos θ =a1+sinθ =a2 1+sinθ =|a| 而 sin 2 2 1+sinθ =a,
的既不充分也不必要条件. ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件
(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切 轴相切. 解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切 与 E |= 1 D2+E2-4F 且 E≠0 D2-4F=0 . |- 2 2 ≠ E≠0 ≠ D2-4F=0 形成的值看作集合 Q, P 形成的集合看作 P, 将 E≠0 ≠ 的必要但不充分条件. 显然 Q P. ∴p 是 q 的必要但不充分条件 (4) p: 多面体是正四棱柱 q: 多面体是长方体 多面体是正四棱柱, 多面体是长方体. 正四棱柱是特殊的长方体, 解: ∵正四棱柱是特殊的长方体 ∴{正四棱柱 {长方体 正四棱柱} 长方体}. 正四棱柱 长方体 的充分但不必要条件. ∴p 是 q 的充分但不必要条件 (5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形 为等腰三角形. 中 为等腰三角形 解: ∵acosB=bcosA, ∴2RsinAcosB=2RcosAsinB. ∴sin(A-B)=0. ∴A=B . ∴pq. 中没有指明哪两个角相等, 而 q 中没有指明哪两个角相等 又显然 qp, 的充分但不必要条件. ∴p 是 q 的充分但不必要条件
专题02 充要条件与简易逻辑-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(原卷版)
专题02充要条件与简易逻辑目录【题型一】充要条件求参1：充分不必要条件求参...............................................................................................1【题型二】充要条件求参2：必要不充分条件求参.................................................................................................2【题型三】充要条件求参3：综合应用.....................................................................................................................3【题型四】全称特称命题............................................................................................................................................3【题型五】逻辑联结词求参........................................................................................................................................4【题型六】综合求参1：充要条件与函数综合.........................................................................................................5【题型七】综合求参2：充要条件与三角函数综合.................................................................................................6【题型八】综合求参3：充要条件与不等式综合.....................................................................................................6【题型九】综合求参4：简易逻辑与函数综合.........................................................................................................7【题型十】综合求参5：新定义与充要条件.............................................................................................................8培优第一阶——基础过关练........................................................................................................................................9培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................10培优第三阶——培优拔尖练.. (11)【题型一】充要条件求参1：充分不必要条件求参【典例分析】若不等式|1|x a -<成立的充分条件为04x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．{3}a a ≥∣B ．{1}a a ≥∣C ．{3}a a ≤∣D ．{1}aa ≤∣1.一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()2.函数3()1f x x ax a =-+-有两个零点的一个充分不必要条件是（）A ．a =3B ．a =2C ．a =1D ．a =03.．集合，．若“a ＝1”是“A B φ⋂≠”的充分条件，则实数b的取值范围是________．【题型二】充要条件求参2：必要不充分条件求参【典例分析】已知p ：201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞专题1-2简易逻辑题型归类-2-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）1下列选项中，是“∅是集合{}2|210,R M x ax x a =++=∈的真子集”成立的必要不充分条件的是（）A ．(,0)a ∈-∞B ．(,0]a ∈-∞C ．(,1]a ∈-∞D ．(,2)a ∈-∞2.已知函数()283640f x x x =-+-在[)1,2上的值域为A ，函数()2x g x a =+在[)1,2上的值域为B ．若x A ∈是x B ∈的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,+∞3.已知命题31:01x p A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____；【题型三】充要条件求参3：综合应用【典例分析】已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1.“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >2.设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}40C x x x =∈->R ，则“x A B ∈U ”是“x C ∈”的_______条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要)3.