安徽省肥西县农兴中学2010-2011学年高二数学上学期期末检测 理
安徽省高二上学期期末考试数学试题(理)
1合肥一中、合肥168中学高二上学期期末数学试卷命题人：合肥一六八中学祝文革 冯继国本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分100分，考试时间100分钟。
考生注意事项：必须在标号所指示的答题卷上答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（） A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π2.命题“存在∈0x R ，02x ≤0”的否定是( ) A ．不存在∈0x R, 02x >0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈x R, 2x ≤0D ．对任意的∈x R, 2x>03.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知椭圆1254122=+yx 的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） A ．10 B ．20 C ．241 D ． 4145.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ) A ． 4 B ． 6 C ．8 D ．126.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，若11===AD AB AA ，6011=∠=∠=∠BAD AB A AD A ，则直线1AC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )A.32 B.322 C.33 D.367.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A.3B.11C.22D.108.已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A(1,2),且090=∠BAC ，则动直线BC 必过定点（ ） A. (2,5) B. (-2,5) C. (5,-2) D. (5,2) 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9.若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于坐标原点对称，则圆C 的方程是____________________________ 10.如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，A B OA 底面⊥，2=OA ，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为_______________11.P 为单位正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任意一点，则AC AP ⋅的最大值为_____________________12.光线由点P(2,3)射到直线1-=+y x 上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在直线方程为_________________________ 13.在三棱锥P-ABC 中，给出下列四个命题：① 如果PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的垂心；② 如果点P 到∆ABC 的三边所在直线的距离都相等，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的内心； ③ 如果棱PA 和BC 所成的角为60︒,PA=BC=2,E 、F 分别是棱PB 、AC 的中点,那么EF=1； ④ 如果三棱锥P-ABC 的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的投影的面积都不大于12；其中正确命题的序号是____________三、解答题: 本大题共5小题，共48分 14.(本小题满分6分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在线段AM 上，点N 在CM 上，且第5题图第10题图2满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .求曲线E 的方程.15.(本小题满分8分）圆锥SO 的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC ＝045. ①圆锥SO 的体积；②在圆锥母线SC 上是否存在一点E ，使得OEA SC 平面⊥，若存在，求此时EC SE ∶的值；若不存在，说明理由.16.(本小题满分12分）如图ABCD 为正方形，ABCD VD 平面⊥,VD=AD=2,F 为VA 中点，E 为CD 中点. ①求证：VEB DF 平面//；②求平面VEB 与平面VAD 所成二面角的余弦值；③V 、D 、C 、B 四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S ，求S.17.(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知：)4,0(),0,3(B A ，O 为坐标原点，以点P 为圆心的圆P 半径为1. ①点P 坐标为P （1，2），试判断圆P 与OAB ∆三边的交点个数；②动点P 在OAB ∆内运动，圆P 与OAB ∆的三边有四个交点，求P 点形成区域的面积.18.(本小题满分12分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为3，右准线方程为33=x（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆O ：222r y x =+上动点)0)(,(0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A,B ，是否存在实数r 使得AOB ∠始终为090。
安徽省合肥一中10-11学年度高二第一学期阶段一考试(数学理)缺答案
合肥一中2009-2010年高二上学期段1考试理科数学试题一,选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填在答题卷的表格内.1, 空间三条直线交于一点，则它们确定的平面数可为（ ） A,1 B,1或2或3 C,1或3 D,1或2或3或42．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ ）． A ， 4π B ， 54π C ， π D ，32π 3．两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能4,长方体1111ABCD A BC D -中，16,4,2AB AD AA ===,那么从点A 经过面11A ABB 、面1111A B C D 的表面最后到达1C 的最短距离( )A,2+4+ D,5,两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么,圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A,1:2:3 B,1:7:19 C,3:4:5 D,1:9:276,在空间四边形ABCD 的各边,,,AB BC CD DA 上分别取,,,E F G H 四点,如果EF 和GH 相交于点P ,那么（ ）A,点P 必在直线AC 上 B,点P 必在直线BD 上C,点P 必在平面ABC 外 D,点P 与平面ABC 的位置关系无法确定.7，已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，有以下四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确的两个命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8，一个四面体的所有棱长都是2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 2πC. 29π D. 9π 9，已知正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为CD 上一点，且1:2:=ED CE ，则截面△ABE 的面积是（ ）A ，242a B ，222a C ，21217a D ，21219a 10，如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论不正确的是（ ） A ，AC BE ⊥B ，//EF ABCD 平面C ，三棱锥A BEF -的体积为定值D ，异面直线,AE BF 所成的角为定值答题卷 一,选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合正视图 侧视图 俯视图二,填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,请将答案填在相应题号的横线上11,正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1AD 与1A B12,正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为13，如图所示，OABC 是正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图为四边形O 1A 1B 1C 1， 那么O 1A 1B 1C 1的面积是 ．14，已知圆台的上下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长15，如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为三,解答题:本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16，(本大题满分10分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知该四棱锥底面边长是2m ,m ,（1）求侧棱与底面所成角；（2）求.制造这个塔顶需要多少铁板?17，(本小题满分10分)如图,PA ⊥菱形A B C D 所在的平面,,M N 分别是,A B P C 的中点.(1)求证://MN 平面PAD ; (2)求证:平面PBD ⊥平面PAC .2） Q P C'B'A'C BA18，(本小题满分10分)如图所示， PA ⊥平面ABCD ， 90,ADC ∠=//,AD BC AB AC ⊥，且2,AB AC G ==为PAC ∆的重心，E 为PB 的中点，F 在线段BC 上，且2CF FB =．（１）求证：//FG 平面PAB ；（２）求证：FG AC ⊥；（３）当PA 长度为多少时，FG ⊥平面ACE ?19，(本小题满分10分)P 是平行四边形ABCD 外一点，60,22,DAB AB AD a PDC ∠=︒==∆是正三角形，BC PD ⊥（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）求三棱锥B ADP -的体积P CD。
合肥市数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
三、 解答题 (共6题；共60分)
17. （20分） (2018高二上·定远期中) 在平面直角坐标系中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以 为圆心的圆 ： （ ） 与圆 交于 ， 两点.
（1） 若直线 与圆 切于第一象限，且与坐标轴交于 ， ，当直线 长最小时，求直线 的方程；
（2） 若直线 与圆 切于第一象限，且与坐标轴交于 ， ，当直线 长最小时，求直线 的方程；
（3） 设 是圆 上异于 ， 的任意一点，直线 、 分别与 轴交于点 和 ，问 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
B . 若命题p： x R，x2＋x十1≠0，则 p： R，x2＋x十1＝0
C . 若p q为真命题，则p，q均为真命题
D . “x＞2”是“x2一3x＋2＞0”的充分不必要条件
6. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则 等于（ ）
A .
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
9. （2分） (2016高二上·鞍山期中) 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，若点O是△ABC的内心，则（ ）
A . PA=PB=PC
B . 点P到AB，BC，AC的距离相等
C . PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA
D . PA，PB，PC与平面α所成的角相等
（I）求证：点C的纵坐标是定值；
（II）过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l¢交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．
安徽省合肥一中1011高二数学第一学期段一考试 理 【会员独享】
合肥一中2010—2011学年度第一学期高二年级段二考试数学试卷（理科）说明：第一卷是《必修2》的模块结业考试，第二卷的得分不计入模块结业考试中。
第一卷（《必修2》模块结业考试试卷）（100分）一、选择题（每小题5分，共10小题，计50分。
） 1．构成多面体的面最少是（ ）A ．三个B ．四个C ．五个D ．六个2．将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周, 形成的几何体一定是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．以上均不正确3．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.135．如果直线ax y ++=220 与直线320x y --=平行, 那么系数a = ( )A ．－3B ．－6C ．-32D ．236．若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．（0，4）B ．（0，2）C ．（－2，4）D ．（4，－2）7．自点A （－1，4）作圆1)3()2(22=-+-y x 的切线，则切线长为（ ）A ．5B ． 3C ．10D ．58．已知M (－2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．222=+y xＢ．422=+y xＣ．222=+y x （2±≠x ）Ｄ．422=+y x （2±≠x ）9．若直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤0，12D ．[0,2]10．正方体ABCD －1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）C.23二．填空题（每小题5分，共4题，计20分）11、经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为________________________． 12、以点(－3,4)为圆心且与圆422=+y x 相外切的圆的标准方程是____________________. 13、已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=2，则球O 的表面积等于___________________.14、棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为__________________． 三、解答题（每题10分，共3题，计30分）15．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点， 12AF AB BC FE AD ====(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；16、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0, 求直线'l 的方程, 使得： (1) 'l 与l 平行, 且过点(－1，3) ;(2) 'l 与l 垂直, 且'l 与两轴围成的三角形面积为4.17、已知圆C 经过点A (1,3)、B (2,2)，并且直线l ：3x －2y ＝0平分圆C ，求圆C 的方程；BADF ME第二卷(50分)一、填空题（每题4分，共7题，计28分） 1、下列语句中是命题的有_____________________. ①0542=+-x x②求证5是无理数；③6=8④对数函数的图象真漂亮啊！ ⑤垂直于同一个平面的两直线平行吗？2、下列命题中正确的有_________________. ①R x ∈∃，使2cos sin =+x x ；②对R x ∈∀，2sin 1sin ≥+xx ； ③对)2,0(π∈∀x ，2tan 1tan ≥+xx ；④R x ∈∃，使2cos sin =+x x .3、若R b a ∈,，则122<+b a 是1||||<+b a 成立的_______________条件。
安徽省肥西县农兴中学2010-2011学年高二上学期期末检测(物理)
肥西农兴中学2010～2011学年第一学期高二年级期末检测物理试卷命题人：刘 盛 审题人：解正保注意事项：1、本试卷满分100分，考试时间90分钟；其中试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，满分40分；第Ⅱ卷为非选择题, 满分60分。
2、请考生将所作答案填写在答题卷上，写在试卷上无效！3、请考生在答题卷规定的位置填写班级、姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题：（本题10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得4分，选错或不选均得0分。
）1．A 为已知电场中的一固定点，在A 点放一个电荷量为q 的正的点电荷，所受的电场力为F ,A 点的场强为E ，则：A ．若在A 点换上点电荷-q ，A 点的场强方向将发生变化B ．若在A 点换上电荷量为2q 的点电荷，A 点的场强变为2EC ．若将A 点的电荷移去，A 点的场强变为零D ．A 点的场强的大小、方向与放在该处的q 的大小、正负、有无均无关 2．一个阻值为2Ω的电阻，通过它的电流为1A ，下列说法正确的是：A ．1s 内通过该电阻的电荷量为2CB ．该电阻1s 内的发热量为2JC ．该电阻的发热功率是4WD ．以上说法都不对3．如上图所示为两电阻R 1、R 2中的电流I 和电压U 的关系图线，可知两电阻的大小之比R 1：R 2等于：A ．1：3B ．3：1C ．1：3D ．3：14．如下图所示，当S 闭合后，画出的通电电流磁场中的小磁针偏转的位置正确的是：5．关于电容器，下列中说法正确的是：A 、电容器的带电量Q 为两极板所带电荷量的总和B 、两个相互靠近又彼此绝缘的导体就构成一个电容器C 、由C=Q/U 可知，一只电容器的带电量越大，它的电容就越大D 、由C=Q/U 可知，一只电容器两端电压越小，它的电容就越大6．两个相同的带异种电荷的导体小球所带电荷量的比值为1∶3，相距为r 时相互作用的库仑力的大小为F ，今使两小球接触后再分开放到相距为2r 处，则此时库仑力的大小为：A ．F 121B ．F 61C ．F 41D ．F 317．点电荷置于真空中的O 点，A 、B 、 C 三个虚线圆表示该点电荷电场中三个等势面，如图所示 。
2010-2011高二上期末考数学答案(文)
一、选择题：（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
C
B
A
B
C
B
A
C
二、填空题：（每题4分，共16分）
13、 14、7
15、216、 ；
三、解答题：（共74分）
17、（满分12分）
17.解：
当 为真命题时，则 ，
解:(1)依题意得 ，解得 椭圆方程为 抛物线方程为
………………6分
(2)
①当直线 与 轴垂直时， , ，
②当直线 与 轴垂直时，直线与抛物线只有一个交点，
③因此直线 的斜率存在且不为0.
