离散数学A卷
离散数学卷2018-2019第二学期A卷 (1)
贵州大学软件学院软件工程专业2018-2019学年第二学期考试试卷A离散数学注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
题 号一 二 三 四 总分 统分人得 分一．单项选择题（每小题2分，共20分）1. p ：小王学习用功，q ：小王聪明，则命题“小王不仅学习用功而且聪明.”的符号化为（ ）。
A ．p →qB ．q →pC ．p ∨qD ．p ∧ q2．n 个命题变元可产生（ ）个互不等价的极小项。
A ． nB ． n 2C ． 2nD ． 2n3．设个体域为整数集,下列公式中假命题的有（ ）。
A ．x ∃y(x ·y=0)B ．∃x y(x ·y=0)C ．x ∃y(x ·y=1)D ．x ∃y(x ·y=x)4. 集合A={1,2,3}上的关系R={<1,2>,<1,3>}，则R 的性质为（ ）。
A.自反的B.对称的C.传递的，对称的D.传递的5. 若,f g 是双射，则复合函数g f 必是（ ）。
A ．映射B ．单射C ．满射D ．双射6．给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（ ）。
A ．(1,1,2,2,5)B ．(1,1,2,2,2)C ．(1,1,3,3,3)D ．(1,5,4,4,5)得 分评分人7. 给定无向图如下图所示，割点是（ ）。
A ．dB ．gC ．bD ． a8. 7阶连通平面图G 有6个面，则G 的边数为（ ）。
A ．9B ．10C ．11D ．129. 无向图G 是简单图，则图G 中一定不含有（ ）。
A ．环和平行边B ．平行边C ．环D ．圈10. Z 是整数集，〈Z ，*〉（其中*是普通乘法）不能构成（ ）。
离散数学考试试题（A卷及答案）
离散数学考试试题（A卷及答案）离散数学考试试题（A卷及答案）⼀、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满⾜式）？1)((P→Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q) 2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满⾜式。
⼆、（8分）个体域为{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。
解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））（0∨0）∧（0∨1）1∧1?0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的⼆元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的⼆元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。
四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个⼉童到公园游乐场，他们在那⾥可以骑旋转⽊马，坐滑⾏铁道，乘宇宙飞船，已知其中20⼈这三种东西都乘过，其中55⼈⾄少乘坐过其中的两种。
离散数学期末试题A答案及评分标准
--北京工商大学离散数学试卷(A)答案及评分标准题号 一 二三 四 五 六 七总分得分一、（30分）设A ={1,2,3,4}，给定A 上二元关系R 如下：R ={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <3,3>, <4,4>}请回答以下各问题：1.写出R 的关系矩阵. （3分）2.画出R 的关系图. （3分）3.求包含R 的最小的等价关系，并写出由其确定的划分. （6分）4.分别用关系矩阵表示出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R ). （6分）5.求传递闭包t (R ).（写出计算步骤）（6分）6.求R 2的关系矩阵. （3分）7.集合A 上最多可以确定多少个不同的二元关系？说明理由。
（3分）[解] (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001000011R M 。
……（3分）（2） ……（3分）(3)法一：直接由等价关系与划分之间的一一对应可知，包含R 的最小等价关系为: {<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>,<2, 3>, <3, 1> <3, 2>}∪I A , ……（3分） 对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法二：包含R 的最小的等价关系就是tsr (R ), 计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=100001000110001110000100001000011000010001000011)(E M M R R r,100001100111001110000110001100011000010001100011][)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=T R r R r R sr M M M ,3,10001110111011110000110011100111000011001110011)]([)()()]([2≥=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=k M M M M k R sr R sr R sr R sr 从而,10000111011101111000011101110111100001110111011110000111011101111000011001110011432)]([)]([)]([)()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=R sr R sr R sr R sr R tsr M M M M M即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法三：由于4=A ，包含R 的最小的等价关系就是4131211)()()()()()(----⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃==R R R R R R R R I R rts R tsr A ,计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃100001100101001110000110000100011000010001000011][1TR R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃10000111011101111000011001010011)][(22)(21T R R R R M M M412131)()(33)(10000111011101111000011001010011)][(---⋃⋃⋃==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=R R R R T R R R R M M M M M 考试纪律承诺本人自愿遵守学校考试纪律，保证以诚信认真的态度作答试卷。
