毕业设计4“极点配置设计状态反馈控制器的算法”阅读材料-WSC
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
5.状态反馈控制器的设计
Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。
现代控制中采用状态反馈（图5-2）：其控制规律为： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （5-3） （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-4） 式中： BK A A K -≡图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
y(t) 2 1x(t)
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
举例----求解过程
解： 0
B 1
0 1 0 1 AB 6 51 5
rankS
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
极点配置法设计状态反馈控制器
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
1x(t)
F 7 1
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
极点配置与状态反馈
输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至状态微分处的反馈不改变系统 的能观性，但可能改变系统的能控性。
u
B
x x C y
A
x (A HC)x Bv
y Cx
H
示例：Y (s) U (s)
b1s b0 s2 a1s a0
A
0 1
a0 a1
,
b
b1 b2
,
c
0
1
A
hc
0 1
无直接传输系统的状态反馈
原系统
x Ax Bu
y Cx
引入状态反馈 新系统
u v Kx
x (A BK)x Bv
y Cx
v uB
x x C y
A
K
状态反馈增益矩阵K的维数？系统的特征多项式和传 递函数？
输出反馈至参考微分处
新系统
x (A HC)x Bu y Cx
传递函数 C(sI A HC)1B
Ao P1AP, bo P1b, co cP
0 1 0 0 0 0
0
0
1
0
0
1
Ao
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
,
bo
2 3
,
co
1
0
0
0
0
a0 a1 a2 a3 a4 4
第一能观标准型
Review
SISO系统第二能控、能观标准型1
第二能控标准型
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a0
b1
1
0
0
0
a1
b2
Ao
0 0
1 0
0 1
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
极点配置状态反馈控制器的设计
极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。
倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。
关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。
对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。
采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。
将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。
第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。
第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
u B
x
x
y
∫
C
A
H
-
B
∫
C
实际系统基于准确模型，且
A
没有考虑扰动
代入 ye C xe
25
附1：存在扰动时的状态误差
u B
x
x
dy
∫
C
A
H
-
B
∫
C
A
代入 ye C xe d
存在扰动时，不能使状态误差→0
26
附2：存在模型失配时的状态误差
u B'
x
x
y
∫
C'
A'
H
-
B
∫
C
A
存在模型失配时，不能使状态误差→0
2
一、状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
u B -
x
xy
∫
C
A
闭环传函？状态
K
方程？
加入状态反馈后的系统结构图
3
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性
注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
4
2. 输出反馈
u B -
x
xy
∫
35
闭环传递函数的不变性
闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况； 观测器的引入不影响闭环传递函数
注：分离性原理和传函的不变性都基于精确模型 36
仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例
（1）要求状态观测器的特征值为 （2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为
（3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况，
27
状态观测器的等价结构
6.2 反馈控制和极点配置
0
0
A%L B%LK%L 1*3
1 0
1*2
0 1
1*1
0
2*2
1
2*1
3*1
其中
* ij
为期望闭环特征多项式的系数。
– 因此,将开环的A%L和 B%L 带入代数上述方程,由该方 程的第3,5,6行(即每个分块的最后一行)可得如下 关K%于L 状态反馈阵
2020/4/18
基于龙伯格能控规范II形的设
K pK2 K1
1124
68
50
0 0
0 0
0 1
24 68 50 24 68 49
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
25 69 49 0 1 x24 69 50x1 0v
48 13698 1 1
通过验算可知,该闭环系统的极点为-2,-1±j2,达到设计要求。
2020/4/18
根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本 质上均属于极点配置方法。
– 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态 2020/4反/18 馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰
2020/4/18
反馈控制与极点配置(4/5)