法一：设直线 的方程为
由 得 ……7分
设 ,由韦达定理可知:
…………10分
由 解得 ………12分
法二：设直线 的方程为 ……
22、（满分14分）
解:（1） ，
………………4分
（2）
令 解得 的增区间为 ；
令 解得 的减区间为 ；
……………8分
（3）如果不等式 在 上恒成立,
那么 ,由（2）知:
,即 的取值范围是
…………14分
附加题(4)
是首项为1，公差为2的等差数列
当 时， ．……………12分
19、（满分12分）
解:(1)设平均成本为 元，
则 ，
，令 得 ．
当在 附近左侧时
在 附近右侧时 ，
故当 时， 取极小值，
而函数只有一个点使 ，故函数在该点处取得最小值，
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线方程为y2=12x，则下列说法正确的是（）A . 抛物线通径长为5B . 焦点在y轴上C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D . 过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为102. （2分）(2017·山东模拟) 命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A . ∃x∈R，x2+x≤0B . ∃x∈R，x2+x＜0C . ∀x∈R，x2+x≤0D . ∀x∈R，x2+x＜03. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .4. （2分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A . 对立事件B . 互斥但不对立事件C . 不可能事件D . 必然事件5. （2分）从甲、乙两个班级各抽取5名学生参加英语口语竞赛，他们的成绩的茎叶图如图：其中甲班学生的平均成绩是85，乙班学生成绩的中位数是84，则x+y的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 106. （2分）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α相交但不垂直7. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A . 72B . 90C . 101D . 1108. （2分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A . 若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B . 若a+b是偶数，则a，b都是奇数C . 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数9. （2分）(2017·西城模拟) 设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A .B .C . x±8y=0D . 8x±y=010. （2分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB . 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）(2017·长宁模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为________．12. （1分） (2018高一下·江津期末) 高一某班有学生50人，其中男生30人。
安徽省肥西县农兴中学2010-2011学年高二上学期期末检测(语文)
肥西农兴中学2010～2011学年第一学期高二年级期末检测语文试卷命题人：赵发审题人：陈春注意事项：1、本试卷满分150分，考试时间150分钟。
2、请考生将所作答案填写在答题卷上，写在试卷上无效！3、请考生在答题卷规定的位置填写班级、姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交。
第Ⅰ卷（共78分）一、基础知识（每题3分，共18分）1、下列加点字注音正确的一项是（）A、决．（jué）起而飞蓬蒿．（hāo）加沮．(jǔ) 恶．(è)乎待哉B、东隅．(yú) 请缨．(yīng) 遄．飞（tuán）衡阳之浦．(fǔ)C、削．（xiāo）足适履咬文嚼．（jiáo）字斗．拱(dǒu) 数．（shuò）见不鲜D、精髓．（suǐ）迤逦．．（yǐlǐ）央浼．（yāngměi）歇憩．（qì）2、下列没有错别字的一项是（）A、我校座落在紫蓬山北麓，风景秀丽，文化底韵深厚，是读书求学的好地方。
B、中学生要学会自强自立，做一只遨翔于蓝天的雄鹰。
C、湘西的端午节热闹极了，尤其是赛龙舟，捉鸭子比赛，锣鼓喧阗，真的很给力。
D、做人不能好高鹜远，应脚踏实地，才能成大器。
3、下列加点的成语使用恰当的一项是（）A、小李认为差生一无是处，其实社会需要各方面人才，不能唯成绩论，看问题要全面，不能目．无全牛．．．。
B、非诚勿扰2的那首《见与不见》的小诗最近可火了一把，关注媒体的人都耳熟能详．．．．。
C、最近媒体称高考要改革，有的科目一年可考两次，这个消息真是大快人心．．．．。
D、在儒家的传统中，孔孟总是形影相吊．．．．。
既有大成至圣，则有亚圣；既有《论语》，则有《孟子》；孔曰“成仁”，孟曰“取义”；他们的宗旨是一致的。
4、下列各句中，没有语病的一项是( )A、这位建筑师的出色工作和独特设计，已被有关单位采用并受到国外的关注。
B、联合国秘书长安南离职后，在联合国欧洲办事处所在地日内瓦定居并安度晚年，从而实现了他多年以来的夙愿。
安徽高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若直线与直线平行，则的值为（ ） 1:480l ax y ++=()2:3180l x a y +++=a A ．3 B ．C ．3或D ．或44-4-3-【答案】B【分析】两条直线平行，则斜率相等，注意排除两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行， 1:481l ax y ++=()2:3180l x a y +++=所以，解得：或，()143a a +=⨯3a =4a =-当时，，两直线重合，不符合题意； 3a =12:3480,:3480l x y l x y ++=++=当时，，符合题意．故． 4a =-12:4480,:3380l x y l x y -++=-+=4a =-故选：B2．设，已知直线与圆，则“直线与圆相交”是“”的（ ） R m ∈:1l y mx =+22:1C x y +=l C 0m >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义和直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】若直线与圆相交，:1l y mx =+22:1C x y +=由点到直线的距离公式可得：，解得：且，不一定有；1d =R m ∈0m ≠0m >若，则圆心到直线的距离，所以直线与圆0m >00（，）1y mx =+1d =<:1l y mx =+相交，22:1C x y +=所以“直线与圆相交”是“”的必要不充分条件. l C 0m >故选：B ．3．设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同a 争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为（ ）b (),a b A ．B ．()544,5()455,4C ．D ．()4455A ,C ()4455C ,A 【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理求出即可得解.,a b 【详解】每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有种选择，所以； 5454a =每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有种可能结果，所以， 4545b =所以. 54(,)(4,5)a b =故选：A ．4．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件1216下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．23341312【答案】C【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A ， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，B 则由题意可得，()()11,26P A P AB ==则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下， 第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为． ()()()13P AB P BA P A ==∣故选：．C 5．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时342312射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．3423782324【答案】D【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】设甲射击命中目标为事件，乙射击命中目标为事件，丙射击命中目标为事件， A B C 则，，， 3()4P A =2()3P B =1()2P C =因为相互独立，所以也相互独立，,,A B C ,A B C 则三人都没击中目标的概率为()()()(P ABC P A P B P C =(1())(1())(1())P A P B P C =---，3211(1)(1)43224=---=所以目标被击中的概率是， 12312424-=故选：D ．6．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ） A ．360种 B ．240种 C ．150种 D ．90种【答案】C【分析】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，有两种分配方式：，或，先进1,1,31,2,2行分组，再进行分配，即可求解.【详解】5名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为，或两种情况.1,1,31,2,2先分组， 1131225435422222C C C C C C 25A A +=再将分好组人员分配到3个社区有，33A 6=所以不同的分配方案共有． 256150⨯=故选：C ．7．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足D ABC O ABC ,x y ，则的最小值为（ ）OD xOA yOB OC =+- 22x y +A ．BC ．1D ．245【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为，点在确定的平面内，OD xOA yOB OC =+-D ABC 所以，即，所以， 11x y +-=2x y =-222222(2)2442(1)22x y y y y y y +=-+=-+=-+≥所以当时，的有最小值2．1y =22x y +故选：D8．抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线与抛物线在轴上方22(0)y px p =>F l F π3x 的部分相交于点，垂足为，若的值为（ ） ,A AK l ⊥K AFK △p A ．1 B ．2C D ．3【答案】A【分析】根据抛物线定义结合得到是等边三角形，并根据三角形面积公式π,3AFx AK l ∠=⊥AKF 得到，从而求出的值.2AF AK ==p 【详解】根据抛物线的定义可知，，又， AF AK =π,3AFx AK l ∠=⊥故是等边三角形，又，设，则AKF AFK △AF m =21sin 602m ︒=解得：，2m =故可得，2AF AK ==因为，所以， 60KFO ADF ∠=∠=︒112EF KF ==故． 21OF p ==故选：A ．9．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A 是、在第一象限的公1F 2F 1C 2213y x -=2C 1C 2C 共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．2C 22221x y a b+=A ．224a b +=B ．的内切圆与x 轴相切于点（1，0）12AF F △C ．若，则的离心率为 121F F F A =2C 23D ．若，则椭圆方程为 12AF AF ⊥22173x y +=【答案】A【分析】对于A ：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判2c ==222a c b -=定；对于B ：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求122F M F M -=124F M F M +=解；对于C ：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率1F A 2F A 121F F F A =公式进行求解；对于D ：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程.()()22211416a a c ++-==【详解】对于A ：由可得，2213y x -=2c ==所以，即选项A 错误； 2224a b c -==对于B ：设的内切圆的圆心为I ， 12AF F △且圆与边、、相切于N 、M 、K ， 1AF 12F F 2F A 可得，，， AN AK =11F M F N =22F M F K =又因为，122AF AF -=所以，12122F N F K F M F M -=-=又，解得，．124F M F M +=21F M =13F M =可得M 的横坐标为1，即I 的横坐标为1，即选项B 正确； 对于C ：在椭圆中，，， 2C 122F A F A -=122F A F A a +=则．1222F A a =+由，得 ，解得a ＝3． 12124F F F A c ===2422a ⨯=+则的离心率，即选项C 正确； 2C 23c e a ==对于D ：因为，， 122F A F A -=122F A F A a +=则，．11F A a =+21F A a =-若，则． 12AF AF ⊥()()22211416a a c ++-==又c ＝2，，解得．222b a c =-a =b =则椭圆的方程为，即选项D 正确．22173x y +=故选：A.二、多选题10．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ）nx ⎛⎝A ．7n =B ．展开式中各项系数的和为1-C ．展开式中只有第4项的二项式系数最大 D ．展开式中含项的系数为84 4x 【答案】ABD【分析】根据展开式的二项式系数和的性质求出，可判断A 正确；令，求出展开式中各项n 1x =系数的和，可判断B 正确；根据展开式中二项式系数的单调性，可判断C 错误；利用展开式的通项公式计算，可判断D 正确．【详解】对于A ，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故nx ⎛ ⎝2n721282n ==7n =A 正确；对于B ，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B 正确；1x =771211x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝==-1-对于C ，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，37C 47C 所以，又，3477C C =3210456777777777C C C C ,C C C C >>>>>>所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C 错误；对于D ，因为的展开通项为，7x ⎛ ⎝3772177C (2)C kk k k k k k T x x --+⎛==- ⎝令，得，则，所以含项的系数为84，故D 正3742k -=2k =224443776(2)C 48421T x x x ⨯=-=⨯=⨯4x 确．故选：ABD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．已知随机变量，若，则 (),XB n p ()()30,10E X D X ==13p =B ．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12C ．