11-12离散数学A卷及答案
2011-2012 2 离散数学（A 卷） 高密校区2011级计专、软专（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ）A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ2．下列语句中是真命题的是（ ）A ．我正在说谎B ．严禁吸烟C ．如果1+2=3，那么雪是黑的D ．如果1+2=5，那么雪是黑的3．在公式x ∀F （x ，y ）→∃ y G （x ，y ）中变元x 是（ ）A ．自由变元B ．约束变元C ．既是自由变元，又是约束变元D ．既不是自由变元，又不是约束变元4．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( )A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ）A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:7. 在自然数集N 上，下列运算是可结合的是（ ）A b a b a 2*-=B ．},min{*b a b a =C b a b a --=*D b a b a -=*8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( )A.<A ，+>B.<A ，->C.<A ，×>D.<A ，÷>9. 右图的最大入度是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第9题图10. 设G 为有n 个结点的简单图，则有（ ）A ．Δ(G)＜nB ．Δ(G)≤nC ．Δ(G)＞nD ．Δ(G)≥n二、填空题(每空2分，共20分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。
11级离散数学试题(A)参考答案
2011级离散数学(A)参考答案一、填空题（每小题2分，共30分）1. 设():M x x 为人， ():F x x 不吃饭。
将命题“没有不吃饭的人”符号化为：))()((x F x M x ⌝→∀ 或 ))()(((x F x m x ∧∃⌝ 。
2. 设A={1, 2, 3, 4} ，则 A 的全部2元子集共有 6 个。
3. 设p ：明天是周一，q ：明天是周三，r ：我有课。
则命题“如果明天是周一或周三，我就有课”的符号化形式为 r q p →∨)( 。
4. 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主析取范式为 320m m m ∨∨ 。
5. 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r q ⌝→→∨的真值为 1 。
6. 集合}3,2,1{=A 上的关系}3,2,3,1,2,1{><><><=R ，则=-1R { <2,1>,<3,1>,<3,2> }。
7. 画出下图的补图 。
8.设A={1,2,3}，B={a,b,c}，A 1={1}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1,2 }。
9. 设无向图的度数序列为：1，2，2，3，4。
则该无向图的边数m= 6 。
10. 3阶有向完全图的2条边的非同构的生成子图有 4 个。
11. 设〈≤,A 〉为偏序集，A B ⊆。
若y x B y x 与,,∈∀都是可比的，则称B是A 中的一条链，B 中的元素个数称为链的长度。
在偏序集〈{1,2,…,9}，整除〉中，{1,2,4,8}是长为 4 的链。
12. 下面运算表中的单位元是 b 。
13. 写出模4加法群G=<Z 4,⊕ >的运算表14. 模4加法群中， 2-3= 2 。
离散数学试题(A卷及答案)
离散数学试题(A卷及答案)一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)⇔T (代入)2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明：∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）。
解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：（1）R 附加前提（2）⌝R∨P P（3）P T(1)(2)，I（4）P→(Q→S) P（5）Q→S T(3)(4)，I（6）Q P（7）S T(5)(6)，I（8）R→S CP2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)证明：(1)∀x⌝P(x) P(2)⌝P(c) T(1)，US(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P(4)P(c)∨Q(c) T(3)，US(5)Q(c) T(2)(4)，I(6)∃x Q(x) T(5)，EG四、在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（5分）。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。
《离散数学》试卷A及答案
《离散数学》试卷(A)适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下述哪一个不是命题？（ ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。