• 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统 的状态反馈极点配置问题可描述为:
状态反馈极点配置定理(11/11)
– 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完 全能控特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观 的。
– 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 – 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状
态反馈不改变系统的状态能观性。
2020/4/18
2020/4/18
f2 *(s)(ss4 *)s(s5 *)s22 *s1 2 *2
极点配置状态反馈控制器设计方法
极点配置状态反馈控制器设计方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊极点配置状态反馈控制器设计方法。
这玩意儿啊，就像是给一个系统装上了精准的导航仪，能让它乖乖地按照咱的想法走。
你看啊，一个系统就好比是一辆汽车，而极点配置状态反馈控制器就是那个掌握方向盘的司机。
咱得通过巧妙的设计，让这个司机能精准地操控汽车，该加速的时候加速，该转弯的时候转弯，不能有一点儿含糊。
设计这个控制器就像是搭积木，一块一块地拼凑起来。
咱得先了解系统的特性，就像了解汽车的性能一样。
然后呢，根据这些特性来选择合适的参数，这可不能马虎，得仔细琢磨。
比如说，要是参数没选好，那可就糟糕啦！就像司机开车老是开歪一样，系统也会变得不稳定，那可不行！咱得让系统稳稳当当的，该干啥干啥。
这其中的学问可大着呢！就好像做菜一样，各种调料得搭配得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
极点配置状态反馈控制器的设计也是如此，每个环节都得精心处理。
而且哦，这个设计方法可不是一成不变的。
不同的系统就像不同口味的人，得用不同的方法去对待。
有时候得灵活一点，不能太死板啦。
想想看，如果所有系统都用一种方法去设计控制器，那多无趣啊！就像所有人都穿一样的衣服，那还有啥意思呢？咱得根据实际情况来调整，找到最适合的方案。
在实际应用中，这可真是帮了大忙啦！它能让那些复杂的系统乖乖听话，按照我们的要求运行。
这多厉害呀！难道不是吗？
所以啊，极点配置状态反馈控制器设计方法可真是个宝贝！咱可得好好研究，好好利用。
让它为我们的各种系统服务，让它们变得更智能、更高效。
怎么样，是不是觉得很有意思呢？别犹豫啦，赶紧去试试吧！。
状态反馈与闭环极点配置条件-自动控制原理
A
BK HC
BK
x xˆ
BB r
y C
0
x xˆ
引入线性变换
x xe
In I n
0 x In xˆ
得
x x e
A
BK 0
A
BK HC
x xe
B 0
r
y C
0
x xe
35
极点配置的分离性原理
带状态观测器的状态反馈系统的特征多项式为
det sI
s 0 0 1 1 0 1
det 0
s
0 1
1
0
0
k1
k2
k3
0 0 s 0 1 3 0
s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 )
而系统希望的特征多项式为
f * ( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) s3 5s2 17 s 13 令 f * ( s ) f ( s ) 得 k1 8, k2 35, k3 136
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 ) 而系统希望的特征多项式为 f * ( s ) ( s 1 )3 s3 3s2 3s 1
1
( s 3 )( s 1.414 )( s 1.414 )
有反馈时 x ( A BK )x Br , X ( s ) G f ( s )U ( s ),
Gf
(
s
)
(
sI
A
BK
)1 B
1
(
计算机控制理论与设计_第5章
东北大学
2011年9月
课程内容
第一章 绪论 第二章 计算机控制系统的数学模型与性能指标 第三章 经典控制器设计方法 第四章 复合系统控制器设计方法 第五章 基于极点配置方法的控制器设计 第六章 基于最优化方法的控制器设计
第5章 基于极点配置方法的 控制器设计
本章主要内容
极点配置设计方法的原理 极点配置状态反馈控制器的设计 极点配置复合控制器的设计
状态反馈控制的思想： 通过状态行为来实现控制目标，但是这样的反馈控制策略有 一个前提，即系统状态的行为应能受控制作用的任意控制， 否则不能达到设计目标。 一个系统的状态行为是否受控制作用的任意控制？这是设计 系统的能控性问题。 由于系统的状态不能全部测量，反馈的状态量需要用可直接 测量的输出量进行估算，系统的状态量是否可以由输出量来 完全确定？这就涉及到系统的能观性问题。
5.1.2 极点配置设计方法原理与基本概念
系统的动态行为主要是由闭环系统的极点决定的。
极点配置设计方法的基本原理：按照控制系统性能要求和 被控对象的某些特征，先确定控制系统的期望闭环极点， 再设计出控制器，使得控制系统的闭环极点与期望的闭环 极点相同。
实际上，解析设计法是一种单位反馈的极点配置设计方法。
5.1.2 极点配置设计方法原理与基本概念
基于状态空间模型进行控制器的设计，可以采用状态反馈和 输出反馈两种形式，其含义是分别将观测到的状态量或输出 量取作反馈量以构成反馈控制律，构成闭环控制，以达到期 望的闭环系统的性能指标。
采用状态反馈与采用输出反馈相比较，闭环系统能够达到更 好的性能。
5.1.2 极点配置设计方法原理与基本概念
5.1.1 性能指标与闭环系统零极点之间的关系
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
30
例： 设系统的状态空间表达式为 1 1 0 1 状态方程同前 1 1 0 x 0 u x 面极点配置例 0 1 3 0
4
状态反馈系统的状态方 程为 ( A BK ) x Br x yCx
状态反馈系统的传递函 数为 G ( s ) C ( sI A BK ) 1 B
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性 注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
自动控制原理
控制系统分析与设计的
状态空间方法2 ——综合与设计
（第八章）
1
状态空间法综合的基本概念
综合问题的三大要素:
受控系统、性能指标、反馈控制律
综合与设计的主要特点:
以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论 基于非优化型指标的极点配置方法 基于优化类性能指标的目标函数极值法
2
主要内容
通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s 3 ( k 1 3 )s 2 ( k 2 2 k 1 2 )s ( k 3 3 k 2 3 k 1 6 )
r
-
u
B
x
∫
A
x
C
y
H
6
3.
