中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形 第14讲 全等三角形(精讲)
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第2节 三角形
第二节 三角形的基本概念及全等三角形以画图为背景利用内外关系求角度24河北五年中考真题及模拟三角形三边关系1．(2017河北中考)如图是边长为10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm )不正确的是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(2013河北中考)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C ＝100°，如图②.则下列说法正确的是( C )图①图②A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远3．(2016邢台中考模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A)A．2，3，4 B．2，2，4C．1，2，3 D．1，2，64．(2016邯郸中考模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D)A．2或4 B．11或13C．11 D．13三角形内外角关系5．(2014河北中考)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B)A．20°B．30°C．70°D．80°,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2017河北中考模拟)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C)A．45°B．60°C．75°D．90°7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.三角形的四条重要线段8．(2016河北中考)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心(第8题图)(第9题图)9．(2014河北中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C)A．2 B．3 C．4 D．510．(2017河北中考)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为__100__m.全等三角形11．(2016唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3，5，7，9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D)A．3个B．4个C．5个D．6个12．(2016河北中考)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.中考考点清单三角形的分类及三边关系1．三角形的分类(1)按角分类(2)按边分类2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边．任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段6.ADC线全等三角形及其性质7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．8．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合；(3)与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．9【方法技巧】证明三角形全等的思路：判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS线段的垂直平分线10．定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．11．判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．,中考重难点突破三角形三边之间的关系【例1】若一个三角形的两边长分别是3，8，若第三边长是奇数，则第三边的长是( A ) A ．5或7 B ．7 C ．9 D ．7或9【解析】先用三边关系确定好第三边的范围，再考虑奇数． 【答案】D1．(2017原创)若一等腰三角形的两边长分别为2，4，则此等腰三角形的周长为__10__．三角形内角和定理、外角与内角的关系【例2】(乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A ＝( )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°【解析】利用角平分线的定义求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求解．【答案】C2．(临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．85°C ．90°D ．95°(第2题图)(第3题图)3．(2017原创)如图，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A ) A ．50° B ．60° C ．40° D ．30°全等三角形的性质与判定【例3】(2016沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【答案】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DC E ＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC ＝∠E.∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°， ∴∠BDC ＝90°.4．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步
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中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第四章 图形的认识(一)第1节 基本几何图形的认识课件
A. 35° C. 55°
B. 45° D. 70°
考点演练
4. 下列各图中，∠1与∠2互为补角的是
（ D）
5. 如图1-4-1-2，点B，O，D在同一直线上，若∠1Байду номын сангаас15°，
∠2=105°，则∠AOC的度数是
（ B）
A. 75 ° C. 105°
B. 90° D. 125°
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握余角、补角等角的有关 概念.注意以下要点： （1）互为余角的两个角的和等于90°； （2）互为补角的两个角的和等于180°.
考题再现
1. （2016长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ B ）
2. （2014佛山）若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部
分的角的大小是 A. 15° B. 30°
C. 45°
（C） D. 75°
3. （2015济南）如图1-4-1-1，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的
度数是
（ C）
35°，则∠3的度数是
（C）
A. 75° C. 40°
B. 55° D. 35°
2. （2016茂名）如图1-4-1-5，直线a，b被直线c所截，若
a∥b，∠1=60°，那么∠2的度数为
（ C）
A. 120° C. 60°
B. 90° D. 30°
3. （2016梅州）如图1-4-1-6，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=
5. 相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线 为相交线. 6. 对顶角：两条直线相交，只有一个交点.两条直线相交形成 四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角 相等. 7. 余角与补角 （1）如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角. （2）如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角. （3）同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等.
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第三节等腰三角形与直角三角形
【解析】由线段垂直平分线定理知
AD＝ BD，∴∠ A＝∠ ABD，又∵ AB＝ AC，∴∠ ABC＝∠ ACB，设∠ A＝ x，则 2(x ＋ 15°) ＋ x＝ 180°，∴∠ A＝ x＝50° . 【学生解答】解：∠ A＝ 50°.