C 、若我有空，我就看书。
D 、请勿随地叶痰！2、设A={a,b,c}，B={1,2,3}，以下哪一个关系是从A 到B 的双射函数？（ ） A 、f={<a,2>,<b,2>,<c,1>} B 、f={<a,3>,<b,1>,<c,2>} C 、f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,3>} D 、f={<a,1>,<b,2>,<a,3>}3.设<G, 。
>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 4、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 5.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A 6、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无 7、与一阶公式P(x)→VxQ(x)等值的公式是A.P(y)→VyQ(y)B.P(y)→VxQ(y)C.P(x)→VyQ(y)D.P(z)→VyQ(y)8、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0 C 、A 为1 ，B 为1 D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共7小题，每空3分，共21分）１．.设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)= 。
离散数学期末试题及答案A
学年第二学期期末考试《离散数学》试卷（ A ）使用班级：命题教师：主任签字：一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
离散数学试卷(A)
离散数学试卷(A)一、单项选择题(每小题2分。
共20分)在每小题的四个备选答案中只有一个正确的答案。
请将正确答案的序号写在题干的括号内。
1.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( ).A.{2}∈AB.{a}⊆AC.∅⊆{{a}}⊆B ⊆ED.{{a},1,3,4}⊂ B.2.除非613≥ ，否则79≤。
令r: 613≥，s ：79≤，可符号化为（ ）.A.s r →B. r s →⌝C. s r →⌝D. r s →3.使命题公式()p q q ∧→为假的赋值是（ ）A.10B.01C.00D.114. ()r q p ↔→的合取范式是（ ）A.()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨；B. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨C. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；D. ()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；5．判断下列各式中，不是合式公式的是 ( )A.S R Q ∧→B.()()S R P →↔C.()()()P Q Q P →→→⌝D.()K RS →6. 下列语句中是命题的只有（ ）A ．1+1=10B ．x+y=10C ．sinx+siny<0D ．x mod 3=2 7．设A={1，2，3，4，5}，下面集合等于A 的是( )A ．{1，2，3，4} B.{}252≤x x x 是整数，且C ．{}5≤x x x 是正整数，且D ．{}5≤x x x 是正有理数，且8．设f 和g 都是x 上的双射函数，则()1-g f ( ) A.11--g f B. ()1-f gC. 11--f gD. 1-g f9.下面等值式不正确的是：( C )A.A A A ⇔∨ ;B. ()B A B A ⌝∨⌝⇔∧⌝ ;C. ()B B A A ⇔∧∨;D. B A B A ∨⌝⇔→;10.R 代表实数集合，针对给定的函数集合f ，下面函数f: R R →属于双射的是：（ ）A. ()x x f 2=B. ()x x f sin =C. ()23x x x f -=D. ()x x f x +=2二、判断题（每题2分，共10分)11. A 是合式公式，但()B A ∨不一定就是合式公式( )12. q p →为真当且仅当p 与q 同时为真或同时为假（ ）13.设i i m M 与是命题变项1p ，2p ，。
离散数学试卷及问题详解
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）求(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))的主析取范式解：(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))⇔⌝(⌝( P∨Q))∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q)∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨⌝Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨(R∧⌝R))∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨Q∨R)⇔M∧1M⇔m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m2二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。
则根据题意应有：甲：⌝P∧Q乙：⌝Q∧P丙：⌝Q∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'R 。
离散数学试卷及参考答案
济南大学继续教育学院离散数学试卷（A）学年：学期:年级：专业：学习形式：层次：（本试题满分100分，时间90分钟）一、选择（每题2分，共18分）1.设简单图G所有结点的度之和为12，则G一定有 ( ) 条边。
A． 3B． 4C． 5D． 62.设G是一棵树，则G 的生成树有 ( B ) 棵A． 0B． 1C． 2D．不能确定3. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( )。
