江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(25)

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（25）一、1．已知集合M={﹣1，1}，N={x|1≤2x≤4}，则M∩N=__________．2．设函数f（x）=x2+lnx，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ax+b，则a+b=__________．3．已知函数f（x）=﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）的图象关于直线x=a对称．则实数a=__________．4．根据如图的算法，输出的结果是__________．5．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为__________．6．若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为__________．7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．上述命题中，所有真命题的序号是__________．8．若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为__________．9．函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，则正数ω的值为__________．10．若圆C：（x﹣h）2+（y﹣1）2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB 的平分线上，且|=，则点C的坐标是__________．12．已知函数，若f′（x）=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为__________．13．已知f（x）=x2，g（x）=（）x﹣m，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是__________．14．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是__________．二、解答题（共2小题，满分0分）15．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．16．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（25）一、1．已知集合M={﹣1，1}，N={x|1≤2x≤4}，则M∩N={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先通过解指数不等式化简集合N，利用集合交集的定义求出M∩．解答：解：∵N={x|1≤2x≤4}={x|0≤x≤2}又∵M={﹣1，1}，∴M∩N={1}故答案为：{1}点评：在解决集合的运算时，先化简各个集合，再利用交、并、补的定义求出结果．2．设函数f（x）=x2+lnx，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ax+b，则a+b=1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出切点坐标，然后利用导数研究函数的切线的斜率，求出切线方程，从而得到a 与b的值．解答：解：∵f（x）=x2+lnx∴f（1）=12+ln1=1即切点为（1，1）而f′（x）=2x+则f′（1）=2+1=3即切线的斜率为3∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）即y=3x﹣2即a=3，b=﹣2∴a+b=3﹣2=1故答案为：1点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键是求切线的斜率，属于基础题．3．已知函数f（x）=﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）的图象关于直线x=a对称．则实数a=﹣2．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）的图象关于直线x=a对称，则函数与x轴的交点也应关于直线x=a对称，由f（x）=0，即﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）=0，解出交点坐标后易求a的值．解答：解：根据函数f（x）=﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）的图象关于直线x=a对称，则函数与x轴的交点也应关于直线x=a对称，由f（x）=0，即﹣（x2+8x+15）（x2﹣1）=0，解得x=﹣5、x=﹣3、x=﹣1、x=1，∴函数与x轴的交点为（﹣5，0）、（﹣3，0）、（﹣1，0）、（1，0），不难看出（﹣5，0）与（1，0）、（﹣3，0）与（﹣1，0）都关于x=﹣2对称，∴a=﹣2故答案为：﹣2．点评：本题主要考查函数的对称性，关键：如果函数的图象关于x轴对称，则函数图象与x 轴的交点也关于x轴对称．4．根据如图的算法，输出的结果是55．考点：伪代码．专题：阅读型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个for循环结构，循环执行10此，依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是1，每循环一次就加进i，初始i=1，可循环十次，故S=0+1+2+3+…+10=55故答案为：55．点评：本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题．5．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为．考点：函数的最值及其几何意义．分析：先把已知中的式子展开，出现，代入的展开式中，再用基本不等式就可求出最小值．解答：解：∵x，y，z满足，∴2x2++=yz，又∵=x2+++∴=+∵x，y，z为正实数，∴+≥2=即≥，当且仅当=时等号成立∴的最小值为．故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用，做题时注意变形．6．若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立，由此可求出a的最大值．解答：解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．上述命题中，所有真命题的序号是（2），（4）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：（1）若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故（1）错误；（2）若a⊥α，a⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故（2）正确；（3）若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故（3）错误；（4）若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故（4）正确．故答案为：（2），（4）．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：作出函数的图象，根据函数y=|e x﹣3x|的图象进行判断，再根据函数的图象求出满足条件的k值，即可得到满足条件的实数k的取值范围．解答：解：函数y=|e x﹣3x|的图象如下图所示：由图可知当0＜k＜k1时，函数y=|e x﹣3x|的图象与y=kx的图象有四个交点∵当k=3﹣e时，函数y=3x﹣e x与y=kx的图象相切，故k1=3﹣e即实数k的取值范围为（0，3﹣e）故答案为：（0，3﹣e）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，其中图象法是常用的办法之一，但关键是熟练掌握各种基本初等函数图象与性质．9．函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，则正数ω的值为1．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：化简函数的表达式，根据f（α）=﹣2，f（β）=0以及|α﹣β|的最小值等于，求出函数的周期，然后求出ω的值．解答：解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），因为f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，所以，T=2π，所以T==2π，所以ω=1故答案为：1点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，正确分析题意找出函数满足是解题的重点关键，考查逻辑推理能力，计算能力．