若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的___________条件.【题型四】全称特称命题【典例分析】命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（）A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞nB ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞nC ．()**00N N n f n ∃∈∉，且f （n 0）＞n 0D ．()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 01已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（）A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =2.命题“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为（）A ．[]1,2x ∀∈，2320x x -+>B ．[]01,2x ∃∈，200320x x -+≤C ．[]01,2x ∃∈，200320x x -+>D ．[]01,2x ∃∉，200320x x -+>3.若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-⋃+∞【题型五】逻辑联结词求参【典例分析】命题:p 关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，:q 函数()()32xf x a =-是增函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数a 取值范围为（）A ．()(),22,-∞-+∞B ．(][),21,2-∞-C ．(](],21,2-∞-D ．(][),22,-∞-+∞1.已知命题p ：x R ∃∈，()()2110m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx -+>恒成立.若p q∧为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤2.已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)x y a =-为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤D ．112a <<3已知命题2:540p x x -+≤；命题1:13q x<-，若q p ⌝∧是真命题，则x 取值范围是（）.A ．[]1,2B ．[)(]1,23,4 C ．[]1,4D ．[]2,3【题型六】综合求参1：充要条件与函数综合【典例分析】已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，则对于实数a ，b ，“a b >”是“()()f a f b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式训练】1.已知实数a 满足01a <<，则“21x -<”是“函数()()2log 23a f x x x =+-单调递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.“10,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“函数()()314,1,1m x m x f x mx x ⎧-+<=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.使函数1,1()1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠的充分不必要条件为（）A ．0m <或1m >B ．112m -<<C ．01m <<D ．1122m -<<【题型七】综合求参2：充要条件与三角函数综合【典例分析】已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式训练】1.．在ABC 中，角、、A B C 的对边为,,a b c ，则“A B =”成立的必要不充分条件为（）A ．cos cos AB =B ．sin sin A B=C ．cos cos b A a B=D ．cos cos a A b B=2.已知函数f （x ）＝sinωx （ω＞0），则“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的_____条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)【题型八】综合求参3：充要条件与不等式综合【典例分析】已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式训练】1.已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞2.使得0a b >>成立的一个充分不必要条件是（）A ．110b a >>B ．a b e e >C ．22a b >D ．ln ln 0a b >>3.已知实数a ，b ，则“0a b +>”是“0a a b b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题型九】综合求参4：简易逻辑与函数综合【典例分析】已知命题:p 函数()20.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()52xy a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．12a <<C ．2a <D ．1a ≤或2a ≥【变式训练】1.已知命题:p 若1a >，则0.2log 0.21a a <<；命题:q 若函数22()1f x mx m x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为(,0)(0,2]-∞⋃，下列说法正确的是（）A ．p q ∧为真命题B ．q 为真命题C ．p 为假命题D ．()p q ⌝∧为假命题2.已知命题p ：()24242m m+<+⨯，命题q ：函数2()(1)1f x m x mx =--+在区间3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减.若命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围为（）A ．3(,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．)2C ．(,1])-∞⋃+∞D ．12,,23⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭3设有两个命题p ：不等式14xx e a e+>的解集为R ；q ：函数()(73)x f x a =--在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是（）．A ．12a ≤<B ．723a <≤C ．723a ≤<D ．12a <≤【题型十】综合求参5：新定义与充要条件【典例分析】已知a 、b 、c 、d R ∈，则“{}{}max ,max ,0a b c d +>”是“{}max ,0a c b d ++>”的（）注：{}max ,p q 表示p 、q 之间的较大者.