A. (1,2,2,3,4,5)B. (1,2,3,4,5,5)C. (1,1,1,2,3)D. (2,3,3,4,5,6).4. 命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是( )。
A.对任意x，G(x)都取真值1.B.有一个x0，使G(x0)取真值1.C.有某些x，使G(x0)取真值1.D.以上答案都不对.5.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
A. {2}∈AB. {a}⊆AC. ∅⊆{{a}}⊆B⊆ED. {{a},1,3,4}⊂B.6. 下列关于集合的表示中正确的为( )。
A.{a}∈{a,b,c}B. {a}⊆{a,b,c}C. ∅∈{a,b,c}D. {a,b}∈{a,b,c}7.下列式子正确的是 ( )。
A． p →q = q →pB． p →q = ⌝q ∨ pC． p →q，q →s ⇒ p →sD． p ↔q = (p → q) ∨ (q→ p)8.下列语句中，( )是命题。
A.请把门关上B.地球外的星球上也有人C. x + 5 > 6D. 下午有会吗？9．设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP(x), H＝∀xP(x),则一阶逻辑公式G→H是( )。
A. 恒真的第 1 页共 13 页。
离散数学试题A卷及答案
离散数学试题A卷及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}中，子集的个数是多少？A. 3B. 7C. 8D. 9答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. ∃x∈R, x^2 = -1B. ∀x∈R, x^2 ≥ 0C. ∀x∈R, x^2 = 1D. ∃x∈R, x^2 = 2答案：B3. 函数f: N → N定义为f(x) = 2x，该函数是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 非函数答案：A4. 以下哪个逻辑表达式等价于p∧(q∨¬p)？A. p∧qB. p∨qC. ¬p∨qD. p∧¬p答案：A5. 以下哪个图是二分图？A. 完全图K5B. 完全二分图K3,3C. 环图C5D. 星形图K1,4答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=______。
答案：{2,3}2. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是：若x^2≤0，则______。
答案：x≤03. 在一个有向图中，若存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称v可到达u，若图中每个顶点都可到达其他所有顶点，则称该有向图是______。
答案：强连通的4. 一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集5. 在逻辑中，合取（AND）操作符用符号______表示。
答案：∧三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
证明：设x∈A，则由A⊆B，可得x∈B。
又由B⊆C，可得x∈C。
因此，A⊆C。
2. 给定一个图G，包含顶点集V={v1, v2, v3, v4}和边集E={(v1,v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v1), (v1, v3), (v2, v4)}，请判断该图是否是欧拉图，并说明理由。
答案：该图是欧拉图。
因为该图是连通的，且每个顶点的度都是偶数。
结束语：本试题涵盖了离散数学中的基本概念和原理，通过这些题目的练习，可以加深对离散数学知识的理解。
上海海事大学《离散数学》2018-2019第一学期期末试卷
上海海事大学试卷2018—2019学年第一学期期末考试《离散数学》（A 卷）班级学号姓名总分1.(5’)CA e CA dB A D A c A b Z x x x x x D Z n n x xC Z n n x x B Z n n x x A -⋃⋂⊕⋂⋃∈=+-=∈==∈+==∈==+++)()()()()()(BA (a)Z }.,0)86(|{},,4|{},,12|{},,2|{2：为全集，计算下列格式以设2.(6’)在150位学生中，有109位同学在PASCAL,BASIC,C++中至少学习一门。
假设45人学BASIC ，61人学PASCAL ，53人学C++，18人学BASIC 和PASCAL ，15人学BASIC 和C++，23人学PASCAL 和C++。
(a)多少人三门语言都学？(b)多少人只学BASIC?(c)多少人一门都不学？3.(5’)已知前提为：))()(()),()()((x Q x C x x R x W x C x ∧∃∧→∀结论为：))()((x R x Q x ∧∃给出逻辑推理的过程。
4.(6’)设B={1,2,3,4,5}，A=B×B,定义A 上的关系R 如下：(u,v)R(x,y)当且仅当u-v=x-y.(a)证明R 是等价关系。
(b)找出[(2,3)].(c)计算A/R.5.(6’)设}0|{},1|{≥∈=-≥∈=x R x T x R x S 题目得分阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------定义f:S→T 如下：Sx x x f ∈+=,1)((a)证明f 是单射的。
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西北民族大学数学与计算机科学学院期末考试
离散数学 试卷（ A 卷）
专业: 课程代码: 学号: 姓 名:
一、单项选择题 (在每小题的四个备选答案中, 选出一个正确 的答案, 并将其代码填入题干后的括号内. 每小题2分, 共10分）
1. 公式p q p ⌝→∧)(的所有成真赋值为__________.
A . 00, 10, 11
B . 10, 11, 01
C . 00, 01, 11
D . 00, 01, 10 [能力层次：记忆]；[难易度：B ]
T2. 设n A =，则集合A 上有__________个不同的二元关系.
A . 2
2n B . n
22 C . 2n n D . n
n 2 [能力层次：理解]；[难易度：C ]
T3. 设A ={1,2,3}，{}
3,,≠+∧∈><=y x A y x y x R 是A 上的关系, 则R 满足的性质是__________.
