MP-内射模的某些研究
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而 Ｍ 为 Ｐ 一内射模 。 反之 ， 显然成 立 。
引理 １
设 Ｒ是 可换 整环 ， 是 无扭 的 Ｒ模 ， 肼 则 是 Ｐ 一内模 当且 仅 当 是 内射模 。
定理 ３ 设 是可换整环 ， 是无扭的 模 ， 下述条件等价 ：ｉＭ是内射模 ；ｉ Ｍ是 Ｐ一内射模 ； （） （） ｉ
命题 １ 设 Ｍ ｉ （ 为指 标集 ） ， ∈ＩＩ 是左 Ｒ一模 ， 如果 ｎ
ＭＰ 一内射模 。
是
一内射模 ， 对任 意 ｉ∈，Ｍ 则 ， 是 口 ÷ 有 ＿
证 明 设 ｎ
是 尸 一内射模 ， 则对 任意 ０∈Ｒ， ， ｋ∈ 以及 任 意左 Ｒ 一单 同态
，
左 Ｒ 一单 同态 ｚ Ｒ ａ— ＩＭ 其 中 ｆ Ｉ ，
，
若存 在 ｒ ≠０ Ｒ使 得 ｒ ＝０ 则 由于 ｇ是满 同态 ， 在 ∈Ｆ使得 ｇ ）＝ｍ， （ ） ｍ ， 存 （ 于是 ｒ ∈Ｋ ｎ （ Ｆ ｒ Ｒ） Ｋ（ ＝ ｒ ， 以 ， 在 ｜ ｒ Ｒ） 所 存 ｊ ｝∈Ｋ使 得 ｒ ＝ｒ ， Ｆ是 无扭 的 ， 而 ∈Ｋ， 又 从 由此可得 ｍ ：ｇ ）＝ （
一内射 模 。
一内射 模 。
上述 命题 １ 定理 １的逆命 题不 成立 。 和 下面 我们讨 论可换 整 环上 ＭＰ 一内射 模 的 内射性 。 Ｒ一模 左
肘 称 为无扭 的 ， 如果对 于任 意 ｒ∈Ｒ， ∈Ｍ ， 肌 ＝０， ｍ 由 必有 ｒ＝０或 ｍ ＝０ 。
定理 ２ 设 尺是 可换整 环 ， 是无 扭 的 模 ， 则 是
关键 词：ＭＰ一内射模 ； 可除模 ； ＭＰ一内射维数 中图分 类号 ：０ ５ ． １ ３３ 文献标识码 ：Ａ 文章编号：１０ ４ ６ ２ １ ）２— ０ ４－ ３ ０７— ２０（０ １ ０ ０ ０ ０
本文中的环均指有单位元的结合环 ， 环上的模均指单式模。 Ｒ是环 ， Ｒ一模 称为 一内射 设 左 模 Ｉ， １ 如果对于 Ｒ的任一主左理想 Ｐ和任意单左 一同态Ｉ 厂 Ｐ ， 总存在 Ｙ∈Ｍ， 对所有 Ｐ∈Ｐ 。
我们 证 明整环上 Ｍ 一内射模 的和是 Ｍ 一内射 模 。 Ｒ模 称为 可除 的 Ｊ如 果对 于任 意 ｍ ∈ Ｐ Ｐ 左 ，
＝
０， 即 是 无扭 的 ， 由定理 ３可 知 是 内射 模 。 和任 意 ｒ非 零 因子 ）∈ Ｒ， （ 均存 在 ｍ ∈Ｍ 使 得 ｍ ＝ ｒ ｍ。 引理 ２４ 设 Ｒ是可 换整环 ， 左 Ｒ 一模 是 Ｐ 一内射模 当且仅 当 是可 除模 。 ＿ 则 推论 ２ 设 Ｒ是 可换 整环 ， 是无 扭 的 模 ， 则左 Ｒ 一模 是 Ｍ Ｐ一内射 模 当且仅 当 是可 除模 。
２ １ 年 ５月 ０１ 第１ ７卷第 ２期
安庆 师范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆ ｎ ｉｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃｏｌｇ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｒ ｌ ｑｎ ｅ ｃ ｅｓ ｌ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ） ｎ ｏＡ ｅ ｅ ｉ ｏ
