2020版新设计一轮复习数学(理)通用版 第七章 不等式、推理和证明 课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法

课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法
1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1
(n ∈N *)，则f (1)的值为( ) A ．1 B.15
C ．1＋12＋13＋14＋15
D ．非以上答案
解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.
2．下列结论能用数学归纳法证明的是( )
A ．x ＞sin x ，x ∈(0，π)
B ．e x ≥x ＋1(x ∈R)
C ．1＋12＋122＋…＋12
n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *) D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
解析：选C 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C 符合题意．
3．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )
A ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2
B ．f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2
C ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2
D ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
解析：选A f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.
4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1
＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A ．1项
B ．k 项
C ．2k －1项
D ．2k 项
解析：选D 令不等式的左边为g (n )，则
g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1
， 其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋
1－2k ＝2k .
故左边增加了2k 项．
5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a
n ＋1＝1－a n ＋
21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为___________． 解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2.
答案：1＋a ＋a 2
6．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2
，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．
解析：观察不等式中分母的变化便知．
答案：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3
7．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k
－1·k (k ＋1)2
. 那么，当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －
1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2
＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12
[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2
. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n ∈N *，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
. 8．用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，
左边＝1＋12，右边＝12
＋1， 所以32≤1＋12≤32
，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即
1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12
＋k ， 则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋2k
＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12
＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．
9．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2恒成立；
(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；
(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n ＜2n ＋43
. 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)恒成立． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＞2， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，
所以n ＝k ＋1时，结论成立．
故由①②及数学归纳法，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立．
(2)数列{a n }是单调递减的数列．
因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，
所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .
所以{a n }是单调递减的数列．
(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，
所以a 2n ＋1－4＝a n －2.
根据(1)知a n ＞2(n ∈N *)，
所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14
， 所以a n ＋1－2＜14
(a n －2)＜⎝⎛⎭⎫142(a n －1－2)＜…＜⎝⎛⎭⎫14n ·(a 1－2)． 所以当a ＝3时，a n ＋1－2＜⎝⎛⎭⎫14n ，即a n ＋1＜⎝⎛⎭
⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43
， 当n ≥2时，
S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n
＜3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14
⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＜2n ＋43
. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N *)．。