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即{}[]5k n k n Z =+∈，给出四个结论：①2015[0]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；④“整数a 与b 属于同一“类””的充要条件是“[0]a b -∈”.其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．（1）如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件．3.对于定义在D 上的函数()f x ，点(),A m n 是()f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x D ∈都有()()22f x f m x n +-=，判断函数()32234f x x x x =+++的对称中心______.分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.二次函数2()21f x ax x =+-在区间(,1)-∞上单调递增的一个充分不必要条件为（）A ．1a >B ．2a <-C ．102a -<<D ．01a <<2.设命题p ：431x -≤，命题q :()()22110x a x a a -+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______3.已知集合261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．4.已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（）A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤15.已知命题:p “[]0,1x ∀∈，x a e ≥”；命题:q “0x R ∃∈，使得20040x x a ++=”.若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4B ．[]1,e C ．[],4e D ．[)4,+∞6.“ln ln a b ≥”是“1122a b ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.“26x k ππ=+，k Z ∈”是“1sin 2x =”成立的____________条件.8.已知集合1{|0}1x A x x -=<+，B ={x |(x −b )2<a }，若“a =1”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．9.设[]:2,3p x ∀∈，1kx >，:q x R ∃∈，20x x k ++≤．若p 或q 为真，p 且q 为假，则k 的取值范围为（）A ．11,,42⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭10.若实数a ，b 满足0a ≥，0b ≥，且0ab =，则称a 与b 互补．记(),a b a b ϕ=-，那么“(),0a b ϕ=”是“a 与b 互补”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件培优第二阶——能力提升练1.设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________2.已知2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__．3.1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______．4.已知()sin f x x x =-，命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，5.已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(]2,1-C ．(]1,2D ．[)1,26.设ab 为实数，则“12x<”是“12log 1x <”的（）条件.A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要7.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω），则“πb a ω->”是“函数()f x 在(),a b 上不单调”的________条件.（填“充分不必要、必要不充分、充分必要、非充分非必要”之一）8.已知a ，b ，R c ∈，则“00ab bc >⎧⎨>⎩”是“b c b ca a -+<”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知命题p ：函数()221f x ax x =--在()0,1内恰有一个零点；命题q ：函数2-=a y x 在()0,+¥上是减函数．若()p q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+¥B ．(],2-∞C ．(]1,2D ．(],1-∞10.如果对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数.例如2.273=，11=，0.50-=.那么“x y =”是“1x y -<”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件培优第三阶——培优拔尖练1.已知2:320x x α-+≤，:x a β<，若α是β的充分条件，则满足条件的最小的整数a 为_______.2.已知：条件p ：120x-≥和q ：()()22110x a x a a -+++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.3.若2320x x -+<是()()210x m x m ---<的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是___________.4.已知命题p ：{}12x x x ∃∈<<，0x a -≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．2a >C ．2a ≤D ．2a ≥5.已知:,2sin 0p x m x ∀∈-R ；:q 关于x 的方程210x mx ++=的解集至多有两个子集．若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．2m >B ．2m <-C ．2m <-或2m >D ．22m -<<6.已知函数()12ax f x x +=+（R a ∈），则“12a >”是“()f x 在区间（0，+∞）上单调递增”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，函数f （θ）＝2cos 2cos θθ+θ的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是__．8.．已知a ，b 为非零实数，则“a b <”是“a b b a <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知命题:p “x ∀∈R ，2220x x a -+>”，命题:q “函数2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ”，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,4B ．()1,3C ．()1,2D ．()2,410.若“()222330x k x k k -+++>”是“2340x x +-<”的必要不充分条件，则实数k 不可能是（）A ．8-B ．5-C ．1D ．。