已知，则23A C n n =8n =D ．从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 4591【答案】BC【分析】对于A ，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B ，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C ，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D ，利用超几何分布的概率即可判断【详解】对于：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得A ，解得，故错误； ()()30,(1)30(1)10E X np D X np p p ===-=-=23p =A 对于：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有B 44A 24=（种），故两位女生不相邻的概率是，故B 正确；2223A A 12=12对于：由，得，解得，故正确；C 23A C n n =()()()121321n n n n n ---=⨯⨯8n =C 对于：设随机变量表示取得次品的个数，则服从超几何分布，D X X 所以，故错误．()21410314C C 152C 91P X ===D 故选：．BC 12．如图，正方体的棱长为，为的中点，为的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -2E 1BA F 1CCA ．与不垂直 DE 1AB B ．直线平面//EF ABCD C ．直线与平面EF 11ABB AD ．点到平面B 1ACD 【答案】BD【分析】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，即可得到所有A 1,,AB AD AA ,,x y z 点的坐标.通过计算即可判断A 选项；取平面的一个法向量，进而判断B 选项；取1DE A B ⋅ABCD 平面的一个法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值，进而判断C 选项；11ABB A EF 11ABB A 先求出平面的一个法向量，进而求得到平面的距离，即可判断D 选项. 1ACD B 1ACD 【详解】如图，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， A 1,,AB AD AA ,,x y z 则，()()()()()()()112,0,0,0,0,2,1,0,1,2,2,2,0,0,0,0,2,0,2,2,1B A E C A D F 对于A ，，所以，所以，故A 错误；()()11,2,1,2,0,2DE A B =-=- 10DE A B ⋅=1DE A B ⊥对于B ，取平面的一个法向量为， ABCD ()10,0,1AA =因为，所以，()1,2,0EF = 10EF AA ⋅=因为平面，所以直线平面，故B 正确；EF ⊄ABCD //EF ABCD 对于C ，取平面的一个法向量为，11ABB A ()0,1,0AD =u u u r设直线与平面所成的角为，则EF 11ABB A θsin θ因为，所以，所以． 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦cos θ==sin tan 2cos θθθ==所以直线与平面所成角的正切值为2，故C 错误；EF 11ABB A 对于D ，因为，所以，()2,2,0C ()()12,0,0,0,2,2DC A D ==-设平面的一个法向量为， 1ACD ()111,,m x y z =由可得，100m DC m A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20000220x y z ++=⎧⎨+-=⎩令，则有，即，因为，1y =01x z =⎧⎨=⎩()0,1,1m = ()12,0,2A B =- 所以由点到面的距离公式可得．所以D 正确．1A B md m ⋅==故选：BD.三、填空题13．有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则X ()21E X +=__________． 【答案】##3.4 175【分析】根据超几何分布的期望公式，和期望的性质可求出结果. 【详解】由题意可得：服从超几何分布，． X ()65nM E X N ==所以. ()()1721215E X E X +=+=故答案为：． 17514．某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知X ()2110,10N ，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．(100110)0.34P X <≤=【答案】240【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以可得结果.(120)P X ≥1500【详解】因为考试的成绩服从正态分布，所以正态曲线关于对称，X ()2110,10N 110X =因为，所以(100110)0.34P X <≤=()()1120100(100110)2P X P X P X ≥=≤=-<≤10.340.162=-=，所以该班数学成绩在120分以上的人数为（人）． 0.161500240⨯=故答案为：24015．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和2个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱中取出12,A A 3A 的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的B 事件，则__________． ()P B =【答案】##0.45 920【分析】分三种情况，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即全概率公式求出答案.【详解】根据题意，事件发生且事件发生的概率为；1A B 111224⨯=事件发生且事件发生的概率为； 2A B 1225525⨯=事件发生且事件发生的概率为； 3A B 34121010100⨯=故． ()1212942510020P B =++=故答案为：． 92016．已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，直线与圆相P 22:1169x y C -=,P Q O 1PF 222x y r +=切于点且，其中分别为双曲线的左､右焦点，则的面积为M 12OM OP OF =+12,F F C 1PFQ △__________． 【答案】9【分析】根据双曲线的定义，结合内切圆的性质、平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】如图，连接，因为两点关于原点对称，2PF ,P Q O所以的面积等于的面积．直线与圆相切于点，则． 1PFQ △12PF F △1PF 222x y r +=M 1OM PF ⊥因为，所以为的中点，又为的中点，所以，则12OM OP OF =+M 1PF O 12F F 2OM PF 21PF PF ⊥．由双曲线得：．22:11612x y C -=4,5a c ==，则．12,PF m PF n ==28m n a -==因为，所以，所以21PF PF ⊥222(2)100m n c +==，()2222()1006436mn m n m n =+--=-=所以，故的面积等于，即的面积为9． 18=mn 12PF F △192mn =1PFQ △故答案为：9．四、解答题17．已知圆，直线，且直线和均平分圆22:40C x y mx ny ++++=12:10,:20l x y l x y --=-=1l 2l C ．(1)求圆的方程；C(2)与圆相交于两点，且，求a 的值． 0y a ++-=C ,M N 120MCN ∠=o 【答案】(1) 224240x y x y +--+=(2)或 0a =2a =-【分析】（1）根据直线和的交点就是圆心，可求出结果；1l 2l （2）利用，推出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 120MCN ∠=o 12【详解】（1）因为直线和均平分圆，所以直线和均过圆心，1l 2l C 1l 2l C因为，解得，所以直线和的交点坐标为，所以圆心的坐标为，1020x y x y --=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩1l 2l ()2,1C ()2,1因为圆，所以圆心坐标为，所以，解得，22:40C x y mx ny ++++=,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2212mn ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩42m n =-⎧⎨=-⎩所以圆的方程为．C 224240x y x y +--+=（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径， C 22(2)(1)1x y -+-=()2,1C 1r =因为，且为等腰三角形，所以，120MCN ∠=o MCN △30CMN ∠= 因为，所以圆心的距离1CM CN r ===C 0y a ++-=1sin sin302d r CMN ∠===，根据点到直线的距离公式，即， 12d 11a +=解得或，0a =2a =-所以实数的值为或．a 0a =2a =-18．据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码x 12 3 4 5 产值（亿元 y )16 20273037(1)根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（结果保y x r y x 留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性0.751r ≤≤y x 0.75r <y x 不强．）(2)求出关于的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为亿元．y x 67.6参考公式：．1221ˆˆ,nni ii nii nxyx y nxyr b a y bx xnx ==-===--∑∑ 参考数据：．55522111442,55,3654,52.3i i ii i i i x y x y y =======≈∑∑∑【答案】(1)与线性相关性很强； 0.994,r y ≈x (2)年4月. ˆ 5.210.4,2023yx =+【分析】（1）根据相关系数公式得到，即可得到答案.0.994,r y ≈（2）根据最小二乘法得到回归直线方程为，再代入求解即可. ˆ 5.210.4yx =+ˆ67.6y =【详解】（1）．123453,265x y ++++===所以，520.99452.3r ==≈≈因为，故与线性相关性很强[]0.75,1r ∈y x （2）由题意可得，， 4425326 5.255ˆ59b-⨯⨯==-⨯所以， ˆˆ26 5.2310.4ay bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为， y x ˆ 5.210.4yx =+当时，，故2023年4月份该企业的产值约为亿元． ˆ67.6y=ˆ 5.210.467.611y x x =+=⇒=67.619．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响23的．(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)； 45(2)甲公司竞标成功的可能性更大．【分析】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果. (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断. 【详解】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；所求概率 2134243366C C C 4.C C 5P =+=（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．X X 1,2,3．()()()122130424242333666C C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5P X P X P X =========则的分布列为：XX 12 3P 15 3515，()1311232555E X ∴=⨯+⨯+⨯=；()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为． Y Y 0,1,2,3，， ()1027P Y ==()2132121C 339P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()2232142C 339P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()3283327P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭则的分布列为： Y Y 012 3P1272949827． ()124801232279927E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．()()()(),E X E Y D X D Y =<20．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平P ABCD -ABCD PAB PAB ⊥面分别是棱的中点．,,ABCD E F ,PC AB(1)证明：平面．BE //PDF (2)求平面与平面夹角的正弦值．PBC PDF【答案】(1)证明见解析【分析】（1）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，根据与平面的法向量垂F ,FA FP ,y z BEPDF 直，可证结论；（2）利用二面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以， PAB F AB PF AB ⊥又平面平面，平面平面平面， PAB ⊥ABCD PAB ⋂,ABCD AB PF =⊂PAB 所以平面，底面是正方形，．PF ⊥ABCD ABCD 如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，F ,FA FP ,y z不妨令，则，2AB =()()()()(0,0,0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,F B C D P --所以，()(111,,1,,2,1,0,22E BE FD FP ⎛⎛-=== ⎝⎝设平面的法向量为，PDF (),,m x y z=则，令，可得， 200m FD x y m FP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =()1,2,0m =- 所以，即，111202BE m ⋅=⨯-⨯= BE m ⊥ 又平面，所以平面.BE ⊄PDF BE //PDF （2）因为，所以，()()(0,1,0,2,1,0,B C P--()(2,0,0,BC BP ==设平面的法向量为，PBC ()111,,n x y z =则，令，可得， 111200n BC x n BP y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩11z =()0,n =又平面的一个法向量为，PDF ()1,2,0m =-所以cos<,m n m n m n⋅>===⋅所以平面与平面PBC PDF =21．4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：[40，50）[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 男生 2 3 5 15 18 12 女生 051010713(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者” ①完成下列2×2列联表 阅读爱好者 非阅读爱好者 总计 男生 女生 总计②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；(2)若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：，其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)① 填表见解析；②不能 (2)分布列见解析；期望为 65【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；2K (2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X 的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.