Ｍａ ２ １ ｙ．， １ ０ Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． Ｉ１ ２
一内射 模 当且仅 当 是 Ｐ 一内射 模 。
证 明 假设 是 Ｐ 一内射模 。只需证 ： 对于任 意左 主理 想 舶 ， 任意 左 同态． ａ— 均可扩 张 厂 Ｒ 为 Ｒ 同态 ｇ Ｒ一 肘。 意取 同态 Ｒ Ｍ， 任 ａ ｒ ｒ ０ Ｖｒ∈Ｒ， ｏ∈ Ｍ， （ｌ） ＝ ｒ口 ， 口一 ｍ ， Ｖｍ ， ｒ０ ２） 则有 Ｆｍ０＝ｒｔ ， （ 一Ｆ） ０＝０ ｒ， ） 若 ｍｏ＝０ 零 同态显然 可 以扩 张为零 同态 。 ｍ １ ２Ｚ 即 ｑ ｏ ２ｍ （１ｆ ２∈ ； ， 若 ｏ≠０， 又 是无扭 的 ， ｒ 则 ＝ｒ， 以 Ｆ 所 １ 口＝Ｆ０则 为单 同态 ， Ｍ 为 ＭＰ一内射模 ， 以 可扩 张 为 ｇ： ２， 又 所 Ｒ— Ｍ， 从
第 ２期
吴祖 泽 ： ＭＰ一内射模的某些研究
・５・
证 明 （） （ｉｊ （ｉ） ｉ ｉ ） ｉ 显然 。ｉ） （）设 是 Ｍ Ｐ内射 模 ， 知有 正合 Ｒ一序 ０一 — Ｆ ｉ （ｉ ｉ ｉ 易 一 ０ 其 中 Ｆ是 自由模 ， ＝ Ｋ ｒ 。 ， Ｋ ｅ 由 是 平坦 的性 质知 ， ｇ 对任 意主 理想 ， Ｋ ｎ Ｆ 有 Ｉ＝Ｋ 。 意 ｍ ∈ Ｉ任
ＭＰ 内射 模 的某 些 研 究
吴 祖 泽
（ 安徽师范大学 数学与计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ３
摘
要 ：本文主要 研究 Ｎ 内射模的一些性质 ， Ｐ一 引进 Ｍ 内射维数的概念 ， Ｐ一 并用 Ｎ 一内射维数刻划了 Ｖ ｎＮ ｕ Ｐ ｏ ｅ －
ｍ ｎ正 则 环 。
（ｉ Ｍ 是 Ｐ一内射模 。 ｉ） ｉ
证 明 由定理 ２和引理 １即得 。
推论 １ 设 是 可换 整环 ， 是 平坦 的 Ｒ模 ， 下述 条件 等价 ：ｉ 是 内射模 ；ｉ） 是 Ｐ一内射 模 ； （） （ｉＭ
（ｉ 是 Ｐ 一内射模 。 ｉ） ｉ
收稿 日期 ：２ １ ０ ０ １— ３—１ １ 基 金项 目 ：安 徽 省 教 育厅 自然科 学 基 金 （ Ｊ０ ８ ０ Ｚ 资 助 。 Ｋ２ ０ Ａ ５ Ｃ） 作者简介 ：吴祖泽 ， ， 男 安徽安庆人 ， 安徽师范大学数学计算机科学学院硕士 ， 研究方 向为同调代数 。
此 ｒ）＝ｍｍ ， ａ 对所有 ｒ∈Ｒ， 中 ｍ ， 是 一内射模 。 其 ∈ 即 定 理 １ 设 Ｍ ， ∈， 左 Ｒ一模 ， 果 ０ 是 如 是 一内射 模 ， 对任 意 ∈，Ｍ 则 ， 是
证 明 若 ０ Ｍ 是 一内射 模 ， 似命 题 １易证 对 任意 ｉ∈ ， 是 类 ， Ｍ
一 ｌＭ ＋（ ， ，，（ ｋ ｎ ； － ０ … ０ 第 个）０ …） ， ， 为嵌入映射。 于是
，