1.2 简易逻辑及充要条件
解
(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，
若 sin A＝sin B， 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° )，所以只有 A＝B.故 p 是 q 的充要条 件． (2)易知，綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然 綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充 分不必要条件． (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q 但 q⇒p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
变式训练 1 若 a、b、c∈R，写出命题“若 ac<0，则 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根”的逆命题、 否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假． 解 逆命题“若 ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R)有两个不
相等的实数根，则 ac<0”是假命题，如当 a＝1，b＝ －3，c＝2 时，方程 x2－3x＋2＝0 有两个不等实根 x1 ＝1，x2＝2，但 ac＝2>0. 否命题“若 ac≥0，则方程 ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R) 没有两个不相等的实数根”是假命题．这是因为它和逆 命题互为逆否命题，而逆命题是假命题． 逆否命题“若 ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R)没有两个不 相等的实数根，则 ac≥0”是真命题．因为原命题是真 命题，它与原命题等价．
探究提高
判断 p 是 q 的什么条件， 需要从两方面分析：
一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得 条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除 借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还 可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性， 转化为判断它的等价命题．
人教A版高中数学选修一第一章 简易逻辑
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第一章 简易逻辑一、知识梳理 1、命题:可以 的语句叫命题。
其中判断为真的语句叫 判断为假的语句叫 。
2、四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。
3、四种命题之间的关系(1)原命题与 同真假；逆命题与 同真假(2)区别“命题的否定”与“否命题”： 4、逻辑联结词： ； ； 。
用逻辑联结词联结的命题叫复合命题。
复合命题的真假关系如下：当 时，p q ∧是真命题；当 时，p q ∧是假命题 当 时，p q ∨是真命题；当 时，p q ∨是假命题 若p 是真命题，则p ⌝是 ；若p 是 ，则p ⌝是真命题。
5、充要条件若p q ⇒，则称p 是q 的 ；若q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ； 若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ； 设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ，则 若A B ⊆则p 是q 的 ；若A B =则p 是q 的 ；若A ÜB 则p 是q 的 ；若A ÚB 且B ÚA 则p 是q 的 ； 6、反证法的步骤：否定结论．．．．，推出矛盾．．．．，肯定结论．．．．。
词语是 都是 大于 小于 等于 至少一个 至多一个 ∀∈x M ，()p x 0∃∈x M ，0()p x词语的否定二、例题解析例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出四种命题的真假. (1) 已知,a b 为实数，若22a b >则a b >；(2)若0x y +≤则00x y ≤≤或 (2) 设,a b ∈R ，若0,0a b ab +>>则0,0a b >>例2：证明：若22220a ab b a b ++++-≠则1a b +≠.三、反馈练习1.已知命题“p q 或”为真，“非p ”为假，则（ ）A.p 真、q 假B.p 真、q 可能真也可能假C.p 假、q 真D.p 假、q 可能真也可能假2.已知命题p ：若实数,x y 满足220x y +=则,x y 全为0；命题q ：若a b >则11a b<.给出下 列四个复合命题：①p q ∧；②p q ∨；③p ⌝；④q ⌝.其中真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 设0abc ≠，“0ac >”是“曲线22ax by c +=为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.红黄蓝三只箱子，有一苹果在其中一个箱子里，红箱子上写着：苹果在这个箱子里；黄箱子上写着：苹果不在这个箱子里；蓝箱子上写着：苹果不在红箱子里.这三句话中只有一句话是真的，则可知苹果在 箱子里.5.命题“x ∃∈{}正实数，使x x <”的否定为 命题 .6.已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a b +是负数；④ab 是非正数.写出一个逆否命题是真命题的复合 命题 .7.设命题p ：411x -≤；命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条 件，求实数a 的取值范围.8.设命题p ：函数2()23f x x ax =--+在(1,)-+∞上单调递减；命题q ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R .如果命题p q ∨为真，q ⌝为假，求实数a 的取值范围.第二章 圆锥曲线与方程§2.1 椭 圆一、椭圆的定义1、平面内与 等于常数(大于12FF )的点的轨迹叫做椭圆。
1-3简易逻辑
分利用点、线、面的位置关系的相关定理与性质．
2．本题第(1)问事实上就是求长方体对角线的长度；
本题第(2)问实际上是“过平面外一点和过平面内一点的直线与平面内不
过该点的直线是异面直线”结论证明的改编题．
3．(1)求平行六面体的对角线长可利用空间向量进行运算． (2)异面直线的判定，直线与平面平行和平面与平面平行的判定定理的证 明都可采用反证法.
即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.
另一方面又a4 －b4－2b2＝1，即为a4－(b4 ＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0，(a2 －b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2 ＝1既是a4－b4 －2b2＝1的充分条件，也是a4－b4－2b2＝1的必要 条件.