【详解】（1）解：由题中表格可得2×2列联表如下 阅读爱好者 非阅读爱好者 合计 男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计 7525100由题意得,22100(45153010) 3.03 3.84125755545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关． （2）解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”， 则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取． [80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人， 所以，X 的取值为0，1，2，()()()3211233232333555C C C C C 1633012C 10C 105C 10P X P X P X ==========，，所以X 的分布列为； X 012P 110 35310()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=所以X 的数学期望是． 6522．若椭圆的离心率为，且经过点．22221(0)x y a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求椭圆的标准方程；C (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率()0,2R C ,M N P ,PM PN 之和为定值．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得点在椭圆上，将点坐标带入椭圆方程求解即可． b =P P （2）过点的直线与椭圆相交，首先要考虑直线斜率不存在的情况，然后在直线斜率存在的()0,2R 条件下，设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦x 达定理求解交点横坐标之间的关系，然后求解直线的斜率之和即可． ,PM PN 【详解】（1）由题意得离心率为，点在椭圆上，1231,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，解得，所以椭圆方程为22121914ca ab ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩224,3a b ==22143x y +=（2）当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则l ,M N (0,． 3PM PN k k +==当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，l l 2y kx =+221,432,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ，则，得， ()22341640k x kx +++=()22Δ25616340k k =-+>214k >设，则， ()()1122,,,M x y N x y 121222164,3434k x x x x k k +=-=++所以 ()()()12121212121233772122222721111211PMPNy y kx kx x x kk k k x x x x x x +++++++=+=+=+-++++++()()()2212212122216221118166342722722274162122416713434kx x k k k k k k k k k k x x x x k k k k -+++-++=+-=+-=--+++-+-+++()()()()()()232122722332721k k k k k k k k --=--=--=--综上可得，直线的斜率之和为3．,PM PN 【点睛】过椭圆上一定点,作两条直线分别与椭圆交于A ,B 两点,且两22221(0)x y a b a b +=>>00(,)P x y 直线斜率之和为,则λ (1)当时,直线恒过一个定点. 0λ≠ (2) 当时,直线AB 的斜率为定值.0λ=。
安徽高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 841F 线交椭圆于A ，两点，则的周长为（ ） B 2ABF △A ． B ．C ．D ．481632【答案】C【分析】根据题意画出图像，根据椭圆的定义即可求解． 【详解】由题知，2a ＝8，的周长为． 2ABF △2211222216AB AF BF AF BF AF BF a a ++=+++=+=故选：C ．2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） {}n a n n S 511a =880S =10a =A ． B ．C ．D ．21201816【答案】A【分析】列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，从而可得答案. 【详解】设数列的公差为， {}n a d 因为，511a =880S =所以， 11411878802a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，， 13a =2d =故. 101931821a a d =+=+=故选：A.3．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） {}n a 2542a a -=6a =A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数{}n a ,0q q ≠1q ≠列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为， {}n a ,0q q ≠若，则，与题意矛盾， 1q =250a a -=所以，1q ≠则，解得， ()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以.5613a a q ==故选：D .4．若，则是方程表示双曲线的（ ）R k ∈3k >-22133x y k k +=-+A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线和异号，进而求得的范围即可判断3k -3k +k 是什么条件．【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得，22133x y k k +=-+()()330k k -+<33k -<<因为 ，()3,3-()3,-+∞所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，3k >-22133x y k k +=-+故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题．5．已知圆锥的底面半径为2，高为 ） A ． B ．C ．D ．4π8π【答案】D【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设O r ,D E，即OD OE r ==2BE BD ==由条件可知，，6AB ==中，，即，解得：ADO △222AO AD DO =+()()22262r r =-+r =所以圆锥内切球的表面积.24π8πS r ==故选：D6．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取(1,0)M -(1,0)N 340x y m -+=P 0PM PN⋅=m 值范围是A ．B ． (][),55,-∞-+∞ (][),2525,-∞-+∞C ．D ．[]5,5-[]25,25-【答案】C【分析】的轨迹为圆，考虑该圆和直线有公共点（即相交或相切）可得实数的P 340x y m -+=m 取值范围.【详解】设，则(),P x y ()()1,,1,,PM x y PN x y =---=--由得，因在直线上，故圆心到直线的距离PM PN ⊥221x y +=P 340x y m -+=，故，故选C.1d =≤[]5,5m ∈-【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆； ,A B M ()1MA MB λλ=≠M （2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧． ABC ∆BC A A 7．已知等差数列中，，设函数，记，{}n a 538a π=()24cos 2sin cos 222xf x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()n n y f a =则数列的前项和为（ ） {}n y 9A ．B ．C ．D ．0101618【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对()f x 3,28π⎛⎫⎪⎝⎭称性质可求得结果.【详解】()24cos 2sin cos 222cos sin cos 22sin 2cos 222xf x x x x x x x x ⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭，224π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x 由，可得，当时，，()2Z 4x k k ππ+=∈()Z 28k x k ππ=-∈1k =38x π=故函数的图象关于点对称，()f x 3,28π⎛⎫⎪⎝⎭由等差中项的性质可得，1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=所以，数列的前项和为. {}n y 9()()()()12954418f a f a f a f a +++=⨯+= 故选：D.8．已知，若点P 是抛物线上任意一点，点Q 是圆上任意一点，则()3,0A 28y x =22(2)1x y -+=的最小值为 2||PA PQ ()A ．3B ．C ．D ．44【答案】B【分析】设，利用三角形知识得到，转化成，令(),P x y 22||||1PA PA PQ PF ≥+22||293PA x x PQ x ++≥+，将转化成，问题得解．()33x t t +=≥2293x x x +++124y t t =+-【详解】设，(),P x y 由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为， 28y x =()2,0F 由抛物线定义得：2PF x =+又,1PQ PF QF PF ≤+=+所以， 2||PA PQ ()22238||29133x x PA x x PF x x -+++≥==+++当且仅当三点共线时（F 点在PQ 中间），等号成立，,,P Q F令，可化为：， ()33x t t +=≥2293x x x +++()()2323912444t t y t t t -+-+==+-≥=当且仅当，即：时，等号成立． t =3x =故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题．二、多选题9．已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 1,,9a 2212x y a +=AB C D 【答案】BC【分析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率a 【详解】由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线1,,9a 29a =3a =±3a =22132x y +=为椭圆，则时，曲线为，曲线为双曲线， e =3a =-22123y x -=e故选BC【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题a 10．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且()12,A x y ()22,B x y ()220y px p =>AB F 倾斜角为.则下列命题正确的是（ ）θA ．B ． 2124p x x ⋅=1222sin pAB x x p θ=++=C ． D ．112AF BF p +=12122y y x x =-【答案】ABC【分析】对于选项A ，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得AB 2px my =+22y px =到结论；对于选项B ，利用抛物线的定义和选项A 中的结论，表示出即可；12x x +对于选项C ，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的AFC AF 长，同理可得的长，即可判断； BF 对于选项D ，选项A 中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A ，设直线的方程为，代入， AB 2px my =+22y px =可得，所以，，选项A 正确； 2220y pmy p --=212y y p ⋅=-222121224y y p x x p ⋅⋅==对于选项B ，因为是过抛物线的焦点的弦， AB 22y px =所以由抛物线定义可得， 121222p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++由选项A 知，，，212y y p ⋅=-122y y pm +=所以.()222222121212242y y y y y y p m p +=+-⋅=+即，解得，()222221212242y y p x x p m p +=+=+2122x x pm p +=+当时，，所以，90θ=︒0m =2AB p =当时，，所以， 90θ≠︒1tan m θ=2221221tan tan p AB p p θθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭222cos 221sin sin p p θθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭当时，也适合上式，所以，选项B 正确； 90θ=︒sin 1θ=1222sin pAB x x p θ=++=对于选项C ，不妨设，点A 在x 轴上方，设，是，在准线上的射影，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 'B 'A B ，cos AF AA CK p CF p AF θ===+=+'所以，同理可得，1cos pAF θ=-1cos p BF θ=+所以，同理可证时，等式也成立，选项C 正确； 112AF BF p +=π[,π)2θ∈对于选项D ，由上可知：，， 212y y p ⋅=-222121224y y p x x p ⋅⋅==所以，选项D 不正确， 12124y y x x =-故选：ABC.11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与()0,2F y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A ．椭圆的长轴长为B ．线段AB 长度的取值范围是 4,2+⎡⎣C ．面积的最小值是4 ABF △D ．的周长为AFG 4+【答案】ABD【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆性质可判断B ；取特值，结合OA 长度的取值范围可判断C ；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，A 正确； 2b c ==a =2a =，由椭圆性质可知B 正确；2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB ≤≤+记，则AOF θ∠=11sin sin()22ABF AOF OBF S S S OA OF OB OF θπθ=+=⋅+⋅-sin 2sin (2)sin OA OA θθθ=+=+取，则，C 错误； 6πθ=1111422ABF S OA =+≤+⨯<由椭圆定义知，，所以的周长，D 正确. 2AF AG a +==AFG 4L FG =+=+故选：ABD12．