A . 反自反性
B . 对称性
C . 反对称性
D . 传递性
[能力层次：简单运用]；[难易度：D ]
T4. 下列集合中对所给二元运算封闭的是 .
A . {1,-1}关于普通的加法运算
B . {1,-1}关于普通的减法运算
C . {1,0}关于普通的加法运算
D . {1,0}关于普通的乘法运算
[能力层次：简单运用]；[难易度：C ]
T5. n (2)n ≥阶无向树是 .
A . 哈密顿图
B . 欧拉图
C . 二部图
D . 不连通图 [能力层次：理解]；[难易度：B ]
二、判断题（认为对的，在题后的括号内打“√”，认为错的打
“×”。
每小题 2 分，共10分）
T1. 设A , B 都是含命题变项1p ,2p ,…,n p 的公式, 若B A ∨是矛盾式, 则A 一定是
矛盾式. （ ） [能力层次：简单运用]；[难易度：C ]
T2. }{↓是联结词完备集. （ ） [能力层次：简单运用]；[难易度：B ]
3. 设R 是非空集合A 上的关系，则R 的对称闭包0
)(R R R s ⋃=. （ ）
[能力层次：理解]；[难易度：D ]
4. 任何无向图中, 奇度点的个数一定是偶数. （ ）
[能力层次：记忆]；[难易度：B ]
5. 简单通路必是初级通路. （ ） [能力层次：综合运用]；[难易度：D ]
三、填空题（每空 2 分，共20 分）
T1.
公
式
)
,(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃的类型
是 . [能力层次：理解]；[难易度：B ]
2. ),(y x yF x ∀⌝∃的前束范式为 . [能力层次：理解]；[难易度：C ]
3. 计算}2,1{的幂集=})2,1({P . [能力层次：理解]；[难易度：C ]
4. 已知,51,2x y y x <+>=<->, 求x 和y . [能力层次：简单运用]；[难易度：D ]
5． 设A = {1, 2, 3}， 则A 上的小于等于关系=A L . [能力层次：理解]；[难易度：B ]
6. 设A = {a , b , c , d }，{}><><><><=d c c b a b b a R ,,,,,,,，则2
R 的关系矩阵
=2M .
[能力层次：记忆]；[难易度：A ] T7. 设 A = {1, 2, 3}， 给出
A
的
一
个
划
分 . [能力层次：简单运用]；[难易度：C ]
8. 设A = {a , b , c , d , e }， A 上的偏序关系≼{}A I d c ⋃><=,, 则A 的极大元是 . [能力层次：记忆]；[难易度：B ]
T9. 对于普通数的加法运算, 加法运算的幂等元是 0 是加法 1是乘法 .
[能力层次：综合运用]；[难易度：D ] T10. 设图
G
是n 阶k
-正则图, 则
G
的边数
=)(G E
P279 .
[能力层次：简单运用]；[难易度：C ]
四、计算证明题（每小题 10 分，共 60 分）
1. 求)()(q p q p ⌝↔→⌝→的主析取范式和主合取范式. [能力层次：综合运用]；[难易度：D ]
2. 在自然推理系统中构造下面推理的证明:
每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车. 所以, 有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合) 设F(x): x喜欢步行，G(x): x喜欢骑自行车，H(x): x喜欢乘汽车.
[能力层次：综合运用]；[难易度：D]
3. 设F , G 是任意的关系, 证明: 111)(---=F G G F [能力层次：综合运用]；[难易度：D ]
4. 证明: 大于等于关系≥是整数集合Z 上的偏序关系. [能力层次：综合运用]；[难易度：E ]
5. 设G = {a +b i ︱a , b ∈Z }, i 为虚数单位. 证明: G 关于复数加法构成群. [能力层次：简单运用]；[难易度：C ]
P(203 第7)1.可结合律 2 单位元
3 可逆 即负的它
6. 有向图D 的邻接矩阵为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=11
0010000100
0120A , 求： (1) D 中从4v 到1v 的长度为1,2,3,4的通路数.
(2) D 中从3v 到3v 的长度为1,2,3,4的回路数. (3) D 中长度为2的回路数. (4) D 中长度为4的通路数.
[能力层次：简单运用]；[难易度：C ]。