存在（ ｉ ｍ ） ∈ Ｉ Ｍ ｆ ｍ ）：ｒ（ ｉ Ｉ 使 ｎ ｍ ） ＝（０ ） ， 所有 ｒ∈Ｒ。 ｒ 对 由于 ｆ ｒ）＝ （ ｒ） ， ０ ０ ） 因
引理 １
设 Ｒ是 可换 整环 ， 是 无扭 的 Ｒ模 ， 肼 则 是 Ｐ 一内模 当且 仅 当 是 内射模 。
定理 ３ 设 是可换整环 ， 是无扭的 模 ， 下述条件等价 ：ｉＭ是内射模 ；ｉ Ｍ是 Ｐ一内射模 ； （） （） ｉ
命题 １ 设 Ｍ ｉ （ 为指 标集 ） ， ∈ＩＩ 是左 Ｒ一模 ， 如果 ｎ
ＭＰ 一内射模 。
是
一内射模 ， 对任 意 ｉ∈，Ｍ 则 ， 是 口 ÷ 有 ＿
证 明 设 ｎ
是 尸 一内射模 ， 则对 任意 ０∈Ｒ， ， ｋ∈ 以及 任 意左 Ｒ 一单 同态
，
左 Ｒ 一单 同态 ｚ Ｒ ａ— ＩＭ 其 中 ｆ Ｉ ，
，
若存 在 ｒ ≠０ Ｒ使 得 ｒ ＝０ 则 由于 ｇ是满 同态 ， 在 ∈Ｆ使得 ｇ ）＝ｍ， （ ） ｍ ， 存 （ 于是 ｒ ∈Ｋ ｎ （ Ｆ ｒ Ｒ） Ｋ（ ＝ ｒ ， 以 ， 在 ｜ ｒ Ｒ） 所 存 ｊ ｝∈Ｋ使 得 ｒ ＝ｒ ， Ｆ是 无扭 的 ， 而 ∈Ｋ， 又 从 由此可得 ｍ ：ｇ ）＝ （
一内射 模 。
一内射 模 。
上述 命题 １ 定理 １的逆命 题不 成立 。 和 下面 我们讨 论可换 整 环上 ＭＰ 一内射 模 的 内射性 。 Ｒ一模 左
肘 称 为无扭 的 ， 如果对 于任 意 ｒ∈Ｒ， ∈Ｍ ， 肌 ＝０， ｍ 由 必有 ｒ＝０或 ｍ ＝０ 。
定理 ２ 设 尺是 可换整 环 ， 是无 扭 的 模 ， 则 是
关键 词：ＭＰ一内射模 ； 可除模 ； ＭＰ一内射维数 中图分 类号 ：０ ５ ． １ ３３ 文献标识码 ：Ａ 文章编号：１０ ４ ６ ２ １ ）２— ０ ４－ ３ ０７— ２０（０ １ ０ ０ ０ ０
本文中的环均指有单位元的结合环 ， 环上的模均指单式模。 Ｒ是环 ， Ｒ一模 称为 一内射 设 左 模 Ｉ， １ 如果对于 Ｒ的任一主左理想 Ｐ和任意单左 一同态Ｉ 厂 Ｐ ， 总存在 Ｙ∈Ｍ， 对所有 Ｐ∈Ｐ 。
我们 证 明整环上 Ｍ 一内射模 的和是 Ｍ 一内射 模 。 Ｒ模 称为 可除 的 Ｊ如 果对 于任 意 ｍ ∈ Ｐ Ｐ 左 ，
＝
０， 即 是 无扭 的 ， 由定理 ３可 知 是 内射 模 。 和任 意 ｒ非 零 因子 ）∈ Ｒ， （ 均存 在 ｍ ∈Ｍ 使 得 ｍ ＝ ｒ ｍ。 引理 ２４ 设 Ｒ是可 换整环 ， 左 Ｒ 一模 是 Ｐ 一内射模 当且仅 当 是可 除模 。 ＿ 则 推论 ２ 设 Ｒ是 可换 整环 ， 是无 扭 的 模 ， 则左 Ｒ 一模 是 Ｍ Ｐ一内射 模 当且仅 当 是可 除模 。
２ １ 年 ５月 ０１ 第１ ７卷第 ２期
安庆 师范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆ ｎ ｉｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃｏｌｇ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｒ ｌ ｑｎ ｅ ｃ ｅｓ ｌ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ） ｎ ｏＡ ｅ ｅ ｉ ｏ