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥ABCD ED ⊥ABCD FB ED 2AB ED FB ==，，的体积分别为，，，则（ ）E ACD -F ABC -F ACE -1V 2V 3VA ．B ．C ．D ．322V V =312V V =312V V V =+3123V V =【答案】CD【分析】找到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式分别求出，，，进而判断出结果.1V 2V 3V【详解】如图连接交于O ，连接.设，则. BD AC OE OF 、22AB FB ==2AB BC CD AD ====由平面，，所以平面， ED ⊥ABCD FB ED FB ⊥ABCD 所以，111143323E ACD ACD V V S ED AD CD ED -==⋅=⨯⋅⋅= .211123323F ABC ABC V V S FB AB BC FB -==⋅=⨯⋅⋅= 由平面，平面，所以. ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥又，且，平面， AC BD ⊥ED BD D = ED BD ⊂、BDEF 所以平面，所以.AC ⊥BDEF AC OF ⊥易知BD OB OE ===OF ==，3EF ==所以，所以,而，222EF OF OE +=OF OE ⊥OE AC O ⋂=平面，所以平面.OE AC ⊂、ACE OF ⊥ACE又AC AE CE ===，2311233F ACE ACE V V S OF AC OF -==⋅=⋅= 所以有， 32313123122=+2=3V V V V V V V V V ≠≠，，，所以选项AB 不正确，CD 正确. 故选：CD .三、填空题13．已知向量．若，则________． ()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ a c ⊥k =【答案】. 103-【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值ck 【详解】,()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+，解得,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= 103k =-故答案为：. 103-【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.()()1122,,,p x y q x y ==12120x x y y +=14．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221x y a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =15．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是1111ABCD A B C D -,E F 11,BB CC ,AE BF __________．【答案】15【分析】取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由1DD G //GA BF AE BF GAE ∠GAE ∆余弦定理计算出，可得出结果．cos GAE ∠【详解】取的中点，由且可得为所成的角， 1DD G //GA BF GA BF =GAE ∠,AE BF设正方体棱长为，中利用勾股定理可得 1GAD ∆AE AG ===又，由余弦定理可得， EG =55122,cos 445EAG EAG =+-∠∴∠=故答案为．15【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题． 16．对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记{}()0n n a a ≠1n n n a b a +={}n b {}n a 1n n nb c b +=，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P 阶商数列，已知{}n c {}n a {}n a ()P *∈N 数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________． {}n a e 121,1a a ==10a =【答案】36e 【分析】由题意可得，从而得，即，由累乘法即可求得的值. 1e n n n b c b +==1e n n b -=11e n n na a -+=10a 【详解】解：由数列的二阶商数列的各项均为，可知， {}n a e 1e n n nb c b +==而， 2111a b a ==故数列是以1为首项，为公比的等比数列，{}n b e 即，1e n n b -=即， 11e ,n n na n a -*+=∈N 即． 283102412391,e,e ,,e a a a aa a a a ==== 所以，()18828128363102421011239··11e e ··e e=e =e a a a a a a a a a a +⋅+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 故．3610e a =故答案为：36e四、解答题17．记△ABC 得内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A =3sin B ，C =，c.3π(1)求a ； (2)求sin A . 【答案】(1) 3a =【分析】（1）由，结合余弦定理得出； 3a b =a （2）由正弦定理得出.sin A 【详解】（1）因为sin A =3sin B ，所以，由余弦定理 3a b =2222cos c a b ab C =+-可得，所以222793,1b b b b =+-=3a =（2）由可得，sin sin a c A C=sin sin a C A c ===18．已知数列的前项和为, ，． {}n a n n S 12a =12n n a S +=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，求数列的前项和． {}n b 221log n n n b a a -=+{}n b n n T 【答案】（1）；（2）2n n a =1222++-n n 【分析】（1）由条件得到，结合已知两式相减得到，再验证，()122n n a S n -=+≥12(2)n n a n a +=≥21a a 得到数列是等比数列，从而得到数列的通项公式；{}n a （2）由（1）可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.221nn b n =+-【详解】（1）……………. ①12n n a S +=+ ……………….. ②12(2)n n a S n -∴=+≥①- ②得 ，即1n n n a a a +-=12(2)n na n a +=≥又,12a =221124,2aa S a =+=∴= 12()n na n N a *+∴=∈是以2为首项，2为公比的等比数列∴{}n a1222n n n a -∴=⋅=（2）由（Ⅰ）得2n n a = 2122log 2221n n n n b n -∴=+=+-123...n n T b b b b ∴=++++ 123(21)(23)(25)...(221)n n =++++++++-123(222...2)[135...(21)]n n =+++++++++- 2(12)[1(21)]122n n n -+-=+-1222n n +=+-【点睛】本题考查已知求，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于基础n S n a 题型，本题容易忽略验证，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂项相消法求和；3.分组转化21a a 法求和；4.错位相减法求和，这些常用方法需熟练掌握.19．如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D ，111ABC A B C -1AA ⊥ABC 143AA AB =ABC E ，F 分别是棱，AC ，BC 的中点.11B C(1)证明：平面.AD ∥1C EF (2)求平面ADE 与平面夹角的余弦值. 1C EF 【答案】(1)证明见解析(2) 18【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接BD .因为E ，F 分别是棱AC ，BC 的中点，所以.EF AB ∥因为平面，平面，所以平面. EF ⊂1C EF AB ⊂/1C EF AB ∥1C EF因为D ，F 分别是棱，BC 的中点，所以，， 11B C 1BF C D ∥1BF C D =所以四边形是平行四边形，则.1BDC F 1BD C F ∥因为平面，平面，所以平面. 1C F ⊂1C EF BD ⊂/1C EF BD ∥1C EF 因为平面ABD ，且，所以平面平面. ,AB BD ⊂AB BD B = ABD ∥1C EF 因为平面ABD ，所以平面.AD ⊂AD ∥1C EF （2）解：取的中点，连接，，易证，，OE 两两垂直，则以O 为原点，分11A C O 1OB OE 1OB 1OC 别以，，的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.1OB 1OC OE设，则，，，，，4AB =()0,2,3A -()10,2,0C )D()0,0,3E )F从而，，，.)3AD =- ()0,2,0AE =()10,2,3C E =-)EF =设平面ADE 的法向量为，()111,,x n y z = 则令，1111330,20,n AD y z n AE y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩1x =)0,1n = 设平面的法向量为，1C EF ()222,,m x y z =则令，得.12222230,0,m C E y z m EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x =)3,2m =-- 设平面与平面的夹角为，则. ADE 1C EF θ1cos cos ,8n m n m n m θ⋅====20．已知椭圆：的长轴长为，的两个顶点和一个焦点围成等边三角形．C 22221(0)x y a b a b +=>>4C (1)求椭圆的标准方程；C(2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的2(0)=+>y kx k C A B O AOB 45k 值．【答案】(1)2214x y +=(2) k =1k =【分析】（1）由已知可得，，可求椭圆的标准方程；a b C （2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，可得，()11,A x y ()22,B x y 1221614kx x k +=-+1221214x x k =+，求解即可． 45=【详解】（1）由题知，，得，24a =2a =要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上， 则，，22a b ==1b ∴=故椭圆的标准方程为；C 2214x y +=（2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，()11,A x y ()22,B x y 22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得，其中，即， ()221416120k xkx +++=()22(16)48140k k ∆=-+>234k >且，，1221614kx xk +=-+1221214x x k =+．AB===原点到直线的距离． d =1425AOB S AB d =⋅== 化简得，解得或，42423190k k -+=2194k =21k =又且，． 0k >234k >k ∴=1k =21．已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选{}n a n 1,1n S a =一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．248S S S 、、251072a a a -=(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前n 项和． 11n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1)21n a n =-(2) 21n nT n =+【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性{}n a (0)d d >质，根据条件①②分别列出关于首项与公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项1a d d {}n a 公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和{}n b n ．n T 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， {}n a (0)d d >方案一：选择条件①， 41121816,43442822,8S a d a S a d d d S a +=+==+⨯=+根据成等比数列得,代入得，又，248S S S 、、2428S S S =()()()1121462828a d d a a d +=++11a =化简整理，可得， 220d d -=由于，所以 ，0d >2d =，． 12(1)21n a n n ∴=+-=-*n ∈N 方案二：选择条件②由，可得，又，251072a a a -=()()211149(6)2a d a d a d ++-+=11a =解得，2d =， 12(1)21n a n n ∴=+-=-*n ∈N （2）由（1）可得， 111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭则12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭． 21n n =+22．已知点F 为抛物线：（）的焦点，点在抛物线上且在x 轴上方，Γ22y px =0p >(1,)P t Γ.2PF =(1)求抛物线的方程；Γ(2)已知直线与曲线交于A ，B 两点（点A ，B 与点P 不重合），直线PA 与x 轴、y 轴:1l x my =+Γ分别交于C 、D 两点，直线PB 与x 轴､y 轴分别交于M 、N 两点，当四边形CDMN 的面积最小时，求直线l 的方程. 【答案】(1)； 24y x =(2)或. 1y x =-1y x =-+【分析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出p 即可作答.(2)联立直线l 与抛物线的方程，用点A ，B 坐标表示出点C ，D ，M ，N 的坐标， Γ列出四边形CDMN 面积的函数关系，借助均值不等式计算得解. 【详解】（1）抛物线的准线：，由抛物线定义得，解得， Γ2px =-122p PF =+=2p =所以抛物线的方程为.Γ24y x =（2）因为点在上，且，则，即，依题意，，设，(1,)P t 2:4y x Γ=0t >2t =(1,2)P 0m ≠11(,)A x y ，22(,)B x y 由消去并整理得，则有，， 241y xx my ⎧=⎨=+⎩x 2440y my --=124y y m +=124y y =-直线PA 的斜率是，方程为， 1121112241214PA y y k y x y --===-+-()14212y x y -=-+令，则，令，则，即点C ，点D ， 0y =12y x =-0x =1122y y y =+1(,0)2y-112(0,)2y y +同理点M ，点N ， 2(,0)2y -222(0,2y y +则，，四边形的面积有：122y y CM -=()()1212)4(22y y DN y y -=++CDMN S()()1212124(1122222)y y y y S CM DN y y --=⋅=⨯⨯++()()()()()2212121212121242224y y y y y y y y y y y y -+-==+++++，当且仅当，即时取“=”，221616222248m m m m m m ++===+≥22m m =1m =所以当时四边形CDMN 的面积最小值为4，直线l 的方程为或.1m =±1y x =-1y x =-+。
2010-2011学年高二(1)上学期期末考试卷
