张清华图论课后题答案.

第1章 图论预备知识

1.1

解：(1) p={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

(2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}} (3) p={,{}}

(4) p={,{},{{}},{,{}}}

(5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}} 1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假 1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2} (2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3}

1.4 证明：设(x,y)∈(A ∩B)X(C ∩D) 说明x ∈A ∩B,y ∈C ∩D 由于 x ∈A,y ∈C 所以 (x,y) ∈A X C 由于x ∈B,y ∈D 所以 (x,y) ∈B X D 所以 (x,y) ∈（A X C ）∩（B X D ） 反过来，如果（x,y ）∈(A X C) ∩（B X D ） 由于 (x,y) ∈（A X C ）所以 x ∈A,y ∈C 由于 (x,y) ∈（B X D ）所以x ∈B,y ∈D 所以x ∈(A ∩B) y ∈(C ∩D) 所以 (x,y) ∈(A ∩B)X(C ∩D)

所以(A ∩B)X(C ∩D)= (A X C) ∩（B X D ） 1.5 解：Hasse 图

φφφφφφφφφ

极大元{9,24,10,7} 极小元{3,2,5,7} 最大元{24} 最小元{2}

1.6 解

(2)关系图为：

(3)不存在最大元，最小元为{2}

1.7 解：(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} (2)略

(3)I A ⊆R 故R 是自反的。 <1,2>∈R <2,3>R 但是<1,3>

∉R 故不满足传递性

1.8 解：(1) 不成立 A={1} B={2} C={3} D={4} 则左式={<1,3>，<1,4>,<2,3>,<2,4>} 右式={<1,3>,<2,4>}

(2) 不成立 A={1,3} B={1} C={2,4} D={2} 则左式={<3,4>}

右式={<1,4>,<3,2>,<3,4>}

(3) 不成立 A={1} B={2} C={3} D={4} 则左式={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>} 右式={<1,3>,<2,4>} (4) 成立 证明：设

∈(A-B)X C ⇔x (A-B)∧ y C

⇔x A ∧x B ∧ y C A X C ∧

B X

C (A X C)-(B XC)

故得 （A-B ）X C=（A X C ）-（B X C ）

∈∈∈∈∈∈⇔∈∈⇔∈

1.9略

1.10略

1.11解：A为n个元素的优先级和，A上有2n2 个不同的二元关系，理由为：设A，B为集合，AXB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系，特别当A=B时，称作A上的二元关系，若|A|=n，则|AXA|=n2，那么A上共有2n2个不同的二元关系。

1.12略

1.13解：1)真.由于R1和R2和R2都是自反的,因而对任何,都有(x,x)∈R1,(x,x)∈R

2.因此,对任何x∈A,都有(x,x)∈R1R2.所以R1R2是自反的。

2)假.令A={a,b},R1={(a,b)},R2={b,a}.那么R1R2={(a,a)},它就不是A上的反自反关系.

3)假.令A={a,b,c},R1={(a,b),(b,a)},R2={(b,c),(c,b)}.那末R1R2={(a,c)},就不是A的对称关系.

4)假.令A={a,b,c,d},R1={(a,c),(b,c)},R2={(c,b),(d,a)}易证R1,R2都是反对称关系.但是R1R2={(a,b),(b,a)}就不是A上的反对称关系.

5)假.令A={a,b,c},R1={(a,c),(b,a),(b,c)},R2={(c,b),(a,c),(a,b)},易证R1和R2都是传递关∈系,但R1R2={(a,b),(b,b),(b,c)}就不是A上的传递关系.

1.14证明：由任意的a，存在一个b，使得∈R,由对称性所以∈R,由传递性∈R,所以R是等价关系。

1.15证明：①x∈A，∈R,∈S→∈R∩S，所以R∩S有自反性；

②x,y∈A,因为R,S是反对称的，∈R∩S∧∈R∩S(∈R∧∈S) ∧(∈R∧∈S)(∈R∧∈R) ∧(∈S∧∈S)x=y∧y=xx=y

所以，R∩S有反对称性。

③x,y,z∈A,因为R,S是传递的，

∈R∩S∧∈R∩S∈R∧∈S∧∈R∧∈S∈R∧∈R∧∈S∧∈S∈R∧∈S∈R∩S

所以，R∩S有传递性。

所以R∩S也是A上的偏序关系。

1.16解：

r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<1,2>,<2,3>,<2,5>,<3,4>,<4,3>,<5,5>}

s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<2,5>,<5,2>,<3,4>,<4,3>,<5,5>}

t(R)={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<3,3>,<3,4>,<4,3>,<4,4>,<5,5>}

1.17 (1)证明：①对任意a,b,a+b=a+b,故得(a,b)R(a,b),关系R具有自反性;

②如果(a,b)R(c,d),则a+d=b+c,c+b=d+a,故得(c,d)R(a,b),

关系R具有对称性;

③如果(a,b)R(c,d),(c,d)R(e,f),则a+d=b+c,c+f=d+e,

故得a+f=b+e,(a,b)R(e,f),关系R具有传递性;

于是关系R是等价关系.

1.18略

1.19略

1.20解：(1) 单射

(2) 满射

(3) 既不是单射，也不是满射

(4) 满射

(5) 双射

1.21解：(1) O(n3)

(2) O(n5)

(3) O(n3n!)

第2章图

2.1

解：

(1)