状态反馈与输出反馈比较
反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈
反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 输出反馈可视为状态反馈的一种特例。
反馈控制与极点配置
2021/1/23
h
15
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
0 1 0 0
x
0
0
10 0 0 ]x
在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时 需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
2021/1/23
h
10
解 1： 判断系统的能控性。
➢ 开环系统的能控性矩阵为
[B
AB]12
-4 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。
2. 求能控规范II形:
T1 [0 1][B AB]1 1/6 1/3
Tc21
T1 T1A
1 6
1 1
2 8
A~
Tc21ATc2
0 5
1 2
B~
Tc21B
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• 下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
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6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
2 8
-7/3 26/3
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
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12
x13141 1578x12u
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
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阅读材料： 极点配置设计状态反馈控制器的算法工程实践中，系统的动态特性往往以时域指标给出，比如要求超调量小于等于多少，超调时间不超过多少，阻尼振荡频率不大于多少等。
例1（138P 例5.3.3）如例5-6图被控系统，设计状态反馈控制器，使得闭环系统是渐近稳定的，而且闭环系统的：超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 50．≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
例1 图1 系统结构图 解：仿照例5-5 )(1)(21s X s s X =，)(211)(32s X s s X +=，)(61)(3s U s s X += （1） ⇒ 状态方程： )()(6)()()(12)()()(3332221t u t x t xt x t x t xt x t x+-=+-== （2） 输出方程：1321)001(x x x x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= （3）由例5-6系统结构图，可以得到被控系统的一个状态空间模型。
x y u x x)001(1006001120010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=， （4） 容易检验该系统是能控的，因此，可以通过状态反馈来实现闭环系统的任意极点配置。
先写出开环系统的传递函数 072181)6)(12(1)(23+++=++=s s s s s s s G （5） 本题无开环零点，闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。
由于所考虑的系统为3阶系统，故有3个闭环极点。
期望的3个闭环极点可以这样安排：一个极点远离虚轴，对闭环系统性能影响极小，于是可将系统近似成只有一对主导极点为22,11ζωζωλ-±-=n n j 的2阶系统。
ζ—2阶系统的阻尼比； n ω—2阶系统无阻尼自振频率。
由关系式： %5e 21/≤=--ξξπσ，s 5.012≤-=ζωπn p t （6）（参见《自动控制技术》，吴舒辞，中国林业出版社，2000年4月，37P 表2.5）当取 10707021≥=≥n ωζ，．，07.7≥n ζω时，满足上述条件。
为简单计，上式取等号10707021===n ωζ，．，07.7=n ζω （7） 经配置后，闭环系统的主导极点为：0770771221．．，j j nn ±-=-±-=ζωζωλ （8） 此时，1021==n ωλ，，取另一“远离虚轴”极点为10010213-=-=，λλ 引入反馈增益矩阵K 后，期望的闭环特征多项式1000015101.114)2)(100()(2322+++=+++=s s s s s s s f n n ωζω期望 （9）采用直接法在“非能控系统”中配置极点,设)(321k k k K =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6112010)(1006001120010321321k k k k k k BK A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-=--321611201det )](det[k s k k s sBK A sI123233)7212()6(k s k k s k s +-++++= （11）比较（9）（11）两式 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=+10000151072121.114181233k k k k （12）求解（12）可得反馈增益为 )1.968.28410000(=K （13）所求的状态反馈为 v x x x v kx u +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=321)1.968.28410000(v x x x +---=3211.968.28410000 （14）同理，根据状态方程（2）、输出方程（3）和状态反馈方程（14）可以画出系统状态结构图（略）。
例5-7（140P 例5.3.4）倒立摆系统的线性化状态空间模型（对应0≈θ）为u x Bu Ax x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=10100110010000100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθ yy x 1)0001(x x Cx y ===其中：y 是小车的位移，y 是小车的速度，θ是摆杆的角位移，θ 是摆杆的角速度，u 是作用在小车上的力。