由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、 “非”构成的命题是 复合命题 ． 复合命题的构成形式是p或q，记作“p∨q”； p且q，记作“p∧q”； 非q ，记作“綈q”．
3．判断复合命题真假的方法 p 真 真 假 假 4．(1)命题的四种形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p，则q. 若q，则p. 若綈p, 则綈q. 若綈q, 则綈p. q 真 假 真 假 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假 非p
(2)证明：假设直线ME与BN共面，
则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF. 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所 以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不 成立．
证法二：只需证明SnSn＋2≠S ∴SnSn＋2－S
高一数学第三讲 简易逻辑与充要条件
高一数学第三讲 简易逻辑与充要条件一．知识归纳：1．命题与逻辑联结词（1）命题：能够判断其真假的语句，因此疑问句、祈使句都不是命题.（2）若一个命题是正确的，该命题叫真命题；若一个命题不正确，该命题叫假命题.由命题的概念，一个命题不是真命题就是假命题。
（3）由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用小写字母p 、q 表示命题，则复合命题的基本形式是“p 或q”，“ p 且q”以及“ 非p”.（4）逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，A∪B={x|x∈A,或x∈B}.逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系，A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
逻辑联结词“非”，可以与集合中的“补”相联系 ，C u A={x|x∈U,且x ∉A}.2、真值表（1）一个简单命题的真假易于判断，但一个复合命题的真假不一定容易判断，真值表是判断复合命题真假的有力工具。
（2）对一个复合命题，如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词，只要逐一判断简单命题的真假，就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假.（3）真值表中，“非p”形式的复合命题的真假与p 相反；“p 且q”形式的复合命题，当且仅当p 、q 都为真时为真，其余情况均为假；“p 或q”形式的复合命题，当且仅当p 、q 都为假时为假，其余情况都为真.3．四种命题（1）在初中学习原命题和逆命题的基础上，引进了否命题和逆命题的概念。
（2）将一个命题采用①交换命题的条件和结论，②同时否定命题的条件和结论；③同时否定和交换命题的条件和结论，分别产生了原命题的逆命题，否命题和逆否命题。
如果原命题为“若p 则q”，则逆命题为“若q 则p”，否命题为“若¬ p 则¬ q”，逆否命题为“若¬ q 则¬ p”. （3）在四种命题之间关系的图示中，要理解其中互逆，互否，互为逆否的含意.原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价. 4.反证法从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
充要条件
例1
指出下列命题的复合形式， 并判定真假．
(1)24 既是 8 的倍数，也是 6 的倍数； (2)矩形的对角线互相垂直或相等； (3)菱形不是平行四边形； (4)3≥0；
x－1y－1>0 (5)若 x>1，y>1，则 . x＋y－2>0
【思路分析】 根据数学的含义，找清两个 简单命题，结合真值表判定． 【解】 (1)p：24是8的倍数，q：24是6的倍 数，p，q都真． 本命题：p且q为真． (2)p：矩形的对角线互相垂直，假． q：矩形的对角线相等，真． p或q为真．
【答案】
A
【思维总结】
这种题型都要从p⇒q，q⇒p
两个方面来考虑是否成立．
方法感悟 方法技巧 1．正确判断复合命题真假的步骤 (1)首先确定复合命题的形式； (2)然后指出其中简单命题的真假； (3)根据真值表判断这个复合命题的真假．如 例1.
2．当一个命题有大前提而要写出其它三种 命题时，必须保留大前提，也就是大前提不 动． 3．若p⇒q，则p是q的充分条件，同时q也是 p的必要条件；若p⇔q，则p与q互为充要条 件．应理解充分条件、必要条件、充要条件 的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结 论”，画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条 件”问题的一种好的方法，注意用集合的包 含关系来判定． 把满足p的条件记为集合A，满足q的条件记 为B.
