6、定积分

专题六 定积分
一．定积分的背景
1.曲边梯形：由曲线()y f x =，直线,,0x a x b y ===（x 轴） 围城的图形叫曲边梯形。

2.曲边梯形的面积，汽车行驶的路程，做功等问题的解决方法， 解决步骤：利用“以直带曲，以不变代变”的思想，采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法．
①分割； ②近似代替； ③求和⎧⎪
⎨⎪⎩
过剩近似值
不足近似值任意近似值； ④加细（取极限）
二．定积分的概念
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 分成n 个小区间，第i 个小区间长度为i x D ，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点
()1,2,,i i n x =L ，作和式1
()n
n i i i S f x x ==
D å
如果x D 无限接近于0（亦即n ?
）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常
数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()d b
a
S f x x =
ò
，
其中ò叫积分号，b 叫积分上限，a 叫积分下限，()f x 叫被积函数，x 叫积分变量，[,]a b 叫积分区间.
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],
a b 上函数()f x 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰b
a dx x f )(表示由直线0,,===y
b x a x 和曲线()
y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分
⎰
b
a
dx x f )(的几何意义。

说明：一般情况下，定积分⎰b
a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数
(
)f x 的图像以及直线
,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号。

3.定积分的物理意义
当()v t 表示速度关于时间的函数时，2
1()t t v t dt ⎰表示的是运动物体从12t t t t ==到时所走过的
路程；当F(x)表示力关于位移x 的函数时，(x)b
a
W F dx =⎰表示的是位移从x a b ==到x 时变力
所做的功。

4.定积分的性质:
性质1⎰-=b
a b a k kdx )(；
性质2⎰⎰=b a
b
a
dx x f k dx x kf )()(；
性质3[]⎰⎰⎰±=±b a
b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；
性质4⎰⎰⎰<<+=b a
c a
b
c
b c a dx x f dx x f dx x f )()()()(
说明：（1）⎰⎰-=b a
a
b
dx x f dx x f )()(；
（2）
⎰
=a
a
dx x f 0)(；
（3）1212[()()()]()()()b
b b
b m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx
f x 北?北
蝌蝌L L
（4）12
1
()()()()k
b
c c b a a
c
c f x dx f x dx f x dx f x dx =
+
++蝌蝌L
三、微积分基本定理 如果连续函数
f(x)是函数
F(x)的导函数,即()()f x F x '=则有
()()b
b a a
f x d x
F x =⎰
(b )(F
F =-这个结论叫作微积分基本定理，定理中的式子称为牛顿-莱布
尼兹公式通常称F(x)是f(x)的一个原函数 说明：1.建立了积分与导数间的密切联系；
2.提供了计算定积分的一种有效方法.
3. 利用微积分基本定理求定积分的步骤：
（1）求出f(x)的一个原函数F(x);
(2)计算F （b ）- F （a ）,即得()b
a f x dx ⎰的值.
例2计算下列定积分：（1）2
1
1dx x ⎰； （2）3211
(2)x dx x
-⎰
例3.（2013湖南）若20
9T
x dx =⎰，则常数T 的值为___________.
例4. (2011陕西)设2
0lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
⎰若((1))1f f =，则a =_________________.
四、定积分的应用 （一)平面图形的面积 1、由,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积s 阴影，
即=()b
a s f x dx ⎰阴影.
2、由两条曲线()g(x)y f x =和y=，直线,()x a x b a b ==<所围成的面积
（1）当()()0f x g x >>时，
[]=()()()()b
b b
a
a a
s f
x g x dx f x dx g x dx -=-⎰⎰⎰阴影
（2）当()0,()0f x g x ><时，
()|()|[()()]()()b b b b b
a
a
a
a
a
S f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx =+=-=-⎰
⎰⎰⎰⎰阴影
例5.求正弦曲线sin y x =与x π=-,x π=及x 轴所围成的平面图形的面积。

例6.求抛物线2y x =与直线2y x =所围成平面图形的面积。

例7.求由直线1
2,3
y y x y x ==-=-所围成图形的面积
（二）简单几何体的体积 1.求旋转体的体积
由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲
边梯形绕x
轴旋转而成的旋转体体积为2[()]b
a
V f x dx π=⎰.
例
8、将由直线,1,2y x x x ===围成的平面图形绕x 轴旋转一周，得到一个圆台，利用
定积分求该圆台的体积。

例9、求由曲线2
12
y x =
与y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

同步训练6
1.计算下列定积分：
（1）10
x e dx ⎰ （2）2
cos xdx ππ⎰ （3）130x dx ⎰ （4）⎰
（5）2
1
1
(x
e dx x +⎰
（6）20(3sin )x x dx π+⎰（7）211)dx ⎰（8）2
2121x x dx x ++⎰
2.（2013江西）若2211
s x dx =⎰，2
21
1
s dx x
=⎰
，231x s e dx =⎰则123,,s s s 的大小关系为（ ）
A. 123s s s << B 213s s s << C 231s s s << D 321s s s << 3. 若1
0(2)2x k dx +=⎰ 则k=______________.
4.（2013北京）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于_________________
5.（2012福建）(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为_____________
6.（2012湖北）已知二次函数()y f x =的图像如图所示， 则它与x 轴所围成的图形面积为___________
7.由直线3
x π
=-
，,03
x y π
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为__________
8. 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为___________
9.求半椭圆22
1(0)94
x y y +=≥绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

10将由曲线2y x y x ==和所围成的平面图形绕x 轴旋转一周，求所得到的旋转体的体积。

11.(2012·石家庄模拟)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l . (1)求切线l 的方程；
(2)求切线l 、x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . ⑶求阴影部分图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积
12.求由直线4y x =-与曲线22y x =所围图形的面积S。