江苏省南菁高级中学2010－2011学年第一学期期末考试高二(1)数学试卷命题人：汪海军一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）1．已知直线x －my ＋2m ＝0和x ＋2y －m ＝0互相垂直，则实数m ＝ ▲2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝40，则数列{a n }前15项的和为 ▲ 3．已知集合A ＝{0, 1}, B ＝{a 2, 2a }，其中a ∈R , 我们把集合{x | x ＝x 1＋x 2, x 1∈A , x 2∈B }记作A ＋B ， 若集合A ＋B 中的最大元素是2a ＋1，则a 的取值范围是 ▲4．若复数z 1＝－1＋ai , z 2＝b －3i , a , b ∈R , 且z 1＋z 2与z 1·z 2均为实数, 则 z 1z 2＝ ▲5．已知命题p : x 2−x ≥6, q : x ∈Z ，则使得“p 且q ”与“非q ”同时为假命题的所有x 组成的集合 M ＝ ▲6．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝6，则球O 的表面积为 ▲7．椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆半焦距，则此椭圆的离心率是 ▲ 8．已知函数f (x )＝x 2－2ln x , 则f (x )的极小值是_____▲ 9．当x 2－2x ＜8时, 函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是_____▲ _10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝(a ＋1)n 2＋a , 某三角形三边之比为a 2:a 3:a 4，则该三角形最大角为___ ▲11．已知函数f (x )＝x 2＋cos x －sin x ＋1x 2＋cos x ＋1(x ∈R)的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ ▲12．设定义在(−1, 1)上的函数f (x )的导函数f / (x )＝5＋cos x , 且f (0)＝0, 则不等式f (x −1)＋f (1−x 2)＜0的 解集为 _ ▲____13．对任意的实数x ＞0, 总有a －2x －|ln x |≤0, 则实数a 的范围为 ▲14. 已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>, ()(),xf x ag x =⋅(01a a >≠且) f (1)g (1)＋f (−1)g (−1)＝52, 令a n ＝f (n )g (n )，则使数列{a n }的前n 项和S n 超过1516的最小自然数n 的值为 ▲ 二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）15、（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． （1）设→BC ·→CA ＝→CA ·→AB ，求证：ABC ∆是等腰三角形；（2）设向量→s ＝(2sin C , －3), →t ＝(cos2C , 2cos 2 C 2－1), 且→s ∥→t , 若sin A ＝23，求sin(π3－B )的值．16、（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°， ∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2． （1）求证：PC ⊥AE ； （2）求证：CE ∥平面P AB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ．17、（本小题满分15分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴AB 长为4，离心率e ＝32，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上； （3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．18、（本小题满分15分）已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ，将矩形 纸片的右下角折起，使得该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN 的 端点M , N 分别位于边AB , BC 上，设∠MNB ＝θ，sin θ＝t ，MN 长度为l ． （1）试将l 表示为t 的函数l ＝f (t )； （2）求l 的最小值．19、（本小题满分16分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立． 20、（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n1－a n(n ∈N*)（1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）记c n ＝b 2n －b 2n −1(n ∈N*), 设数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：对任意正整数n 都有T n ＜32；（3）设数列{b n }的前n 项和为R n ，是否存在正整数k ，使得R k ≥4k 成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；A BPA DBCE江苏省南菁高级中学2010－2011学年第一学期期末考试高二(1)数学试卷答卷一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分）1、2、3、4、__ 5、__ 6、7、8、9、10、11、_ 12、__ ___13、___ _ 14、______二、解答题（本题包括6大题，共90分）15、（本小题满分14分）P16、（本小题满分14分）EADBC18、（本小题满分15分）A B19、（本小题满分16分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．20、（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n1－a n(n ∈N*)（1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）记c n ＝b 2n －b 2n −1(n ∈N*), 设数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：对任意正整数n 都有T n ＜32；（3）设数列{b n }的前n 项和为R n ，是否存在正整数k ，使得R k ≥4k 成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；。
高二数学上册期末模块检测考试题10
肥西农兴中学2010～2011学年第一学期高二年级期末检测数学试卷（理科）命题人：孙汉典 审题人：许忠宏 注意事项：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟；其中试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，满分60分；第Ⅱ卷为非选择题, 满分90分。
2、请考生将所作答案填写在答题卷上，写在试卷上无效！3、请考生在答题卷规定的位置填写班级、姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π2．命题“存在∈0x R ，02x≤0”的否定是（ ）A ．不存在∈0x R, 02x>0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈x R, 2x ≤0D ．对任意的∈x R, 2x>03. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（ ）A.平行B.垂直C.相交D.异面4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 5．命题P:动点M 到两定点A ，B 的距离之和)0(2>=+a a PB PA 且a 为常数；命题Q:M 点的轨迹是椭圆。
则命题P 是命题Q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆125222=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4147．两直线023=--y ax 和()01512=-+-by x b 分别过定点A 、B ，则||AB 等于（ ）A.589B.517C.513D.5118．正四面体A-BCD 中，异面直线AB 与CD 所成角为（ ）6.πA 4.πB 3.πC2.πD 9．抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A. )0,81(B.)81,0( C. )21,0( D. )0,21( 10.下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）PQRPRRSSPPP QRSSPP QRRSSA B C D11.倾斜角为4π的直线过抛物线x y 42=的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|=（ ）A. 13B. 82C. 16D. 812. 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是 （ ）A ．162x ＋92y =1或92x ＋162y =1B ．252x ＋92y =1或252y ＋92x =1BC ．252x ＋162y ＝1或252y ＋162x =1D ．椭圆的方程无法确定第Ⅱ卷 非选择题 共90分二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷上）13．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个_________14、已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －3)2=6上的动点，则x y的最大值为 ； 15. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；②若a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面； ⑤若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ；其中正确的命题的序号是 .16. 双曲线()2210x y a a -=>，则a 的值是 __________ ； 17. 一飞行的蜻蜓被长为cm 12细绳绑在某一房间一角（仍可飞行），则此蜻蜓可活动的三维空间大小为_________3cm 。
2010—2011学年度上期期末高二数学(理科)参考答案
MA2 AB 2 MC 2 EC 2 ，由点到直线的距离公式可得，
3x y2
10
16
(3x y)2 10
4 ，化简可得， xy
10
．
点 M 的轨迹方程为 xy 1．0
1
y
M
C
A
EB x
（20）（本小题满分 12 分）
1 解：本题用向量法解，第一问易得，第二问所求余弦值为 3 ．
2
（21）（本小题满分 12 分）
解：本题考查学生联立直线与圆锥曲线的位置关系，以及与中点弦有关的问题，该直线是不存
在的．
（22）（本小题满分 12 分）
解：（1） 4x2
4y2 15
1( x 0)，是双曲线的右支；
4x 2 （2） 81
4y 2 65
1，是椭圆．
本卷题目大多数在教材上可以查到，请老师们根据学生答卷情况给予评分！
x (－∞,－m)
－m
(－m,
1 3
m
)
1 3
m
(
1 3
m
,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知，当 x=－m 时，函数 f(x)取得极大值 9，
即 f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（19）（本小题满分 12 分）
解：如图所示，设点 M (x, y) ，由条件可得， AB 4, EC 2
p : 1 ,1, q : 5,1，从而p 是 q 的充分而不必要条件．
安徽省高二上学期期末联考数学试题(解析版)
高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．直线 ） y x =A ． B ．C ．D ．45︒60︒120︒135︒【答案】A【分析】根据直线方程得出直线的斜率，再求倾斜角.【详解】直线1，设直线倾斜角为 ，即 ，， y x =αtan 1α=[0,180)o o α∈所以. =45o α故选：A【点睛】注意直线倾斜角的范围. [0,180)o o α∈2．抛物线y 2＝x 的焦点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标. 2p 【详解】由y 2＝x 知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为， x 21p =124p =∴1,04⎛⎫⎪⎝⎭故选:B ．【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下： 的焦点坐标 ,准线方程；2y ax =,0 4a ⎛⎫⎪⎝⎭4a x =-的焦点坐标 ,准线方程.2x ay =0, 4a ⎛⎫⎪⎝⎭4a y =-3．若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ） 1l 2340x y -+=2l 2l ()2,12l A ． B ． 3220x y --=3220x y -+=C ． D ．2310x y --=2310x y -+=【答案】C【分析】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.【详解】由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：1l 232l 232l ()2,12l . ()21223103y x x y -=-⇒--=故选：C.4．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为l 22:2210C x y x y ++-+=3230x y ++=l （ ）A ．B ．C ．D ．3250x y -+=2310x y --=2350x y -+=3210x y --=【答案】C【分析】首先判断过圆的圆心，然后结合与直线垂直设出的方程，利用l C (1,1)-l 3230x y ++=l 求得的方程.(1,1)-l 【详解】因为直线将圆平分，所以直线过圆心， l 22:2210C x y x y ++-+=l (1,1)-因为直线与直线垂直，假设直线的方程为， l 3230x y ++=l 230x y C -+=将代入得：，所以直线的方程为. (1,1)-5C =l 2350x y -+=故选：C5．已知椭圆C ：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C 的方程为（ ）22221x y a b +=0a b >>A ．B ．2211615x y +=2211612x y +=C ．D ．22142x y +=22143x y +=【答案】D【分析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.2422a c =⎧⎨=⎩【详解】由题设，知：，可得，则，2422a c =⎧⎨=⎩21a c =⎧⎨=⎩2223b a c =-=∴C 的方程为.22143x y +=故选：D.6．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线上，则PF 的长为（ ） 24y x =(),4P m -A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】根据已知条件，建立方程，求出参数，再利用两点间的距离公式或焦半径公式求解. 【详解】方法一：由题意可知，解得，即，()244m =-4m =()4,4P -又焦点，所以．()1,0F 5PF ==方法二：由题意可知抛物线的准线方程为，点P 在抛物线上，=1x -则，解得，即，则由抛物线的定义可得，．故A ，B ，C()244m =-4m =()4,4P -()415PF =--=错误. 故选：D.7．如图所示，已知三棱锥，点M ，N 分别为，的中点，且，，O ABC -AB OC OA a = OB b =，用，，表示，则等于（ ）OC c = a b cMN MNA ．B ．()12c a b -- ()12a b c ++ C ．D ．