9 / 13
1．( 2016 雅安中考 ) 如图所示 ， 底边 BC为 2 3， 顶角 A 为 120° 的等腰 △ABC中 ， DE垂直平分 AB于点 D，则 △ACE的周长为 ( A )
A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°
直角三角形的相关计算 【例 2 】 ( 2015 宿迁中考 ) 如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB＝ 90°， AD平分∠ BAC 与 BC 相交于点 D，若 BD＝ 4，
CD＝ 2，求 AB 的长．
,( 例 2 题图 ))
,( 例 2 题解图 )) 【解析】如解图，过 D 作 DE⊥AB，∵∠ ACB＝ 90°， AD平分∠ BAC，∴ DE＝ CD＝ 2，在 Rt△ BDE中， DE＝ 2， BD
第三节 等腰三角形与直角三角形
, 怀化七年中考命题规律 )
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
掌握三角形
2016
选择
8
等腰三角形
的性质与三
44Βιβλιοθήκη 的性质角形的三边关系
(1) 求直角三
角形两边上 动点之间的
距离的最大 值； (2) 判断
等腰三角形
两动点在何
2015
解答
22
与
处时与直角
8
8
直角三角形
三角形上的
顶点构成等 腰三角形；
(3) 利用相似 三角形的性
中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第2节 三角形的基本概
第二节三角形的基本概念及全等三角形,青海五年中考命题规律)全等三角形式出,青海五年中考真题)三角形的边角关系1．(2015青海中考)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( C)A．5 B．6 C．12 D．162．(2016西宁中考)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆动成三角形的是( D)A．3 cm、4 cm、8 cm B．8 cm、7 cm、15 cmC．5 cm、5 cm、11 cm D．13 cm、12 cm、20 cm3．(2014西宁中考)下列线段能构成三角形的是( B)A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，64．(2017青海中考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__115°__.(第4题图)(第5题图)5．(2016青海中考)如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝__38°__．三角形的四条重要线段6．(2013西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( A)A．2 B．4 C．6 D．87．(2016西宁中考)如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC的两腰中点的线段的长为__5__．全等三角形8．(2013西宁中考)使两个直角三角形全等的条件是( D)A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等9.(2015青海中考)如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥FD__．(只需写一个，不添加辅助线)(第9题图)(第10题图)10．(2014青海中考)如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段__BC＝AD或AC＝BD或OA＝OB或OC＝OD__．11．(2013青海中考)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__答案不唯一，如∠A＝∠D__．(不添加任何辅助线)12．(2014青海中考)如图，▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC，∴∠DAE ＝∠CBF. 又∵AE＝BF ，∴△DAE ≌△CBF(SAS )， ∴∠ADE ＝∠BCF.13．(2014西宁中考)课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示． (1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC ＝25 cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小．(每块砖的厚度相等)解：(1)由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE＝90°，∠ACD ＋∠DAC＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB(AAS )； (2)由题意得：AD ＝4a ，BE ＝3a ， 由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC ＝BE ＝3a. 在Rt △ADC 中，AD 2＋DC 2＝AC 2， ∴(4a)2＋(3a)2＝252，即a 2＝25. ∵a ＞0，∴a ＝5.答：砌墙砖块的厚度a 为5 cm .,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类(2)按边分类2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__.3.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段全等三角形及其性质6．定义能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长__相等__，面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定∠B1【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为( )A ．10B ．12C ．14 D ．16【解析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再根据第三边为偶数，求出第三边的长度，从而可求出三角形周长．【答案】C1．(2017舟山中考)长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( C )A ．4B ．5C ．6D ．92．(玉林中考)在等腰△ABC 中，A B ＝AC ，其周长为20 m ，则AB 边的取值范围是( B )A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cmC ．4 cm ＜AB ＜8 cmD ．4 cm ＜AB ＜10 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2018中考预测)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【答案】A3．(丽水中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN＝133°，则∠B 的度数为__70°__．(第3题图)(第4题图)4．(2017郴州中考)小明把一副45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠α＋∠β等于( B )A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，则OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∵OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【答案】1.255．(2017遵义中考)如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是( A )A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6(第5题图)(第7题图)6．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32 B .332 C .32D ．不能确定 7．(永州中考)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，试探究线段ME 与BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【答案】解：如图，连接MC.在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD.又AC ＝B C ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.8．(2017孝感中考)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.解：∵AE⊥BD，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD＝90°.∵DE ＝BF ，∴DE ＋EF ＝BF ＋EF ，即BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )，∴∠B ＝∠D，∴AB ∥CD.9．(2017怀化中考)如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED 的度数．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等边三角形，∴AB ＝BE ＝CE ＝CD ，∴∠ABE ＝∠DCE＝30°.由⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCE，EB ＝EC ，可知△ABE≌△DCE(SAS )； (2)由(1)知AE ＝DE ，即△AED 为等腰三角形．又∵AB＝BC ＝BE ，∴∠BAE ＝180°－∠ABE2＝75°，则∠DAE＝90°－∠BAE＝15°，∴∠AED ＝180°－2∠DAE ＝150°.10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D. (1)求证：△BEC≌△CDA；(2)试判断BE ，DE ，AD 三条线段之间的关系．证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCE ＋∠ACD＝90°.∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠CDA＝90°.又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE.又AC ＝BC ，∴△BEC ≌△CDA(AAS )；(2)由(1)知CE ＝AD.∵CD＋DE ＝CE ，∴CD ＋DE ＝AD.又∵BE＝CD ，∴BE ＋DE ＝AD.11．(2017连云港中考)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD；(2)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC ＝∠FCB，∴FB ＝FC.又∵AB＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC.12．(2017齐齐哈尔中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，点E ，F 分别是BG ，AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC ，∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB ＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD＝∠C，∠FDA ＝∠FAD，∴∠EDG ＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF ；(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步
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中考数学 第一部分 教材梳理 第四章 图形的认识 第2节 三角形与全等三角形复习 新人教版
7. 如图4-2-5，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且 ∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠DAE的度数.
考题再现
1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，
则它的周长为
(A)
A. 17
B. 15
C. 13
D. 13或17
2. (2014深圳)如图4-2-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 .
3. (2014梅州)如图4-2-3，在Rt△ABC中，∠B=90°，分 别以A,C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M,N， 连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第2节 三角形与全等三角形
知识要点梳理
概念定理
1. 与三角形有关的概念 (1)三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 组成的图形叫做三角形.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶 点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的 角. (2)等边三角形：三边都相等的三角形. (3)等腰三角形：有两条边相等的三角形. (4)不等边三角形：三边都不相等的三角形. (5)在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做 底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的
度数.
解：∵∠CAB=50°， ∠C=60°， ∴∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又∵AD是高， ∴∠ADC=90°. ∴∠DAC=90°-∠C=30°. ∵AE,BF是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°. ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°. ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°. ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°.
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Jie Shu Yu 生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
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