Ｍａ ２ １ ｙ．， １ ０ Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． Ｉ１ ２
一内射 模 当且仅 当 是 Ｐ 一内射 模 。
证 明 假设 是 Ｐ 一内射模 。只需证 ： 对于任 意左 主理 想 舶 ， 任意 左 同态． ａ— 均可扩 张 厂 Ｒ 为 Ｒ 同态 ｇ Ｒ一 肘。 意取 同态 Ｒ Ｍ， 任 ａ ｒ ｒ ０ Ｖｒ∈Ｒ， ｏ∈ Ｍ， （ｌ） ＝ ｒ口 ， 口一 ｍ ， Ｖｍ ， ｒ０ ２） 则有 Ｆｍ０＝ｒｔ ， （ 一Ｆ） ０＝０ ｒ， ） 若 ｍｏ＝０ 零 同态显然 可 以扩 张为零 同态 。 ｍ １ ２Ｚ 即 ｑ ｏ ２ｍ （１ｆ ２∈ ； ， 若 ｏ≠０， 又 是无扭 的 ， ｒ 则 ＝ｒ， 以 Ｆ 所 １ 口＝Ｆ０则 为单 同态 ， Ｍ 为 ＭＰ一内射模 ， 以 可扩 张 为 ｇ： ２， 又 所 Ｒ— Ｍ， 从
第 ２期
吴祖 泽 ： ＭＰ一内射模的某些研究
・５・
证 明 （） （ｉｊ （ｉ） ｉ ｉ ） ｉ 显然 。ｉ） （）设 是 Ｍ Ｐ内射 模 ， 知有 正合 Ｒ一序 ０一 — Ｆ ｉ （ｉ ｉ ｉ 易 一 ０ 其 中 Ｆ是 自由模 ， ＝ Ｋ ｒ 。 ， Ｋ ｅ 由 是 平坦 的性 质知 ， ｇ 对任 意主 理想 ， Ｋ ｎ Ｆ 有 Ｉ＝Ｋ 。 意 ｍ ∈ Ｉ任
ＭＰ 内射 模 的某 些 研 究
吴 祖 泽
（ 安徽师范大学 数学与计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ３
摘
要 ：本文主要 研究 Ｎ 内射模的一些性质 ， Ｐ一 引进 Ｍ 内射维数的概念 ， Ｐ一 并用 Ｎ 一内射维数刻划了 Ｖ ｎＮ ｕ Ｐ ｏ ｅ －
ｍ ｎ正 则 环 。
（ｉ Ｍ 是 Ｐ一内射模 。 ｉ） ｉ
证 明 由定理 ２和引理 １即得 。
推论 １ 设 是 可换 整环 ， 是 平坦 的 Ｒ模 ， 下述 条件 等价 ：ｉ 是 内射模 ；ｉ） 是 Ｐ一内射 模 ； （） （ｉＭ
（ｉ 是 Ｐ 一内射模 。 ｉ） ｉ
收稿 日期 ：２ １ ０ ０ １— ３—１ １ 基 金项 目 ：安 徽 省 教 育厅 自然科 学 基 金 （ Ｊ０ ８ ０ Ｚ 资 助 。 Ｋ２ ０ Ａ ５ Ｃ） 作者简介 ：吴祖泽 ， ， 男 安徽安庆人 ， 安徽师范大学数学计算机科学学院硕士 ， 研究方 向为同调代数 。
此 ｒ）＝ｍｍ ， ａ 对所有 ｒ∈Ｒ， 中 ｍ ， 是 一内射模 。 其 ∈ 即 定 理 １ 设 Ｍ ， ∈， 左 Ｒ一模 ， 果 ０ 是 如 是 一内射 模 ， 对任 意 ∈，Ｍ 则 ， 是
证 明 若 ０ Ｍ 是 一内射 模 ， 似命 题 １易证 对 任意 ｉ∈ ， 是 类 ， Ｍ
一 ｌＭ ＋（ ， ，，（ ｋ ｎ ； － ０ … ０ 第 个）０ …） ， ， 为嵌入映射。 于是
，
存在（ ｉ ｍ ） ∈ Ｉ Ｍ ｆ ｍ ）：ｒ（ ｉ Ｉ 使 ｎ ｍ ） ＝（０ ） ， 所有 ｒ∈Ｒ。 ｒ 对 由于 ｆ ｒ）＝ （ ｒ） ， ０ ０ ） 因