()12a b c -+ ()12a c a +- 【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】结合图形，易得 MN MA AO ON =++又因为点M ，N 分别为，的中点，AB OC 故，，，()()111222MA BA OA OB a b ==-=- 1122ON OC c == AO OA a =-=-所以.()()111222MN a a a c b b c =--+-=- 故选：A.8．已知边长为2的正方体中，E ，F 分别为，的中点，则点B 到平面1111ABCD A B C D -11C D 11A B AEF 的距离为（ ）A ．B C D ．3545【答案】C【分析】以DA ，DC ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平1DD 面AEF 的法向量，进而可求出点B 到平面AEF 的距离.【详解】以DA ，DC ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，1DD则，，，.(2,0,0)A (2,1,2)F (0,1,2)E (2,2,0)B 设平面的法向量为，AEF (,,)n x y z =，(2,1,2)AE =-(0,1,2)AF = 则，即 00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x y z y z -++=⎧⎨+=⎩令，则，得.=2y -01x z ==，(0,2,1)n =-又，所以点B 到平面AEF()0,2,0AB =故选：C二、多选题9．已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ） l 20ax y a +--=x y a A ．1 B ． 1-C ．2 D ．2-【答案】AD【分析】当时不符合题意，再讨论直线过原点时求出的值，当直线不过原点时，求出横截距0a =a 和纵截距列方程即可求解.【详解】当时，直线为不符合题意，所以， 0a =2y =0a ≠若直线过原点，则，解得；20a --=2a =-若直线不过原点，令可得；令可得； 0y =2a x a+=0x =2y a =+所以在轴上的截距为，在轴上的截距为， x 2a a+y 2a +所以，可得， 22a a a+=+1a =综上所述：的值可能是1或. a 2-故选：AD.10．已知圆：，：，则（ ） 1O ()()22124x y -++=2O ()2254x y -+=A ．圆的圆心坐标是 1O ()1,2-B ．圆的半径等于4 1O C ．圆与圆相离1O 2OD ．圆与轴相交，且截得的弦长等于1O y 【答案】ACD【分析】由圆的标准方程解出圆心坐标、半径去判断选项AB ；由两圆圆心距与两圆半径和差的1O 关系去判断选项C ；解得圆截轴所得的弦长去判断选项D. 1O y 【详解】由，得圆心，半径 ()()22124x y -++=1(1,2)O -12r =故选项A 判断正确； 选项B 判断错误；由，得圆心，半径 ()2254x y -+=2(5,0)O 22r =两圆圆心距，12O O =12224r r +=+=由，可知圆与圆相离. 选项C 判断正确； 1212O O r r >+1O 2O圆截轴所得的弦长为选项D 判断正确. 1O y =故选：ACD11．若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ） ()1y k x =+22x y =k A ．2 B ． C ． D ．02-4-【答案】BD【分析】联立方程，根据题意可得，由此即可得解.Δ0=【详解】联立，消去可得，()221x yy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩y 2220x kx k --=∵直线与抛物线只有一个交点，()1y k x =+22x y =或. 2Δ480,0k k k ∴=+=∴=2k =-故选：BD.12．若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 {ab }c ()A ．，， B ．，，a 2b 3c a b + b c + c a + C ．，， D ．，，2a b + 23b c + 39a c - a b c ++ b c 【答案】ABD【解析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．【详解】解：对于中、、，A a 2b 3c中、、，B a b +b c + c a + 中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；D a b c ++ b c对于，、、，C 2a b +23b c + 39a c - 满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底． 393[(2)(23)]a c a b b c -=+-+故选：ABD ．【点睛】本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．三、填空题13．已知随机变量，则______． ()~10,0.3X B ()E X =【答案】3【分析】若X ~B (n ，p )，则E (X )＝np ． 【详解】∵，∴E (X )＝10×0.3＝3． ()~10,0.3X B 故答案为：3．14．已知事件A ，B 相互独立，，，则___________. ()0.7P A =()0.4P B =()P B A =【答案】##0.425【分析】求出A,B 同时发生的概率，再根据条件概率的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意可得，事件A ，B 相互独立， 则 ,()()()0.70.40.28P AB P A P B ==⨯=故, ()()0.280.4()0.7P AB P B A P A ===故答案为：0.415．双曲线的离心率等于____________.2214x y -=.【详解】试题分析：c e a ===【考点定位】双曲线及其离心率.16．的展开式中的系数为________．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 【答案】240【分析】根据二项展开式的通项，运算求解.1C ,0,1,2,...,kn kk k n T ab k n -+==【详解】的展开式的通项为：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()66621661C 212C ,0,1,2, (6)k k k k k kk T x x k x ---+⎛⎫=-=-⋅=⋅ ⎪⎝⎭令，则 2k =()242223612C 240T x x =-⋅⋅=∴的展开式中的系数为240612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 故答案为：240.四、解答题17．已知直线.:(21)(2)50l a x a y -++-=(1)若，求直线与直线的交点坐标； 2a =l 1:230l x y +-=(2)若直线与直线垂直，求a 的值. l 2:230l x y -+=【答案】(1) ()1,2-(2) 43a =【分析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解； （2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.【详解】（1）解：当时，直线，2a =:3450l x y +-=联立，解得，2303450x y x y +-=⎧⎨+-=⎩12x y =-⎧⎨=⎩即交点坐标为；()1,2-（2）解：直线与直线垂直， l 2:230l x y -+=则，解得. ()()22120a a --+=43a =18．三角形的三个顶点的坐标分别是、、，求它的外接圆的方程． ABC ()1,5A -()5,5B ()6,2C -【答案】2242200x y x y +---=【解析】设的外接圆方程为，将的三个顶点坐标代入圆的方程，ABC A 220x y Dx Ey F ++++=ABC A 可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可求得的外接圆方程. D E F ABC A 【详解】设的外接圆方程为，ABC A 220x y Dx Ey F ++++=将的三个顶点坐标代入圆的方程可得，解得，ABC A 26505055040620D E F D E F D E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以，的外接圆方程为. ABC A 2242200x y x y +---=【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．19．已知直线与椭圆相交于A ，B 两点，求线段的长． 220x y -+=2244x y +=AB 【分析】设，联立方程组求出A ，B 坐标，利用两点间的距离公式求出线段()()1122,,,A x y B x y AB 的长.【详解】设，则，解得：或，()()1122,,,A x y B x y 2244220x y x y ⎧+=⎨-+=⎩1120x y =-⎧⎨=⎩2201x y =⎧⎨=⎩所以线段的长为.ABAB ===即线段AB 20．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试． (1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列． ξξ【答案】(1)56(2)见解析【分析】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．ξ0,1,2,3ξ【详解】（1）解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，36310C C 所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；36310516C C -=（2）解：根据题意，的可能取值为，则ξ0,1,2,3， ，()343101030C P C ξ===12643103(1)10C C P C ξ===，21643101(2)2C C P C ξ===363101(3)6C P C ξ===所以的分布列为：ξξ 0 123P 1303101216 .21．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点.求证：MN ∥平面A 1BD . 【答案】证明见解析.【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1，求得平面A 1BD 的一个向量为＝(x ，y ，z )和的坐标，然后论证·＝n MN MNn 0即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ，N ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0).MN 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1DA DB设平面A 1BD 的一个向量为＝(x ，y ，z )，n 则·＝0，且·＝0，得 n 1DA n DB00x z x y +=⎧⎨+=⎩取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.所以＝(1，－1，－1).n又·＝·(1，－1，－1)＝0，MN n 11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭所以⊥MN n 又MN ⊄平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD .【点睛】本题主要考查空间向量法证明线面平行，还考查了空间想象和运算求解能力，属于中档题.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD DA ==1DC =，是的中点，点在上，且.M BC Q PM 2PQ QM =(1)证明：平面；DQ ⊥PAM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.PAM PDC【答案】(1)证明见解析.【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，PD ⊥ABCD ABCD D DA DC 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： DP x y z D xyz -则，，，，，， ()2,0,0A ()0,0,0D ()0,1,0C ()1,1,0M ()002P ,,222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0AM =- ()2,0,2AP =- ∵∴，0DQ AM ⋅= DQ AM ⊥∵，∴，0DQ AP ⋅= ⊥DQ AP ∵,且平面，∴平面.AM AP A = ,AM AP ⊆PAM DQ ⊥PAM （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所PD ⊥ABCD ABCD D DA DC DP 在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图：D xyz -则，，，，，， ()2,0,0A ()0,0,0D ()0,1,0C ()1,1,0M ()002P ,,222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭设是平面的一个法向量.(),,n x y z = PAM ，.()1,1,0AM =- ()2,0,2AP =-取，有 .0.220n AM x y n AP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，， ()1,1,1n = 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭则，. 23DQ n = DQ n ∥ ∴平面.DQ ⊥PAM （法三）证明：连接DM ∵平面，平面,∴. PD ⊥ABCD AM ⊂ABCD PD AM ⊥在中，.AMD A AM DM ==2AD =∵，∴，且， 222AM DM AD +=AM DM ⊥PD DM D ⋂=∴平面，AM ⊥PDM 又∵平面，∴.DQ ⊂PDM AM DQ ⊥∵∵cos DM PDM PM ∠===cos QM DMQ DM ∠==∴，∴.PDM DQM △△∽DQ PM ⊥且，且平面，∴平面.AM PM M = ,AM PM ⊆PAM DQ ⊥PAM （2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. PAM222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,1n = 平面的一个法向量为.PCD ()1,0,0m =.cos ,m DQ m DQ m DQ ⋅==⋅ ∴平面PAM 与平面PDC . （法二）延长AM ，DC ，交于点N ，连接PN .∵，∴平面，∵，∴平面.N AM ∈N ∈PAM N CD ∈N ∈PCD∴平面平面. PAM ⋂PCD PN =过D 做于，连接. DT PN ⊥T AT ∵平面，∴. PD ⊥ABCD PD AD ⊥又，， AD CD ⊥CD PD D = ∴平面，又平面，∴. AD ⊥PCD PN ⊂PCD ⊥AD PN 又∵，，平面, DT PN ⊥DT AD D ⋂=,DT AD ⊂ADT ∴平面，∴， PN ^ADT PN AT ⊥∴为二面角的平面角. ATD ∠A PN D --在中， Rt ATD △AT =∴cos DT ATD AT ∠===∴平面与平面PAM PDC。
肥西县期末考试数学试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，既是正整数又是质数的是（）A. 15B. 16C. 17D. 182. 已知 a、b 是方程 2x^2 - 3x - 1 = 0 的两个实数根，则 a + b 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 3/xD. y = 3x^24. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若∠A = 40°，则∠B 的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. 已知 a，b 是方程 x^2 - 2ax + 1 = 0 的两个实数根，则 ab 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知 x + y = 5，xy = 4，则 x^2 + y^2 的值为 ________。
7. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若底边 BC = 6，则腰 AB 的长度为________。
8. 已知 a，b 是方程 2x^2 - 3x - 1 = 0 的两个实数根，则 a^2 + b^2 的值为________。
9. 若 m，n 是方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的两个实数根，则 mn 的值为 ________。
10. 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B 的度数为 ________。
三、解答题（共40分）11. （10分）已知 a，b 是方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的两个实数根，求 a + b 的值。
12. （10分）已知 a，b 是方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的两个实数根，求 ab 的值。
13. （10分）已知等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若底边 BC = 8，求腰 AB 的长度。
2022年安徽省合肥市肥西中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2022年安徽省合肥市肥西中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点坐标是 ( ). . ..参考答案：B略2. 知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（）A．3 B. 9 C.12 D. 6参考答案：C3. 已知集合，，则（）A．B．A∩B={x|1＜x＜4}C．D．参考答案：C4. 设a，b是实数，则的充要条件是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先证明必要性，再证明充分性.【详解】，所以是的必要条件；，所以是的充分条件.故选：C【点睛】本题主要考查充要条件的判断证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5. 复数的共轭复数是（）A．B．C．－i D．i参考答案：C6. 数列{a n}，已知a1=1，当n≥2时a n=a n﹣1+2n﹣1，依次计算a2、a3、a4后，猜想a n的表达式是（）A．3n﹣2 B．n2 C．3n﹣1 D．4n﹣3参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】先根据数列的递推关系式求出a2、a3、a4的值，即可得到答案．【解答】解：由题意可得a2=4，a3=9，a4=16，猜想a n=n2，故选B．7. 椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A．5或3 B．8 C．5 D．或参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距 2c 的值列出方程，从而求得n的值．【解答】解：由椭圆得：2c=2得c=1．依题意得4﹣m=1或m﹣4=1解得m=3或m=5∴m的值为3或5故选A．8. 若直线上有两个点在平面外，则（）A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内参考答案：D9. 已知椭圆(a＞0,b＞0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为( )A. B. C. D.参考答案：D10. 下列对应法则中，能建立从集合到集合的函数的是（）A. B.C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面区域，若向区域内随机投一点，则点落入区域的概率为参考答案：略12. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是参考答案：13. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．参考答案：14. 复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．15. 若x，y满足约束条件，则z=3x+y 的最小值为．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】画出满足条件的平面区域，由z=3x+y得：y=﹣3x+z，显然直线过（﹣1，0）时，z最小，求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x+y得：y=﹣3x+z，显然直线过（﹣1，0）时，z最小，z=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．16. 在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中，与AD1所成角为的有▲ 条（填数字）.参考答案：817. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
肥西农兴中学2010～2011学年第一学期高二年级期末检测数学试卷（理科）注意事项：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟；其中试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，满分60分；第Ⅱ卷为非选择题, 满分90分。
2、请考生将所作答案填写在答题卷上，写在试卷上无效！3、请考生在答题卷规定的位置填写班级、姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π2．命题“存在∈0x R ，02x≤0”的否定是（ ）A ．不存在∈0x R, 02x>0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈x R, 2x ≤0D ．对任意的∈x R, 2x>03. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（ ）A.平行B.垂直C.相交D.异面4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 5．命题P:动点M 到两定点A ，B 的距离之和)0(2>=+a a PB PA 且a 为常数；命题Q:M 点的轨迹是椭圆。
则命题P 是命题Q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4147．两直线023=--y ax 和()01512=-+-by x b 分别过定点A 、B ，则||AB 等于（ ）A.589B.517C.513D.5118．正四面体A-BCD 中，异面直线AB 与CD 所成角为（ ）6.πA 4.πB 3.πC2.πD 9．抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A. )0,81(B. )81,0( C.)21,0( D. )0,21( 10.下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）PQRPRRSSPPP QRSSPP QRRSSA B C D11.倾斜角为4π的直线过抛物线x y 42=的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|=（ ）A. 13B. 82C. 16D. 812. 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是 （ ）A ．162x ＋92y =1或92x ＋162y =1B ．252x ＋92y =1或252y ＋92x =1C ．252x ＋162y ＝1或252y ＋162x =1D ．椭圆的方程无法确定第Ⅱ卷 非选择题 共90分二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷上）13．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个_________AhoBClr14、已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －3)2=6上的动点，则x y的最大值为 ； 15. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；②若a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面； ⑤若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ；其中正确的命题的序号是 .16. 双曲线()2210x y a a -=>，则a 的值是 __________ ； 17. 一飞行的蜻蜓被长为cm 12细绳绑在某一房间一角（仍可飞行），则此蜻蜓可活动的三维空间大小为_________3cm 。
三、计算证明题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）18. （本小题满分12分） 一个圆锥高h 为33，侧面展开图是个半圆，求：（1）其母线l 与底面半径r 之比； （2）锥角BAC ∠；（3）圆锥的表面积D 1ODB AC 1B 1A 1C19．（本小题满分12分）已知：以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点。
(Ⅰ) 求证：⊿OAB 的面积为定值；(Ⅱ) 设直线y=-2x+4与圆C 交于点M ，N ，若OM=ON,求圆C 的方程。
20. （本小题满分13分）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（1）O C 1//面A 1B 1D 1； （2）A 1C ⊥面AB 1D 1；（3）求所成角的正切值与平面直线11D A B A C 。
21. （本小题满分14分） 已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F （-，0），右顶点为D （2，0），设点A （1，）。
（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，求△ABC 面积的最大值。
22. （本小题满分14分）.如图，ABCD 是梯形，AB//CD ，90=∠BAD ，PA ⊥面ABCD ， 且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E 为PD 的中点 （Ⅰ）求证：AE//面PBC.（Ⅱ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅲ）在面PAB 内能否找一点N ，使NE ⊥面PAC. 若存在，找出并证明；若不存在，请说明理由。
AhlBC肥西农兴中学2010～2011学年第一学期高二年级期末检测理科数学参考答案和评分标准一、选择题：（60分）1． C 2． D 3. B 4． C 5． B 6. D 7． C 8． D 9． B 10. D 11. D 12. C 二、填空题：（25分）13． 四棱台 14、2+ 15. ⑤16. 12 17. 288π3cm 三、解答题（65分） 18. （本小题满分12分）本题的关键是要搞清楚圆锥的底面半径与母线之间的关系。
（如图） （1） 圆锥的侧面展开图恰为一个半圆 ∴2πr ＝πl ∴2=r lD 1ODBAC 1B 1A 1C（2）2=r l ∴AB ＝2OB ︒=∠∴30BAO ∴︒=∠60BAC 即锥角为︒60（3）Rt ∆AOB 中， 2l ＝h 2＋r 2又33,2==h r l63==∴l r ， 底面侧面表面S S S +=∴＝2r rl ππ+＝3π（6＋3）＝27π19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)因为圆C 过原点O ，2224.OC t t ∴=+设圆C 的方程是()222224.x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭ 令x=0,得y 1=0，24y t =； 令y=0，得x 1=0,x 2=2t .11424,22OAB S OA OB t t∴=⨯=⨯⨯= 即⊿OAB 的面积为定值。
5分；(Ⅱ)方法一：,,OM ON CM CN OC ==∴ 垂直平分线段MN 。
12,.2MN OC k k =-∴=∴直线OC 的方程是1.2y x = 21.2t t ∴=解得 t=2或t=-2。
当t=2时，圆心C 的坐标为（2,1），OC =此时C 到直线y=-2x+4的距离d =<圆C 与直线y=-2x+4相交于两点。
当t=-2时，圆心C 的坐标为（-2,-1），OC =此时C 到直线y=-2x+4的距离d =>此时圆C 与直线y=-2x+4不相交，所以t=-2不符合题意，舍去。
所以，圆C 的方程为()()2221 5.xy -+-= 12分方法二：可用解方程法，结果相同。
过程从略。
20. （本小题满分13分）证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ， 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11AC AC ∴ 且 11AC AC=2分又1,O O 分别是11,ACAC 的中点，11O C AO ∴ 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂ 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O 面11AB D 4分（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111ACB D ⊥ ， 1111B D AC C ∴⊥面 6分 111AC BD ⊥即 同理可证11ACAB ⊥， 又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D 9分（3）直线AC 与平面11AB D 所成的角实际上就是正四面体ACB 1D 1的一条棱与一个面所13分21. （本小题满分14分） 解（1）a=2 C=∴椭圆的标准方程为2214x y +=………………4分(2)设M （x ，y ）P(x o ，y 0)则001,212x x x x +=∴=-0112,222y y y y +=∴=- ∵P 在椭圆上220014x y ∴+=∴+（2y － ）2=1…………………………9分 （3）…………………………14分 22.解： （Ⅰ）取PC 中点为F ，连结EF ，BF 又E 为PD 的中点，所以DC //EF 且DC21EF =所以EF//AB ，且EF=AB ，所以ABFE 为平行四边形 …2分 所以AE//BF ， 因为AE ⊄面PBC ， 所以AE//面PBC …4分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0）， B （1，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），P （0，0，3），E （0，21，23） …5分从而=（2，1，0），PB =（1，0，3-） 设与的夹角为θ，则102251cos -=-==θ， …7分∴AC 与PB 所成角的余弦值为102…8分（Ⅲ）法1：由于N 点在面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则)z 23,21,x (NE --= 由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0 …10分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,2()z 23,21,x (,0)3,0,0()z 23,21,x ( 化简得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.23z ,41x .021x 2,023z 即N 点的坐标为（41，0，23）所以在面PAB 内存在点N （41，0，23），使NE ⊥面PAC. …14分（Ⅲ）法2：在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于G ，连PG ，设N 为PG 的中点，连NE ，则NE//DG ， …10分 ∵DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，∴DG ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC …14分挂机赚钱 崷叺夻。