10．若圆C：（x﹣h）2+（y﹣1）2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为．考点：直线与圆的位置关系；二元一次不等式（组）与平面区域；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：要使圆C在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，即圆C在直线x+y+1=0的上方，当直线x+y+1=0与圆C相切时，h最小，所以找出圆C的圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y+1=0的距离d，让d等于圆C的半径列出关于h的方程，求出方程的解即可得到h的值即为最小值．解答：解：由圆的方程（x﹣h）2+（y﹣1）2=1，得到圆心C的坐标为（h，1），半径r=1，当直线x+y+1=0与圆C相切且圆在直线的上方时，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==r=1，解得：h=﹣2或h=﹣﹣2（不合题意，舍去），则h的最小值为：﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生在求出h的两个值后，根据圆要在直线的上方应舍去不合题意的解．11．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB 的平分线上，且|=，则点C的坐标是（﹣1，﹣3）．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；转化思想；综合法．分析：求出方向上的单位向量，则有点C在∠AOB的平分线上，故存在实数λ使得=λ（+），如此可以得到坐标的参数表达式，再由|=，建立方程求出参数的值，即可得出点C的坐标．解答：解：由题意=（0，﹣1），是一个单位向量，由于=（﹣3，﹣4），故方向上的单位向量=（﹣，﹣），∵点C在∠AOB的平分线上，∴存在实数λ使得=λ（+）=λ（﹣，﹣1﹣）=λ（﹣，﹣），∵|=，∴λ2×（+）=10，解得λ=代入得得=（﹣1，﹣3）故答案为：（﹣1，﹣3）点评：本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，综合性较强，解决本题关键是认识到角平分线与向量的关系，求出方向上的单位向量，用待定系数法将向量表示出来．12．已知函数，若f′（x）=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为﹣7≤a＜﹣1．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；转化思想．分析：对函数求导，根据f′（x）=0在（1，3]上有解，即2a﹣1=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1在（1，3]上有解，转化为求函数y=﹣（x+1）2+1在（1，3]上的值域，进而解不等式﹣15≤2a ﹣1＜﹣3即可求得数a的取值范围．解答：解：f′（x）=x2+2x+（2a﹣1），∵f′（x）=0在（1，3]上有解，∴2a﹣1=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1在（1，3]上有解，而y=﹣（x+1）2+1在（1，3]上的y＜﹣3，最小值为﹣15，∴﹣15≤2a﹣1＜﹣3，解得﹣7≤a＜﹣1，故答案为：﹣7≤a＜﹣1．点评：此题是中档题．考查函数零点与方程根的关系，以及导数的运算和基本初等函数的导数，体现了转化的思想，考查学生分析解决问题的能力和计算能力．13．已知f（x）=x2，g（x）=（）x﹣m，若对∀x1∈[﹣1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m≥．考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．解答：解：因为x1∈[﹣1，3]时，f（x1）∈[0，9]；x2∈[0，2]时，g（x2）∈[﹣m，1﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故答案为m≥．点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于基本题．14．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是2．考点：解三角形．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意画出图形，如图所示，设出等腰三角形的腰长为2a，根据D为AB中点，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a2，然后根据三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，并设面积为S，对表示出的面积两边求导数，令导函数等于0求出cosA的值，由cosA的值讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值，且函数取得最大值时cosA的值，由cosA的值和A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面积的最大值，又因为CD为三角形ABC的中线，所以由三角形ADC面积的最大值得到三角形ABC面积的最大值．解答：解：根据题意画出图形，如图所示：设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，在△ADC中，根据余弦定理得：cosA==，解得a2=，设△ADC的面积为S，则S=a•2a•sinA=a2sinA=①，．下研究求面积的最值法一：求导得：S′==，令S′=0，解得cosA=，当cosA＞时，S′＞0，S单调递增；当cosA＜时，S′＜0，S单调递减，所以S在cosA=处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=，所以S的最大值为=1，则△ABC的面积的最大值是2S=2．法二：①式变形为5S﹣4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=sin（A+θ），其中tanθ=故有5S≤，解得S≤1，则△ABC的面积的最大值是2S=2故答案为：2．点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握等腰三角形的性质，是一道中档题．二、解答题（共2小题，满分0分）15．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．考点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．解答：解：（1）由条件，得A=2，．∵，∴．∴曲线段FBC的解析式为．当x=0时，．又CD=，∴．（2）由（1），可知．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为=．∵，故取得最大值．点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．16．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P （x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f（0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．解答：解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上．当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）=ln（﹣x）﹣ax2．∵f（x）为[﹣1，1]上的奇函数，则f（0）=0．当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lnx+ax2．∴f（x）=（2）由（1）知，f'（x）=﹣+2ax．①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则﹣0⇒a．此时，a，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．②当a时，令f'（x）=﹣⇒x=∈（0，1]，∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=﹣ln+a=ln2a+．由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒．综上所述，实数a的取值范围为a．（16分）点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求解及常用方法和奇偶函数图象的对称性，是对函数知识的综合考查，属于中档题．。