设计一个状态反馈控制器Kx u -=，使系统的闭环极点是j ±---121 解：开环系统的特征多项式为24211)11)(11()det(s s s s s A sI -=+-=- （1） 对应极点 )111100(-，因此，开环系统是不稳定的。
例5-7图1是倒立摆以初始状态⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11.001.0)0(x 的开环系统状态变量轨迹图。
例5-7 图1 倒立摆“开环”系统各状态量随时间变化图小车位移图（左上）：)(1t y x =， 小车速度图（右上）：)(2t yx =； 摆杆角位移图（左下）：)(3t x θ=，摆杆角速度图（右下）：)(4t x θ = 轨迹图进一步验证了这一事实，它们都远离原点，都是不稳定的。
但倒立摆系统是能控的，因此可以进行极点配置，以保证闭环系统是渐近稳定的。
希望有410105]1)1)[(2)(1()(2342++++=++++=s s s s s s s s f （2） 注意，不是能控标准形，不能直接用（5-26）)...()...(111100110------==n n n a b a b a b k k k k直接法：在“非能控标准形”中设 )(4321k k k k K =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-)(101001100100001000010det )](-[det 4321k k k k sI BK A sI⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-4321432143214321111001001det 1110010010det k s k k k s k k k s ks k k k k k k k ksI BKA122133244101011)()(k s k s k k s k k s ++--+-+= （3） 比较（2）、（3）两式同次幂的系数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--=-410101010115121324k k k k k k ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4.0121.461234k k k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=43214321)64.2114.0()(x x x x x k k k k Kx u432164.214.0x x x x ----= （3）闭环系统为 x k kk k k k k kx BK A xBKA -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=4321432111100010010)( ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=432164.1014.0100064.2014.00010x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==+++==4321443432122164.104.064.204.0x x x x x x x x x x x xx x（4）1)0001(x x Cx y === （5） 根据（3）、（4）、（5）可画出闭环系统状态结构图（略）。
编制和执行以下m-文件，再在闭环系统中考察初始状态⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11.001.0)0(x 的响应，可得（参见142P ）例5-7 图2 倒立摆“闭环”系统各状态量随时间变化图倒立摆“闭环”系统轨迹图例5-7图2，进一步验证了这一事实，无论初始条件如何，系统的各个状态最终都会“到达”平衡点原点，系统是稳定的。
5.3.3 Ackermann 公式Ackermann （爱克曼）公式给出了极点配置K 的解析表达式，特别适合于编程计算。
假设系统是状态完全能控的，给定的期望闭环极点为n λλλ，，， 21，线性状态反馈控制器为Kx u -=，得到闭环系统状态方程为BK A A x BK A xK -=-=，)( （5-27） 则极点配置要求K 满足 )())(()det(21n K A I λλλλλλλ---=- 即： 0111)(d d d f n n n +++=--λλλλ 希望 （5-28） 根据Cayley-Hamilton 定理，K A 应满足其自身的特征方程，即0)(0111=+++=--I d A d A d A A f K n K n n KK （5-29） 为简化推导，以3=n 为例，可以方便地推广到任意阶的单输入系统考虑恒等式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=-==223322KK KKKKBKA ABKA BK A A A BKA ABK A A BKA A II（5-30） 将上述等式分别1210、、、d d d ⨯并相加得32210KK K A A d A d I d +++ 2232210)()(K K K BKA ABKA BK A A BKA ABK A d BK A d I d ---+--+-+=2222132210KK K BKA ABKA BK A BKA d ABK d BK d A A d A d I d ------+++= 按（5-29），上式即22221)()(K K K K KA B KA AB K B A KA B d K AB d K B d A f A f ------= 应用（5-29） 0)(32210=+++=K KK K A A d A d I d A f 得 BK A KA K d AB KA KA d K d B A f K K K 22221)()()(+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=K KA K d KA KA d K d B A ABB K K K 22212)( （5-31）由于系统完全能控，能控性矩阵可逆，故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-K KA K d KA KA d K d A f B A ABB K K K 222112)()(（5-32）两边左乘)100(，（最后一行的“提取”向量）可得)())(100(12A f B A AB B K -= （5-33） 显然，此结果推广到n 阶单输入系统。
)())(100(11A f B A AB B K n --= （5-34） 式中： I d A d A d A A f n n n 0111)(+++=-- 0111)(d d d f n n n +++=--λλλλ 希望 （5-34）称为Ackermann 公式。