如果既有p⇒q，又有q⇒p，则记作p⇔q，就 充要条件 说p是q的充分必要条件，简称________． (2)若p⇒q，但q p，则p是q的充分但不必 要条件； 若q⇒p，但p q，则p是q的 必要但不充分条件 ________________．
思考感悟 1．逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或 ”意义相同吗？ 提示：逻辑联结词中的“或”与日常生活用语 中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或” 带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而
成人高考数学知识点梳理
第一部分代数第一章 集合和简易逻辑一.元素与集合的关系： x A ∈ 或 ｘ∉A 二.集合的运算：１.交集 A ∩B=｛ｘ︱x A ∈且x B ∈｝ ２.并集 A ∪B ＝｛ｘ︱x A ∈或x B ∈｝ 三.充分条件.必要条件：１.充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. ２.必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.３.充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.第二章 函数一、函数的定义：１.理解ｆ的含义，掌握求函数解析式的方法－配方法 ２.求函数值３.求函数定义域：１）分式的分母不等于０；２）偶次根式的被开方数≥０；３）对数的真数＞０；二.函数的性质１.单调性：（１）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数２.奇偶性 （１）定义：若()()f x f x -=，则函数)(x f y =是偶函数；若()()f x f x -=-，则函数)(x f y =是奇函数.（２）奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（３）常见函数的图象及性质（熟记）３.反函数定义及求法：（１）反解；（２）互换ｘ，ｙ；（３）写出定义域。
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青山、青海、二壮一起跑到围观的人群中，三狗子那精彩绝伦的表演让耿直羡慕不已。看了一会儿后，他无限惋惜地说：“俺真正惭愧啊，居然 没有玩儿过‘火团儿’！”二壮说：“你惭愧什么啊！俺倒是没有离开过家，但也没有摇过这玩意儿呢！”耿直问：“你为什么不玩儿玩儿啊？ 你看，三狗子摇得多带劲儿哇！俺老羡慕呢！明年八月十五，俺真想学一学！”二壮说：“三狗子他二哥当年就是一个好把式呢！不过哇，你要 真想学，也可以让青山和青海先教一教你。他俩也都摇过，只不过没有三狗子摇得这么好罢了。”耿直听了，就要找这哥儿俩请教，但看看左右， 他俩人都不见了，只有二壮一人还在陪着他看呢，就说：“哎，他俩呢？”二壮说：“谁知道呢？俺也是不见他俩答话，才发现他们已经不在了 的。”耿直有些不乐意了，说：“这俩人，怎么不说一声就溜了！”二壮说：“小兄弟啊，人家可能是去„„”耿直见二壮打住不说了，就接着 说：“去干什么了？难道说他们饿了，又跑回去吃去了不成？”二壮斯文地笑了，说：“你真是一个小兄弟啊，他们才刚刚吃了那么多，哪里能 够饿了呢？”耿直不高兴地说：“俺当然是你们最小的兄弟了，可他俩这不说一声就溜了，俺还是很不乐意呢！”二壮再次斯斯文文地笑一笑， 轻声说：“别不乐意啊，以后找他俩算账就是了。你不是想学摇‘火团儿’吗？好好看哇，这几年啊，三狗子可是咱们镇上摇得最好的了呢！” 耿兰被董妞儿拽着手，一直挤到了围观人群的最里边。等到挤进去了后，董妞儿的眼睛就有些个不够用了，也忘记了再拽好朋友耿兰的手，只管 望着三狗子出神„„正在摇“火团儿”的三狗子似乎看见了站在最里圈正在出神的董妞儿，故意将“火团儿”每一次摇到董妞儿面前的时候，就 快速地变换一个夸张的摇甩花样儿，吓得董妞儿“哎呀！”惊叫一声，继而拍手叫好起来！三狗子将那一大团红彤彤的火球摇得更加出神入化 了„„郭氏、刘氏和裴氏出来以后围观的人已经很多了，它们只好站在人群的外围。感觉有些个挡眼，就找个高一点儿的土圪台挤着站了，一起 兴致勃勃地观看三狗子正在表演的摇“火团儿”绝技。随着那些变幻莫测的摇甩花样儿的不断变化，他们清晰地听到了董妞儿一声又一声的惊叫 声和紧接着的拍手叫好声，并且很快就寻着声儿望到了耿兰和董妞儿。刘氏看着三狗子一个又一个惊险的摇甩花样儿，吓得抓紧郭氏和裴氏的手， 着急地说：“这个该死的三狗子，怎么老在俺家妞儿那儿变换花样啊，烧着了可怎么是好哇！”裴氏也有些着急地说：“看他那个摇甩的样子， 好像是在故意吓唬妞儿呢！你们看，兰兰就在妞儿的旁边呢，可每一次摇到兰兰前面的时候，就离远一些了呢！”刘氏更着急了，说：“不行， 俺得去拉妞
§1.4简易逻辑与充要条件
Байду номын сангаас
2. 真值表 :
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
真假 相反
非p 假 假 真 真
一真 必真
p或 q 真 真 真 假
一假 必假
p且 q 真 假 假 真
真值表 2.复合命题真假的判断方法.
