江西新余市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案

新余市2015年高三“二模”统一考试数学试题卷（理科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．．．．．．．．． 全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．设集合{}0232<++=x x x M , 集合1{|()4}2x N x =≤ , 则MUN 为A ．}{2-≥x x B ．}{1->x xC ．}{1-<x xD ．}{2-≤x x2对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．2 B.32++323++4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入121,209==n m ，则输 出m 的值为A.10B.11C.12D.135.设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为A.1B.3C.4D.56.已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+()ϕπ<，若()28f π=-,则()f x 的一个单调递增区间可以是3.,88A ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 59.,88B ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.,88C ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.,88D ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PC PBPA ⋅+的最小值是 Ａ．225 Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-8.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于A ．2163n n n +--+ B ．1332n +-C ．221422332n n n +--+D ．21332n n n +--+9．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在球O 的球面上，且3,1===BC AC AB ,若球O 的体积为π3520,则这个直三棱柱的体积等于10．已知函数()sin()1(0)2f x x =--<<πϕϕ，且230(()1)0f x dx +=⎰π，则函数()f x 的一个零点是 A ．56π B ．3πC ．6πD ．712π 11．椭圆E 的两个焦点分别是21,F F .若E 上的点p 满足||23||211F F PF =,则椭圆E 的离心率e 的取值范围是A.21≤e B.41≥e C.2141≤≤e D.121410<≤≤<e e 或 12．定义在实数集R 上的函数)(x f y =的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得)()(x f t x t f ⋅-=+恒成立，则称)(x f y =是一个“关于t 函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①0)(=x f 是常数函数中唯一一个“关于t 函数”； ②“关于21函数”至少有一个零点； ③2)(x x f =就一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2+2x （）521()mx x-展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 14.函数()[]12sin(),2,41f x x x xπ=-∈--且1x ≠，则函数的所有零点之和为 .15.若在区间[1,2] 上存在实数x 使1)2(2<+a x x成立,则a 的取值范围是 . 16.给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x +≥；③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数32y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为R上的奇函数，则函数()y f x =的图象一定关于点3(,0)2F 成中心对称．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，12(1)(1)n n na n a n n +=+++（*n N ∈）. （1）若1nn a b n=+，试证明数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 及其n 项和S n ．18.如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，∠BAC=∠ACD=︒90，∠EAC=︒60，AB=AC=AE. （1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP//平面EAB ？请证明你的结论；（2）求平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角θ的余弦值.19.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0=ξ； 当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1=ξ. （1）求概率P （0=ξ）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）.20.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D （异于A ，B ）两点．(1)求椭圆标准方程；(2)求四边形ADBC 的面积的最大值；(3)若1122(,)(,)M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满121220x x y y +=，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），是否存在两定点12,F F 使得12PF PF +为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．21．已知函数f(x)＝e x－e-x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln2的近似值(精确到0.001)．请考生从第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时 请写清题号.22.（本小题10分）选修4—1:几何证明选讲如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与☉O 相交于点B ,C ,又PC =2PA ,D 为PC 的中点,AD 的延长线交☉O 于点E .证明:(1)BE =EC ；(2)AD ·DE =PB 22.23.（本小题10分）选修4-4:参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ay a x sin cos 3（a 为参数），以原点o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.24.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲设函数()f x =+的最大值为M ．（1）求实数M 的值；（2）求关于x 的不等式12x x M -++≤的解集．新余市2015年高三“二模”考试质量检测数学 参考答案（理科）二填空题13.7± 14. 8 15.(－∞，－23) 16.（1）（3）17．解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++na n a n n a n na nn n n ， )1(222111+=+=+++nan a n a n n n 得，即n n b b 21=+，21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. ……………………4分（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=nn n n n n n a n a …………………5分∴231(21)2(21)3(21)(21)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++-K231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K …………………………………7分令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ，两式相减得：23112(12)22222212n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T …………………………………11分∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n …………………………………………12分18．（一）解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P 。

…………………1分 证明如下：取AB 的中点F 连接DP ，PF ，EF ，则FP//AC,FP=21AC. 取AC 的中点M ，连接EM ，EC 。

AE=AC 且∠EAC=︒60， ∴△EAC 是正三角形。

∴EM ⊥AC 。

∴四边形EMCD 为矩形。

∴ED=MC=21AC=FP 。

又 ED//AC 。

∴ED//FP 且ED=FP ，即四边形EFPD 是平行四边形。

∴DP//EF 。

而EF ⊂平面EAB,DP ⊄平面EAB ，∴DP//平面EAB 。

…………………5分 （2）过点B 作AC 的平行线l ，过点C 作l 的垂线交l 点G ，连接DG 。

ED//AC ，∴ED//l 。

∴l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱。

平面EACD ⊥平面ABC,DC ⊥AC ，∴DC ⊥ABC 。

又l ⊂平面ABC,∴DC ⊥l . ∴l ⊥平面DGC.l ⊥DG .∴∠DGC 是所求二面角的平面角的余角。

设AB=AC=AE=2.a ，则,2.GC a =∴GD=.722a CD GC =+∴cos 1θ=cos ∠DGC=721cos 772=⇒=θGD GC 即平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角的余弦值为721...........12分 （二）解：设AB=a ，取AC 中点O ，BC 中点F ，连EO 、OF 。

AC AE = 又∠EAC=︒60 AC EO ⊥∴又面ABC ⊥面ACDE 即EO ⊥面ACDE建立以OF 、OC 、OE 为空间坐标系的z y x ,,轴。

)0,2,().23,2,0().23,0,0().0.2,0().0,2,0(a a B a a D a E a A a C --………………2分①假设存在点P ，且)0,2,(λλa aa a P -+ 又面EAB 的法向量),,(000z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧⋅==+==⋅∴ax a z y x az y a a a z y x 0000000000)0,0,)(,,(2320)23,2,0(),,( 令3.100-==y z即)1,3,0(-=n)23,,()1,3,0(a a a a --+⋅-=⊥∴λλ 21=⇒λ 即P 为BC 的中点…………………………………………………5分②设面EBD 的法向量为),,(1111z y x n =，面ACDE 的法向量为)0,0,1(2=n ………7分)1,0,23(00111=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n n EB n ………………………………………………………9分721||||cos 21==∴n n θ……………………………………………………………12分19．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8C 23对相交棱。