§1.4简易逻辑与充要条件
3.四种命题 在两个命题中，如果第一命题的条件 ( 或 题设 ) 是第二个命题的结论，且第一个命题的 结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫 做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的逆命题在两个命题中， 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条 件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做 互否命题 . 把其中一个命题叫做原命题，另一 个就叫做原命题的否命题.
§1.4简易逻辑与充要条件 四种命题
原命题 若 p则 q 互 逆 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若┒q则┒p
注：2、充要条件判断方法
互 否
否命题 若┒p则┒q
互
逆
①定义法 ②等价法 利用命题的逆否命题 A B等价于 B A A B等价于 B A ③集合法 A B 则A是B充分条件;
§1.4简易逻辑与充要条件
本节课重点讨论研究了四种命题之间的关 系及真假判断． 原命题
若p则q 互 否 互逆
逆命题
若q则p
互 否
若p则q
否命题
逆否命题
互逆
若q则p
§1.4简易逻辑与充要条件
4.反证法证题的步骤是什么？ (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； (2)从假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证 明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难 或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的 基本思想：通过证明命题的否定是假命题， 从而说 明原命题是真命题．
非p为真.
逻辑联结词 或、且、非
p或q、 p且q、 非p 的真假判断方法
简 易 逻 辑
四种命题
充要条件 反证法
A B 则A是B的充分条件，B是A的必要条件； 判断 A B 则A是B的充要条件或B是A的充要条件. 方法
步 骤
①反设：假设命题的结论不成立； ②归谬：从假设出发，推理，得出矛盾; ③结论：判断假设不正确,肯定命题正确.
§1.4简易逻辑与充要条件
1.命题的判断 1)非p形式复合命题的真假有如下结论：当 p为真时，非p为假，当p为假时，非p为真 2)p 且 q 形式复合命题的真假有如下结论： 当p、q都为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一为假时，p且q为假 3)p或q形式复合命题的真假有如下结论： 当p、q中至少有一为真时，p或q为真； 当p、q都为假时，p或q为假.
则B是A必要条件.
A B 则A是B的必要条件.
注：1、常见关键词的否定
关键词 否 是 都是(全是） ＞(＜) ≤ (≥) 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 任意 存在 或 且
定 不是 不都是(全是)
§1.4简易逻辑与充要条件
p、q中至少有 p、q中两个均 p为真时， 一个为真时， 为真时，命题 非p为假； 命题p或q为真， p且q为真，否 p为假时， 否则为假. 则为假.
§1.4简易逻辑与充要条件
5.充分条件与必要条件
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分 条件；q是p的必要条件． 由上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就 足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。 但同时说q是p的必要条件是为什么呢？ 不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条 件呢？ 应注意条件和结论是相对而言的．由“pq”等 价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立， 故q就是p成立的必要条件了.但还必须注意,q成立时,p 可能成立,也可能不成立,即q成立不保证p一定成立．
§1.4简易逻辑与充要条件
一般地，如果既有pq，又有q p，就 记作：pq.“”叫做等价符号。
p q表示p q且q p．
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条 件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
§1.4简易逻辑与充要条件
1)若AB且B≠>A，则A是B的 充分非必要条件. 2)若A≠>B且BA，则A是B的 必要非充分条件. 3)若AB且BA，则A是B的 充要条件. 4)若A≠>B且B≠>A，则A是B的 既不充分条件，也必要的条件.